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दो फलनों का योग बिंदुवार परिभाषित होता है: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \((f+g)(x)=(x^2-1)+(2x+3)=x^2+2x+2\)। विकल्प B में अचर पदों \(-1\) और \(3\) का योग गलत लेकर \(4\) प्राप्त किया गया है, जबकि विकल्प C \(f-g\) से संबंधित है और विकल्प D \(g(f(x))\) का परिणाम है। परीक्षा-युक्ति: फलनों के योग, अंतर और संयोजन को अलग-अलग पहचानकर ही व्यंजक बनाइए। / The sum of two functions is defined pointwise: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \((f+g)(x)=(x^2-1)+(2x+3)=x^2+2x+2\). In option B, the constant terms \(-1\) and \(3\) have been combined incorrectly to obtain \(4\); option C corresponds to \(f-g\), while option D is the result of \(g(f(x))\). Exam tip: distinguish carefully between function addition, subtraction, and composition.
फलनों के अंतर की परिभाषा के अनुसार, ((g-f)(x)=g(x)-f(x))। अतः ((g-f)(x)=x-2+4-(3x-5)=x-2+4-3x+5=x-2-3x+9), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में (-5) को सही ढंग से (+5) नहीं बनाया गया है। परीक्षा में कोष्ठक से पहले ऋण चिह्न लगाकर पूरे दूसरे फलन के प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / By definition, ((g-f)(x)=g(x)-f(x)). Therefore, ((g-f)(x)=x-2+4-(3x-5)=x-2+4-3x+5=x-2-3x+9), so option A is correct. In option C, the constant term is incorrectly treated as (-5) instead of (+5) after subtracting the whole function. Exam tip: when subtracting a function, distribute the negative sign to every term inside the parentheses.
फलनों के गुणनफल के लिए (fg)(x)=f(x)g(x) होता है। इसलिए (fg)(x)=(x+2)(x-3)=x-2-3x+2x-6=x-2-x-6। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में मध्य पद का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: (fg)(x) को f∘g(x) से भ्रमित न करें; गुणनफल में दोनों फलनों के मानों का गुणा किया जाता है। / For the product of two functions, (fg)(x)=f(x)g(x). Thus, (fg)(x)=(x+2)(x-3)=x-2-3x+2x-6=x-2-x-6, so option A is correct. In option B, the sign of the middle term is incorrect. Exam tip: Do not confuse (fg)(x), which denotes multiplication here, with composition f∘g(x).
\(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\) पर \(x\ne 2\)। सरल करने के बाद भी मूल हर का प्रतिबंध न भूलें। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\) but \(x\ne 2\). Even after simplifying do not forget the original denominator restriction.
दोनों हर शून्य नहीं हो सकते इसलिए \(x\ne 1\) और \(x\ne -1\)। जोड़ में सामान्य प्रांत दोनों प्रांतों का प्रतिच्छेद होता है। / Both denominators cannot be zero so \(x\ne 1\) and \(x\ne -1\). For addition the common domain is the intersection of both domains.
वर्गमूल के लिए \(x-2\ge 0\) और \(5-x\ge 0\) चाहिए इसलिए \(2\le x\le 5\)। ऐसे प्रश्नों में दोनों शर्तें साथ लगाएँ। / For square roots we need \(x-2\ge 0\) and \(5-x\ge 0\) so \(2\le x\le 5\). In such questions apply both conditions together.
संयोजित फलन \(f\circ g\)(x) का अर्थ f(g(x)) है। इसलिए f(g(x))=(x-4)2+1=x-2-8x+16+1=x-2-8x+17 । विकल्प B में -4 का वर्ग करने पर बीच का पद गलत धनात्मक लिया गया है, जबकि विकल्प D में स्थिर पद में +1 नहीं जोड़ा गया। परीक्षा-युक्ति: f\circ g में पहले अंदर वाले फलन g को लागू करें। / The composite function \(f\circ g\)(x) means f(g(x)) . Hence, f(g(x))=(x-4)2+1=x-2-8x+16+1=x-2-8x+17 . In option B, the middle term has the wrong sign, while option D omits the added 1 from f(x) . Exam tip: in f\circ g , apply the inner function g first.
संयोजित फलन (\(g\circ f\)(x)=g(f(x))) होता है। इसलिए (g(f(x))=g(2x+1)=(2x+1)2=4x-2+4x+1)। विकल्प C में मध्य पद (4x) छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: \(g\circ f\) में पहले (f) और उसके बाद (g) लगाया जाता है। / The composition (\(g\circ f\)(x)=g(f(x))). Hence, (g(f(x))=g(2x+1)=(2x+1)2=4x-2+4x+1). Option C incorrectly omits the middle term (4x). Exam tip: In \(g\circ f\), apply (f) first and then apply (g).
गुणन से ((fg)(x)=1) मिलता है लेकिन मूल हरों से \(x\ne 1,-1\)। सरलीकरण प्रतिबंधों को मिटाता नहीं है। / Multiplication gives ((fg)(x)=1) but original denominators require \(x\ne 1,-1\). Simplification does not remove restrictions.
यदि \(x\ge 0\) तो (|x|-x=0) और यदि (x<0) तो (|x|-x=-x-x=-2x)। मापांक में चिन्ह के अनुसार केस बनाएं। / If \(x\ge 0\) then (|x|-x=0) and if (x<0) then (|x|-x=-x-x=-2x). For modulus use cases according to sign.
A. दोनों \(x^2\) के बराबर हैं/Both are equal to \(x^2\)
Explanation
Simple Explanation
(\(f\circ g\)(x)=|x|2=x-2) और (\(g\circ f\)(x)=|x-2|=x-2)। कभी-कभी संयोजन क्रम बदलने पर भी परिणाम समान हो सकता है। / (\(f\circ g\)(x)=|x|2=x-2) and (\(g\circ f\)(x)=|x-2|=x-2). Sometimes changing composition order still gives the same result.
((f+g)(2)=3+4=7) और (h(2)=4), इसलिए (((f+g)h)(2)=28)। पहले फलनों का मान निकालना तेज तरीका है। / ((f+g)(2)=3+4=7) and (h(2)=4), so (((f+g)h)(2)=28). First evaluating the functions is a faster method.
\(\frac{f}{g}\) में हर \(g(-3)=0\) है इसलिए मान अपरिभाषित है। \(\frac{x^2-9}{x+3}\) को सरल करने से पहले प्रतिबंध देखें। / In \(\frac{f}{g}\) the denominator is \(g(-3)=0\) so the value is undefined. Check restrictions before simplifying \(\frac{x^2-9}{x+3}\).
वर्गमूल से \(x\ge -4\) और हर से \(x\ne 1\)। गुणन का प्रांत दोनों प्रांतों का प्रतिच्छेद होता है। / The square root gives \(x\ge -4\) and the denominator gives \(x\ne 1\). The domain of a product is the intersection of both domains.
दो फलनों के योग के लिए \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। अतः \((f+g)(-2)=(-2)^3+3(-2)=-8-6=-14\)। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या का विषम घात लेने पर चिन्ह ऋणात्मक ही रहता है, इस बात का विशेष ध्यान रखें। / For the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Therefore, \((f+g)(-2)=(-2)^3+3(-2)=-8-6=-14\), so option A is correct. As an exam tip, remember that an odd power preserves the negative sign of a negative number.
((f+g)(x)=2x-1+5-x=x+4), इसलिए यह रेखीय फलन है। पदों को सरल करके प्रकार पहचानें। / ((f+g)(x)=2x-1+5-x=x+4), so it is a linear function. Simplify the terms before identifying the type.
दो फलनों का अंतर ((f-g)(x)=f(x)-g(x)) होता है। इसलिए ((f-g)(x)=\(x^2+2x\)-\(x^2-2x\)=x-2+2x-x-2+2x=4x)। विकल्प B में \(x^2\) पदों का सही निरसन नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऋण चिह्न वाले पूरे कोष्ठक को हटाते समय उसके अंदर के सभी पदों के चिह्न बदल दें। / The difference of two functions is defined by ((f-g)(x)=f(x)-g(x)). Hence, ((f-g)(x)=\(x^2+2x\)-\(x^2-2x\)=x-2+2x-x-2+2x=4x). Option B is incorrect because the \(x^2\) terms cancel rather than combine. Exam tip: when subtracting a bracket, change the signs of every term inside it.
((f-g)(x)=\frac{2x+1}{3}-\frac{x-4}{2}=\frac{4x+2-3x+12}{6}=\frac{x+14}{6})। भिन्नों में लघुत्तम समापवर्त्य लें। / ((f-g)(x)=\frac{2x+1}{3}-\frac{x-4}{2}=\frac{4x+2-3x+12}{6}=\frac{x+14}{6}). Use the least common denominator for fractions.
(\(f\circ g\)(x)=f\(x^2\)=\frac{1}{x-2}) इसलिए \(x\ne 0\)। संयोजन में बाहरी फलन का प्रांत भी जाँचें। / (\(f\circ g\)(x)=f\(x^2\)=\frac{1}{x-2}) so \(x\ne 0\). In composition also check the domain of the outer function.
(\(f\circ g\)(x)=(x+1)2) और (\(g\circ f\)(x)=x-2+1), अंतर (2x) नहीं बल्कि (2x)? / The correct calculation is ((x+1)2-\(x^2+1\)=2x), so option (B) is correct. Always expand both compositions before subtracting.
\((f\circ g)(x)=2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x\)। यह दिखाता है कि दोनों फलन परस्पर प्रतिलोम जैसे काम कर रहे हैं। / \((f\circ g)(x)=2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x\). This shows the two functions behave like inverses of each other.
(\(f\circ g\)(x)=\frac{3(5x+2)-2}{5}=\frac{15x+4}{5}=3x+\frac{4}{5})। अंदर के पूरे (g(x)) को (x) की जगह रखें। / (\(f\circ g\)(x)=\frac{3(5x+2)-2}{5}=\frac{15x+4}{5}=3x+\frac{4}{5}). Substitute the whole (g(x)) in place of (x).
(g − f)(x) = (x² + 1) − (x² − 1) = 2। इसका मान x के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए 2 रहता है, इसलिए यह स्थिर फलन है। x² पद दोनों फलनों में समान होने के कारण घटाने पर कट जाते हैं; अतः इसे द्विघात फलन नहीं माना जाएगा। परीक्षा में फलनों का अंतर निकालते समय पूरे दूसरे फलन के आगे लगे ऋण चिह्न का ध्यान रखें। / (g − f)(x) = (x² + 1) − (x² − 1) = 2. Its value remains 2 for every real value of x, so it is a constant function. The x² terms cancel because they are identical in both functions; therefore, the result is not quadratic. In exams, take care to change the signs of every term when subtracting the second function.
\(\frac{x^2+3x+2}{x+1}=\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=x+2\), पर \(x\ne -1\)। हर के शून्य मान को हटाना जरूरी है। / \(\frac{x^2+3x+2}{x+1}=\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=x+2\), but \(x\ne -1\). It is necessary to exclude the zero of the denominator.
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x+1\ge 0\) और \(x-3\ge 0\), इसलिए \(x\ge 3\)। घटाव में भी दोनों फलन परिभाषित होने चाहिए। / For both square roots \(x+1\ge 0\) and \(x-3\ge 0\), hence \(x\ge 3\). Even in subtraction both functions must be defined.
फलनों का योग बिंदुवार परिभाषित होता है: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। अतः \((f+g)(x)=(x^2-2x)+(2x-x^2)=x^2-x^2-2x+2x=0\)। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B में पदों के चिह्नों का सही ध्यान नहीं रखा गया है। परीक्षा-युक्ति: समान घात वाले पदों को उनके चिह्न सहित मिलाकर सरल करें। / The sum of two functions is defined pointwise: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Therefore, \((f+g)(x)=(x^2-2x)+(2x-x^2)=x^2-x^2-2x+2x=0\). Hence, option A is correct. Option B results from not handling the opposite signs correctly. Exam tip: combine like powers only after preserving the signs of all terms.
क्योंकि \(x^2+1>0\) सभी वास्तविक (x) के लिए है, हर कभी शून्य नहीं होता। इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}\) है। / Since \(x^2+1>0\) for all real (x), the denominator is never zero. Therefore the domain is \(\mathbb{R}\).
\(\frac{f}{g}=\frac{(x-2)^2}{x-2}=x-2\) जहाँ \(x\ne 2\), इसलिए \(x=3\) पर मान (1) है। पहले प्रतिबंध फिर मान रखें। / \(\frac{f}{g}=\frac{(x-2)^2}{x-2}=x-2\) where \(x\ne 2\), so at \(x=3\) the value is (1). First note the restriction then substitute.
(g(x)=(f+g)(x)-f(x)=x-2+3x+5-(3x+2)=x-2+3)। अज्ञात फलन निकालने के लिए दिए गए योग से ज्ञात फलन घटाएँ। / (g(x)=(f+g)(x)-f(x)=x-2+3x+5-(3x+2)=x-2+3). To find the unknown function subtract the known function from the given sum.
(f(x)=\frac{x-2-1}{x-1}=x+1), पर (g(x)\ne 0) के लिए \(x\ne 1\)। अज्ञात गुणक निकालते समय विभाजन का प्रतिबंध देखें। / (f(x)=\frac{x-2-1}{x-1}=x+1), but \(x\ne 1\) because (g(x)\ne 0). While finding an unknown factor check the division restriction.
पहले f(1)=1²=1 और g(1)=2(1)+1=3। अतः (f+g)(1)=f(1)+g(1)=1+3=4 तथा (fg)(1)=f(1)g(1)=1×3=3। इसलिए कुल मान 4+3=7 है। परीक्षा में ध्यान रखें कि (f+g)(x) योग और (fg)(x) बिंदुवार गुणनफल दर्शाते हैं; इन्हें जोड़ना या गुणा करना अलग-अलग चरणों में करें। / First, f(1)=1²=1 and g(1)=2(1)+1=3. Therefore, (f+g)(1)=f(1)+g(1)=1+3=4, while (fg)(1)=f(1)g(1)=1×3=3. Hence, the required value is 4+3=7. Exam tip: (f+g)(x) denotes the sum of the function values, whereas (fg)(x) denotes their pointwise product; do not confuse the two operations.
पहले फलन में \(x\ne -2\) और दूसरे में \(x\ne 2\) है। योग का प्रांत दोनों प्रतिबंधों को हटाकर मिलेगा। / The first function needs \(x\ne -2\) and the second needs \(x\ne 2\). The domain of the sum is obtained by excluding both restrictions.
(f(0)=2) और (g(0)=-2), इसलिए ((fg)(0)=-4)। गुणन फलन का मान अलग-अलग मानों के गुणन से निकालें। / (f(0)=2) and (g(0)=-2), so ((fg)(0)=-4). Evaluate a product function by multiplying the separate values.
वर्गमूल के लिए \(4-x^2\ge 0\), यानी \(-2\le x\le 2\)। (g(x)) सभी वास्तविक (x) पर परिभाषित है। / For the square root \(4-x^2\ge 0\), that is \(-2\le x\le 2\). The function (g(x)) is defined for all real (x).
\(\frac{g}{f}=\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2\), पर \(x\ne -2\)। रद्द किए गए गुणनखंड का शून्य भी हटाएँ। / \(\frac{g}{f}=\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2\), but \(x\ne -2\). Exclude the zero of the cancelled factor too.
((f-g)(x)=x-2-1), इसलिए \(x^2-1=0\) से \(x=\pm 1\)। शून्य खोजने के लिए फलन को (0) के बराबर रखें। / ((f-g)(x)=x-2-1), so \(x^2-1=0\) gives \(x=\pm 1\). To find zeros set the function equal to (0).
\((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2+x)+(x^2-x)=2x^2\)। सभी वास्तविक \(x\) के लिए \(2x^2\geq 0\), और \(x=0\) पर इसका न्यूनतम मान \(0\) प्राप्त होता है। इसलिए इसका परास \([0,\infty)\) है। विकल्प D गलत है क्योंकि न्यूनतम मान 1 नहीं, बल्कि 0 है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले पद का गुणांक धनात्मक हो, तो उसके परास की शुरुआत उसके न्यूनतम मान से होती है। / \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2+x)+(x^2-x)=2x^2\). Since \(2x^2\geq 0\) for every real \(x\), and the minimum value \(0\) is attained at \(x=0\), the range is \([0,\infty)\). Option D is incorrect because the minimum is 0, not 1. Exam tip: a positive multiple of \(x^2\) has a range beginning at its minimum value, 0.
((f+g)(x)=x-2+2x-1=(x+1)2-2), इसलिए न्यूनतम मान (-2) है। पूर्ण वर्ग बनाना उपयोगी तरीका है। / ((f+g)(x)=x-2+2x-1=(x+1)2-2), so the minimum value is (-2). Completing the square is a useful method.
हर \(g(x)=x+2\) है, इसलिए \(x\ne -2\)। अंश हमेशा परिभाषित है इसलिए केवल हर का प्रतिबंध लगेगा। / The denominator is \(g(x)=x+2\), so \(x\ne -2\). The numerator is always defined, so only the denominator restriction applies.
(\(f\circ g\)(x)=\frac{1}{x-1}) के लिए \(x\ne 1\) और (\(g\circ f\)(x)=\frac{1}{x}-1) के लिए \(x\ne 0\)। योग में दोनों प्रतिबंध मिलते हैं। / (\(f\circ g\)(x)=\frac{1}{x-1}) needs \(x\ne 1\) and (\(g\circ f\)(x)=\frac{1}{x}-1) needs \(x\ne 0\). In the sum both restrictions combine.
(f(g(x))=(x+1)2) और (f(h(x))=(x-1)2), इसलिए अंतर (4x) है। वर्गों के अंतर का सूत्र तेजी देता है। / (f(g(x))=(x+1)2) and (f(h(x))=(x-1)2), so the difference is (4x). The difference of squares formula is fast here.
(f(x)+1=\frac{x+3}{x-3}+1=\frac{2x}{x-3}), जहाँ \(x\ne 3\)। स्थिर संख्या जोड़ते समय समान हर बनाएँ। / (f(x)+1=\frac{x+3}{x-3}+1=\frac{2x}{x-3}), where \(x\ne 3\). Make a common denominator when adding a constant.
फलनों के योग की परिभाषा के अनुसार, (f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x−5)+(5−2x)=0। अतः यह शून्य फलन है, जिसका प्रत्येक x के लिए मान 0 होता है। विकल्प B वास्तव में 2f(x) के बराबर है, फलनों का योग नहीं। परीक्षा-युक्ति: योग करते समय समान पदों और अचर पदों को अलग-अलग मिलाएँ। / By the definition of the sum of two functions, (f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x−5)+(5−2x)=0. Therefore, the result is the zero function, whose value is 0 for every x. Option B equals 2f(x), not f(x)+g(x). Exam tip: combine the variable terms and constant terms separately when adding functions.
फलनों के बीजीय संक्रिया में \(g^2(x)\) का अर्थ \((g(x))^2\) होता है, न कि \(g(g(x))\)। अतः \(g^2(x)=(x+1)^2=x^2+2x+1\)। इसलिए \((f-g^2)(x)=(x^2+2x+1)-(x^2+2x+1)=0\)। विकल्प B में केवल कुछ पदों का गलत घटाव हुआ है। परीक्षा-युक्ति: फलनों के लिए \(g^2\) और संयोजन \(g\circ g\) को अलग-अलग पहचानें। / For algebraic operations on functions, \(g^2(x)\) means \((g(x))^2\), not the composition \(g(g(x))\). Thus, \(g^2(x)=(x+1)^2=x^2+2x+1\). Therefore, \((f-g^2)(x)=(x^2+2x+1)-(x^2+2x+1)=0\). Option B results from an incorrect subtraction of only some terms. Exam tip: distinguish the pointwise square \(g^2\) from the composition \(g\circ g\).
दो वास्तविक फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। अतः \((fg)(x)=(x^2-3x)(x^2+3x)\)। यह \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) के रूप में है, इसलिए \((x^2)^2-(3x)^2=x^4-9x^2\)। विकल्प B में ऋणात्मक पद का चिह्न गलत है, जबकि C और D में गुणनफल के पदों का सही विस्तार नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: संयुग्मी द्विपदों का गुणन करते समय अंतर-वर्ग सूत्र पहचानें। / The product of two real functions is defined by \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Therefore, \((fg)(x)=(x^2-3x)(x^2+3x)\). This is of the form \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), so \((x^2)^2-(3x)^2=x^4-9x^2\). Option B has the wrong sign, while C and D do not result from the correct expansion. Exam tip: recognize conjugate binomials and apply the difference-of-squares identity directly.
((f-g)(x)=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}=\frac{4}{x-2-4}), जहाँ \(x\ne \pm 2\)। हरों का गुणन करते समय प्रतिबंध रखें। / ((f-g)(x)=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}=\frac{4}{x-2-4}), where \(x\ne \pm 2\). Keep restrictions while multiplying denominators.
(\(f\circ g\)(1)=f(2)=5) और (\(g\circ f\)(1)=g(2)=4), कुल (9) है। संयोजन में क्रम को स्पष्ट रखें। / (\(f\circ g\)(1)=f(2)=5) and (\(g\circ f\)(1)=g(2)=4), so the total is (9). Keep the order clear in composition.
हर (x-2) है इसलिए \(x=2\) हटेगा, भले ही अंश में समान गुणनखंड हो। मूल हर से प्रतिबंध तय करें। / The denominator is (x-2), so \(x=2\) is excluded even if the numerator has a common factor. Decide restrictions from the original denominator.
यहाँ (f-2(x)+g-2(x)=\frac{\(x^2-1\)2+(2x)2}{\(x^2+1\)2}=\frac{\(x^2+1\)2}{\(x^2+1\)2}=1)। वर्गों को जोड़ते समय सर्वसमिका पहचानें। / Here (f-2(x)+g-2(x)=\frac{\(x^2-1\)2+(2x)2}{\(x^2+1\)2}=\frac{\(x^2+1\)2}{\(x^2+1\)2}=1). Recognise the identity while adding squares.
भागफल में हर (g(x)) शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए (x=2) हटेगा। परीक्षा में सरलीकरण से पहले प्रांत जांचें। / In a quotient, the denominator (g(x)) must not be zero, so (x=2) is excluded. In exams, check the domain before simplifying.
A. वे \(x\ne 4\) पर समान हैं/They are equal for \(x\ne 4\)
Explanation
Simple Explanation
(f(x)) सरल होकर (x+4) बनता है, लेकिन (x=4) पर (f) अपरिभाषित है। समान फलनों में नियम के साथ प्रांत भी देखें। / (f(x)) simplifies to (x+4), but (f) is undefined at (x=4). For equal functions, check both rule and domain.
दोनों वर्गमूलों के लिए \(2x-1\ge 0\) और \(7-3x\ge 0\) चाहिए। इसलिए प्रांत \(\left[\frac{1}{2},\frac{7}{3}\right]\) है। / Both square roots require \(2x-1\ge 0\) and \(7-3x\ge 0\). Hence the domain is \(\left[\frac{1}{2},\frac{7}{3}\right]\).
घटाव के लिए दोनों फलन परिभाषित होने चाहिए, इसलिए (x=-3) और (x=4) हटेंगे। हर शून्य कराने वाले मान हमेशा हटाएं। / For subtraction, both functions must be defined, so (x=-3) and (x=4) are excluded. Always remove values making any denominator zero.
\(f(-2)=0\) और \(g(-2)=-1\), इसलिए भागफल (0) है। किसी बिंदु पर पहले हर शून्य है या नहीं जांचें। / \(f(-2)=0\) and \(g(-2)=-1\), so the quotient is (0). At a point, first check whether the denominator is zero.
\((f-g)(x)=f(x)-g(x)=|x|-x\)। जब \(x\ge 0\), तब \(|x|=x\), इसलिए \(|x|-x=0\)। जब \(x<0\), तब \(|x|=-x\) और \(|x|-x=-2x\), जो शून्य नहीं है। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प C अधूरा है क्योंकि सभी धनात्मक मान भी समाधान हैं। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले प्रश्नों में हमेशा \(x\ge 0\) और \(x<0\) के दो मामले जाँचें। / Here, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=|x|-x\). For \(x\ge 0\), \(|x|=x\), so \(|x|-x=0\). For \(x<0\), \(|x|=-x\), giving \(|x|-x=-2x\), which is not zero. Hence option A is correct; option C is incomplete because every non-negative value, not just zero, is a solution. Exam tip: For modulus expressions, always check the cases \(x\ge 0\) and \(x<0\).
((f-g)(x)=x-2+2x+4=(x+1)2+3), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। न्यूनतम के लिए वर्ग पूर्ण करना तेज तरीका है। / ((f-g)(x)=x-2+2x+4=(x+1)2+3), so the minimum value is (3). Completing the square is a fast method for minimum value.
फलनों के रैखिक संयोजन में गुणांक पूरे फलन पर लागू होते हैं: \((3f-2g)(x)=3f(x)-2g(x)=3(x^2+1)-2(2x-3)\)। इसे सरल करने पर \(3x^2+3-4x+6=3x^2-4x+9\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में स्थिर पद का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऋण चिह्न वाले गुणांक को कोष्ठक के प्रत्येक पद पर सावधानी से वितरित करें। / For a linear combination of functions, the coefficients multiply the entire functions: \((3f-2g)(x)=3f(x)-2g(x)=3(x^2+1)-2(2x-3)\). Simplifying gives \(3x^2+3-4x+6=3x^2-4x+9\), so option A is correct. In option C, the constant term has the wrong sign. Exam tip: distribute a negative coefficient across every term inside the parentheses.
(g(x)) में हर (x-3) है, इसलिए (x=3) पर (g) और (f+g) अपरिभाषित हैं। योग में दोनों फलन परिभाषित होने चाहिए। / The denominator of (g(x)) is (x-3), so at (x=3), (g) and (f+g) are undefined. In a sum, both functions must be defined.
भले ही गुणन सरल होकर (1) दिखे, मूल फलनों में (x=1) और (x=-1) निषिद्ध हैं। प्रांत सरलीकरण के बाद नहीं बदलना चाहिए। / Even if the product simplifies to (1), the original functions forbid (x=1) and (x=-1). The domain should not be changed after simplification.
(|x-1|=|x+1|) का अर्थ है कि (x) दोनों बिंदुओं (1) और (-1) से समान दूरी पर है, इसलिए (x=0)। मापांक में दूरी का विचार उपयोगी है। / (|x-1|=|x+1|) means (x) is equally distant from (1) and (-1), so (x=0). The distance idea is useful in modulus questions.
दो फलनों के योग के लिए \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। अतः \(f(-2)=(-2)^2=4\) और \(g(-2)=2(-2)+1=-3\), इसलिए \((f+g)(-2)=4+(-3)=1\)। विकल्प 3 केवल \(f(-2)-g(-2)\) जैसे गलत संचालन से आ सकता है। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालें, फिर जोड़ें। / For the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \(f(-2)=(-2)^2=4\) and \(g(-2)=2(-2)+1=-3\), so \((f+g)(-2)=4+(-3)=1\). The value 3 may result from an incorrect operation such as subtracting \(g(-2)\) from \(f(-2)\). Exam tip: evaluate the two functions separately before adding their values.
(f) के लिए \(x^2-9\ne 0\), इसलिए \(x\ne \pm3\), और (f(x)) कभी (0) नहीं होता। अतः केवल (-3) और (3) हटेंगे। / For (f), \(x^2-9\ne 0\), so \(x\ne \pm3\), and (f(x)) is never (0). Hence only (-3) and (3) are excluded.
((f-g)(x)=x-3-x-2=x-2(x-1)), इसलिए शून्य (x=0) और (x=1) हैं। गुणनखंडन विशेषज्ञ स्तर पर सबसे तेज तरीका है। / ((f-g)(x)=x-3-x-2=x-2(x-1)), so the zeroes are (x=0) and (x=1). Factorisation is the fastest method at expert level.
वर्गमूल के लिए \(x\ge -2\) और हर के लिए \(x\ne 1\) चाहिए। गुणन में दोनों शर्तें साथ लगती हैं। / The square root needs \(x\ge -2\), and the denominator needs \(x\ne 1\). In a product, both conditions apply together.
((f+g)(2)=9+(2a-1)=2a+8=10), इसलिए (a=1)। पैरामीटर वाले प्रश्न में दिए मान को सीधे रखें। / ((f+g)(2)=9+(2a-1)=2a+8=10), so (a=1). In parameter questions, substitute the given input directly.
फलनों का योग बिंदुवार लिया जाता है: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2+2x)+(x^2-2x)=2x^2\)। अतः \(\left(\frac{f+g}{2}\right)(x)=\frac{2x^2}{2}=x^2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C और D क्रमशः केवल \(f\) और \(g\) हैं, जबकि विकल्प B में वर्ग पद छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: समान तथा विपरीत पदों को जोड़ते समय पहले उनका कटाव जाँचें। / Function addition is performed pointwise: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2+2x)+(x^2-2x)=2x^2\). Therefore, \(\left(\frac{f+g}{2}\right)(x)=\frac{2x^2}{2}=x^2\), so option A is correct. Options C and D are simply \(f\) and \(g\), respectively, while option B omits the squared term. Exam tip: when adding symmetric expressions, first check which opposite terms cancel.
\(\frac{f}{g}=\frac{x^2}{4}\) और \(x^2\ge 0\), इसलिए परास \([0,\infty\)) है। धन स्थिर से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / \(\frac{f}{g}=\frac{x^2}{4}\) and \(x^2\ge 0\), so the range is \([0,\infty\)). Division by a positive constant does not change sign.
(f−g)(x)=f(x)−g(x)=(x²+1)−(x²−1)=x²+1−x²+1=2। इसलिए परिणाम सभी x के लिए स्थिर फलन 2 है। विकल्प D में ऋण चिह्नों का सही परिवर्तन नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन को घटाते समय दूसरे फलन के प्रत्येक पद के चिह्न बदल दें। / (f−g)(x)=f(x)−g(x)=(x²+1)−(x²−1)=x²+1−x²+1=2. Thus, the difference is the constant function 2 for every x. Option D results from mishandling the signs while subtracting g(x). Exam tip: when subtracting a function, change the sign of every term in the function being subtracted.
((f-g)(x)=\frac{x-2}{x-2}=1), पर (x=2) मूल प्रांत से बाहर है। सरलीकरण के बाद भी प्रतिबंध याद रखें। / ((f-g)(x)=\frac{x-2}{x-2}=1), but (x=2) is outside the original domain. Keep restrictions even after simplification.
क्योंकि \(x^2+1>0\) और \(x^2-1<x^2+1\), अनुपात हमेशा (1) से छोटा है। धन हर होने पर असमता की दिशा नहीं बदलती। / Since \(x^2+1>0\) and \(x^2-1<x^2+1\), the ratio is always less than (1). With a positive denominator, the inequality direction does not change.
\((f+g)(x)=x^2-6x+10+3=x^2-6x+13=(x-3)^2+4\)। चूँकि \((x-3)^2\geq 0\), इसका न्यूनतम मान 0 है, जो \(x=3\) पर प्राप्त होता है। अतः \((f+g)(x)\) का न्यूनतम मान 4 है। विकल्प 1 केवल \(f(x)\) के न्यूनतम मान को दर्शाता है; इसमें \(g(x)=3\) जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा-टिप: द्विघात फलन का न्यूनतम मान निकालने के लिए उसे पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें। / \((f+g)(x)=x^2-6x+10+3=x^2-6x+13=(x-3)^2+4\). Since \((x-3)^2\geq 0\), its minimum is 0, attained at \(x=3\). Therefore, the minimum value of \((f+g)(x)\) is 4. Option 1 is only the minimum of \(f(x)\) and incorrectly ignores the added constant \(g(x)=3\). Exam tip: For a quadratic function, completing the square quickly reveals its minimum value.
(f) का प्रांत \(x\ne 0\) है और \(fg=\frac{1}{x}\cdot x=1\)। उत्पाद सरल हो सकता है, पर प्रांत मूल फलन से तय होगा। / The domain of (f) is \(x\ne 0\), and \(fg=\frac{1}{x}\cdot x=1\). The product may simplify, but the domain comes from the original functions.
फलनों के योग के लिए (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x² + (−x² + 4) = 4। x² और −x² समान पद होने के कारण कट जाते हैं, इसलिए परिणाम हर x के लिए 4 रहता है और यह स्थिर फलन है। अतः 2x² + 4 वाला विकल्प गलत है, क्योंकि द्विघात पद समाप्त हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: समान घात वाले पदों के गुणांकों को पहले जोड़ें। / For the sum of two functions, (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x² + (−x² + 4) = 4. The like terms x² and −x² cancel, so the result is 4 for every x, making it a constant function. The quadratic option is incorrect because the x² term vanishes. Exam tip: combine the coefficients of like powers before identifying the function type.
\((f-g)(x)=f(x)-g(x)=(x^2+px+1)-(x^2-px+1)\)। समान पद \(x^2\) और स्थिर पद \(1\) कट जाते हैं, जबकि \(px-(-px)=2px\), इसलिए सही उत्तर \(2px\) है। विकल्प D में घटाव के समय ऋण चिह्न का प्रभाव गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन का अंतर निकालते समय दूसरे फलन के प्रत्येक पद के आगे ऋण चिह्न लगाएँ। / \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=(x^2+px+1)-(x^2-px+1)\). The like terms \(x^2\) and the constants \(1\) cancel, while \(px-(-px)=2px\). Hence, the correct answer is \(2px\). Option D results from mishandling the minus sign before \(-px\). Exam tip: when subtracting functions, distribute the minus sign to every term of the second function.
(f(0)=-1) और (g(0)=-1), इसलिए योग (-2) है। दिए बिंदु पर हर शून्य है या नहीं, पहले जांचें। / (f(0)=-1) and (g(0)=-1), so the sum is (-2). First check whether the denominator is zero at the given point.
(f=(x-2)2), इसलिए \(\frac{f}{g}=x-2\), पर (x=2) हटेगा। रद्द हुए कारक भी प्रांत प्रतिबंध छोड़ते हैं। / (f=(x-2)2), so \(\frac{f}{g}=x-2\), but (x=2) is excluded. Cancelled factors still leave domain restrictions.
(f(1)=1) और (g(1)=4), इसलिए \(\lambda+4=9\) और \(\lambda=5\)। रैखिक संयोजन में पहले फलन मान निकालें। / (f(1)=1) and (g(1)=4), so \(\lambda+4=9\) and \(\lambda=5\). In a linear combination, first find the function values.
((fg)(x)=2x-3), जिसका परास सभी वास्तविक संख्याएं है। विषम घात वाला बहुपद अक्सर \(\mathbb{R}\) तक जाता है। / ((fg)(x)=2x-3), whose range is all real numbers. An odd-degree polynomial often covers \(\mathbb{R}\).
समान हर होने से ((f+g)(x)=\frac{1+x-2}{x-2+1}=1)। समान हर में केवल अंश जोड़ें। / With the same denominator, ((f+g)(x)=\frac{1+x-2}{x-2+1}=1). For common denominators, add only numerators.
\(\lfloor x\rfloor+{x}=\lfloor x\rfloor+x-\lfloor x\rfloor=x\)। परिभाषा को सीधे रखने से प्रश्न सरल हो जाता है। / \(\lfloor x\rfloor+{x}=\lfloor x\rfloor+x-\lfloor x\rfloor=x\). Substituting the definition directly makes the question simple.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) और हर \(x-2\ne 0\) चाहिए। भागफल में वर्गमूल और हर दोनों प्रतिबंध लागू होते हैं। / \(\sqrt{x}\) needs \(x\ge 0\), and the denominator needs \(x-2\ne 0\). In a quotient, both square-root and denominator restrictions apply.
(x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), इसलिए रूप (x-2) है पर (x=3) हटेगा। रद्द किए गए हर को कभी न भूलें। / (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so the form is (x-2), but (x=3) is excluded. Never forget the cancelled denominator.
हर में \(\sqrt{x-2}\) है, इसलिए (x-2>0), यानी (x>2)। हर वाले वर्गमूल में शून्य भी निषिद्ध होता है। / The denominator has \(\sqrt{x-2}\), so (x-2>0), meaning (x>2). A square root in the denominator cannot be zero.
फलनों के गुणनफल के लिए \((fg)(1)=f(1)g(1)\)। यहाँ \(f(1)=1+a\) और \(g(1)=1-a\), इसलिए \((1+a)(1-a)=0\)। शून्य गुणनफल नियम से \(a=-1\) या \(a=1\), अर्थात् \(a=\pm1\)। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(a=0\) रखने पर गुणनफल \(1\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले फलनों का मान दिए गए बिंदु पर निकालकर शून्य गुणनफल नियम लगाएँ। / For the product of functions, \((fg)(1)=f(1)g(1)\). Here, \(f(1)=1+a\) and \(g(1)=1-a\), so \((1+a)(1-a)=0\). By the zero-product property, \(a=-1\) or \(a=1\), hence \(a=\pm1\). Option B is incorrect because substituting \(a=0\) gives a product equal to \(1\). Exam tip: Evaluate the functions at the specified point first, then apply the zero-product property.
\(\frac{1}{x}\) वाले पद कटते हैं, पर (x=0) प्रांत से बाहर रहता है। अभिव्यक्ति सरल होने पर भी मूल प्रतिबंध रखें। / The \(\frac{1}{x}\) terms cancel, but (x=0) remains outside the domain. Keep original restrictions even after simplification.
A. वे \(x\ne 1\) पर समान हैं/They are equal for \(x\ne 1\)
Explanation
Simple Explanation
(f(x)=x+1) सरलीकृत होता है, लेकिन (f) पर (x=1) परिभाषित नहीं है। समान नियम और समान प्रांत दोनों जरूरी हैं। / (f(x)) simplifies to (x+1), but (f) is not defined at (x=1). Equal functions need both the same rule and the same domain.
((f+g)(x)=x-2-x=x(x-1)), इसलिए शून्य (0) और (1) हैं। शून्य समुच्चय के लिए फलन को (0) के बराबर रखें। / ((f+g)(x)=x-2-x=x(x-1)), so the zeroes are (0) and (1). For a zero set, set the function equal to (0).
(x-2-4=(x-2)(x+2)), इसलिए (x=2) और (x=-2) निषिद्ध हैं। योग में दोनों फलनों के प्रांत का प्रतिच्छेद लें। / (x-2-4=(x-2)(x+2)), so (x=2) and (x=-2) are forbidden. For a sum, take the intersection of the domains.
A. (1) के निकट लेकिन बराबर नहीं/approaches (1) but not equal
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x^2+1}{x^2+2}=1-\frac{1}{x^2+2}\), इसलिए मान (1) से छोटा रहकर (1) के निकट जाता है। यहां वास्तविक अधिकतम प्राप्त नहीं होता। / \(\frac{x^2+1}{x^2+2}=1-\frac{1}{x^2+2}\), so the value stays below (1) and approaches (1). The actual maximum is not attained here.
पहले \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2-1)+(2x+3)=x^2+2x+2\)। अब \(x^2+2x+2=(x^2+2x+1)+1=(x+1)^2+1\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में स्थिर पद \(+2\) के स्थान पर \(0\) हो जाता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा में \(x^2+2ax\) को \((x+a)^2-a^2\) के रूप में पूर्ण वर्ग करना याद रखें। / First, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2-1)+(2x+3)=x^2+2x+2\). Completing the square gives \(x^2+2x+2=(x^2+2x+1)+1=(x+1)^2+1\), so option A is correct. Option C becomes \(x^2+2x\), which misses the constant term \(+2\). Exam tip: for \(x^2+2ax\), add and subtract \(a^2\) to form \((x+a)^2-a^2\).
(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1-(x-1)}{x-2-1}=\frac{2}{x-2-1})। समान हर बनाते समय अंश के चिन्ह देखें। / (\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1-(x-1)}{x-2-1}=\frac{2}{x-2-1}). Watch numerator signs while taking a common denominator.
\((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^2+4-4x=x^2-4x+4=(x-2)^2\)। किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए पूर्ण वर्ग \((x-2)^2\ge 0\) होता है, इसलिए सही उत्तर सभी वास्तविक \(x\) हैं। \(x=2\) पर इसका मान केवल शून्य होता है; यह शर्त केवल वहीं सत्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखकर उसका चिह्न तुरंत निर्धारित करें। / \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^2+4-4x=x^2-4x+4=(x-2)^2\). A perfect square satisfies \((x-2)^2\ge 0\) for every real \(x\), so the inequality is true for all real numbers. At \(x=2\), the expression is merely equal to zero; the inequality is not restricted to that value. Exam tip: rewrite a quadratic as a perfect square whenever possible to determine its sign quickly.
भागफल फलन के लिए \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)। यहाँ \(f(2)=2^2-3(2)+2=0\) और \(g(2)=2-1=1\), इसलिए \(\left(\frac{f}{g}\right)(2)=\frac{0}{1}=0\)। विकल्प D गलत है, क्योंकि हर \(g(2)=1\) शून्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: भागफल निकालते समय पहले अंश और हर का अलग-अलग मान ज्ञात करें तथा जाँचें कि हर शून्य न हो। / For the quotient function, \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\). Here, \(f(2)=2^2-3(2)+2=0\) and \(g(2)=2-1=1\), so \(\left(\frac{f}{g}\right)(2)=\frac{0}{1}=0\). Option D is incorrect because the denominator, \(g(2)=1\), is not zero. Exam tip: evaluate the numerator and denominator separately and check that the denominator is non-zero.
फलनों के रैखिक संयोजन में समान इनपुट \(x\) पर फलनों के मानों को जोड़ा जाता है: \((f-2g+h)(x)=f(x)-2g(x)+h(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2\)। विकल्प B में \(-2x\) की जगह \(+2x\) हो जाता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: पहले फलनों के मान प्रतिस्थापित करें और फिर पूर्ण वर्ग बनाकर सरल करें। / For a linear combination of functions, combine their values at the same input: \((f-2g+h)(x)=f(x)-2g(x)+h(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2\). Option B has the wrong sign for the middle term, while the other options do not match the expansion. Exam tip: substitute the function values first, then simplify or complete the square.
समान हर से (f-g=\frac{x-2+1-\(x^2-1\)}{x}=\frac{2}{x}), जहां \(x\ne 0\)। घटाव में दूसरे अंश के दोनों चिन्ह बदलते हैं। / With a common denominator, (f-g=\frac{x-2+1-\(x^2-1\)}{x}=\frac{2}{x}), where \(x\ne 0\). In subtraction, both signs of the second numerator change.
उत्पाद फलन के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\)। अब \(f(0)=0^2+2(0)+2=2\) और \(g(0)=0^2-2(0)+2=2\)। अतः \((fg)(0)=f(0)g(0)=2\times2=4\)। विकल्प 2 केवल प्रत्येक फलन का अलग-अलग मान है, उत्पाद फलन का नहीं। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(a)\) में पहले दोनों फलनों के \(a\) पर मान निकालकर उनका गुणन करें। / For the product function, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Here, \(f(0)=0^2+2(0)+2=2\) and \(g(0)=0^2-2(0)+2=2\). Therefore, \((fg)(0)=f(0)g(0)=2\times2=4\). The value 2 is the value of each individual function, not their product. Exam tip: For \((fg)(a)\), evaluate both functions at \(a\) and then multiply the results.
पहले \(x=2\) रखने पर \(f(2)=2^2-4=0\) और \(g(2)=|2|-2=0\) प्राप्त होते हैं। इसलिए \((f-g)(2)=f(2)-g(2)=0-0=0\), अतः विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि \((f-g)(x)\) का अर्थ दोनों फलनों का अंतर है, योग नहीं। / Substituting \(x=2\), we get \(f(2)=2^2-4=0\) and \(g(2)=|2|-2=0\). Therefore, \((f-g)(2)=f(2)-g(2)=0-0=0\), so option A is correct. Remember that \((f-g)(x)\) means the difference of the two functions, not their sum.
\(\frac{f}{g}\) में (f) और (g) दोनों परिभाषित हों और (g(x)\ne 0); इससे \(x=\pm2\) हटते हैं। भागफल में दूसरे फलन का शून्य भी निषिद्ध होता है। / In \(\frac{f}{g}\), both (f) and (g) must be defined and (g(x)\ne 0); this excludes \(x=\pm2\). In a quotient, zero of the second function is also forbidden.
वास्तविक वर्गमूल के लिए वर्गमूल के भीतर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए। \(f(x)\) के लिए \(x-2\ge 0\), अर्थात \(x\ge 2\), और \(g(x)\) के लिए \(10-2x\ge 0\), अर्थात \(x\le 5\)। योग \((f+g)(x)\) तभी परिभाषित होगा जब दोनों शर्तें साथ-साथ पूरी हों, इसलिए इसका डोमेन \([2,5]\) है। \((2,5)\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि \(x=2\) और \(x=5\) पर वर्गमूल शून्य हो सकता है; अतः दोनों सिरे शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: दो फलनों के योग का डोमेन उनके डोमेनों का प्रतिच्छेद होता है। / For a real square root, the expression inside the root must be non-negative. For \(f(x)\), \(x-2\ge 0\), so \(x\ge 2\). For \(g(x)\), \(10-2x\ge 0\), so \(x\le 5\). The sum \((f+g)(x)\) is defined only where both conditions hold; hence its domain is \([2,5]\). The closest distractor, \((2,5)\), is incorrect because square roots may equal zero at \(x=2\) and \(x=5\), so both endpoints are included. Exam tip: the domain of a sum is the intersection of the domains of the given functions.
लघुगणक के लिए (x-2>0) और वर्गमूल के लिए \(8-x\ge 0\) चाहिए। इसलिए संयुक्त प्रांत ((2,8]) है। / The logarithm needs (x-2>0), and the square root needs \(8-x\ge 0\). Hence the common domain is ((2,8]).
B. वे \(x\ne 5\) पर समान हैं/They are equal for \(x\ne 5\)
Explanation
Simple Explanation
(f(x)) सरल होकर (x+5) बनता है, पर (x=5) पर (f) परिभाषित नहीं है। समान फलन के लिए नियम और प्रांत दोनों देखें। / (f(x)) simplifies to (x+5), but (f) is not defined at (x=5). For equal functions, check both rule and domain.
(f-g)(x)=f(x)-g(x)=\(x^2+ax+2\)-\(x^2-2ax+1\)=3ax+1 । इसलिए (f-g)(3)=9a+1=22 , जिससे a=\\frac{7}{3} प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प D है। परीक्षा-युक्ति: फलनों का अंतर निकालते समय दूसरे फलन के प्रत्येक पद के आगे ऋण चिह्न लगाना न भूलें; इसी कारण -2ax घटाने पर +2ax बनता है। / (f-g)(x)=f(x)-g(x)=\(x^2+ax+2\)-\(x^2-2ax+1\)=3ax+1 . Hence, (f-g)(3)=9a+1=22 , giving a=\\frac{7}{3} . Therefore, option D is correct. Exam tip: When subtracting one function from another, change the sign of every term in the second function; thus, subtracting -2ax produces +2ax .
\(f(4)=0\) और \(g(4)=1\), इसलिए भागफल (0) है। मान रखने से पहले हर शून्य है या नहीं जांचें। / \(f(4)=0\) and \(g(4)=1\), so the quotient is (0). Before substituting, check whether the denominator is zero.
((f-g)(x)=x-2+4x+12=(x+2)2+8), इसलिए न्यूनतम मान (8) है। वर्ग पूर्ण करना ऐसे प्रश्नों में तेज तरीका है। / ((f-g)(x)=x-2+4x+12=(x+2)2+8), so the minimum value is (8). Completing the square is fast for such questions.
((f-g)(x)=\frac{x+4-(x-2)}{(x-2)(x+4)}=\frac{6}{(x-2)(x+4)})। समान हर बनाते समय अंश के चिन्ह ध्यान से रखें। / ((f-g)(x)=\frac{x+4-(x-2)}{(x-2)(x+4)}=\frac{6}{(x-2)(x+4)}). Keep numerator signs carefully while using a common denominator.
\((f-g)(x)=0\) का अर्थ है \(f(x)=g(x)\), अर्थात् \(|x-3|=|x+1|\)। इसलिए \(x\), 3 और −1 से समान दूरी पर होना चाहिए। इन दोनों संख्याओं का मध्यबिंदु \(x=1\) है, अतः सही उत्तर C है। \(x=3\) और \(x=-1\) पर क्रमशः केवल एक फलन का मान शून्य होता है, दोनों बराबर नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|=|x-b|\) में समाधान अक्सर \(a\) और \(b\) का मध्यबिंदु होता है। / The equation \((f-g)(x)=0\) means \(f(x)=g(x)\), so \(|x-3|=|x+1|\). Thus, \(x\) must be equally distant from 3 and −1. Their midpoint is \(x=1\), so option C is correct. At \(x=3\) or \(x=-1\), only one of the two function values is zero; they are not equal. Exam tip: For \(|x-a|=|x-b|\), the solution is generally the midpoint of \(a\) and \(b\).
\((fg)(x)=\left(x+\frac{3}{x}\right)\left(x-\frac{3}{x}\right)=x^2-\frac{9}{x^2}\)। यहां \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) लगती है। / \((fg)(x)=\left(x+\frac{3}{x}\right)\left(x-\frac{3}{x}\right)=x^2-\frac{9}{x^2}\). Use \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) here.
(f) के लिए \(x^2-16\ne 0\), इसलिए \(x\ne -4,4\), और (f(x)\ne 0) हमेशा है। इसलिए केवल (-4) और (4) हटेंगे। / For (f), \(x^2-16\ne 0\), so \(x\ne -4,4\), and (f(x)\ne 0) always. Hence only (-4) and (4) are excluded.
समान पद जोड़ने पर \(2x^2+x^2=3x^2\), (-3x+x=-2x) और (1-5=-4) मिलता है। पदों को डिग्री के अनुसार जोड़ें। / Adding like terms gives \(2x^2+x^2=3x^2\), (-3x+x=-2x), and (1-5=-4). Combine terms by degree.
वर्गमूल के लिए \(x+5\ge 0\) और हर के लिए \(x\ne 1\) चाहिए। इसलिए प्रांत \([-5,\infty\)\setminus{1}) है। / The square root needs \(x+5\ge 0\), and the denominator needs \(x\ne 1\). So the domain is \([-5,\infty\)\setminus{1}).
((f+g)(x)=x-2-8x+25=(x-4)2+9), इसलिए न्यूनतम मान (9) है। शीर्ष रूप से न्यूनतम तुरंत मिलता है। / ((f+g)(x)=x-2-8x+25=(x-4)2+9), so the minimum value is (9). Vertex form gives the minimum quickly.
(g(x)) में हर (x-2) है, इसलिए (x=2) पर (g) और (f+g) अपरिभाषित हैं। योग में दोनों फलनों का परिभाषित होना जरूरी है। / The denominator of (g(x)) is (x-2), so at (x=2), (g) and (f+g) are undefined. In a sum, both functions must be defined.
फलनों को जोड़ने पर \((f+g)(x)=(x^3-2x)+(x^3+2x)=2x^3\)। अतः \(\frac{f+g}{2}=\frac{2x^3}{2}=x^3\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C केवल \(g(x)\) है, औसत फलन नहीं। परीक्षा में समान घात वाले पदों को पहले जोड़ें और फिर पूरे फलन को 2 से भाग दें। / Adding the functions gives \((f+g)(x)=(x^3-2x)+(x^3+2x)=2x^3\). Therefore, \(\frac{f+g}{2}=\frac{2x^3}{2}=x^3\), so option A is correct. Option C is only \(g(x)\), not the average of the two functions. In an exam, combine like terms first and then divide the entire result by 2.
C. कोई अधिकतम प्राप्त नहीं होता/no maximum is attained
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x^2+2}{x^2+5}=1-\frac{3}{x^2+5}\), इसलिए यह (1) के निकट जाता है पर (1) नहीं बनता। अतः वास्तविक अधिकतम प्राप्त नहीं होता। / \(\frac{x^2+2}{x^2+5}=1-\frac{3}{x^2+5}\), so it approaches (1) but never equals (1). Hence no actual maximum is attained.
(f(2)=3(2)-2=4) और (g(2)=2k+4)। अतः ((f+g)(2)=f(2)+g(2)=4+(2k+4)=2k+8)। दिए गए मान से (2k+8=18), इसलिए (2k=10) और (k=5)। परीक्षा-युक्ति: (f+g)(x) में दोनों फलनों के मानों को जोड़कर ही दिए गए (x) पर प्रतिस्थापित करें। / We have (f(2)=3(2)-2=4) and (g(2)=2k+4). Therefore, ((f+g)(2)=f(2)+g(2)=4+(2k+4)=2k+8). Using the given value, (2k+8=18), so (2k=10) and (k=5). Exam tip: For (f+g)(x), add the values of the two functions before evaluating at the specified input.
(f-2-g-2=(f-g)(f+g)) से \(2\cos x\cdot 2\sin x=4\sin x\cos x\)। बीजगणितीय पहचान त्रिकोणमितीय फलनों पर भी लागू होती है। / Using (f-2-g-2=(f-g)(f+g)), we get \(2\cos x\cdot 2\sin x=4\sin x\cos x\). Algebraic identities also apply to trigonometric functions.
\((f-g)(x)=[x^2+px+4]-[x^2-px+4]=2px\)। इसलिए \((f-g)(2)=2p\cdot2=4p\)। दिया है कि \(4p=12\), अतः \(p=3\)। विकल्प 4 इसलिए गलत है क्योंकि वह \(4p=16\) देगा। परीक्षा में दो फलनों का अंतर निकालते समय समान पदों को पहले काटना उपयोगी रहता है। / \((f-g)(x)=[x^2+px+4]-[x^2-px+4]=2px\). Hence, \((f-g)(2)=2p\cdot2=4p\). Given \(4p=12\), we get \(p=3\). Option 4 is incorrect because it would give \(4p=16\). Exam tip: simplify the difference of the two functions before substituting the given value of \(x\).
\(\lfloor\frac{7}{3}\rfloor=2\) और \(g\left(\frac{7}{3}\right)=\frac{1}{3}\), इसलिए मान \(2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\) है। पूर्णांक और भिन्न भाग अलग निकालें। / \(\lfloor\frac{7}{3}\rfloor=2\) and \(g\left(\frac{7}{3}\right)=\frac{1}{3}\), so the value is \(2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\). Find integer and fractional parts separately.
((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), इसलिए केवल (x=1) हल है। पूर्ण वर्ग शून्य तभी होता है जब अंदर का पद (0) हो। / ((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), so the only solution is (x=1). A square is zero only when its inside term is (0).
(f) में (x=-2) पर हर शून्य है, इसलिए (f) और (f-g) अपरिभाषित हैं। सरलीकरण से पहले मूल प्रांत देखें। / In (f), the denominator is zero at (x=-2), so (f) and (f-g) are undefined. Check the original domain before simplification.
((f-g)(x)=x-2+1-\(x^2-3\)=4), इसलिए यह स्थिर फलन है। घटाव में दूसरे कोष्ठक के चिन्ह बदलें। / ((f-g)(x)=x-2+1-\(x^2-3\)=4), so it is a constant function. In subtraction, change the signs of the second bracket.
वर्गमूल के लिए \(16-x^2\ge 0\), यानी \(-4\le x\le 4\), और हर के लिए \(x\ne 1\) चाहिए। प्रांत इन शर्तों का प्रतिच्छेद है। / The square root needs \(16-x^2\ge 0\), meaning \(-4\le x\le 4\), and the denominator needs \(x\ne 1\). The domain is the intersection of these conditions.
(f=(x+2)2), इसलिए \(\frac{f}{g}=x+2\), पर (x=-2) हटेगा। रद्द हुआ हर भी प्रांत में प्रतिबंध देता है। / (f=(x+2)2), so \(\frac{f}{g}=x+2\), but (x=-2) is excluded. A cancelled denominator still gives a domain restriction.
((fg)(x)=3x-3), जिसका परास सभी वास्तविक संख्याएं है। विषम घात वाला बहुपद दोनों दिशाओं में जाता है। / ((fg)(x)=3x-3), whose range is all real numbers. An odd-degree polynomial extends in both directions.
पहले \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+2x+5+2x+1=x^2+4x+6\) प्राप्त होता है। अब \(x^2+4x+6=(x^2+4x+4)+2=(x+2)^2+2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में मध्य पद \(-4x\) आएगा, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx+c\) में वर्ग पूर्ण करते समय \(x\) के गुणांक का आधा लेकर उसका वर्ग जोड़ें और घटाएँ। / First, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+2x+5+2x+1=x^2+4x+6\). Completing the square gives \(x^2+4x+6=(x^2+4x+4)+2=(x+2)^2+2\), so option A is correct. Option B would produce the middle term \(-4x\), not \(+4x\). Exam tip: for \(x^2+bx+c\), take half of the coefficient of \(x\), square it, and add and subtract that value.
समान हर से (f-g=\frac{x-2+4-\(x^2-4\)}{x}=\frac{8}{x})। दूसरे अंश को घटाते समय दोनों चिन्ह बदलते हैं। / With a common denominator, (f-g=\frac{x-2+4-\(x^2-4\)}{x}=\frac{8}{x}). While subtracting the second numerator, both signs change.
((f-g)(x)=x-2-2x-1), इसलिए यह हमेशा ऋणात्मक नहीं है। सही हल के लिए द्विघात असमता हल करनी होती है। / This item should be checked by solving ((f-g)(x)=x-2-2x-1). The correct interval is between its two roots, so no listed option is fully suitable.
(\frac{f}{g}=\frac{(x+3)2+1}{(x+3)2+5}), जो ((x+3)2=0) पर न्यूनतम \(\frac{1}{5}\) देता है। समान वर्ग पद को \(t\ge 0\) मानना उपयोगी है। / (\frac{f}{g}=\frac{(x+3)2+1}{(x+3)2+5}), which gives the minimum \(\frac{1}{5}\) at ((x+3)2=0). It is useful to set the common square term as \(t\ge 0\).
पहले g(x) और h(x) का गुणन करें: g(x)h(x)=(x−2)·1=x−2। इसलिए (f−2gh)(x)=(x²−4x+4)−2(x−2)=x²−4x+4−2x+4=x²−6x+8। अतः विकल्प A सही है। विकल्प D में 2gh के पूरे पद को सही ढंग से घटाया नहीं गया है। परीक्षा-युक्ति: संयुक्त फलनों में गुणन और संख्यात्मक गुणक को पहले व्यवस्थित करके फिर घटाएँ। / First multiply g(x) and h(x): g(x)h(x)=(x−2)·1=x−2. Hence, (f−2gh)(x)=(x²−4x+4)−2(x−2)=x²−4x+4−2x+4=x²−6x+8. Therefore, option A is correct. Option D results from failing to subtract the complete term 2gh correctly. Exam tip: In algebraic combinations of functions, evaluate the product and its numerical coefficient before performing subtraction.
मान लें कि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) एक सम फलन और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) एक विषम फलन है। तब \(h(x)=f(g(x))\) के बारे में कौन-सा कथन सदैव सत्य है?
क्योंकि \(g(-x)=-g(x)\) और \(f\) सम है, इसलिए \(h(-x)=f(-g(x))=f(g(x))=h(x)\)। अतः \(h\) सम है; यह अनिवार्यतः अचर नहीं होता। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में पहले भीतर वाले फलन की सममिति लगाएँ। / Since \(g(-x)=-g(x)\) and \(f\) is even, \(h(-x)=f(-g(x))=f(g(x))=h(x)\). Hence \(h\) is even, not necessarily constant. Exam tip: apply the parity of the inner function first in a composition.
फलनों के योग के लिए \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2-5x)+x=x^2-4x=x(x-4)\)। अतः \(x=0\) या \(x=4\) पर यह फलन शून्य होता है, इसलिए सही समुच्चय \(\{0,4\}\) है। विकल्प B केवल \(f(x)\) के शून्यकों \(0\) और \(5\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: फलनों के योग के शून्यक निकालने से पहले दोनों फलनों को जोड़कर प्राप्त व्यंजक का गुणनखंड करें। / For the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2-5x)+x=x^2-4x=x(x-4)\). Thus, the expression is zero when \(x=0\) or \(x=4\), so the correct set is \(\{0,4\}\). Option B gives the zeroes of \(f(x)\) alone, not those of \(f(x)+g(x)\). Exam tip: first form the sum of the functions and then factorise it to find its zeroes.
गुणनफल फलन के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\)। अतः \(f(1)=1^2+2(1)=3\) और \(g(1)=1^2-2(1)=-1\)। इसलिए \((fg)(1)=3\times(-1)=-3\), अतः विकल्प B सही है। विकल्प C केवल तब आता जब योग या किसी अन्य संक्रिया को गलत ढंग से लागू किया जाए। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(a)\) में पहले दोनों फलनों के \(a\) पर मान ज्ञात करके उनका गुणन करें। / For product functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Thus, \(f(1)=1^2+2(1)=3\) and \(g(1)=1^2-2(1)=-1\). Therefore, \((fg)(1)=3\times(-1)=-3\), so option B is correct. Option C would result from applying an incorrect operation instead of multiplication. Exam tip: To evaluate \((fg)(a)\), first find \(f(a)\) and \(g(a)\), then multiply them.
(f) के लिए \(x\ne 3\) और भागफल में (g(x)\ne 0) भी \(x\ne 3\) देता है। इसलिए केवल (3) हटेगा। / For (f), \(x\ne 3\), and (g(x)\ne 0) in the quotient also gives \(x\ne 3\). Hence only (3) is excluded.
((f+g)(x)=2|x|), और (x<0) पर यह (-2x) भी होता है। दिए विकल्पों में (2|x|) सामान्य और सही रूप है। / ((f+g)(x)=2|x|), and for (x<0) it is also (-2x). Among the options, (2|x|) is a general correct form.
\(f(2)=\frac{4-9}{2-3}=5\) और \(g(2)=\frac{4-1}{2-1}=3\)। इसलिए \((f-g)(2)=f(2)-g(2)=5-3=2\), अतः विकल्प A सही है। यहाँ \(x=3\) और \(x=1\) पर फलन अपरिभाषित हैं, लेकिन \(x=2\) दोनों फलनों के प्रांत में है। परीक्षा-युक्ति: अंतर फलन का मान निकालते समय पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग ज्ञात करें। / \(f(2)=\frac{4-9}{2-3}=5\) and \(g(2)=\frac{4-1}{2-1}=3\). Therefore, \((f-g)(2)=f(2)-g(2)=5-3=2\), so option A is correct. The functions are undefined at \(x=3\) and \(x=1\), but \(x=2\) belongs to the domain of both functions. Exam tip: For a difference function, evaluate the two functions separately and then subtract.
((f+g)(x)=x-2+2x+1=(x+1)2), इसलिए परास \([0,\infty\)) है। पूर्ण वर्ग का परास अऋण होता है। / ((f+g)(x)=x-2+2x+1=(x+1)2), so the range is \([0,\infty\)). The range of a perfect square is non-negative.
समान हर से (h(x)=\frac{x-1+x+1}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1})। प्रांत में \(x=\pm1\) हटेंगे। / With a common denominator, (h(x)=\frac{x-1+x+1}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1}). The domain excludes \(x=\pm1\).
(f − g)(x) = [x² + ax + 1] − [x² + bx + 1] = (a − b)x। दिया है कि यह 5x के बराबर है, इसलिए x के गुणांक मिलाने पर a − b = 5। विकल्प B में चिह्न की गलती के कारण −5 आता है। परीक्षा-युक्ति: समान घात वाले पदों को घटाकर उनके गुणांकों की तुलना करें। / (f − g)(x) = [x² + ax + 1] − [x² + bx + 1] = (a − b)x. Since this equals 5x, comparing the coefficients of x gives a − b = 5. Option B results from a sign error. Exam tip: subtract like-powered terms first, then compare their coefficients.
उत्पाद सरल होकर (1) हो सकता है, पर मूल फलनों में (x=3) और (x=-3) निषिद्ध हैं। प्रांत मूल शर्तों से तय होता है। / The product may simplify to (1), but the original functions forbid (x=3) and (x=-3). The domain is decided by original restrictions.
फलनों का योग और घटाव बिंदुवार किया जाता है: (f−g+h)(x)=(2x²+1)−(x²−3)+(x²+4)। g(x) घटाने पर उसके दोनों पदों के चिह्न बदलते हैं, इसलिए यह 2x²+1−x²+3+x²+4=2x²+8 बनता है। विकल्प B में गुणांक और स्थिर पद गलत रूप से जोड़े गए हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन को घटाते समय पूरे कोष्ठक के आगे ऋण चिह्न लगाकर सभी चिह्न बदलें। / Function addition and subtraction are performed pointwise: (f−g+h)(x)=(2x²+1)−(x²−3)+(x²+4). Subtracting g(x) changes the signs of both of its terms, giving 2x²+1−x²+3+x²+4=2x²+8. Option B results from combining the terms incorrectly. Exam tip: when subtracting a function, place it in parentheses and reverse the sign of every term inside.
(x-2-1=(x-1)(x+1)), इसलिए (f=x-1), पर (x=-1) हटता है। समानता में मूल हर का प्रतिबंध रखें। / (x-2-1=(x-1)(x+1)), so (f=x-1), but (x=-1) is excluded. Keep the original denominator restriction in equality.
पहले f(0) ज्ञात करें: f(0)=|0+2|+|0-2|=|2|+|-2|=2+2=4। चूँकि g(x)=4, इसलिए g(0)=4। अतः (f-g)(0)=f(0)-g(0)=4-4=0। ध्यान रखें कि (f-g)(a)=f(a)-g(a) होता है; केवल f(a) निकालना पर्याप्त नहीं है। / First evaluate f(0): f(0)=|0+2|+|0-2|=|2|+|-2|=2+2=4. Since g(x)=4, g(0)=4. Therefore, (f-g)(0)=f(0)-g(0)=4-4=0. Remember that (f-g)(a)=f(a)-g(a); evaluating only f(a) gives the distractor 4, not the required difference.
फलनों के योग की परिभाषा के अनुसार, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। दोनों भिन्नों का हर समान है, इसलिए अंश जोड़े जाएंगे: \((2x+1)+(x-3)=3x-2\)। अतः \((f+g)(x)=\frac{3x-2}{x^2+1}\)। विकल्प C में \(1+(-3)=-2\) के स्थान पर गलत तरीके से \(+4\) लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: समान हर वाले बीजीय भिन्नों को जोड़ते समय केवल अंश जोड़ें और हर को अपरिवर्तित रखें; यहाँ \(x^2+1>0\) होने से हर कभी शून्य नहीं होता। / By the definition of the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Since the denominators are the same, add the numerators: \((2x+1)+(x-3)=3x-2\). Therefore, \((f+g)(x)=\frac{3x-2}{x^2+1}\). Option C results from incorrectly treating the constant terms; \(1+(-3)=-2\), not \(+4\). Exam tip: when adding algebraic fractions with the same denominator, add only the numerators and retain the common denominator; here \(x^2+1>0\), so the denominator is never zero.
पहले \(x=0\) रखने पर \(f(0)=0^2-2(0)+2=2\) और \(g(0)=0^2+2(0)+2=2\) प्राप्त होते हैं। उत्पाद फलन की परिभाषा के अनुसार \((fg)(0)=f(0)g(0)=2\times2=4\), इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प B केवल किसी एक फलन का मान लेने से मिल सकता है। परीक्षा में \((fg)(x)\) को योग नहीं, बल्कि \(f(x)\) और \(g(x)\) के गुणनफल के रूप में पढ़ें। / Substituting \(x=0\), we get \(f(0)=0^2-2(0)+2=2\) and \(g(0)=0^2+2(0)+2=2\). By the definition of the product function, \((fg)(0)=f(0)g(0)=2\times2=4\), so option C is correct. Option B may result from using the value of only one function. In an exam, remember that \((fg)(x)\) denotes the product of \(f(x)\) and \(g(x)\), not their sum.
(\frac{f}{g}=\frac{(x-5)2+1}{(x-5)2+5}), जो ((x-5)2=0) पर \(\frac{1}{5}\) देता है। समान वर्ग पद को \(t\ge 0\) रखकर देखें। / (\frac{f}{g}=\frac{(x-5)2+1}{(x-5)2+5}), which gives \(\frac{1}{5}\) at ((x-5)2=0). Set the common square term as \(t\ge 0\).
