यदि \(A\subseteq B\) है, तो घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) और \(\mathcal{P}(B)\) के बीच क्या सम्बन्ध होगा?

Correct Answer: A. \(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\). Explanation: यदि \(X\in\mathcal{P}(A)\) है तो \(X\subseteq A\)। क्योंकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(X\subseteq B\) भी होगा, अतः \(X\in\mathcal{P}(B)\)। यह दिखाता है कि हर तत्व (उपसमुच्चय) जो \(\mathcal{P}(A)\) में है, वह \(\mathcal{P}(B)\) में भी है, अर्थात् \(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\)। विकल्प B गलत है क्योंकि इसका सत्य होने के लिए आवश्यक है कि \(B\subseteq A\) भी हो (यानी \(A=B\))। विकल्प C तभी सही होगा जब \(A=B\)। परीक्षा सुझाव: समावेशन साबित करने के लिए किसी भी सामान्य तत्व \(X\in\mathcal{P}(A)\) को लेकर देखिए कि वह \(\mathcal{P}(B)\) में भी आता है — यह विधि अक्सर तेज और सुरक्षित रहती है। / Take any \(X\in\mathcal{P}(A)\). Then \(X\subseteq A\). Since \(A\subseteq B\), we get \(X\subseteq B\), so \(X\in\mathcal{P}(B)\). Hence every element of \(\mathcal{P}(A)\) lies in \(\mathcal{P}(B)\), i.e. \(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\). Option B is incorrect because it asserts the reverse inclusion, which holds only when \(A=B\). Option C is only true in the special case \(A=B\). Exam tip: to prove set inclusions, pick an arbitrary element of the left side and show it belongs to the right side — this direct-element method is reliable for power sets.