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ठीक द्विघात के लिए \(x^5\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। (a-4=0) से (a=4) मिलता है। / For exactly quadratic, the coefficient of \(x^5\) must be zero. From (a-4=0), (a=4).
\(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) है, जिसमें (x) की घात ऋणात्मक है। वास्तविक गुणांक होना अकेले बहुपद की गारंटी नहीं देता। / \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\), where the power of (x) is negative. Having real coefficients alone does not guarantee a polynomial.
\(0x^6\) शून्य पद है और घात तय नहीं करता। सबसे बड़ी अशून्य घात (4) है। / \(0x^6\) is a zero term and does not determine the degree. The highest non-zero power is (4).
घात (2) के लिए \(x^3\) का गुणांक शून्य होना चाहिए और \(x^2\) का गुणांक अशून्य रहना चाहिए। (k+2=0) से (k=-2) मिलता है। / For degree (2), the coefficient of \(x^3\) must be zero and the coefficient of \(x^2\) must remain non-zero. From (k+2=0), (k=-2).
B. यह बहुपद नहीं है क्योंकि (\sqrt{x}=x^{1/2}) है / It is not a polynomial because \(\sqrt{x}=x^{1 / 2}\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें पूर्णांक होनी चाहिए। \(\frac{1}{2}\) पूर्णांक नहीं है। / In a polynomial, powers of the variable must be integers. \(\frac{1}{2}\) is not an integer.
ठीक घन बहुपद की सबसे बड़ी घात (3) होती है। \(4y^3-2y+8\) में सबसे बड़ी घात (3) है। / An exactly cubic polynomial has highest power (3). In \(4y^3-2y+8\), the highest power is (3).
(m) को (x) के लिए गुणांक माना जा सकता है। (x) की घातें (3), (1) और (0) हैं। / (m) can be treated as a coefficient with respect to (x). The powers of (x) are (3), (1), and (0).
स्थिर बहुपद के लिए (r-1=0) और (r+2=0) दोनों चाहिए। ये दोनों एक साथ संभव नहीं हैं। / For a constant polynomial, both (r-1=0) and (r+2=0) are required. These cannot hold together.
सरल करने पर \(\frac{x^3+2x}{x}=x^2+2\) मिलता है। यह घात (2) का बहुपद है। / On simplifying, \(\frac{x^3+2x}{x}=x^2+2\). It is a polynomial of degree (2).
\(x^{5/2}\) में घात \(\frac{5}{2}\) है जो पूर्णांक नहीं है। बहुपद में ऐसी घात मान्य नहीं होती। / In \(x^{5/2}\), the power is \(\frac{5}{2}\), which is not an integer. Such a power is not valid in a polynomial.
A. \(5x^6-2x^3+1\), घात (6)/\(5x^6-2x^3+1\), degree (6)
Explanation
Simple Explanation
पहले विकल्प में सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं और सबसे बड़ी घात (6) है। बाकी विकल्प बहुपद नहीं हैं। / In the first option, all powers are non-negative integers and the highest power is (6). The other options are not polynomials.
घात (2) के लिए \(x^3\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। (c+5=0) से (c=-5) और \(x^2\) का गुणांक (-7) अशून्य रहता है। / For degree (2), the coefficient of \(x^3\) must be zero. From (c+5=0), (c=-5), and the \(x^2\) coefficient (-7) remains non-zero.
B. यह बहुपद है और घात (2) है/It is a polynomial and has degree (2)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x}{2}\) का अर्थ \(\frac{1}{2}x\) है, जहाँ घात (1) है। सभी घातें मान्य हैं। / \(\frac{x}{2}\) means \(\frac{1}{2}x\), where the power is (1). All powers are valid.
\(x^5+x^3-x+2\) में (4) पद हैं और सबसे बड़ी घात (5) है। हर में चर नहीं है। / \(x^5+x^3-x+2\) has (4) terms and the highest power is (5). There is no variable in the denominator.
रैखिक होने के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य होना चाहिए और (2x) पद मौजूद है। \(a^2-9=0\) से \(a=\pm3\)। / For it to be linear, the \(x^4\) coefficient must be zero and the (2x) term is present. From \(a^2-9=0\), \(a=\pm3\).
(u) के संदर्भ में \(\frac{1}{x}\) स्थिर जैसा है, इसलिए यह (u) में बहुपद है। लेकिन (x) के संदर्भ में \(\frac{1}{x}\) की घात (-1) है। / With respect to (u), \(\frac{1}{x}\) is like a constant, so it is a polynomial in (u). With respect to (x), \(\frac{1}{x}\) has power (-1).
\(0x^5\) शून्य पद है और घात नहीं बढ़ाता। सबसे बड़ी अशून्य घात (3) है। / \(0x^5\) is a zero term and does not raise the degree. The highest non-zero power is (3).
C. यह बहुपद नहीं है क्योंकि \(x^{-1}\) है/It is not a polynomial because it has \(x^{-1}\)
Explanation
Simple Explanation
\(x^0\) मान्य है लेकिन \(x^{-1}\) मान्य नहीं है। एक अमान्य पद पूरे व्यंजक को बहुपद नहीं रहने देता। / \(x^0\) is valid but \(x^{-1}\) is not valid. One invalid term prevents the whole expression from being a polynomial.
घात (1) के लिए \(x^2\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। (k=0) रखने पर (3x+4) रैखिक बहुपद बचता है। / For degree (1), the coefficient of \(x^2\) must be zero. With (k=0), (3x+4) remains a linear polynomial.
\(\frac{1}{x^4}=x^{-4}\) है, जो ऋणात्मक घात है। बहुपद में ऋणात्मक घातें स्वीकार्य नहीं हैं। / \(\frac{1}{x^4}=x^{-4}\), which is a negative power. Negative powers are not allowed in polynomials.
\(\sqrt{11}\) स्थिर वास्तविक संख्या है और मान्य है। चर की सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / \(\sqrt{11}\) is a real constant and is allowed. All powers of the variable are non-negative integers.
D. यह घात (4) का बहुपद है/It is a polynomial of degree (4)
Explanation
Simple Explanation
\(a\neq0\) होने से \(x^4\) पद मौजूद रहता है। इसलिए सबसे बड़ी घात (4) निश्चित है। / Since \(a\neq0\), the \(x^4\) term remains present. Therefore, the highest power is definitely (4).
बहुपद में बीच की घातों का होना जरूरी नहीं है। \(x^5+2x^2-3\) में उपस्थित घातें (5), (2), (0) हैं और मान्य हैं। / A polynomial need not contain all middle powers. In \(x^5+2x^2-3\), the present powers (5), (2), (0) are valid.
A. चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों और गुणांक वास्तविक हो सकते हैं/Variable powers are zero or positive integers and coefficients may be real
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की मुख्य शर्त चर की घातों पर होती है। घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / The main condition for a polynomial is about the powers of the variable. The powers must be zero or positive integers.
स्थिर बहुपद के लिए (s-2=0) और (s+1=0) दोनों चाहिए। एक ही (s) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / For a constant polynomial, both (s-2=0) and (s+1=0) are required. One value of (s) cannot satisfy both conditions.
पहले विकल्प में घातें (6), (4), (2) और (0) हैं। ये सभी सम और बहुपद के लिए मान्य हैं। / In the first option, the powers are (6), (4), (2), and (0). All are even and valid for a polynomial.
घात (2) तभी होगी जब \(x^2\) का गुणांक शून्य न हो। इसलिए \(\lambda\neq0\) चाहिए। / The degree will be (2) only if the coefficient of \(x^2\) is non-zero. Therefore, \(\lambda\neq0\) is required.
\(x^2\) पद होना पर्याप्त नहीं है। \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) अमान्य घात वाला पद है। / Having an \(x^2\) term is not enough. \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) is a term with an invalid power.
\(5x^2-11\) की घात (2) है और इसमें दो पद हैं। इसलिए यह द्विघात द्विपदी है, त्रिपदी नहीं। / \(5x^2-11\) has degree (2) and two terms. So it is a quadratic binomial, not a trinomial.
\(x^3\) का गुणांक (2) है जो कभी शून्य नहीं होता। इसलिए घात (3) हर (h) के लिए रहेगी। / The coefficient of \(x^3\) is (2), which is never zero. So the degree remains (3) for every (h).
\(3x^2+1\) में चर (x) मौजूद है और घात (2) है। इसलिए यह स्थिर बहुपद नहीं है। / \(3x^2+1\) contains the variable (x) and has degree (2). Therefore, it is not a constant polynomial.
A. क्योंकि यह \(x^2-\frac{1}{x^2}\) बनता है/Because it becomes \(x^2-\frac{1}{x^2}\)
Explanation
Simple Explanation
सरल रूप \(x^2-\frac{1}{x^2}\) है। \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) के कारण यह बहुपद नहीं है। / The simplified form is \(x^2-\frac{1}{x^2}\). Because \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), it is not a polynomial.
\(x^2\) का गुणांक (1) है, जो शून्य नहीं है। इसलिए घात हर (a) के लिए (2) है। / The coefficient of \(x^2\) is (1), which is non-zero. Therefore, the degree is (2) for every (a).
A. \(x^n+1\), जहाँ (n) बदलता चर है/\(x^n+1\), where (n) is a changing variable
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में घातें निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। बदलते चर वाली घात परिभाषा में मान्य नहीं है। / In a polynomial, powers must be fixed non-negative integers. A power depending on a changing variable is not valid in the definition.
पहले विकल्प में घातें (5), (3), (1) और (0) हैं। सभी घातें बहुपद के लिए मान्य हैं। / In the first option, the powers are (5), (3), (1), and (0). All powers are valid for a polynomial.
घात (0) के लिए (a-1=0) और (a+3=0) दोनों चाहिए। ये दोनों साथ-साथ संभव नहीं हैं। / For degree (0), both (a-1=0) and (a+3=0) are required. These cannot be true together.
\(\sqrt{x^2+1}\) में चर मूल के अंदर है। कक्षा (9) की परिभाषा में यह बहुपद पद नहीं माना जाता। / \(\sqrt{x^2+1}\) has the variable inside a root. In the class (9) definition, it is not treated as a polynomial term.
\(a\neq0\) होने से \(x^5\) पद मौजूद रहता है। इसलिए सबसे बड़ी घात (5) है। / Since \(a\neq0\), the \(x^5\) term is present. Therefore, the highest power is (5).
\(\frac{x^3+x}{x}=x^2+1\) है, जो बहुपद है। सरल करने से पहले और बाद की घातों को ध्यान से देखें। / \(\frac{x^3+x}{x}=x^2+1\), which is a polynomial. Check powers carefully before and after simplification.
\(x^3-4x\) में कोई अलग स्थिर पद नहीं है, इसलिए स्थिर पद (0) माना जाता है। इसकी घातें मान्य हैं। / In \(x^3-4x\), there is no separate constant term, so the constant term is considered (0). Its powers are valid.
(-2) पूर्णांक है लेकिन ऋणात्मक है। बहुपद में घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / (-2) is an integer but it is negative. In a polynomial, powers must be zero or positive integers.
\(x^2-4\) की घात (2) है और इसमें दो पद हैं। इसलिए यह द्विघात द्विपदी है। / \(x^2-4\) has degree (2) and two terms. Therefore, it is a quadratic binomial.
ठीक घन के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य होना चाहिए और \(x^3\) का गुणांक अशून्य रहना चाहिए। (a-2=0) से (a=2) मिलता है। / For exactly cubic, the coefficient of \(x^4\) must be zero and the coefficient of \(x^3\) must remain non-zero. From (a-2=0), (a=2).
