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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Expert Level 9

कथन: \(\emptyset\subseteq A\) हर समुच्चय \(A\) के लिए सत्य है। कारण: \(\emptyset\) में ऐसा कोई तत्त्व नहीं है जो \(A\) में न हो। नीचे दिए गए विकल्पों में सही चुनिए।

Assertion: \(\emptyset\subseteq A\) is true for every set \(A\). Reason: There is no element in \(\emptyset\) that is not in \(A\). Choose the correct option.

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन की सही व्याख्या करता हैBoth assertion and reason are true, and the reason correctly explains the assertion

Explanation

Simple Explanation

परिभाषा के अनुसार \(B\subseteq A\) तभी होगा जब प्रत्येक तत्त्व जो \(B\) में है वह \(A\) में भी हो। \(\emptyset\) में कोई तत्त्व नहीं है, अतः "प्रत्येक तत्त्व \(\emptyset\) का \(A\) में होना" सत्य है (vacuous truth)। कारण वही तथ्य सीधे बताता है: \(\emptyset\) में कोई विरोधी तत्त्व नहीं है, इसलिए यह हर समुच्चय का उपसमुच्चय है। निकटतम विचलन (विकल्प D) गलत इसलिए है कि कारण वास्तव में कथन की व्याख्या करता है; वह कोई अलग तर्क नहीं दे रहा। परीक्षा-सुझाव: उपसमुच्चय की परिभाषा को हमेशा "हर तत्त्व के लिए" के रूप में पढ़ें — खाली समुच्चय के लिए यह शून्य विरोधी देता है। / By definition, \(B\subseteq A\) iff every element of \(B\) is an element of \(A\). Since \(\emptyset\) has no elements, the statement "every element of \(\emptyset\) belongs to \(A\)" is vacuously true. The reason restates this absence of a counterexample, so it correctly explains the assertion. Closest distractor (option D) is wrong because it denies that the reason explains the assertion, whereas here the reason is exactly the justification. Exam tip: translate subset claims into "for all x in B, x in A"; for \(\emptyset\) such universal claims are always true (vacuous truth).

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कथन: \(\emptyset\subseteq A\) हर समुच्चय \(A\) के लिए सत्य है। कारण: \(\emptyset\) में ऐसा कोई तत्त्व नहीं है जो \(A\) में न हो। नीचे दिए गए विकल्पों में सही चुनिए। / Assertion: \(\emptyset\subseteq A\) is true for every set \(A\). Reason: There is no element in \(\emptyset\) that is not in \(A\). Choose the correct option.

Correct Answer: A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन की सही व्याख्या करता है / Both assertion and reason are true, and the reason correctly explains the assertion. Explanation: परिभाषा के अनुसार \(B\subseteq A\) तभी होगा जब प्रत्येक तत्त्व जो \(B\) में है वह \(A\) में भी हो। \(\emptyset\) में कोई तत्त्व नहीं है, अतः "प्रत्येक तत्त्व \(\emptyset\) का \(A\) में होना" सत्य है (vacuous truth)। कारण वही तथ्य सीधे बताता है: \(\emptyset\) में कोई विरोधी तत्त्व नहीं है, इसलिए यह हर समुच्चय का उपसमुच्चय है। निकटतम विचलन (विकल्प D) गलत इसलिए है कि कारण वास्तव में कथन की व्याख्या करता है; वह कोई अलग तर्क नहीं दे रहा। परीक्षा-सुझाव: उपसमुच्चय की परिभाषा को हमेशा "हर तत्त्व के लिए" के रूप में पढ़ें — खाली समुच्चय के लिए यह शून्य विरोधी देता है। / By definition, \(B\subseteq A\) iff every element of \(B\) is an element of \(A\). Since \(\emptyset\) has no elements, the statement "every element of \(\emptyset\) belongs to \(A\)" is vacuously true. The reason restates this absence of a counterexample, so it correctly explains the assertion. Closest distractor (option D) is wrong because it denies that the reason explains the assertion, whereas here the reason is exactly the justification. Exam tip: translate subset claims into "for all x in B, x in A"; for \(\emptyset\) such universal claims are always true (vacuous truth).