Which of the following statements about rational and irrational numbers is correct?निम्नलिखित में से कौन-सा कथन परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के संबंध में सही है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: The product of a non-zero rational number and an irrational number is always irrational.एक गैर-शून्य परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणन सदैव अपरिमेय होता है।
Let \(r\) be a non-zero rational number and \(x\) be irrational. If \(rx\) were rational, then \(x=\frac{rx}{r}\) would also be rational, which is a contradiction. Hence, their product is always irrational. Options A and C are not always true: \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\) and \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\), both rational. Exam tip: For a statement containing “always”, test it with a suitable counterexample.यदि किसी गैर-शून्य परिमेय संख्या \(r\) और अपरिमेय संख्या \(x\) का गुणन \(rx\) परिमेय मान लिया जाए, तो \(x=\frac{rx}{r}\) भी परिमेय हो जाएगा, जो विरोधाभास है। इसलिए उनका गुणन सदैव अपरिमेय होता है। विकल्प A और C सदैव सही नहीं हैं; जैसे \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\) तथा \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\), जो परिमेय हैं। परीक्षा टिप: ‘सदैव’ वाले कथन को जाँचने के लिए उपयुक्त प्रतिउदाहरण खोजें।
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