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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Expert Level 9

यदि \(A\subseteq B\) और \(B - A = \emptyset\) हो, तो कौन-सा निष्कर्ष सही है?

If \(A\subseteq B\) and \(B - A = \emptyset\), which conclusion follows?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(A = B\)

Explanation

Simple Explanation

\(A\subseteq B\) का अर्थ है हर तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी है। \(B - A = \emptyset\) का अर्थ है \(B\) में ऐसा कोई तत्व नहीं है जो \(A\) में न हो — यानी हर \(B\) का तत्व \(A\) में भी है। इसलिए दोनों दिशाओं में समावेशन सत्य हैं और \(A = B\)। विकल्प B (\(A \subsetneq B\)) गलत है क्योंकि उसके लिए \(B\) में कम-से-कम एक तत्व होना चाहिए जो \(A\) में न हो, पर दिया गया है कि ऐसा कोई तत्व नहीं है। परीक्षात्मक टिप: सेट-बराबरी जाँचने के लिए दोनों समावेशन \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\) को प्रमाणित/निराडित करें या सेट-भेद \(B-A\) की शून्यता देखें। / \(A\subseteq B\) means every element of \(A\) is in \(B\). \(B - A = \emptyset\) means there is no element of \(B\) that is not in \(A\), i.e. every element of \(B\) is in \(A\). Thus \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\) both hold, so \(A = B\). Option B (\(A \subsetneq B\)) is wrong because it requires at least one element in \(B\) outside \(A\), which contradicts \(B - A = \emptyset\). Exam tip: use element-wise definitions or check set-difference zero to decide equality quickly.

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यदि \(A\subseteq B\) और \(B - A = \emptyset\) हो, तो कौन-सा निष्कर्ष सही है? / If \(A\subseteq B\) and \(B - A = \emptyset\), which conclusion follows?

Correct Answer: A. \(A = B\). Explanation: \(A\subseteq B\) का अर्थ है हर तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी है। \(B - A = \emptyset\) का अर्थ है \(B\) में ऐसा कोई तत्व नहीं है जो \(A\) में न हो — यानी हर \(B\) का तत्व \(A\) में भी है। इसलिए दोनों दिशाओं में समावेशन सत्य हैं और \(A = B\)। विकल्प B (\(A \subsetneq B\)) गलत है क्योंकि उसके लिए \(B\) में कम-से-कम एक तत्व होना चाहिए जो \(A\) में न हो, पर दिया गया है कि ऐसा कोई तत्व नहीं है। परीक्षात्मक टिप: सेट-बराबरी जाँचने के लिए दोनों समावेशन \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\) को प्रमाणित/निराडित करें या सेट-भेद \(B-A\) की शून्यता देखें। / \(A\subseteq B\) means every element of \(A\) is in \(B\). \(B - A = \emptyset\) means there is no element of \(B\) that is not in \(A\), i.e. every element of \(B\) is in \(A\). Thus \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\) both hold, so \(A = B\). Option B (\(A \subsetneq B\)) is wrong because it requires at least one element in \(B\) outside \(A\), which contradicts \(B - A = \emptyset\). Exam tip: use element-wise definitions or check set-difference zero to decide equality quickly.