linear growth and decay se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
A. प्रत्येक चरण में \(11\) बढ़ता है/It increases by \(11\) each step
Explanation
Simple Explanation
\(C(t)-D(t)=(390-11t)-(270-22t)=120+11t\)। अतः \(t\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर अंतर \(11\) बढ़ता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में ऋणात्मक ढाल मान ली गई है, जबकि \(-11-(-22)=+11\) होता है। परीक्षा टिप: दो रैखिक व्यंजकों का अंतर निकालते समय दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद का चिन्ह बदलें। / \(C(t)-D(t)=(390-11t)-(270-22t)=120+11t\). Thus, for every increase of 1 in \(t\), the difference increases by \(11\), so option A is correct. Option B incorrectly treats the resulting rate as negative; \(-11-(-22)=+11\). Exam tip: while subtracting linear expressions, change the sign of every term in the second bracket.
“17 अधिक” का अर्थ है \(A(t)=B(t)+17\)। अतः \(280-13t=65+5t+17\), जिससे \(198=18t\) और \(t=11\) प्राप्त होता है। \(t=10\) रखने पर अंतर 35 होता है, 17 नहीं। परीक्षा टिप: “से अधिक” वाले प्रश्नों में पहले दोनों राशियों का अंतर लिखें। / “17 more” means \(A(t)=B(t)+17\). Therefore, \(280-13t=65+5t+17\), which gives \(198=18t\) and hence \(t=11\). Substituting \(t=10\) gives a difference of 35, not 17. Exam tip: In “more than” questions, first write the difference between the two quantities.
“15 अधिक” का अर्थ है \(A(t)=B(t)+15\)। अतः \(240-11t=60+4t+15\), जिससे \(165=15t\) और \(t=11\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प C है। \(t=10\) पर अंतर \(30\) होगा, 15 नहीं। परीक्षा टिप: “अधिक” वाले प्रश्नों में बड़ी राशि को छोटी राशि में दी गई वृद्धि जोड़कर बराबर लिखें। / “15 more” means \(A(t)=B(t)+15\). Thus, \(240-11t=60+4t+15\), which gives \(165=15t\) and hence \(t=11\). Therefore, option C is correct. At \(t=10\), the difference is \(30\), not 15. Exam tip: For “more than” questions, write the larger quantity as the smaller quantity plus the stated difference.
“18 अधिक” का अर्थ है \(M(t)=N(t)+18\)। अतः \(80+7t=170-5t+18\), यानी \(80+7t=188-5t\)। इससे \(12t=108\) और \(t=9\) प्राप्त होता है। \(t=10\) निकट का विकल्प लग सकता है, पर उसे रखने पर अंतर \(30\) होगा, \(18\) नहीं। परीक्षा टिप: “अधिक” वाले प्रश्नों में पहले बड़े मान को छोटे मान में दी गई वृद्धि जोड़कर लिखें। / “18 more” means \(M(t)=N(t)+18\). Thus, \(80+7t=170-5t+18\), or \(80+7t=188-5t\). Therefore, \(12t=108\), giving \(t=9\). Option \(t=10\) may seem close, but it gives a difference of \(30\), not \(18\). Exam tip: In “more than” questions, write the larger quantity as the smaller quantity plus the stated difference.
“\(C(t)\), \(D(t)\) से 12 कम” का अर्थ है \(C(t)=D(t)-12\)। अतः \(260-9t=80+5t-12\), यानी \(260-9t=68+5t\)। इससे \(192=14t\) प्राप्त होता है, इसलिए \(t=\frac{96}{7}\)। \(t=12\) रखने पर दोनों फलनों का अंतर 24 होता है, 12 नहीं। परीक्षा टिप: “से कम” वाले प्रश्न में छोटे मान को बड़े मान में से अंतर घटाकर लिखें। / “\(C(t)\) is 12 less than \(D(t)\)” means \(C(t)=D(t)-12\). Thus, \(260-9t=80+5t-12\), or \(260-9t=68+5t\). This gives \(192=14t\), so \(t=\frac{96}{7}\). At \(t=12\), the difference between the two functions is 24, not 12. Exam tip: For “less than by” questions, write the smaller quantity as the larger quantity minus the stated difference.
A. शर्त प्रत्येक वास्तविक \(s\) के लिए सत्य है/The condition is true for every real \(s\)
Explanation
Simple Explanation
\(S(4)=s-9(4)=s-36\) और \(S(12)=s-9(12)=s-108\)। अतः \(S(4)-S(12)=(s-36)-(s-108)=72\)। यहाँ \(s\) वाले पद कट जाते हैं, इसलिए दी गई शर्त हर वास्तविक \(s\) के लिए सत्य है। \(s=72\) या \(s=9\) कोई विशेष आवश्यक मान नहीं हैं। परीक्षा टिप: दो फलन मानों का अंतर निकालते समय कोष्ठक खोलते हुए ऋण चिह्न का ध्यान रखें। / \(S(4)=s-9(4)=s-36\) and \(S(12)=s-9(12)=s-108\). Hence, \(S(4)-S(12)=(s-36)-(s-108)=72\). The terms containing \(s\) cancel, so the given condition is true for every real \(s\). Neither \(s=72\) nor \(s=9\) is a specially required value. Exam tip: while subtracting function values, use brackets carefully to avoid sign errors.
“\(12\) अधिक” का अर्थ है \(A(t)=B(t)+12\)। अतः \(190-8t=46+4t+12\), जिससे \(132=12t\) और \(t=11\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प \(t=11\) है। \(t=10\) पर दोनों राशियों का अंतर \(24\) होगा, \(12\) नहीं। परीक्षा टिप: “इतना अधिक” वाले प्रश्नों में पहले अंतर \(A(t)-B(t)\) को दिए गए अंतर के बराबर रखें। / “12 more” means \(A(t)=B(t)+12\). Thus, \(190-8t=46+4t+12\), which gives \(132=12t\) and hence \(t=11\). Therefore, \(t=11\) is correct. At \(t=10\), the difference between the two quantities is \(24\), not \(12\). Exam tip: In “more than” questions, set \(A(t)-B(t)\) equal to the stated difference first.
“20 अधिक” का अर्थ है \(M(t)=N(t)+20\)। अतः \(62+5t=142-5t+20\), यानी \(62+5t=162-5t\)। इससे \(10t=100\), इसलिए \(t=10\)। \(t=8\) लेने पर अंतर केवल 0 होता है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: “अधिक” वाले प्रश्न में पहले बड़ी राशि को छोटी राशि से आवश्यक अंतर जोड़कर बराबर करें। / “20 more” means \(M(t)=N(t)+20\). Thus, \(62+5t=142-5t+20\), or \(62+5t=162-5t\). This gives \(10t=100\), so \(t=10\). At \(t=8\), the difference is 0, so it is a close but incorrect option. Exam tip: for “more than” questions, equate the larger quantity to the smaller quantity plus the stated difference.
A. हर चरण में 7 बढ़ता है/It increases by 7 at each step
Explanation
Simple Explanation
अंतर ज्ञात करें: \(C(t)-D(t)=(220-6t)-(150-13t)=70+7t\)। \(t\) के गुणांक 7 होने से \(t\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर अंतर 7 बढ़ता है। विकल्प B में 7 की दर तो है, पर उसकी दिशा गलत है। परीक्षा टिप: दो रैखिक व्यंजकों का अंतर लेते समय दूसरे व्यंजक के सभी पदों के चिन्ह बदलें। / Find the difference: \(C(t)-D(t)=(220-6t)-(150-13t)=70+7t\). Since the coefficient of \(t\) is 7, the difference increases by 7 whenever \(t\) increases by 1. Option B has the correct magnitude of rate but the wrong direction. Exam tip: when subtracting one linear expression from another, change the signs of all terms in the second expression.
“\(B(t)\) से 2 अधिक” का अर्थ है \(A(t)=B(t)+2\)। अतः \(170-9t=38+4t+2\), जिससे \(170-9t=40+4t\) और \(130=13t\) मिलता है। इसलिए \(t=10\) है। \(t=9\) रखने पर अंतर 15 आता है, 2 नहीं। परीक्षा टिप: “से अधिक” वाले प्रश्नों में पहले अंतर को समीकरण के रूप में लिखें। / “2 more than \(B(t)\)” means \(A(t)=B(t)+2\). So, \(170-9t=38+4t+2\), which gives \(170-9t=40+4t\) and \(130=13t\). Hence, \(t=10\). At \(t=9\), the difference is 15, not 2. Exam tip: In comparison questions, first convert the stated difference into an equation.
“(D(t)) से 12 कम” का अर्थ है (C(t)=D(t)-12)। अतः (180-7t=60+5t-12)। सरल करने पर (180-7t=48+5t), इसलिए (132=12t) और (t=11) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प C है। (t=10) पर दोनों फलनों का अंतर 12 नहीं होता। परीक्षा टिप: “से कम” वाले प्रश्नों में पहले बड़े मान वाले व्यंजक में से दिया गया अंतर घटाइए। / “12 less than (D(t))” means (C(t)=D(t)-12). Therefore, (180-7t=60+5t-12). Simplifying gives (180-7t=48+5t), so (132=12t) and hence (t=11). Therefore, option C is correct. At (t=10), the difference between the two functions is not 12. Exam tip: In “less than” questions, subtract the stated difference from the reference expression first.
“\(16\) अधिक” का अर्थ है \(A(t)=B(t)+16\)। अतः \(140-6t=44+2t+16\), जिससे \(140-6t=60+2t\) और \(80=8t\) मिलता है। इसलिए \(t=10\) है। \(t=9\) पर अंतर \(24\) होगा, \(16\) नहीं। परीक्षा टिप: “से अधिक” वाले प्रश्नों में पहले अंतर को \(A(t)-B(t)\) के रूप में लिखें। / “16 more” means \(A(t)=B(t)+16\). So, \(140-6t=44+2t+16\), which gives \(140-6t=60+2t\) and then \(80=8t\). Hence, \(t=10\). At \(t=9\), the difference is \(24\), not \(16\). Exam tip: In “more than” questions, first write the difference as \(A(t)-B(t)\).
“9 अधिक” का अर्थ है \(M(t)=N(t)+9\)। अतः \(42+4t=96-5t+9\), यानी \(42+4t=105-5t\)। इसलिए \(9t=63\) और \(t=7\) मिलता है। \(t=6\) पर अंतर केवल \(0\) होगा, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: “अधिक” वाले प्रश्न में बड़ी राशि को छोटी राशि से आवश्यक अंतर जोड़कर बराबर करें। / “9 more” means \(M(t)=N(t)+9\). Thus, \(42+4t=96-5t+9\), or \(42+4t=105-5t\). Hence \(9t=63\), so \(t=7\). At \(t=6\), the difference is only \(0\), so it is a close but incorrect option. Exam tip: For “more than” questions, equate the larger quantity to the smaller quantity plus the stated difference.
बराबरी के लिए \(55+5t=135-3t\) लिखते हैं। \(3t\) को बाईं ओर और 55 को दाईं ओर ले जाने पर \(8t=80\) मिलता है, अतः \(t=10\) है। \(t=8\) रखने पर दोनों मान बराबर नहीं होते, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(t\) वाले पदों को एक ओर और स्थिर पदों को दूसरी ओर एकत्र करें। / For equality, write \(55+5t=135-3t\). Moving \(3t\) to the left and 55 to the right gives \(8t=80\), so \(t=10\). Substituting \(t=8\) does not make the two values equal, so it is a close but incorrect distractor. Exam tip: collect all terms containing \(t\) on one side and constant terms on the other.
“\(C(t)\), \(D(t)\) से 12 कम” का अर्थ है \(C(t)=D(t)-12\)। अतः \(130-5t=70+3t-12\)। सरल करने पर \(72=8t\), इसलिए \(t=9\)। \(t=8\) निकट विकल्प है, लेकिन उस पर दोनों मानों का अंतर 12 नहीं होता। परीक्षा टिप: “से कम” वाले प्रश्न में बड़े व्यंजक में से दी गई संख्या घटाकर समीकरण बनाइए। / “\(C(t)\) is 12 less than \(D(t)\)” means \(C(t)=D(t)-12\). Thus, \(130-5t=70+3t-12\). Simplifying gives \(72=8t\), so \(t=9\). Option \(t=8\) is close, but the difference between the two values is not 12 there. Exam tip: For “less than” comparisons, subtract the stated amount from the larger expression before forming the equation.
अंतर निकालने पर मिलता है: \(C(t)-D(t)=(150-3t)-(120-8t)=30+5t\)। इसलिए \(t\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर अंतर 5 बढ़ता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(D(t)\), \(C(t)\) की तुलना में 5 अधिक तेजी से घटता है, जिससे उनका अंतर बढ़ता है। परीक्षा टिप: दो रैखिक व्यंजकों का अंतर निकालते समय दूसरे कोष्ठक के सभी चिह्न सावधानी से बदलें। / Subtracting gives \(C(t)-D(t)=(150-3t)-(120-8t)=30+5t\). Thus, for every increase of 1 in \(t\), the difference increases by 5. Option B is incorrect because \(D(t)\) decreases 5 units faster than \(C(t)\), so the gap between them increases. Exam tip: When subtracting linear expressions, change the signs of every term in the second bracket carefully.
A. हर वास्तविक \(s\) के लिए शर्त सत्य है/The condition is true for every real \(s\)
Explanation
Simple Explanation
\(S(2)=s-4(2)=s-8\) और \(S(9)=s-4(9)=s-36\)। अतः \(S(2)-S(9)=(s-8)-(s-36)=28\)। इसमें \(s\) के पद कट जाते हैं, इसलिए यह शर्त हर वास्तविक \(s\) के लिए सत्य है। \(s=28\) या \(s=4\) कोई विशेष आवश्यक मान नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में पहले दोनों फलन-मूल लिखकर समान चर वाले पदों के कटने की जाँच करें। / \(S(2)=s-4(2)=s-8\) and \(S(9)=s-4(9)=s-36\). Therefore, \(S(2)-S(9)=(s-8)-(s-36)=28\). The terms containing \(s\) cancel, so the condition is true for every real \(s\). Neither \(s=28\) nor \(s=4\) is a specially required value. Exam tip: In differences of function values, write both values first and check whether the parameter terms cancel.
दिया है कि \(p(x)=q(x)\), इसलिए \(120-7x=60+5x\)। दोनों पक्षों से 60 घटाने पर \(60-7x=5x\) मिलता है। फिर \(60=12x\), अतः \(x=5\)। विकल्प \(x=6\) रखने पर दोनों व्यंजकों के मान बराबर नहीं आते। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों रैखिक व्यंजकों को बराबर करके \(x\) वाले पद एक ही पक्ष में लाएँ। / Since \(p(x)=q(x)\), set \(120-7x=60+5x\). Subtracting 60 from both sides gives \(60-7x=5x\), so \(60=12x\). Hence, \(x=5\). If \(x=6\) is substituted, the two expressions do not have equal values. Exam tip: equate the two linear expressions and collect all \(x\)-terms on one side.
“12 अधिक” का अर्थ है \(A(t)-B(t)=12\)। अतः \((90-4t)-(30+2t)=12\), यानी \(60-6t=12\)। इससे \(6t=48\) और \(t=8\) प्राप्त होता है। \(t=10\) पर दोनों मान बराबर हो जाते हैं, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: “अधिक” वाले प्रश्न में पहले दोनों राशियों का अंतर लिखें। / “12 more” means \(A(t)-B(t)=12\). Therefore, \((90-4t)-(30+2t)=12\), so \(60-6t=12\). Hence, \(6t=48\) and \(t=8\). At \(t=10\), the two values become equal, so it is a close but incorrect option. Exam tip: In “more than” questions, first write the difference between the two quantities.
