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\(Q=80-5t\) में \(t\) का गुणांक \(-5\) स्थिर है, इसलिए हर एक समय इकाई पर राशि 5 इकाई घटती है। \(80+5t\) रेखीय वृद्धि दिखाता है। परीक्षा में ऋणात्मक स्थिर ढाल को रेखीय क्षय पहचानें। / In \(Q=80-5t\), the coefficient of \(t\) is the constant \(-5\), so the quantity falls by 5 units per time interval. \(80+5t\) shows growth, not decay. Exam tip: linear decay has a constant negative slope.
मॉडल \(y=-3x+12\) में \(x\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए \(x\) के हर 1 बढ़ने पर \(y\) 3 इकाई घटता है। \(x=0\) रखने पर मान 12 मिलता है, जो धनात्मक है। विकल्प C का प्रारम्भिक मान ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: क्षय के लिए ढाल ऋणात्मक देखें। / In \(y=-3x+12\), the coefficient of \(x\) is \(-3\), so \(y\) falls by 3 units for every increase of 1 in \(x\). Substituting \(x=0\) gives 12, which is positive. Option C has a negative initial value. Exam tip: decay requires a negative slope.
दोनों मॉडल बराबर होने के लिए \(45+8t=129-4t\) होगा। \(4t\) को बाईं ओर और \(45\) को दाईं ओर ले जाने पर \(12t=84\) मिलता है। अतः \(t=7\), इसलिए सही विकल्प C है। \(t=6\) निकटतम विकल्प है, लेकिन उस पर दोनों मॉडलों के मान बराबर नहीं होते। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों व्यंजकों को बराबर रखकर चर वाले पदों को एक ही पक्ष में लाएँ। / For the models to be equal, set \(45+8t=129-4t\). Moving \(4t\) to the left and \(45\) to the right gives \(12t=84\). Hence, \(t=7\), so option C is correct. \(t=6\) is the nearest distractor, but the two model values are not equal at that time. Exam tip: Equate the two expressions and collect all variable terms on one side.
बराबरी के लिए दोनों व्यंजकों को समान रखें: \(38+6t=122-8t\)। \(8t\) को बाईं ओर लाने पर \(14t=84\) मिलता है, अतः \(t=6\)। \(t=8\) एक निकट विकल्प है, लेकिन उस पर \(P(8)=86\) और \(Q(8)=58\) हैं, जो बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: एक व्यंजक बढ़ रहा हो और दूसरा घट रहा हो, तो उनके प्रतिच्छेदन के लिए दोनों को बराबर करके \(t\) हल करें। / For equality, set the two expressions equal: \(38+6t=122-8t\). Bringing \(8t\) to the left gives \(14t=84\), so \(t=6\). Although \(t=8\) is a close distractor, \(P(8)=86\) and \(Q(8)=58\), so they are not equal. Exam tip: when one expression increases and the other decreases, equate them to find their intersection time.
दिया है कि \(f(2)=a+11\times2=61\)। अतः \(a+22=61\), इसलिए \(a=39\)। अब \(f(9)=39+11\times9=39+99=138\) होगा। विकल्प 127 तब मिल सकता है जब \(x\) के 2 से 9 तक बढ़ने पर होने वाली वृद्धि \(11\times7=77\) को सही ढंग से न जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: रैखिक फलन में \(x\) की वृद्धि को गुणांक से गुणा करके फलन के मान में परिवर्तन तुरंत ज्ञात किया जा सकता है। / Given \(f(2)=a+11\times2=61\), we get \(a+22=61\), so \(a=39\). Therefore, \(f(9)=39+11\times9=39+99=138\). Option 127 may result from incorrectly calculating or adding the increase \(11\times(9-2)=77\). Exam tip: In a linear function, multiply the change in \(x\) by its coefficient to find the change in the function value quickly.
दिया है कि \(g(x)=b-7x\)। अतः \(g(6)=b-7(6)=b-42\)। क्योंकि \(g(6)=74\), इसलिए \(b-42=74\), जिससे \(b=116\) मिलता है। अब \(g(13)=116-7(13)=116-91=25\)। इसलिए सही विकल्प 25 है। 32 जैसा विकल्प घटाव में त्रुटि करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए फलन-मूल्य से अज्ञात नियतांक ज्ञात करें, फिर आवश्यक \(x\)-मान रखिए। / Given \(g(x)=b-7x\), we have \(g(6)=b-7(6)=b-42\). Since \(g(6)=74\), \(b-42=74\), so \(b=116\). Now, \(g(13)=116-7(13)=116-91=25\). Therefore, 25 is the correct option. A value such as 32 can result from an error in subtraction. Exam tip: first find the unknown constant from the given function value, then substitute the required value of \(x\).
\(y=12-3x\) में स्थिर पद 12 धनात्मक प्रारम्भिक मान देता है और x का गुणांक −3 है, इसलिए x बढ़ने पर y घटता है। \(y=12+3x\) वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: स्थिर पद और ढाल का चिन्ह अलग-अलग जाँचें। / In \(y=12-3x\), the constant term 12 gives a positive initial value, while the coefficient −3 makes y decrease as x increases. \(y=12+3x\) represents growth instead. Exam tip: check the signs of the intercept and slope separately.
\(y=18-3x\) में \(x\) का गुणांक ऋणात्मक और स्थिर है, इसलिए \(x\) में हर 1 की वृद्धि पर \(y\) 3 इकाई घटता है। विकल्प B रैखिक वृद्धि है, जबकि C और D रैखिक नहीं हैं। परीक्षा टिप: रेखीय रूप \(y=a+bx\) में \(b<0\) हो तो क्षय होता है। / In \(y=18-3x\), the coefficient of \(x\) is a constant negative number, so \(y\) decreases by 3 units for every 1-unit increase in \(x\). Option B shows growth, while C and D are non-linear. Exam tip: in \(y=a+bx\), decay occurs when \(b<0\).
\(y=40-3x\) में \(x\) की घात 1 है और \(x\) के गुणांक \(-3\) का अर्थ है कि \(x\) में 1 की वृद्धि पर \(y\) 3 घटता है। \(40-3x^2\) द्विघात है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद की उच्चतम घात 1 होती है। / In \(y=40-3x\), the highest power of \(x\) is 1, and the coefficient \(-3\) means \(y\) decreases by 3 when \(x\) increases by 1. \(40-3x^2\) is quadratic. Exam tip: a linear polynomial has degree 1.
\(12-3x\) प्रथम घात का बहुपद है और \(x\) का गुणांक \(-3\) है। इसलिए \(x\) में हर 1 की वृद्धि पर मात्रा 3 से घटती है। \(12-3x^2\) में परिवर्तन समान नहीं होता। परीक्षा टिप: रेखीय क्षय के लिए \(x\) का गुणांक ऋणात्मक देखें। / \(12-3x\) is a first-degree polynomial with coefficient \(-3\) of \(x\). Thus, the quantity decreases by 3 for every increase of 1 in \(x\). \(12-3x^2\) is not linear because its rate changes. Exam tip: linear decay has a negative coefficient of \(x\).
दिया है, \(C(t)=31+kt\)। अतः \(C(9)=31+9k\) और \(C(4)=31+4k\)। इसलिए \(C(9)-C(4)=(31+9k)-(31+4k)=5k\)। प्रश्नानुसार \(5k=60\), इसलिए \(k=12\)। विकल्प 15 तब मिलता है जब समयांतराल को गलत तरीके से 4 लिया जाए; सही अंतर \(9-4=5\) है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक के दो मानों का अंतर लेते समय स्थिर पद अपने-आप कट जाता है। / Given \(C(t)=31+kt\), we have \(C(9)=31+9k\) and \(C(4)=31+4k\). Hence, \(C(9)-C(4)=(31+9k)-(31+4k)=5k\). Since this difference is 60, \(5k=60\), so \(k=12\). Option 15 would result from incorrectly taking the time difference as 4; the correct difference is \(9-4=5\). Exam tip: when subtracting two values of a linear expression, the constant term cancels out.
दिया है कि \(D(t)=190-kt\)। अतः \(D(3)=190-3k\) और \(D(12)=190-12k\)। इसलिए \(D(3)-D(12)=(190-3k)-(190-12k)=9k\)। \(9k=81\) से \(k=9\) मिलता है। विकल्प 12 समयों का अंतर है, \(k\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों फलनों को अलग-अलग लिखकर घटाने पर स्थिर पद अक्सर कट जाते हैं। / Given \(D(t)=190-kt\), we have \(D(3)=190-3k\) and \(D(12)=190-12k\). Therefore, \(D(3)-D(12)=(190-3k)-(190-12k)=9k\). Since \(9k=81\), \(k=9\). Option 12 is the difference between the time values, not the value of \(k\). Exam tip: Write both function values separately before subtracting; the constant terms often cancel out.
यहाँ \(A(x+6)=25+4(x+6)=49+4x\) और \(A(x-1)=25+4(x-1)=21+4x\) है। अतः \(A(x+6)-A(x-1)=(49+4x)-(21+4x)=28\)। इसलिए सही उत्तर 28 है। विकल्प 24 तब मिलता यदि केवल 6 इकाई का परिवर्तन लिया जाता, जबकि \((x+6)\) और \((x-1)\) के बीच वास्तविक अंतर 7 है। परीक्षा टिप: रैखिक फलन \(a+bx\) में इनपुट के अंतर को \(b\) से गुणा करके आउटपुट का अंतर जल्दी ज्ञात करें। / Here, \(A(x+6)=25+4(x+6)=49+4x\) and \(A(x-1)=25+4(x-1)=21+4x\). Therefore, \(A(x+6)-A(x-1)=(49+4x)-(21+4x)=28\). Hence, 28 is correct. Option 24 would result from using a change of only 6, but the actual difference between \((x+6)\) and \((x-1)\) is 7. Exam tip: for a linear function \(a+bx\), multiply the change in input by \(b\) to quickly find the change in output.
\(P(x)=180-4x\) में स्थिर पद 180 प्रारम्भिक मान बताता है और \(x\) का गुणांक \(-4\) होने से राशि हर इकाई पर 4 घटती है। विकल्प A वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास के लिए \(x\) का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(P(x)=180-4x\), the constant term 180 gives the initial value, while the coefficient \(-4\) shows a decrease of 4 per unit increase in \(x\). Option A represents growth. Exam tip: a negative coefficient of \(x\) indicates linear decay.
दिया है कि P(t)=p+9t। अतः P(3)=p+9(3)=82, इसलिए p+27=82 और p=55। अब P(s)=55+9s=136। इससे 9s=81, इसलिए s=9। विकल्प 8 लेने पर मान 127 आएगा, 136 नहीं। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से स्थिर पद p ज्ञात करें, फिर दूसरे मान में उसे रखकर चर हल करें। / Given P(t)=p+9t, we have P(3)=p+9(3)=82. Thus p+27=82, so p=55. Now P(s)=55+9s=136, which gives 9s=81 and hence s=9. If 8 were used, the value would be 127, not 136. Exam tip: first find the constant term p from the known input-output pair, then substitute it into the second condition.
दिया है कि \(R(t)=r-8t\)। \(R(5)=104\) रखने पर \(r-8(5)=104\), इसलिए \(r=144\)। अब \(R(s)=48\) से \(144-8s=48\) मिलता है। अतः \(8s=96\), इसलिए \(s=12\)। विकल्प 14 लेने पर मान 48 नहीं आएगा। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से स्थिरांक \(r\) ज्ञात करें, फिर दूसरे मान में उसे रखें। / Given \(R(t)=r-8t\), substitute \(R(5)=104\): \(r-8(5)=104\), so \(r=144\). Now \(R(s)=48\) gives \(144-8s=48\). Thus \(8s=96\), and \(s=12\). For example, \(s=14\) would not give a value of 48. Exam tip: first find the constant \(r\) from the known input-output pair, then use the second condition.
प्रति चरण 8 की वृद्धि के लिए रैखिक व्यंजक का ढाल 8 होना चाहिए, अर्थात \(y=a+8x\)। शर्त \(y(3)=50\) रखने पर \(a+8(3)=50\), इसलिए \(a=26\) मिलता है। अतः \(y=26+8x\) सही है। \(y=74-8x\) में \(y(3)=50\) तो मिलता है, लेकिन इसका ढाल \(-8\) है, इसलिए यह घटता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में ढाल और दिए गए बिंदु—दोनों जाँचें। / An increase of 8 per step requires a linear expression with slope 8, so \(y=a+8x\). Using \(y(3)=50\) gives \(a+8(3)=50\), hence \(a=26\). Therefore, \(y=26+8x\) is correct. Although \(y=74-8x\) gives \(y(3)=50\), its slope is \(-8\), so it represents decay rather than growth. Exam tip: check both the slope and the given point.
प्रति चरण 4 की कमी का अर्थ है कि \(x\) का गुणांक \(-4\) होगा। अतः समीकरण \(y=a-4x\) के रूप में होगा। शर्त \(y(7)=73\) रखने पर \(a-4(7)=73\), इसलिए \(a=101\) मिलता है। अतः सही समीकरण \(y=101-4x\) है। विकल्प A में प्रारम्भिक मान 73 है, इसलिए \(y(7)=45\) होगा, 73 नहीं। परीक्षा टिप: दिए गए \(x\)-मान को विकल्प में रखकर शर्त तुरंत जाँचें। / A decrease of 4 per step means the coefficient of \(x\) must be \(-4\). So the equation has the form \(y=a-4x\). Using \(y(7)=73\), we get \(a-4(7)=73\), so \(a=101\). Therefore, \(y=101-4x\) is correct. In option A, the initial value is 73, giving \(y(7)=45\), not 73. Exam tip: substitute the given \(x\)-value into each suitable option to check the condition quickly.
“14 अधिक” का अर्थ है \(M(t)=N(t)+14\)। अतः \(58+3t=116-5t+14=130-5t\)। इसलिए \(8t=72\), जिससे \(t=9\) प्राप्त होता है। \(t=8\) पर अंतर केवल \(6\) होगा, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: “अधिक” वाले प्रश्न में बड़े मान को छोटे मान से अपेक्षित अंतर जोड़कर लिखें। / “14 more” means \(M(t)=N(t)+14\). Thus, \(58+3t=116-5t+14=130-5t\). Hence \(8t=72\), so \(t=9\). At \(t=8\), the difference is only \(6\), making it a close but incorrect option. Exam tip: for “more than” questions, write the larger quantity as the smaller quantity plus the stated difference.
“\(B(t)\) से 2 अधिक” का अर्थ है \(A(t)=B(t)+2\)। अतः \(170-9t=38+4t+2\), जिससे \(170-9t=40+4t\) और \(130=13t\) मिलता है। इसलिए \(t=10\) है। \(t=9\) रखने पर अंतर 15 आता है, 2 नहीं। परीक्षा टिप: “से अधिक” वाले प्रश्नों में पहले अंतर को समीकरण के रूप में लिखें। / “2 more than \(B(t)\)” means \(A(t)=B(t)+2\). So, \(170-9t=38+4t+2\), which gives \(170-9t=40+4t\) and \(130=13t\). Hence, \(t=10\). At \(t=9\), the difference is 15, not 2. Exam tip: In comparison questions, first convert the stated difference into an equation.
दिया है कि \(F(2)=F(9)-63\), अतः \(F(9)-F(2)=63\)। रैखिक फलन \(F(t)=45+rt\) के लिए \(F(9)-F(2)=(45+9r)-(45+2r)=7r\) होगा। इसलिए \(7r=63\), जिससे \(r=9\) मिलता है। विकल्प 7 समयांतराल \(9-2\) है, दर \(r\) नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दो फलन मानों का अंतर लेने पर स्थिर पद कट जाता है। / Given \(F(2)=F(9)-63\), we get \(F(9)-F(2)=63\). For the linear function \(F(t)=45+rt\), \(F(9)-F(2)=(45+9r)-(45+2r)=7r\). Hence \(7r=63\), so \(r=9\). Option 7 is the time interval \(9-2\), not the rate \(r\). Exam tip: taking the difference of two function values cancels the constant term.
दिया है कि \(G(4)=G(12)+72\), अर्थात \(G(4)-G(12)=72\)। अब \(G(4)=180-4r\) और \(G(12)=180-12r\) रखने पर अंतर \(8r\) मिलता है। इसलिए \(8r=72\), अतः \(r=9\)। विकल्प 8 लेने पर अंतर केवल 64 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: दो समयों पर रैखिक फलन का अंतर लेने से स्थिर पद \(180\) कट जाता है। / Given \(G(4)=G(12)+72\), we have \(G(4)-G(12)=72\). Now, \(G(4)=180-4r\) and \(G(12)=180-12r\), so their difference is \(8r\). Thus, \(8r=72\), which gives \(r=9\). If \(r=8\), the difference would be only 64, so it is not correct. Exam tip: Taking the difference of a linear function at two times cancels the constant term \(180\).
दिया है: \(P(n)=a+18n\)। पहले \(P(5)=170\) रखने पर \(a+18\times5=170\), अतः \(a=80\)। इसलिए \(P(11)=80+18\times11=80+198=278\)। अतः सही उत्तर 278 है। 260 तब मिलता है जब वृद्धि को गलत तरीके से गिना जाए; 5 से 11 तक 6 चरण हैं और प्रत्येक चरण में 18 की वृद्धि होती है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में पहले दिए गए मान से अचर \(a\) ज्ञात करें, फिर अपेक्षित \(n\) रखें। / Given \(P(n)=a+18n\), substitute \(P(5)=170\): \(a+18\times5=170\), so \(a=80\). Hence, \(P(11)=80+18\times11=80+198=278\). Therefore, 278 is the correct answer. The value 260 can result from counting the increase incorrectly; from 5 to 11 there are 6 steps, each increasing by 18. Exam tip: first find the constant \(a\) from the given value, then substitute the required \(n\).
दिया है \(V(y)=c-2200y\)। \(V(4)=31200\) रखने पर \(c-2200(4)=31200\), इसलिए \(c=40000\) मिलता है। अब \(V(9)=40000-2200(9)=40000-19800=20200\)। अतः सही उत्तर 20200 है। 22400 मान तब आता यदि 9 के स्थान पर 8 वर्ष लिया जाए। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से स्थिरांक \(c\) ज्ञात करें, फिर आवश्यक \(y\) का मान रखें। / Given \(V(y)=c-2200y\). Substituting \(V(4)=31200\) gives \(c-2200(4)=31200\), so \(c=40000\). Therefore, \(V(9)=40000-2200(9)=40000-19800=20200\). Hence, 20200 is correct. The value 22400 would result from using 8 instead of 9. Exam tip: first find the constant \(c\) from the given value, then substitute the required value of \(y\).
दिया है \(y=24+5x\) और शर्त है \(y=9x\)। इसलिए \(24+5x=9x\)। दोनों पक्षों से \(5x\) घटाने पर \(24=4x\), अतः \(x=6\) मिलता है। इसलिए विकल्प C सही है। उदाहरण के लिए \(x=5\) रखने पर \(y=49\), जबकि \(9x=45\) होता है, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसी स्थितियों में \(y\) के दोनों व्यंजकों को बराबर रखकर \(x\) हल करें। / Given \(y=24+5x\) and the condition \(y=9x\), we get \(24+5x=9x\). Subtracting \(5x\) from both sides gives \(24=4x\), so \(x=6\). Hence, option C is correct. For instance, if \(x=5\), then \(y=49\) but \(9x=45\), so option B is not correct. Exam tip: when one variable has two given expressions, equate them and solve for the required variable.
दिया है \(y=126-7x\) और शर्त है \(y=2x\)। अतः \(126-7x=2x\), इसलिए \(126=9x\) और \(x=14\) मिलता है। \(x=12\) रखने पर \(y=42\) मिलता है, जबकि \(2x=24\) होता है; इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले \(y\) के दिए गए व्यंजक को उसकी अपेक्षित शर्त के बराबर रखकर \(x\) हल करें। / Given \(y=126-7x\), the required condition is \(y=2x\). Therefore, \(126-7x=2x\), so \(126=9x\) and \(x=14\). If \(x=12\), then \(y=42\), whereas \(2x=24\), so it does not satisfy the condition. Exam tip: In such questions, equate the given expression for \(y\) to the required condition and then solve for \(x\).
दिया है \(L(t)=4t+19\)। इसलिए \(L(5t)=4(5t)+19=20t+19\) और \(L(2t)=4(2t)+19=8t+19\)। अतः \(L(5t)-L(2t)=(20t+19)-(8t+19)=12t\)। \(20t\) केवल \(L(5t)\) का मान है, दोनों मानों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: फलन में दिए गए इनपुट को पहले अलग-अलग रखकर सरल कीजिए, फिर घटाइए। / Given \(L(t)=4t+19\), we get \(L(5t)=4(5t)+19=20t+19\) and \(L(2t)=4(2t)+19=8t+19\). Therefore, \(L(5t)-L(2t)=(20t+19)-(8t+19)=12t\). Note that \(20t\) is only the variable part of \(L(5t)\), not the required difference. Exam tip: evaluate the function at each input separately before subtracting.
दिया है \(K(t)=150-6t\)। \(t\) के स्थान पर \(4t\) रखने पर \(K(4t)=150-6(4t)=150-24t\) मिलता है। अतः \(K(t)-K(4t)=(150-6t)-(150-24t)=150-6t-150+24t=18t\)। इसलिए सही विकल्प \(18t\) है। \(24t\) केवल \(K(4t)\) में आने वाला पद है, अंतर का मान नहीं। परीक्षा टिप: कोष्ठक हटाते समय ऋण चिह्न को प्रत्येक पद पर लागू करें। / Given \(K(t)=150-6t\). Substituting \(4t\) for \(t\), we get \(K(4t)=150-6(4t)=150-24t\). Therefore, \(K(t)-K(4t)=(150-6t)-(150-24t)=150-6t-150+24t=18t\). Hence, \(18t\) is correct. \(24t\) is only the coefficient term in \(K(4t)\), not the value of the difference. Exam tip: when removing brackets after a minus sign, change the sign of every term inside the bracket.
दिया है, \(Y(x)=a+7x\)। अतः \(Y(2)=a+14\) और \(Y(8)=a+56\)। इसलिए \(Y(2)+Y(8)=2a+70=150\)। इससे \(2a=80\), अतः \(a=40\)। विकल्प 45 लेने पर योग \(160\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए प्रत्येक \(x\)-मान को फलन में अलग-अलग रखकर जोड़ें। / Given \(Y(x)=a+7x\), we get \(Y(2)=a+14\) and \(Y(8)=a+56\). Hence, \(Y(2)+Y(8)=2a+70=150\). Therefore, \(2a=80\) and \(a=40\). If 45 were used, the sum would be \(160\), so it is not correct. Exam tip: Substitute each given \(x\)-value into the function separately before adding.
दिया है: \(Z(x)=b-9x\)। अतः \(Z(3)=b-27\) और \(Z(5)=b-45\)। इसलिए \(Z(3)+Z(5)=2b-72\)। अब \(2b-72=114\) से \(2b=186\), अतः \(b=93\)। इसलिए सही विकल्प 93 है। 90 लेने पर योग 108 आएगा, 114 नहीं। परीक्षा टिप: पहले अलग-अलग इनपुट के लिए फलन का मान निकालकर दिए गए योग में रखें। / Given \(Z(x)=b-9x\), we get \(Z(3)=b-27\) and \(Z(5)=b-45\). Hence, \(Z(3)+Z(5)=2b-72\). Using \(2b-72=114\), we obtain \(2b=186\), so \(b=93\). Therefore, 93 is the correct option. If \(b=90\), the sum would be 108, not 114. Exam tip: evaluate the function at each given input before substituting into the stated sum.
बराबरी के लिए \(p(x)=q(x)\) रखें: \(27+6x=9x-6\)। दोनों पक्षों से \(6x\) घटाने पर \(27=3x-6\) मिलता है। अब दोनों पक्षों में 6 जोड़ने पर \(33=3x\), अतः \(x=11\) होगा। \(x=10\) रखने पर दोनों बहुपदों के मान बराबर नहीं आते। परीक्षा टिप: दो व्यंजकों के बराबर होने का मान ज्ञात करने के लिए उन्हें पहले एक-दूसरे के बराबर लिखकर रैखिक समीकरण हल करें। / For the two polynomials to be equal, set \(p(x)=q(x)\): \(27+6x=9x-6\). Subtracting \(6x\) from both sides gives \(27=3x-6\). Adding 6 to both sides gives \(33=3x\), so \(x=11\). At \(x=10\), the values of the two polynomials are not equal. Exam tip: To find where two expressions are equal, equate them first and solve the resulting linear equation.
दिया है \(p(x)=q(x)\), इसलिए \(180-10x=72+2x\)। दोनों पक्षों से 72 घटाने पर \(108-10x=2x\) मिलता है। अतः \(108=12x\), इसलिए \(x=9\)। \(x=8\) रखने पर दोनों व्यंजकों के मान बराबर नहीं आते, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों बहुपदों को बराबर रखकर \(x\) वाले पद एक ओर ले जाएँ। / Since \(p(x)=q(x)\), set \(180-10x=72+2x\). Subtracting 72 from both sides gives \(108-10x=2x\). Hence, \(108=12x\), so \(x=9\). If \(x=8\) is substituted, the two expressions do not have equal values, so it is a close but incorrect option. Exam tip: equate the two polynomials first, then collect all \(x\)-terms on one side.
रेखीय फलन \(y=40+(k-6)x\) में \(x\) का गुणांक, अर्थात ढाल, \(k-6\) है। रेखीय वृद्धि के लिए ढाल धनात्मक होनी चाहिए, इसलिए \(k-6>0\), जिससे \(k>6\) प्राप्त होता है। \(k=6\) होने पर ढाल शून्य होगी और \(y=40\) एक स्थिर फलन होगा, वृद्धि नहीं। परीक्षा टिप: रेखीय वृद्धि के लिए \(x\) के गुणांक को हमेशा धनात्मक जाँचें। / In the linear function \(y=40+(k-6)x\), the coefficient of \(x\), or slope, is \(k-6\). For linear growth, the slope must be positive. Thus, \(k-6>0\), which gives \(k>6\). If \(k=6\), the slope is zero and \(y=40\) is constant, not growing. Exam tip: For linear growth, check that the coefficient of \(x\) is positive.
रेखीय समीकरण में \(x\) का गुणांक ढाल होता है। यहाँ ढाल \(-(k+2)\) है। रेखीय क्षय के लिए ढाल ऋणात्मक होनी चाहिए, इसलिए \(-(k+2)<0\)। दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर असमता का चिह्न बदलता है और \(k+2>0\), अर्थात \(k>-2\) मिलता है। \(k=-2\) पर ढाल शून्य होती है, इसलिए मान स्थिर रहता है, क्षय नहीं होता। परीक्षा टिप: वृद्धि या क्षय पहचानने के लिए हमेशा \(x\) के गुणांक का चिह्न जाँचें। / In a linear equation, the coefficient of \(x\) is the slope. Here the slope is \(-(k+2)\). For linear decay, the slope must be negative, so \(-(k+2)<0\). Multiplying by \(-1\) reverses the inequality, giving \(k+2>0\), or \(k>-2\). At \(k=-2\), the slope is zero, so the value remains constant rather than decaying. Exam tip: check the sign of the coefficient of \(x\) to identify growth or decay.
यहां (R(0)=82) सीधे आरंभिक मान है। अंतर से (m=12) मिलता है पर आरंभिक मान वही रहता है। / Here (R(0)=82) is directly the initial value. The difference gives (m=12), but the initial value remains the same.
A. शर्त प्रत्येक वास्तविक मान \(s\) के लिए सत्य है/The condition is true for every real value of \(s\)
Explanation
Simple Explanation
\(S(2)=s-16\) और \(S(9)=s-72\) हैं। अतः \(S(2)-S(9)=(s-16)-(s-72)=56\)। यहाँ \(s\) के पद कट जाते हैं, इसलिए दी गई शर्त \(s\) के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए सत्य है। \(s=56\) या \(s=8\) केवल विशेष मान हैं; वे आवश्यक नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में स्थिर पद कटते हैं या नहीं, पहले जाँचें। / \(S(2)=s-16\) and \(S(9)=s-72\). Hence, \(S(2)-S(9)=(s-16)-(s-72)=56\). The terms involving \(s\) cancel, so the given condition is true for every real value of \(s\). Values such as \(s=56\) or \(s=8\) are merely particular values, not required ones. Exam tip: In differences of function values, first check whether the parameter terms cancel.
A. यह प्रत्येक एकक समय में 4 बढ़ता है/It increases by 4 per unit time
Explanation
Simple Explanation
अंतर ज्ञात करें: \(B(t)-A(t)=(55+9t)-(34+5t)=21+4t\)। यहाँ \(t\) का गुणांक 4 है, इसलिए \(t\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर अंतर 4 बढ़ता है। 21 प्रारम्भिक अंतर है, वृद्धि की दर नहीं; इसलिए विकल्प D सही नहीं है। परीक्षा टिप: दो रैखिक व्यंजकों के अंतर की वृद्धि-दर उनके \(t\)-गुणांकों का अंतर होती है। / Find the difference: \(B(t)-A(t)=(55+9t)-(34+5t)=21+4t\). The coefficient of \(t\) is 4, so the difference increases by 4 whenever \(t\) increases by 1. Here, 21 is the initial difference, not the rate of increase; therefore, option D is incorrect. Exam tip: The rate of change of the difference of two linear expressions is the difference of their \(t\)-coefficients.
A. हर चरण में 7 बढ़ता है/It increases by 7 at each step
Explanation
Simple Explanation
अंतर ज्ञात करें: \(C(t)-D(t)=(220-6t)-(150-13t)=70+7t\)। \(t\) के गुणांक 7 होने से \(t\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर अंतर 7 बढ़ता है। विकल्प B में 7 की दर तो है, पर उसकी दिशा गलत है। परीक्षा टिप: दो रैखिक व्यंजकों का अंतर लेते समय दूसरे व्यंजक के सभी पदों के चिन्ह बदलें। / Find the difference: \(C(t)-D(t)=(220-6t)-(150-13t)=70+7t\). Since the coefficient of \(t\) is 7, the difference increases by 7 whenever \(t\) increases by 1. Option B has the correct magnitude of rate but the wrong direction. Exam tip: when subtracting one linear expression from another, change the signs of all terms in the second expression.
\(y=100-5x\) में \(x\) के प्रत्येक 1 बढ़ने पर \(y\) ठीक 5 घटता है, इसलिए ह्रास की दर स्थिर है। \(x^2\) वाला संबंध रैखिक नहीं होता। परीक्षा में ऋणात्मक स्थिर गुणांक पहचानें। / In \(y=100-5x\), every increase of 1 in \(x\) decreases \(y\) by exactly 5, so the decay rate is constant. A relation containing \(x^2\) is not linear. Exam tip: look for a negative constant coefficient of \(x\).
\(y=12-4x\) में x का गुणांक \(-4\) है, इसलिए x के 1 इकाई बढ़ने पर y हर बार 4 इकाई घटता है। विकल्प B वृद्धि दर्शाता है, जबकि C और D रैखिक नहीं हैं। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का गुणांक ऋणात्मक और स्थिर होता है। / In \(y=12-4x\), the coefficient of x is \(-4\), so y falls by 4 units for every 1-unit rise in x. Option B represents growth, while C and D are not linear. Exam tip: linear decay has a constant negative coefficient of x.
दिया है \(f(x)=8x+22\)। अतः \(f(3x)=8(3x)+22=24x+22\)। इसलिए \(f(3x)-f(x)=(24x+22)-(8x+22)=16x\)। अब \(16x=80\) रखने पर \(x=5\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प \(x=5\) है। \(x=4\) लेने पर अंतर केवल \(64\) होगा, 80 नहीं। परीक्षा टिप: पहले \(f(3x)\) में हर \(x\) के स्थान पर \(3x\) रखें। / Given \(f(x)=8x+22\), we get \(f(3x)=8(3x)+22=24x+22\). Hence, \(f(3x)-f(x)=(24x+22)-(8x+22)=16x\). Setting \(16x=80\) gives \(x=5\). Therefore, \(x=5\) is correct. For \(x=4\), the difference would be only \(64\), not 80. Exam tip: while finding \(f(3x)\), replace every \(x\) in the function with \(3x\).
दिया है \(g(x)=180-9x\)। इसलिए \(g(3x)=180-9(3x)=180-27x\)। अतः \(g(x)-g(3x)=(180-9x)-(180-27x)=18x\)। अब \(18x=90\) रखने पर \(x=5\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। \(x=4\) रखने पर अंतर केवल \(72\) होगा, \(90\) नहीं। परीक्षा टिप: \(g(3x)\) में \(x\) के स्थान पर पूरे \(3x\) को रखें। / Given \(g(x)=180-9x\), we get \(g(3x)=180-9(3x)=180-27x\). Hence, \(g(x)-g(3x)=(180-9x)-(180-27x)=18x\). Setting \(18x=90\) gives \(x=5\). Therefore, option B is correct. For \(x=4\), the difference would be only \(72\), not \(90\). Exam tip: while finding \(g(3x)\), substitute the complete expression \(3x\) in place of \(x\).
दिया है \(P(t)=50+4t\)। अतः \(P(4)=66\) और \(P(12)=98\), इसलिए \(P(4)+P(12)=164\)। इसका आधा \(82\) है। अब \(P(8)=50+4\times8=82\), इसलिए \(P(4)+P(12)=2P(8)\)। \(P(7)=78\) निकट है, पर उसका दोगुना \(156\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक फलन में दो इनपुटों के मध्यबिंदु पर फलन का मान उनके फलन-मानों के औसत के बराबर होता है। / Given \(P(t)=50+4t\), we get \(P(4)=66\) and \(P(12)=98\). Thus, \(P(4)+P(12)=164\), and half of this is \(82\). Since \(P(8)=50+4\times8=82\), we have \(P(4)+P(12)=2P(8)\). Although \(P(7)=78\) is close, twice it is \(156\), so it is not correct. Exam tip: for a linear function, the function value at the midpoint of two inputs equals the average of the two function values.
यह एक रैखिक फलन है। 3 और 15 का मध्यांक \(\frac{3+15}{2}=9\) है, इसलिए रैखिक फलन के लिए \(Q(3)+Q(15)=2Q(9)\) होता है। जाँच करने पर \(Q(3)=189\), \(Q(15)=105\), अतः योग \(294\) है; जबकि \(2Q(9)=2\times147=294\)। इसलिए सही उत्तर Q(9) है। Q(10) मध्यांक नहीं है, इसलिए उसका दोगुना इस योग के बराबर नहीं होगा। परीक्षा टिप: रैखिक फलन में समान दूरी वाले दो इनपुटों के आउटपुटों का योग मध्य इनपुट के आउटपुट के दोगुने के बराबर होता है। / This is a linear function. The midpoint of 3 and 15 is \(\frac{3+15}{2}=9\), so for a linear function, \(Q(3)+Q(15)=2Q(9)\). Checking directly, \(Q(3)=189\) and \(Q(15)=105\), giving a sum of \(294\), while \(2Q(9)=2\times147=294\). Hence, Q(9) is correct. Q(10) is not the midpoint, so twice its value is not equal to the given sum. Exam tip: For a linear function, the sum of outputs at two equally spaced inputs equals twice the output at their midpoint.
यहाँ \(y=120+ax\) में \(a\), \(x\) के प्रति \(y\) के परिवर्तन की दर है। \(x\) का परिवर्तन \(14-6=8\) है, इसलिए \(y\) का परिवर्तन \(8a\) होगा। दिया है \(8a=88\), अतः \(a=11\)। \(10\) लेने पर वृद्धि \(8\times10=80\) होती, जो 88 नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में स्थिर पद \(120\) परिवर्तन ज्ञात करते समय कट जाता है। / In \(y=120+ax\), \(a\) is the rate of change of \(y\) with respect to \(x\). The change in \(x\) is \(14-6=8\), so the change in \(y\) is \(8a\). Given \(8a=88\), we get \(a=11\). If \(a=10\), the increase would be \(8\times10=80\), not 88. Exam tip: while finding a change in a linear expression, the constant term \(120\) cancels out.
यहाँ x का परिवर्तन 13 - 5 = 8 है। समीकरण y = 260 - bx में x के प्रत्येक 1 बढ़ने पर y, b से घटता है। इसलिए 8 इकाइयों के लिए कुल कमी 8b होगी। अतः 8b = 104, जिससे b = 104/8 = 13 प्राप्त होता है। 12 निकट का विकल्प है, लेकिन उससे कुल कमी 8 × 12 = 96 होती, जो 104 नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण में कुल परिवर्तन = प्रति इकाई परिवर्तन × x का परिवर्तन लिखें। / The change in x is 13 - 5 = 8. In y = 260 - bx, y decreases by b for every increase of 1 in x. Hence, the total decrease over 8 units is 8b. So, 8b = 104, giving b = 104/8 = 13. Option 12 is close, but it would give a total decrease of 8 × 12 = 96, not 104. Exam tip: For a linear relation, use total change = rate per unit × change in x.
शर्त है कि \(A(t)=B(t)+6\)। अतः \(30+5t=54+3t+6\)। दोनों पक्षों को सरल करने पर \(2t=30\), इसलिए \(t=15\) मिलता है। \(t=14\) पर \(A(t)-B(t)=4\) होगा, 6 नहीं। परीक्षा टिप: “से 6 अधिक” को हमेशा \(A=B+6\) के रूप में लिखें। / The condition is \(A(t)=B(t)+6\). Thus, \(30+5t=54+3t+6\). Simplifying gives \(2t=30\), so \(t=15\). At \(t=14\), \(A(t)-B(t)=4\), not 6. Exam tip: Translate “6 more than” as \(A=B+6\).
शर्त (200-8t=70+4t-10) है। इससे (140=12t) नहीं बल्कि \(t=\frac{35}{3}\) आता है इसलिए कोई विकल्प सही नहीं है। / The condition is (200-8t=70+4t-10). It gives (140=12t), so \(t=\frac{35}{3}\), hence no option is correct.
दिया है कि \(f(t)=a+6t\)। अतः \(f(1)=a+6\), \(f(5)=a+30\) और \(f(9)=a+54\) होंगे। इनका योग \(3a+90\) है। इसलिए \(3a+90=180\), जिससे \(3a=90\) और \(a=30\) प्राप्त होता है। विकल्प 36 लेने पर योग 198 आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक दिए गए इनपुट का मान अलग-अलग लिखकर फिर योग का समीकरण बनाइए। / Given \(f(t)=a+6t\), we have \(f(1)=a+6\), \(f(5)=a+30\), and \(f(9)=a+54\). Their sum is \(3a+90\). Hence, \(3a+90=180\), so \(3a=90\) and \(a=30\). If 36 were used, the sum would be 198, so it is not correct. Exam tip: Evaluate the function at each specified input first, then form the equation using their sum.
दिया है कि \(g(t)=b-5t\)। अतः \(g(2)=b-10\), \(g(6)=b-30\) और \(g(10)=b-50\) होंगे। उनका योग \((b-10)+(b-30)+(b-50)=3b-90\) है। इसलिए \(3b-90=210\), जिससे \(3b=300\) और \(b=100\) प्राप्त होता है। विकल्प 105 लेने पर योग \(225\) होगा, 210 नहीं। परीक्षा टिप: अलग-अलग फलन मान लिखकर पहले स्थिर पदों का योग करें। / Given \(g(t)=b-5t\), we get \(g(2)=b-10\), \(g(6)=b-30\), and \(g(10)=b-50\). Their sum is \((b-10)+(b-30)+(b-50)=3b-90\). Thus, \(3b-90=210\), so \(3b=300\) and \(b=100\). If 105 were used, the sum would be \(225\), not 210. Exam tip: Write each function value separately before combining like terms.
