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A. उन्होंने संसाधन राज्य नियंत्रण और स्थानीय आजीविका के संघर्ष को दिखाया/They showed conflict among resource state control and local livelihood
Explanation
Simple Explanation
वन कानूनों से पर्यावरण और सत्ता का संबंध स्पष्ट होता है। परीक्षा में वन राजस्व और स्थानीय अधिकार याद रखें। / Forest laws clarify the relation between environment and power. For exams remember forest revenue and local rights.
A. जैविक आकार हरे शांत रंग और खुला स्थान/Organic shapes calm green colours and open space
Explanation
Simple Explanation
पर्यावरण संदेश में प्राकृतिक संकेत उपयोगी हैं। परीक्षा में theme based element choice करें। / Natural cues are useful in environmental message. Exam tip: make theme-based element choice.
A. क्योंकि वह प्रकृति का सीधा संकेत देता है/Because it directly suggests nature
Explanation
Simple Explanation
जैविक आकार प्राकृतिक संदेश को मजबूत करता है। परीक्षा में symbol में shape meaning देखें। / Organic shape strengthens natural message. Exam tip: observe shape meaning in symbol.
A. प्राकृतिक भाव कमजोर हो सकता है/Natural feeling may weaken
Explanation
Simple Explanation
रंग और सतह का भाव संदेश से मेल होना चाहिए। परीक्षा में message based colour choice देखें। / Mood of colour and surface should match message. Exam tip: observe message-based colour choice.
A. जैविक आकार हरे समानांतर रंग और खुला स्थान/Organic shapes green analogous colours and open space
Explanation
Simple Explanation
प्राकृतिक संदेश के लिए जैविक रूप और हरे शांत रंग उपयुक्त हैं। परीक्षा में message based elements चुनें। / Organic forms and calm green colours suit natural message. Exam tip: choose message-based elements.
D. आर्द्रभूमि और पक्षी आवास/Wetlands and bird habitats
Explanation
Simple Explanation
दीपोर बील और नलसरोवर पक्षियों और जैव विविधता से जुड़ी आर्द्रभूमियां हैं। परीक्षा में आर्द्रभूमि को पर्यावरण से जोड़ें। / Deepor Beel and Nalsarovar are wetlands linked with birds and biodiversity. For exams connect wetlands with environment.
C. आर्द्रभूमि और पक्षी आवास/Wetlands and bird habitats
Explanation
Simple Explanation
दीपोर बील और नलसरोवर पक्षियों और जैव विविधता से जुड़ी आर्द्रभूमियां हैं। परीक्षा में आर्द्रभूमि को पर्यावरण से जोड़ें। / Deepor Beel and Nalsarovar are wetlands linked with birds and biodiversity. For exams connect wetlands with environment.
A. आर्द्रभूमि और पक्षी आवास/Wetlands and bird habitats
Explanation
Simple Explanation
नलसरोवर और दीपोर बील आर्द्रभूमि और पक्षी आवास के रूप में महत्वपूर्ण हैं। परीक्षा में आर्द्रभूमि को जैव विविधता से जोड़ें। / Nalsarovar and Deepor Beel are important as wetlands and bird habitats. For exams connect wetlands with biodiversity.
A. ज्वारीय खारा दलदली जल/Tidal saline marshy water
Explanation
Simple Explanation
सुंदरवन ज्वारीय और खारे डेल्टा में विकसित मैंग्रोव क्षेत्र है। परीक्षा में ज्वार खारापन और मैंग्रोव संबंध याद रखें। / Sundarbans is a mangrove area in a tidal saline delta. For exams remember the tide salinity and mangrove link.
A. पश्चिमी राजस्थान की शुष्कता/Aridity of western Rajasthan
Explanation
Simple Explanation
लूनी शुष्क क्षेत्र में बहती है और स्पष्ट समुद्री डेल्टा नहीं बनाती। परीक्षा में लूनी को थार से जोड़ें। / Luni flows in a dry region and does not form a clear marine delta. For exams link Luni with Thar.
A. सीढ़ीदार खेती और किलेबंद गांव/Terraced farming and fortified villages
Explanation
Simple Explanation
कोनसो में कठोर भूभाग में टिकाऊ कृषि और सामाजिक संगठन दिखता है। परीक्षा में सांस्कृतिक परिदृश्य याद रखें। / Konso shows sustainable agriculture and social organization in difficult terrain. For exams remember cultural landscape.
A. राजकीय उद्यान सिंचाई और नदी परिदृश्य का मेल/Combination of royal gardens irrigation and river landscape
Explanation
Simple Explanation
अरांह्वेस स्पेन में राजकीय उद्यान और जल परिदृश्य का उदाहरण है। परीक्षा में सांस्कृतिक परिदृश्य याद रखें। / Aranjuez in Spain is an example of royal gardens and water landscape. For exams remember cultural landscape.
A. खनन भूमि क्षति श्रम शोषण और विस्थापन से जुड़ सकता था/Mining could be linked with land damage labour exploitation and displacement
Explanation
Simple Explanation
औपनिवेशिक खनन संसाधन दोहन और स्थानीय जीवन के बदलाव से जुड़ा था। परीक्षा में पर्यावरण और समाज दोनों लिखें। / Colonial mining was linked with resource extraction and changes in local life. For exams write both environment and society.
A. फसलों पशुओं रोगों और जनसंख्या परिवर्तन के प्रसार से/Through spread of crops animals diseases and demographic change
Explanation
Simple Explanation
कोलंबियाई विनिमय ने समाज और पर्यावरण दोनों को बदला। परीक्षा में जैविक और आर्थिक प्रभाव साथ पढ़ें। / The Columbian Exchange changed both society and environment. For exams study biological and economic effects together.
B. क्योंकि संसाधन दोहन आर्थिक लाभ के लिए किया गया/Because resource extraction was done for economic profit
Explanation
Simple Explanation
खनन वन कटाई और बागान विस्तार औपनिवेशिक अर्थव्यवस्था से जुड़े थे। परीक्षा में संसाधन दोहन लिखें। / Mining deforestation and plantation expansion were linked with colonial economy. For exams write resource extraction.
A. खनन वन कटाई और बागान विस्तार आर्थिक लाभ के लिए किए गए/Mining deforestation and plantation expansion were done for economic profit
Explanation
Simple Explanation
औपनिवेशिक अर्थव्यवस्था ने पर्यावरण और आजीविका दोनों को प्रभावित किया। परीक्षा में संसाधन दोहन लिखें। / Colonial economy affected both environment and livelihoods. For exams write resource extraction.
A. क्योंकि संसाधन दोहन ने वन भूमि और आजीविका को प्रभावित किया/Because resource extraction affected forests land and livelihoods
Explanation
Simple Explanation
पर्यावरणीय दृष्टि से औपनिवेशिक आर्थिक प्रभाव अधिक स्पष्ट होते हैं। परीक्षा में संसाधन और समाज साथ पढ़ें। / Environmental view makes colonial economic effects clearer. For exams study resources and society together.
A. वन खनन और बागान नियंत्रण से आजीविका प्रभावित हो सकती थी/Forest mining and plantation control could affect livelihoods
Explanation
Simple Explanation
संसाधन दोहन ने पर्यावरण और समाज दोनों को प्रभावित किया। परीक्षा में स्थानीय समुदायों पर प्रभाव लिखें। / Resource extraction affected both environment and society. For exams write impact on local communities.
A. संसाधन दोहन आर्थिक लाभ के लिए ही किया जाता था/Resource extraction was done for economic profit
Explanation
Simple Explanation
खनन वन कटाई और बागान विस्तार आर्थिक हितों से जुड़े थे। परीक्षा में पर्यावरण और अर्थव्यवस्था साथ पढ़ें। / Mining deforestation and plantation expansion were linked with economic interests. For exams study environment and economy together.
A. खनन वन कटाई और बागान विस्तार/Mining deforestation and plantation expansion
Explanation
Simple Explanation
संसाधन दोहन ने स्थानीय पर्यावरण और आजीविका को प्रभावित किया। परीक्षा में पर्यावरणीय प्रभाव भी शामिल करें। / Resource extraction affected local environment and livelihoods. For exams include environmental effects too.
A. खनन वन कटाई और संसाधन दोहन से/Mining deforestation and resource extraction
Explanation
Simple Explanation
संसाधन दोहन से वन भूमि और स्थानीय जीवन प्रभावित हो सकते थे। परीक्षा में पर्यावरणीय प्रभाव भी पढ़ें। / Resource extraction could affect forests land and local life. For exams study environmental effects too.
A. क्योंकि रासायनिक उर्वरक पानी उपयोग और मिट्टी पर प्रभाव की चिंता रही/Because there were concerns about chemical fertilizers water use and soil impact
Explanation
Simple Explanation
उत्पादन वृद्धि के साथ संसाधन दबाव की चिंता भी बनी। परीक्षा में लाभ और पर्यावरणीय सीमा दोनों लिखें। / Along with production growth concern over resource pressure remained. For exams write both benefits and environmental limits.
यह समिति 1972 में बनाई गई थी। इसे भारत में औपचारिक पर्यावरण योजना की शुरुआत से जोड़ें। / This committee was set up in 1972. Link it with the beginning of formal environmental planning in India.
पंच महल की खुली रचना वायु संचार और विश्राम के लिए उपयुक्त थी। परीक्षा में इसे अकबर के महल परिसर से जोड़ें। / The open design of Panch Mahal suited ventilation and leisure. In exams connect it with Akbar's palace complex.
B. क्योंकि बिश्नोई समुदाय ने पेड़ों की रक्षा के लिए सामूहिक बलिदान दिया/Because the Bishnoi community made collective sacrifice to protect trees
Explanation
Simple Explanation
खेजरली घटना अमृता देवी और बिश्नोई परंपरा से जुड़ी थी। परीक्षा में पुराने और आधुनिक पर्यावरण आंदोलनों को साथ पढ़ें। / The Khejarli incident was linked with Amrita Devi and the Bishnoi tradition. Exam tip: study old and modern environmental movements together.
A. बिश्नोई समुदाय ने खेजड़ी वृक्षों की रक्षा के लिए प्राण दिए/The Bishnoi community sacrificed lives to protect Khejri trees
Explanation
Simple Explanation
खेजरली घटना अमृता देवी और बिश्नोई परंपरा से जुड़ी है। परीक्षा में पुराने पर्यावरण उदाहरण याद रखें। / The Khejarli incident is linked with Amrita Devi and Bishnoi tradition. Exam tip: remember old environmental examples.
A. क्योंकि बिश्नोई समुदाय ने पेड़ों की रक्षा के लिए बलिदान दिया/Because the Bishnoi community sacrificed lives to protect trees
Explanation
Simple Explanation
खेजरली घटना प्रकृति संरक्षण के बलिदान का उदाहरण है। परीक्षा में अमृता देवी और खेजड़ी वृक्ष याद रखें। / The Khejarli incident is an example of sacrifice for nature conservation. Exam tip: remember Amrita Devi and Khejri trees.
A. क्योंकि यह वन संरक्षण और पेड़ों की रक्षा से जुड़ा था/Because it was linked with forest conservation and tree protection
Explanation
Simple Explanation
अप्पिको आंदोलन चिपको से प्रेरित वन संरक्षण आंदोलन माना जाता है। परीक्षा में दोनों का क्षेत्र अलग याद रखें। / Appiko is considered a forest conservation movement inspired by Chipko. Exam tip: remember different regions of both.
A. क्योंकि लोगों ने खेजड़ी वृक्षों की रक्षा के लिए बलिदान दिया/Because people sacrificed their lives to protect Khejri trees
Explanation
Simple Explanation
खेजरली घटना बिश्नोई परंपरा और अमृता देवी से जुड़ी है। परीक्षा में प्रकृति संरक्षण के उदाहरण याद रखें। / The Khejarli incident is linked with Bishnoi tradition and Amrita Devi. Exam tip: remember examples of nature conservation.
A. जैव विविधता और वन क्षेत्र की रक्षा/Protection of biodiversity and forest area
Explanation
Simple Explanation
साइलेंट वैली आंदोलन केरल के वन और जैव विविधता से जुड़ा था। परीक्षा में पर्यावरण आंदोलन याद रखें। / Silent Valley Movement was linked with forests and biodiversity of Kerala. Exam tip: remember environmental movements.
खेजरली घटना बिश्नोई समुदाय के पेड़ संरक्षण से जुड़ी थी। परीक्षा में अमृता देवी और खेजड़ी वृक्ष याद रखें। / The Khejarli incident was linked with tree protection by the Bishnoi community. Exam tip: remember Amrita Devi and Khejri trees.
A. शुष्क क्षेत्र में पानी संरक्षण/Water conservation in an arid region
Explanation
Simple Explanation
धौलावीरा में जलाशय शुष्क पर्यावरण में जल संरक्षण की उच्च योजना दिखाते हैं। परीक्षा में पर्यावरण और नगर योजना को साथ पढ़ें। / Reservoirs at Dholavira show advanced water planning in an arid environment. For exams, study environment and town planning together.
A. ठंडे क्षेत्र में रहने की व्यवस्था/Living arrangement in a cold region
Explanation
Simple Explanation
बुर्जहोम के गड्ढा घर कश्मीर के ठंडे वातावरण में रहने की पद्धति दिखाते हैं। परीक्षा में स्थल को पर्यावरण से जोड़ें। / Burzahom pit dwellings show a living method in Kashmir's cold environment. For exams, connect site with environment.
((x-a)(x-b)(x-c)) फैलाने पर पहला रूप मिलता है। शून्यकों और गुणनखंडों का संबंध याद रखें। / Expanding ((x-a)(x-b)(x-c)) gives the first form. Remember the link between zeroes and factors.
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंडों के छोटे घातांक आते हैं। / HCF takes the smaller exponents of common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
महत्तम समापवर्तक \(2^4\times 3^2\) होगा। पुनरावृत्ति सहित कुल अभाज्य गुणनखंड (4+2=6) हैं। / The HCF is \(2^4\times 3^2\). Counting repetition, the total number of prime factors is (4+2=6).
Step 3
Exam Tip
पहले महत्तम समापवर्तक बनाइए, फिर घातांकों का योग लीजिए। / First form the HCF, then add its exponents.
सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / An even factor must have exponent of (2) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (1,2,3) के (3) विकल्प, (3) की घात (0,1,2) के (3) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(3 \times 3 \times 2=18\)। / (2) has (3) choices (1,2,3), (3) has (3) choices (0,1,2), and (5) has (2) choices (0,1). Total (18).
Step 3
Exam Tip
सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात (0) न लें। / While counting even factors, do not take exponent (0) for (2).
पहली संख्या के आधार (2,3,5) हैं। / The bases of the first number are (2,3,5).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी संख्या के आधार (2,3,7) हैं, इसलिए समान अभाज्य (2) और (3) हैं। / The bases of the second number are (2,3,7), so the common primes are (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
समान गुणनखंडों में वही आधार लें जो दोनों में हों। / For common factors, choose bases present in both numbers.
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए (0,2,4) के (3) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (7) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(3 \times 2 \times 1=6\)। / For (2), choices are (0,2,4), giving (3) choices; for (3), choices are (0,2), giving (2); for (7), only (0), giving (1). Total (6).
Step 3
Exam Tip
सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें। / Count even exponent choices separately.
(3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / A factor divisible by (3) must have the exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात के (0) से (4) तक (5) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2,3) के (3) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 3=15\)। / The exponent of (2) has (5) choices from (0) to (4), and the exponent of (3) has (3) choices (1,2,3). Total \(5 \times 3=15\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले गुणनखंडों में घात की सीमा बदलकर गिनें। / In conditional factor counting, adjust exponent limits.
सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / An even factor must have exponent of (2) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (1,2) के (2) विकल्प, (3) की घात (0,1) के (2) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\)। / The exponent of (2) has (2) choices (1,2), while (3) has (2) choices and (5) has (2) choices. Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात शून्य न लें। / While counting even factors, do not take exponent (0) for (2).
पहली संख्या के आधार (2,3,5) हैं। / The bases of the first number are (2,3,5).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी संख्या के आधार (2,3,7) हैं, इसलिए समान अभाज्य (2) और (3) हैं। / The bases of the second number are (2,3,7), so the common primes are (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
समान गुणनखंडों में केवल दोनों में मौजूद आधार चुनें। / For common factors, choose only bases present in both numbers.
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए घात (0,2,4) के (3) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (5) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(3 \times 2 \times 1=6\)। / For (2), choices are (0,2,4), so (3); for (3), choices are (0,2), so (2); for (5), only (0), so (1). Total \(3 \times 2 \times 1=6\).
Step 3
Exam Tip
सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें। / Count even exponent choices separately.
(3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / A factor divisible by (3) must have exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात के (0) से (5) तक (6) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2) के (2) विकल्प हैं। कुल \(6 \times 2=12\)। / The exponent of (2) has (6) choices from (0) to (5), and the exponent of (3) has (2) choices (1,2). Total \(6 \times 2=12\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले प्रश्न में घातों की सीमा सावधानी से बदलें। / In condition-based questions, adjust exponent limits carefully.
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए घात (0,2) के (2) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (5) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(2 \times 2 \times 1=4\)। / For (2), choices are (0,2), so (2) choices; for (3), choices are (0,2), so (2) choices; for (5), only (0), so (1) choice. Total \(2 \times 2 \times 1=4\).
Step 3
Exam Tip
सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें। / Count even exponent choices separately.
(3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होगी। / A factor divisible by (3) must have exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात के (0,1,2) यानी (3) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2,3) यानी (3) विकल्प हैं। कुल \(3 \times 3=9\)। / The exponent of (2) has (3) choices (0,1,2), and exponent of (3) has (3) choices (1,2,3). Total \(3 \times 3=9\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले गुणनखंडों में घातों की सीमा ध्यान से बदलें। / For conditional factors, adjust exponent choices carefully.
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
प्रत्येक अभाज्य के लिए घात (0) या (2) हो सकती है, यानी (2) विकल्प। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\)। / For each prime, the exponent can be (0) or (2), giving (2) choices. Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
सम घातों की संख्या अलग-अलग गिनकर गुणा करें। / Count even exponent choices separately and multiply.
(3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / A factor divisible by (3) must have exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात के (5) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2,3) यानी (3) विकल्प हैं; कुल \(5 \times 3=15\)। दिए विकल्पों में (15) सही है। / The exponent of (2) has (5) choices, and exponent of (3) has (1,2,3), so (3) choices; total \(5 \times 3=15\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले गुणनखंडों में संबंधित अभाज्य की घात सीमा बदलती है। / For conditional factor counts, adjust the exponent choices.
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / For a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए घातें (0,2) यानी 2 विकल्प, (3) के लिए (0,2) यानी 2 विकल्प, और (5) के लिए (0,2) यानी 2 विकल्प हैं। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\) नहीं, ध्यान दें \(2^3\) में सम घात (0,2) ही हैं, इसलिए सही संख्या 8 है। / For \(2^3\), even choices are (0,2); for \(3^2\), (0,2); for \(5^2\), (0,2). Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में केवल सम घात गिनें। / Count only even exponent choices for square factors.
(2) और (3) से विभाज्य न होने के लिए (2) और (3) की घात (0) होनी चाहिए। / To be divisible by neither (2) nor (3), powers of (2) and (3) must both be (0).
Step 2
Why this answer is correct
(5) की घात (0,1,2) हो सकती है, इसलिए (3) गुणनखंड बनेंगे। / Power of (5) can be (0,1,2), giving (3) factors.
Step 3
Exam Tip
न तो इससे न उससे जैसे प्रश्नों में दोनों अभाज्यों की घात शून्य रखें। / For neither-nor conditions, set both restricted prime powers to zero.
\(9=3^2\), इसलिए (3) की घात कम से कम (2) होनी चाहिए। (5) से विभाज्य नहीं होने के लिए (5) की घात (0) होगी। / Since \(9=3^2\), power of (3) must be at least (2). Not divisible by (5) means power of (5) must be (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (0) से (3) तक (4) तरीके, (3) की घात (2,3,4) यानी (3) तरीके, और (5) की (1) तरीका। कुल \(4\times3\times1=12\)। / Choices are (4) for (2), (3) for (3), and (1) for (5). Total (=12).
Step 3
Exam Tip
दो शर्तों को अलग-अलग घातों में बदलें। / Convert each condition into exponent restrictions.
(5) से विभाज्य गुणनखंड में (5) की घात कम से कम (1) होगी। / A factor divisible by (5) must have power of (5) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए (4) तरीके, (3) के लिए (3) तरीके, और (5) के लिए (1,2,3,4) यानी (4) तरीके। कुल \(4\times3\times4=48\)। / Choices are (4) for (2), (3) for (3), and (4) for (5). Total \(=4\times3\times4=48\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले अभाज्य की शून्य घात को शामिल न करें। / Do not include zero power for the required prime.
पूर्ण घन गुणनखंड में हर अभाज्य घात (3) की गुणज होनी चाहिए। / A cube factor must have exponents that are multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात केवल (0), (3) की घात (0) या (3), और (5) की घात केवल (0) हो सकती है। कुल \(1\times2\times1=2\)। / For (2), only (0); for (3), (0) or (3); for (5), only (0). Total (=2).
Step 3
Exam Tip
घन गुणनखंडों में (0) भी (3) की गुणज माना जाता है। / Remember that (0) is also a multiple of (3).
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य घात सम होनी चाहिए। / A square factor must have even exponents for every prime.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (0,2) यानी (2) तरीके; (3) की घात (0,2) यानी (2) तरीके; (5) की घात केवल (0) यानी (1) तरीका। कुल \(2\times2\times1=4\)। / For (2), choices are (0,2); for (3), choices are (0,2); for (5), only (0). Total \(=2\times2\times1=4\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग गुणनखंड गिनते समय केवल सम घातें लें। / Count only even exponent choices for square factors.
सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / An even factor must contain at least one (2).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (1,2) यानी (2) तरीके; (3,5,7) प्रत्येक के लिए (2) तरीके। कुल \(2\times2\times2\times2=16\)। / Power of (2) has (2) choices, (1) or (2); each of (3,5,7) has (2) choices. Total (=16).
Step 3
Exam Tip
सम गुणनखंड गिनते समय \(2^0\) वाला मामला छोड़ दें। / For even factors, exclude the case \(2^0\).
\(10=2\times5\), इसलिए गुणनखंड में (2) और (5) दोनों कम से कम एक बार होने चाहिए। / Since \(10=2\times5\), the factor must contain at least one (2) and one (5).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (1,2,3) यानी (3) तरीके; (3) की घात (0,1,2) यानी (3) तरीके; (5) की घात (1,2) यानी (2) तरीके। कुल \(3\times3\times2=18\)। / Powers of (2): (1,2,3) give (3) choices; powers of (3): (0,1,2) give (3) choices; powers of (5): (1,2) give (2) choices. Total (=18).
Step 3
Exam Tip
किसी संख्या से विभाज्यता में उसके अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात देखें। / For divisibility, check the required minimum prime powers.
विषम गुणनखंड में (2) का कोई गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / An odd factor must not contain the prime (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (2) की घात केवल (0) होगी; (3) की घात (0,1,2) यानी (3) तरीके और (5) की घात (0,1) यानी (2) तरीके। कुल \(3\times2=6\)। / Power of (2) is only (0); power of (3) has (3) choices and power of (5) has (2) choices. Total \(=3\times2=6\).
Step 3
Exam Tip
विषम गुणनखंड गिनते समय (2) को हटा दें। / When counting odd factors, ignore the power choices of (2) except zero.
(2) से विभाज्य गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / A factor divisible by (2) must contain \(2^1\) at least.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (1,2,3) यानी (3) तरीके; (3) के लिए (3) तरीके; (5) और (7) के लिए (2-2) तरीके। कुल \(3\times3\times2\times2=36\)। / Powers of (2) can be (1,2,3), giving (3) choices; powers of (3) give (3) choices; (5) and (7) give (2) choices each. Total \(=3\times3\times2\times2=36\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले गुणनखंडों में उस अभाज्य की घात की सीमा ध्यान से बदलें। / For conditional factors, adjust only the restricted prime exponent.
किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड \(p^a q^b r^c\) हों, तो कुल गुणनखंड ((a+1)(b+1)(c+1)) होते हैं। / For prime factorisation \(p^a q^b r^c\), total factors are ((a+1)(b+1)(c+1)).
Step 2
Why this answer is correct
यहां घातें (3,2,1) हैं, इसलिए संख्या ((3+1)(2+1)(1+1)=24) होगी। / Here the powers are (3,2,1), so factors (=(4)(3)(2)=24).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में घातों में (1) जोड़ना न भूलें। / In exams, always add (1) to each exponent before multiplying.
दोहराव सहित गिनती में घातों को जोड़ा जाता है। / For counting with repetition, add the exponents.
Step 2
Why this answer is correct
(6+4+3+2=15)। / (6+4+3+2=15).
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग आधारों की संख्या और दोहराव सहित संख्या में अंतर याद रखें। / Remember the difference between the number of distinct bases and the count with repetition.
दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। / To count with repetition, add the exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^9\) से 9, \(3^7\) से 7, \(5^6\) से 6 और \(17^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। / \(2^9\) gives 9, \(3^7\) gives 7, \(5^6\) gives 6, and \(17^2\) gives 2 factors.
Step 3
Exam Tip
कुल (9+7+6+2=24), इसलिए उत्तर 24 है। / Total (9+7+6+2=24), so the answer is 24.
दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। / To count with repetition, add the exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^8\) से 8, \(3^6\) से 6, \(5^5\) से 5 और \(13^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। / \(2^8\) gives 8, \(3^6\) gives 6, \(5^5\) gives 5, and \(13^2\) gives 2 factors.
Step 3
Exam Tip
कुल (8+6+5+2=21), इसलिए उत्तर 21 है। / Total (8+6+5+2=21), so the answer is 21.
