Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
For onto nature, every real value in the codomain must be obtained.
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\in\mathbb{R}\), take (x=y-12), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
A linear shift function on \(\mathbb{R}\) is onto. चरण 1: आच्छादी होने के लिए सहप्रांत का हर वास्तविक मान मिलना चाहिए। चरण 2: किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए (x=y-12) रखने पर (f(x)=y) मिल जाता है। चरण 3: (x) में केवल जोड़ या घटाव वाला रैखिक फलन \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है।
Since a real (x) exists for every real (y), the function is onto. चरण 1: (f(x)=y) रखने पर (-3x+6=y) मिलता है। चरण 2: इससे (-3x=y-6), इसलिए \(x=\frac{6-y}{3}\)। चरण 3: हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक (x) मिल रहा है, इसलिए फलन आच्छादी है।
For every \(y\ge4\), take \(x=1+\sqrt{y-4}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
When the minimum value matches the codomain start, onto nature is easy to verify. चरण 1: ((x-1)2\ge0), इसलिए (f(x)\ge4)। चरण 2: हर \(y\ge4\) के लिए \(x=1+\sqrt{y-4}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: द्विघात फलन का न्यूनतम मान और सहप्रांत बराबर हों तो आच्छादीपन आसानी से दिखता है।
A. क्योंकि (0) नहीं मिलता/Because (0) is not obtained
Step 1
Concept
The minimum value of ((x-2)2+1) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \([0,\infty\)) contains (0), but the function cannot produce (0).
Step 3
Exam Tip
While checking onto nature, always inspect the starting values of the codomain. चरण 1: ((x-2)2+1) का न्यूनतम मान (1) है। चरण 2: सहप्रांत \([0,\infty\)) में (0) है, पर फलन (0) नहीं दे सकता। चरण 3: आच्छादी जांचते समय सहप्रांत के शुरुआती मानों को जरूर देखें।
For every \(y\le3\), take \(x=-1+\sqrt{3-y}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
A downward quadratic can be onto its correct codomain. चरण 1: ((x+1)2\ge0), इसलिए (3-(x+1)2\le3)। चरण 2: हर \(y\le3\) के लिए \(x=-1+\sqrt{3-y}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: नीचे खुला द्विघात अपने सही सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है।
A. क्योंकि (5) नहीं मिलता/Because (5) is not obtained
Step 1
Concept
The maximum value of \(4-x^2\) is (4).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain (\(-\infty,5]\) contains (5), but no real (x) can make \(4-x^2=5\).
Step 3
Exam Tip
If the codomain contains a value above the maximum range, the function is not onto. चरण 1: \(4-x^2\) का अधिकतम मान (4) है। चरण 2: सहप्रांत (\(-\infty,5]\) में (5) है, लेकिन कोई वास्तविक (x) \(4-x^2=5\) नहीं बना सकता। चरण 3: सहप्रांत में अधिकतम परास से बड़ा मान हो तो फलन आच्छादी नहीं होता।
A fixed shift on integers covers all integers. चरण 1: सहप्रांत का कोई भी \(y\in\mathbb{Z}\) लें। चरण 2: (n=y+8) भी पूर्णांक है और (f(n)=y) हो जाता है। चरण 3: पूर्णांकों पर निश्चित संख्या घटाने वाला फलन सभी पूर्णांक ढकता है।
A. क्योंकि (2) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता/Because an integer like (2) is not obtained
Step 1
Concept
(4n+1) always gives an integer leaving remainder (1) when divided by (4).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{Z}\) contains (2), which is not of this form.
Step 3
Exam Tip
Remainder patterns are useful in integer-function onto questions. चरण 1: (4n+1) हमेशा ऐसा पूर्णांक देता है जो (4) से भाग देने पर शेष (1) देता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (2) है, जो इस रूप में नहीं आता। चरण 3: पूर्णांक फलनों में शेषफल का विचार बहुत उपयोगी है।
A. क्योंकि (1,2,3,4,5) नहीं मिलते/Because (1,2,3,4,5) are not obtained
Step 1
Concept
For \(n\in\mathbb{N}\), the smallest value of (n+5) is (6).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (1,2,3,4,5) from the codomain are not in the range.
Step 3
Exam Tip
For natural numbers, quickly identify the missed initial values. चरण 1: \(n\in\mathbb{N}\) होने पर (n+5) का सबसे छोटा मान (6) है। चरण 2: इसलिए सहप्रांत के (1,2,3,4,5) परास में नहीं आते। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं में शुरुआत के छूटे हुए मान जल्दी पहचानें।
The codomain is the natural numbers starting from (6).
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\ge6\), (n=y-5) is natural and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
Choosing the codomain according to the range makes the function onto. चरण 1: सहप्रांत (6) से शुरू होने वाली प्राकृतिक संख्याओं का है। चरण 2: हर \(y\ge6\) के लिए (n=y-5) प्राकृतिक संख्या है और (f(n)=y)। चरण 3: सहप्रांत को परास के अनुसार चुनने से फलन आच्छादी बन जाता है।
Adding (3) changes the range to (\(3,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
Remember the open endpoint of an exponential range correctly. चरण 1: \(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) है। चरण 2: (3) जोड़ने पर परास (\(3,\infty\)) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: घातीय फलन के खुले सिरे को सही ढंग से याद रखें।
A. क्योंकि (3) नहीं मिलता/Because (3) is not obtained
Step 1
Concept
\(e^x\) is never (0).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(e^x+3\) is always greater than (3), but the codomain contains (3).
Step 3
Exam Tip
The difference between open and closed intervals is important in onto questions. चरण 1: \(e^x\) कभी (0) नहीं होता। चरण 2: इसलिए \(e^x+3\) हमेशा (3) से बड़ा है, पर सहप्रांत में (3) शामिल है। चरण 3: खुले और बंद अंतराल का अंतर आच्छादी प्रश्नों में बहुत महत्वपूर्ण है।
A vertical shift of a logarithmic function does not change its onto nature over \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(\ln x\) का परास \(\mathbb{R}\) है। चरण 2: (2) घटाने पर भी सभी वास्तविक मान मिल सकते हैं। चरण 3: लघुगणकीय फलन का ऊर्ध्व खिसकाव आच्छादीपन नहीं बदलता।
For any \(y\in\mathbb{R}\), take \(x=1+e^y\), then (\ln(x-1)=y).
Step 3
Exam Tip
A logarithm can give all real values when its inside quantity stays positive. चरण 1: (x>1) होने पर (x-1>0)। चरण 2: किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=1+e^y\) लेने पर (\ln(x-1)=y) मिलता है। चरण 3: अंदर की राशि धनात्मक बनी रहे, तो लघुगणक सभी वास्तविक मान दे सकता है।
On \([0,2\pi]\), \(\sin x\) takes all values from (-1) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is ([-1,1]), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
On a full period, identifying trigonometric range is easy. चरण 1: \([0,2\pi]\) पर \(\sin x\) (-1) से (1) तक सभी मान लेता है। चरण 2: सहप्रांत ([-1,1]) है, इसलिए हर सहप्रांत मान प्राप्त होता है। चरण 3: पूर्ण आवर्त पर त्रिकोणमितीय परास पहचानना आसान होता है।
A. क्योंकि \(\frac{3}{4}\) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like \(\frac{3}{4}\) is not obtained
Step 1
Concept
On \([0,\frac{\pi}{6}]\), the range of \(\sin x\) is \([0,\frac{1}{2}]\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain ([0,1]) contains \(\frac{3}{4}\), which is not in the range.
Step 3
Exam Tip
On a small trigonometric interval, the range can also be small. चरण 1: \([0,\frac{\pi}{6}]\) पर \(\sin x\) का परास \([0,\frac{1}{2}]\) है। चरण 2: सहप्रांत ([0,1]) में \(\frac{3}{4}\) है, पर वह परास में नहीं आता। चरण 3: छोटे त्रिकोणमितीय अंतराल पर परास भी छोटा हो सकता है।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
On \([0,\frac{\pi}{3}]\), the range of \(\cos x\) is \([\frac{1}{2},1]\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain ([-1,1]) contains negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
When the domain is restricted, the range must be checked again. चरण 1: \([0,\frac{\pi}{3}]\) पर \(\cos x\) का परास \([\frac{1}{2},1]\) है। चरण 2: सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान भी हैं, जो नहीं मिलते। चरण 3: प्रांत सीमित करते समय परास को फिर से जांचना चाहिए।
On this interval, \(\tan x\) takes all real values.
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\in\mathbb{R}\), there is an (x) in this interval such that \(\tan x=y\).
Step 3
Exam Tip
Remember the standard range of \(\tan x\) as \(\mathbb{R}\). चरण 1: इस अंतराल पर \(\tan x\) सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 2: हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए कोई (x) इस अंतराल में है जिससे \(\tan x=y\)। चरण 3: \(\tan x\) का मानक परास \(\mathbb{R}\) याद रखें।
A. क्योंकि (2) नहीं मिलता/Because (2) is not obtained
Step 1
Concept
On \([0,\frac{\pi}{4}]\), the range of \(\tan x\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain ([0,2]) contains (2), but it is not in the range.
Step 3
Exam Tip
If the codomain is larger than the range, the function is not onto. चरण 1: \([0,\frac{\pi}{4}]\) पर \(\tan x\) का परास ([0,1]) है। चरण 2: सहप्रांत ([0,2]) में (2) है, लेकिन वह परास में नहीं आता। चरण 3: सहप्रांत बड़ा हो तो फलन आच्छादी नहीं रह सकता।
For finite sets, if every codomain element appears as an image, the function is onto. चरण 1: सहप्रांत (B) के अवयव (a,b,c) हैं। चरण 2: दिए गए प्रतिबिंबों में (a), (b) और (c) तीनों आते हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में हर सहप्रांत अवयव मिल जाए तो फलन आच्छादी है।
A. क्योंकि (r) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (r) has no preimage
Step 1
Concept
The listed images are only (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain element (r) is not obtained from any domain element.
Step 3
Exam Tip
Even one missed codomain element destroys onto nature. चरण 1: दिए गए प्रतिबिंब केवल (p) और (q) हैं। चरण 2: सहप्रांत का (r) किसी भी प्रांत अवयव से प्राप्त नहीं होता। चरण 3: एक भी छूटा सहप्रांत अवयव आच्छादीपन को समाप्त कर देता है।
In an onto function, every element of (B) needs a preimage.
Step 2
Why this answer is correct
(A) has only (4) elements while (B) has (6), so covering all elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
If (|A|<|B|), the number of onto functions is (0). चरण 1: आच्छादी फलन में (B) के हर अवयव को पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: (A) में केवल (4) अवयव हैं, जबकि (B) में (6) अवयव हैं, इसलिए सभी को ढकना संभव नहीं। चरण 3: (|A|<|B|) हो तो आच्छादी फलनों की संख्या (0) होती है।
The two non-onto functions send all elements only to (0) or only to (1).
Step 3
Exam Tip
Hence the number of onto functions is (16-2=14). चरण 1: कुल फलनों की संख्या \(2^4=16\) है। चरण 2: आच्छादी नहीं होने वाले दो फलन हैं, जिनमें सभी अवयव केवल (0) या केवल (1) पर जाते हैं। चरण 3: इसलिए आच्छादी फलन (16-2=14) होंगे।
For \(0\le y<1\), solving \(\frac{x^2}{1+x^2}=y\) gives \(x^2=\frac{y}{1-y}\).
Step 3
Exam Tip
Hence every value in ([0,1)) is obtained. चरण 1: (x=0) पर मान (0) मिलता है। चरण 2: \(0\le y<1\) के लिए समीकरण \(\frac{x^2}{1+x^2}=y\) का हल \(x^2=\frac{y}{1-y}\) मिलता है। चरण 3: इसलिए ([0,1)) का हर मान प्राप्त होता है।
A. क्योंकि (1) नहीं मिलता/Because (1) is not obtained
Step 1
Concept
In \(\frac{x^2}{1+x^2}\), the denominator is always larger than the numerator for real (x).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the value stays below (1), so (1) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
If an endpoint of a closed codomain is missed, the function is not onto. चरण 1: \(\frac{x^2}{1+x^2}\) में हर वास्तविक (x) के लिए हर हमेशा अंश से बड़ा होता है। चरण 2: इसलिए मान (1) से छोटा रहता है और (1) कभी नहीं मिलता। चरण 3: बंद सहप्रांत में सिरा छूट जाए तो फलन आच्छादी नहीं होता।
Since the codomain is also ((-2,2)), the function is onto. चरण 1: \(\frac{x}{1+|x|}\) का परास ((-1,1)) है। चरण 2: (2) से गुणा करने पर परास ((-2,2)) हो जाता है। चरण 3: सहप्रांत भी ((-2,2)) है, इसलिए फलन आच्छादी है।
A. क्योंकि (-2) और (2) नहीं मिलते/Because (-2) and (2) are not obtained
Step 1
Concept
The function value remains between (-2) and (2).
Step 2
Why this answer is correct
It is never equal to (-2) or (2), but both are included in the codomain.
Step 3
Exam Tip
In a closed interval codomain, endpoints must also be obtained. चरण 1: फलन का मान (-2) और (2) के बीच रहता है। चरण 2: यह (-2) या (2) के बराबर कभी नहीं होता, पर सहप्रांत में दोनों शामिल हैं। चरण 3: बंद अंतराल में सिरों का मिलना जरूरी होता है।
For every \(y\ge2\), take (x=-3+(y-2)), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
The minimum value of a modulus function tells the start of its range. चरण 1: \(|x+3|\ge0\), इसलिए (f(x)\ge2)। चरण 2: हर \(y\ge2\) के लिए (x=-3+(y-2)) रखने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: मापांक फलन का न्यूनतम मान सहप्रांत की शुरुआत बताता है।
A. क्योंकि (1) नहीं मिलता/Because (1) is not obtained
Step 1
Concept
The minimum value of (|x+3|+2) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \([0,\infty\)) contains (1), but the function cannot give (1).
Step 3
Exam Tip
If the codomain contains values below the range minimum, the function is not onto. चरण 1: (|x+3|+2) का न्यूनतम मान (2) है। चरण 2: सहप्रांत \([0,\infty\)) में (1) है, पर फलन (1) नहीं दे सकता। चरण 3: सहप्रांत में न्यूनतम परास से छोटे मान हों तो फलन आच्छादी नहीं होता।
A. यह लगातार बढ़ता है और सभी वास्तविक दिशाओं में जाता है/It is increasing and extends in both real directions
Step 1
Concept
(f'(x)=3x-2+2>0), so the function is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), (f(x)\to\infty), and as \(x\to-\infty\), (f(x)\to-\infty).
Step 3
Exam Tip
Such a continuous increasing function covers all of \(\mathbb{R}\). चरण 1: (f'(x)=3x-2+2>0), इसलिए फलन बढ़ता है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर (f(x)\to\infty) और \(x\to-\infty\) पर (f(x)\to-\infty)। चरण 3: ऐसा सतत बढ़ता फलन \(\mathbb{R}\) को पूरा ढकता है।
A. क्योंकि (1) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like (1) is not obtained
Step 1
Concept
\(x^4\ge0\), so \(x^4+2\ge2\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1), which is not in the range.
Step 3
Exam Tip
Check the minimum value of even-power functions while testing onto nature. चरण 1: \(x^4\ge0\), इसलिए \(x^4+2\ge2\)। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (1) है, जो परास में नहीं आता। चरण 3: सम घात वाले फलन का न्यूनतम मान देखकर आच्छादीपन जांचें।
For every \(y\ge2\), take \(x=\sqrt[4]{y-2}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
An even-power function can be onto a correctly shifted non-negative codomain. चरण 1: \(x^4+2\) का परास \([2,\infty\)) है। चरण 2: हर \(y\ge2\) के लिए \(x=\sqrt[4]{y-2}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: सम घात फलन सही अऋणात्मक खिसके हुए सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है।
Since \(x\ge1\), \(x-1\ge0\), so the function is defined.
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\ge0\), take \(x=y^2+1\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
For square-root functions, square the target value to find a preimage. चरण 1: \(x\ge1\) होने पर \(x-1\ge0\), इसलिए फलन परिभाषित है। चरण 2: हर \(y\ge0\) के लिए \(x=y^2+1\) लेने पर (f(x)=y)। चरण 3: वर्गमूल फलन में पूर्वप्रतिबिंब खोजने के लिए वर्ग करें।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
A square-root value is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values such as (-1), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
A square-root function is not onto a full real codomain. चरण 1: वर्गमूल का मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे ऋणात्मक मान हैं, जो नहीं मिलते। चरण 3: वर्गमूल फलन को वास्तविक सहप्रांत देने पर आच्छादीपन नहीं रहता।
Both codomain values (0) and (1) are obtained, so the function is onto. चरण 1: सम संख्याएं (2,4,6) (0) देती हैं। चरण 2: विषम संख्याएं (1,3,5) (1) देती हैं। चरण 3: सहप्रांत के दोनों मान (0) और (1) प्राप्त हैं, इसलिए फलन आच्छादी है।
A. क्योंकि (1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (1) has no preimage
Step 1
Concept
All domain elements (2,4,6) are even.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the function value is always (0), and (1) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
If even one codomain value is missed, the function is not onto. चरण 1: प्रांत के सभी अवयव (2,4,6) सम हैं। चरण 2: इसलिए फलन का मान हमेशा (0) है और (1) कभी नहीं मिलता। चरण 3: सहप्रांत का कोई एक मान भी छूट जाए तो फलन आच्छादी नहीं होता।
The range of (|x-4|) is \([0,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
Recognize \(\sqrt{u^2}\) as a modulus form. चरण 1: (\sqrt{(x-4)2}=|x-4|) होता है। चरण 2: (|x-4|) का परास \([0,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: \(\sqrt{u^2}\) को मापांक के रूप में पहचानें।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
(\sqrt{(x-4)2}=|x-4|).
Step 2
Why this answer is correct
Its value is never negative, while the codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values.
Step 3
Exam Tip
Be careful when matching a modulus-type range with a real codomain. चरण 1: (\sqrt{(x-4)2}=|x-4|) है। चरण 2: इसका मान कभी ऋणात्मक नहीं होता, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं। चरण 3: मापांक रूप को वास्तविक सहप्रांत से मिलाते समय सावधान रहें।
For any \(y\in\mathbb{R}\), take \(x=y^3+5\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
A cube-root function takes all real values on \(\mathbb{R}\). चरण 1: घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित होता है। चरण 2: किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=y^3+5\) लेने पर (f(x)=y)। चरण 3: घनमूल फलन \(\mathbb{R}\) पर सभी वास्तविक मान देता है।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
In the domain \([0,\infty\)), (x) is non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(\sqrt[3]{x}\) is also non-negative, and a value like (-1) is not obtained.
Step 3
Exam Tip
The range of a cube-root function depends on its domain. चरण 1: प्रांत \([0,\infty\)) में (x) अऋणात्मक है। चरण 2: इसलिए \(\sqrt[3]{x}\) भी अऋणात्मक होगा और (-1) जैसा मान नहीं मिलेगा। चरण 3: घनमूल का परास प्रांत पर निर्भर करता है।
For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k-2), then \(\lfloor x+2\rfloor=k\).
Step 3
Exam Tip
A floor function can be onto an integer codomain. चरण 1: \(\lfloor x+2\rfloor\) पूर्णांक मान देता है। चरण 2: किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k-2) रखने पर \(\lfloor x+2\rfloor=k\) मिलता है। चरण 3: पूर्णांक सहप्रांत पर नीचे पूर्णांक फलन आच्छादी हो सकता है।
A. क्योंकि गैर-पूर्णांक वास्तविक मान नहीं मिलते/Because non-integer real values are not obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x+2\rfloor\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integer values such as \(\frac{1}{3}\), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
An integer-valued function is not onto the whole real codomain. चरण 1: \(\lfloor x+2\rfloor\) हमेशा पूर्णांक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{3}\) जैसे गैर-पूर्णांक मान हैं, जो परास में नहीं आते। चरण 3: पूर्णांक-मान फलन पूरे वास्तविक सहप्रांत पर आच्छादी नहीं होता।
For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k+1), then \(\lceil x-1\rceil=k\).
Step 3
Exam Tip
A ceiling function can cover an integer codomain completely. चरण 1: \(\lceil x-1\rceil\) पूर्णांक मान देता है। चरण 2: किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k+1) रखने पर \(\lceil x-1\rceil=k\) मिलता है। चरण 3: छत फलन पूर्णांक सहप्रांत को पूरा ढक सकता है।
A. क्योंकि \(\frac{5}{2}\) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like \(\frac{5}{2}\) is not obtained
Step 1
Concept
\(\lceil x-1\rceil\) always gives an integer.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains a non-integer value like \(\frac{5}{2}\), but it is not obtained.
Step 3
Exam Tip
An integer-valued function should not be treated as onto a real codomain. चरण 1: \(\lceil x-1\rceil\) हमेशा पूर्णांक देता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{5}{2}\) जैसा गैर-पूर्णांक मान है, पर वह नहीं मिलता। चरण 3: पूर्णांक-मान फलन को वास्तविक सहप्रांत पर आच्छादी नहीं मानना चाहिए।
Both codomain values are obtained, so the function is onto. चरण 1: (x=0) रखने पर (f(x)=0) मिलता है। चरण 2: (x=1) रखने पर (f(x)=1) मिलता है। चरण 3: सहप्रांत के दोनों मान मिल रहे हैं, इसलिए फलन आच्छादी है।
A. क्योंकि (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (2) has no preimage
Step 1
Concept
The function gives only values (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain also contains (2), but no (x) gives (f(x)=2).
Step 3
Exam Tip
A missed codomain value prevents onto nature. चरण 1: फलन केवल (0) और (1) मान देता है। चरण 2: सहप्रांत में (2) भी है, लेकिन कोई (x) ऐसा नहीं जिससे (f(x)=2)। चरण 3: सहप्रांत का छूटा हुआ मान आच्छादीपन रोकता है।
For every \(y\ge0\), set (2x-6=y), giving \(x=\frac{y+6}{2}\), and the function value becomes (y).
Step 3
Exam Tip
The modulus of a linear expression has range \([0,\infty\)). चरण 1: (|2x-6|) का मान हमेशा अऋणात्मक होता है। चरण 2: हर \(y\ge0\) के लिए (2x-6=y) लेने पर \(x=\frac{y+6}{2}\) मिलता है और फलन मान (y) हो जाता है। चरण 3: रैखिक अभिव्यक्ति के मापांक का परास \([0,\infty\)) होता है।
For every \(y\ge9\), take \(x=-4+\sqrt{y-9}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
When the minimum value of a quadratic matches the start of the codomain, the function is onto. चरण 1: ((x+4)2\ge0), इसलिए (f(x)\ge9)। चरण 2: हर \(y\ge9\) के लिए \(x=-4+\sqrt{y-9}\) रखने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: द्विघात फलन का न्यूनतम मान सहप्रांत की शुरुआत से मेल खाए, तो फलन आच्छादी होता है।
This gives (x=3y), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
If every codomain value has a preimage, the function is onto. चरण 1: (f(x)=y) रखने पर \(\frac{x}{3}=y\) मिलता है। चरण 2: इससे (x=3y), जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। चरण 3: हर सहप्रांत मान का पूर्वप्रतिबिंब मिल जाए, तो फलन आच्छादी होता है।
For every \(y\ge-4\), take (x=7+(y+4)), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
The minimum value of a modulus function helps identify its correct codomain. चरण 1: \(|x-7|\ge0\), इसलिए \(|x-7|-4\ge-4\)। चरण 2: हर \(y\ge-4\) के लिए (x=7+(y+4)) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: मापांक फलन का न्यूनतम मान देखकर उसका सही सहप्रांत पहचाना जा सकता है।
