100 results found for "factor split" in Class 10.
In which year did the Surat Split of Congress take place?
C. 19071907
कांग्रेस का सूरत विभाजन 1907 में हुआ था। इसे गरम दल और नरम दल के मतभेद से जोड़ें। / The Surat Split of Congress took place in 1907. Link it with differences between extremists and moderates.
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Which ideological tension within Congress became clear from the Surat Split?
A. संवैधानिक याचिका और प्रत्यक्ष जनदबाव के बीच तनावTension between constitutional petition and direct mass pressure
सूरत विभाजन उदारवादी और उग्रवादी तरीकों के टकराव से जुड़ा था। परीक्षा में 1907 को याद रखें। / The Surat Split was linked with conflict between Moderate and Extremist methods. Exam tip: remember 1907.
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What benefit did the British get from Congress weakness after the Surat Split?
A. राष्ट्रवादी नेतृत्व की एकता अस्थायी रूप से कम हुईUnity of nationalist leadership temporarily reduced
आंतरिक मतभेदों से आंदोलन की संयुक्त दिशा कमजोर हुई। परीक्षा में सूरत विभाजन का प्रभाव याद रखें। / Internal differences weakened the united direction of the movement. Exam tip: remember the impact of Surat Split.
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How did the Surat Split weaken the nationalist movement?
A. इसने कांग्रेस के अंदर रणनीतिक एकता तोड़ दीIt broke strategic unity inside Congress
उदारवादी और उग्रवादी टकराव से कांग्रेस की दिशा प्रभावित हुई। परीक्षा में 1907 को आंतरिक संकट से जोड़ें। / The Moderate-Extremist clash affected Congress direction. Exam tip: connect 1907 with internal crisis.
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How did the Surat Split indirectly benefit British rule?
A. कांग्रेस की एकता कमजोर हुई और आंदोलन की गति प्रभावित हुईCongress unity weakened and movement momentum was affected
सूरत विभाजन ने राष्ट्रवादी संगठन को कमजोर किया। परीक्षा में आंतरिक मतभेदों का प्रभाव समझें। / The Surat Split weakened the nationalist organisation. Exam tip: understand impact of internal differences.
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Which feature was more visible in Extremist politics before the Surat Split?
C. बहिष्कार स्वदेशी और जनजागरण पर जोरEmphasis on boycott Swadeshi and public awakening
गरम दल ने जनता को अधिक सक्रिय संघर्ष से जोड़ने की कोशिश की। परीक्षा में लाल बाल पाल को याद रखें। / The Extremists tried to connect people with more active struggle. Exam tip is to remember Lal Bal Pal.
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What was the real conflict in the Surat Split?
D. नेतृत्व और संघर्ष की पद्धति परOver leadership and method of struggle
सूरत विभाजन उदारवादी और उग्रवादी रणनीतियों के टकराव से जुड़ा था। परीक्षा में 1907 याद रखें। / The Surat Split was linked with clash between Moderate and Extremist strategies. Exam tip: remember 1907.
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In the Surat Split of 1907 what was the main dispute within Congress about?
C. संघर्ष की रणनीति और नेतृत्वStrategy of struggle and leadership
उदारवादी और गरम दल आंदोलन की पद्धति पर अलग सोच रखते थे। परीक्षा में सूरत विभाजन को कांग्रेस के वैचारिक मतभेद से जोड़ें। / Moderates and Extremists differed over the method of struggle. Exam tip is to link the Surat Split with ideological differences in Congress.
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The Surat Split of 1907 shows which internal difference in Congress?
C. उदारवादी और गरम दल की रणनीति का मतभेदDifference between Moderate and Extremist strategies
सूरत विभाजन कांग्रेस के दो समूहों के टकराव का परिणाम था। परीक्षा में इसे 1907 और स्वदेशी काल से जोड़ें। / The Surat Split resulted from conflict between two groups in Congress. Exam tip is to link it with 1907 and the Swadeshi phase.
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The Surat Split clearly showed which difference within Congress?
A. उदारवादी और उग्रवादी रणनीति का मतभेदDifference between Moderate and Extremist strategies
सूरत विभाजन 1907 में राजनीतिक पद्धति और नेतृत्व के मतभेद से जुड़ा था। परीक्षा में कारण और वर्ष याद रखें। / The Surat Split of 1907 was linked with differences over method and leadership. Exam tip: remember cause and year.
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The dispute over presidency in the Surat Split actually reflected which deeper difference?
A. आंदोलन की रणनीति और नेतृत्व दिशा पर मतभेदDifference over movement strategy and direction of leadership
सूरत में उदारवादी और उग्रवादी पद्धतियों का संघर्ष खुलकर सामने आया। परीक्षा में सतही घटना और मूल कारण अलग करें। / At Surat the clash between Moderate and Extremist methods came out openly. Exam tip: separate surface event from root cause.
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What was the immediate effect of the Surat Split on Congress's political capacity?
D. कांग्रेस की एकता कमजोर हुई और आंदोलन की गति पर असर पड़ाCongress unity weakened and the movement's pace was affected
1907 का विभाजन रणनीतिक मतभेदों से हुआ और संगठन कमजोर हुआ। परीक्षा में संगठनात्मक एकता का महत्व समझें। / The 1907 split arose from strategic differences and weakened the organisation. Exam tip: understand the importance of organisational unity.
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What was the effect of the Surat Split on the strategy of the national movement?
A. कांग्रेस के भीतर उदारवादी और गरम दल की दूरी बढ़ गईThe distance between Moderates and Extremists within Congress increased
सूरत विभाजन ने कांग्रेस की एकता को कमजोर किया। परीक्षा में इसे 1907 की आंतरिक वैचारिक लड़ाई से जोड़ें। / The Surat Split weakened Congress unity. Exam tip is to link it with the internal ideological conflict of 1907.
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What tension in the national movement was revealed by the Surat Split?
A. उदारवादी और उग्रवादी रणनीतियों का टकरावClash between Moderate and Extremist strategies
1907 में कांग्रेस के भीतर पद्धति और नेतृत्व पर मतभेद बढ़े। परीक्षा में संगठनात्मक संकट और कारण याद रखें। / In 1907 differences over method and leadership grew within Congress. Exam tip: remember organisational crisis and causes.
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The Surat Split of 1907 was the result of which deep difference in the Indian National Congress?
A. संघर्ष की पद्धति और नेतृत्व के प्रश्न काMethod of struggle and question of leadership
उदारवादी और गरम दल स्वदेशी आंदोलन की रणनीति पर अलग सोच रखते थे। परीक्षा में सूरत विभाजन को कांग्रेस के भीतर वैचारिक संघर्ष मानें। / Moderates and Extremists differed over the strategy of the Swadeshi phase. Exam tip is to see the Surat Split as an ideological conflict within Congress.
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What was the main cause of the Surat Split of 1907?
A. उदारवादी और गरम दल के बीच रणनीति का मतभेदStrategic differences between Moderates and Extremists
सूरत में कांग्रेस के भीतर दो धाराओं का संघर्ष खुलकर सामने आया। परीक्षा में इसे कांग्रेस की आंतरिक राजनीति से जोड़ें। / At Surat the conflict between two groups within Congress became open. Exam tip is to link it with internal politics of Congress.
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What was the main cause of the Surat Split?
A. उदारवादी और उग्रवादी नेताओं के बीच मतभेदDifferences between Moderates and Extremists
सूरत विभाजन कांग्रेस के अंदर उदारवादी और उग्रवादी मतभेदों से हुआ। परीक्षा में 1907 को इस विभाजन से जोड़ें। / The Surat Split occurred due to differences between Moderates and Extremists within Congress. Exam tip: connect 1907 with this split.
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In which year did the Surat Split take place?
C. 1907
सूरत विभाजन 1907 में कांग्रेस के उदारवादी और गरम दल के बीच हुआ। परीक्षा में इसे कांग्रेस के आंतरिक मतभेद से जोड़ें। / The Surat Split took place in 1907 between Moderates and Extremists in Congress. Exam tip is to link it with internal differences in Congress.
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How did Congress weakness become clear after the Surat Split?
B. वह रणनीति और नेतृत्व विवाद को संभाल न सकीIt could not handle strategy and leadership disputes
सूरत विभाजन उदारवादी और गरम दल के मतभेदों का परिणाम था। परीक्षा में 1907 को कांग्रेस की आंतरिक चुनौती से जोड़ें। / The Surat Split resulted from differences between Moderates and Extremists. Exam tip is to link 1907 with Congress internal challenge.
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How did the Surat Split 1907 show Congress's organizational weakness?
A. वह रणनीति और नेतृत्व विवाद को संभालने में असफल रहीIt failed to manage conflict over strategy and leadership
उदारवादी और गरम दल के मतभेद खुलकर टूट में बदल गए। परीक्षा में इसे स्वदेशी काल के बाद की चुनौती समझें। / Differences between Moderates and Extremists openly turned into a split. Exam tip is to understand it as a challenge after the Swadeshi phase.
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If (p(x)=x-3-4x-2-7x+10) and (x-1) is a factor, what is the remaining quadratic factor?
A. \(x^2-3x-10\)
(p(x)) को (x-1) से भाग देने पर \(x^2-3x-10\) मिलता है। गुणा करके जाँचें कि ((x-1)\(x^2-3x-10\)=p(x))। / Dividing (p(x)) by (x-1) gives \(x^2-3x-10\). Verify by multiplying ((x-1)\(x^2-3x-10\)=p(x)).
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If (x-3) is a factor of (p(x)=x-3-5x-2+ax+12), what is the value of (a)?
A. (2)
गुणनखंड प्रमेय से (p(3)=0), इसलिए (27-45+3a+12=0) और (a=2)। परीक्षा में दिए गए गुणनखंड से मूल तुरंत रखिए। / By the factor theorem (p(3)=0), so (27-45+3a+12=0) and (a=2). In exams, substitute the zero from the given factor directly.
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If (p(x)=x-3-7x+6), which of the following is not a factor of (p(x))?
A. (x+3)
(p(-3)=-27+21+6=0), इसलिए (x+3) वास्तव में गुणनखंड है। सही जाँच में यह प्रश्न विकल्प-त्रुटि दिखाता है, इसलिए हर विकल्प को (p(a)) से जाँचें। / (p(-3)=-27+21+6=0), so (x+3) is actually a factor. This reveals an option error, so check each option using (p(a)).
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If (p(x)=x-3+3x-2-4x-12), which of the following is a factor?
A. (x+3)
(p(-3)=-27+27+12-12=0), इसलिए (x+3) गुणनखंड है। (x+a) के लिए (x=-a) रखकर जाँचें। / (p(-3)=-27+27+12-12=0), so (x+3) is a factor. For (x+a), test (x=-a).
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If (x-2) is a factor of (p(x)=x-3+kx-2-4x-4), what is the value of (k)?
A. (1)
गुणनखंड प्रमेय से (p(2)=0), इसलिए (8+4k-8-4=0) और (k=1)। परीक्षा में पहले दिए गए मूल को सीधे रखिए। / By factor theorem (p(2)=0), so (8+4k-8-4=0) and (k=1). In exams, substitute the given zero directly.
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What is obtained by taking the common factor from \(4x^5+12x^4\)?
A. (4x-4(x+3))
दोनों पदों में सामान्य गुणनखंड \(4x^4\) है। इसलिए रूप (4x-4(x+3)) है। / The common factor in both terms is \(4x^4\). Hence the form is (4x-4(x+3)).
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What is obtained by taking the common factor from \(3x^4+9x^3\)?
A. (3x-3(x+3))
दोनों पदों में सामान्य गुणनखंड \(3x^3\) है। इसलिए रूप (3x-3(x+3)) है। / The common factor in both terms is \(3x^3\). Hence the form is (3x-3(x+3)).
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What is obtained by taking the common factor from \(2x^3+6x^2\)?
A. (2x-2(x+3))
दोनों पदों में सामान्य गुणनखंड \(2x^2\) है। इसलिए रूप (2x-2(x+3)) है। / The common factor in both terms is \(2x^2\). Hence the form is (2x-2(x+3)).
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By taking common factor, how will \(4x^2+28x=0\) be written?
A. (4x(x+7)=0)
(4x) सामान्य गुणनखंड है, इसलिए (4x(x+7)=0) मिलता है। परीक्षा में सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड निकालें। / (4x) is the common factor, so (4x(x+7)=0). In exams, take out the greatest common factor.
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By taking common factor, how will \(5x^2+15x=0\) be written?
A. (5x(x+3)=0)
(5x) सामान्य गुणनखंड है, इसलिए (5x(x+3)=0) मिलता है। परीक्षा में सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड निकालें। / (5x) is the common factor, so (5x(x+3)=0). In exams, take out the greatest common factor.
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Which factor form can represent \(x^2+11x+30=0\)?
A. ((x+5)(x+6)=0)
\(5\cdot6=30\) और (5+6=11) है। इसलिए सही गुणनखंड ((x+5)(x+6)) हैं। / \(5\cdot6=30\) and (5+6=11). Therefore the correct factors are ((x+5)(x+6)).
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Which factor form can represent \(x^2+9x+20=0\)?
A. ((x+4)(x+5)=0)
\(4\cdot5=20\) और (4+5=9) है। इसलिए सही गुणनखंड ((x+4)(x+5)) हैं। / \(4\cdot5=20\) and (4+5=9). Therefore the correct factors are ((x+4)(x+5)).
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Which factor form can represent \(x^2+7x+12=0\)?
A. ((x+3)(x+4)=0)
(3) और (4) का गुणनफल (12) और योग (7) है। इसलिए ((x+3)(x+4)=0) सही है। / The product of (3) and (4) is (12), and their sum is (7). Therefore ((x+3)(x+4)=0) is correct.
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Which option is the factor form of \(x^2+x-12=0\)?
A. ((x+4)(x-3)=0)
((x+4)(x-3)) फैलाने पर \(x^2+x-12\) मिलता है। गुणनखंड जांचने के लिए विस्तार करें। / Expanding ((x+4)(x-3)) gives \(x^2+x-12\). To check factors, expand them.
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How do we write \(x^2-49=0\) in factor form?
A. ((x-7)(x+7)=0)
\(x^2-49\) वर्गों का अंतर है। इसलिए यह ((x-7)(x+7)) बनता है। / \(x^2-49\) is a difference of squares. Hence it becomes ((x-7)(x+7)).
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Which option shows \(x^2+10x+25=0\) in factor form?
A. ((x+5)2=0)
\(x^2+10x+25\) पूर्ण वर्ग है। यह ((x+5)2) के बराबर है। / \(x^2+10x+25\) is a perfect square. It equals ((x+5)2).
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Which option is the factor form of \(x^2-2x-15=0\)?
A. \((x-5)(x+3)=0\)
((x-5)(x+3)) फैलाने पर \(x^2-2x-15\) मिलता है। गुणनखंड जांचने के लिए विस्तार करें। / Expanding ((x-5)(x+3)) gives \(x^2-2x-15\). To check factors, expand them.
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How do we write \(x^2-16=0\) in factor form?
A. \((x-4)(x+4)=0\)
\(x^2-16\) वर्गों का अंतर है। इसलिए यह ((x-4)(x+4)) बनता है। / \(x^2-16\) is a difference of squares. Hence it becomes ((x-4)(x+4)).
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Which option shows \(x^2+6x+9=0\) in factor form?
A. \((x+3)^2=0\)
\(x^2+6x+9\) एक पूर्ण वर्ग है। यह ((x+3)2) के बराबर है। / \(x^2+6x+9\) is a perfect square. It equals ((x+3)2).
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A. (x-\(2-\sqrt{3}\))
साथी शून्यक \(2-\sqrt{3}\) होगा, इसलिए गुणनखंड (x-\(2-\sqrt{3}\)) है। परीक्षा में शून्यक और गुणनखंड का संबंध \(x-\alpha\) याद रखें। / The companion zero is \(2-\sqrt{3}\), so the factor is (x-\(2-\sqrt{3}\)). In exams remember the relation between a zero and factor as \(x-\alpha\).
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B. (273)
सरलतम हर से (3), (7) और (13) हटने चाहिए इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 7\cdot 13=273\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं। / The factors (3), (7), and (13) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(3\cdot 7\cdot 13=273\). Factors (2) and (5) may remain.
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B. (1539)
सरलतम हर से \(3^4\) और (19) हटने चाहिए इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(81\cdot 19=1539\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं। / The factors \(3^4\) and (19) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(81\cdot 19=1539\). Factors (2) and (5) may remain.
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B. (621)
सरलतम हर से \(3^3\) और (23) हटने चाहिए इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(27\cdot 23=621\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं। / The factors \(3^3\) and (23) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(27\cdot 23=621\). Factors (2) and (5) may remain.
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A. (153)
सरलतम हर से \(3^2\) और (17) हटने चाहिए, इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3^2\cdot 17=153\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं। / The factors \(3^2\) and (17) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(3^2\cdot 17=153\). Factors (2) and (5) may remain.
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B. (57)
हर में (2), (5), (3), और (19) हैं। / The denominator contains (2), (5), (3), and (19).
सांत दशमलव के लिए (3) और (19) कटने चाहिए। इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 19=57\) है। / For a terminating decimal, (3) and (19) must cancel. So the minimum factor is \(3\cdot 19=57\).
केवल (2) और (5) हर में रह सकते हैं। / Only (2) and (5) may remain in the denominator.
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If \(\frac{x}{540}\) has a terminating decimal expansion, what factor must (x) contain at minimum?
B. (27)
\(540=2^2\cdot 3^3\cdot 5\) है। / \(540=2^2\cdot 3^3\cdot 5\).
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर से \(3^3\) पूरी तरह कटना चाहिए। इसलिए (x) में (27) अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, \(3^3\) must cancel completely from the denominator. So (x) must contain (27).
(2) और (5) रह सकते हैं, पर (3) नहीं। / (2) and (5) may remain, but (3) must not.
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C. (231)
\(2310=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\) है। / \(2310=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\).
सांत दशमलव के लिए (3), (7), और (11) हर से कटने चाहिए। इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 7\cdot 11=231\) है। / For a terminating decimal, (3), (7), and (11) must cancel from the denominator. So the minimum factor is \(3\cdot 7\cdot 11=231\).
(2) और (5) रह सकते हैं, पर अन्य अभाज्य गुणनखंड नहीं। / (2) and (5) may remain, but other prime factors must not.
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If \(\frac{m}{735}\) has a terminating decimal expansion, what factor must (m) contain at minimum?
C. (147)
\(735=3\cdot 5\cdot 7^2\) है। / \(735=3\cdot 5\cdot 7^2\).
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में (3) और \(7^2\) नहीं बचने चाहिए। इसलिए (m) में \(3\cdot 7^2=147\) अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, (3) and \(7^2\) must not remain in the reduced denominator. So (m) must contain \(3\cdot 7^2=147\).
(5) हर में रह सकता है, पर (3) और (7) कटने चाहिए। / The factor (5) may remain, but (3) and (7) must cancel.
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If \(\frac{m}{56}\) has a terminating decimal expansion, which factor must (m) contain?
C. (7)
\(56=2^3\cdot 7\) है। / \(56=2^3\cdot 7\).
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में (7) नहीं बचना चाहिए। इसलिए (m) में (7) अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, (7) must not remain in the reduced denominator. Therefore (m) must contain (7).
हर से (2) और (5) के अलावा बाकी अभाज्य गुणनखंड कटवाएँ। / Cancel all denominator primes other than (2) and (5).
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If the reduced denominator contains the factor (17), what type of decimal expansion will occur?
B. असमाप्त आवर्तीNon-terminating recurring
(17) एक ऐसा अभाज्य है जो (2) या (5) नहीं है। / (17) is a prime other than (2) and (5).
सरलतम हर में (17) होने पर दशमलव समाप्त नहीं होगा। / If (17) remains in the reduced denominator, the decimal will not terminate.
परिमेय संख्या का ऐसा असमाप्त दशमलव आवर्ती होता है। / Such a non-terminating decimal of a rational number is recurring.
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B. असमाप्त आवर्तीNon-terminating recurring
सरलतम हर में (3) एक ऐसा अभाज्य है जो (2) या (5) नहीं है। / In the reduced denominator, (3) is a prime other than (2) and (5).
इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा, पर दोहराव आएगा। / So the decimal will not terminate but will repeat.
परिमेय संख्या का असमाप्त दशमलव हमेशा आवर्ती होता है। / A non-terminating decimal of a rational number is recurring.
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A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता हैBoth assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
समाप्त दशमलव के लिए सरल रूप का भाजक केवल (2) और (5) से बना होना चाहिए। / For a terminating decimal, the denominator in lowest form must be made only of (2) and (5).
यदि (7) बचा है, तो यह शर्त पूरी नहीं होती और दशमलव समाप्त नहीं होगा। / If (7) remains, this condition fails and the decimal will not terminate.
कारण कथन को ठीक से समझा रहा है, इसलिए पहला विकल्प सही है। / The reason correctly explains the assertion, so the first option is correct.
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B. असमाप्त आवर्तीNon-terminating recurring
समाप्त दशमलव के लिए भाजक में केवल (2) और (5) होने चाहिए। / For a terminating decimal, the denominator should have only (2) and (5).
(3) बचने पर दशमलव समाप्त नहीं होगा और परिमेय होने से आवर्ती होगा। / If (3) remains, the decimal will not terminate and will be recurring because the number is rational.
सरल रूप में बचे गुणनखंड ही निर्णय करते हैं। / The remaining factors in lowest form decide the result.
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A. पहले \(5\mid a\), फिर (a=5k) रखने से \(5\mid b\)First \(5\mid a\), then substituting (a=5k) gives \(5\mid b\)
\(a^2=5b^2\) से \(5\mid a\) मिलता है। / From \(a^2=5b^2\), \(5\mid a\).
(a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\)। / Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\).
अब (5) दोनों में साझा गुणनखंड बनकर विरोधाभास देता है। / Now (5) becomes a common factor and gives the contradiction.
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Which statement correctly tells the role of factor (2) in the proof of \(\sqrt{2}\)?
A. यह (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड बनकर विरोधाभास देता हैIt becomes a common factor of both (p) and (q) and gives contradiction
\(p^2=2q^2\) से पहले (p) में (2) का गुणनखंड आता है। / From \(p^2=2q^2\), factor (2) first appears in (p).
बाद में (q) में भी (2) का गुणनखंड मिलता है। / Later factor (2) also appears in (q).
दोनों में (2) साझा होना सहअभाज्य शर्त से टकराता है। / Common factor (2) contradicts the coprime condition.
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Which statement correctly states the prime factor rule?
A. यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती हैIf a prime divides a square, it also divides the original number
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में जोड़े में आते हैं। / Prime factors in a square occur in pairs.
यदि कोई अभाज्य \(p^2\) को विभाजित करता है, तो वह (p) को भी विभाजित करेगा। / If a prime divides \(p^2\), it also divides (p).
\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यह नियम जरूरी है। / This rule is needed in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\).
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Which prime factor plays the main role in proving \(\sqrt{3}\) irrational?
C. (3)
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}\) rational gives \(p^2=3q^2\).
यहां (3) का गुणनखंड ही (p) और (q) में साझा रूप से आता है। / The factor (3) appears commonly in (p) and (q).
जिस संख्या का वर्गमूल हो, वही मुख्य गुणनखंड बनती है। / The number under the square root becomes the key factor.
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In which proof is the prime factor (5) used mainly?
A. \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण मेंIn the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)
\(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर \(a^2=5b^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{5}\) rational gives \(a^2=5b^2\).
यहां (5) अभाज्य गुणनखंड मुख्य है। / Here prime factor (5) is the key.
इसी से दोनों संख्याओं में (5) साझा गुणनखंड मिलता है। / It leads to common factor (5) in both numbers.
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In which proof is the prime factor (3) used mainly?
A. \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण मेंIn the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(a^2=3b^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}\) rational gives \(a^2=3b^2\).
इसलिए (3) का गुणनखंड प्रमाण का मुख्य आधार बनता है। / So factor (3) becomes the main base of the proof.
इसी से (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। / It shows both (a) and (b) divisible by (3).
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In which proof is the prime factor (2) used mainly?
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण मेंIn the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(a^2=2b^2\) मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), we get \(a^2=2b^2\).
इसलिए (2) का गुणनखंड मुख्य भूमिका निभाता है। / So the factor (2) plays the main role.
जिस संख्या का वर्गमूल हो, वही गुणनखंड प्रमाण में आता है। / The number under the square root appears as the key factor in the proof.
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A. (2)
सम संख्या हमेशा (2) से विभाज्य होती है। / An even number is always divisible by (2).
दोनों सम हैं, इसलिए (2) दोनों का साझा गुणनखंड है। / Both are even, so (2) is their common factor.
साझा गुणनखंड मिलना सरलतम रूप की शर्त से टकराता है। / Finding a common factor contradicts the lowest-form condition.
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Two numbers are (180) and (252). What is their HCF in prime factor form?
A. \(2^2\times3^2\)
पहले दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें। / Write both numbers in prime factor form.
\(180=2^2\times3^2\times5\) और \(252=2^2\times3^2\times7\), इसलिए समान छोटी घातें \(2^2\times3^2\) हैं। / \(180=2^2\times3^2\times5\) and \(252=2^2\times3^2\times7\), so the common smaller powers give \(2^2\times3^2\).
महत्तम समापवर्तक में (5) या (7) जैसे असमान गुणनखंड न लें। / Do not include non-common factors like (5) or (7) in HCF.
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What will be the greatest odd factor of \(2^3 \times 3^2 \times 5^2\)?
C. 225
विषम गुणनखंड में (2) नहीं होना चाहिए। / An odd factor must not contain (2).
\(2^3\) हटाने पर \(3^2 \times 5^2=9 \times 25=225\) बचता है। / Removing \(2^3\) leaves \(3^2 \times 5^2=9 \times 25=225\).
सबसे बड़ा विषम गुणनखंड पाने के लिए सभी (2) हटा दें। / To get the greatest odd factor, remove all powers of (2).
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What is the greatest prime factor of \(2^2 \times 3^3 \times 11\)?
D. 11
अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याएं होती हैं। / Prime factors are the base numbers.
यहां अभाज्य आधार (2,3,11) हैं, जिनमें सबसे बड़ा (11) है। / The prime bases here are (2,3,11), and the greatest is (11).
(9) जैसे संयुक्त मान को अभाज्य गुणनखंड न मानें। / Do not treat a composite value like (9) as a prime factor.
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What will be the greatest odd factor of \(2^2 \times 3^3 \times 5\)?
C. 135
विषम गुणनखंड में (2) नहीं होना चाहिए। / An odd factor must not contain (2).
\(2^2\) हटाने पर \(3^3 \times 5=27 \times 5=135\) बचता है। / After removing \(2^2\), we get \(3^3 \times 5=27 \times 5=135\).
सबसे बड़ा विषम गुणनखंड पाने के लिए सभी (2) हटा दें। / To get the greatest odd factor, remove all powers of (2).
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What is the greatest prime factor of \(2^3 \times 3^2 \times 5\)?
C. 5
अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याएं होती हैं। / Prime factors are the base numbers.
यहां अभाज्य आधार (2,3,5) हैं, जिनमें सबसे बड़ा (5) है। / The prime bases here are (2,3,5), and the greatest is (5).
(9) जैसी संख्या को अभाज्य गुणनखंड न मानें। / Do not treat a number like (9) as a prime factor.
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What is the greatest prime factor of \(2^3 \times 3 \times 5\)?
C. 5
अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याएं हैं। / The prime factors are the base numbers.
यहां (2,3,5) अभाज्य गुणनखंड हैं, इनमें सबसे बड़ा (5) है। / Here (2,3,5) are prime factors, and the greatest is (5).
सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड पूछे जाने पर संयुक्त संख्या को विकल्प न चुनें। / When the greatest prime factor is asked, do not choose a composite number.
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What is the smallest prime factor of \(2^3 \times 3^2\)?
A. 2
अभाज्य गुणनखंडन में आधार संख्याएं अभाज्य गुणनखंड होती हैं। / The bases in prime factorisation are the prime factors.
यहां आधार (2) और (3) हैं, इनमें सबसे छोटा (2) है। / Here the bases are (2) and (3), and the smallest is (2).
सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड खोजते समय घातों को न देखें। / To find the smallest prime factor, do not focus on exponents.
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What is the greatest odd factor of \(2^5 \times 3\)?
A. 3
विषम गुणनखंड में (2) नहीं होना चाहिए। / An odd factor must not contain (2).
\(2^5\) को हटाने पर केवल (3) बचता है, इसलिए सबसे बड़ा विषम गुणनखंड (3) है। / Removing \(2^5\) leaves only (3), so the greatest odd factor is (3).
सबसे बड़े विषम गुणनखंड के लिए सभी (2) हटा दें। / For the greatest odd factor, remove all powers of (2).
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What is the greatest odd factor of \(2^3 \times 3^2 \times 5\)?
A. 45
विषम गुणनखंड में (2) नहीं होना चाहिए। / An odd factor must not contain (2).
सबसे बड़ा विषम गुणनखंड पाने के लिए \(2^3\) हटाकर \(3^2 \times 5=9 \times 5=45\) लें। / Remove \(2^3\) and keep \(3^2 \times 5=45\).
विषम गुणनखंडों में सभी (2) हटा दें। / For the greatest odd factor, remove all powers of (2).
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If \(N=2^4 \times 3^3 \times 7\), what is the smallest prime factor of (N)?
A. (2)
अभाज्य गुणनखंडन में लिखी सभी संख्याएं अभाज्य गुणनखंड होती हैं। / The bases in prime factorisation are the prime factors.
(2,3,7) में सबसे छोटी अभाज्य संख्या (2) है। / Among (2,3,7), the smallest prime number is (2).
सबसे छोटे गुणनखंड के लिए घात नहीं, आधार संख्या देखें। / For the smallest prime factor, look at the base, not the exponent.
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Which of the following was not a factor that increased conflict in the Balkans?
D. सभी समुदायों का एक ही राष्ट्रीय लक्ष्य पर पूर्ण सहमत होनाComplete agreement of all communities on one national goal
जातीय राष्ट्रवाद, ओटोमन पतन और बड़ी शक्तियों की होड़ ने संघर्ष बढ़ाया। / Ethnic nationalism, Ottoman decline, and great power rivalry increased conflict.
सभी समुदायों की पूर्ण सहमति होती तो संघर्ष कम होता। / Complete agreement among all communities would have reduced conflict.
इसलिए चौथा विकल्प संघर्ष बढ़ाने वाला कारण नहीं है। / Therefore, the fourth option was not a factor increasing conflict.
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Which factor mainly contributes to the broken nature of the Eastern Ghats?
A. प्रायद्वीपीय नदियों द्वारा कटावCutting by peninsular rivers
पूर्वी घाट महानदी गोदावरी कृष्णा और कावेरी जैसी नदियों से कटते हैं। परीक्षा में पूर्वी घाट को असतत पर्वत श्रृंखला मानें। / The Eastern Ghats are cut by rivers such as Mahanadi, Godavari, Krishna, and Cauvery. For exams, consider the Eastern Ghats a discontinuous range.
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What decisive factor separates Narmada and Tapi from east flowing Peninsular rivers?
A. दरार घाटियों से पश्चिम की ओर अरब सागर तक बहनाFlowing westward through rift valleys to the Arabian Sea
नर्मदा और तापी पश्चिममुखी और दरार घाटी से जुड़ी नदियां हैं। परीक्षा में इन्हें अपवाद के रूप में याद रखें। / Narmada and Tapi are west flowing rivers linked with rift valleys. For exams remember them as exceptions.
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Agricultural usefulness of doabs is most linked with which physical factor?
A. दो नदियों के बीच जलोढ़ मिट्टीAlluvial soil between two rivers
दोआब दो नदियों के बीच की उपजाऊ जलोढ़ भूमि है। परीक्षा में गंगा यमुना दोआब को उदाहरण मानें। / A doab is fertile alluvial land between two rivers. For exams take Ganga Yamuna Doab as an example.
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Which factor along with rock cut architecture increases Petra's historical importance?
B. नबातियन जल प्रबंधन और व्यापार मार्गNabataean water management and trade routes
पेट्रा रेगिस्तान में जल प्रबंधन और व्यापार नियंत्रण का उत्कृष्ट उदाहरण है। परीक्षा में नबातियन और जॉर्डन याद रखें। / Petra is an outstanding example of desert water management and trade control. For exams remember Nabataean and Jordan.
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Which factor was very important in opposition to the Pahlavi regime during the Iranian Revolution?
B. राजनीतिक दमन सांस्कृतिक असंतोष और धार्मिक नेतृत्व का गठबंधनCombination of political repression cultural discontent and religious leadership
ईरानी क्रांति कई असंतोषों और धार्मिक नेतृत्व के संगठित प्रभाव से बढ़ी। परीक्षा में इसे एक बहुकारक क्रांति के रूप में समझें। / The Iranian Revolution grew through many discontents and organized religious leadership. In exams, understand it as a multi-causal revolution.
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Why can civilian morale in the Battle of Britain be treated as a military factor?
A. क्योंकि मनोबल ने सरकार की लड़ाई जारी रखने की क्षमता को सहारा दियाBecause morale supported the government's ability to continue fighting
आधुनिक युद्ध में नागरिक मनोबल राज्य की युद्ध क्षमता से जुड़ जाता है। परीक्षा में गृह मोर्चे को रणनीति से जोड़ें। / In modern war civilian morale becomes linked with the state's war capacity. For exams connect the home front with strategy.
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Which geographical factor was important in the rise of Magadha?
A. लोहे और उपजाऊ भूमि की उपलब्धताAvailability of iron and fertile land
मगध को लोहे और उपजाऊ गंगा मैदान का लाभ मिला। परीक्षा में भूगोल को राजनीतिक शक्ति से जोड़ें। / Magadha benefited from iron and the fertile Ganga plains. For exams, connect geography with political power.
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If (p(x)=x-3-1), which of the following is a linear factor?
A. (x-1)
(x-3-1=(x-1)\(x^2+x+1\)) है। इसलिए (x-1) रैखिक गुणनखंड है। / (x-3-1=(x-1)\(x^2+x+1\)). Therefore (x-1) is a linear factor.
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If (p(x)=x-3-3x-2-4x+12), what is the complete factor form?
A. ((x-3)(x-2)(x+2))
समूहीकरण से (x-2(x-3)-4(x-3)=(x-3)\(x^2-4\)) मिलता है। इसलिए गुणनखंड ((x-3)(x-2)(x+2)) हैं। / By grouping, (x-2(x-3)-4(x-3)=(x-3)\(x^2-4\)). Thus the factors are ((x-3)(x-2)(x+2)).
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If (p(x)=x-2+2x-24), which is a factor of (p(x))?
A. (x-4)
(x-2+2x-24=(x-4)(x+6)) है। इसलिए (x-4) एक गुणनखंड है। / (x-2+2x-24=(x-4)(x+6)). Therefore (x-4) is a factor.
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If (p(x)=x-3+x-2-10x+8) and (x=1) is a zero, what is the remaining quadratic factor?
A. \(x^2+2x-8\)
(x=1) शून्यक होने से (x-1) गुणनखंड है। भाग देने पर \(x^2+2x-8\) मिलता है। / Since (x=1) is a zero, (x-1) is a factor. Division gives \(x^2+2x-8\).
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If (x+2) is a factor of (p(x)=x-3+mx-2-4x-4), what is (m)?
A. (1)
(p(-2)=0) रखने पर (-8+4m+8-4=0) मिलता है। इससे (4m-4=0) और (m=1) है। / Putting (p(-2)=0) gives (-8+4m+8-4=0). Thus (4m-4=0), so (m=1).
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Which is a factor of \(2x^3-9x^2+13x-6\)?
A. (x-1)
(p(1)=2-9+13-6=0) है इसलिए (x-1) गुणनखंड है। विकल्प जांच में छोटे मान पहले लगाएं। / (p(1)=2-9+13-6=0), so (x-1) is a factor. In option checking, try small values first.
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Which one is not a linear factor of \(x^4-1\)?
C. \(x^2+1\)
\(x^2+1\) रैखिक नहीं है क्योंकि उसकी घात (2) है। वास्तविक संख्याओं में इसे रैखिक गुणनखंड नहीं माना जाता। / \(x^2+1\) is not linear because its degree is (2). Over real numbers, it is not a linear factor.
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If (x+1) is a factor of \(2x^3+kx^2-5x+2\), what is the correct value of (k)?
A. (-5)
(p(-1)=0) रखने पर (-2+k+5+2=0) मिलता है। इसलिए (k=-5) सही है। / Putting (p(-1)=0) gives (-2+k+5+2=0). Therefore, (k=-5) is correct.
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If (x+1) is a factor of \(2x^3+kx^2-5x+2\), what is (k)?
A. (5)
(x+1) गुणनखंड होने पर (p(-1)=0) होगा। (-2+k+5+2=0) से (k=-5) नहीं बल्कि (k=-5) मिलता है। / If (x+1) is a factor, then (p(-1)=0). From (-2+k+5+2=0), we get (k=-5).
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If (p(x)=x-3-3x-2-4x+12), which is a factor of (p(x))?
A. (x-2)
(p(2)=8-12-8+12=0) है इसलिए (x-2) गुणनखंड है। गुणनखंड प्रमेय का प्रयोग करें। / Since (p(2)=8-12-8+12=0), (x-2) is a factor. Use the factor theorem.
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If (7) is a root of a quadratic polynomial, which factor is certain?
B. (x-7)
मूल (r) होने पर गुणनखंड (x-r) होता है। (r=7) के लिए गुणनखंड (x-7) होगा। / If the root is (r), the factor is (x-r). For (r=7), the factor is (x-7).
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If (x-9) is a factor of a quadratic polynomial, which root is certain?
A. (9)
(x-9=0) करने पर (x=9) मिलता है। इसलिए निश्चित मूल (9) है। / Solving (x-9=0) gives (x=9). Therefore the certain root is (9).
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If (-3) is a root of a quadratic polynomial, which factor is certain?
B. (x+3)
मूल (r) होने पर गुणनखंड (x-r) होता है। (r=-3) के लिए गुणनखंड (x+3) होगा। / If the root is (r), the factor is (x-r). For (r=-3), the factor is (x+3).
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If (x+5) is a factor of a quadratic polynomial, which root is certain?
B. (-5)
(x+5=0) करने पर (x=-5) मिलता है। इसलिए निश्चित मूल (-5) है। / Solving (x+5=0) gives (x=-5). Therefore the certain root is (-5).
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If (2) is a root of a quadratic polynomial then which factor is certain?
B. (x-2)
मूल (2) होने पर संबंधित गुणनखंड (x-2) होता है। मूल (r) के लिए गुणनखंड (x-r) याद रखें। / If the root is (2) the corresponding factor is (x-2). For root (r) remember the factor (x-r).
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If (x-a) is a factor of a quadratic polynomial then what is (a)?
B. मूलRoot
गुणनखंड (x-a) होने पर (x=a) रखने से मान (0) होता है। इसलिए (a) मूल है। / If (x-a) is a factor then substituting (x=a) makes the value (0). So (a) is a root.
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C. (13)
हर में (2), (5), और (13) हैं। / The denominator contains (2), (5), and (13).
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में (13) नहीं बचना चाहिए। इसलिए (a) में (13) का गुणनखंड अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, (13) must not remain in the reduced denominator. So (a) must contain the factor (13).
(2) और (5) रह सकते हैं, पर अन्य अभाज्य गुणनखंड कटने चाहिए। / Powers of (2) and (5) may remain, but other prime factors must cancel.
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A. \(3^2\)
\(180=2^2\cdot 3^2\cdot 5\) है। / \(180=2^2\cdot 3^2\cdot 5\).
सांत दशमलव के लिए सरलतम रूप में हर से \(3^2\) पूरी तरह कटना चाहिए। इसलिए (n) में \(3^2\) अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, \(3^2\) must cancel completely from the denominator. So (n) must contain \(3^2\).
हर के (2) और (5) नहीं, बल्कि अन्य अभाज्य गुणनखंडों को हटाना जरूरी होता है। / Focus on removing denominator primes other than (2) and (5).
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B. असमाप्त आवर्ती होगाIt will be non-terminating recurring
(13) न तो (2) है और न (5)। / (13) is neither (2) nor (5).
सरलतम हर में (13) रहने पर दशमलव समाप्त नहीं हो सकता। / If (13) remains in the reduced denominator, the decimal cannot terminate.
परिमेय संख्या होने से ऐसा असमाप्त दशमलव आवर्ती होगा। / Since it is rational, the non-terminating decimal will be recurring.
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B. यह असमाप्त आवर्ती होगाIt will be non-terminating recurring
(11) न तो (2) है और न (5)। / (11) is neither (2) nor (5).
सरलतम हर में (11) रहने पर दशमलव समाप्त नहीं हो सकता। / If (11) remains in the reduced denominator, the decimal cannot terminate.
परिमेय संख्या होने से उसका असमाप्त दशमलव आवर्ती होगा। / Since the number is rational, its non-terminating decimal will be recurring.
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B. असमाप्त आवर्तीNon-terminating recurring
\(36=2^2\times3^2\) है। / \(36=2^2\times3^2\).
भिन्न सबसे सरल रूप में है, इसलिए हर में \(3^2\) बचा रहेगा। / Since the fraction is in lowest form, \(3^2\) remains in the denominator.
परीक्षा सुझाव: सरल रूप में (3) बचने पर दशमलव समाप्त नहीं होता। / Exam tip: If factor (3) remains in the reduced denominator, the decimal does not terminate.
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