Level 1 • 50/50 questions • 30 seconds per question.
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What is the simplified surd form of \( \sqrt{675} \)?
A. \(15\sqrt{3}\)
\(675=225\times3\) इसलिए \( \sqrt{675}=15\sqrt{3} \)। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहले खोजें। / Since \(675=225\times3\), \( \sqrt{675}=15\sqrt{3} \). First find the largest perfect-square factor.
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What is obtained by simplifying \( \sqrt{980} \)?
A. \(14\sqrt{5}\)
\(980=196\times5\) इसलिए \( \sqrt{980}=14\sqrt{5} \)। करणी में पूर्ण वर्ग को बाहर निकालें। / Since \(980=196\times5\), \( \sqrt{980}=14\sqrt{5} \). Take the perfect square outside the radical.
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What is the simplified form of \(2\sqrt{147}-3\sqrt{75}+\sqrt{300}\)?
B. \(8\sqrt{3}\)
\(2\sqrt{147}=14\sqrt{3}\), \(3\sqrt{75}=15\sqrt{3}\), और \( \sqrt{300}=10\sqrt{3} \)। कुल \(9\sqrt{3}\) नहीं बल्कि (14-15+10=9) से \(9\sqrt{3}\) होना चाहिए। / \(2\sqrt{147}=14\sqrt{3}\), \(3\sqrt{75}=15\sqrt{3}\), and \( \sqrt{300}=10\sqrt{3} \). The coefficient is (14-15+10=9), so the value is \(9\sqrt{3}\).
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Choose the correct simplified form of \(4\sqrt{72}+2\sqrt{200}-5\sqrt{50}\).
A. \(14\sqrt{2}\)
\(4\sqrt{72}=24\sqrt{2}\), \(2\sqrt{200}=20\sqrt{2}\), और \(5\sqrt{50}=25\sqrt{2}\)। इसलिए परिणाम \(19\sqrt{2}\) होना चाहिए। / \(4\sqrt{72}=24\sqrt{2}\), \(2\sqrt{200}=20\sqrt{2}\), and \(5\sqrt{50}=25\sqrt{2}\). Therefore the result should be \(19\sqrt{2}\).
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What is the value of ( \sqrt{18}\(2\sqrt{8}-\sqrt{50}\) )?
B. ( -6 )
\(2\sqrt{8}=4\sqrt{2}\) और \( \sqrt{50}=5\sqrt{2} \), इसलिए कोष्ठक \( -\sqrt{2} \) है। ( \sqrt{18}\times\(-\sqrt{2}\)=-\sqrt{36}=-6 )। / \(2\sqrt{8}=4\sqrt{2}\) and \( \sqrt{50}=5\sqrt{2} \), so the bracket is \( -\sqrt{2} \). ( \sqrt{18}\times\(-\sqrt{2}\)=-\sqrt{36}=-6 ).
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B. दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा, क्योंकि सरलतम रूप के हर में 3 गुणनखंड भी है।The decimal expansion will be non-terminating recurring because the denominator in lowest form also has a factor 3.
\(\frac{77}{480}\) पहले से सरलतम रूप में है और \(480=2^5\times3\times5\) है। किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार केवल तभी सांत होता है जब सरलतम रूप के हर में 2 और 5 के अतिरिक्त कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड न हो। यहाँ 3 भी है, इसलिए दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा। विकल्प C गलत है, क्योंकि असांत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय संख्याओं का होता है। परीक्षा टिप: हर को सरलतम रूप में लिखकर उसके अभाज्य गुणनखंड तुरंत जाँचें। / The fraction \(\frac{77}{480}\) is already in lowest terms, and \(480=2^5\times3\times5\). A rational number has a terminating decimal expansion only when the denominator in lowest form has no prime factors other than 2 and 5. Since 3 is also present, its decimal expansion is non-terminating recurring. Option C is incorrect because non-terminating non-recurring decimals represent irrational numbers. Exam tip: First reduce the fraction, then check the prime factors of its denominator.
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What is the simplified form of ( \(5\sqrt{3}-2\sqrt{5}\)2 )?
A. \(95-20\sqrt{15}\)
( \(5\sqrt{3}\)2=75 ) और ( \(2\sqrt{5}\)2=20 ) हैं। मध्य पद \(2\times5\sqrt{3}\times2\sqrt{5}=20\sqrt{15}\) घटेगा। / ( \(5\sqrt{3}\)2=75 ) and ( \(2\sqrt{5}\)2=20 ). The middle term \(2\times5\sqrt{3}\times2\sqrt{5}=20\sqrt{15}\) is subtracted.
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Which of the following numbers is definitely irrational?
A. \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)
\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। यदि इसे किसी परिमेय संख्या \(r\) के बराबर मानें, तो वर्ग करने पर \(r^2=5+2\sqrt{6}\) मिलेगा। तब \(\sqrt{6}\) परिमेय होना चाहिए, जो असंभव है; अतः यह योग अपरिमेय है। विकल्प B में \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), इसलिए वह परिमेय है। परीक्षा टिप: वर्गमूलों के योग को परिमेय मानकर उसका वर्ग करना अपरिमेयता जाँचने की उपयोगी विधि है। / \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. If it were equal to a rational number \(r\), then on squaring we would get \(r^2=5+2\sqrt{6}\). This would make \(\sqrt{6}\) rational, which is impossible; hence the sum is irrational. In option B, \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), so it is rational. Exam tip: To test a sum of square roots, assume it is rational and square both sides.
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What is the rationalised form of \( \frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{5}} \)?
B. \( \frac{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}}{2} \)
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (18-20=-2) मिलता है। इसलिए रूप \( \frac{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}}{2} \) लिखा जा सकता है। / Multiplying by the conjugate gives denominator (18-20=-2). So the form can be written as \( \frac{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}}{2} \).
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What is the rationalised form of \( \frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \)?
A. \( \sqrt{7}+\sqrt{5} \)
संयुग्मी \( \sqrt{7}+\sqrt{5} \) से गुणा करने पर हर (7-5=2) आता है। अंश में भी (2) है इसलिए उत्तर \( \sqrt{7}+\sqrt{5} \) है। / Multiplying by the conjugate \( \sqrt{7}+\sqrt{5} \) gives denominator (7-5=2). The numerator also has (2), so the answer is \( \sqrt{7}+\sqrt{5} \).
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What is the value of \( \frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}+\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} \)?
A. \( \frac{22}{7} \)
मान ( \frac{\(3+\sqrt{2}\)2+\(3-\sqrt{2}\)2}{9-2} ) होगा। अंश (22) और हर (7) है। / The value is ( \frac{\(3+\sqrt{2}\)2+\(3-\sqrt{2}\)2}{9-2} ). The numerator is (22) and the denominator is (7).
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What is the value of \(\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2-\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2\)?
A. \(4\sqrt{15}\)
पहचान \((a+b)^2-(a-b)^2=4ab\) का प्रयोग करें। यहाँ \(a=\sqrt{5}\) और \(b=\sqrt{3}\) हैं। अतः मान \(4\times\sqrt{5}\times\sqrt{3}=4\sqrt{15}\) होगा। विकल्प 16 तब मिलता यदि वर्गों के अंतर में मध्य पदों का प्रभाव न लिया जाए। परीक्षा टिप: ऐसे व्यंजकों में दोनों वर्गों को अलग-अलग फैलाने के बजाय सीधे पहचान लगाना तेज़ और सुरक्षित है। / Use the identity \((a+b)^2-(a-b)^2=4ab\). Here, \(a=\sqrt{5}\) and \(b=\sqrt{3}\). Therefore, the value is \(4\times\sqrt{5}\times\sqrt{3}=4\sqrt{15}\). The option 16 may result from ignoring the effect of the middle terms in the two squares. Exam tip: For expressions of this form, applying the identity is quicker and safer than expanding both squares separately.
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What is the value of \( \frac{\sqrt{12}+\sqrt{27}}{\sqrt{3}} \)?
A. (5)
\( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \) और \( \sqrt{27}=3\sqrt{3} \)। कुल \(5\sqrt{3}\) को \( \sqrt{3} \) से भाग देने पर (5) मिलेगा। / \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \) and \( \sqrt{27}=3\sqrt{3} \). Dividing \(5\sqrt{3}\) by \( \sqrt{3} \) gives (5).
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If \(x\) is an irrational number, which of the following statements is always true?
A. \(x+5\) एक अपरिमेय संख्या है।\(x+5\) is an irrational number.
किसी अपरिमेय संख्या में एक परिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम सदैव अपरिमेय होता है। इसलिए \(x+5\) अपरिमेय होगा, क्योंकि 5 परिमेय है। विकल्प B सदैव सही नहीं है; जैसे \(x=\sqrt{2}\) लेने पर \(x^2=2\), जो परिमेय है। विकल्प C और D में \(x\neq0\) होने के कारण मान 1 मिलता है, जो परिमेय है। परीक्षा टिप: अपरिमेय ± परिमेय हमेशा अपरिमेय होता है। / Adding a rational number to an irrational number always gives an irrational number. Hence \(x+5\) is irrational because 5 is rational. Option B is not always true: if \(x=\sqrt{2}\), then \(x^2=2\), which is rational. In options C and D, \(x\neq0\), so the value is 1, a rational number. Exam tip: irrational ± rational is always irrational.
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A. \(\frac{21}{84}\)
सही उत्तर \(\frac{21}{84}\) है, क्योंकि पहले भिन्न को सरलतम रूप में लिखना आवश्यक है: \(\frac{21}{84}=\frac{1}{4}=0.25\)। सरलतम रूप में हर \(4=2^2\) है, इसलिए दशमलव प्रसार सांत है। विद्यार्थी की गलती यह है कि उसने भिन्न को सरल किए बिना हर के गुणनखंड देखे। इसके विपरीत, \(\frac{7}{12}\) के सरलतम हर में \(3\) है, इसलिए उसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है। परीक्षा टिप: सांत दशमलव की जाँच हमेशा भिन्न को सरलतम रूप में बदलने के बाद करें। / The correct answer is \(\frac{21}{84}\), because the fraction must first be reduced to lowest terms: \(\frac{21}{84}=\frac{1}{4}=0.25\). Its denominator in lowest form is \(4=2^2\), so its decimal expansion terminates. The student's error is checking prime factors before cancelling common factors. In contrast, \(\frac{7}{12}\) has a factor of \(3\) in its denominator in lowest terms, so its decimal expansion is non-terminating recurring. Exam tip: Always reduce a fraction to lowest terms before applying the terminating-decimal rule.
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D. \(0.101001000100001\ldots\)
\(0.101001000100001\ldots\) में 1 के बीच आने वाले शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती जाती है, इसलिए इसका कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता। यह दशमलव प्रसार असमाप्य और अनावर्ती है, अतः संख्या अपरिमेय है। \(0.272727\ldots\) असमाप्य जरूर है, पर उसमें 27 बार-बार दोहराता है, इसलिए वह परिमेय है। \(0.125\) समाप्य दशमलव है और \(\sqrt{121}=11\) एक पूर्णांक है। परीक्षा टिप: असमाप्य दशमलव तभी अपरिमेय होता है जब उसमें कोई आवर्ती पैटर्न न हो। / In \(0.101001000100001\ldots\), the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed block repeats. Its decimal expansion is non-terminating and non-repeating; therefore, it is irrational. Although \(0.272727\ldots\) is non-terminating, the block 27 repeats, so it is rational. Also, \(0.125\) terminates and \(\sqrt{121}=11\) is an integer. Exam tip: A non-terminating decimal is irrational only when it has no repeating pattern.
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Which is the correct ascending order?
B. \( \frac{11}{5}<\sqrt{5}<2.3 \)
\( \frac{11}{5}=2.2 \), \( \sqrt{5}\approx2.236 \), और (2.3) है। इसलिए आरोही क्रम \( \frac{11}{5}<\sqrt{5}<2.3 \) है। / \( \frac{11}{5}=2.2 \), \( \sqrt{5}\approx2.236 \), and then (2.3). So the ascending order is \( \frac{11}{5}<\sqrt{5}<2.3 \).
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B. अपरिमेय संख्याAn irrational number
असमाप्त तथा अनावर्ती दशमलव प्रसार वाली संख्या अपरिमेय होती है। परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है; इसलिए विकल्प A सही नहीं है। पूर्णांक और प्राकृतिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं के ही विशेष रूप हैं। परीक्षा टिप: ‘असमाप्त अनावर्ती’ दिखते ही उसे अपरिमेय संख्या से जोड़ें। / A number with a non-terminating, non-recurring decimal expansion is irrational. The decimal expansion of every rational number either terminates or repeats, so option A is not correct. Integers and natural numbers are special types of rational numbers. Exam tip: Link “non-terminating, non-recurring” directly with irrational numbers.
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Which is greater between \( -\sqrt{30} \) and \( -\frac{11}{2} \)?
A. \( -\sqrt{30} \)
\( \sqrt{30}\approx5.477 \) और \( \frac{11}{2}=5.5 \) है। इसलिए \( -\sqrt{30} \) शून्य के अधिक निकट है और बड़ी है। / \( \sqrt{30}\approx5.477 \) and \( \frac{11}{2}=5.5 \). So \( -\sqrt{30} \) is closer to zero and is greater.
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What will be the decimal expansion of the simplified form of \( \frac{39}{312} \)?
A. समाप्त दशमलवTerminating decimal
\( \frac{39}{312}=\frac{1}{8} \) और \(8=2^3\) है। हर में केवल (2) और (5) होने पर दशमलव समाप्त होता है। / \( \frac{39}{312}=\frac{1}{8} \) and \(8=2^3\). A decimal terminates when the denominator has only (2) and (5) as prime factors.
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What will be the decimal expansion of the simplified form of \( \frac{22}{77} \)?
B. असमाप्त आवर्ती दशमलवNon-terminating repeating decimal
\( \frac{22}{77}=\frac{2}{7} \) है और हर में (7) है। इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / \( \frac{22}{77}=\frac{2}{7} \), and the denominator has (7). Therefore the decimal is non-terminating repeating.
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Which of the following numbers has a non-terminating recurring decimal expansion?
C. \(\frac{11}{18}\)
\(\frac{11}{18}\) के हर का अभाज्य गुणनखंडन \(18=2\times 3^2\) है। सरल रूप में हर में 2 और 5 के अलावा 3 भी है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार अनंत और आवर्ती होगा। इसके विपरीत \(\frac{7}{40}\), \(\frac{13}{125}\) और \(\frac{9}{64}\) के हरों में केवल 2 और/या 5 के गुणनखंड हैं, इसलिए उनके दशमलव प्रसार सांत होते हैं। परीक्षा टिप: किसी परिमेय संख्या के हर में 2 और 5 के अतिरिक्त कोई अभाज्य गुणनखंड हो, तो दशमलव प्रसार अनंत आवर्ती होता है। / For \(\frac{11}{18}\), the prime factorisation of the denominator is \(18=2\times 3^2\). In lowest form, the denominator contains the prime factor 3 in addition to 2 and 5, so its decimal expansion is non-terminating recurring. In contrast, the denominators of \(\frac{7}{40}\), \(\frac{13}{125}\), and \(\frac{9}{64}\) contain only 2 and/or 5, so they have terminating decimal expansions. Exam tip: In lowest form, a rational number has a non-terminating recurring decimal when its denominator has a prime factor other than 2 or 5.
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What will be the decimal expansion of the simplified form of \( \frac{105}{126} \)?
B. असमाप्त आवर्ती दशमलवNon-terminating repeating decimal
\( \frac{105}{126}=\frac{5}{6} \) है और हर में (3) है। इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / \( \frac{105}{126}=\frac{5}{6} \), and the denominator has (3). Therefore the decimal is non-terminating repeating.
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If (0.01001000100001...) is non-terminating and non-repeating, what type of number is it?
B. अपरिमेय वास्तविक संख्याIrrational real number
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। दशमलव में नियमित आवृत्ति है या नहीं यह पहचानें। / A non-terminating and non-repeating decimal is irrational. Check whether the decimal has a fixed repeating pattern.
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How will (5.232323...) be classified as a real number?
B. परिमेय वास्तविक संख्याRational real number
(23) बार-बार आ रहा है इसलिए दशमलव आवर्ती है। हर आवर्ती दशमलव परिमेय वास्तविक संख्या होता है। / The block (23) repeats, so the decimal is repeating. Every repeating decimal is a rational real number.
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What is the simplified form of \( \sqrt{2}+\sqrt{8}+\sqrt{18} \)?
A. \(6\sqrt{2}\)
\( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \) और \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \)। कुल (1+2+3=6) से \(6\sqrt{2}\) मिलता है। / \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \) and \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \). The total coefficient is (1+2+3=6), so the value is \(6\sqrt{2}\).
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What is the simplest form of \(\sqrt{3}+\sqrt{12}+\sqrt{27}+\sqrt{48}\)?
A. \(10\sqrt{3}\)
\(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\), \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\) और \(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\)। अतः योग \(\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+4\sqrt{3}=(1+2+3+4)\sqrt{3}=10\sqrt{3}\) है। \(8\sqrt{3}\) तब मिलता यदि पदों के गुणांकों का योग गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक वर्गमूल में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड अलग करके समान मूल पदों को जोड़ें। / \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\), \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\), and \(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\). Therefore, the sum is \(\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+4\sqrt{3}=(1+2+3+4)\sqrt{3}=10\sqrt{3}\). \(8\sqrt{3}\) would result from adding the coefficients incorrectly. Exam tip: factor out the greatest perfect square from each radicand before combining like surds.
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What is the value of ( \left\(\frac{1}{\sqrt{5}-2}\right\)-\left\(\frac{1}{\sqrt{5}+2}\right\) )?
A. (4)
समान हर (5-4=1) होगा और अंश ( \sqrt{5}+2-\(\sqrt{5}-2\)=4 ) है। इसलिए मान (4) है। / The common denominator is (5-4=1), and the numerator is ( \sqrt{5}+2-\(\sqrt{5}-2\)=4 ). Hence the value is (4).
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What is the value of ( \left\(\frac{1}{3-\sqrt{7}}\right\)+\left\(\frac{1}{3+\sqrt{7}}\right\) )?
A. (3)
समान हर (9-7=2) और अंश \(3+\sqrt{7}+3-\sqrt{7}=6\) है। इसलिए मान \( \frac{6}{2}=3 \) है। / The common denominator is (9-7=2), and the numerator is \(3+\sqrt{7}+3-\sqrt{7}=6\). So the value is \( \frac{6}{2}=3 \).
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B. दशमलव प्रसार असमाप्य आवर्ती होगा, क्योंकि सरलतम रूप में हर 120 में 3 का गुणनखंड भी है।The decimal expansion will be non-terminating recurring because the denominator 120, in lowest form, also has 3 as a factor.
\(\frac{13}{120}\) पहले से सरलतम रूप में है, क्योंकि 13 और 120 का कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है। किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी समाप्त होता है जब सरलतम रूप में उसके हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और/या 5 हों। यहाँ \(120=2^3\times3\times5\) है; 3 का गुणनखंड होने के कारण दशमलव प्रसार असमाप्य आवर्ती होगा। विकल्प A की त्रुटि यह है कि केवल 2 और 5 का उपस्थित होना पर्याप्त नहीं है; अन्य अभाज्य गुणनखंड नहीं होने चाहिए। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरलतम रूप में लिखकर हर का अभाज्य गुणनखंडन करें। / The fraction \(\frac{13}{120}\) is already in lowest terms because 13 and 120 have no common factor. A rational number has a terminating decimal expansion only when, in lowest form, its denominator has no prime factors other than 2 and/or 5. Here, \(120=2^3\times3\times5\); the factor 3 makes the decimal expansion non-terminating recurring. Option A is incorrect because the mere presence of 2 and 5 is not enough; no other prime factor may occur. Exam tip: first reduce the fraction, then prime-factorise its denominator.
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What is the value of \( \sqrt{12}+\sqrt{75}-\sqrt{48}-\sqrt{27} \)?
A. (0)
क्रमशः \(2\sqrt{3},5\sqrt{3},4\sqrt{3},3\sqrt{3}\) मिलते हैं। (2+5-4-3=0) इसलिए मान (0) है। / They become \(2\sqrt{3},5\sqrt{3},4\sqrt{3},3\sqrt{3}\). Since (2+5-4-3=0), the value is (0).
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If \(x=3-\sqrt{5}\), then \( \frac{1}{x} \) equals what?
A. \( \frac{3+\sqrt{5}}{4} \)
\( \frac{1}{3-\sqrt{5}} \) को संयुग्मी से गुणा करें। हर (9-5=4) और अंश \(3+\sqrt{5}\) होगा। / Multiply \( \frac{1}{3-\sqrt{5}} \) by the conjugate. The denominator is (9-5=4) and the numerator is \(3+\sqrt{5}\).
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If \(a=\sqrt{3}+\sqrt{2}\), what is the value of \(a^2+\frac{1}{a^2}\)?
C. 10
\(a^2=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=5+2\sqrt{6}\)। साथ ही, \((\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1\), इसलिए \(\frac{1}{a}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) और \(\frac{1}{a^2}=5-2\sqrt{6}\)। अतः \(a^2+\frac{1}{a^2}=(5+2\sqrt{6})+(5-2\sqrt{6})=10\)। \(2\sqrt{6}\) वाले पद परस्पर कट जाते हैं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले युग्मज सुरड का उपयोग करके व्युत्क्रम ज्ञात करें। / \(a^2=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=5+2\sqrt{6}\). Also, \((\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1\), so \(\frac{1}{a}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) and \(\frac{1}{a^2}=5-2\sqrt{6}\). Therefore, \(a^2+\frac{1}{a^2}=(5+2\sqrt{6})+(5-2\sqrt{6})=10\). The \(2\sqrt{6}\) terms cancel out. Exam tip: use the conjugate surd first to find the reciprocal in such questions.
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If \(x=\sqrt{5}+2\), what is the value of \(x+\frac{1}{x}\)?
A. \(2\sqrt{5}\)
\( \frac{1}{\sqrt{5}+2}=\sqrt{5}-2 \) है। इसलिए \(x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}+2+\sqrt{5}-2=2\sqrt{5}\)। / \( \frac{1}{\sqrt{5}+2}=\sqrt{5}-2 \). Hence \(x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}+2+\sqrt{5}-2=2\sqrt{5}\).
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If \(x=-7\), what is the value of \(\sqrt{x^2}-2x\)?
A. 21
\(x=-7\) रखने पर \(x^2=(-7)^2=49\) होता है। अतः \(\sqrt{x^2}=\sqrt{49}=7\), क्योंकि वर्गमूल का मुख्य मान धनात्मक होता है। साथ ही, \(-2x=-2(-7)=14\)। इसलिए \(\sqrt{x^2}-2x=7+14=21\)। \(-7\) लेना गलत होगा, क्योंकि \(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है, न कि हमेशा \(x\)। परीक्षा टिप: \(\sqrt{x^2}\) को \(|x|\) लिखकर चिन्ह की गलती से बचें। / Substituting \(x=-7\), we get \(x^2=(-7)^2=49\). Hence, \(\sqrt{x^2}=\sqrt{49}=7\), since the principal square root is non-negative. Also, \(-2x=-2(-7)=14\). Therefore, \(\sqrt{x^2}-2x=7+14=21\). Taking \(-7\) for the square root would be incorrect because \(\sqrt{x^2}=|x|\), not always \(x\). Exam tip: Rewrite \(\sqrt{x^2}\) as \(|x|\) to avoid sign errors.
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What is the correct simplified form of \( |3-\sqrt{20}| \)?
A. \( \sqrt{20}-3 \)
\( \sqrt{20}>3 \) इसलिए \(3-\sqrt{20}\) ऋणात्मक है। निरपेक्ष मान इसे \( \sqrt{20}-3 \) बना देता है। / Since \( \sqrt{20}>3 \), \(3-\sqrt{20}\) is negative. Absolute value changes it to \( \sqrt{20}-3 \).
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Which of the following statements is not always true?
A. दो अपरिमेय संख्याओं का योग अपरिमेय होता है।The sum of two irrational numbers is irrational.
कथन A सदैव सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं, लेकिन उनका योग \(0\) है, जो परिमेय संख्या है। कथन B सही है क्योंकि यदि अपरिमेय और परिमेय का योग परिमेय होता, तो उसमें से परिमेय घटाने पर अपरिमेय संख्या परिमेय बन जाती, जो असंभव है। इसी तर्क से गैर-शून्य परिमेय संख्या से गुणा या भाग करने पर अपरिमेयता बनी रहती है। परीक्षा टिप: दो अपरिमेय संख्याओं के योग या अंतर को हमेशा अपरिमेय न मानें। / Statement A is not always true. For example, \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are both irrational, but their sum is \(0\), which is rational. Statement B is always true: if the sum of an irrational and a rational number were rational, subtracting the rational number would make the irrational number rational, which is impossible. Similarly, multiplying or dividing an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational. Exam tip: Never assume that the sum or difference of two irrational numbers must be irrational.
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What is the correct statement about \( \sqrt{27}+\sqrt{12} \) and \( \sqrt{75} \)?
A. दोनों बराबर हैंBoth are equal
\( \sqrt{27}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=5\sqrt{3} \)। \( \sqrt{75}=5\sqrt{3} \) इसलिए दोनों बराबर हैं। / \( \sqrt{27}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=5\sqrt{3} \). Also \( \sqrt{75}=5\sqrt{3} \), so both are equal.
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A. यह दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती है, इसलिए यह अपरिमेय संख्या है।
दिए गए दशमलव में 1 के बीच आने वाले 0 की संख्या लगातार बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहराता। अतः इसका दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती है, जो अपरिमेय संख्या की पहचान है। केवल 0 और 1 अंक होने से कोई संख्या परिमेय नहीं बन जाती। परीक्षा टिप: परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या असांत आवर्ती। / In this decimal, the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed block of digits repeats. Therefore, its decimal expansion is non-terminating and non-repeating, which identifies an irrational number. Using only 0 and 1 does not make a number rational. Exam tip: A rational number has a decimal expansion that is either terminating or non-terminating recurring.
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What is the value of \( \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \)?
A. \(2\sqrt{2}\)
समान हर (3-2=1) और अंश ( \sqrt{3}+\sqrt{2}-\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)=2\sqrt{2} ) है। / The common denominator is (3-2=1), and the numerator is ( \sqrt{3}+\sqrt{2}-\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)=2\sqrt{2} ).
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What is the value of \(\frac{1}{\sqrt{11}+3}+\frac{1}{\sqrt{11}-3}\)?
A. \(\sqrt{11}\)
दोनों भिन्नों का हर समान करने पर हर \((\sqrt{11}+3)(\sqrt{11}-3)=11-9=2\) होगा। अंश \((\sqrt{11}-3)+(\sqrt{11}+3)=2\sqrt{11}\) है। अतः मान \(\frac{2\sqrt{11}}{2}=\sqrt{11}\) है। \(2\sqrt{11}\) विकल्प में हर 2 से भाग देना छूट जाता है। परीक्षा टिप: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) का प्रयोग ऐसे व्यंजकों को जल्दी सरल करता है। / Taking a common denominator gives \((\sqrt{11}+3)(\sqrt{11}-3)=11-9=2\). The numerator is \((\sqrt{11}-3)+(\sqrt{11}+3)=2\sqrt{11}\). Hence, the value is \(\frac{2\sqrt{11}}{2}=\sqrt{11}\). The option \(2\sqrt{11}\) results from forgetting to divide by the denominator 2. Exam tip: use \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) to simplify such expressions quickly.
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What is the simplified form of ( \(2+\sqrt{3}\)3 )?
A. \(26+15\sqrt{3}\)
पहले ( \(2+\sqrt{3}\)2=7+4\sqrt{3} ) निकालें। फिर \(2+\sqrt{3}\) से गुणा करने पर \(26+15\sqrt{3}\) मिलता है। / First find ( \(2+\sqrt{3}\)2=7+4\sqrt{3} ). Multiplying by \(2+\sqrt{3}\) gives \(26+15\sqrt{3}\).
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What is the simplified form of ( \(3-\sqrt{2}\)3 )?
A. \(45-29\sqrt{2}\)
पहले ( \(3-\sqrt{2}\)2=11-6\sqrt{2} ) निकालें। फिर \(3-\sqrt{2}\) से गुणा करने पर \(45-29\sqrt{2}\) मिलता है। / First find ( \(3-\sqrt{2}\)2=11-6\sqrt{2} ). Multiplying by \(3-\sqrt{2}\) gives \(45-29\sqrt{2}\).
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C. असमाप्य और अनावर्ती दशमलव प्रसारNon-terminating and non-repeating decimal expansion
अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार असमाप्य और अनावर्ती होता है, अर्थात उसके अंक अनंत तक चलते हैं लेकिन कोई निश्चित क्रम बार-बार नहीं दोहराता। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प B का असमाप्य दशमलव प्रसार आवर्ती है, इसलिए वह परिमेय संख्या को दर्शाता है। परीक्षा टिप: परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार या तो समाप्य होते हैं या असमाप्य आवर्ती। / An irrational number has a non-terminating, non-repeating decimal expansion: its digits continue indefinitely without a fixed repeating pattern. Therefore, option C is correct. In option B, the decimal expansion is non-terminating but recurring, which represents a rational number. Exam tip: Decimal expansions of rational numbers are either terminating or non-terminating recurring.
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If \(15<\sqrt{m}<16\), what is the correct range for \(m\)?
A. \(225<m<256\)
चूँकि \(\sqrt{m}\) धनात्मक है, असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग लेने पर दिशा नहीं बदलती। इसलिए \(15^2<m<16^2\) मिलता है, यानी \(225<m<256\)। विकल्प C (\(196<m<225\)) गलत है क्योंकि वह \(14<\sqrt{m}<15\) के वर्ग का परिणाम होगा; विकल्प B सिर्फ मूल असमानता को बिना वर्ग किए दे रहा है; विकल्प D \(16<\sqrt{m}<17\) के वर्ग का परिणाम है। परीक्षा-सूत्र: धनात्मक प्राथमिकमालों के लिए असमानता को वर्गित करते समय संकेत बदलने की चिंता नहीं करनी चाहिए — सीधे-साथी रूप में वर्ग कर दें और सीमाओं को संख्याओं में बदलकर लिखें। / Since \(\sqrt{m}\) is positive, squaring every part of the inequality preserves the order. Squaring gives \(15^2<m<16^2\), i.e. \(225<m<256\). Option C (\(196<m<225\)) would correspond to squaring \(14<\sqrt{m}<15\) and so is incorrect; option B simply restates the original range for \(\sqrt{m}\) rather than for \(m\); option D corresponds to squaring \(16<\sqrt{m}<17\). Exam tip: when all terms are nonnegative you may square an inequality termwise — then compute the numerical squares to get the correct interval for the variable inside the square.
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When is \( \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b} \) generally not correct?
A. जब (a) और (b) दोनों धनात्मक होंWhen (a) and (b) are both positive
सामान्यतः \( \sqrt{a}+\sqrt{b} \neq \sqrt{a+b} \) होता है। उदाहरण के लिए \( \sqrt{4}+\sqrt{9}=5 \) लेकिन \( \sqrt{13} \) नहीं। / Generally \( \sqrt{a}+\sqrt{b} \neq \sqrt{a+b} \). For example, \( \sqrt{4}+\sqrt{9}=5 \), not \( \sqrt{13} \).
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What is the value of \( \sqrt{a}\times\sqrt{a} \) where \(a\geq0\)?
A. (a)
एक ही गैर-ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल को स्वयं से गुणा करने पर वही संख्या मिलती है। इसलिए मान (a) है। / Multiplying the square root of the same non-negative number by itself gives the number. Therefore the value is (a).
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B. \(\sqrt{5}+(-\sqrt{5})\)
\(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय संख्याएँ हैं, लेकिन उनका योग \(\sqrt{5}+(-\sqrt{5})=0\) है, जो एक परिमेय संख्या है। इसलिए दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय नहीं होता। विकल्प A, C और D में दिए गए योग अपरिमेय हैं; विशेषतः \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\) अपरिमेय रहता है। परीक्षा टिप: अपरिमेय संख्याओं के योग या अंतर के लिए ‘हमेशा’ जैसे कथनों की जाँच विपरीत संख्याओं का उदाहरण लेकर करें। / Both \(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are irrational, but \(\sqrt{5}+(-\sqrt{5})=0\), and 0 is rational. Hence, the sum of two irrational numbers need not always be irrational. The sums in A, C and D are irrational; in particular, \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\), which is still irrational. Exam tip: To test an ‘always’ statement about irrational numbers, try a number and its additive inverse.
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Which product made from \( \sqrt{2} \), \( \sqrt{3} \), and \( \sqrt{5} \) is rational?
A. \( \sqrt{2}\times\sqrt{8} \)
\( \sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4 \) परिमेय है। बाकी गुणनफल पूर्ण वर्ग के वर्गमूल में नहीं बदलते। / \( \sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4 \), which is rational. The other products do not become square roots of perfect squares.
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What is the value of \( \frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}} \)?
A. (4)
समान हर (4-3=1) और अंश \(2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}=4\) है। इसलिए मान (4) है। / The common denominator is (4-3=1), and the numerator is \(2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}=4\). Therefore the value is (4).
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