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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Expert Level 9

यदि \(A=\{a,b,c,d\}\) है, तो ऐसे कितने उपसमुच्चय हैं जिनमें कम से कम एक तत्व \(a\) या \(b\) शामिल हो?

If \(A=\{a,b,c,d\}\), how many subsets contain at least one of \(a\) or \(b\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

C. 12

Explanation

Simple Explanation

कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) है। कम से कम एक में से नहीं — यानी दोनों \(a\) और \(b\) को बाहर रखने वाले उपसमुच्चय केवल elementen \(\{c,d\}\) के किसी भी चयन से बनते हैं, उनकी संख्या \(2^2=4\) है। अतः कम से कम एक होने वाले उपसमुच्चय = \(16-4=12\)। नज़दीकी गलती: विकल्प D (14) तब मिलेगा जब कोई गलत तरीके से सोचे कि बाहर रखने वाले उपसमुच्चय केवल \(2\) हैं (यानि \(16-2\)) — पर वास्तविक में दोनों को बाहर रखने के \(2^2=4\) उपसमुच्चय होते हैं। परीक्षा युक्ति: कुल से पूरक गिनें — "कम से कम एक" गिनने के बजाय "दोनों नहीं" गिनकर घटाएँ; यह अक्सर सरल और तेज़ होता है। / Total number of subsets is \(2^4=16\). Subsets that exclude both \(a\) and \(b\) are exactly the subsets of \(\{c,d\}\), which number \(2^2=4\). Therefore subsets containing at least one of \(a\) or \(b\) = \(16-4=12\). About a common wrong answer: option D (14) comes from mistakenly subtracting \(2\) instead of \(4\) for the "exclude both" case (i.e. doing \(16-2\)), so it's incorrect. Exam tip: use the complement principle — count "neither a nor b" and subtract from the total; it avoids double counting.

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यदि \(A=\{a,b,c,d\}\) है, तो ऐसे कितने उपसमुच्चय हैं जिनमें कम से कम एक तत्व \(a\) या \(b\) शामिल हो? / If \(A=\{a,b,c,d\}\), how many subsets contain at least one of \(a\) or \(b\)?

Correct Answer: C. 12. Explanation: कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) है। कम से कम एक में से नहीं — यानी दोनों \(a\) और \(b\) को बाहर रखने वाले उपसमुच्चय केवल elementen \(\{c,d\}\) के किसी भी चयन से बनते हैं, उनकी संख्या \(2^2=4\) है। अतः कम से कम एक होने वाले उपसमुच्चय = \(16-4=12\)। नज़दीकी गलती: विकल्प D (14) तब मिलेगा जब कोई गलत तरीके से सोचे कि बाहर रखने वाले उपसमुच्चय केवल \(2\) हैं (यानि \(16-2\)) — पर वास्तविक में दोनों को बाहर रखने के \(2^2=4\) उपसमुच्चय होते हैं। परीक्षा युक्ति: कुल से पूरक गिनें — "कम से कम एक" गिनने के बजाय "दोनों नहीं" गिनकर घटाएँ; यह अक्सर सरल और तेज़ होता है। / Total number of subsets is \(2^4=16\). Subsets that exclude both \(a\) and \(b\) are exactly the subsets of \(\{c,d\}\), which number \(2^2=4\). Therefore subsets containing at least one of \(a\) or \(b\) = \(16-4=12\). About a common wrong answer: option D (14) comes from mistakenly subtracting \(2\) instead of \(4\) for the "exclude both" case (i.e. doing \(16-2\)), so it's incorrect. Exam tip: use the complement principle — count "neither a nor b" and subtract from the total; it avoids double counting.