If \(r\) is a rational number and \(x\) is an irrational number, which of the following will always be irrational?यदि \(r\) एक परिमेय संख्या तथा \(x\) एक अपरिमेय संख्या है, तो निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या सदैव अपरिमेय होगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(r+x\)\(r+x\)
\(r+x\) is always irrational. If \(r+x\) were rational, then \(x=(r+x)-r\) would be rational as the difference of two rational numbers. This contradicts the fact that \(x\) is irrational. \(rx\) is not always irrational because it becomes 0 when \(r=0\). Also, for \(x=\sqrt{2}\), \(x^2=2\) is rational, and \(x/x=1\). Exam tip: Adding or subtracting a rational number and an irrational number always gives an irrational number.\(r+x\) सदैव अपरिमेय होगा। यदि \(r+x\) परिमेय मान लिया जाए, तो \(x=(r+x)-r\) भी दो परिमेय संख्याओं का अंतर होने के कारण परिमेय हो जाएगा, जो \(x\) के अपरिमेय होने के विरुद्ध है। \(rx\) सदैव अपरिमेय नहीं है, क्योंकि \(r=0\) होने पर गुणनफल 0 होगा। इसी प्रकार, \(x=\sqrt{2}\) के लिए \(x^2=2\) परिमेय है और \(x/x=1\) होता है। परीक्षा टिप: परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने या घटाने पर परिणाम सदैव अपरिमेय होता है।
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