यदि \(A\cup B = A\), तो कौन सा निष्कर्ष हमेशा सही है?

Correct Answer: A. \(B\subseteq A\). Explanation: यदि \(A\cup B = A\), तब किसी भी तत्व \(x\) के लिए यदि \(x\in B\) तो \(x\in A\cup B\) होगा। पर दिया है कि \(A\cup B\) बराबर \(A\) है, अतः कोई भी \(x\in B\) भी \(x\in A\) होगा। यह परिभाषा के अनुसार \(B\subseteq A\) साबित करती है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि \(A\subseteq B\) का अर्थ है हर तत्व A का B में भी होना — यह जरूरी नहीं है (उदाहरण: \(A=\{1,2\},B=\{1\}\)). विकल्प (D) भी हमेशा सत्य नहीं है; ऊपर के उदाहरण में \(A\cap B=\{1\}\) जो खाली सेट नहीं है। विकल्प (C) (पूरक) का कोई कारण नहीं है और सार्वभौमिक सेट के संबंध पर निर्भर है। परीक्षात्मक सुझाव: ऐसे प्रश्नों के लिए 'तत्व-पश्चात' (element-chasing) विधि अपनाएँ — किसी सामान्य तत्व \(x\) के सदस्यता को देखकर तर्क करें और विरोधाभास के उदाहरण से गलत विकल्प खारिज करें। / If \(A\cup B = A\), then for any element \(x\) if \(x\in B\) it must belong to \(A\cup B\), which equals \(A\). Hence every element of \(B\) is in \(A\), so \(B\subseteq A\). Option (B) is incorrect because \(A\subseteq B\) need not hold (e.g. \(A=\{1,2\},B=\{1\}\)). Option (D) is not always true — in the same example \(A\cap B=\{1\}\), not empty. Option (C) asserting complement equality is unrelated without specifying a universal set. Exam tip: use element-chasing (take an arbitrary \(x\) and follow membership) or a simple counterexample to disprove other choices quickly.