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दो तत्वों वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। परीक्षा में (\mathcal{P}(A)) के तत्व उपसमुच्चय होते हैं। / The number of two-element subsets is \(\binom{4}{2}=6\). In exams, remember elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets.
\(A\cap B={3,4}\) है, इसलिए इसके घात समुच्चय में \(2^2=4\) तत्व होंगे। पहले प्रतिच्छेद निकालें, फिर घात समुच्चय की संख्या लगाएँ। / \(A\cap B={3,4}\), so its power set has \(2^2=4\) elements. First find the intersection, then apply the power set formula.
यदि \(|A| = n\) हो तो पावर सेट की संख्या \(|\mathcal{P}(A)| = 2^n\) होती है। दिया गया है कि \(|\mathcal{P}(A)| = 128\)। क्योंकि \(128 = 2^7\), अतः \(|A| = 7\)। निकट का भ्रमित करने वाला विकल्प 8 इसलिए गलत है क्योंकि \(2^8 = 256\) होता है; विकल्प 6 भी गलत है क्योंकि \(2^6 = 64\)। परीक्षा-सुझाव: छोटे घातों \(2^n\) की मानों की एक सूची याद रखें (जैसे 64, 128, 256) — यह शीघ्र पहचान में मदद करती है। / If \(|A| = n\), then the power set has \(|\mathcal{P}(A)| = 2^n\) elements. Given \(|\mathcal{P}(A)| = 128\) and since \(128 = 2^7\), it follows that \(|A| = 7\). The tempting option 8 is incorrect because \(2^8 = 256\), and 6 is wrong because \(2^6 = 64\). Exam tip: memorize small powers of 2 (e.g. 64, 128, 256) to quickly identify \(n\).
(A) में अभाज्य नहीं होने वाली संख्याएँ हैं, इसलिए (A') में (U) की अभाज्य संख्याएँ आएँगी। ध्यान रखें कि (1) अभाज्य नहीं होता। / (A) contains the numbers that are not prime, so (A') contains the prime numbers of (U). Remember that (1) is not prime.
पूरक (A') में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। सार्वत्रिक समुच्चय हमेशा पहले देखें। / The complement (A') contains elements of (U) that are not in (A). Always check the universal set first.
(a) निश्चित है और (d,e) स्वतंत्र हैं। (b,c) के लिए कुल (4) विकल्पों में से दोनों साथ वाला विकल्प हटेगा, इसलिए \(3\times 2^2=12\)। / (a) is fixed and (d,e) are free. For (b,c), remove the one case where both are chosen, so the count is \(3\times 2^2=12\).
\({\emptyset,2}\), (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए यह घात समुच्चय का तत्व है। (1) और ({2}), (A) के तत्व नहीं हैं। / \({\emptyset,2}\) is a subset of (A), so it is an element of the power set. (1) and ({2}) are not elements of (A).
पहले \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) होते हैं। शर्त \(x^2<4\) से केवल \(-1,0,1\) तत्व सच में आते हैं, इसलिए \(A=\{-1,0,1\}\) और \(n(A)=3\)। समष्टि में कुल \(n(U)=8\) हैं, अतः \(n(A')=n(U)-n(A)=8-3=5\)। विकल्प B (4) अक्सर गलत गिनती का परिणाम है — किसी एक तत्व को छोड़ देना या शून्य को निकाल देना—इसलिए वह गलत है। परीक्षा-सूत्र: पहले सेटों के तत्व लिख लें या सीधे \(n(A')=n(U)-n(A)\) उपयोग करें। / List elements: \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\). The condition \(x^2<4\) holds only for \(-1,0,1\), so \(A=\{-1,0,1\}\) and \(n(A)=3\). Since \(n(U)=8\), the complement has \(n(A')=n(U)-n(A)=8-3=5\). Option B (4) is a common miscount — typically one element is mistakenly omitted (often 0 or an end-point). Exam tip: explicitly list small finite sets or use the formula \(n(A')=n(U)-n(A)\).
(\mathcal{P}(A)) के एकल तत्व वे उपसमुच्चय हैं जिनमें (1) तत्व है। उनकी संख्या \(\binom{5}{1}=5\) है। / Singleton elements of (\mathcal{P}(A)) are one-element subsets of (A). Their number is \(\binom{5}{1}=5\).
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में केवल उन सभी उपसमुच्चयों को शामिल किया जाता है जो \(A\) के हों। उपसमुच्चय हमेशा ब्रेसेस \(\{\;\}\) के रूप में लिखे जाते हैं (जैसे \(\{a\}\), \(\{c\}\))। \(a\) बिना ब्रेसेस के एक तत्व है, उपसमुच्चय नहीं, इसलिए यह \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व नहीं होगा। निकटतम ग़लत विकल्प \(\emptyset\) है — परन्तु शून्यसमुच्चय हर सेट का उपसमुच्चय होता है, इसलिए \(\emptyset\) पावर सेट में होगा। परीक्षा टिप: सदस्य (element) और उपसमुच्चय (subset) अलग होते हैं — उपसमुच्चय पर हमेशा \(\{\}\) ब्रेसेस देखें। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) consists only of subsets of \(A\). Subsets are written with braces (for example \(\{a\}\), \(\{c\}\)). The symbol \(a\) without braces is an element of \(A\), not a subset, so it is not in \(\mathcal{P}(A)\). The closest distractor is \(\emptyset\): the empty set is a subset of every set, so it does belong to the power set. Exam tip: check for braces — \(\{x\}\) denotes a subset containing x, while x alone denotes an element.
B. संयुक्त संख्याएँ और (1)/Composite numbers and (1)
Explanation
Simple Explanation
(A), (U) में उपस्थित अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है। इसलिए पूरक में (1) और संयुक्त संख्याएँ रहेंगी। / (A) is the set of prime numbers present in (U). So the complement contains (1) and composite numbers.
दिए गए घात समुच्चय में मूल समुच्चय का सबसे बड़ा उपसमुच्चय ({p,q}) है। इसलिए \(A=\{p,q\}\)। / The largest subset shown in the power set is ({p,q}), which is the original set. Hence \(A=\{p,q\}\).
A. बड़ा समुच्चय छोटा पूरक देता है/A larger set gives a smaller complement
Explanation
Simple Explanation
जब \(A\subseteq B\), तो (B) के बाहर की हर वस्तु (A) के बाहर भी होगी। पूरक लेने पर समावेशन उलट जाता है। / When \(A\subseteq B\), everything outside (B) is also outside (A). Inclusion reverses under complement.
कम से कम (3) तत्वों वाले उपसमुच्चय (3) या (4) तत्वों के होंगे। संख्या \(\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=5\) है। / Subsets with at least (3) elements have (3) or (4) elements. The number is \(\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=5\).
चूँकि \(A=\{a,c,e\}\) और \(B=\{b,c,d\}\), इसलिए \(A\cup B=\{a,b,c,d,e\}\), जो कि दिया गया यूनिवर्सल सेट \(U\) के बराबर है। किसी समुच्चय का पूरक (कॉम्प्लीमेंट) यूनिवर्सल सेट के सन्दर्भ में उस समुच्चय को हटाने पर बचा हुआ भाग होता है: \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=U\setminus U=\emptyset\)। सबसे निकट भ्रामक विकल्प \(\{a,b,d,e\}\) इसलिए गलत है क्योंकि वह \(c\) को छोड़ देता है, जबकि \(A\cup B\) में \(c\) भी शामिल है। परीक्षात्मक टिप: पहले Union निकालकर जाँचें कि क्या वह यूनिवर्सल सेट के बराबर हो; अगर हाँ, तो पूरक हमेशा खाली समुच्चय होगा। / Since \(A=\{a,c,e\}\) and \(B=\{b,c,d\}\), we have \(A\cup B=\{a,b,c,d,e\}\), which equals the universal set \(U\). The complement is taken relative to \(U\): \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=U\setminus U=\emptyset\). The closest distractor \(\{a,b,d,e\}\) is incorrect because it omits \(c\), but \(c\) is present in \(A\cup B\). Exam tip: compute the union first and check whether it equals the universal set—if so, the complement is \(\emptyset\).
({2}), (A) का एक तत्व है, इसलिए उसका एकल उपसमुच्चय ({{2}}) घात समुच्चय में होगा। सेट और उसके तत्व में अंतर रखें। / ({2}) is an element of (A), so its singleton subset ({{2}}) is in the power set. Keep a clear difference between a set and its element.
A. सभी वास्तविक संख्याएँ सिवाय (-2) और (2)/All real numbers except (-2) and (2)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2=4\) के हल (-2) और (2) हैं। \(\mathbb{R}\) में पूरक इन दोनों को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। / The solutions of \(x^2=4\) are (-2) and (2). In \(\mathbb{R}\), the complement is all real numbers except these two.
यदि \(A=\emptyset\), तो (\mathcal{P}(A)={\emptyset}) है। इसलिए (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^1=2\) तत्व हैं। / If \(A=\emptyset\), then (\mathcal{P}(A)={\emptyset}). Hence (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^1=2\) elements.
(1) को निश्चित रखकर शेष (2) तत्वों को चुनने या न चुनने के \(2^2=4\) तरीके हैं। निश्चित तत्व वाली गिनती में बाकी तत्व स्वतंत्र होते हैं। / Fix (1), and the remaining two elements may be chosen or not chosen in \(2^2=4\) ways. With a fixed element, the rest are independent.
प्रमुख सूत्र: \( |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \). अतः \( |A \cup B| = 12 + 9 - 5 = 16 \). सार्वभौमिक समुच्चय का पूरक होगा \( |(A \cup B)'| = |U| - |A \cup B| = 20 - 16 = 4 \), इसलिए विकल्प B सही है। नज़दीकी भ्रामक विकल्प C (5) तब बन सकता है जब कोई छात्र ओवरलैप की गिनती गलत कर दे और यूनियन को 15 मान ले — जिससे 20−15 = 5 आ जाता है। परीक्सा सुझाव: प्रश्न देखते ही एक साधारण वेन आरेख बनाएं और inclusion–exclusion सूत्र लागू कर के गिनती की पुष्टि करें। / Use the inclusion–exclusion formula: \( |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \). So \( |A \cup B| = 12 + 9 - 5 = 16 \). The complement has size \( |(A \cup B)'| = |U| - |A \cup B| = 20 - 16 = 4 \), hence option B is correct. The closest distractor C (5) typically arises from miscounting the overlap and getting the union as 15, then computing 20−15 = 5. Exam tip: draw a quick Venn diagram and apply inclusion–exclusion to avoid overlap-counting mistakes.
यदि \(A\subseteq B\), तो (A) का हर उपसमुच्चय (B) का भी उपसमुच्चय होगा। इसलिए घात समुच्चयों में भी यही समावेशन रहता है। / If \(A\subseteq B\), every subset of (A) is also a subset of (B). So the same inclusion holds for power sets.
पॉवर सेट \(\mathcal{P}(A)\) के तत्व वास्तव में \(A\) के उपसमुच्चय हैं। उन उपसमुच्चयों की गिनती करें जिनके सदस्यों का योग 3 है: \(\{3\}\) (एकल), \(\{0,3\}\) (0 जोड़ने से योग नहीं बदलता), \(\{1,2\}\) और \(\{0,1,2\}\)। ये चार उपसमुच्चय हैं इसलिए उत्तर 4 है। निकटतम विक्षेपक 3 इसलिए गलत है क्योंकि उसमें किसी एक उपसमुच्चय (उदा. \(\{0,1,2\}\)) की उपेक्षा हो जाती है। परीक्षा टिप: 0 को अलग से देखें — 0 किसी भी उपसमुच्चय में जोड़ने पर योग नहीं बदलता, इसलिए बिना 0 वाले समाधान में 0 जोड़ने से अतिरिक्त उपसमुच्चय बनते हैं। / Elements of \(\mathcal{P}(A)\) are subsets of \(A\). List subsets whose elements sum to 3: \(\{3\}\), \(\{0,3\}\) (adding 0 does not change the sum), \(\{1,2\}\), and \(\{0,1,2\}\). That gives 4 subsets, so the answer is 4. The closest distractor 3 is wrong because it omits one valid subset (for example \(\{0,1,2\}\)). Exam tip: treat 0 specially — any subset summing to 3 without 0 produces a distinct subset summing to 3 when 0 is included, so count those pairs.
(3) के गुणज (3,6,9,12) हैं, इसलिए (A) में (4) तत्व हैं। (U) में (12) तत्व हैं, अतः (A') में (8) तत्व होंगे। / The multiples of (3) are (3,6,9,12), so (A) has (4) elements. Since (U) has (12) elements, (A') has (8) elements.
(\mathcal{P}(A)={\emptyset,{m},{n},{m,n}}) है। ({m,n}) के तत्व (m,n) इसमें नहीं हैं, इसलिए यह इसका उपसमुच्चय नहीं है। / (\mathcal{P}(A)={\emptyset,{m},{n},{m,n}}). The elements (m,n) are not in it, so ({m,n}) is not its subset.
घातांक संबंध से \(|\mathcal{P}(A)|=2^n=64\) होने पर \(2^n=64\Rightarrow n=6\). किसी भी सेट के \(k\)-तत्वीय उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{n}{k}\) से दी जाती है, अतः यहाँ \(\binom{6}{3}=20\)। परीक्षा में भ्रमित करने वाली धारणा: 15 दरअसल \(\binom{6}{2}=15\) है (कभी-कभी विद्यार्थी तत्वों की संख्या बदलकर गलती कर लेते हैं), और 18 के लिए कोई पूर्णांक \(k\) नहीं है जिससे \(\binom{6}{k}=18\)। टैम्प: पहले \(2^n\) से \(n\) निकालें, फिर उपसमुच्चयों के लिए \(\binom{n}{k}\) लगाएँ। / Since the power set size gives \(2^n=64\), we get \(n=6\). The number of 3‑element subsets is given by the binomial coefficient \(\binom{n}{3}\), so \(\binom{6}{3}=20\). Note on distractors: 15 equals \(\binom{6}{2}\) (a common swap error), and 18 cannot arise as \(\binom{6}{k}\) for any integer \(k\). Exam tip: first compute \(n\) from \(2^n\), then apply \(\binom{n}{k}\) for the requested subset size.
पूरक की परिभाषा के अनुसार \(A'=U\setminus A=\{2,4,6,8\}\). किसी समुच्चय का पुनः पूरक लेने पर मूल समुच्चय ही मिलता है, इसलिए \((A')'=A=\{1,3,5,7\}\। विक्षेपक: विकल्प A केवल एक बार का पूरक (\(A'\)) है, विकल्प C और D स्पष्ट रूप से गलत हैं — शून्य समुच्चय या सम्पूर्ण यूनिवर्सल सेट दोनों ही \((A')'\) के रूप में सही नहीं। परीक्षात्मक सुझाव: याद रखें कि दो बार पूरक लेने से समुच्चय वापस मिल जाता है — \((A')'=A\)। / By definition \(A'=U\setminus A=\{2,4,6,8\}\). Taking the complement again returns the original set, so \((A')'=A=\{1,3,5,7\}\). Distractors: option A is the single complement \(A'\), while C (\(\emptyset\)) and D (\(U\)) are not equal to \((A')'\). Exam tip: use the double-complement law \((A')'=A\) to answer such questions quickly.
(2,5) निश्चित हैं और (1) निषिद्ध है। शेष (3,4) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। / (2,5) are fixed and (1) is forbidden. The remaining (3,4) are free, so there are \(2^2=4\) subsets.
कोर सिद्धान्त: किसी सेट का पूरक (complement) उस यूनिवर्सल सेट के वे तत्व होते हैं जो मूल सेट में नहीं हैं। यहाँ \(U\) में पूर्णांक 0 से 10 तक हैं। \(A\) उनतरों में सम संख्या हैं: \{0,2,4,6,8,10\}। अतः \(A'\) वे तत्व हैं जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं — यानी विषम संख्याएँ \{1,3,5,7,9\}। निकटभ्रामक विकल्प: विकल्प C में 0 शामिल है जबकि 0 \(A\) का घटक है, इसलिए वह गलत है. परीक्षा-टिप: पूरक निकालने से पहले यूनिवर्सल सेट के सभी तत्व लिख लें और फिर दिए गए सेट के तत्व हटा दें। / Core idea: The complement of a set consists of those elements of the universal set that are not in the given set. Here \(U\) contains integers 0 through 10. \(A\) is the even subset \{0,2,4,6,8,10\}. Therefore \(A'\) is the set of elements of \(U\) not in \(A\), i.e. the odd numbers \{1,3,5,7,9\}. Closest distractor: option C wrongly includes 0, but 0 belongs to \(A\), so C is incorrect. Exam tip: always list elements of the universal set first, then remove elements belonging to the given set to get the complement.
किसी समुच्चय और उसके पूरक का योग सैद्धान्तिक रूप से सार्वभौमिक समुच्चय का आकार देता है, अर्थात् \(|A| + |A'| = |U|\)। यहाँ \(|U| = 15\) और \(|A'| = 6\) हैं, अतः \(|A| = 15 - 6 = 9\)। विकल्प (6) गलत है क्योंकि वह \(A'\) का आकार है, और (15) गलत है क्योंकि वह पूरे सार्वभौमिक समुच्चय का आकार है। परीक्षा टिप: सीधे सूत्र \(|A| = |U| - |A'|\) याद रखें और डेटा को उसी में रखें। / A set and its complement partition the universal set, so \(|A| + |A'| = |U|\). Given \(|U|=15\) and \(|A'|=6\), we get \(|A| = 15-6 = 9\). Option 6 is incorrect because it is the size of the complement; option 15 is incorrect because it is the size of the whole universal set. Exam tip: use the identity \(|A| = |U| - |A'|\) to avoid sign mistakes.
विषम आकार वाले उपसमुच्चय \(\binom{4}{1}+\binom{4}{3}=8\) हैं। (n>0) में आधे उपसमुच्चय विषम आकार के होते हैं। / Odd-sized subsets are \(\binom{4}{1}+\binom{4}{3}=8\). For (n>0), half the subsets have odd size.
पहले \(A\cap B\) निकालें: \(A\cap B=\{2,4\}\). प्रश्न का मतलब है इसका उपस्थानी परिशेष (complement) सतही यूनिवर्सल सेट \(U\) के सापेक्ष; अतः \((A\cap B)'=U\setminus (A\cap B)=\{1,2,3,4,5,6,7\}\setminus\{2,4\\}=\{1,3,5,6,7\}\). विकल्प D (\(\{3,5,7\}\)) निकटतम भ्रांतिदायक है क्योंकि वह \(1\) और \(6\) को छोड़ देता है जो \( (A\cap B)' \) में होने चाहिए। परीक्षा सुझाव: क्रमबद्ध तरीके से पहले जोड़ या छंटनी (यहाँ intersection) निकालें, फिर यूनिवर्सल सेट के सापेक्ष complement लें। / Compute \(A\cap B\) first: \(A\cap B=\{2,4\}\). The complement is taken with respect to the universal set \(U\), so \((A\cap B)'=U\setminus(A\cap B)=\{1,3,5,6,7\}\). Option B (\(\{2,4\}\)) is just the intersection itself, not the complement. The closest distractor is D (\(\{3,5,7\}\)) because it omits \(1\) and \(6\) which belong in the complement. Exam tip: always evaluate intersection/union first, then apply complement relative to the given universal set.
हर तत्व के लिए तीन स्थितियाँ हैं: (X) में, केवल (Y) में, या दोनों से बाहर। इसलिए कुल \(3^3=27\) युग्म हैं। / For each element there are three choices: in (X), only in (Y), or outside both. Thus the total is \(3^3=27\).
पहला तरीका — समुच्चयों को जोड़ें: \(A\cup B=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\) जिसमें 8 तत्व हैं। सार्वभौमिक समुच्चय में कुल 12 तत्व हैं, अतः पूरक में \(12-8=4\) तत्व होंगे: \(\{1,5,7,11\}\). वैकल्पिक रूप से, समावेशन–अपवर्जन से: \(n(A)=6,\;n(B)=4,\;n(A\cap B)=2\Rightarrow n(A\cup B)=6+4-2=8\). नज़दीकी विकर्षक (5) तब गलत होता है जब गणना में संघ की संख्या 7 मान ली जाए — यह समान्य गणना गलती है। परीक्षा संकेत: तेज़ी से सूची बना लें या inclusion–exclusion सूत्र लगाएँ ताकि गिनती में त्रुटि न हो। / Compute the union and subtract from the universal set: \(A\cup B=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\) has 8 elements, so its complement in \(U\) has \(12-8=4\) elements, namely \(\{1,5,7,11\}\). Using inclusion–exclusion: \(n(A)=6,\;n(B)=4,\;n(A\cap B)=2\Rightarrow n(A\cup B)=6+4-2=8\). The closest wrong option (5) would result from miscounting the union as 7. Exam tip: either list the union explicitly or use inclusion–exclusion to avoid off-by-one mistakes.
दो तत्वों वाले समुच्चय का घात समुच्चय (4) उपसमुच्चयों से बनता है। यहाँ \(\emptyset\) भी (A) का एक तत्व है। / A two-element set has (4) subsets in its power set. Here \(\emptyset\) is also an element of (A).
कुल उपसमुच्चय \(2^6=64\) हैं और ठीक (2) तत्व वाले \(\binom{6}{2}=15\) हैं। इसलिए उत्तर (64-15=49) है। / Total subsets are \(2^6=64\), and exactly two-element subsets are \(\binom{6}{2}=15\). So the answer is (64-15=49).
B. जो कोई भी विषय नहीं पढ़ते/Students studying neither subject
Explanation
Simple Explanation
\(A'\cap B'\) में वे छात्र हैं जो (A) में भी नहीं और (B) में भी नहीं हैं। यह न गणित न भौतिकी पढ़ने वालों को दर्शाता है। / \(A'\cap B'\) contains students not in (A) and not in (B). It represents students studying neither Mathematics nor Physics.
हमें ऐसे उपसमुच्चय गिनने हैं जिनमें 1 शामिल नहीं है और 4 शामिल है। 4 को शामिल मानने पर बचते हैं केवल तत्व 2 और 3 — हर एक के लिए शामिल/न शामिल के दो विकल्प हैं। अत: कुल उपसमुच्चय = \(2^{2}=4\)। विकल्प D (8) गलत है क्योंकि वह मानता है कि तीन तत्व स्वतंत्र हैं (\(2^{3}=8\)), जो यहाँ लागू नहीं होता; विकल्प A और B अवकलन हैं। परीक्षा सुझाव: जब कोई तत्व "शामिल" या "शामिल नहीं" बताता हो, तो स्वतंत्र तत्वों की संख्या गिनें और उत्तर \(2^{\text{(स्वतंत्र तत्वों की संख्या)}}\) द्वारा पाएँ। / We count subsets that exclude 1 and include 4. With 4 fixed in and 1 fixed out, the only free elements are 2 and 3. Each free element can be present or absent, giving \(2^{2}=4\) subsets. Option D (8) is incorrect because it assumes three free choices (\(2^{3}\)); A and B are undercounts. Exam tip: when elements are fixed in/out, count the remaining free elements and compute \(2^{\text{(number of free elements)}}\).
पूरक की परिभाषा है \(A'=U\setminus A=\{x\in U:\;x\notin A\}\)। यदि \(A=\emptyset\) है तो कोई भी तत्व \(A\) में नहीं है, अतः सभी तत्व जो \(U\) में हैं वे ही \(A'\) में होंगे। इसलिए \(A'=U=\{1,2,3,4,5\}\)। विकल्प A (\(\emptyset\)) गलत है क्योंकि वह शून्य तत्व वाला समुच्चय है — यह \(A\) है न कि \(A'\)। विकल्प C (\(\{\emptyset\}\)) अलग समुच्चय है जिसका एक तत्व ही है: खाली समुच्चय; यह \(U\) नहीं है। विकल्प D (\(\{0\}\)) में 0 सार्वत्रिक समुच्चय का सदस्य नहीं है, इसलिए वह भी गलत है। परीक्षा सलाह: हमेशा याद रखें \(A'=\{x\in U:x\notin A\}\) — खाली सेट के लिए पूरा सार्वत्रिक सेट ही पूरक होता है। / By definition the complement is \(A'=U\setminus A=\{x\in U:\;x\notin A\}\). If \(A=\emptyset\), no element of \(U\) is excluded, so every element of \(U\) belongs to \(A'\). Thus \(A'=U=\{1,2,3,4,5\}\). Option A (\(\emptyset\)) is wrong because that denotes the empty set itself, not its complement. Option C (\(\{\emptyset\}\)) is the set whose single element is the empty set and is not equal to \(U\). Option D (\(\{0\}\)) is incorrect since 0 is not an element of the given universal set. Exam tip: use \(A'=\{x\in U:x\notin A\}\) to decide complements — for \(A=\emptyset\) you always get \(A'=U\).
(\mathcal{P}(A)) में उपसमुच्चय होते हैं, अकेले तत्व नहीं। (1) को ({1}) लिखने पर वह घात समुच्चय का तत्व होगा। / A power set contains subsets, not bare elements. (1) would need to be written as ({1}) to be an element of the power set.
यहाँ \(A'\) यूनिवर्सल सेट \(U\) का पूरक नहीं है, बल्कि \(A'\) वही उपसमुच्चय है जो \(A\) में नहीं है। इसलिए \(A\) को खोजने के लिए हम \(U\) में से \(A'\) के तत्व निकाल देंगे: \(A=U\setminus A'=\{a,b,c,d,e,f\}\setminus\{b,d,f\}=\{a,c,e\}\)। विकल्प B केवल \(A'\) है (गलत), C पूरा यूनिवर्सल सेट है (गलत), D खाली सेट असंगत है क्योंकि \(U\) में कुछ तत्व \(A\) में होंगे। परीक्षा टिप: किसी भी सेट के पूरक के लिए हमेशा यूनिवर्सल सेट से दिए गए उपसमुच्चय के तत्व घटाएँ। / Here \(A'\) denotes the complement of \(A\) relative to the universal set \(U\), so \(A\) is the set of elements in \(U\) that are not in \(A'\). Compute \(A=U\setminus A' = \{a,b,c,d,e,f\}\setminus\{b,d,f\} = \{a,c,e\}\). Option B is just \(A'\) itself (wrong), C is the whole universal set (wrong), and D is empty (impossible here since some elements remain). Exam tip: To find a complement, remove the complement-set's elements from the universal set; list elements to avoid mistakes.
किसी n-तत्व वाले समुच्चय के लिए सम आकार वाले उपसमुच्चयों की संख्या बराबर होती है \(\sum_{k\,\text{even}} {n\choose k}\)। इसके अलावा पहचान है \(\sum_{k\,\text{even}} {n\choose k}=2^{n-1}\) जब \(n\ge 1\)। यहाँ \(n=5\) है, इसलिए संख्या \(2^{4}=16\)। वैकल्पिक रूप से सीधे जोड़ें: \({5\choose0}+{5\choose2}+{5\choose4}=1+10+5=16\)। गलत विकल्पों में से 32 कुल उपसमुच्चयों की संख्या है (यह सम व विषम दोनों मिलाकर है), इसलिए वह गलत है। परीक्षा सुझाव: किसी भी n के लिए सम आकार वाले उपसमुच्चयों के लिए तेज़ सूत्र \(2^{n-1}\) याद रखें। / For a set with n elements, the number of even-sized subsets is \(\sum_{k\text{ even}}{n\choose k}\), and the standard identity gives \(\sum_{k\text{ even}}{n\choose k}=2^{n-1}\) for \(n\ge1\). With \(n=5\) this is \(2^{4}=16\). Alternatively compute \({5\choose0}+{5\choose2}+{5\choose4}=1+10+5=16\). Note that 32 is the total number of subsets (both even and odd), so 32 is incorrect. Exam tip: use the identity \(\sum_{k\text{ even}}{n\choose k}=2^{n-1}\) to answer such questions quickly.
B. (U) में अपूर्ण वर्ग संख्याएँ/Non-perfect-square numbers in (U)
Explanation
Simple Explanation
(A) में (U) के पूर्ण वर्ग (1,4,9) हैं। पूरक में (U) की बाकी अपूर्ण वर्ग संख्याएँ होंगी। / (A) contains the perfect squares (1,4,9) in (U). Its complement contains the remaining non-perfect-square numbers in (U).
किसी सेट A के भीतर किसी उपसेट S के सभी अधिसमुच्चयों की संख्या = 2^{|A|-|S|} होती है क्योंकि A के उन तत्वों को जो S में नहीं हैं, प्रत्येक को शामिल या न‑शामिल किया जा सकता है। यहाँ |A| = 3 और |{a,b}| = 2 इसलिए संख्या = 2^{3-2} = 2. सही उत्तर {a,b} और {a,b,c} हैं। विकल्प A (1) गलत है क्योंकि वह केवल {a,b} को गिनता है और {a,b,c} को छोड़ देता है; विकल्प D (4) भी गलत है क्योंकि संभव अधिसमुच्चयों की अधिकतम संख्या 2 नहीं हो सकती। परीक्षा टिप: किसी उपसेट के अधिसमुच्चयों की गिनती के लिए सीधे फॉर्मूला 2^{n-k} याद रखें (n = |A|, k = |S|). / The number of supersets of a subset S inside a set A equals 2^{|A|-|S|}, since each element of A\S can either be present or absent in a superset. Here |A|=3 and |{a,b}|=2, so the count is 2^{3-2}=2. The two supersets are {a,b} and {a,b,c}. Option A (1) is wrong because it omits {a,b,c}; option D (4) is impossible for this case. Exam tip: use 2^{n-k} (n=|A|, k=|S|) to count supersets quickly.
सभी अंक (0) से (9) तक होते हैं। (A) सम अंकों का समुच्चय है, इसलिए पूरक विषम अंक हैं। / All digits are from (0) to (9). (A) is the set of even digits, so the complement is the odd digits.
(1,2) में से ठीक एक चुनने के (2) तरीके हैं। शेष (3,4) के लिए \(2^2\) तरीके, इसलिए कुल (8) हैं। / There are (2) ways to choose exactly one of (1,2). The remaining (3,4) give \(2^2\) choices, so total (8).
(A) में (100) तक की प्राकृतिक संख्याएँ हैं। \(\mathbb{N}\) में पूरक (100) से बड़ी प्राकृतिक संख्याएँ हैं। / (A) contains natural numbers up to (100). In \(\mathbb{N}\), the complement is natural numbers greater than (100).
किसी n-तत्व सेट का पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में \(2^n\) उपसमुच्चय होते हैं। यहाँ \(n=3\) इसलिए कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। यदि \(\emptyset\) और \(A\) को हटा दिया जाए तो बचते हैं \(8-2=6\) तत्व। निकटतम भ्रामक विकल्प \(8\) इसलिए गलत है क्योंकि वह हटाने का विचार नहीं करता। परीक्षा-सुझाव: किसी सेट के ‘नॉन-खाली सही’ उपसमुच्चयों की संख्या फॉर्मूला \(2^n-2\) से तुरंत मिल जाती है। / A set with n elements has \(2^n\) subsets in its power set \(\mathcal{P}(A)\). Here n=3, so \(2^3=8\). Removing \(\emptyset\) and A removes 2 subsets, leaving \(8-2=6\). The closest distractor 8 is simply the total number of subsets without removing \(\emptyset\) and A, so it is incorrect. Exam tip: use the formula \(2^n-2\) to quickly get the count of nonempty proper subsets.
सबसे पहले पूरक निकालें (पूरक सन्दर्भ सार्वभौमिक सेट \(U\) के सापेक्ष होते हैं)। \(A'=U\setminus A=\{5,6,7,8\}\) और \(B'=U\setminus B=\{1,2,7,8\}\). अब उनका संघ लें: \(A'\cup B'=\{1,2,5,6,7,8\}\). नोट: विकल्प (D) actually \(A\cup B\) है, विकल्प (B) \(A\cap B\) है और (C) केवल \(U\setminus(A\cup B)\) है. परीक्षा टिप: पूरक पहले निकालें, फिर आवश्यक संचिय क्रिया (संघ/छेद/भिन्न) लागू करें — यह गलतियाँ कम करता है। / Compute complements with respect to the universal set first. \(A'=U\setminus A=\{5,6,7,8\}\) and \(B'=U\setminus B=\{1,2,7,8\}\). Their union is \(A'\cup B'=\{1,2,5,6,7,8\}\), so option A is correct. For clarity, option D equals \(A\cup B\), option B equals \(A\cap B\), and option C equals \(U\setminus(A\cup B)\). Exam tip: when complements are involved, find each complement first, then apply union/intersection to avoid sign errors.
असंयुक्त उपसमुच्चय में (x) और (z) नहीं आ सकते। केवल (y,w) चुने जा सकते हैं, इसलिए \(2^2=4\) हैं। / A disjoint subset cannot contain (x) or (z). Only (y,w) may be chosen, so there are \(2^2=4\).
(A) में (1,3,7,9) हैं। इसलिए पूरक (2) या (5) से विभाज्य तत्व ({2,4,5,6,8,10}) हैं। / (A) contains (1,3,7,9). So the complement is the elements divisible by (2) or (5): ({2,4,5,6,8,10}).
