Level 2 • 50/50 questions • 30 seconds per question.
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What is the simplified surd form of \( \sqrt{1125} \)?
C. \(15\sqrt{5}\)
\(1125=225\times5\) इसलिए \( \sqrt{1125}=15\sqrt{5} \)। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहले निकालें। / Since \(1125=225\times5\), \( \sqrt{1125}=15\sqrt{5} \). First take out the largest perfect-square factor.
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A. \(r+x\)
\(r+x\) सदैव अपरिमेय होगा। यदि \(r+x\) परिमेय मान लिया जाए, तो \(x=(r+x)-r\) भी दो परिमेय संख्याओं का अंतर होने के कारण परिमेय हो जाएगा, जो \(x\) के अपरिमेय होने के विरुद्ध है। \(rx\) सदैव अपरिमेय नहीं है, क्योंकि \(r=0\) होने पर गुणनफल 0 होगा। इसी प्रकार, \(x=\sqrt{2}\) के लिए \(x^2=2\) परिमेय है और \(x/x=1\) होता है। परीक्षा टिप: परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने या घटाने पर परिणाम सदैव अपरिमेय होता है। / \(r+x\) is always irrational. If \(r+x\) were rational, then \(x=(r+x)-r\) would be rational as the difference of two rational numbers. This contradicts the fact that \(x\) is irrational. \(rx\) is not always irrational because it becomes 0 when \(r=0\). Also, for \(x=\sqrt{2}\), \(x^2=2\) is rational, and \(x/x=1\). Exam tip: Adding or subtracting a rational number and an irrational number always gives an irrational number.
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What is the simplified form of \(5\sqrt{20}-2\sqrt{125}+\sqrt{45}\)?
D. \(3\sqrt{5}\)
\(5\sqrt{20}=10\sqrt{5}\), \(2\sqrt{125}=10\sqrt{5}\), और \( \sqrt{45}=3\sqrt{5} \)। इसलिए परिणाम \(3\sqrt{5}\) है। / \(5\sqrt{20}=10\sqrt{5}\), \(2\sqrt{125}=10\sqrt{5}\), and \( \sqrt{45}=3\sqrt{5} \). Therefore the result is \(3\sqrt{5}\).
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Choose the correct simplified form of \(3\sqrt{75}+4\sqrt{48}-2\sqrt{27}\).
B. \(25\sqrt{3}\)
\(3\sqrt{75}=15\sqrt{3}\), \(4\sqrt{48}=16\sqrt{3}\), और \(2\sqrt{27}=6\sqrt{3}\)। इसलिए \(25\sqrt{3}\) सही है। / \(3\sqrt{75}=15\sqrt{3}\), \(4\sqrt{48}=16\sqrt{3}\), and \(2\sqrt{27}=6\sqrt{3}\). Therefore \(25\sqrt{3}\) is correct.
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C. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और असांत आवर्ती है।It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
विद्यार्थी का कथन गलत है। \(0.101001000100001\ldots\) में 1 के बीच आने वाले 0 की संख्या लगातार बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहराता। इसका दशमलव प्रसार अनंत और असांत आवर्ती है; अतः यह अपरिमेय संख्या है। केवल 0 और 1 अंकों का होना परिमेय होने की शर्त नहीं है। परीक्षा टिप: परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या अनंत आवर्ती। / The student's statement is incorrect. In \(0.101001000100001\ldots\), the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed block of digits repeats. Its decimal expansion is non-terminating and non-repeating; therefore, it is irrational. Having only the digits 0 and 1 does not make a number rational. Exam tip: A rational number has either a terminating or a non-terminating recurring decimal expansion.
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What is the expansion of ( \(4\sqrt{3}+3\sqrt{2}\)2 )?
A. \(66+24\sqrt{6}\)
पहला वर्ग (48) और दूसरा वर्ग (18) है। मध्य पद \(2\times4\sqrt{3}\times3\sqrt{2}=24\sqrt{6}\) है। / The first square is (48) and the second square is (18). The middle term is \(2\times4\sqrt{3}\times3\sqrt{2}=24\sqrt{6}\).
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Let \(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\). Which classification of \(x\) and \(x^2\) is correct?
C. \(x\) अपरिमेय है और \(x^2\) अपरिमेय है\(x\) is irrational and \(x^2\) is irrational
\(x^2=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=5+2\sqrt{6}\)। चूँकि \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है, इसलिए \(5+2\sqrt{6}\) भी अपरिमेय है। अतः \(x^2\) अपरिमेय है। यदि \(x\) परिमेय होता, तो उसका वर्ग \(x^2\) परिमेय होता; यह विरोधाभास है। इसलिए \(x\) भी अपरिमेय है। विकल्प B निकट का भ्रमक है, पर \(x^2\) परिमेय नहीं है। परीक्षा टिप: किसी संख्या के परिमेय होने की जाँच के लिए उसके वर्ग के परिमेय होने के गुण का उपयोग करें। / \(x^2=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=5+2\sqrt{6}\). Since \(\sqrt{6}\) is irrational, \(5+2\sqrt{6}\) is also irrational. Hence, \(x^2\) is irrational. If \(x\) were rational, then \(x^2\) would have to be rational, which is a contradiction. Therefore, \(x\) is also irrational. Option B is the closest distractor, but \(x^2\) is not rational. Exam tip: To test whether a number can be rational, use the fact that the square of every rational number is rational.
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B. यह अपरिमेय है, क्योंकि शून्यों के समूहों की लंबाई बदलती रहती है; इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं है।It is irrational because the lengths of the groups of zeros keep changing, so there is no fixed repeating block.
विकल्प B सही है। परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या असांत आवर्ती होता है, अर्थात उसमें अंकों का कोई निश्चित खंड बार-बार दोहराता है। यहाँ 1 के बीच शून्यों की संख्या लगातार बढ़ रही है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता। विकल्प D का निष्कर्ष इस संख्या के लिए सही है, लेकिन उसका कारण गलत है, क्योंकि \(0.333\ldots\) जैसी असांत आवर्ती दशमलव संख्या परिमेय होती है। परीक्षा टिप: असांत दशमलव को परिमेय मानने के लिए उसके आवर्ती खंड की लंबाई निश्चित होनी चाहिए। / Option B is correct. The decimal expansion of a rational number is either terminating or non-terminating recurring, meaning that a fixed block of digits repeats. Here, the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed repeating block exists. Option D reaches the right classification for this number but gives a wrong reason: a non-terminating recurring decimal such as \(0.333\ldots\) is rational. Exam tip: For a non-terminating decimal to be rational, its repeating block must have a fixed length.
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What is the rationalised form of \( \frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{5}} \)?
A. \( \frac{4\sqrt{3}-3\sqrt{5}}{3} \)
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (48-45=3) आता है। इसलिए रूप \( \frac{4\sqrt{3}-3\sqrt{5}}{3} \) है। / Multiplying by the conjugate gives denominator (48-45=3). So the form is \( \frac{4\sqrt{3}-3\sqrt{5}}{3} \).
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What is the rationalised form of \( \frac{5}{\sqrt{13}-\sqrt{8}} \)?
A. \( \sqrt{13}+\sqrt{8} \)
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (13-8=5) आता है। अंश में भी (5) है इसलिए उत्तर \( \sqrt{13}+\sqrt{8} \) है। / Multiplying by the conjugate gives denominator (13-8=5). The numerator also has (5), so the answer is \( \sqrt{13}+\sqrt{8} \).
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What is the value of \( \frac{4+\sqrt{7}}{4-\sqrt{7}}+\frac{4-\sqrt{7}}{4+\sqrt{7}} \)?
A. \( \frac{46}{9} \)
मान ( \frac{\(4+\sqrt{7}\)2+\(4-\sqrt{7}\)2}{16-7} ) होगा। अंश (46) और हर (9) है। / The value is ( \frac{\(4+\sqrt{7}\)2+\(4-\sqrt{7}\)2}{16-7} ). The numerator is (46) and the denominator is (9).
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What is the value of \(\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)^2-\left(\sqrt{7}-\sqrt{2}\right)^2\)?
A. \(4\sqrt{14}\)
पहचान \((a+b)^2-(a-b)^2=4ab\) का प्रयोग करें। यहाँ \(a=\sqrt{7}\) और \(b=\sqrt{2}\) हैं, इसलिए मान \(4\times\sqrt{7}\times\sqrt{2}=4\sqrt{14}\) होगा। \(2\sqrt{14}\) तब मिलता है जब गुणनखंड 4 के स्थान पर गलती से 2 लिया जाए। परीक्षा टिप: ऐसे व्यंजकों में दोनों वर्गों का विस्तार करने के बजाय सीधे पहचान का उपयोग करें। / Use the identity \((a+b)^2-(a-b)^2=4ab\). Here, \(a=\sqrt{7}\) and \(b=\sqrt{2}\), so the value is \(4\times\sqrt{7}\times\sqrt{2}=4\sqrt{14}\). \(2\sqrt{14}\) results from incorrectly using 2 instead of 4. Exam tip: Apply this identity directly instead of expanding both squares.
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What is the value of \( \frac{\sqrt{20}+\sqrt{45}}{\sqrt{5}} \)?
A. (5)
\( \sqrt{20}=2\sqrt{5} \) और \( \sqrt{45}=3\sqrt{5} \)। कुल \(5\sqrt{5}\) को \( \sqrt{5} \) से भाग देने पर (5) मिलता है। / \( \sqrt{20}=2\sqrt{5} \) and \( \sqrt{45}=3\sqrt{5} \). Dividing \(5\sqrt{5}\) by \( \sqrt{5} \) gives (5).
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A. \(\sqrt{2},\ -\sqrt{2}\)
\(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं, लेकिन उनका योग \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\) है, जो एक परिमेय संख्या है। इसलिए यह कथन कि दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय होता है, गलत है। विकल्प B में \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय रहता है, इसलिए वह प्रतिवाद नहीं है। परीक्षा टिप: ‘हमेशा’ या ‘कभी नहीं’ जैसे कथनों को जाँचने के लिए एक सही प्रतिवाद ढूँढना पर्याप्त होता है। / Both \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are irrational, but their sum is \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\), which is rational. Hence, the claim that the sum of two irrational numbers is always irrational is false. In option B, \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is still irrational, so it is not a counterexample. Exam tip: To disprove a statement containing words such as “always,” it is enough to find one valid counterexample.
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What is the positive simplified form of \( \sqrt{14-4\sqrt{10}} \)?
A. \( \sqrt{10}-2 \)
( \(\sqrt{10}-2\)2=10-4\sqrt{10}+4=14-4\sqrt{10} )। धनात्मक मुख्य वर्गमूल \( \sqrt{10}-2 \) है। / ( \(\sqrt{10}-2\)2=10-4\sqrt{10}+4=14-4\sqrt{10} ). The positive principal square root is \( \sqrt{10}-2 \).
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Which of the following numbers has a non-terminating, non-recurring decimal expansion?
D. \(0.101001000100001\ldots\)
\(0.101001000100001\ldots\) में 1 के बीच आने वाले शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती जाती है। इसलिए इसमें कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहरता; इसका दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती है, अतः यह अपरिमेय संख्या है। \(\frac{7}{125}\) का दशमलव प्रसार सांत होता है, जबकि \(0.\overline{27}\) आवर्ती है। \(\sqrt{81}=9\), जो परिमेय है। परीक्षा टिप: असांत दशमलव तभी अपरिमेय होता है जब उसमें कोई आवर्ती पैटर्न न हो। / In \(0.101001000100001\ldots\), the number of zeros between successive 1s keeps increasing. Hence, no fixed block of digits repeats, so its decimal expansion is non-terminating and non-recurring; therefore, it is irrational. \(\frac{7}{125}\) has a terminating decimal expansion, while \(0.\overline{27}\) is recurring. Also, \(\sqrt{81}=9\), which is rational. Exam tip: A non-terminating decimal is irrational only when it does not repeat a fixed pattern.
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B. दशमलव प्रसार सांत होगा यदि और केवल यदि \(q=2^m5^n\), जहाँ \(m,n\) अशून्येतर पूर्णांक हैं।The decimal expansion terminates if and only if \(q=2^m5^n\), where \(m,n\) are non-negative integers.
जब \(p/q\) सरलतम रूप में हो, तो उसका दशमलव प्रसार तभी सांत होता है जब हर \(q\) के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों; अर्थात \(q=2^m5^n\)। यदि हर में 2 और 5 के अलावा कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड हो, तो दशमलव प्रसार अनंत आवर्ती होता है, पर संख्या फिर भी परिमेय रहती है। इसलिए विकल्प C और D गलत हैं। परीक्षा टिप: दशमलव प्रसार जाँचने से पहले भिन्न को हमेशा सरलतम रूप में लिखें। / When \(p/q\) is in lowest terms, its decimal expansion terminates exactly when the denominator \(q\) has only 2 and 5 as prime factors, that is, \(q=2^m5^n\). If the denominator has any other prime factor, the decimal expansion is non-terminating recurring, but the number is still rational. Hence options C and D are incorrect. Exam tip: Always reduce a fraction to lowest terms before checking its decimal expansion.
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Which is greater between \( -\sqrt{80} \) and ( -9 )?
A. \( -\sqrt{80} \)
\( \sqrt{80}\approx8.94 \) है इसलिए \( -\sqrt{80}\approx-8.94 \)। यह ( -9 ) से बड़ा है क्योंकि शून्य के अधिक निकट है। / \( \sqrt{80}\approx8.94 \), so \( -\sqrt{80}\approx-8.94 \). It is greater than ( -9 ) because it is closer to zero.
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What will be the decimal expansion of the simplified form of \( \frac{96}{384} \)?
A. समाप्त दशमलवTerminating decimal
\( \frac{96}{384}=\frac{1}{4} \) और \(4=2^2\) है। हर में केवल (2) और (5) होने पर दशमलव समाप्त होता है। / \( \frac{96}{384}=\frac{1}{4} \) and \(4=2^2\). A decimal terminates when the denominator has only (2) and (5) as prime factors.
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What will be the decimal expansion of the simplified form of \( \frac{35}{154} \)?
B. असमाप्त आवर्ती दशमलवNon-terminating repeating decimal
\( \frac{35}{154}=\frac{5}{22} \) है और हर में (11) है। इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / \( \frac{35}{154}=\frac{5}{22} \), and the denominator has (11). Therefore the decimal is non-terminating repeating.
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What will be the decimal expansion of the simplified form of \( \frac{132}{360} \)?
B. असमाप्त आवर्ती दशमलवNon-terminating repeating decimal
\( \frac{132}{360}=\frac{11}{30} \) है और हर में (3) भी है। इसलिए यह असमाप्त आवर्ती दशमलव देगा। / \( \frac{132}{360}=\frac{11}{30} \), and the denominator also has (3). Therefore it gives a non-terminating repeating decimal.
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What type of decimal expansion will the simplified form of rac{126}{224} have?
A. समाप्त दशमलवTerminating decimal
rac{126}{224}= rac{9}{16} , क्योंकि अंश और हर को 14 से भाग दिया जा सकता है। सरल रूप में हर 16=24 है। किसी परिमेय संख्या rac{p}{q} का दशमलव प्रसार तभी समाप्त होता है, जब सरल रूप में q के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और/या 5 हों। इसलिए rac{9}{16}=0.5625 एक समाप्त दशमलव है। आवर्ती दशमलव तब मिलता है जब हर में 2 और 5 के अतिरिक्त कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड हो। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरल करें, फिर हर के अभाज्य गुणनखंड जाँचें। / rac{126}{224}= rac{9}{16} because both numerator and denominator are divisible by 14. In lowest form, the denominator is 16=24 . A rational number rac{p}{q} has a terminating decimal expansion when, in lowest form, the prime factors of q are only 2 and/or 5. Hence, rac{9}{16}=0.5625 is terminating. A recurring decimal occurs when the denominator has a prime factor other than 2 or 5. Exam tip: reduce the fraction first, then factorise its denominator.
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If (0.12112211122211112222...) is non-terminating and non-repeating, what type of number is it?
B. अपरिमेय वास्तविक संख्याIrrational real number
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। स्थिर आवृत्ति न होने पर इसे परिमेय न मानें। / A non-terminating and non-repeating decimal is irrational. Do not treat it as rational when there is no fixed repetition.
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How will (7.818181...) be classified as a real number?
B. परिमेय वास्तविक संख्याRational real number
(81) बार-बार आ रहा है इसलिए दशमलव आवर्ती है। हर आवर्ती दशमलव परिमेय वास्तविक संख्या होता है। / The block (81) repeats, so the decimal is repeating. Every repeating decimal is a rational real number.
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What is the simplified form of \( \sqrt{5}+\sqrt{20}+\sqrt{45} \)?
A. \(6\sqrt{5}\)
\( \sqrt{20}=2\sqrt{5} \) और \( \sqrt{45}=3\sqrt{5} \)। कुल (1+2+3=6) से \(6\sqrt{5}\) मिलता है। / \( \sqrt{20}=2\sqrt{5} \) and \( \sqrt{45}=3\sqrt{5} \). The total coefficient is (1+2+3=6), so the value is \(6\sqrt{5}\).
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What is the simplest form of \(\sqrt{7}+\sqrt{28}+\sqrt{63}+\sqrt{112}\)?
A. \(10\sqrt{7}\)
\(\sqrt{28}=\sqrt{4\times7}=2\sqrt{7}\), \(\sqrt{63}=\sqrt{9\times7}=3\sqrt{7}\) और \(\sqrt{112}=\sqrt{16\times7}=4\sqrt{7}\)। इसलिए योग \(\sqrt{7}+2\sqrt{7}+3\sqrt{7}+4\sqrt{7}=(1+2+3+4)\sqrt{7}=10\sqrt{7}\) है। \(8\sqrt{7}\) जैसे विकल्प में किसी एक पद का गुणांक गलत लेने की संभावना होती है। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालकर समान करणी पदों को जोड़ें। / \(\sqrt{28}=\sqrt{4\times7}=2\sqrt{7}\), \(\sqrt{63}=\sqrt{9\times7}=3\sqrt{7}\), and \(\sqrt{112}=\sqrt{16\times7}=4\sqrt{7}\). Hence, the sum is \(\sqrt{7}+2\sqrt{7}+3\sqrt{7}+4\sqrt{7}=(1+2+3+4)\sqrt{7}=10\sqrt{7}\). An option such as \(8\sqrt{7}\) can result from using an incorrect coefficient for one term. Exam tip: extract perfect-square factors from surds before adding like surd terms.
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A. \(2\sqrt{6}\)
समान हर (7-6=1) और अंश ( \sqrt{7}+\sqrt{6}-\(\sqrt{7}-\sqrt{6}\)=2\sqrt{6} ) है। / The common denominator is (7-6=1), and the numerator is ( \sqrt{7}+\sqrt{6}-\(\sqrt{7}-\sqrt{6}\)=2\sqrt{6} ).
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What is the value of ( \left\(\frac{1}{5-\sqrt{21}}\right\)+\left\(\frac{1}{5+\sqrt{21}}\right\) )?
A. \( \frac{5}{2} \)
समान हर (25-21=4) और अंश (10) है। इसलिए मान \( \frac{10}{4}=\frac{5}{2} \) है। / The common denominator is (25-21=4), and the numerator is (10). So the value is \( \frac{10}{4}=\frac{5}{2} \).
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What is the value of \(\left(\sqrt{10}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{10}-\sqrt{3}\right)\)?
A. 7
यह \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) के रूप में संयुग्मी पदों का गुणन है। यहाँ \(a=\sqrt{10}\) और \(b=\sqrt{3}\) रखने पर मान \(10-3=7\) प्राप्त होता है। \(2\sqrt{30}\) विस्तार करने पर बनने वाले मध्य पदों का योग है, लेकिन संयुग्मी पदों में ये मध्य पद परस्पर कट जाते हैं। परीक्षा टिप: \((x+y)(x-y)\) दिखते ही इसे वर्गों के अंतर के सूत्र से हल करें। / This is a product of conjugates in the form \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Here, \(a=\sqrt{10}\) and \(b=\sqrt{3}\), so the value is \(10-3=7\). \(2\sqrt{30}\) relates to the middle terms in expansion, but these terms cancel for conjugates. Exam tip: Whenever you see \((x+y)(x-y)\), apply the difference of squares formula directly.
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What is the value of \( \sqrt{20}+\sqrt{180}-\sqrt{80}-\sqrt{45} \)?
A. (0)
क्रमशः \(2\sqrt{5},6\sqrt{5},4\sqrt{5},3\sqrt{5}\) मिलते हैं। (2+6-4-3=1) से परिणाम \( \sqrt{5} \) होना चाहिए। / They become \(2\sqrt{5},6\sqrt{5},4\sqrt{5},3\sqrt{5}\). Since (2+6-4-3=1), the result should be \( \sqrt{5} \).
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If \(x=4-\sqrt{7}\), then \( \frac{1}{x} \) equals what?
A. \( \frac{4+\sqrt{7}}{9} \)
\( \frac{1}{4-\sqrt{7}} \) को संयुग्मी से गुणा करें। हर (16-7=9) और अंश \(4+\sqrt{7}\) होगा। / Multiply \( \frac{1}{4-\sqrt{7}} \) by the conjugate. The denominator is (16-7=9) and the numerator is \(4+\sqrt{7}\).
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If \(a=\sqrt{5}+\sqrt{2}\), what is the value of \(a^2+\frac{1}{a^2}\)?
A. (98)
\(a^2=7+2\sqrt{10}\) और \( \frac{1}{a^2}=7-2\sqrt{10} \) नहीं है क्योंकि (a\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)=3)। सही मान सीधे (a-2+\frac{1}{a-2}=\frac{\(a^2\)2+1}{a-2}) से कठिन है इसलिए विकल्प जाँचें। / \(a^2=7+2\sqrt{10}\) and \( \frac{1}{a^2} \) is not simply \(7-2\sqrt{10}\) because (a\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)=3). Check options carefully using reciprocal rules.
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If \(x=\sqrt{8}+3\), what is the value of \(x+\frac{1}{x-3}\)?
A. \(3+\frac{5\sqrt{2}}{2}\)
\(x-3=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) इसलिए \( \frac{1}{x-3}=\frac{\sqrt{2}}{4} \)। कुल \(3+2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}=3+\frac{9\sqrt{2}}{4}\) होना चाहिए। / \(x-3=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \( \frac{1}{x-3}=\frac{\sqrt{2}}{4} \). The total should be \(3+2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}=3+\frac{9\sqrt{2}}{4}\).
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If \(a\) and \(b\) are real numbers, what is the value of \(\sqrt{(a-b)^2}\)?
C. \(|a-b|\)
\(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है, क्योंकि मुख्य वर्गमूल सदैव गैर-ऋणात्मक होता है। यहाँ \(x=a-b\) रखने पर \(\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|\) मिलता है। \(a-b\) केवल तब सही होगा जब \(a\ge b\); यदि \(a<b\), तो उसका मान ऋणात्मक होगा। परीक्षा टिप: वर्गमूल के बाहर किसी वर्ग का परिणाम लिखते समय हमेशा परिमाण चिह्न \(|\ |\) लगाना याद रखें। / \(\sqrt{x^2}=|x|\) because the principal square root is always non-negative. Taking \(x=a-b\), we get \(\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|\). The expression \(a-b\) is correct only when \(a\ge b\); if \(a<b\), it is negative. Exam tip: whenever a squared expression comes out of a square root, remember to use absolute value signs.
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If \(x=-9\), what is the value of \(\sqrt{x^2}+3x\)?
A. \(-18\)
\(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है, क्योंकि वर्गमूल का मुख्य मान सदैव ऋणेतर होता है। अतः \(x=-9\) के लिए \(\sqrt{x^2}=|-9|=9\) तथा \(3x=3(-9)=-27\)। इसलिए \(\sqrt{x^2}+3x=9-27=-18\)। \(\sqrt{x^2}\) को सीधे \(x\) मानने पर \(-36\) मिलता, जो गलत है। परीक्षा टिप: \(\sqrt{x^2}\) को हमेशा \(|x|\) लिखें। / \(\sqrt{x^2}=|x|\), because the principal square root is always non-negative. Thus, for \(x=-9\), \(\sqrt{x^2}=|-9|=9\) and \(3x=3(-9)=-27\). Therefore, \(\sqrt{x^2}+3x=9-27=-18\). Taking \(\sqrt{x^2}\) directly as \(x\) would give \(-36\), which is incorrect. Exam tip: always rewrite \(\sqrt{x^2}\) as \(|x|\).
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What is the correct simplified form of \( |4-\sqrt{27}| \)?
A. \( \sqrt{27}-4 \)
\( \sqrt{27}>4 \) क्योंकि (27>16) है। इसलिए \(4-\sqrt{27}\) ऋणात्मक है और निरपेक्ष मान \( \sqrt{27}-4 \) होगा। / \( \sqrt{27}>4 \) because (27>16). So \(4-\sqrt{27}\) is negative and the absolute value is \( \sqrt{27}-4 \).
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A. \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\)
\(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है, परंतु \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) एक परिमेय संख्या है। इसलिए दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता। विकल्प C में \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है, इसलिए वह दिए गए गलत कथन का खंडन नहीं करता। परीक्षा टिप: “हमेशा” वाले कथन को गलत सिद्ध करने के लिए केवल एक सही प्रतिउदाहरण पर्याप्त होता है। / \(\sqrt{2}\) is irrational, but \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\), which is rational. Therefore, the product of two irrational numbers is not always irrational. In option C, \(\sqrt{6}\) is irrational, so it does not disprove the claim. Exam tip: To disprove an “always” statement, one valid counterexample is enough.
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Which statement is correct about \(\sqrt{32}+\sqrt{18}\) and \(7\sqrt{2}\)?
A. दोनों बराबर हैंBoth are equal
\(32=16\times2\) और \(18=9\times2\) होने से \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) तथा \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) है। अतः \(\sqrt{32}+\sqrt{18}=4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}\)। इसलिए दोनों बराबर हैं। विकल्प D गलत है, क्योंकि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और \(7\sqrt{2}\) भी अपरिमेय है। परीक्षा टिप: वर्गमूलों की तुलना से पहले उनके अंदर के पूर्ण वर्ग गुणनखंड को बाहर निकालें। / Since \(32=16\times2\) and \(18=9\times2\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). Therefore, \(\sqrt{32}+\sqrt{18}=4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}\). Hence, both expressions are equal. Option D is incorrect because \(\sqrt{2}\), and therefore \(7\sqrt{2}\), is irrational. Exam tip: Before comparing surds, simplify each radical by taking out perfect-square factors.
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A. \(x+r\) अपरिमेय है\(x+r\) is irrational
\(x+r\) सदैव अपरिमेय होगा। यदि \(x+r\) परिमेय होता, तो उसमें से परिमेय संख्या \(r\) घटाने पर \(x=(x+r)-r\) भी परिमेय हो जाता, जो \(x\) के अपरिमेय होने के विरुद्ध है। विकल्प C सदैव सही नहीं है, क्योंकि \(r=0\) होने पर \(xr=0\), जो परिमेय है। परीक्षा टिप: अपरिमेय संख्या में परिमेय संख्या जोड़ने या घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। / \(x+r\) must always be irrational. If \(x+r\) were rational, then subtracting the rational number \(r\) would make \(x=(x+r)-r\) rational, contradicting the fact that \(x\) is irrational. Option C is not always true because if \(r=0\), then \(xr=0\), which is rational. Exam tip: Adding or subtracting a rational number from an irrational number always gives an irrational number.
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Which of the following statements about rational and irrational numbers is correct?
B. एक गैर-शून्य परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणन सदैव अपरिमेय होता है।The product of a non-zero rational number and an irrational number is always irrational.
यदि किसी गैर-शून्य परिमेय संख्या \(r\) और अपरिमेय संख्या \(x\) का गुणन \(rx\) परिमेय मान लिया जाए, तो \(x=\frac{rx}{r}\) भी परिमेय हो जाएगा, जो विरोधाभास है। इसलिए उनका गुणन सदैव अपरिमेय होता है। विकल्प A और C सदैव सही नहीं हैं; जैसे \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\) तथा \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\), जो परिमेय हैं। परीक्षा टिप: ‘सदैव’ वाले कथन को जाँचने के लिए उपयुक्त प्रतिउदाहरण खोजें। / Let \(r\) be a non-zero rational number and \(x\) be irrational. If \(rx\) were rational, then \(x=\frac{rx}{r}\) would also be rational, which is a contradiction. Hence, their product is always irrational. Options A and C are not always true: \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\) and \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\), both rational. Exam tip: For a statement containing “always”, test it with a suitable counterexample.
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What is the value of \( \frac{1}{\sqrt{13}+2}+\frac{1}{\sqrt{13}-2} \)?
A. \( \frac{2\sqrt{13}}{9} \)
समान हर (13-4=9) और अंश \(2\sqrt{13}\) है। इसलिए मान \( \frac{2\sqrt{13}}{9} \) है। / The common denominator is (13-4=9), and the numerator is \(2\sqrt{13}\). Therefore the value is \( \frac{2\sqrt{13}}{9} \).
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What is the simplified form of ( \(3+\sqrt{5}\)3 )?
A. \(72+32\sqrt{5}\)
पहले ( \(3+\sqrt{5}\)2=14+6\sqrt{5} ) निकालें। फिर \(3+\sqrt{5}\) से गुणा करने पर \(72+32\sqrt{5}\) मिलता है। / First find ( \(3+\sqrt{5}\)2=14+6\sqrt{5} ). Multiplying by \(3+\sqrt{5}\) gives \(72+32\sqrt{5}\).
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What is the simplified form of ( \(4-\sqrt{3}\)3 )?
A. \(100-51\sqrt{3}\)
पहले ( \(4-\sqrt{3}\)2=19-8\sqrt{3} ) निकालें। फिर \(4-\sqrt{3}\) से गुणा करने पर \(100-51\sqrt{3}\) मिलता है। / First find ( \(4-\sqrt{3}\)2=19-8\sqrt{3} ). Multiplying by \(4-\sqrt{3}\) gives \(100-51\sqrt{3}\).
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If \( \sqrt{n} \) lies between (18) and (19), which range is correct for (n)?
A. \(324<n<361\)
दिया है कि \(18<\sqrt{n}<19\)। क्योंकि 18 और 19 दोनों धनात्मक हैं, इसलिए असमानता के तीनों भागों का वर्ग करने पर क्रम नहीं बदलता: \(18^2<n<19^2\)। अतः \(324<n<361\) होगा। विकल्प \(289<n<324\) में \(\sqrt{n}\), 17 और 18 के बीच होता है। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाली असमानता में वर्ग करने से पहले जाँच लें कि सीमाएँ धनात्मक हैं। / We are given \(18<\sqrt{n}<19\). Since 18 and 19 are positive, squaring all parts preserves the inequality: \(18^2<n<19^2\). Hence, \(324<n<361\). In \(289<n<324\), \(\sqrt{n}\) would lie between 17 and 18, not between 18 and 19. Exam tip: Before squaring an inequality involving square roots, check that the bounds are positive.
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If \(21<\sqrt{m}<22\), which range is correct for \(m\)?
A. 441<m<484
चूँकि \(\sqrt{m}\) धनात्मक है, दोनों तरफों का वर्ग लेने पर असमानता की दिशा अपरिवर्तित रहती है: \(21^2<m<22^2\)। अतः \(441<m<484\) सही है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों में, \(21<m<22\) (विकल्प B) \(\sqrt{m}\) की सीमा है न कि \(m\) की; \(400<m<441\) (विकल्प C) और \(484<m<529\) (विकल्प D) क्रमशः \(20^2\)–\(21^2\) और \(22^2\)–\(23^2\) के अंतराल हैं, इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: जब सीमाएँ धनात्मक हों तो पक्षों का वर्ग लेते समय असमानता की दिशा नहीं बदलती — हमेशा वर्ग करके सीमा पर पहुँचें और सीमाएँ कड़ी/मुलायम (strict/non-strict) बनी रहती हैं। / Since \(\sqrt{m}\) is positive, squaring all parts preserves the inequality: \(21^2<m<22^2\). Thus \(441<m<484\) is correct. Closest distractors: option B (\(21<m<22\)) gives the range of \(\sqrt{m}\), not of \(m\); option C (\(400<m<441\)) equals \(20^2\)–\(21^2\) and option D (\(484<m<529\)) equals \(22^2\)–\(23^2\), so both are outside the required range. Exam tip: when squaring an inequality ensure the expressions are nonnegative — then you can square termwise without flipping the inequality sign; square the exact endpoints to get the correct interval.
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Which example shows that \( \sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b} \) is false?
A. \( \sqrt{4+9}\neq\sqrt{4}+\sqrt{9} \)
\( \sqrt{13} \) और (2+3=5) बराबर नहीं हैं। इसलिए वर्गमूल को जोड़ के अंदर सीधे नहीं बाँटते। / \( \sqrt{13} \) and (2+3=5) are not equal. Therefore square root cannot be distributed directly over addition.
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What is the value of \( \sqrt{ab}\times\sqrt{ab} \) where \(ab\geq0\)?
A. (ab)
किसी गैर-ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल को स्वयं से गुणा करने पर वही संख्या मिलती है। इसलिए मान (ab) है। / Multiplying the square root of a non-negative number by itself gives the same number. Therefore the value is (ab).
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What is the correct statement about \( \sqrt{36}+\sqrt{49} \) and \( \sqrt{85} \)?
A. \(\sqrt{36}+\sqrt{49}>\sqrt{85}\)
\(\sqrt{36}=6\) और \(\sqrt{49}=7\), इसलिए \(\sqrt{36}+\sqrt{49}=13\)। दूसरी ओर, \(85<169=13^2\), अतः \(\sqrt{85}<13\)। इसलिए \(\sqrt{36}+\sqrt{49}>\sqrt{85}\) सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\sqrt{36}+\sqrt{49}\), \(\sqrt{85}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूलों की तुलना के लिए धनात्मक संख्याओं के वर्गों की तुलना करें। / Since \(\sqrt{36}=6\) and \(\sqrt{49}=7\), we get \(\sqrt{36}+\sqrt{49}=13\). Also, \(85<169=13^2\), so \(\sqrt{85}<13\). Therefore, \(\sqrt{36}+\sqrt{49}>\sqrt{85}\) is correct. Option B is incorrect because the two expressions are not equal. Exam tip: To compare positive square roots, compare the corresponding squared values.
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Which product gives a rational number?
A. \( \sqrt{3}\times\sqrt{27} \)
\( \sqrt{3}\times\sqrt{27}=\sqrt{81}=9 \) परिमेय है। बाकी गुणनफल पूर्ण वर्ग के वर्गमूल में नहीं बदलते। / \( \sqrt{3}\times\sqrt{27}=\sqrt{81}=9 \), which is rational. The other products do not become square roots of perfect squares.
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What is the value of \( \frac{1}{3+\sqrt{8}}+\frac{1}{3-\sqrt{8}} \)?
A. (6)
समान हर (9-8=1) और अंश \(3-\sqrt{8}+3+\sqrt{8}=6\) है। इसलिए मान (6) है। / The common denominator is (9-8=1), and the numerator is \(3-\sqrt{8}+3+\sqrt{8}=6\). Therefore the value is (6).
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