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A. समान समयांतरालों में राशि की वृद्धि समान होती है।/The quantity increases by an equal amount in equal time intervals.
Explanation
Simple Explanation
रैखिक वृद्धि में प्रत्येक समान समयांतराल पर परिवर्तन स्थिर होता है, इसलिए उसका मॉडल y = mt + c जैसा होता है। समान गुणक से बढ़ना घातांकीय वृद्धि है। परीक्षा टिप: स्थिर अंतर दिखे तो रैखिक मॉडल चुनें। / In linear growth, the change over each equal time interval is constant, so its model has the form y = mt + c. Growth by a constant factor is exponential, not linear. Exam tip: look for a constant difference to identify linear growth.
A. हर घंटे राशि में समान निश्चित मात्रा की कमी होती है/The quantity decreases by the same fixed amount every hour.
Explanation
Simple Explanation
रैखिक क्षय में प्रत्येक समान समयांतराल पर परिवर्तन समान होता है, इसलिए अंतर स्थिर रहता है। समान प्रतिशत की कमी घातांकीय क्षय है। परीक्षा में क्रमागत मानों के अंतर जाँचें। / In linear decay, the change over each equal time interval is constant, so successive differences are equal. A fixed percentage decrease is exponential decay. Exam tip: check consecutive differences.
दोनों मॉडल बराबर होने के लिए \(25+6t=70-3t\) होगा। \(3t\) को बाईं ओर लाने पर \(9t=45\) मिलता है, इसलिए \(t=5\)। \(t=4\) पर दोनों मान बराबर नहीं होते, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों व्यंजकों को बराबर रखकर चर वाले पदों को एक ही पक्ष में इकट्ठा करें। / For the models to be equal, set \(25+6t=70-3t\). Moving \(3t\) to the left gives \(9t=45\), so \(t=5\). At \(t=4\), the two model values are not equal, making it a close but incorrect option. Exam tip: equate the two expressions first, then collect all variable terms on one side.
बराबरी के लिए \(P(t)=Q(t)\) रखें: \(40+4t=100-6t\)। दोनों पक्षों में \(6t\) जोड़ने पर \(40+10t=100\), अतः \(10t=60\) और \(t=6\) मिलता है। इसलिए विकल्प C सही है। \(t=5\) पर \(P(t)=60\) और \(Q(t)=70\) होते हैं, इसलिए वे बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों व्यंजकों को बराबर रखकर \(t\) वाले पदों को एक ही पक्ष में लाएँ। / For equality, set \(P(t)=Q(t)\): \(40+4t=100-6t\). Adding \(6t\) to both sides gives \(40+10t=100\), so \(10t=60\) and \(t=6\). Hence, option C is correct. At \(t=5\), \(P(t)=60\) and \(Q(t)=70\), so they are not equal. Exam tip: equate the two expressions first, then collect all terms containing \(t\) on one side.
दिया है कि \(f(x)=a+7x\) तथा \(f(4)=53\)। इसलिए \(a+7(4)=53\), अर्थात \(a+28=53\), जिससे \(a=25\) मिलता है। अब \(f(10)=25+7(10)=25+70=95\)। अतः सही विकल्प 95 है। 88 प्राप्त करने के लिए स्थिरांक \(a\) को गलत मानना पड़ेगा। परीक्षा टिप: पहले दी गई फलन-मान वाली शर्त से अज्ञात स्थिरांक ज्ञात करें, फिर मांगा गया मान निकालें। / Given \(f(x)=a+7x\) and \(f(4)=53\), we get \(a+7(4)=53\). Thus, \(a+28=53\), so \(a=25\). Now \(f(10)=25+7(10)=25+70=95\). Therefore, 95 is the correct option. Getting 88 would require using an incorrect value of the constant \(a\). Exam tip: First use the given function value to find the unknown constant, then substitute the required input.
दिया है कि \(g(x)=b-9x\)। \(x=5\) रखने पर \(g(5)=b-45=72\), इसलिए \(b=117\)। अब \(x=11\) रखने पर \(g(11)=117-9(11)=117-99=18\)। अतः सही विकल्प 18 है। 27 निकट का भ्रामक विकल्प हो सकता है, लेकिन वह \(117-90\) लेने पर मिलता है, जो \(9\times11\) के स्थान पर गलत गुणन है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए फलन मान से अज्ञात नियतांक ज्ञात करें, फिर माँगा गया मान रखें। / Given \(g(x)=b-9x\). Substituting \(x=5\), \(g(5)=b-45=72\), so \(b=117\). Now, substituting \(x=11\), \(g(11)=117-9(11)=117-99=18\). Hence, 18 is the correct option. The nearby distractor 27 would result from incorrectly using \(117-90\) instead of calculating \(9\times11\). Exam tip: first find the unknown constant using the given function value, then substitute the required input.
\(b\), \(x\) का गुणांक है और \(x\) में प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर \(y\) का परिवर्तन बताता है। \(b>0\) होने पर \(y\) बढ़ता है। \(b<0\) क्षय दर्शाता है। परीक्षा टिप: वृद्धि/क्षय के लिए \(b\) का चिन्ह देखें, \(a\) का नहीं। / \(b\) is the coefficient of \(x\), so it gives the change in \(y\) for every 1-unit increase in \(x\). If \(b>0\), \(y\) grows; \(b<0\) indicates decay. Exam tip: check the sign of \(b\), not the constant \(a\).
\(y=48-6x\) में \(x\) का गुणांक \(-6\) है, इसलिए \(x\) की प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर \(y\) 6 इकाई घटता है। \(y=48+6x\) रैखिक वृद्धि है। परीक्षा टिप: \(y=a+bx\) में \(b<0\) हो तो रैखिक क्षय होता है। / In \(y=48-6x\), the coefficient of \(x\) is \(-6\), so \(y\) falls by 6 units for every 1-unit increase in \(x\). \(y=48+6x\) shows linear growth. Exam tip: in \(y=a+bx\), \(b<0\) indicates linear decay.
रेखीय बहुपद \(P(x)=a+bx\) में \(x\) को 1 बढ़ाने पर परिवर्तन \(\Delta P=b\) होता है। अतः \(b<0\) होने पर मान हर चरण में घटता है। \(a\) केवल आरंभिक मान है। परीक्षा में \(b\) का चिन्ह देखें। / For \(P(x)=a+bx\), increasing \(x\) by 1 changes the value by \(\Delta P=b\). Thus, \(b<0\) gives a decrease at every step. The constant \(a\) only gives the initial value. Exam tip: check the sign of \(b\).
\(7-2x\) में x का गुणांक \(-2\) है, इसलिए x बढ़ने पर मान समान दर से घटता है। \(2x-7\) में धनात्मक गुणांक वृद्धि दिखाता है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय के लिए x का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(7-2x\), the coefficient of x is \(-2\), so the value falls by the same amount for every unit increase in x. \(2x-7\) shows growth because its coefficient is positive. Exam tip: decay has a negative x-coefficient.
दिया है कि \(C(t)=18+kt\)। इसलिए \(C(5)=18+5k\) और \(C(2)=18+2k\)। अतः \(C(5)-C(2)=(18+5k)-(18+2k)=3k\)। चूँकि यह अंतर 21 है, इसलिए \(3k=21\), जिससे \(k=7\) मिलता है। विकल्प 21 अंतर का मान है, \(k\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में दो मानों का अंतर लेने पर स्थिर पद कट जाता है। / Given \(C(t)=18+kt\), we have \(C(5)=18+5k\) and \(C(2)=18+2k\). Therefore, \(C(5)-C(2)=(18+5k)-(18+2k)=3k\). Since this difference is 21, \(3k=21\), so \(k=7\). Option 21 is the given difference, not the value of \(k\). Exam tip: when subtracting two values of a linear expression, the constant term cancels out.
दिया है कि \(D(t)=120-kt\)। अतः \(D(3)=120-3k\) और \(D(9)=120-9k\)। इसलिए \(D(3)-D(9)=(120-3k)-(120-9k)=6k\)। \(6k=42\) से \(k=7\) मिलता है। विकल्प 6 लेने पर अंतर केवल \(36\) होगा, 42 नहीं। परीक्षा टिप: दो फलनों के अंतर में समान स्थिर पद पहले काट दें। / Given \(D(t)=120-kt\), we have \(D(3)=120-3k\) and \(D(9)=120-9k\). Hence, \(D(3)-D(9)=(120-3k)-(120-9k)=6k\). Since \(6k=42\), \(k=7\). If \(k=6\), the difference would be only \(36\), not 42. Exam tip: when subtracting function values, cancel the common constant terms first.
दिया है \(A(x)=12+5x\)। अतः \(A(x+4)=12+5(x+4)\) और \(A(x-1)=12+5(x-1)\)। इसलिए \(A(x+4)-A(x-1)=5[(x+4)-(x-1)]=5\times5=25\)। विकल्प \(20\) लेने पर केवल \(4\) की वृद्धि गिनी जाएगी, जबकि दोनों इनपुटों का वास्तविक अंतर \(5\) है। परीक्षा टिप: रैखिक फलन \(mx+c\) में नियत पद \(c\) अंतर लेते समय कट जाता है। / Given \(A(x)=12+5x\), we have \(A(x+4)=12+5(x+4)\) and \(A(x-1)=12+5(x-1)\). Hence, \(A(x+4)-A(x-1)=5[(x+4)-(x-1)]=5\times5=25\). Choosing \(20\) would count only an increase of \(4\), whereas the actual difference between the two inputs is \(5\). Exam tip: for a linear function \(mx+c\), the constant term \(c\) cancels when taking a difference.
रैखिक बहुपद में \(b\), \(x\) के प्रति परिवर्तन की दर है। \(b<0\) होने पर \(x\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि से \(P(x)\) घटता है, इसलिए यह क्षय है। \(b=0\) स्थिर राशि दर्शाता है। परीक्षा टिप: क्षय के लिए \(x\) का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In a linear polynomial, \(b\) is the rate of change with respect to \(x\). If \(b<0\), \(P(x)\) decreases for every increase of 1 in \(x\), so it represents decay. \(b=0\) represents a constant quantity. Exam tip: check the sign of the coefficient of \(x\).
दिया है P(t)=p+6t। पहले P(3)=50 रखने पर p+18=50, इसलिए p=32 मिलता है। अब P(s)=80 के लिए 32+6s=80, अतः 6s=48 और s=8। विकल्प 7 लेने पर P(7)=32+42=74 होगा, 80 नहीं। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से अज्ञात स्थिरांक p निकालें, फिर दूसरे मान में उसे प्रतिस्थापित करें। / Given P(t)=p+6t, substitute P(3)=50 first: p+18=50, so p=32. Now use P(s)=80: 32+6s=80, giving 6s=48 and s=8. If s were 7, then P(7)=32+42=74, not 80. Exam tip: find the unknown constant p from one condition before using the second condition.
दिया है \(R(t)=r-5t\)। \(R(4)=90\) रखने पर \(r-5(4)=90\), अतः \(r=110\)। अब \(R(s)=55\) से \(110-5s=55\) मिलता है। इसलिए \(5s=55\) और \(s=11\)। अतः सही विकल्प \(11\) है। \(s=10\) लेने पर मान \(60\) आएगा, जो 55 नहीं है। परीक्षा टिप: पहले ज्ञात समय का मान रखकर स्थिरांक \(r\) ज्ञात करें, फिर दूसरे मान से अज्ञात समय निकालें। / Given \(R(t)=r-5t\), substitute \(t=4\) and \(R(4)=90\): \(r-5(4)=90\), so \(r=110\). Next, \(R(s)=55\) gives \(110-5s=55\). Hence \(5s=55\) and \(s=11\). Therefore, \(11\) is correct. If \(s=10\), the model gives 60, not 55. Exam tip: first use the known time-value pair to find the constant \(r\), then use the second value to find the unknown time.
प्रति चरण 4 की वृद्धि होने पर रैखिक व्यंजक का रूप \(y=a+4x\) होगा। शर्त \(y(3)=29\) रखने पर \(a+4(3)=29\), अतः \(a=17\) मिलता है। इसलिए \(y=17+4x\) सही है। विकल्प B में \(y(3)=41\) आता है, जबकि विकल्प C में \(y\) बढ़ने के बजाय घटता है। परीक्षा टिप: दिए गए \(x\) का मान हर विकल्प में रखकर शर्त तुरंत जाँचें। / An increase of 4 per step means the linear expression must have the form \(y=a+4x\). Using \(y(3)=29\), we get \(a+4(3)=29\), so \(a=17\). Hence, \(y=17+4x\) is correct. In option B, \(y(3)=41\), while option C represents a decrease rather than an increase. Exam tip: Substitute the given value of \(x\) into each option to check the condition quickly.
प्रति चरण 6 की कमी का अर्थ है कि x का गुणांक \(-6\) होगा। मान लें \(y=a-6x\)। शर्त \(y(5)=42\) रखने पर \(a-6(5)=42\), अतः \(a=72\)। इसलिए सही समीकरण \(y=72-6x\) है। विकल्प A में ढाल सही है, लेकिन \(y(5)=12\) आता है। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण में पहले ढाल से वृद्धि/कमी जाँचें, फिर दिए गए बिंदु को रखकर स्थिरांक जाँचें। / A decrease of 6 per step means that the coefficient of x must be \(-6\). Let \(y=a-6x\). Using \(y(5)=42\), we get \(a-6(5)=42\), so \(a=72\). Hence, \(y=72-6x\) is correct. Option A has the correct slope, but it gives \(y(5)=12\). Exam tip: first check the slope for growth or decay, then substitute the given point to verify the constant term.
शर्त है कि \(M(t)=N(t)+10\)। अतः \(35+5t=65-3t+10\), यानी \(35+5t=75-3t\)। इससे \(8t=40\) और \(t=5\) प्राप्त होता है। \(t=4\) पर दोनों का अंतर केवल \(2\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: “से 10 अधिक” को हमेशा \(M=N+10\) के रूप में लिखें। / The required condition is \(M(t)=N(t)+10\). So, \(35+5t=65-3t+10\), or \(35+5t=75-3t\). This gives \(8t=40\), hence \(t=5\). At \(t=4\), the difference is only \(2\), so it is not correct. Exam tip: translate “10 more than” as \(M=N+10\).
“12 अधिक” का अर्थ है \(A(t)-B(t)=12\)। अतः \((90-4t)-(30+2t)=12\), यानी \(60-6t=12\)। इससे \(6t=48\) और \(t=8\) प्राप्त होता है। \(t=10\) पर दोनों मान बराबर हो जाते हैं, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: “अधिक” वाले प्रश्न में पहले दोनों राशियों का अंतर लिखें। / “12 more” means \(A(t)-B(t)=12\). Therefore, \((90-4t)-(30+2t)=12\), so \(60-6t=12\). Hence, \(6t=48\) and \(t=8\). At \(t=10\), the two values become equal, so it is a close but incorrect option. Exam tip: In “more than” questions, first write the difference between the two quantities.
दिया है कि \(F(2)=F(5)-18\), अर्थात \(F(5)-F(2)=18\)। रैखिक फलन \(F(t)=20+rt\) के लिए \(F(5)-F(2)=(20+5r)-(20+2r)=3r\)। इसलिए \(3r=18\), अतः \(r=6\)। विकल्प 5 लेने पर अंतर केवल 15 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दो फलन-मानों का अंतर लेने पर स्थिर पद 20 कट जाता है। / Given \(F(2)=F(5)-18\), we get \(F(5)-F(2)=18\). For the linear function \(F(t)=20+rt\), \(F(5)-F(2)=(20+5r)-(20+2r)=3r\). Hence \(3r=18\), so \(r=6\). If \(r=5\), the difference would be only 15, so it is not correct. Exam tip: when subtracting two values of a linear function, the constant term 20 cancels out.
दिया है कि \(G(2)=G(7)+35\), अतः \(G(2)-G(7)=35\)। अब \(G(2)=100-2r\) और \(G(7)=100-7r\) रखने पर \((100-2r)-(100-7r)=5r\) मिलता है। इसलिए \(5r=35\), जिससे \(r=7\) प्राप्त होता है। \(r=5\) लेने पर अंतर केवल \(25\) होता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: अलग-अलग समयों पर फलन के मानों का अंतर लेने से स्थिर पद \(100\) कट जाता है। / Given \(G(2)=G(7)+35\), we have \(G(2)-G(7)=35\). Substituting \(G(2)=100-2r\) and \(G(7)=100-7r\) gives \((100-2r)-(100-7r)=5r\). Thus, \(5r=35\), so \(r=7\). If \(r=5\), the difference would be only \(25\), so it is not correct. Exam tip: subtracting function values at two times cancels the constant term \(100\).
दिया है कि \(P(n)=a+12n\)। \(n=3\) रखने पर \(a+12(3)=86\), अर्थात \(a+36=86\) और \(a=50\)। इसलिए \(P(8)=50+12(8)=50+96=146\)। विकल्प 158 में वृद्धि को गलत रूप से लिया गया है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से अचर पद \(a\) ज्ञात करें, फिर अपेक्षित \(n\) रखें। / Given \(P(n)=a+12n\). Putting \(n=3\), we get \(a+12(3)=86\), so \(a+36=86\) and \(a=50\). Therefore, \(P(8)=50+12(8)=50+96=146\). The option 158 results from using an incorrect increase. Exam tip: first find the constant term \(a\) from the given value, then substitute the required \(n\).
दिया है कि \(V(y)=c-1500y\)। \(V(2)=27000\) रखने पर \(c-1500(2)=27000\), अर्थात \(c-3000=27000\)। इसलिए \(c=30000\)। अब \(V(7)=30000-1500(7)=30000-10500=19500\)। अतः सही उत्तर 19500 है। 18000 तब मिलता यदि ह्रास की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से \(c\) ज्ञात करें, फिर अपेक्षित \(y\) का मान रखें। / Given \(V(y)=c-1500y\). Substituting \(V(2)=27000\) gives \(c-1500(2)=27000\), so \(c-3000=27000\) and hence \(c=30000\). Now, \(V(7)=30000-1500(7)=30000-10500=19500\). Therefore, 19500 is the correct answer. 18000 would result from an incorrect depreciation calculation. Exam tip: first find \(c\) from the given value, then substitute the required value of \(y\).
दिया है \(y=15+3x\) और शर्त है कि \(y=6x\)। अतः \(15+3x=6x\)। दोनों पक्षों से \(3x\) घटाने पर \(15=3x\), इसलिए \(x=5\)। \(x=6\) रखने पर \(y=33\) मिलता है, जबकि \(6x=36\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसी शर्त वाले प्रश्न में \(y\) के दोनों व्यंजकों को बराबर रखकर \(x\) हल करें। / Given \(y=15+3x\), the required condition is \(y=6x\). Therefore, \(15+3x=6x\). Subtracting \(3x\) from both sides gives \(15=3x\), so \(x=5\). For \(x=6\), \(y=33\), whereas \(6x=36\), so it is not correct. Exam tip: In such questions, equate the two expressions for \(y\) and then solve for \(x\).
दिया है \(y=80-5x\) और शर्त है \(y=3x\)। इसलिए \(80-5x=3x\)। दोनों पक्षों में \(5x\) जोड़ने पर \(80=8x\), अतः \(x=10\) मिलता है। \(x=8\) रखने पर \(y=40\) और \(3x=24\) होते हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसी शर्त वाले प्रश्नों में \(y\) के दोनों व्यंजकों को बराबर रखकर हल करें। / Given \(y=80-5x\) and the condition \(y=3x\), set the two expressions equal: \(80-5x=3x\). Adding \(5x\) to both sides gives \(80=8x\), so \(x=10\). If \(x=8\), then \(y=40\) while \(3x=24\), so it does not satisfy the condition. Exam tip: When two expressions represent the same variable, equate them and solve the resulting linear equation.
दिया है \(L(t)=2t+11\)। इसलिए \(L(3t)=2(3t)+11=6t+11\)। अब \(L(3t)-L(t)=(6t+11)-(2t+11)=4t\)। \(6t\) केवल \(L(3t)\) का मान है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: पहले फलन में \(3t\) प्रतिस्थापित करें, फिर कोष्ठक लगाकर दोनों व्यंजकों का घटाव करें। / Given \(L(t)=2t+11\), we get \(L(3t)=2(3t)+11=6t+11\). Therefore, \(L(3t)-L(t)=(6t+11)-(2t+11)=4t\). \(6t\) is part of the value of \(L(3t)\), not the difference. Exam tip: substitute \(3t\) into the function first, then subtract the two expressions using brackets.
दिया है \(K(t)=90-4t\)। इसलिए \(t\) के स्थान पर \(2t\) रखने पर \(K(2t)=90-4(2t)=90-8t\) मिलता है। अतः \(K(t)-K(2t)=(90-4t)-(90-8t)=90-4t-90+8t=4t\)। इसलिए सही विकल्प \(4t\) है। \(-4t\) चिह्नों को सही ढंग से न बदलने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: किसी फलन में \(2t\) रखने पर हर \(t\) को \(2t\) से बदलें और घटाते समय दूसरे कोष्ठक के सभी चिह्न बदलें। / Given \(K(t)=90-4t\). Substituting \(2t\) for \(t\) gives \(K(2t)=90-4(2t)=90-8t\). Therefore, \(K(t)-K(2t)=(90-4t)-(90-8t)=90-4t-90+8t=4t\). Hence, \(4t\) is correct. The distractor \(-4t\) may result from not changing every sign while subtracting the second bracket. Exam tip: when finding a function at \(2t\), replace every \(t\) by \(2t\), then distribute the minus sign carefully.
दिया है कि \(Y(x)=a+5x\)। अतः \(Y(2)=a+10\) और \(Y(6)=a+30\) होगा। इसलिए \(Y(2)+Y(6)=2a+40=86\)। इससे \(2a=46\), अतः \(a=23\)। विकल्प 28 लेने पर योग \(96\) आता है, 86 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए प्रत्येक \(x\)-मान को फलन में अलग-अलग रखकर जोड़ें। / Given \(Y(x)=a+5x\), we get \(Y(2)=a+10\) and \(Y(6)=a+30\). Therefore, \(Y(2)+Y(6)=2a+40=86\). Hence \(2a=46\), so \(a=23\). For example, choosing 28 would give a sum of 96, not 86. Exam tip: Substitute each given \(x\)-value into the function separately before adding.
दिया है कि \(Z(x)=b-6x\)। अतः \(Z(1)=b-6\) और \(Z(4)=b-24\) होगा। इसलिए \(Z(1)+Z(4)=(b-6)+(b-24)=2b-30\)। अब \(2b-30=90\) से \(2b=120\), अतः \(b=60\) मिलता है। विकल्प 63 लेने पर योग 96 आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए प्रत्येक \(x\)-मान को फलन में अलग-अलग रखकर जोड़ें। / Given \(Z(x)=b-6x\), we get \(Z(1)=b-6\) and \(Z(4)=b-24\). Hence, \(Z(1)+Z(4)=(b-6)+(b-24)=2b-30\). Using \(2b-30=90\), we obtain \(2b=120\), so \(b=60\). If 63 were used, the sum would be 96, not 90. Exam tip: Substitute each given value of \(x\) separately before adding the function values.
बराबरी के लिए \(p(x)=q(x)\) रखें: \(10+3x=4x-2\)। दोनों पक्षों से \(3x\) घटाने पर \(10=x-2\) मिलता है, इसलिए \(x=12\)। जाँच करने पर \(p(12)=46\) और \(q(12)=46\) हैं। उदाहरण के लिए, \(x=10\) पर दोनों मान क्रमशः 40 और 38 हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: दो बहुपद कब बराबर हैं, यह जानने के लिए पहले उन्हें एक-दूसरे के बराबर रखकर \(x\) हल करें। / For equality, set \(p(x)=q(x)\): \(10+3x=4x-2\). Subtracting \(3x\) from both sides gives \(10=x-2\), so \(x=12\). On checking, \(p(12)=46\) and \(q(12)=46\). For example, at \(x=10\), their values are 40 and 38, so it is not correct. Exam tip: To find when two polynomials are equal, equate their expressions first and solve for \(x\).
दिया है कि \(p(x)=q(x)\), इसलिए \(120-7x=60+5x\)। दोनों पक्षों से 60 घटाने पर \(60-7x=5x\) मिलता है। फिर \(60=12x\), अतः \(x=5\)। विकल्प \(x=6\) रखने पर दोनों व्यंजकों के मान बराबर नहीं आते। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों रैखिक व्यंजकों को बराबर करके \(x\) वाले पद एक ही पक्ष में लाएँ। / Since \(p(x)=q(x)\), set \(120-7x=60+5x\). Subtracting 60 from both sides gives \(60-7x=5x\), so \(60=12x\). Hence, \(x=5\). If \(x=6\) is substituted, the two expressions do not have equal values. Exam tip: equate the two linear expressions and collect all \(x\)-terms on one side.
दिया गया समीकरण \(y=18+(k-2)x\) है, जिसमें \(x\) का गुणांक या ढाल \(k-2\) है। रेखीय वृद्धि के लिए ढाल धनात्मक होनी चाहिए, इसलिए \(k-2>0\)। अतः \(k>2\) होगा। \(k=2\) पर \(y=18\) स्थिर रहता है, इसलिए वृद्धि नहीं होती। परीक्षा टिप: रेखीय समीकरण \(y=mx+c\) में वृद्धि के लिए \(m>0\) जाँचें। / In \(y=18+(k-2)x\), the coefficient of \(x\), or slope, is \(k-2\). For linear growth, the slope must be positive, so \(k-2>0\). Hence, \(k>2\). When \(k=2\), \(y=18\) is constant, not increasing. Exam tip: in \(y=mx+c\), check \(m>0\) for linear growth.
दिया गया व्यंजक \(y=100-(k+3)x\) है, जिसमें \(x\) का गुणांक \(-(k+3)\) है। रेखीय क्षय के लिए ढाल ऋणात्मक होनी चाहिए, अतः \(-(k+3)<0\)। इससे \(k+3>0\), अर्थात \(k>-3\) मिलता है। \(k=-3\) पर ढाल शून्य होती है, इसलिए \(y=100\) एक स्थिर मान है, क्षय नहीं। परीक्षा टिप: रेखीय वृद्धि या क्षय पहचानने के लिए \(x\) के गुणांक का चिह्न जाँचें। / In \(y=100-(k+3)x\), the coefficient of \(x\), or slope, is \(-(k+3)\). For linear decay, the slope must be negative, so \(-(k+3)<0\). This gives \(k+3>0\), hence \(k>-3\). When \(k=-3\), the slope is zero and \(y=100\) is constant, not decay. Exam tip: check the sign of the coefficient of \(x\) to identify linear growth or decay.
यहां (R(0)=50) सीधे आरंभिक मान है। अंतर से (m=9) मिलता है पर (R(0)) नहीं बदलता। / Here (R(0)=50) is directly the initial value. The difference gives (m=9), but (R(0)) does not change.
A. हर वास्तविक \(s\) के लिए शर्त सत्य है/The condition is true for every real \(s\)
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Simple Explanation
\(S(2)=s-4(2)=s-8\) और \(S(9)=s-4(9)=s-36\)। अतः \(S(2)-S(9)=(s-8)-(s-36)=28\)। इसमें \(s\) के पद कट जाते हैं, इसलिए यह शर्त हर वास्तविक \(s\) के लिए सत्य है। \(s=28\) या \(s=4\) कोई विशेष आवश्यक मान नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में पहले दोनों फलन-मूल लिखकर समान चर वाले पदों के कटने की जाँच करें। / \(S(2)=s-4(2)=s-8\) and \(S(9)=s-4(9)=s-36\). Therefore, \(S(2)-S(9)=(s-8)-(s-36)=28\). The terms containing \(s\) cancel, so the condition is true for every real \(s\). Neither \(s=28\) nor \(s=4\) is a specially required value. Exam tip: In differences of function values, write both values first and check whether the parameter terms cancel.
अंतर निकालें: (B(t)-A(t))=(30+5t)-(18+2t)=12+3t। यहाँ 3t का गुणांक बताता है कि t में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर अंतर 3 बढ़ता है। इसलिए विकल्प A सही है। 12 प्रारम्भिक अंतर है, वृद्धि की दर नहीं; अतः विकल्प D गलत है। परीक्षा टिप: दो रैखिक व्यंजकों का अंतर लेते समय स्थिर पदों और t के गुणांकों को अलग-अलग घटाएँ। / Find the difference: (B(t)-A(t))=(30+5t)-(18+2t)=12+3t. The coefficient of t is 3, so the difference increases by 3 for every increase of 1 in t. Therefore, option A is correct. The value 12 is the initial difference, not the rate of increase, so option D is incorrect. Exam tip: when subtracting linear expressions, subtract the constant terms and the coefficients of t separately.
अंतर निकालने पर मिलता है: \(C(t)-D(t)=(150-3t)-(120-8t)=30+5t\)। इसलिए \(t\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर अंतर 5 बढ़ता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(D(t)\), \(C(t)\) की तुलना में 5 अधिक तेजी से घटता है, जिससे उनका अंतर बढ़ता है। परीक्षा टिप: दो रैखिक व्यंजकों का अंतर निकालते समय दूसरे कोष्ठक के सभी चिह्न सावधानी से बदलें। / Subtracting gives \(C(t)-D(t)=(150-3t)-(120-8t)=30+5t\). Thus, for every increase of 1 in \(t\), the difference increases by 5. Option B is incorrect because \(D(t)\) decreases 5 units faster than \(C(t)\), so the gap between them increases. Exam tip: When subtracting linear expressions, change the signs of every term in the second bracket carefully.
\(y=80-5x\) में x की प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर y निश्चित रूप से 5 घटता है, इसलिए यह रैखिक क्षय है। विकल्प B में ढाल धनात्मक है, अतः वृद्धि होगी। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय की ढाल ऋणात्मक होती है। / In \(y=80-5x\), every increase of 1 in x decreases y by a constant 5, so it shows linear decay. Option B has a positive slope and represents growth. Exam tip: linear decay always has a negative coefficient of x.
\(P(x)=240-8x\) में स्थिर पद 240 आरंभिक मान देता है और x का गुणांक \(-8\) है, इसलिए x बढ़ने पर मान घटता है। \(240+8x\) में वृद्धि होती है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक ढाल क्षय दर्शाती है। / In \(P(x)=240-8x\), the constant term 240 is the initial value and the coefficient \(-8\) shows a decrease as x increases. \(240+8x\) represents growth. Exam tip: a negative slope indicates decay.
दिया है \(f(x)=5x+20\)। अतः \(f(2x)=5(2x)+20=10x+20\)। इसलिए \(f(2x)-f(x)=(10x+20)-(5x+20)=5x\)। अब \(5x=30\) रखने पर \(x=6\) मिलता है। इसलिए विकल्प C सही है। उदाहरण के लिए, \(x=5\) पर अंतर केवल \(25\) होगा, \(30\) नहीं। परीक्षा टिप: पहले \(f(2x)\) में हर \(x\) के स्थान पर \(2x\) रखें, फिर सावधानी से घटाएँ। / Given \(f(x)=5x+20\), we get \(f(2x)=5(2x)+20=10x+20\). Therefore, \(f(2x)-f(x)=(10x+20)-(5x+20)=5x\). Setting \(5x=30\) gives \(x=6\). Hence, option C is correct. For instance, when \(x=5\), the difference is only \(25\), not \(30\). Exam tip: substitute \(2x\) for every \(x\) in \(f(x)\) before simplifying the subtraction.
दिया है \(g(x)=96-6x\)। इसलिए \(g(2x)=96-6(2x)=96-12x\)। अतः \(g(x)-g(2x)=(96-6x)-(96-12x)=6x\)। अब \(6x=36\) रखने पर \(x=6\) मिलता है, इसलिए विकल्प C सही है। \(x=5\) रखने पर अंतर केवल \(30\) होगा। परीक्षा टिप: \(g(2x)\) निकालते समय हर जगह \(x\) के स्थान पर \(2x\) रखिए। / Given \(g(x)=96-6x\), we get \(g(2x)=96-6(2x)=96-12x\). Therefore, \(g(x)-g(2x)=(96-6x)-(96-12x)=6x\). Setting \(6x=36\) gives \(x=6\), so option C is correct. For example, at \(x=5\), the difference would be only \(30\). Exam tip: while finding \(g(2x)\), replace every \(x\) in the function by \(2x\).
रेखीय मॉडल में (P(2)+P(8)=2P(5)) क्योंकि (5) दोनों का मध्य है। जांचने पर दोनों (110) हैं। / In a linear model, (P(2)+P(8)=2P(5)) because (5) is the midpoint. Checking gives (110) on both sides.
यह एक रैखिक फलन है। यहाँ 1 और 9 का मध्य मान \(\frac{1+9}{2}=5\) है, इसलिए \(Q(1)+Q(9)=2Q(5)\)। जाँच के लिए, \(Q(1)=96\) और \(Q(9)=64\), अतः उनका योग \(160\) है। साथ ही \(Q(5)=80\), इसलिए \(2Q(5)=160\)। \(Q(4)\) मध्य बिंदु पर नहीं है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक फलन में दो इनपुटों के फलनों का योग उनके मध्य इनपुट के फलन के दोगुने के बराबर होता है। / This is a linear function. The midpoint of 1 and 9 is \(\frac{1+9}{2}=5\), so \(Q(1)+Q(9)=2Q(5)\). Checking directly, \(Q(1)=96\) and \(Q(9)=64\), giving a sum of \(160\). Also, \(Q(5)=80\), hence \(2Q(5)=160\). \(Q(4)\) is not at the midpoint, so it is not correct. Exam tip: for a linear function, the sum of the values at two inputs equals twice the value at their midpoint.
यहाँ x का परिवर्तन 9−4=5 है। रैखिक व्यंजक y=70+ax में y का परिवर्तन a×5 होता है। अतः 5a=35, इसलिए a=7। विकल्प 5, x के परिवर्तन को दर्शाता है, a का मान नहीं। परीक्षा टिप: y=mx+c में m को परिवर्तन की दर के रूप में पहचानें। / The change in x is 9−4=5. In the linear expression y=70+ax, the change in y is a×5. Hence, 5a=35, so a=7. Option 5 represents the change in x, not the value of a. Exam tip: In y=mx+c, identify m as the rate of change.
यहाँ \(x\) का परिवर्तन \(8-3=5\) है। समीकरण \(y=160-bx\) में \(x\) के प्रत्येक 1 इकाई बढ़ने पर \(y\), \(b\) इकाई घटता है। इसलिए कुल कमी \(5b\) होगी। दिया है \(5b=45\), अतः \(b=45/5=9\)। इसलिए सही विकल्प \(9\) है। \(15\) लेने पर कुल कमी \(5\times15=75\) होती, जो दी गई कमी नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण में कुल परिवर्तन = प्रति इकाई परिवर्तन × \(x\) का परिवर्तन। / The change in \(x\) is \(8-3=5\). In \(y=160-bx\), \(y\) decreases by \(b\) units for every 1-unit increase in \(x\). Hence, the total decrease is \(5b\). Given \(5b=45\), we get \(b=45/5=9\). Therefore, \(9\) is correct. If \(b=15\), the decrease would be \(5\times15=75\), not 45. Exam tip: For a linear relation, total change equals rate per unit times the change in the variable.
“\(A(t)\), \(B(t)\) से 4 अधिक” का अर्थ है \(A(t)=B(t)+4\)। इसलिए \(12+3t=18+2t+4\), जिससे \(t=10\) प्राप्त होता है। जाँच करने पर \(A(10)=42\) और \(B(10)=38\), अतः अंतर 4 है। \(t=9\) पर अंतर केवल 3 होगा। परीक्षा टिप: “से अधिक” वाले प्रश्नों में पहले अंतर को \(A(t)-B(t)\) के रूप में लिखें। / “\(A(t)\) is 4 more than \(B(t)\)” means \(A(t)=B(t)+4\). Thus, \(12+3t=18+2t+4\), which gives \(t=10\). Checking: \(A(10)=42\) and \(B(10)=38\), so the difference is 4. At \(t=9\), the difference is only 3. Exam tip: For “more than” questions, first write the difference as \(A(t)-B(t)\).
“\(C(t)\), \(D(t)\) से 12 कम” का अर्थ है \(C(t)=D(t)-12\)। अतः \(130-5t=70+3t-12\)। सरल करने पर \(72=8t\), इसलिए \(t=9\)। \(t=8\) निकट विकल्प है, लेकिन उस पर दोनों मानों का अंतर 12 नहीं होता। परीक्षा टिप: “से कम” वाले प्रश्न में बड़े व्यंजक में से दी गई संख्या घटाकर समीकरण बनाइए। / “\(C(t)\) is 12 less than \(D(t)\)” means \(C(t)=D(t)-12\). Thus, \(130-5t=70+3t-12\). Simplifying gives \(72=8t\), so \(t=9\). Option \(t=8\) is close, but the difference between the two values is not 12 there. Exam tip: For “less than” comparisons, subtract the stated amount from the larger expression before forming the equation.
दिया है कि f(t)=a+4t। अतः f(1)=a+4, f(3)=a+12 और f(5)=a+20। इनका योग 3a+36 होगा। इसलिए 3a+36=81, जिससे 3a=45 और a=15 प्राप्त होता है। 17 लेने पर योग 87 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक दिए गए t का मान फलन में रखकर फिर सभी पदों का योग करें। / Given f(t)=a+4t, we get f(1)=a+4, f(3)=a+12, and f(5)=a+20. Their sum is 3a+36. Hence, 3a+36=81, so 3a=45 and a=15. If a were 17, the sum would be 87, so it is not correct. Exam tip: substitute each given value of t into the function before adding the results.
दिया है कि \(g(t)=b-3t\)। अतः \(g(2)=b-6\), \(g(4)=b-12\) और \(g(6)=b-18\)। इनका योग \((b-6)+(b-12)+(b-18)=3b-36\) होगा। इसलिए \(3b-36=144\), अर्थात \(3b=180\) और \(b=60\)। विकल्प 54 लेने पर योग \(126\) आता है, 144 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले प्रत्येक दिए गए इनपुट के लिए फलन का मान निकालकर ही योग का समीकरण बनाइए। / Given \(g(t)=b-3t\), we get \(g(2)=b-6\), \(g(4)=b-12\), and \(g(6)=b-18\). Their sum is \((b-6)+(b-12)+(b-18)=3b-36\). Hence \(3b-36=144\), so \(3b=180\) and \(b=60\). If 54 is used instead, the sum becomes \(126\), not 144. Exam tip: In such questions, first evaluate the function at every given input and then form the sum equation.
