डिग्री (6) के लिए \(x^{10}\) पद हटना चाहिए और \(x^6\) पद बचना चाहिए। (a=4) पर यह शर्त पूरी होती है। / For degree (6), the \(x^{10}\) term must vanish and the \(x^6\) term must remain. This condition holds at (a=4).
फैलाने पर \(2x^8-2x^5-2x^8+7x^4\) मिलता है। \(x^8\) कटता है और सबसे बड़ी घात (5) रहती है। / On expanding, we get \(2x^8-2x^5-2x^8+7x^4\). The \(x^8\) term cancels and the highest power left is (5).
यहाँ k=-1 रखने पर (k+1)2=0 और k-2-1=0 हो जाते हैं। इसलिए x-9 तथा x-5 वाले पद समाप्त हो जाते हैं और q(x)=-4x+6 बचता है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 1 है, अतः बहुपद की डिग्री 1 है। 0 डिग्री केवल अशून्य अचर बहुपद की होती है। परीक्षा टिप: पहले पैरामीटर का मान रखकर शून्य गुणांक वाले उच्च घात के पद हटाएँ, फिर सबसे बड़ी बची हुई घात देखें। / On substituting k=-1, we get (k+1)2=0 and k-2-1=0. Thus, the x-9 and x-5 terms vanish, leaving q(x)=-4x+6. The highest power of x in the remaining polynomial is 1, so its degree is 1. Degree 0 would apply only to a non-zero constant polynomial. Exam tip: substitute the parameter first, remove terms with zero coefficients, and then identify the highest remaining exponent.
उच्चतम पद \(3x^6\cdot x^4=3x^{10}\) से बनेगा। इसलिए गुणनफल की डिग्री (10) है। / The highest term comes from \(3x^6\cdot x^4=3x^{10}\). Therefore the product has degree (10).
अशून्य बहुपदों के गुणन की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है: \(5+5=10\)। योग या अंतर में अग्रणी पद कट सकते हैं। परीक्षा टिप: गुणन के लिए डिग्रियाँ जोड़ें। / For non-zero polynomials, the degree of a product equals the sum of their degrees: \(5+5=10\). In a sum or difference, leading terms may cancel. Exam tip: add degrees only for multiplication.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के योग का अधिकतम मान होती है। यहाँ पदों की कुल घातें क्रमशः 5+3=8, 2+8=10, 1+1=2 और स्थिर पद के लिए 0 हैं। अतः सबसे बड़ी कुल घात 10 है, इसलिए सही उत्तर 10 है। 8 केवल पहले पद 4x-5y-3 की कुल घात है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में सभी चरों की घातें जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of the variables in any one term. Here, the total degrees of the terms are 5+3=8, 2+8=10, 1+1=2, and 0 for the constant term. The greatest value is 10, so the correct answer is 10. Note that 8 is only the total degree of the first term, 4x-5y-3. Exam tip: Add the exponents in each term and select the largest sum.
x के संदर्भ में डिग्री ज्ञात करते समय y को गुणांक माना जाता है। दिए गए व्यंजक में x की घातें 6, 4, 0 और 0 हैं। इनमें सबसे बड़ी घात 6 है, इसलिए बहुपद की x के संदर्भ में डिग्री 6 है। 9, y की घात है; यह x के संदर्भ में डिग्री नहीं बताती। परीक्षा टिप: जिस चर के संदर्भ में डिग्री पूछी जाए, केवल उसी चर की सबसे बड़ी घात देखें। / To find the degree with respect to x, treat y as part of the coefficient. The powers of x in the given expression are 6, 4, 0, and 0. The greatest power is 6, so the degree of the polynomial with respect to x is 6. The number 9 is the power of y, not the degree with respect to x. Exam tip: Look only at the highest exponent of the variable named in the question.
y के संदर्भ में बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए केवल y की घातों को देखा जाता है; x को गुणांक का भाग माना जाता है। दिए गए व्यंजक में y की घातें 9, 2, 1 और 0 हैं। इनमें सबसे बड़ी घात 9 है, इसलिए सही उत्तर 9 है। 6, x की सबसे बड़ी घात है, y के संदर्भ में डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: जिस चर के संदर्भ में डिग्री पूछी जाए, केवल उसी चर की उच्चतम घात चुनें। / To find the degree with respect to y, consider only the powers of y; x is treated as part of the coefficient. The powers of y in the expression are 9, 2, 1, and 0. The greatest power is 9, so the degree is 9. Although 6 is the greatest power of x, it is not the degree with respect to y. Exam tip: always identify the variable named in the question before selecting the highest exponent.
जब (n>8) है तो \(x^n\) सबसे बड़ी घात देगा। दिए गए विकल्पों में (n=11) ही शर्त पूरी करता है। / When (n>8), \(x^n\) gives the highest power. Among the options, only (n=11) satisfies the condition.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ \(4x^7\) पद के कारण डिग्री 7 है। शर्त \(m<7\) के अनुसार \(m=5\) संभव है और तब भी सबसे बड़ी घात 7 ही रहती है। \(m=7\) शर्त को पूरा नहीं करता, जबकि \(m=8\) या \(m=10\) होने पर बहुपद की डिग्री क्रमशः 8 या 10 हो जाएगी। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय सभी पदों में चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable. The term \(4x^7\) makes the degree 7. Since \(m<7\), \(m=5\) is possible, and the greatest exponent still remains 7. \(m=7\) does not satisfy the strict inequality, while \(m=8\) or \(m=10\) would make the polynomial’s degree 8 or 10. Exam tip: compare the exponents of all variable terms to find the degree.
बहुपद के भीतर सबसे अधिक घात वाला पद x-4 है। पूरे व्यंजक को घात 3 करने पर उसका उच्चतम घात वाला पद \(x^4\)3=x^{12} होगा। अतः बहुपद की डिग्री 12 है। 24 इसलिए सही नहीं है क्योंकि घातों को गुणा किया जाता है: 4×3=12, न कि 4 का कोई अतिरिक्त गुणन। परीक्षा टिप: किसी बहुपद की घात लेने पर उसकी डिग्री को उस घात से गुणा करें, यदि उच्चतम पद निरस्त न हो। / Inside the polynomial, the term with the greatest exponent is x-4. When the entire expression is raised to the power 3, its highest-degree term is \(x^4\)3=x^{12}. Hence, the degree of the polynomial is 12. Option 24 is incorrect because the exponents are multiplied: 4×3=12. Exam tip: when a polynomial is raised to a power, multiply its degree by that power, provided the leading term does not cancel.
-5/x को \(-5x^{-1}\) लिखा जा सकता है। इसमें x का घात ऋणात्मक है, इसलिए दिया गया व्यंजक बहुपद ही नहीं है और इसकी डिग्री 3 नहीं कही जा सकती। परीक्षा में पहले सभी घातों को जाँचें। / The term -5/x can be written as \(-5x^{-1}\). Since x has a negative exponent, the expression is not a polynomial, so it cannot have degree 3. Exam tip: check exponents before finding degree.
\(b\neq3\) होने पर \(x^{12}\) का गुणांक शून्य नहीं है। इसलिए सबसे बड़ी घात (12) रहेगी। / When \(b\neq3\), the coefficient of \(x^{12}\) is not zero. Therefore the highest power remains (12).
जब \(b=3\) रखते हैं, तब \((b-3)=0\) हो जाता है। इसलिए \((b-3)x^{12}\) पद शून्य हो जाता है और बहुपद \(2x^5-9\) बचता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 5 है, अतः इसकी डिग्री 5 है। 12 सही नहीं है क्योंकि \(x^{12}\) वाला पद शून्य हो चुका है। परीक्षा टिप: पहले पैरामीटर का मान रखकर शून्य गुणांक वाले पद हटा दें, फिर सबसे बड़ी बची हुई घात देखें। / On substituting \(b=3\), we get \((b-3)=0\). Hence, the term \((b-3)x^{12}\) becomes zero and the polynomial reduces to \(2x^5-9\). The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 5, so its degree is 5. Option 12 is not correct because the \(x^{12}\) term has vanished. Exam tip: substitute the parameter first, remove zero-coefficient terms, and then identify the highest remaining exponent.
उच्चतम पद \(x^5\cdot x^6=x^{11}\) से मिलेगा। इसलिए गुणनफल की डिग्री (11) है। / The highest term comes from \(x^5\cdot x^6=x^{11}\). Therefore the product has degree (11).
पहले व्यंजक का प्रसार करें: \(3x^4(x^4-2)=3x^8-6x^4\)। अतः पूरा बहुपद \(3x^8-6x^4-3x^8+11x^6=11x^6-6x^4\) होगा। \(3x^8\) और \(-3x^8\) कट जाते हैं, इसलिए शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात 6 है। इसलिए सही उत्तर 6 है; 8 केवल सरल करने से पहले दिखाई देने वाली घात है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा बहुपद को पूरी तरह सरल करें। / First expand the expression: \(3x^4(x^4-2)=3x^8-6x^4\). Thus, the polynomial becomes \(3x^8-6x^4-3x^8+11x^6=11x^6-6x^4\). The terms \(3x^8\) and \(-3x^8\) cancel, so the highest remaining exponent is 6. Therefore, the degree is 6; 8 is only visible before simplification. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (43) बचता है। यह अशून्य नियतांक बहुपद है जिसकी डिग्री (0) है। / Terms with zero coefficients disappear and (43) remains. It is a non-zero constant polynomial with degree (0).
चौथे बहुपद की डिग्री (6) है और \(x^5\) पद अनुपस्थित है। इसलिए \(x^5\) का गुणांक (0) है। / The fourth polynomial has degree (6), and the \(x^5\) term is absent. So the coefficient of \(x^5\) is (0).
पहले व्यंजक को सरल करें: \(x^3(x^5-4)=x^8-4x^3\)। अतः \(p(x)=x^8-4x^3-x^8+4x^3+19=19\)। शून्येतर अचर बहुपद की डिग्री \(0\) होती है, इसलिए सही उत्तर \(0\) है। \(8\) लेने की गलती तब होती है जब समान पदों \(x^8\) और \(-x^8\) के निरस्तीकरण को नहीं देखा जाता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूर्णतः सरल करें। / First simplify the expression: \(x^3(x^5-4)=x^8-4x^3\). Thus, \(p(x)=x^8-4x^3-x^8+4x^3+19=19\). A non-zero constant polynomial has degree \(0\), so the correct answer is \(0\). Choosing \(8\) would result from overlooking the cancellation of \(x^8\) and \(-x^8\). Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
एक विद्यार्थी कहता है कि दो बहुपदों की डिग्री 6 होने पर उनके योग की डिग्री भी हमेशा 6 होगी। यदि \(p(x)=x^6-3x^2\) और \(q(x)=-x^6+5x\) हों, तो निम्न में से कौन-सा निष्कर्ष सही है?
B. योग की डिग्री 2 है, क्योंकि \(x^6\) वाले पद कट जाते हैं।/The sum has degree 2 because the \(x^6\) terms cancel.
Explanation
Simple Explanation
\(p(x)+q(x)=(x^6-3x^2)+(-x^6+5x)=-3x^2+5x\)। \(x^6\) पद कटने के बाद सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए डिग्री 2 है। परीक्षा टिप: योग में पहले समान घात वाले पदों को सरल करें। / \(p(x)+q(x)=(x^6-3x^2)+(-x^6+5x)=-3x^2+5x\). After the \(x^6\) terms cancel, the highest remaining exponent is 2, so the degree is 2. Exam tip: simplify like terms before finding degree.
डिग्री (0) के लिए \(x^6\) और \(x^4\) दोनों पद हटने चाहिए। (c=-3) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^6\) and \(x^4\) terms must vanish. At (c=-3), both coefficients become (0).
डिग्री (5) के लिए \(x^7\) पद हटना चाहिए और \(x^5\) पद बचना चाहिए। (d=6) पर यह शर्त पूरी होती है। / For degree (5), the \(x^7\) term must vanish and the \(x^5\) term must remain. This condition holds at (d=6).
बहुपद की कुल डिग्री उसके पदों की कुल घातों में सबसे बड़ी घात होती है। पहले पद \(x^3y^4z^5\) की कुल घात \(3+4+5=12\) है। दूसरे पद \(2x^5y^2z^3\) की कुल घात \(5+2+3=10\) तथा अचर पद \(-7\) की घात \(0\) है। इसलिए सबसे बड़ी कुल घात \(12\) है। \(10\) केवल दूसरे पद की कुल घात है। परीक्षा टिप: बहुचर पद में सभी चरों की घातों को जोड़कर प्रत्येक पद की कुल घात ज्ञात करें। / The total degree of a polynomial is the greatest total degree among its terms. For the first term, \(x^3y^4z^5\), the total degree is \(3+4+5=12\). The second term, \(2x^5y^2z^3\), has total degree \(5+2+3=10\), while the constant term \(-7\) has degree \(0\). Hence, the greatest total degree is \(12\). Option \(10\) is only the degree of the second term. Exam tip: In a multivariable term, add the exponents of all variables before comparing terms.
(z) की सबसे बड़ी घात (8) है। अन्य चर (z) के संदर्भ में गुणांक जैसे माने जाते हैं। / The highest power of (z) is (8). Other variables are treated like coefficients with respect to (z).
मान लें कि अशून्य बहुपद \(p(x)\) और \(q(x)\), दोनों की घात \(n\) है तथा \(p(x)+q(x)\) भी अशून्य है। \(p(x)+q(x)\) की घात \(n\) से कम होने के लिए कौन-सी शर्त आवश्यक और पर्याप्त है?
A. \(x^n\) के गुणांक परस्पर योगात्मक प्रतिलोम हों/The coefficients of \(x^n\) are additive inverses of each other
Explanation
Simple Explanation
दोनों बहुपदों में \(x^n\) का पद सबसे उच्च घात वाला है। यदि उसके गुणांकों का योग शून्य हो, तो \(x^n\) पद कट जाता है और शेष अशून्य योग की घात \(n\) से कम होगी। स्थिर पद इसमें प्रभावी नहीं होते। परीक्षा टिप: पहले सबसे उच्च घात वाले पदों के गुणांक जाँचें। / The \(x^n\) terms are the highest-degree terms in both polynomials. If their coefficients add to zero, these terms cancel, so the remaining non-zero sum has degree below \(n\). Constant terms do not control degree. Exam tip: compare leading coefficients first.
डिग्री (8) के लिए \(n+3\le8\) होना चाहिए। इसलिए \(n\le5\) सही शर्त है। / For degree (8), \(n+3\le8\) must hold. Therefore \(n\le5\) is the correct condition.
कोष्ठक खोलने पर दूसरे बहुपद के सभी पदों के चिह्न बदलेंगे: \(p(x)=x^6-4x^2+5-x^6+x^2=-3x^2+5\)। \(x^6\) के पद कट जाते हैं और शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी डिग्री 2 है। 6 चुनना गलत है, क्योंकि \(x^6\) का पद सरल करने के बाद बचता नहीं है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूर्णतः सरल करें। / On opening the brackets, the signs of all terms in the second polynomial change: \(p(x)=x^6-4x^2+5-x^6+x^2=-3x^2+5\). The \(x^6\) terms cancel, and the highest power remaining is 2; hence the degree is 2. Choosing 6 is incorrect because no \(x^6\) term remains after simplification. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
व्यंजक को फैलाने पर मिलता है: \(x^5(x^3+1)-x^3(x^5-4)=x^8+x^5-x^8+4x^3=x^5+4x^3\)। यहाँ \(x^8\) वाले पद परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए इसकी डिग्री 5 है। विकल्प 8 गलत है, क्योंकि \(x^8\) पद सरल करने के बाद नहीं बचता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले व्यंजक को पूरी तरह सरल अवश्य करें। / On expanding, \(x^5(x^3+1)-x^3(x^5-4)=x^8+x^5-x^8+4x^3=x^5+4x^3\). The \(x^8\) terms cancel each other. The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 5, so its degree is 5. Option 8 is incorrect because the \(x^8\) term does not remain after simplification. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
(e=4) पर \(x^{11}\) पद हटता है लेकिन \(x^8\) का गुणांक (6) रहता है। इसलिए डिग्री (8) है। / At (e=4), the \(x^{11}\) term vanishes but the coefficient of \(x^8\) remains (6). Therefore the degree is (8).
दिया गया व्यंजक सरल करने पर p(x)=0 प्राप्त होता है, क्योंकि प्रत्येक पद का गुणांक 0 है। इसे शून्य बहुपद कहते हैं। शून्य बहुपद में कोई गैर-शून्य गुणांक वाला उच्चतम घात का पद नहीं होता, इसलिए इसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। 0 को इसकी डिग्री नहीं मानते; स्थिर गैर-शून्य बहुपद की डिग्री 0 होती है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को सरल करके सभी शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / On simplification, p(x)=0 because every term has coefficient 0. This is called the zero polynomial. It has no highest-power term with a non-zero coefficient, so its degree is not defined. Do not assign degree 0 to it; degree 0 is for a non-zero constant polynomial. Exam tip: simplify a polynomial and remove all zero-coefficient terms before finding its degree.
उच्चतम घात \(x\cdot x^4\cdot x^6=x^{11}\) से आती है। इसलिए डिग्री (11) है। / The highest power comes from \(x\cdot x^4\cdot x^6=x^{11}\). Therefore the degree is (11).
\(0x^{15}\) शून्य पद है और \(t\neq0\) से \(x^{13}\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (13) है। / \(0x^{15}\) is a zero term, and \(t\neq0\) keeps the \(x^{13}\) term. Therefore the degree is (13).
डिग्री (0) के लिए \(x^9\) और \(x^5\) दोनों पद हटने चाहिए। (s=-4) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^9\) and \(x^5\) terms must vanish. At (s=-4), both coefficients become (0).
घटाने पर समान पद कट जाते हैं: \(A(x)-B(x)=(x^7+2x^3+5)-(x^7+2x^3)=5\)। \(5\) एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। \(7\) मूल बहुपदों की डिग्री है, अंतर की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों का अंतर निकालने के बाद ही उसका उच्चतम घात वाला अशून्य पद देखकर डिग्री तय करें। / On subtraction, the like terms cancel: \(A(x)-B(x)=(x^7+2x^3+5)-(x^7+2x^3)=5\). Since \(5\) is a non-zero constant polynomial, its degree is \(0\). Degree \(7\) is the degree of the original polynomials, not of their difference. Exam tip: first simplify the resulting polynomial, then identify the highest power with a non-zero coefficient.
A(x)+B(x)=\(x^6+9\)+\(-x^6+4x^2\)=4x-2+9। यहाँ x-6 और -x-6 पदों का योग शून्य हो जाता है। शेष बहुपद का सबसे बड़ा घातांक 2 है, इसलिए इसकी डिग्री 2 है। विकल्प 6 सही नहीं है, क्योंकि x-6 पद निरस्त हो चुका है। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ने के बाद ही उच्चतम घातांक देखकर डिग्री निर्धारित करें। / A(x)+B(x)=\(x^6+9\)+\(-x^6+4x^2\)=4x-2+9. The x-6 and -x-6 terms cancel each other. The highest exponent in the remaining polynomial is 2, so its degree is 2. Option 6 is incorrect because the x-6 term no longer remains. Exam tip: always simplify a sum of polynomials before identifying its degree.
a=5 और b=9 रखने पर बहुपद 4x-5+3x-9+1 बनता है। इसकी पदों की घातें 5, 9 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 9 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 9 है। 5 केवल 4x-5 पद की घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए सरलीकरण के बाद सबसे अधिक घात वाला पद देखें। / Substituting a=5 and b=9 gives the polynomial 4x-5+3x-9+1. The degrees of its terms are 5, 9, and 0. The greatest degree is 9, so the degree of the polynomial is 9. Option 5 is only the degree of the term 4x-5, not of the whole polynomial. Exam tip: After simplifying a polynomial, identify the term with the highest power of the variable.
पहले गुणा करने पर (x-4\(x^3+x\)=x-7+x-5) मिलता है। अतः (p(x)=x-7+x-5-x-7-x-5+31=31) है। 31 एक अशून्य स्थिर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री 0 होती है। विकल्प 7 तब मिलता यदि उच्चतम घात वाले पदों का निरसन न होता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा पदों को सरल करके समान पदों का निरसन जाँचें। / First, expand: (x-4\(x^3+x\)=x-7+x-5). Therefore, (p(x)=x-7+x-5-x-7-x-5+31=31). Since 31 is a non-zero constant polynomial, its degree is 0. Degree 7 would result only if the cancellation of the highest-degree terms were ignored. Exam tip: simplify a polynomial and combine or cancel like terms before finding its degree.
\(x^5\) की डिग्री 5 है और \((x-2)^2\) की डिग्री 2 है। दो अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है, इसलिए कुल डिग्री \(5+2=7\) है। विकल्प \(10\) घातों को गुणा करने की गलत धारणा से आ सकता है। परीक्षा टिप: गुणनफल में डिग्रियाँ जोड़ें, जबकि किसी बहुपद की घात लेने पर उसकी डिग्री उस घात से गुणा होती है। / The degree of \(x^5\) is 5, and the degree of \((x-2)^2\) is 2. The degree of the product of two non-zero polynomials is the sum of their degrees, so the total degree is \(5+2=7\). Option \(10\) may result from incorrectly multiplying the degrees. Exam tip: add degrees in a product; multiply the degree only when a polynomial itself is raised to a power.
बहुपद की डिग्री 0 होने का अर्थ है कि वह एक अशून्य स्थिरांक हो। इसलिए \(x^8\) और \(x^3\) वाले दोनों पदों का गुणांक शून्य होना चाहिए। यहाँ दोनों का गुणांक \(r-7\) है, अतः \(r-7=0\), जिससे \(r=7\) प्राप्त होता है। \(r=-7\) रखने पर उच्च घात वाले पद समाप्त नहीं होते। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में डिग्री घटाने के लिए सबसे बड़ी घात के गुणांक को पहले शून्य करें। / A polynomial has degree 0 when it reduces to a non-zero constant. Therefore, the coefficients of both the \(x^8\) and \(x^3\) terms must be zero. Both coefficients are \(r-7\), so \(r-7=0\), giving \(r=7\). If \(r=-7\), the higher-power terms do not vanish. Exam tip: In a parameter-based polynomial, first set the coefficient of the highest power to zero when checking whether the degree can decrease.
दो अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। अतः \(\deg(p(x)q(x))=4+6=10\)। विकल्प \(4\) केवल \(p(x)\) की डिग्री है, जबकि \(24\) डिग्रियों को गुणा करने से मिलता है, जो यहाँ सही नियम नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपदों के गुणन में डिग्रियाँ जोड़ें, गुणा नहीं करें। / For the product of two non-zero polynomials, the degree equals the sum of their degrees. Hence, \(\deg(p(x)q(x))=4+6=10\). Option \(4\) is only the degree of \(p(x)\), while \(24\) results from multiplying the degrees, which is not the correct rule. Exam tip: add degrees when polynomials are multiplied; do not multiply them.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी भी पद की सबसे बड़ी कुल घात होती है। यहाँ x-4y-3 की कुल घात 4+3=7, x-2y-6 की 2+6=8 और xy की 1+1=2 है। अतः सबसे बड़ी कुल घात 8 है, इसलिए सही उत्तर 8 है। 7 केवल पहले पद की कुल घात है। परीक्षा टिप: दो या अधिक चरों वाले प्रत्येक पद में घातों को जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest total degree among its terms. Here, the total degrees of x-4y-3, x-2y-6, and xy are 4+3=7, 2+6=8, and 1+1=2 respectively. The greatest value is 8, so the correct answer is 8. Option 7 is only the total degree of the first term. Exam tip: For each term with two or more variables, add the exponents and choose the largest sum.
डिग्री (0) के लिए \(x^{10}\) और \(x^4\) दोनों पद हटने चाहिए। (u=7) पर दोनों गुणांक (0) हैं। / For degree (0), both \(x^{10}\) and \(x^4\) terms must vanish. At (u=7), both coefficients are (0).
दिए गए बहुपद में समान पदों को मिलाने पर
\(3x^{11}-3x^{11}=0\) तथा \(4x^7-4x^7=0\) हो जाते हैं। इसलिए \(F(x)=5x^2-1\) बचता है। इसका सबसे बड़ा घातांक 2 है, अतः बहुपद की डिग्री 2 है। विकल्प 11 लेने की गलती तब होती है जब रद्द होने वाले पदों को सरल किए बिना देख लिया जाए। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को जोड़कर या घटाकर बहुपद को सरल करें। / On combining like terms, \(3x^{11}-3x^{11}=0\) and \(4x^7-4x^7=0\). Thus, \(F(x)=5x^2-1\). The highest exponent of the variable in the simplified polynomial is 2, so its degree is 2. Option 11 would result from noticing the original highest power without first cancelling the like terms. Exam tip: Always simplify a polynomial before finding its degree.
(\(x^5+3x^2\)2=x^{10}+6x-7+9x-4) होता है। बड़े पद कटने के बाद \(13x^4\) बचता है जिसकी डिग्री (4) है। / (\(x^5+3x^2\)2=x^{10}+6x-7+9x-4). After higher terms cancel, \(13x^4\) remains, whose degree is (4).
डिग्री (2) के लिए \(x^{12}\) और \(x^6\) दोनों पद हटने चाहिए। (v=8) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (2), both \(x^{12}\) and \(x^6\) terms must vanish. At (v=8), both coefficients become (0).
गुणन में \(x^9\) पद बनता है और बाहर का \(-x^9\) उसे काट देता है। बची हुई सबसे बड़ी घात (6) है। / The product creates an \(x^9\) term and the outside \(-x^9\) cancels it. The remaining highest power is (6).
फैलाने पर \(x^8-2x^6+x^3-x^8+2x^6+5x\) मिलता है। बड़े पद कट जाते हैं और डिग्री (3) रहती है। / On expanding, we get \(x^8-2x^6+x^3-x^8+2x^6+5x\). Higher terms cancel and the degree remains (3).
डिग्री (4) के लिए \(x^{11}\) और \(x^7\) दोनों पद हटने चाहिए। (w=-5) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (4), both \(x^{11}\) and \(x^7\) terms must vanish. At (w=-5), both coefficients become (0).
गुणन में \(x^9\) पद बनता है और बाहर का \(-x^9\) उसे काट देता है। बची हुई सबसे बड़ी घात (6) है। / The product creates an \(x^9\) term and the outside \(-x^9\) cancels it. The remaining highest power is (6).
(\(x^6-2\)2=x^{12}-4x-6+4) होता है। बड़े पद कटने के बाद \(9x^3+4\) बचता है जिसकी डिग्री (3) है। / (\(x^6-2\)2=x^{12}-4x-6+4). After higher terms cancel, \(9x^3+4\) remains, whose degree is (3).
