A student claims that the sum of any two irrational numbers is always irrational. Which of the following pairs is a counterexample to this claim?एक विद्यार्थी का कथन है कि दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय होता है। निम्नलिखित में से कौन-सा युग्म उसके कथन का प्रतिवाद करता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(\sqrt{2},\ -\sqrt{2}\)\(\sqrt{2},\ -\sqrt{2}\)
Both \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are irrational, but their sum is \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\), which is rational. Hence, the claim that the sum of two irrational numbers is always irrational is false. In option B, \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is still irrational, so it is not a counterexample. Exam tip: To disprove a statement containing words such as “always,” it is enough to find one valid counterexample.\(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं, लेकिन उनका योग \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\) है, जो एक परिमेय संख्या है। इसलिए यह कथन कि दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय होता है, गलत है। विकल्प B में \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय रहता है, इसलिए वह प्रतिवाद नहीं है। परीक्षा टिप: ‘हमेशा’ या ‘कभी नहीं’ जैसे कथनों को जाँचने के लिए एक सही प्रतिवाद ढूँढना पर्याप्त होता है।
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