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\(A\times B\) में पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से आता है। परीक्षा में क्रम का ध्यान रखें। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). In exams, always check the order.
शर्त (|a-b|=2) से युग्म ((1,3),(2,4),(3,1),(4,2)) मिलते हैं। क्रमित युग्मों में उलटे युग्म अलग गिने जाते हैं। / The condition (|a-b|=2) gives the pairs ((1,3),(2,4),(3,1),(4,2)). In ordered pairs, reversed pairs are counted separately.
\(|A\times B|=|A|\cdot |B|=2\cdot3=6\) होता है। कार्डिनलिटी वाले प्रश्नों में सीधे गुणा करें। / \(|A\times B|=|A|\cdot |B|=2\cdot3=6\). For cardinality questions, multiply the sizes directly.
\(B\times A\) में पहला अवयव (B) से और दूसरा (A) से लिया जाता है। \(A\times B\) और \(B\times A\) को अलग समझें। / In \(B\times A\), the first component is from (B) and the second from (A). Do not confuse \(A\times B\) with \(B\times A\).
A. क्रमित युग्मों में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है/Order matters in ordered pairs
Explanation
Simple Explanation
क्रमित युग्म में ((1,3)) और ((3,1)) समान नहीं होते। इसलिए \(A\times B\) सामान्यतः \(B\times A\) के बराबर नहीं होता। / In ordered pairs, ((1,3)) and ((3,1)) are not the same. Hence \(A\times B\) is generally not equal to \(B\times A\).
\(|A\times B|=2\cdot1=2\) और फिर (|\(A\times B\)\times C|=2\cdot3=6)। संयुक्त गुणनफल में भी कार्डिनलिटी गुणा होती है। / \(|A\times B|=2\cdot1=2\), then (|\(A\times B\)\times C|=2\cdot3=6). Cardinalities multiply in nested products too.
(2+5=7) और (3+4=7), इसलिए यही युग्म आते हैं। संबंध बनाने से पहले पूरा \(A\times B\) सोचें। / Since (2+5=7) and (3+4=7), these pairs belong to (R). Think of all pairs in \(A\times B\) before filtering.
\(x\) के तीनों मान जाँचें: \((-1)^2=1\), इसलिए \((-1,1)\); \(0^2=0\), इसलिए \((0,0)\); और \(1^2=1\), इसलिए \((1,1)\) मिलता है। अतः कुल 3 क्रमित युग्म हैं। विकल्प 6 पूरे \(A\times B\) के युग्मों की संख्या है, लेकिन उनमें से सभी \(x^2=y\) को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले प्रत्येक \(x\) के लिए \(x^2\) निकालकर जाँचें कि प्राप्त \(y\), \(B\) में है या नहीं। / Check all three values of \(x\): \((-1)^2=1\) gives \((-1,1)\), \(0^2=0\) gives \((0,0)\), and \(1^2=1\) gives \((1,1)\). Thus, there are 3 ordered pairs. Option 6 is the total number of pairs in \(A\times B\), but not all of them satisfy \(x^2=y\). Exam tip: For this type of question, compute \(x^2\) for each \(x\) and verify whether the resulting \(y\) belongs to \(B\).
(a=2,3,4) के लिए क्रमशः (1,2,3) मान मिलते हैं, कुल (6)। असमानता में पहले अवयव को आधार बनाकर गिनें। / For (a=2,3,4), the counts are (1,2,3), giving (6). For inequalities, count using the first component.
समुच्चयों के कार्तीय गुणनफल के लिए |A×B|=|A|×|B| होता है। यहाँ |A|=3 और |A×B|=12, इसलिए 3×|B|=12 तथा |B|=12÷3=4। विकल्प 12 केवल दिए गए गुणनफल की संख्या है, B की कार्डिनैलिटी नहीं। परीक्षा में पहले |A| ज्ञात करके गुणनफल की कार्डिनैलिटी को उससे भाग दें। / For the Cartesian product, |A×B|=|A|×|B|. Here, |A|=3 and |A×B|=12, so 3×|B|=12 and hence |B|=12÷3=4. The value 12 is the cardinality of the product, not of B. In an exam, first find |A| and divide the product cardinality by it.
\(|A\times B|=mn\), इसलिए इसके उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{mn}\) होगी। पहले मूल समुच्चय की कार्डिनलिटी निकालें। / \(|A\times B|=mn\), so the number of subsets is \(2^{mn}\). First find the cardinality of the base set.
संबंध \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय है और \(|A\times B|=6\)। इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6=64\) है। / A relation is any subset of \(A\times B\), and \(|A\times B|=6\). Hence the number of relations is \(2^6=64\).
\(|A\times B|=3\cdot2=6\), इसलिए गैर-रिक्त उपसमुच्चय \(2^6-1=63\) हैं। रिक्त समुच्चय घटाना न भूलें। / \(|A\times B|=3\cdot2=6\), so non-empty subsets are \(2^6-1=63\). Do not forget to subtract the empty set.
((4,3)) में पहला अवयव (4) है, जो (A) में नहीं है। सदस्यता में दोनों स्थान अलग-अलग जाँचें। / In ((4,3)), the first component (4) is not in (A). Check both positions separately for membership.
दूसरे अवयवों का समुच्चय \(B=\{a,b\}\) है। कार्तीय गुणनफल से मूल समुच्चय पहचानते समय स्थान देखें। / The set of second components is \(B=\{a,b\}\). When identifying original sets, observe the positions.
यदि (A) रिक्त नहीं है और \(A\times B=\varnothing\), तो \(B=\varnothing\) होना चाहिए। रिक्त गुणनफल में कम से कम एक समुच्चय रिक्त होता है। / If (A) is non-empty and \(A\times B=\varnothing\), then \(B=\varnothing\). A Cartesian product is empty if at least one set is empty.
पहला समुच्चय रिक्त है, इसलिए कोई क्रमित युग्म बन नहीं सकता। रिक्त समुच्चय को (0) अवयव वाला समुच्चय मानें। / The first set is empty, so no ordered pair can be formed. Treat the empty set as a set with (0) elements.
क्योंकि (R) अधिकतम पूरे \(A\times B\) के बराबर हो सकता है और \(|A\times B|=20\)। अधिकतम अवयव पूछे जाएँ तो \(2^{20}\) नहीं लिखें। / Since (R) can be at most the whole \(A\times B\), and \(|A\times B|=20\). If maximum elements are asked, do not write \(2^{20}\).
तीन समुच्चयों के कार्तीय गुणनफल में कार्डिनलिटी \(2\cdot3\cdot4=24\) है। क्रमित त्रिक के प्रश्न में तीनों आकार गुणा करें। / For Cartesian product of three sets, the cardinality is \(2\cdot3\cdot4=24\). For ordered triples, multiply all three sizes.
\(B\cup C={3,4,5}\), इसलिए (|A\times\(B\cup C\)|=2\cdot3=6)। पहले कोष्ठक के भीतर का समुच्चय निकालें। / \(B\cup C={3,4,5}\), so (|A\times\(B\cup C\)|=2\cdot3=6). First evaluate the set inside the brackets.
\(B\cap C={3,4}\), इसलिए (|A\times\(B\cap C\)|=3\cdot2=6)। प्रतिच्छेद के बाद ही गुणा करें। / \(B\cap C={3,4}\), so (|A\times\(B\cap C\)|=3\cdot2=6). Multiply only after finding the intersection.
(\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)) और \(B\cap C={3}\)। इसलिए युग्म ((1,3)) और ((2,3)) हैं। / (\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)), and \(B\cap C={3}\). Thus the pairs are ((1,3)) and ((2,3)).
(B-C={1}), इसलिए \(A\times(B-C)={(0,1),(1,1)}\)। अंतर निकालने में केवल (B) के अवयव देखें। / (B-C={1}), so \(A\times(B-C)={(0,1),(1,1)}\). For difference, keep only elements of (B) not in (C).
\(|A\times B|=6\) और (2) अवयव चुनने के तरीके \(\binom{6}{2}=15\) हैं। ठीक (2) अवयव का अर्थ संयोजन है। / \(|A\times B|=6\), and choosing (2) elements gives \(\binom{6}{2}=15\). Exactly (2) elements means a combination.
\(|A\times B|=6\), इसलिए (1) अवयव वाला संबंध चुनने के (6) तरीके हैं। एकल संबंध सीधे एक क्रमित युग्म होता है। / \(|A\times B|=6\), so there are (6) ways to choose a one-element relation. A singleton relation is just one ordered pair.
दो संख्याओं का योग तभी सम होता है जब दोनों संख्याएँ समान समता वाली हों—या तो दोनों सम हों या दोनों विषम। प्रत्येक समुच्चय में 2 सम संख्याएँ \(\{2,4\}\) और 2 विषम संख्याएँ \(\{1,3\}\) हैं। इसलिए अनुकूल युग्मों की संख्या \(2\times2+2\times2=8\) है। परीक्षा-युक्ति: सम योग के लिए ‘समान समता’ और विषम योग के लिए ‘विपरीत समता’ याद रखें। / The sum of two numbers is even when they have the same parity—both must be even or both must be odd. Each set contains 2 even elements, \(\{2,4\}\), and 2 odd elements, \(\{1,3\}\). Hence, the number of favourable ordered pairs is \(2\times2+2\times2=8\). Exam tip: remember that an even sum requires equal parity, while an odd sum requires opposite parity. The value 16 would count every pair in \(A\times B\), including pairs with one even and one odd component.
युग्म ((1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)) हैं, इसलिए कुल (5) हैं। क्रमित युग्मों में उलटे युग्म अलग गिने जाते हैं। / The pairs are ((1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)), so there are (5). Reversed pairs count separately in ordered pairs.
(a=1) से (4), (a=2) से (2), (a=3) से (1), (a=4) से (1) युग्म मिलते हैं, कुल (8)। विभाज्यता में हर (a) अलग जाँचें। / For (a=1,2,3,4), the counts are (4,2,1,1), totaling (8). In divisibility, check each (a) separately.
\(1^2=1\), \(2^2=4\), और \(3^2=9\), इसलिए (3) युग्म हैं। नियम आधारित संबंध में हर पहला अवयव जाँचें। / Since \(1^2=1\), \(2^2=4\), and \(3^2=9\), there are (3) pairs. For rule-based relations, check each first component.
(a=0,1,2) के लिए (b) के क्रमशः (3,2,1) मान हैं, कुल (6)। असमानता में सीमा को सावधानी से देखें। / For (a=0,1,2), the possible values of (b) are (3,2,1), totaling (6). Read the inequality boundary carefully.
विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं, इसलिए संख्या (3) है। समान समुच्चयों में विकर्ण की संख्या सामान्यतः (|A|) होती है। / The diagonal pairs are ((1,1),(2,2),(3,3)), so the count is (3). For equal sets, the diagonal count is usually (|A|).
कुल युग्म (16) हैं और बराबर युग्म (4) हैं, इसलिए (16-4=12)। पूरक गिनती जल्दी उत्तर देती है। / There are (16) total pairs and (4) equal pairs, so (16-4=12). Complement counting gives a quick answer.
शर्त (a=2b) देती है, इसलिए ((2,1),(4,2),(6,3)) मिलते हैं। भिन्न को सरल रैखिक संबंध में बदलें। / The condition gives (a=2b), so the pairs are ((2,1),(4,2),(6,3)). Convert a fraction condition into a simple linear relation.
\(A\) के प्रत्येक अवयव के लिए \(b=2a\) निकालते हैं: \(a=1\) पर \(b=2\), \(a=2\) पर \(b=4\), और \(a=3\) पर \(b=6\)। ये सभी \(B\) में हैं, इसलिए युग्म \((1,2),(2,4),(3,6)\) प्राप्त होते हैं और कुल \(3\) युग्म हैं। \(4\) लेना गलत है, क्योंकि \(a\) के केवल तीन संभावित मान हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में शर्त पूरी करने वाले युग्मों को सीधे सूचीबद्ध करके गिनें। / For each element of \(A\), calculate \(b=2a\): when \(a=1\), \(b=2\); when \(a=2\), \(b=4\); and when \(a=3\), \(b=6\). All three resulting values belong to \(B\), giving the ordered pairs \((1,2),(2,4),(3,6)\). Hence, the total is \(3\). Choosing \(4\) is incorrect because \(A\) has only three possible values of \(a\). Exam tip: list the ordered pairs satisfying the condition and then count them.
(b=1,2,3) के लिए (a) के क्रमशः (1,2,3) मान हैं, कुल (6)। कभी-कभी दूसरे अवयव से गिनना आसान होता है। / For (b=1,2,3), the possible values of (a) are (1,2,3), totaling (6). Sometimes counting by the second component is easier.
योग (5) या अधिक के युग्म ((2,3),(3,2),(3,3)) हैं, कुल (3)। सीमा सहित शर्त में बराबरी भी गिनें। / The pairs with sum (5) or more are ((2,3),(3,2),(3,3)), totaling (3). Include equality when the condition has a boundary.
विषम संख्या और सम संख्या का योग हमेशा विषम होता है। समता वाले प्रश्न में सभी युग्म लिखना आवश्यक नहीं। / The sum of an odd number and an even number is always odd. For parity questions, writing all pairs is not necessary.
यहाँ (A=B), इसलिए \(A\times B\) और \(B\times A\) समान हैं। सामान्य नियम में बराबरी तभी स्पष्ट होती है जब समुच्चय समान हों। / Here (A=B), so \(A\times B\) and \(B\times A\) are the same. Equality is clear when the two sets are identical.
\((1,4)\in A\times B\), पर \((1,4)\notin B\times A\) क्योंकि \(1\notin B\)। एक प्रतिउदाहरण पर्याप्त है। / \((1,4)\in A\times B\), but \((1,4)\notin B\times A\) because \(1\notin B\). One counterexample is enough.
चूँकि \(A\) और \(B\) में कोई समान अवयव नहीं है, इसलिए \(A\cup B=\{1,2,3,4\}\) और \(|A\cup B|=4\)। साथ ही \(|C|=2\)। कार्तीय गुणनफल के लिए \(|X\times Y|=|X|\cdot|Y|\), अतः \(|(A\cup B)\times C|=4\times2=8\)। विकल्प 16 में तीनों समुच्चयों की कार्डिनालिटी को अनुचित रूप से गुणा किया गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले संघ की कार्डिनालिटी ज्ञात करें, फिर कार्तीय गुणनफल का नियम लगाएँ। / Since \(A\) and \(B\) have no common element, \(A\cup B=\{1,2,3,4\}\) and \(|A\cup B|=4\). Also, \(|C|=2\). For Cartesian products, \(|X\times Y|=|X|\cdot|Y|\); therefore, \(|(A\cup B)\times C|=4\times2=8\). Option 16 incorrectly multiplies the cardinalities of all three original sets. Exam tip: find the size of the union first, then apply the Cartesian-product rule.
\(A\cap B={2,3}\) और (|C|=3), इसलिए कार्डिनलिटी \(2\cdot3=6\) है। प्रतिच्छेद को पहले सरल करें। / \(A\cap B={2,3}\) and (|C|=3), so the cardinality is \(2\cdot3=6\). Simplify the intersection first.
(\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)) और \(B\cup C={2,3,4}\)। इसलिए कार्डिनलिटी \(2\cdot3=6\) है। / (\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)), and \(B\cup C={2,3,4}\). Hence the cardinality is \(2\cdot3=6\).
शर्त से (a=b+1), इसलिए ((2,1)) और ((3,2)) मिलते हैं। समीकरण को युग्मों पर लागू करें। / The condition gives (a=b+1), so the pairs are ((2,1)) and ((3,2)). Apply the equation to ordered pairs.
प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \(b=2^a\) ज्ञात करते हैं: \(a=1\) पर \(b=2\), \(a=2\) पर \(b=4\), \(a=3\) पर \(b=8\), और \(a=4\) पर \(b=16\)। पहले तीन मान \(B\) में हैं, इसलिए युग्म \((1,2),(2,4),(3,8)\) मिलते हैं। \(16\notin B\), इसलिए \((4,16)\) मान्य नहीं है। अतः कुल 3 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में \(a\) के प्रत्येक मान के लिए \(2^a\) निकालकर जाँचें कि प्राप्त मान दूसरे समुच्चय में है या नहीं। / For each \(a\in A\), calculate \(b=2^a\): when \(a=1,2,3,4\), the corresponding values are \(2,4,8,16\). The first three values belong to \(B\), giving the ordered pairs \((1,2),(2,4),(3,8)\). Since \(16\notin B\), \((4,16)\) is not in \(A\times B\). Therefore, the total number of valid pairs is 3. Exam tip: For this type of question, evaluate the given rule for every first component and retain only those pairs whose second component belongs to the second set.
जाँचने पर अभाज्य योग वाले (6) युग्म मिलते हैं। ऐसे प्रश्नों में सभी संभावित योगों को व्यवस्थित रूप से जाँचें। / Checking systematically gives (6) pairs with prime sum. In such questions, test all possible sums in an organized way.
दो संख्याओं का योग विषम तभी होता है जब एक संख्या सम और दूसरी विषम हो। सम और विषम अवयवों की संख्या इस प्रकार है: \(A\) में 2 सम और 2 विषम, जबकि \(B\) में 2 सम और 1 विषम अवयव हैं। इसलिए अनुकूल युग्मों की संख्या \((2\times1)+(2 imes2)=2+4=6\) है। परीक्षा में क्रमित युग्मों के लिए पहले अवयव के दोनों parity-विकल्पों को अलग-अलग गिनना न भूलें। / The sum of two numbers is odd only when one number is even and the other is odd. Set \(A\) has 2 even and 2 odd elements, while set \(B\) has 2 even and 1 odd element. Hence, the number of suitable ordered pairs is \((2\times1)+(2\times2)=2+4=6\). As an exam tip, count separately the cases where the first component is even and where it is odd, since the pairs are ordered.
(a=1,2,3) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,3) मान मिलते हैं, कुल (10)। गुणन वाली शर्त में प्रत्येक (a) पर सीमा बदलती है। / For (a=1,2,3), the possible values of (b) are (4,3,3), totaling (10). In product conditions, the limit changes for each (a).
(\gcd(a,b)=1) वाले युग्म गिनने पर (11) मिलते हैं। (1) के साथ हर संख्या परस्पर अभाज्य मानी जाती है। / Counting pairs with (\gcd(a,b)=1) gives (11). Remember that (1) is coprime with every number.
दो पूर्णांकों का अंतर तभी सम होता है जब दोनों की समता समान हो—अर्थात दोनों सम या दोनों विषम हों। समता के आधार पर \(A\) में 1 सम और 2 विषम संख्याएँ हैं, जबकि \(B\) में 2 सम और 2 विषम संख्याएँ हैं। इसलिए अनुकूल युग्मों की संख्या \(1\times2+2\times2=6\) है। परीक्षा-युक्ति: अंतर के सम होने के लिए समान समता वाले तत्त्वों की ही जोड़ी बनाएँ। / The difference of two integers is even exactly when they have the same parity—both even or both odd. Set \(A\) has 1 even and 2 odd elements, while set \(B\) has 2 even and 2 odd elements. Hence, the number of favourable ordered pairs is \(1\times2+2\times2=6\). Exam tip: For an even difference, count pairs formed by elements of matching parity.
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (10)। ऐसी गिनती में सीमा के अनुसार पंक्तियाँ बनाएं। / For (a=1,2,3,4), the possible values of (b) are (4,3,2,1), totaling (10). Make rows according to the boundary in such counts.
\(A\times B\) में पहला अवयव (A) से और दूसरा अवयव (B) से आता है। क्रमित युग्म में क्रम बदलने से उत्तर बदल जाता है। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). Changing order changes the ordered pair.
योग (4) से विभाज्य होने वाले युग्म ((1,3),(2,2),(3,1),(4,4),(5,3)) हैं। ऐसे प्रश्नों में शेषफल के आधार पर गिनती करें। / The pairs with sum divisible by (4) are ((1,3),(2,2),(3,1),(4,4),(5,3)). In such questions, count using remainders.
यहाँ \(A=\{2,3,4,5,6\}\) और \(B=\{1,3,5,7\}\), इसलिए \(|A\times B|=5\cdot4=20\)। पहले दोनों समुच्चयों की संख्या गिनें। / Here \(A=\{2,3,4,5,6\}\) and \(B=\{1,3,5,7\}\), so \(|A\times B|=5\cdot4=20\). First count both sets.
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,2,1) मान मिलते हैं, इसलिए कुल (10) युग्म हैं। असमानता में हर पहले अवयव पर सीमा अलग जाँचें। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (4,3,2,1), so there are (10) pairs. In inequalities, check the boundary for each first component.
तीन समुच्चयों के गुणनफल में कार्डिनलिटी \(3\cdot2\cdot3=18\) होती है। क्रमित त्रिक में सभी समुच्चयों के आकार गुणा करें। / For product of three sets, the cardinality is \(3\cdot2\cdot3=18\). For ordered triples, multiply the sizes of all sets.
\(|B\times A|=|B|\cdot|A|=2\cdot3=6\)। क्रम बदलने से युग्म बदलते हैं, पर कार्डिनलिटी समान रहती है। / \(|B\times A|=|B|\cdot|A|=2\cdot3=6\). Reversing order changes pairs but not the cardinality.
A के प्रत्येक अवयव के लिए b = 8 − a जाँचते हैं। a = 1 पर b = 7, जो B में नहीं है; a = 2 पर b = 6, जो B में है; a = 3 पर b = 5, जो B में नहीं है; और a = 4 पर b = 4, जो B में है। इसलिए मान्य युग्म (2, 6) और (4, 4) हैं, अर्थात कुल 2 युग्म। परीक्षा-युक्ति: A × B में पहला अवयव A से और दूसरा अवयव B से लिया जाता है। / For each element of A, calculate b = 8 − a. When a = 1, b = 7, which is not in B; when a = 2, b = 6, which is in B; when a = 3, b = 5, which is not in B; and when a = 4, b = 4, which is in B. Thus, the valid pairs are (2, 6) and (4, 4), giving a total of 2 pairs. Exam tip: In A × B, the first element must come from A and the second from B.
(a=0,1,2,3) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (10)। असमानता में पंक्ति के अनुसार गिनती करें। / For (a=0,1,2,3), the counts of (b) are (4,3,2,1), totaling (10). Count row-wise in inequality questions.
(b=1) पर (a=2,3,4,5) मिलते हैं और (b=2,3) पर क्रमशः (2,0) मान मिलते हैं, कुल (4+2+0=6) नहीं बल्कि (6) है। सही विकल्प (D) होना चाहिए। / For (b=1), (a=2,3,4,5); for (b=2,3), counts are (2,0), so total is (6). The correct option should be (D).
हर \(a\in A\) के लिए \(a^2\in B\) है, इसलिए (4) युग्म बनते हैं। नियम आधारित प्रश्न में सभी पहले अवयव जाँचें। / For every \(a\in A\), \(a^2\in B\), so (4) pairs are formed. In rule-based questions, check all first components.
(a=1) से (4), (a=2) से (2), और (a=3) से (1) युग्म मिलते हैं, कुल (7)। विभाज्यता में प्रत्येक भाजक को अलग जाँचें। / For (a=1), there are (4) pairs; for (a=2), (2); and for (a=3), (1), totaling (7). Check each divisor separately.
ऐसे युग्म ((2,2),(2,4),(4,2)) हैं, इसलिए संख्या (3) है। \(\gcd\) वाले प्रश्न में सामान्य गुणनखंड जाँचें। / The pairs are ((2,2),(2,4),(4,2)), so the number is (3). In \(\gcd\) questions, check common factors.
\(|A\times B|=12\), इसलिए ठीक (3) युग्म चुनने के तरीके \(\binom{12}{3}=220\) हैं। ठीक संख्या पूछी हो तो संयोजन लगाएँ। / Since \(|A\times B|=12\), the number of ways to choose exactly (3) pairs is \(\binom{12}{3}=220\). Use combinations when an exact size is asked.
संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय है और \(|A\times B|=10\), इसलिए संख्या \(2^{10}=1024\) है। संबंधों की संख्या के लिए घात (2) लगती है। / A relation is a subset of \(A\times B\), and \(|A\times B|=10\), so the number is \(2^{10}=1024\). Number of relations uses a power of (2).
\(B\cup C={2,3,4,5}\), इसलिए (|A\times\(B\cup C\)|=3\cdot4=12)। पहले संघ निकालें फिर गुणा करें। / \(B\cup C={2,3,4,5}\), so (|A\times\(B\cup C\)|=3\cdot4=12). Find the union first, then multiply.
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(B\cap C=\{2,5\}\), इसलिए \(|B\cap C|=2\) और \(|A|=4\)। कार्तीय गुणनफल के लिए \(|A\times(B\cap C)|=|A|\,|B\cap C|=4\times2=8\)। अतः सही उत्तर B है। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल की क्रमित युग्मों की संख्या निकालने के लिए दोनों समुच्चयों की कार्डिनैलिटी का गुणन करें। / First find the intersection: \(B\cap C=\{2,5\}\), so \(|B\cap C|=2\) and \(|A|=4\). For a Cartesian product, \(|A\times(B\cap C)|=|A|\,|B\cap C|=4\times2=8\). Therefore, option B is correct. Exam tip: the number of ordered pairs in a Cartesian product equals the product of the cardinalities of the two sets.
(B-C={1}), इसलिए \(A\times(B-C)={(0,1),(1,1),(2,1)}\)। अंतर में केवल (B) के बचे अवयव लें। / (B-C={1}), so \(A\times(B-C)={(0,1),(1,1),(2,1)}\). In difference, take only remaining elements of (B).
(\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)) और \(B\cap C={3}\)। इसलिए कार्डिनलिटी \(2\cdot1=2\) है। / (\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)), and \(B\cap C={3}\). Hence the cardinality is \(2\cdot1=2\).
(\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)) और \(B\cup C={4,5,6}\)। इसलिए \(3\cdot3=9\) अवयव हैं। / (\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)), and \(B\cup C={4,5,6}\). Thus there are \(3\cdot3=9\) elements.
युग्म ((1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)) हैं, कुल (6)। उलटे क्रमित युग्म अलग गिने जाते हैं। / The pairs are ((1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)), totaling (6). Reversed ordered pairs are counted separately.
योग \(a+b\) सम तभी होगा जब \(a\) और \(b\) दोनों सम हों या दोनों विषम हों। प्रत्येक समुच्चय में 2 सम संख्याएँ \((0,2)\) और 2 विषम संख्याएँ \((1,3)\) हैं। इसलिए अनुकूल युग्मों की संख्या \(2\times2+2\times2=8\) है। अतः सही विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: दो संख्याओं का योग सम होने के लिए उनकी समता समान होनी चाहिए। / The sum \(a+b\) is even when both \(a\) and \(b\) are even or both are odd. Each set contains 2 even numbers, \(0,2\), and 2 odd numbers, \(1,3\). Hence, the number of favourable ordered pairs is \(2\times2+2\times2=8\). Therefore, option B is correct. Exam tip: the sum of two integers is even exactly when they have the same parity.
(a=1,2,3,4,5) के लिए (b) के (4,4,3,2,1) मान हैं, कुल (14)। सीमा सहित असमानता में बराबरी भी गिनें। / For (a=1,2,3,4,5), the counts of (b) are (4,4,3,2,1), totaling (14). Include equality in a boundary inequality.
कुल (16) युग्म हैं और (ab) विषम केवल तब है जब दोनों विषम हों, ऐसे \(2\cdot2=4\) हैं। इसलिए सम गुणनफल (16-4=12) हैं। / There are (16) total pairs, and (ab) is odd only when both are odd, giving \(2\cdot2=4\). Hence even products are (16-4=12).
शर्त से ((1,2)) और ((2,4)) मिलते हैं; (a=3,4) पर (b) (B) में नहीं है। इसलिए (2) युग्म हैं। / The condition gives ((1,2)) and ((2,4)); for (a=3,4), (b) is not in (B). Hence there are (2) pairs.
दिया गया समीकरण a − 2b = 1 को a = 2b + 1 के रूप में लिखें। B के प्रत्येक मान के लिए a का मान जाँचने पर b = 0 से a = 1, b = 1 से a = 3 और b = 2 से a = 5 मिलता है। ये सभी A में हैं, इसलिए क्रमित युग्म (1, 0), (3, 1) और (5, 2) हैं। अतः कुल 3 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसी गिनती में B के प्रत्येक मान को रखकर प्राप्त a का A में होना अवश्य जाँचें। / Rewrite the condition as a = 2b + 1. For b = 0, 1 and 2, the corresponding values of a are 1, 3 and 5, respectively. All three values belong to A, giving the ordered pairs (1, 0), (3, 1) and (5, 2). Therefore, the total number of pairs is 3. Exam tip: Substitute every element of one set and verify that the resulting element belongs to the other set.
दो पूर्णांकों का अंतर तभी विषम होता है जब उनकी समता अलग हो। समुच्चय \(A\) में 2 सम और 2 विषम संख्याएँ हैं, जबकि \(B\) में 2 सम और 3 विषम संख्याएँ हैं। इसलिए अनुकूल क्रमित युग्मों की संख्या \(2\times3+2\times2=10\) होगी: \(a\) सम और \(b\) विषम, या \(a\) विषम और \(b\) सम। ध्यान रखें कि \(A\times B\) में क्रमित युग्म होते हैं, इसलिए क्रम और समुच्चय का स्थान महत्वपूर्ण है। / The difference of two integers is odd exactly when they have opposite parity. Set \(A\) contains 2 even and 2 odd numbers, while set \(B\) contains 2 even and 3 odd numbers. Thus, the number of favourable ordered pairs is \(2\times3+2\times2=10\): either \(a\) is even and \(b\) is odd, or \(a\) is odd and \(b\) is even. Exam tip: remember that \(A\times B\) consists of ordered pairs, so the first component must come from \(A\) and the second from \(B\).
कुल (25) युग्म हैं और बराबर युग्म (5) हैं, इसलिए (25-5=20)। पूरक गिनती तेज तरीका है। / There are (25) total pairs and (5) equal pairs, so (25-5=20). Complement counting is a quick method.
हर \(a\in A\) के लिए \(a^2\) (B) में है, इसलिए (5) युग्म बनते हैं। ऋणात्मक संख्याओं के वर्ग को ध्यान से देखें। / For every \(a\in A\), \(a^2\) is in (B), so (5) pairs are formed. Watch squares of negative numbers carefully.
सभी योग जाँचने पर अभाज्य योग वाले (7) युग्म मिलते हैं। ऐसे प्रश्नों में (2,3,5,7) जैसे अभाज्य योग देखें। / Checking all sums gives (7) pairs with prime sum. In such questions, look for prime sums like (2,3,5,7).
शर्त (b=2a) है, इसलिए ((1,2),(2,4),(3,6)) मिलते हैं। भिन्न को सरल समीकरण में बदलें। / The condition is (b=2a), so the pairs are ((1,2),(2,4),(3,6)). Convert the fraction into a simple equation.
संतुष्ट युग्म ((3,3),(3,4),(4,3),(4,4)) नहीं बल्कि ((3,3),(3,4),(4,3),(4,4)) कुल (4) हैं। सही विकल्प (C) होना चाहिए। / The satisfying pairs are ((3,3),(3,4),(4,3),(4,4)), totaling (4). The correct option should be (C).
योग (3) से विभाज्य होने वाले युग्म ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3)) हैं। इसलिए कुल (4) युग्म हैं। / The pairs with sum divisible by (3) are ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3)). Hence there are (4) pairs.
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के (5,2,1,1) मान हैं, कुल (9) नहीं बल्कि (9) हैं। सही विकल्प (B) होना चाहिए। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (5,2,1,1), totaling (9). The correct option should be (B).
दूसरे अवयवों का समुच्चय \(C=\{3,4,5\}\) है। कार्तीय गुणनफल से मूल समुच्चय पहचानते समय स्थान देखें। / The set of second components is \(C=\{3,4,5\}\). When identifying original sets, observe the positions.
क्योंकि (B) रिक्त नहीं है और \(A\times B=\varnothing\), इसलिए \(A=\varnothing\)। रिक्त गुणनफल में कम से कम एक समुच्चय रिक्त होता है। / Since (B) is non-empty and \(A\times B=\varnothing\), we must have \(A=\varnothing\). An empty product means at least one set is empty.
((4,5)) में पहला अवयव (4) है, जो (A) में नहीं है। सदस्यता में पहला और दूसरा स्थान अलग-अलग जाँचें। / In ((4,5)), the first component (4) is not in (A). Check the first and second positions separately.
उदाहरण के लिए \((1,4)\in A\times B\), पर \((1,4)\notin B\times A\) है। इसलिए बराबरी गलत है। / For example, \((1,4)\in A\times B\), but \((1,4)\notin B\times A\). Therefore the equality is false.
किसी भी दो सीमित समुच्चयों के लिए \(|A\times B|=|A|\cdot|B|\) होता है। यहाँ \(|A|=3\) और \(|A\times B|=15\), इसलिए \(3\cdot|B|=15\), जिससे \(|B|=15\div3=5\)। विकल्प 4 केवल \(15\) को गलत तरीके से घटाने या अनुमान लगाने से मिल सकता है। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल की कार्डिनैलिटी में दोनों समुच्चयों की कार्डिनैलिटी का गुणन किया जाता है। / For two finite sets, \(|A\times B|=|A|\cdot|B|\). Here, \(|A|=3\) and \(|A\times B|=15\), so \(3\cdot|B|=15\), giving \(|B|=15\div3=5\). The value 4 results from an incorrect operation or guess. Exam tip: remember that the cardinality of a Cartesian product is the product of the cardinalities of the two sets.
\(|A\times B|=12\), इसलिए गैर-रिक्त उपसमुच्चय \(2^{12}-1=4095\) हैं। रिक्त समुच्चय घटाना न भूलें। / \(|A\times B|=12\), so non-empty subsets are \(2^{12}-1=4095\). Do not forget to subtract the empty set.
शर्त से ((1,3),(2,2),(3,1)) मिलते हैं, इसलिए (3) अवयव हैं। संबंध \(A\times B\) का चुना हुआ भाग होता है। / The condition gives ((1,3),(2,2),(3,1)), so there are (3) elements. A relation is a selected part of \(A\times B\).
(B) के सभी अवयव विषम हैं, इसलिए योग विषम तभी होगा जब (a) सम हो। (a) के (2) सम मान और (B) के (3) मान हैं, कुल (6)। / All elements of (B) are odd, so the sum is odd only when (a) is even. There are (2) even values of (a) and (3) values in (B), totaling (6).
प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \(b=10-a\) होना चाहिए। जाँचने पर \(a=1\) के लिए \(b=9\) (जो \(B\) में नहीं है), \(a=2\) के लिए \(b=8\), \(a=3\) के लिए \(b=7\) (जो \(B\) में नहीं है), और \(a=4\) के लिए \(b=6\) मिलता है। अतः युग्म \((2,8)\) और \((4,6)\) हैं, इसलिए कुल \(2\) युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: क्रमित युग्म में \(a\) और \(b\) की भूमिकाएँ अलग होती हैं, इसलिए दोनों अवयवों का अपने-अपने समुच्चय में होना जाँचें। / For each \(a\in A\), we must have \(b=10-a\). The possibilities are \(b=9\) for \(a=1\) (not in \(B\)), \(b=8\) for \(a=2\), \(b=7\) for \(a=3\) (not in \(B\)), and \(b=6\) for \(a=4\). Thus, the valid ordered pairs are \((2,8)\) and \((4,6)\), giving a total of \(2\) pairs. Exam tip: because these are ordered pairs, verify that the first component belongs to \(A\) and the second belongs to \(B\).
योग (6) वाले युग्मों में (a<b) के लिए ((1,5)) और ((2,4)) ही मिलते हैं। संयुक्त शर्तों को एक-एक करके लगाएँ। / Among pairs with sum (6), only ((1,5)) and ((2,4)) have (a<b). Apply combined conditions one by one.
(a=1,2,3) के लिए (b) के (3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (6)। \(\le\) में बराबरी भी शामिल होती है। / For (a=1,2,3), the counts of (b) are (3,2,1), totaling (6). The symbol \(\le\) includes equality.
(a=2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,2) मान मिलते हैं, कुल (9)। हर (a) के गुणज (B) में गिनें। / For (a=2,3,4), the counts of (b) are (4,3,2), totaling (9). Count multiples of each (a) inside (B).
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के (6,4,2,2) मान मिलते हैं, कुल (14)। गुणन शर्त में प्रत्येक (a) पर सीमा अलग होती है। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (6,4,2,2), totaling (14). In product conditions, the limit changes for each (a).
\(|A\times B|=3\cdot2=6\) और फिर \(6\cdot2=12\)। नेस्टेड गुणनफल में भी कार्डिनलिटी गुणा होती है। / \(|A\times B|=3\cdot2=6\), and then \(6\cdot2=12\). Cardinality still multiplies in nested products.
कुल (16) युग्म हैं और विकर्ण युग्म (4) हैं, इसलिए (16-4=12)। विकर्ण हटाने पर \(a\ne b\) वाले युग्म बचते हैं। / There are (16) total pairs and (4) diagonal pairs, so (16-4=12). Removing the diagonal leaves pairs with \(a\ne b\).
a + b, 2 से तभी विभाज्य होगा जब a और b दोनों सम हों या दोनों विषम हों। सम संख्याएँ: A में 2 और B में 2, इसलिए 2 × 2 = 4 युग्म। विषम संख्याएँ: A में 3 और B में 2, इसलिए 3 × 2 = 6 युग्म। अतः कुल युग्म 4 + 6 = 10 हैं। ध्यान रखें कि क्रमित युग्मों में (a, b) और (b, a) सामान्यतः अलग माने जाते हैं। / a + b is divisible by 2 precisely when a and b have the same parity. The even elements are 2 in A and 2 in B, giving 2 × 2 = 4 pairs. The odd elements are 3 in A and 2 in B, giving 3 × 2 = 6 pairs. Therefore, the total number of pairs is 4 + 6 = 10. Exam tip: count even-even and odd-odd pairs separately for divisibility by 2.
(a=1) पर (b=3,4) और (a=2) पर (b=4) मिलता है, कुल (3)। शर्त को प्रत्येक पहले अवयव पर लगाएँ। / For (a=1), (b=3,4); for (a=2), (b=4), giving total (3). Apply the condition to each first component.
\(A\times B\) में पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से आता है। क्रमित युग्म में स्थान बदलना गलती कराता है। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). Changing positions is a common mistake.
मान लें कि \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\)। यदि \(A=\{x\in\mathbb{N}:3\le x\le 8\}\) और \(B=\{y\in\mathbb{N}:y\le 4\}\) हैं, तो \(|A\times B|\) का मान क्या है?
समुच्चय \(A\) में \(3,4,5,6,7,8\) हैं, इसलिए \(|A|=6\)। \(\mathbb{N}\) को धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय मानने पर \(B=\{1,2,3,4\}\), अतः \(|B|=4\)। कार्तीय गुणनफल के लिए \(|A\times B|=|A|\times|B|=6\times4=24\)। इसलिए सही उत्तर 24 है। परीक्षा में पहले दोनों समुच्चयों की cardinality गिनकर गुणा करें। / Set \(A\) contains \(3,4,5,6,7,8\), so \(|A|=6\). Since \(\mathbb{N}\) is specified as the set of positive integers, \(B=\{1,2,3,4\}\), giving \(|B|=4\). For Cartesian products, \(|A\times B|=|A|\times|B|=6\times4=24\). Hence, the correct answer is 24. Exam tip: count the elements of both sets first, then multiply their cardinalities.
तीन समुच्चयों में कार्डिनलिटी \(2\cdot3\cdot2=12\) होती है। क्रमित त्रिक में सभी आकार गुणा करें। / The cardinality for three sets is \(2\cdot3\cdot2=12\). For ordered triples, multiply all sizes.
कार्तीय गुणनफल में पहले समुच्चय के प्रत्येक अवयव को दूसरे समुच्चय के प्रत्येक अवयव के साथ जोड़ा जाता है। इसलिए \(|B\times A|=|B|\times|A|=4\times2=8\)। विकल्प 16 लेने पर प्रायः \(4\times4\) जैसी गलत गणना होती है, जबकि दूसरे समुच्चय में केवल 2 अवयव हैं। परीक्षा-युक्ति: \(|X\times Y|=|X||Y|\) सूत्र याद रखें; क्रम बदलने पर युग्म बदल सकते हैं, पर उनकी संख्या समान रहती है। / In a Cartesian product, each element of the first set is paired with every element of the second set. Hence, \(|B\times A|=|B|\times|A|=4\times2=8\). Choosing 16 usually results from incorrectly using \(4\times4\), even though the second set has only 2 elements. Exam tip: use \(|X\times Y|=|X||Y|\); reversing the order may change the pairs, but not their total number.
शर्त \(a+b=9\) से \(b=9-a\) प्राप्त होता है। \(a=1,2,3,4,5\) के लिए क्रमशः \(b=8,7,6,5,4\) मिलते हैं। इनमें केवल \((3,6)\) और \((5,4)\) में पहला अवयव \(A\) तथा दूसरा अवयव \(B\) का सदस्य है। इसलिए ऐसे क्रमित युग्मों की संख्या 2 है। परीक्षा-युक्ति: हर \(a\) के लिए \(b=9-a\) निकालकर जाँचें कि \(b\in B\) है या नहीं। / From \(a+b=9\), we get \(b=9-a\). For \(a=1,2,3,4,5\), the corresponding values of \(b\) are \(8,7,6,5,4\), respectively. Only \((3,6)\) and \((5,4)\) have the first component in \(A\) and the second component in \(B\). Hence, the number of required ordered pairs is 2. Exam tip: For each \(a\in A\), calculate \(b=9-a\) and check whether \(b\in B\).
(a=0,1,2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (4,4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (14)। असमानता में पंक्ति अनुसार गिनें। / For (a=0,1,2,3,4), the counts of (b) are (4,4,3,2,1), totaling (14). Count row-wise in inequality questions.
(b=1,2,3) के लिए (a) के क्रमशः (4,2,0) मान मिलते हैं, कुल (6)। सीमा हर (b) पर बदलती है। / For (b=1,2,3), the counts of (a) are (4,2,0), totaling (6). The boundary changes for each (b).
हर \(a\in A\) के लिए \(a^2\in B\) है, इसलिए (5) युग्म बनते हैं। नियम आधारित संबंध में हर पहले अवयव को जाँचें। / For every \(a\in A\), \(a^2\in B\), so (5) pairs are formed. Check each first component in a rule-based relation.
(a=2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (3,3,1) मान मिलते हैं, कुल (7)। विभाज्यता में प्रत्येक भाजक अलग जाँचें। / For (a=2,3,4), the counts of (b) are (3,3,1), totaling (7). Check each divisor separately.
अनुकूल युग्म ((2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(8,2)) हैं, इसलिए संख्या (5) है। \(\gcd\) में साझा गुणनखंड सावधानी से देखें। / The suitable pairs are ((2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(8,2)), so the count is (5). Check common factors carefully in \(\gcd\) questions.
\(|A\times B|=20\), इसलिए ठीक (2) युग्म चुनने के तरीके \(\binom{20}{2}=190\) हैं। ठीक संख्या पूछी हो तो संयोजन लगाएँ। / Since \(|A\times B|=20\), the number of ways to choose exactly (2) pairs is \(\binom{20}{2}=190\). Use combinations for exact-size subsets.
संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय है और \(|A\times B|=15\), इसलिए संख्या \(2^{15}=32768\) है। संबंधों की संख्या के लिए (2) की घात लगती है। / A relation is a subset of \(A\times B\), and \(|A\times B|=15\), so the number is \(2^{15}=32768\). Number of relations uses a power of (2).
पहले संघ ज्ञात करें: \(B\cup C=\{2,4,6,8\}\), जिसमें 4 अवयव हैं। \(A\) में भी 4 अवयव हैं। कार्तीय गुणनफल के लिए \(|A\times D|=|A|\cdot|D|\) होता है, इसलिए \(|A\times(B\cup C)|=4\times4=16\)। परीक्षा में पहले संघ या प्रतिच्छेद में दोहराए गए अवयवों को केवल एक बार गिनना याद रखें। / First find the union: \(B\cup C=\{2,4,6,8\}\), which has 4 elements. Set \(A\) also has 4 elements. For a Cartesian product, \(|A\times D|=|A|\cdot|D|\), so \(|A\times(B\cup C)|=4\times4=16\). As an exam tip, count repeated elements in a union only once before multiplying cardinalities.
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(B\cap C=\{2,4\}\), इसलिए \(|B\cap C|=2\)। कार्तीय गुणनफल के लिए \(|A\times(B\cap C)|=|A|\cdot|B\cap C|=3\cdot2=6\)। अतः सही उत्तर 6 है। विकल्प 9 लेने पर प्रतिच्छेद में तीन अवयव मान लिए जाते हैं, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(|X\times Y|=|X||Y|\) का प्रयोग करने से पहले प्रतिच्छेद या संघ के अवयवों की संख्या निकालें। / First find the intersection: \(B\cap C=\{2,4\}\), so \(|B\cap C|=2\). For a Cartesian product, \(|A\times(B\cap C)|=|A|\cdot|B\cap C|=3\cdot2=6\). Therefore, the correct answer is 6. Choosing 9 incorrectly treats the intersection as having three elements. Exam tip: determine the cardinality of the resulting set before applying \(|X\times Y|=|X||Y|\).
(B-C={2,4}), इसलिए \(A\times(B-C)\) में (6) युग्म हैं। अंतर में केवल (B) के बचे अवयव लें। / (B-C={2,4}), so \(A\times(B-C)\) has (6) pairs. In set difference, keep only elements remaining from (B).
(\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)) और \(B\cap C={3}\)। इसलिए कार्डिनलिटी \(3\cdot1=3\) है। / (\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)), and \(B\cap C={3}\). Hence the cardinality is \(3\cdot1=3\).
(\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)) और \(B\cup C={2,3,4,5}\)। इसलिए \(2\cdot4=8\) अवयव हैं। / (\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)), and \(B\cup C={2,3,4,5}\). Thus there are \(2\cdot4=8\) elements.
युग्म ((1,4),(2,5),(4,1),(5,2)) हैं, कुल (4)। उलटे क्रमित युग्म अलग गिने जाते हैं। / The pairs are ((1,4),(2,5),(4,1),(5,2)), totaling (4). Reversed ordered pairs are counted separately.
योग \(a+b\) तभी सम होगा जब \(a\) और \(b\) दोनों सम हों या दोनों विषम हों। सम संख्याएँ: \(A\) में 3 और \(B\) में 2, इसलिए ऐसे युग्म \(3\times2=6\) हैं। विषम संख्याएँ: \(A\) में 2 और \(B\) में 2, इसलिए \(2\times2=4\) युग्म हैं। कुल \(6+4=10\), अतः सही उत्तर B है। विकल्प 12 में सामान्यतः किसी एक समता-वर्ग की गिनती गलत जुड़ जाती है। परीक्षा-टिप: सम योग के लिए ‘सम-सम’ और ‘विषम-विषम’ मामलों को अलग-अलग गिनें। / The sum \(a+b\) is even exactly when both \(a\) and \(b\) are even or both are odd. Set \(A\) has 3 even and 2 odd elements, while set \(B\) has 2 even and 2 odd elements. Thus, the number of even-even pairs is \(3\times2=6\), and the number of odd-odd pairs is \(2\times2=4\). Therefore, the total is \(6+4=10\), so option B is correct. The distractor 12 usually results from miscounting one parity group. Exam tip: for an even sum, count the even-even and odd-odd cases separately.
(a=1,2,3,4,5,6) के लिए (b) के (4,4,4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (18)। \(\le\) में बराबरी भी गिनें। / For (a=1,2,3,4,5,6), the counts of (b) are (4,4,4,3,2,1), totaling (18). Include equality in \(\le\).
गुणनफल विषम तभी होगा जब दोनों अवयव विषम हों। (A) में (3) और (B) में (2) विषम अवयव हैं, इसलिए \(3\cdot2=6\)। / The product is odd only when both components are odd. (A) has (3) odd elements and (B) has (2), so \(3\cdot2=6\).
प्रत्येक a ∈ A के लिए b = 3a जाँचते हैं। a = 1, 2, 3, 4 के लिए क्रमशः b = 3, 6, 9, 12 प्राप्त होते हैं, और ये सभी B में हैं। a = 5 के लिए b = 15 मिलता है, जो B में नहीं है। इसलिए युग्म हैं (1, 3), (2, 6), (3, 9) और (4, 12), अर्थात कुल 4 युग्म। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में केवल वे a मान गिनें जिनके लिए 3a, B का सदस्य हो। / For each a ∈ A, evaluate b = 3a. For a = 1, 2, 3, and 4, the corresponding values of b are 3, 6, 9, and 12, all of which belong to B. For a = 5, b = 15, which is not in B. Thus the valid ordered pairs are (1, 3), (2, 6), (3, 9), and (4, 12), giving a total of 4 pairs. Exam tip: Count only those values of a for which 3a is an element of B.
समीकरण \(a-2b=1\) से \(a=2b+1\) प्राप्त होता है। \(b\) के मान \(0,1,2,3\) रखने पर क्रमशः \(a=1,3,5,7\) मिलते हैं, और ये सभी \(A\) में हैं। इसलिए युग्म \((1,0),(3,1),(5,2),(7,3)\) हैं तथा कुल 4 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले छोटे समुच्चय के प्रत्येक मान को समीकरण में रखकर जाँच करें कि प्राप्त मान दूसरे समुच्चय में है या नहीं। / From \(a-2b=1\), we get \(a=2b+1\). Substituting \(b=0,1,2,3\) gives \(a=1,3,5,7\), respectively, and all these values belong to \(A\). Thus the valid ordered pairs are \((1,0),(3,1),(5,2),(7,3)\), giving a total of 4 pairs. Exam tip: test every value of one set in the equation and retain only those for which the resulting value belongs to the other set.
दो संख्याओं का अंतर तभी सम होता है जब दोनों की समता समान हो, अर्थात दोनों सम या दोनों विषम हों। सम संख्याओं से बनने वाले युग्मों की संख्या \(2\times2=4\) है, क्योंकि \(A\) में 2 सम और \(B\) में 2 सम संख्याएँ हैं। विषम संख्याओं से बनने वाले युग्मों की संख्या \(2\times3=6\) है। अतः कुल युग्म \(4+6=10\) हैं। परीक्षा-युक्ति: सम अंतर के लिए समान समता वाले पदों की गिनती करके गुणा करें। / The difference of two integers is even exactly when both integers have the same parity—both even or both odd. Set \(A\) has 2 even and 2 odd numbers, while set \(B\) has 2 even and 3 odd numbers. Therefore, the number of valid ordered pairs is \(2\times2+2\times3=4+6=10\). The pairs are ordered, so the first element is selected from \(A\) and the second from \(B\). Exam tip: for an even difference, count pairs with matching parity.
कुल (36) युग्म हैं और बराबर युग्म (6) हैं, इसलिए (36-6=30)। पूरक गिनती तेज तरीका है। / There are (36) total pairs and (6) equal pairs, so (36-6=30). Complement counting is a quick method.
हर \(a\in A\) का \(a^2\) (B) में है, इसलिए (7) युग्म बनते हैं। ऋणात्मक संख्याओं के वर्ग को ध्यान से देखें। / For every \(a\in A\), \(a^2\) is in (B), so (7) pairs are formed. Watch squares of negative numbers carefully.
सभी योग जाँचने पर अभाज्य योग वाले (10) युग्म मिलते हैं। ऐसे प्रश्नों में संभावित योगों को व्यवस्थित रूप से जाँचें। / Checking all sums gives (10) pairs with prime sum. In such questions, test possible sums systematically.
शर्त (b=4a) है, इसलिए ((1,4),(2,8),(4,16)) मिलते हैं। भिन्न को सरल समीकरण में बदलें। / The condition is (b=4a), so the pairs are ((1,4),(2,8),(4,16)). Convert the fraction into a simple equation.
संतुष्ट युग्म ((4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,5)) नहीं गिने जाते दो बार; सही युग्म ((4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,4)) नहीं बल्कि कुल (4) हैं। / The satisfying pairs are ((4,4),(4,5),(5,4),(5,5)), so the total is (4). Count each ordered pair once.
योग (5) से विभाज्य होने वाले युग्म ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) हैं। शेषफल के आधार पर गिनना आसान होता है। / The pairs with sum divisible by (5) are ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)). Counting by remainders is easier.
(a=1,2,3,4,5) के लिए (b) के (6,3,2,1,1) मान हैं, कुल (13)। हर (a) के गुणज (B) में गिनें। / For (a=1,2,3,4,5), the counts of (b) are (6,3,2,1,1), totaling (13). Count multiples of each (a) inside (B).
दूसरे अवयवों का समुच्चय \(C=\{1,3,5\}\) है। मूल समुच्चय पहचानते समय युग्म का स्थान देखें। / The set of second components is \(C=\{1,3,5\}\). Observe the position in each pair to identify the original set.
क्योंकि (A) रिक्त नहीं है और \(A\times B=\varnothing\), इसलिए \(B=\varnothing\)। रिक्त गुणनफल में कम से कम एक समुच्चय रिक्त होता है। / Since (A) is non-empty and \(A\times B=\varnothing\), we must have \(B=\varnothing\). An empty product means at least one set is empty.
((5,6)) में पहला अवयव (5) है, जो (A) में नहीं है। सदस्यता में दोनों स्थान अलग-अलग जाँचें। / In ((5,6)), the first component (5) is not in (A). Check both positions separately for membership.
समुच्चय में क्रम महत्व नहीं रखता, इसलिए (A=B) है और दोनों गुणनफल समान हैं। पहले देखें कि दोनों समुच्चय वास्तव में समान हैं या नहीं। / Order inside a set does not matter, so (A=B), and both products are equal. First check whether the two sets are actually the same.
यहाँ \(|A|=4\) है। कार्तीय गुणनफल के लिए \(|A\times B|=|A|\cdot|B|\), इसलिए \(28=4\cdot|B|\) और \(|B|=28/4=7\)। अतः सही उत्तर 7 है। परीक्षा में याद रखें कि दो सीमित समुच्चयों के कार्तीय गुणनफल में अवयवों की संख्या उनके कार्डिनलिटी के गुणनफल के बराबर होती है। / Here, \(|A|=4\). For the Cartesian product, \(|A\times B|=|A|\cdot|B|\). Thus, \(28=4\cdot|B|\), giving \(|B|=28/4=7\). Therefore, the correct answer is 7. Exam tip: the number of ordered pairs in a Cartesian product equals the product of the cardinalities of the two sets.
\(|A\times B|=12\), इसलिए गैर-रिक्त उपसमुच्चय \(2^{12}-1=4095\) हैं। रिक्त समुच्चय घटाना न भूलें। / \(|A\times B|=12\), so non-empty subsets are \(2^{12}-1=4095\). Do not forget to subtract the empty set.
शर्त से ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) मिलते हैं, इसलिए (4) अवयव हैं। संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। / The condition gives ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)), so there are (4) elements. A relation is a subset of \(A\times B\).
सम संख्या और विषम संख्या का योग हमेशा विषम होता है। समता वाले प्रश्न में सभी युग्म लिखना जरूरी नहीं है। / The sum of an even number and an odd number is always odd. In parity questions, listing all pairs is not necessary.
(\gcd(a,b)=1) वाले युग्म गिनने पर (19) मिलते हैं। (1) हर संख्या के साथ परस्पर अभाज्य होता है। / Counting pairs with (\gcd(a,b)=1) gives (19). The number (1) is coprime with every number.
(a=0,1,2,3) के लिए (b) के (5,4,3,2) मान मिलते हैं, कुल (14)। कठोर असमानता में सीमा बराबर नहीं गिनी जाती। / For (a=0,1,2,3), the counts of (b) are (5,4,3,2), totaling (14). In a strict inequality, the boundary is not included.
शर्त \(a+b=11\) से \(b=11-a\) प्राप्त होता है। \(a\in A\) के लिए जाँच करने पर मान्य युग्म \((1,10),(3,8),(5,6)\) मिलते हैं; इन सभी में दूसरा अवयव \(B\) में है। इसलिए कुल 3 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: योग विषम होने पर, यहाँ \(B\) के सभी अवयव सम होने के कारण \(a\) विषम होना चाहिए—इससे केवल \(1,3,5\) जाँचने पड़ते हैं। / From \(a+b=11\), we get \(b=11-a\). Checking the elements of \(A\), the valid ordered pairs are \((1,10),(3,8),(5,6)\), and each second component belongs to \(B\). Thus, there are 3 pairs. Exam tip: Since 11 is odd and every element of \(B\) is even, \(a\) must be odd; therefore, only \(1,3,5\) need to be checked.
योग (7) और (a<b) के लिए ((1,6),(2,5),(3,4)) मिलते हैं। संयुक्त शर्तों को क्रम से लगाएँ। / For sum (7) and (a<b), the pairs are ((1,6),(2,5),(3,4)). Apply combined conditions step by step.
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के (4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (10)। \(\le\) में बराबरी शामिल होती है। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (4,3,2,1), totaling (10). The symbol \(\le\) includes equality.
(a=2,3,5) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,2) मान मिलते हैं, कुल (9)। हर (a) के गुणज (B) में गिनें। / For (a=2,3,5), the counts of (b) are (4,3,2), totaling (9). Count multiples of each (a) in (B).
(a=1,2,3,4,5) के लिए (b) के (6,5,3,2,2) मान मिलते हैं, कुल (18)। गुणन शर्त में सीमा बदलती है। / For (a=1,2,3,4,5), the counts of (b) are (6,5,3,2,2), totaling (18). In product conditions, the boundary changes.
\(|A\times B|=2\cdot3=6\) और फिर \(6\cdot3=18\)। नेस्टेड गुणनफल में भी कार्डिनलिटी गुणा होती है। / \(|A\times B|=2\cdot3=6\), and then \(6\cdot3=18\). Cardinality also multiplies in nested products.
कुल (25) युग्म हैं और विकर्ण युग्म (5) हैं, इसलिए (25-5=20)। विकर्ण हटाने पर \(a\ne b\) वाले युग्म बचते हैं। / There are (25) total pairs and (5) diagonal pairs, so (25-5=20). Removing the diagonal leaves pairs with \(a\ne b\).
दो संख्याओं का योग 2 से तभी विभाज्य होता है जब दोनों की समता समान हो—अर्थात दोनों सम या दोनों विषम हों। सम संख्याएँ: \(A\) में 3 और \(B\) में 2, इसलिए \(3\times2=6\) युग्म। विषम संख्याएँ भी दोनों समुच्चयों में क्रमशः 3 और 2 हैं, इसलिए \(3\times2=6\) युग्म। कुल \(6+6=12\), अतः सही विकल्प B है। विषम-सम या सम-विषम युग्मों का योग विषम होगा। परीक्षा-युक्ति: विभाज्यता के ऐसे प्रश्नों में पहले सम और विषम अवयवों की संख्या अलग-अलग गिनें। / The sum of two integers is divisible by 2 exactly when both integers have the same parity—both even or both odd. There are 3 even elements in \(A\) and 2 in \(B\), giving \(3\times2=6\) pairs. Similarly, there are 3 odd elements in \(A\) and 2 in \(B\), giving another \(3\times2=6\) pairs. Thus, the total is \(6+6=12\), so option B is correct. Mixed-parity pairs have an odd sum and must not be counted. Exam tip: For parity-based counting, first separate the elements of each set into even and odd groups.
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (3,2,1,0) मान मिलते हैं, कुल (6)। शर्त को हर पहले अवयव पर लगाएँ। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (3,2,1,0), totaling (6). Apply the condition to each first component.
