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दिए गए असमिका में \\(x>1\\) का अर्थ है कि \\(x\\), 1 से बड़ा होना चाहिए; इसलिए \\(x=1\\) स्वीकार्य नहीं है। दूसरी ओर, \\(x\\le 6\\) के कारण \\(x=6\\) मान्य है, और 2 तथा 5 भी 1 और 6 के बीच आते हैं। परीक्षा-युक्ति: खुले चिह्न \\(>\\) या \\(<\\) पर सीमा शामिल नहीं होती, जबकि \\(\\le\\) या \\(\\ge\\) पर सीमा शामिल होती है। / The inequality \\(x>1\\) requires \\(x\\) to be strictly greater than 1, so \\(x=1\\) is not allowed. The value \\(x=6\\) is allowed because the condition is \\(x\\le 6\\), and 2 and 5 also lie within the permitted range. Exam tip: An open inequality sign, \\(>\\) or \\(<\\), excludes the boundary, whereas \\(\\le\\) or \\(\\ge\\) includes it.
\(x\geq -2\) का अर्थ है कि \(x\), \(-2\) के बराबर या उससे बड़ा हो सकता है। इसलिए \(-2\) शामिल होगा, जिसके लिए वर्ग कोष्ठक लगाया जाता है, और सभी मान दाईं ओर अनंत तक जाते हैं। अतः सही अंतराल \([-2,\infty)\) है। परीक्षा-युक्ति: \(\geq\) या \(\leq\) होने पर सीमा-बिंदु शामिल होता है, जबकि \(>\) या \(<\) होने पर नहीं। / The inequality \(x\geq -2\) means that \(x\) can be equal to \(-2\) or any greater value. Thus, \(-2\) is included, so a square bracket is used, and the values extend to the right up to infinity. Therefore, the correct interval is \([-2,\infty)\). Exam tip: Use a bracket when the endpoint is included, as with \(\geq\) or \(\leq\); use a parenthesis when it is excluded.
असमानता \(x>1\) में \(x\), 1 से बड़े सभी मान लेता है, लेकिन 1 स्वयं शामिल नहीं होता। इसलिए 1 पर खुला कोष्ठक और अनंत पर हमेशा खुला कोष्ठक लगाया जाता है, जिससे \((1,\infty)\) प्राप्त होता है। विकल्प B में 1 शामिल है, इसलिए वह \(x\geq1\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(>\) या \(<\) के लिए खुला कोष्ठक और \(\geq\) या \(\leq\) के लिए बंद कोष्ठक प्रयोग करें। / The inequality \(x>1\) includes all real numbers greater than 1 but excludes 1 itself. Therefore, an open parenthesis is used at 1; infinity always takes an open parenthesis, giving \((1,\infty)\). Option B includes 1 and represents \(x\geq1\), so it is incorrect. Exam tip: use open parentheses for \(>\) or \(<\), and closed parentheses for \(\geq\) or \(\leq\).
असमानता \(x\geq 0\) में \(0\) शामिल है, इसलिए \(0\) पर कोष्ठक के बजाय वर्ग कोष्ठक लगाया जाता है। इसके बाद सभी धनात्मक वास्तविक संख्याएँ आती हैं, इसलिए हल समुच्चय \([0,\infty)\) है। विकल्प B में \(0\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(\geq\) या \(\leq\) होने पर सीमा-बिंदु को interval notation में शामिल करें। / The inequality \(x\geq 0\) includes \(0\), so a square bracket is used at the endpoint. It also includes every positive real number, giving the solution set \([0,\infty)\). Option B incorrectly excludes \(0\). Exam tip: use a square bracket for an endpoint included by \(\geq\) or \(\leq\).
\((-\infty,2]\) का अर्थ है कि 2 से छोटी या उसके बराबर प्रत्येक वास्तविक संख्या हल है। कोष्ठक ] यह दर्शाता है कि 2 भी शामिल है, इसलिए सही असमिकता \(x\leq 2\) है। विकल्प B में 2 शामिल नहीं होता, क्योंकि \(x<2\) में केवल 2 से छोटी संख्याएँ आती हैं। परीक्षा-टिप: बंद कोष्ठक ] को \(\leq\) और खुली कोष्ठक ) को \(<\) से जोड़कर याद रखें। / The interval \((-\infty,2]\) contains every real number less than or equal to 2. The square bracket ] shows that 2 is included, so the correct inequality is \(x\leq 2\). Option B, \(x<2\), excludes 2 and is therefore not equivalent. Exam tip: a square bracket indicates inclusion, while a parenthesis indicates exclusion.
असमता \(x>-5\) में \(-5\) शामिल नहीं है, इसलिए -5 पर खुला कोष्ठक लगेगा। इसके बाद सभी बड़ी संख्याएँ दाईं ओर आती हैं, इसलिए अंतराल \((-5,\infty)\) है। विकल्प B में \(-5\) शामिल है, इसलिए वह \(x\geq -5\) को दर्शाता है। परीक्षा-टिप: > और < के लिए खुला कोष्ठक, जबकि ≥ और ≤ के लिए बंद कोष्ठक प्रयोग करें। / In the inequality \(x>-5\), \(-5\) is not included, so an open bracket is used at \(-5\). All greater values lie to its right, giving the interval \((-5,\infty)\). Option B includes \(-5\), so it represents \(x\geq -5\). Exam tip: use open brackets for > or < and closed brackets for ≥ or ≤.
असमानता \(x\leq 8\) में 8 भी शामिल है, इसलिए 8 पर बंद कोष्ठक \(]\) लगाया जाता है। 8 से छोटे सभी वास्तविक संख्याएँ भी शामिल हैं और अंतराल बाईं ओर \(-\infty\) तक जाता है। अतः सही अंतराल \(( -\infty, 8]\) है। विकल्प B में 8 शामिल नहीं है, क्योंकि वहाँ खुला कोष्ठक है। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) या \(\geq\) के लिए संबंधित सीमांत बिंदु पर बंद कोष्ठक लगाएँ। / The inequality \(x\leq 8\) includes 8, so the endpoint 8 must have a closed bracket, \(]\). It also includes every real number less than 8, extending left toward \(-\infty\). Therefore, the interval is \(( -\infty, 8]\). Option B is the closest distractor, but it excludes 8. Exam tip: use a closed bracket when an endpoint is included by \(\leq\) or \(\geq\).
असमानता के तीनों भागों में से 5 घटाने पर \(2-5\le x+5-5<9-5\), अर्थात् \(-3\le x<4\) प्राप्त होता है। इसलिए \(-3\) हल में शामिल है, जिसे वर्ग कोष्ठक \([\) से दर्शाते हैं, जबकि 4 शामिल नहीं है, इसलिए उसके लिए गोल कोष्ठक \()\) आता है। अतः सही अंतराल \([-3,4)\) है। परीक्षा में याद रखें: \(\le\) या \(\ge\) के लिए बंद सिरा और \(<\) या \(>\) के लिए खुला सिरा लिया जाता है। / Subtracting 5 from all three parts gives \(2-5\le x+5-5<9-5\), so \(-3\le x<4\). Thus, -3 is included and is shown with a square bracket, while 4 is excluded and is shown with a round bracket. Therefore, the correct interval is \([-3,4)\). The options \((-3,4]\), \((-3,4)\), and \([-3,4]\) use incorrect endpoint inclusion. Exam tip: \(\le\) or \(\ge\) gives a closed endpoint, whereas \(<\) or \(>\) gives an open endpoint.
A. 5 पर खुला बिंदु और दाईं ओर छायांकन/Open point at 5 and shading to the right
Explanation
Simple Explanation
दोनों पक्षों से 4 घटाने पर \(x+4>9\) से \(x>5\) प्राप्त होता है। इसलिए 5 संख्या शामिल नहीं है और वहाँ खुला बिंदु बनाया जाता है। 5 से बड़ी सभी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं, इसलिए दाईं ओर छायांकन होगा। विकल्प B में बंद बिंदु गलत है क्योंकि असमानता में \(>\) है, \(\geq\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: कठोर असमानता \(>\) या \(<\) के लिए खुला बिंदु और \(\geq\) या \(\leq\) के लिए बंद बिंदु लगाएँ। / Subtracting 4 from both sides gives \(x+4>9\Rightarrow x>5\). Thus, 5 is not included, so an open point is placed at 5. All numbers greater than 5 lie to the right, so the shading is directed to the right. Option B is incorrect because a closed point represents inclusion, as in \(x\geq5\), not the strict inequality \(x>5\). Exam tip: use an open point for \(>\) or \(<\), and a closed point for \(\geq\) or \(\leq\).
दिए गए अंतराल में \(-1\) शामिल है, जबकि \(4\) शामिल नहीं है। इसलिए पूर्णांक हल \(-1,0,1,2,3\) हैं। इनकी कुल संख्या \(5\) है। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) वाले छोर को गिनें और \(<\) वाले छोर को न गिनें। / The interval includes \(-1\) because of \(\leq\), but excludes \(4\) because of \(<\). Thus the integer solutions are \(-1,0,1,2,3\), giving a total of \(5\) solutions. Exam tip: include an endpoint marked by \(\leq\) and exclude one marked by \(<\).
B. \(-2\) पर भरा वृत्त और दाईं ओर/Closed circle at \(-2\) and shading to the right
Explanation
Simple Explanation
\(3x+4\ge -2\) में दोनों पक्षों से 4 घटाने पर \(3x\ge -6\) मिलता है। 3 से भाग देने पर \(x\ge -2\) प्राप्त होता है। \(\ge\) का अर्थ है कि \(-2\) भी हल में शामिल है, इसलिए वहाँ भरा वृत्त बनेगा और \(-2\) से बड़े मानों के लिए दाईं ओर छायांकन होगा। खाली वृत्त केवल \(>\) या \(<\) में बनता है। परीक्षा टिप: पहले असमानता को \(x\) के रूप में लिखें, फिर चिह्न देखकर वृत्त और दिशा चुनें। / Subtracting 4 from both sides of \(3x+4\ge -2\) gives \(3x\ge -6\). Dividing by 3 gives \(x\ge -2\). Since \(\ge\) includes \(-2\), the point \(-2\) is shown with a closed circle, and values greater than \(-2\) are shaded to the right. An open circle is used for strict inequalities such as \(>\) or \(<\). Exam tip: First write the inequality in terms of \(x\), then use the sign to choose the circle and direction.
हल करने पर \(-3x\le 6\) और फिर \(x\ge -2\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देते समय चिह्न बदलना न भूलें। / Solving gives \(-3x\le 6\) and then \(x\ge -2\). Remember to reverse the sign when dividing by a negative.
\(5x-1\le14\) में दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(5x\le15\) मिलता है। 5 से भाग देने पर \(x\le3\) प्राप्त होता है। इसलिए 3 तथा उससे छोटे सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं, जिसका अंतराल \((-\infty,3]\) है। विकल्प A में 3 शामिल नहीं है, इसलिए वह \(x<3\) के लिए होता। परीक्षा टिप: \(\le\) या \(\ge\) होने पर सीमांत बिंदु को वर्ग कोष्ठक से शामिल करते हैं। / Adding 1 to both sides of \(5x-1\le14\) gives \(5x\le15\). Dividing by 5 gives \(x\le3\). Hence, all real numbers less than or equal to 3 are included, represented by \((-\infty,3]\). Option A excludes 3, so it represents \(x<3\). Exam tip: Use a square bracket at an endpoint when \(\le\) or \(\ge\) includes that endpoint.
खुला सिरा सीमा को बाहर रखता है और बंद सिरा सीमा को शामिल करता है। इसलिए \(-1<x\le 6\) सही है। / An open endpoint excludes the boundary and a closed endpoint includes it. Hence \(-1<x\le 6\) is correct.
वर्ग कोष्ठक (-4) को शामिल करता है और गोल कोष्ठक (3) को बाहर रखता है। इसलिए \(-4\le x<3\) होगा। / The square bracket includes (-4) and the parenthesis excludes (3). Therefore the form is \(-4\le x<3\).
सभी भागों को (2) से भाग देने पर \(-3\le x<5\) मिलता है। इसलिए बायाँ सिरा बंद और दायाँ सिरा खुला है। / Dividing all parts by (2) gives \(-3\le x<5\). Hence the left endpoint is closed and the right endpoint is open.
पहला भाग (-2) को शामिल करता है और दूसरा भाग (4) को बाहर रखता है। अलग भागों के लिए \(\cup\) का प्रयोग करें। / The first part includes (-2) and the second part excludes (4). Use \(\cup\) for separate parts.
B. 5 पर बंद वृत्त और दाईं ओर छायांकन/Closed circle at 5 with shading to the right
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x-2}{3}\ge 1\) में 3 धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(x-2\ge 3\)। अतः \(x\ge 5\)। 5 भी हल में शामिल है, इसलिए 5 पर बंद वृत्त बनेगा और 5 से बड़े मानों के लिए दाईं ओर छायांकन होगा। विकल्प A में खुला वृत्त होता, जो \(x>5\) के लिए होता। परीक्षा टिप: \(\ge\) या \(\le\) में सीमा बिंदु पर हमेशा बंद वृत्त बनता है। / In \(\frac{x-2}{3}\ge 1\), 3 is positive, so multiplying both sides by 3 does not reverse the inequality: \(x-2\ge 3\). Thus, \(x\ge 5\). Since 5 is included in the solution, the number line has a closed circle at 5 and shading to the right for values greater than 5. Option A would represent \(x>5\) because it uses an open circle. Exam tip: Use a closed circle for \(\ge\) or \(\le\).
\(\frac{2x+1}{5}<3\) में 5 धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को 5 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(2x+1<15\)। अतः \(2x<14\), इसलिए \(x<7\)। क्योंकि असमानता कठोर है, \(7\) इसमें शामिल नहीं होगा; सही अंतराल \(( -\infty,7)\) है। \(( -\infty,7]\) गलत है क्योंकि उसमें \(7\) भी शामिल है। परीक्षा टिप: \(<\) या \(>\) के लिए खुले कोष्ठक और \(\leq\) या \(\geq\) के लिए बंद कोष्ठक लगते हैं। / In \(\frac{2x+1}{5}<3\), 5 is positive, so multiplying both sides by 5 does not reverse the inequality: \(2x+1<15\). Thus, \(2x<14\), giving \(x<7\). Since the inequality is strict, 7 is not included; the correct interval is \(( -\infty,7)\). The interval \(( -\infty,7]\) is incorrect because it includes 7. Exam tip: use a round bracket for \(<\) or \(>\), and a square bracket for \(\leq\) or \(\geq\).
बाहर की छायांकन दो अलग क्षेत्रों को दिखाती है और खुले वृत्त सीमाओं को बाहर रखते हैं। इसलिए (\(-\infty,-5\)\cup\(1,\infty\)) सही है। / Outward shading shows two separate regions and open circles exclude the endpoints. Hence (\(-\infty,-5\)\cup\(1,\infty\)) is correct.
B. \(x\le -7\) या \(x\ge 3\)/\(x\le -7\) or \(x\ge 3\)
Explanation
Simple Explanation
भरे वृत्त दोनों सीमाओं को शामिल करते हैं और बाहर की छायांकन दो बाहरी क्षेत्रों को दिखाती है। इसलिए बराबरी सहित या का प्रयोग होगा। / Closed circles include both endpoints and outward shading shows two outside regions. So inclusive inequalities with or are used.
पहले (3) से गुणा करें और फिर (1) जोड़ें तो \(-5\le x<13\) मिलता है। इसलिए अंतराल ([-5,13)) है। / First multiply by (3) and then add (1) to get \(-5\le x<13\). Therefore the interval is ([-5,13)).
दोनों अंतरालों में सामान्य भाग (0) से (8) तक है और दोनों मान शामिल हैं। इसलिए ([0,8]) सही है। / The common part of both intervals is from (0) to (8), and both values are included. Hence ([0,8]) is correct.
पहला अंतराल (2) से पहले खत्म होता है और दूसरा (2) के बाद शुरू होता है। इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं है। / The first interval ends before (2), and the second starts after (2). Therefore there is no common point.
असमानता \(1\le x<7\) में \(x\) का मान 1 के बराबर हो सकता है, क्योंकि \(\le\) चिह्न 1 को शामिल करता है। लेकिन \(x=7\) नहीं हो सकता, क्योंकि \(<7\) में 7 शामिल नहीं है। अतः पूर्णांक बिंदु \(1,2,3,4,5,6\) होंगे। विकल्प B में 1 छूट गया है और 7 को गलत रूप से शामिल किया गया है। परीक्षा टिप: \(\le\) या \(\ge\) वाले सिरे को शामिल करें, जबकि \(<\) या \(>\) वाले सिरे को शामिल न करें। / In \(1\le x<7\), \(x\) can equal 1 because the symbol \(\le\) includes 1. However, \(x=7\) is not allowed because \(<7\) excludes 7. Therefore, the integer points are \(1,2,3,4,5,6\). Option B wrongly omits 1 and includes 7. Exam tip: Include an endpoint with \(\le\) or \(\ge\), but exclude an endpoint with \(<\) or \(>\).
असमानता को हल करें: \(7-2x>1\Rightarrow -2x>-6\)। अब \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाएगा, इसलिए \(x<3\) मिलता है। अतः सही अंतराल \(( -\infty,3 )\) है और 3 शामिल नहीं होगा। \(( -\infty,3 ]\) गलत है क्योंकि वह \(x=3\) को शामिल करता है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Solve the inequality: \(7-2x>1\Rightarrow -2x>-6\). Dividing by \(-2\) reverses the inequality sign, giving \(x<3\). Hence, the correct interval is \(( -\infty,3 )\), and 3 is not included. \(( -\infty,3 ]\) is incorrect because it includes \(x=3\). Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
हल करने पर \(-4x\ge -16\) और \(x\le 4\) मिलता है। बराबरी शामिल होने से (4) पर बंद सिरा होगा। / Solving gives \(-4x\ge -16\) and \(x\le 4\). Since equality is included, (4) is a closed endpoint.
असमानता \(2<3x-1\le 11\) में सभी भागों में 1 जोड़ने पर \(3<3x\le 12\) मिलता है। अब सभी भागों को 3 से भाग देने पर \(1<x\le 4\) प्राप्त होता है। इसलिए 1 शामिल नहीं है और 4 शामिल है, अतः सही अंतराल \((1,4]\) है। विकल्प B में 1 को शामिल किया गया है, जो गलत है। परीक्षा टिप: खुले सिरे के लिए \((\ )\) और शामिल सिरे के लिए \([\ ]\) का प्रयोग करें। / Adding 1 to all parts of \(2<3x-1\le 11\) gives \(3<3x\le 12\). Dividing all parts by 3 gives \(1<x\le 4\). Thus, 1 is not included whereas 4 is included, so the correct interval is \((1,4]\). Option B incorrectly includes 1. Exam tip: use parentheses \((\ )\) for an excluded endpoint and square brackets \([\ ]\) for an included endpoint.
प्रतिच्छेद में केवल वे संख्याएँ आती हैं जो दोनों अंतरालों में हों। \((-\infty,0]\) में 0 तक की सभी संख्याएँ हैं और \([-3,4)\) में -3 से 4 तक की संख्याएँ हैं। इसलिए उनका उभयनिष्ठ भाग \([-3,0]\) है। -3 और 0 दोनों दिए गए अंतरालों में शामिल हैं, इसलिए दोनों पर वर्ग कोष्ठक लगते हैं। परीक्षा टिप: प्रतिच्छेद ज्ञात करते समय केवल दोनों अंतरालों का साझा भाग लें और सिरों के कोष्ठक अलग-अलग जाँचें। / An intersection contains only the numbers common to both intervals. \((-\infty,0]\) contains all numbers up to and including 0, while \([-3,4)\) contains numbers from -3 up to 4. Their common part is therefore \([-3,0]\). Both -3 and 0 are included in both intervals, so square brackets are used at both ends. Exam tip: For an intersection, keep only the overlap and check endpoint inclusion separately.
अंतराल \((1,5]\) में 1 शामिल नहीं है और 5 शामिल है, जबकि \([5,9)\) में 5 शामिल है और 9 शामिल नहीं है। दोनों अंतराल 5 पर मिलते हैं, इसलिए इनके संघ में 1 से 9 के बीच की प्रत्येक संख्या आती है, पर 1 और 9 नहीं आते। अतः सरल अंतराल \((1,9)\) है। \([1,9)\) गलत है क्योंकि इसमें 1 शामिल हो जाता है। परीक्षा टिप: संघ में जुड़े हुए अंतरालों के साझा या स्पर्श बिंदु को ध्यान से जाँचें। / In \((1,5]\), 1 is excluded and 5 is included; in \([5,9)\), 5 is included and 9 is excluded. Since the intervals meet at 5, their union contains every number between 1 and 9, but excludes both endpoints. Hence, the simplified interval is \((1,9)\). \([1,9)\) is incorrect because it includes 1. Exam tip: For a union, check carefully whether adjoining intervals share or include the joining point.
(4) से गुणा करने पर \(-4\le x+2\le 12\) और फिर \(-6\le x\le 10\) मिलता है। दोनों सीमाएँ शामिल हैं। / Multiplying by (4) gives \(-4\le x+2\le 12\), then \(-6\le x\le 10\). Both endpoints are included.
A. (-2) से (6) तक छायांकन और (3) पर खाली वृत्त/Shading from (-2) to (6) with an open circle at (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\setminus{3}\) का अर्थ है (3) को हटाना। इसलिए बंद अंतराल में (3) पर खाली वृत्त दिखेगा। / The notation \(\setminus{3}\) means remove (3). So an open circle appears at (3) inside the closed interval.
यह दोनों ओर की सभी संख्याएँ लेता है लेकिन (2) को छोड़ देता है। संख्या रेखा पर (2) पर खाली वृत्त होगा। / It takes all numbers on both sides but leaves out (2). On the number line, (2) has an open circle.
A. 2 पर खुला वृत्त और दाईं ओर छायांकन/Open circle at 2 and shading to the right
Explanation
Simple Explanation
\(3x-6>0\) में 6 जोड़ने पर \(3x>6\), अतः \(x>2\) मिलता है। ‘>’ में 2 शामिल नहीं होता, इसलिए खुला वृत्त और दाईं ओर छायांकन सही है। परीक्षा में पहले असमता हल करें, फिर सीमा-बिंदु जाँचें। / Adding 6 gives \(3x>6\), so \(x>2\). Since 2 is not included for a strict ‘>’ inequality, use an open circle and shade right. Exam tip: solve first, then check whether the boundary is included.
भरा हुआ बिंदु
-2 को हल में शामिल दिखाता है और दाईं ओर का छायांकन
x के
-2 से बड़े मानों को दर्शाता है। इसलिए \(x\ge-2\) सही है। \(x>-2\) में बिंदु खुला होता। परीक्षा में भरे बिंदु को ‘बराबर’ से जोड़ें। / A filled point means that
-2 is included, while shading to the right represents values greater than
-2. Hence \(x\ge-2\). In \(x>-2\), the endpoint would be open. Exam tip: filled endpoint always includes equality.
\(|x|\ge 2\) में \(x\le -2\) या \(x\ge 2\) होता है। बराबरी शामिल है इसलिए दोनों बाहरी सिरे बंद होंगे। / \(|x|\ge 2\) means \(x\le -2\) or \(x\ge 2\). Equality is included, so the outer endpoints are closed.
पहले अंतराल में (-2) शामिल है और दूसरा उसके तुरंत बाद शुरू होता है। मिलकर ([-8,5)) बनता है। / The first interval includes (-2), and the second starts just after it. Together they form ([-8,5)).
A. −2 पर खुला वृत्त और दाईं ओर छायांकित किरण/Open circle at −2 and shading to the right
Explanation
Simple Explanation
असमिका \(x>-2\) में −2 शामिल नहीं है, इसलिए −2 पर खुला वृत्त बनाया जाता है। \(x\) के वे सभी मान −2 से बड़े हैं, इसलिए छायांकन दाईं ओर होगा। विकल्प B में भरा हुआ वृत्त −2 को शामिल करता है, जो \(x\geq -2\) के लिए होता है। परीक्षा टिप: ‘>’ या ‘<’ के लिए खुला वृत्त तथा ‘≥’ या ‘≤’ के लिए भरा हुआ वृत्त याद रखें। / In \(x>-2\), the value −2 is not included, so an open circle is used at −2. All values of \(x\) are greater than −2, so the shading extends to the right. Option B includes −2 with a filled circle; it represents \(x\geq -2\). Exam tip: use an open circle for ‘>’ or ‘<’, and a filled circle for ‘≥’ or ‘≤’.
असमानता \(2(x-1)\le x+4\) को सरल करने पर \(2x-2\le x+4\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(x\) जोड़ने पर \(x\le 6\) प्राप्त होता है। इसलिए 6 सहित उसके सभी छोटे मान हल हैं, अर्थात अंतराल \(( -\infty,6]\)। विकल्प C निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर उसमें 6 शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: \(\le\) या \(\ge\) होने पर संबंधित सिरा बंद कोष्ठक से दिखाया जाता है। / Simplifying \(2(x-1)\le x+4\) gives \(2x-2\le x+4\). Subtracting \(x\) from both sides gives \(x\le 6\). Hence, all values less than or equal to 6 are solutions, represented by \(( -\infty,6]\). Option C is the closest distractor, but it excludes 6. Exam tip: Use a closed bracket when the inequality contains \(\le\) or \(\ge\).
दिया गया व्यंजक हल करें: \(3(x+2)>2x-1\Rightarrow 3x+6>2x-1\Rightarrow x>-7\)। इसलिए संख्या रेखा पर \(-7\) के दाईं ओर के सभी मान लिए जाते हैं, अर्थात \(( -7,\infty )\)। \(-7\) शामिल नहीं है क्योंकि असमानता \(>\) है, \(\ge\) नहीं; इसलिए विकल्प C गलत है। परीक्षा टिप: कठोर असमानता \((>,<)\) में सीमा-बिंदु खुला होता है। / Solve the inequality: \(3(x+2)>2x-1\Rightarrow 3x+6>2x-1\Rightarrow x>-7\). Hence, all numbers to the right of \(-7\) are represented by \(( -7,\infty )\). The value \(-7\) is not included because the sign is \(>\), not \(\ge\); therefore, option C is incorrect. Exam tip: A strict inequality \((>,<)\) always has an open endpoint.
सरल करने पर \(3-2x\ge 1\), फिर \(-2x\ge -2\) और \(x\le 1\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिह्न बदलता है। / Simplifying gives \(3-2x\ge 1\), then \(-2x\ge -2\), and \(x\le 1\). The sign reverses when dividing by a negative.
C. (2) और (9) दोनों शामिल नहीं हैं/Both (2) and (9) are not included
Explanation
Simple Explanation
खाली वृत्त सीमा को समाधान से बाहर रखता है। इसलिए दोनों अंतिम बिंदु शामिल नहीं होंगे। / Open circles keep boundary points out of the solution. Therefore both endpoints are not included.
मूल अंतराल में \(-3\) और \(7\) दोनों शामिल हैं। केवल \(0\) हटाने पर \(0\) पर खुला बिंदु बनेगा, जबकि \(-3\) और \(7\) बंद बिंदु रहेंगे। इसलिए प्राप्त समुच्चय \([-3,0)\cup(0,7]\) है। विकल्प B में \(0\) अभी भी शामिल है, और विकल्प C में सिरों \(-3\) तथा \(7\) को भी हटा दिया गया है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को हटाने पर उस बिंदु के पास गोल कोष्ठक लगाएँ। / The original interval includes both \(-3\) and \(7\). Removing only \(0\) creates an open point at \(0\), while \(-3\) and \(7\) remain included. Hence, the set is \([-3,0)\cup(0,7]\). In option B, \(0\) is still included, while option C incorrectly excludes \(-3\) and \(7\) as well. Exam tip: When a point is removed from an interval, use an open parenthesis at that point.
दूसरा अंतराल (-4) को शामिल करता है इसलिए बीच में कोई खाली जगह नहीं बचती। संयुक्त अंतराल ([-10,2]) है। / The second interval includes (-4), so no gap remains in the middle. The combined interval is ([-10,2]).
समान भाग (1) से शुरू होकर (6) से पहले तक है। (1) शामिल है और (6) शामिल नहीं है। / The common part starts at (1) and goes up to but not including (6). (1) is included and (6) is excluded.
([2,5]) में (2) और (5) शामिल हैं इसलिए बाहर का भाग उन्हें शामिल नहीं करेगा। इसलिए दोनों सीमाएँ खुली रहेंगी। / Since ([2,5]) includes (2) and (5), the outside part will not include them. Thus both boundaries are open.
((-1,4)) में (-1) और (4) शामिल नहीं हैं इसलिए पूरक में दोनों शामिल होंगे। अतः बाहरी भाग बंद सिरों के साथ होगा। / ((-1,4)) does not include (-1) and (4), so the complement includes both. Hence the outside regions have closed endpoints.
B. (1) पर भरा वृत्त और दाईं ओर/Closed circle at (1) and right side
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \(5-2x\le 3\), फिर \(-2x\le -2\) और \(x\ge 1\) मिलता है। सीमा शामिल है इसलिए (1) बंद होगा। / Solving gives \(5-2x\le 3\), then \(-2x\le -2\), and \(x\ge 1\). The boundary is included, so (1) is closed.
पहले अंतराल में (0) शामिल है और दूसरा (0) के बाद शुरू होता है। इसलिए कोई खाली जगह नहीं रहती और ([-5,4]) बनता है। / The first interval includes (0), and the second starts after (0). So no gap remains and the result is ([-5,4]).
A. 3 पर भरा बिंदु और बाईं ओर छायांकन/A closed point at 3 and shading to the left
Explanation
Simple Explanation
\(x\le3\) में 3 स्वयं हल में शामिल है, इसलिए 3 पर भरा बिंदु बनता है। 3 से छोटी सभी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं, अतः वहीं छायांकन होगा। परीक्षा टिप: \(\le\) या \(\ge\) के लिए हमेशा भरा बिंदु लें। / In \(x\le3\), the endpoint 3 is included, so it is shown by a closed point. Numbers smaller than 3 lie to the left, so that side is shaded. Exam tip: use a closed point for \(\le\) or \(\ge\), not an open point.
दोनों अंतरालों का केवल सामान्य बिंदु (1) है। इसलिए संख्या रेखा पर (1) पर भरा बिंदु होगा। / The only common point of the two intervals is (1). So the number line has a closed point at (1).
खुला सिरा (a) को बाहर रखता है और बंद सिरा (b) को शामिल करता है। इसलिए अंतराल ((a,b]) होगा। / The open endpoint excludes (a), and the closed endpoint includes (b). Therefore the interval is ((a,b]).
A. 2 पर खाली वृत्त और दाईं ओर छायांकन/Open circle at 2 and shading to the right
Explanation
Simple Explanation
असमानता को हल करने पर 4x+1>9 से 4x>8 और x>2 प्राप्त होता है। इसलिए 2 सीमा-बिंदु है, लेकिन > चिह्न के कारण 2 समाधान में शामिल नहीं है; अतः 2 पर खाली वृत्त बनाया जाता है। x के 2 से बड़े सभी मान दाईं ओर होते हैं, इसलिए दाईं ओर छायांकन किया जाता है। भरा वृत्त x≥2 या x≤2 जैसी असमता के लिए होता है। परीक्षा-युक्ति: > या < के साथ खाली वृत्त और ≥ या ≤ के साथ भरा वृत्त बनाइए। / Solving the inequality gives 4x+1>9, so 4x>8 and x>2. The boundary point 2 is not included because the inequality is strict; therefore, an open circle is placed at 2. All values greater than 2 lie to the right, so the right side is shaded. A closed circle would represent an inclusive inequality such as x≥2 or x≤2. Exam tip: use an open circle for > or < and a closed circle for ≥ or ≤.
हल करने पर \(-5x\le 15\) और फिर \(x\ge -3\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर असमता का चिह्न बदलता है। / Solving gives \(-5x\le 15\) and then \(x\ge -3\). The inequality sign reverses when dividing by a negative.
दोनों अंतरालों का समान भाग (-2) से बड़ा और (4) से छोटा है। दोनों सीमाएँ इस समान भाग में शामिल नहीं हैं। / The common part is greater than (-2) and less than (4). Both endpoints are excluded in this intersection.
दूसरा अंतराल (-1) को शामिल करता है इसलिए बीच में कोई अंतर नहीं बचता। संयुक्त भाग (5) से पहले तक की सभी संख्याएँ देता है। / The second interval includes (-1), so no gap remains. The union gives all numbers before (5).
मूल अंतराल में (-4) शामिल है लेकिन (2) शामिल नहीं है। पूरक में (-4) बाहर और (2) शामिल होगा। / The original interval includes (-4) but excludes (2). In the complement, (-4) is excluded and (2) is included.
हल करने पर \(5\le 2x-3<15\) और फिर \(4\le x<9\) मिलता है। इसलिए (4) शामिल है लेकिन (9) शामिल नहीं है। / Solving gives \(5\le 2x-3<15\) and then \(4\le x<9\). Therefore (4) is included but (9) is excluded.
\(-4\le x<3\) में \(-4\) शामिल है, जबकि \(3\) शामिल नहीं है। इसलिए पूर्णांक \(-4,-3,-2,-1,0,1,2\) होंगे, जिनकी कुल संख्या \(7\) है। \(3\) को गिनना गलत होगा क्योंकि असमानता में \(x<3\) है। परीक्षा टिप: \(\le\) वाले सिरे को शामिल करें और \(<\) वाले सिरे को छोड़ दें। / In \(-4\le x<3\), \(-4\) is included, but \(3\) is not included. Thus, the integers are \(-4,-3,-2,-1,0,1,2\), giving a total of \(7\) points. Counting \(3\) would be incorrect because the inequality is \(x<3\). Exam tip: Include an endpoint with \(\le\) and exclude an endpoint with \(<\).
A. (4) पर खाली गोला और दाईं ओर रेखा/Open circle at (4) and line to the right
Explanation
Simple Explanation
(>) में सीमा संख्या शामिल नहीं होती इसलिए खाली गोला लगेगा। परीक्षा में दिशा चिन्ह से तय करें। / In (>), the boundary number is not included, so use an open circle. In exams, decide direction from the inequality sign.
C. (-2) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा/Closed dot at (-2) and ray to the right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\ge\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए बंद बिंदु लगेगा। परीक्षा में दिशा हमेशा बड़े मानों की ओर देखें। / The sign \(\ge\) includes equality so the dot is closed. In exams always check the direction toward greater values.
B. (-3) पर भरा गोला और बाईं ओर रेखा/Closed circle at (-3) and line to the left
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में सीमा संख्या शामिल होती है और छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। परीक्षा में भरे गोले का अर्थ शामिल समझें। / In \(\le\), the boundary number is included and smaller numbers lie to the left. In exams, a closed circle means included.
B. (-4) पर खुला बिंदु और (1) पर बंद बिंदु/Open dot at (-4) and closed dot at (1)
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक वाला सिरा शामिल नहीं होता और वर्ग कोष्ठक वाला सिरा शामिल होता है। परीक्षा में (() को खुला और ([) को बंद याद रखें। / A round bracket endpoint is not included and a square bracket endpoint is included. In exams remember (() means open and ([) means closed.
A. (2) पर खाली गोला (7) पर भरा गोला और बीच का भाग/Open circle at (2) closed circle at (7) and shaded between
Explanation
Simple Explanation
(() का अर्थ सीमा शामिल नहीं और (]) का अर्थ सीमा शामिल है। परीक्षा में कोष्ठक देखकर गोला चुनें। / The bracket (() means not included and (]) means included. In exams, choose the circle type from the bracket.
खुला बिंदु बताता है कि (3.5) शामिल नहीं है और बाईं दिशा छोटे मान दिखाती है। परीक्षा में खुले बिंदु के लिए सख्त असमानता लिखें। / The open dot shows that (3.5) is not included and the left direction shows smaller values. In exams write a strict inequality for an open dot.
A. (5) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा/Closed dot at (5) and ray to the right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \(x\ge 5\) मिलता है इसलिए (5) शामिल है और रेखा दाईं ओर जाएगी। परीक्षा में पहले असमानता सरल करें फिर संख्या रेखा बनाएं। / Solving gives \(x\ge 5\) so (5) is included and the ray goes right. In exams simplify the inequality first then draw the number line.
B. (-4) पर भरा गोला और (2) पर खाली गोला/Closed circle at (-4) and open circle at (2)
Explanation
Simple Explanation
(-4) शामिल है पर (2) शामिल नहीं है। परीक्षा में \(\le\) को भरा और (<) को खाली गोला मानें। / The number (-4) is included but (2) is not included. In exams, treat \(\le\) as closed and (<) as open.
खुले सिरों का अर्थ है कि (0) और (6) दोनों शामिल नहीं हैं। परीक्षा में दोनों खुले बिंदुओं के लिए ((0,6)) लिखें। / Open endpoints mean both (0) and (6) are not included. In exams write ((0,6)) for two open dots.
भरा गोला (6) को शामिल करता है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ होती हैं। परीक्षा में \(\infty\) के साथ हमेशा खुला कोष्ठक रखें। / A closed circle includes (6), and numbers to the right are greater. In exams, always use an open bracket with \(\infty\).
खाली गोला सीमा को हटाता है और बाईं ओर छोटी संख्याएँ होती हैं। परीक्षा में बाईं दिशा को (<) से जोड़ें। / An open circle excludes the boundary and the left side has smaller numbers. In exams, connect left shading with (<).
A. जब सीमा-बिंदु हल में शामिल हो, जैसे \(x \le a\) या \(x \ge a\)/When the endpoint is included in the solution, such as \(x \le a\) or \(x \ge a\)
Explanation
Simple Explanation
भरा हुआ वृत्त बताता है कि सीमा-बिंदु स्वयं हल-समुच्चय में शामिल है। इसलिए \(x \le a\) और \(x \ge a\) में \(a\) पर भरा हुआ वृत्त बनता है। \(x < a\) या \(x > a\) में \(a\) शामिल नहीं होता, इसलिए वहाँ खोखला वृत्त बनाया जाता है। परीक्षा टिप: \(\le\) और \(\ge\) के साथ भरा वृत्त तथा \(<\) और \(>\) के साथ खोखला वृत्त याद रखें। / A filled circle shows that the endpoint itself belongs to the solution set. Hence, for \(x \le a\) and \(x \ge a\), a filled circle is marked at \(a\). In \(x < a\) or \(x > a\), the endpoint is excluded, so an open circle is used. Exam tip: associate \(\le\) and \(\ge\) with a filled circle, and \(<\) and \(>\) with an open circle.
([0,4)) में (0) शामिल है लेकिन (4) शामिल नहीं है। परीक्षा में अंतिम कोष्ठक खुले होने पर अंतिम संख्या हटाएँ। / In ([0,4)), (0) is included but (4) is not included. In exams, exclude the endpoint with an open bracket.
पूर्णांक (-4,-3,-2,-1,0) हैं इसलिए कुल (5) हैं। परीक्षा में खुले सिरों को गिनती से बाहर रखें। / The integers are (-4,-3,-2,-1,0), so there are (5). In exams, keep open endpoints out of counting.
A. \(x\ge 3\) इसलिए (3) पर भरा गोला और दाईं ओर/\(x\ge 3\), so closed circle at (3) and right side
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \(3x\ge 9\) और \(x\ge 3\) मिलता है। परीक्षा में पहले हल करें फिर संख्या रेखा बनाएं। / Solving gives \(3x\ge 9\) and \(x\ge 3\). In exams, solve first and then draw the number line.
A. 4 पर खुला वृत्त और बाईं ओर छायांकित भाग/Open circle at 4 and shading to the left
Explanation
Simple Explanation
दिया है: \(2x+1<9\)। दोनों पक्षों से 1 घटाने पर \(2x<8\) मिलता है और 2 से भाग देने पर \(x<4\) प्राप्त होता है। इसलिए 4 हल में शामिल नहीं है, अतः 4 पर खुला वृत्त बनेगा और 4 से छोटे सभी मानों के लिए बाईं ओर छायांकन होगा। विकल्प B में \(x\le4\) दर्शाया गया है, जो 4 को भी शामिल करता है। परीक्षा टिप: \(<\) या \(>\) के लिए खुला वृत्त तथा \(\le\) या \(\ge\) के लिए भरा वृत्त बनाइए। / Given \(2x+1<9\), subtracting 1 from both sides gives \(2x<8\). Dividing by 2 gives \(x<4\). Thus, 4 is not included, so the number line has an open circle at 4 and is shaded to the left for all values less than 4. Option B represents \(x\le4\), incorrectly including 4. Exam tip: use an open circle for \(<\) or \(>\), and a closed circle for \(\le\) or \(\ge\).
सभी भागों को (2) से भाग देने पर \(-3\le x\le 5\) मिलता है। परीक्षा में संयुक्त असमानता में हर भाग पर वही क्रिया करें। / Dividing all parts by (2) gives \(-3\le x\le 5\). In exams, apply the same operation to every part of a compound inequality.
सभी भागों को (2) से गुणा करने पर \(2<x\le 8\) मिलता है। परीक्षा में अंतिम सीमा शामिल है या नहीं यह जरूर देखें। / Multiplying all parts by (2) gives \(2<x\le 8\). In exams, check carefully whether each endpoint is included.
पूर्णांक (-2,-1,0,1,2,3) हैं इसलिए कुल (6) हैं। परीक्षा में बंद अंतराल में दोनों सिरों को गिनें। / The integers are (-2,-1,0,1,2,3), so the total is (6). In exams, count both endpoints in a closed interval.
दोनों गोले खाली हैं इसलिए दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं। परीक्षा में खाली गोला खुले कोष्ठक से लिखें। / Both circles are open, so both endpoints are excluded. In exams, write an open circle using an open bracket.
भरा गोला (7) को शामिल करता है और बाईं ओर (7) से छोटी संख्याएँ हैं। परीक्षा में भरा गोला देखकर बराबरी का चिन्ह जोड़ें। / A closed circle includes (7), and the left side contains numbers less than (7). In exams, add equality when you see a closed circle.
C. इसमें (-2) शामिल नहीं है पर (4) शामिल है/It does not include (-2) but includes (4)
Explanation
Simple Explanation
(() का अर्थ (-2) बाहर और (]) का अर्थ (4) अंदर है। परीक्षा में बाएँ और दाएँ कोष्ठक अलग-अलग जाँचें। / The bracket (() means (-2) is out and (]) means (4) is in. In exams, check left and right brackets separately.
पहला भाग (-1) से छोटा है और दूसरा भाग (3) सहित उससे बड़ा है। परीक्षा में \(\cup\) को या के रूप में पढ़ें। / The first part is less than (-1), and the second part is (3) and greater. In exams, read \(\cup\) as or.
दोनों का सामान्य भाग (4) से बड़ा और (6) तक है। परीक्षा में साथ वाली शर्त का मतलब प्रतिच्छेद होता है। / The common part is greater than (4) and up to (6). In exams, conditions taken together mean intersection.
(-5) शामिल है और (2) शामिल नहीं है। परीक्षा में दोनों शर्तों को मिलाकर बीच का साझा भाग लें। / (-5) is included and (2) is not included. In exams, combine both conditions and take the common middle part.
\([3,\infty\)) दाईं ओर अनंत तक जाता है इसलिए अंतिम दायाँ बिंदु नहीं है। परीक्षा में \(\infty\) को वास्तविक बिंदु न मानें। / \([3,\infty\)) extends endlessly to the right, so it has no final right endpoint. In exams, do not treat \(\infty\) as an actual point.
D. सभी (0) से छोटी वास्तविक संख्याएँ/All real numbers less than (0)
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,0\)) में (0) शामिल नहीं है और उससे छोटी सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। परीक्षा में खुले कोष्ठक का ध्यान रखें। / (\(-\infty,0\)) excludes (0) and contains all real numbers less than it. In exams, pay attention to the open bracket.
केवल अलग-अलग पूर्णांक बिंदु भरे हैं इसलिए \(x\in\mathbb{Z}\) होगा। परीक्षा में रेखा और अलग बिंदुओं में अंतर पहचानें। / Only separate integer points are filled, so \(x\in\mathbb{Z}\). In exams, distinguish a shaded line segment from separate points.
असमानता में (5) वह संख्या है जहाँ से दिशा तय होती है। परीक्षा में सीमा बिंदु पहले पहचानें। / In the inequality, (5) is the number from which the direction is decided. In exams, identify the boundary point first.
हल करने पर \(-2x\le -4\) और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\ge 2\) मिलता है। परीक्षा में चिन्ह पलटना जरूरी है। / Solving gives \(-2x\le -4\), and dividing by a negative gives \(x\ge 2\). In exams, reversing the sign is essential.
सभी भागों में (1) घटाने पर \(3<x\le 7\) मिलता है। परीक्षा में संयुक्त असमानता में दोनों सीमाएँ साथ बदलें। / Subtracting (1) from all parts gives \(3<x\le 7\). In exams, change both boundaries together in a compound inequality.
(-2) शामिल नहीं है इसलिए उससे ठीक छोटा पूर्णांक (-3) है। परीक्षा में खुले अंतिम बिंदु को उत्तर न चुनें। / (-2) is not included, so the integer just before it is (-3). In exams, do not choose an open endpoint.
(-4) शामिल नहीं है इसलिए अगला पूर्णांक (-3) है। परीक्षा में खुले बाएँ बिंदु के बाद वाला पूर्णांक लें। / (-4) is not included, so the next integer is (-3). In exams, take the integer after an open left endpoint.
B. केवल (2) पर भरा बिंदु/Only a closed point at (2)
Explanation
Simple Explanation
([2,2]) में केवल (2) शामिल होता है। परीक्षा में समान सीमाओं वाले बंद अंतराल को एक बिंदु मानें। / ([2,2]) contains only (2). In exams, treat a closed interval with equal endpoints as a single point.
कोई संख्या (3) से बड़ी और (3) से छोटी साथ-साथ नहीं हो सकती। परीक्षा में समान सीमाओं वाले खुले अंतराल को रिक्त मानें। / No number can be greater than (3) and less than (3) at the same time. In exams, an open interval with equal endpoints is empty.
A. पूरी संख्या रेखा पर रेखा और (2) पर खाली गोला/Whole number line shaded with an open circle at (2)
Explanation
Simple Explanation
\(x\neq 2\) में (2) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। परीक्षा में हटाए गए बिंदु को खाली गोले से दिखाएँ। / In \(x\neq 2\), all real numbers except (2) are included. In exams, show the excluded point with an open circle.
किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(x^2\) ऋणात्मक नहीं होता। परीक्षा में सार्वत्रिक सत्य असमानता को पूरी रेखा से दिखाएँ। / For any real (x), \(x^2\) is never negative. In exams, represent an always true inequality by the whole line.
वास्तविक संख्या का वर्ग कभी (0) से छोटा नहीं होता। परीक्षा में असंभव शर्त को रिक्त समुच्चय लिखें। / The square of a real number is never less than (0). In exams, write an impossible condition as the empty set.
\(|x|\ge 4\) का अर्थ (0) से दूरी कम से कम (4) है। परीक्षा में दूरी अधिक हो तो बाहरी भाग लें। / \(|x|\ge 4\) means the distance from (0) is at least (4). In exams, when distance is greater, take the outside parts.
(-2) शामिल नहीं है लेकिन (2) शामिल है। परीक्षा में पूर्णांक शर्त होने पर अलग-अलग बिंदु दिखाएँ। / (-2) is not included but (2) is included. In exams, show separate points when the condition is over integers.
B. पूरी संख्या रेखा पर (1) को छोड़कर/Entire number line except (1)
Explanation
Simple Explanation
दोनों भाग (1) से छोटे और बड़े सभी मान लेते हैं पर (1) नहीं लेते। परीक्षा में संघ में दोनों भाग जोड़ें। / The two parts take all values less than and greater than (1), but not (1). In exams, combine both parts for union.
दोनों शर्तों को एक साथ केवल (0) पूरा करता है। परीक्षा में प्रतिच्छेद का अर्थ साझा भाग होता है। / Only (0) satisfies both conditions together. In exams, intersection means the common part.
(\(1,\infty\)) में (1) शामिल नहीं है पर उससे बड़े मान शामिल हैं। परीक्षा में खुले बाएँ सिरे को बाहर रखें। / In (\(1,\infty\)), (1) is not included but greater values are included. In exams, exclude the open left endpoint.
दोनों सीमाएँ समान और शामिल हैं इसलिए केवल (-6) बिंदु मिलेगा। परीक्षा में इसे एक भरे बिंदु से दिखाएँ। / Both boundaries are equal and included, so only the point (-6) is obtained. In exams, show it as one closed point.
साझा भाग (2) से बड़ा और (5) सहित है। परीक्षा में प्रतिच्छेद में केवल ओवरलैप लिखें। / The common part is greater than (2) and includes (5). In exams, write only the overlap for intersection.
पहला भाग (2) तक खुला है और दूसरा (2) से शुरू होकर शामिल है इसलिए बीच में अंतर नहीं रहता। परीक्षा में जुड़े हुए अंतराल को मिलाकर लिखें। / The first part is open up to (2), and the second starts at (2) included, so no gap remains. In exams, merge connected intervals.
दोनों अंतराल (4) को बाहर रखते हैं इसलिए (4) शामिल नहीं है। परीक्षा में संघ में भी खुले छूटे बिंदु पर ध्यान दें। / Both intervals exclude (4), so (4) is not included. In exams, watch for missing open points even in a union.
(-1) शामिल है और रेखा दाईं ओर जाती है इसलिए \(x\ge -1\) होगा। परीक्षा में ([ ) को बराबरी सहित पढ़ें। / (-1) is included and the line goes right, so \(x\ge -1\). In exams, read ([ ) as including equality.
A. (x>7) इसलिए (7) पर खाली गोला और दाईं ओर/(x>7), so open circle at (7) and right side
Explanation
Simple Explanation
दोनों ओर (3) से गुणा कर (x-1>6) और (x>7) मिलता है। परीक्षा में पहले सीमा मान निकालें फिर गोला और दिशा तय करें। / Multiplying both sides by (3) gives (x-1>6), so (x>7). In exams, find the boundary first and then choose circle and direction.
C. (-6) पर खुला बिंदु और दाईं ओर रेखा/Open dot at (-6) and ray to the right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) में बराबरी शामिल नहीं होती इसलिए खुला बिंदु लगेगा। परीक्षा में बड़े मानों के लिए रेखा दाईं ओर बनाएं। / The sign (>) does not include equality so the dot is open. In exams draw the ray to the right for greater values.
(-2) शामिल नहीं है लेकिन (3) शामिल है इसलिए पूर्णांक (-1) से (3) तक होंगे। परीक्षा में खुले और बंद endpoints के अनुसार integer points चुनें। / The value (-2) is excluded but (3) is included so the integers are from (-1) to (3). In exams choose integer points according to open and closed endpoints.
बंद बिंदु (-1) को शामिल करता है और बाईं दिशा छोटे मान दिखाती है। परीक्षा में बंद बिंदु के साथ \(\le\) या \(\ge\) का प्रयोग करें। / The closed dot includes (-1) and the left direction shows smaller values. In exams use \(\le\) or \(\ge\) with a closed dot.
बंद बिंदु (11) को शामिल करता है और दाईं दिशा बड़े मान दिखाती है। परीक्षा में closed dot के साथ equality वाला चिन्ह चुनें। / The closed dot includes (11) and the right direction shows greater values. In exams choose the equality sign with a closed dot.
B. \(\frac{1}{2}\) पर बंद और \(4\) पर खुला बिंदु/Closed dot at \(\frac{1}{2}\) and open dot at \(4\)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कोष्ठक \(\frac{1}{2}\) को शामिल करता है और गोल कोष्ठक \(4\) को हटाता है। परीक्षा में brackets को सीधे endpoints में बदलें। / The square bracket includes \(\frac{1}{2}\) and the round bracket excludes \(4\). In exams convert brackets directly into endpoints.
A. (3) पर खुला बिंदु और बाईं ओर रेखा/Open dot at (3) and ray to the left
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर (x<3) मिलता है इसलिए (3) शामिल नहीं है। परीक्षा में पहले सीमा मान निकालें फिर खुला या बंद बिंदु तय करें। / Solving gives (x<3) so (3) is not included. In exams first find the boundary value then decide open or closed dot.
A. (4) पर खुला बिंदु और दाईं ओर रेखा/Open dot at (4) and ray right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर (x>4) मिलता है इसलिए (4) शामिल नहीं है। परीक्षा में पहले boundary निकालें फिर direction तय करें। / Solving gives (x>4) so (4) is not included. In exams first find the boundary and then decide the direction.
दोनों खुले बिंदु बताते हैं कि (0) और (4) शामिल नहीं हैं। परीक्षा में दो खुले सिरों के लिए गोल कोष्ठक लगाएं। / Both open dots show that (0) and (4) are not included. In exams use round brackets for two open endpoints.
(-6) शामिल है और (-1) शामिल नहीं है इसलिए \(-6\le x<-1\) सही है। परीक्षा में negative endpoints को भी number line order में पढ़ें। / The value (-6) is included and (-1) is excluded so \(-6\le x<-1\) is correct. In exams read negative endpoints in number line order.
(5) से गुणा करके और (3) घटाकर \(7\le x<12\) मिलता है। परीक्षा में positive multiplication से inequality sign नहीं बदलता। / Multiplying by (5) and subtracting (3) gives \(7\le x<12\). In exams positive multiplication does not reverse the inequality sign.
बंद बिंदु (8) को शामिल करता है और दाईं दिशा बड़े मान दिखाती है। परीक्षा में दाईं रेखा के लिए (>) या \(\ge\) चुनें। / The closed dot includes (8) and the right direction shows greater values. In exams choose (>) or \(\ge\) for a right ray.
or में दोनों अलग-अलग भागों का union लिया जाता है। परीक्षा में \(\le\) वाले endpoint को बंद और (>) वाले endpoint को खुला रखें। / For or take the union of both separate parts. In exams keep the \(\le\) endpoint closed and the (>) endpoint open.
(-5) शामिल है और (2) शामिल नहीं है इसलिए ([-5,2)) सही है। परीक्षा में बराबरी वाले सिरे पर वर्ग कोष्ठक लगाएं। / The value (-5) is included and (2) is excluded so ([-5,2)) is correct. In exams use a square bracket at the equality endpoint.
(-3) से भाग देने पर दोनों चिन्ह पलटते हैं और \(-2\le x<5\) मिलता है। परीक्षा में negative division के बाद endpoints का क्रम सही करें। / Dividing by (-3) reverses both signs and gives \(-2\le x<5\). In exams fix the endpoint order after negative division.
D. \(\frac{3}{2}\) पर बंद बिंदु और बाईं ओर रेखा/Closed dot at \(\frac{3}{2}\) and ray left
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में बराबरी शामिल है और छोटे मान बाईं ओर होते हैं। परीक्षा में भिन्न सीमा मान को भी सामान्य संख्या की तरह रखें। / The sign \(\le\) includes equality and smaller values lie to the left. In exams place a fractional boundary like any ordinary number.
दोनों खुले बिंदु बताते हैं कि दोनों endpoints शामिल नहीं हैं। परीक्षा में open-open segment को round brackets से लिखें। / Both open dots show that both endpoints are excluded. In exams write an open-open segment using round brackets.
खुला बिंदु (-3) को हटाता है और बंद बिंदु (6) को शामिल करता है। परीक्षा में छायांकित भाग को बीच की असमानता में लिखें। / The open dot excludes (-3) and the closed dot includes (6). In exams write the shaded region as a compound inequality.
B. \(\frac{5}{3}\) पर बंद बिंदु और बाईं ओर रेखा/Closed dot at \(\frac{5}{3}\) and ray left
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{5}{3}\) शामिल है और उससे छोटे सभी मान लिए जाते हैं। परीक्षा में (\(-\infty,a]\) को \(x\le a\) समझें। / The value \(\frac{5}{3}\) is included and all smaller values are taken. In exams understand (\(-\infty,a]\) as \(x\le a\).
हल करने पर \(-2x\ge -4\) और ऋणात्मक से भाग देने पर चिह्न बदलकर \(x\le 2\) होता है। परीक्षा में ऋणात्मक से भाग देने पर असमानता का चिन्ह पलटें। / Solving gives \(-2x\ge -4\) and dividing by a negative changes the sign to \(x\le 2\). In exams reverse the inequality sign when dividing by a negative.
A. (9) पर बंद बिंदु और बाईं ओर रेखा/Closed dot at (9) and ray to the left
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,9]\) में (9) शामिल है और सभी छोटे मान लिए जाते हैं। परीक्षा में \(-\infty\) की ओर रेखा बाईं दिशा में होती है। / The interval (\(-\infty,9]\) includes (9) and all smaller values. In exams the ray toward \(-\infty\) goes left.
B. (4) पर खुला बिंदु और बाकी पूरी रेखा/Open dot at (4) and the rest of the whole line
Explanation
Simple Explanation
\(x\ne 4\) में (4) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। परीक्षा में हटाए गए बिंदु को खुला दिखाएं। / The inequality \(x\ne 4\) includes all real numbers except (4). In exams show the removed point as an open dot.
C. (-7) शामिल नहीं है और (-2) शामिल है/(-7) is excluded and (-2) is included
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक (-7) को हटाता है और वर्ग कोष्ठक (-2) को शामिल करता है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्याओं में भी सिरों का नियम वही रहता है। / The round bracket excludes (-7) and the square bracket includes (-2). In exams the endpoint rule stays the same for negative numbers.
खुला बिंदु (1) को हटाता है और दाईं दिशा बड़े मानों को दिखाती है। परीक्षा में \(\infty\) वाले सिरे पर हमेशा गोल कोष्ठक होता है। / The open dot excludes (1) and the right direction shows greater values. In exams infinity endpoints always use round brackets.
C. (-1) और (3) दोनों पर बंद बिंदु/Closed dots at both (-1) and (3)
Explanation
Simple Explanation
([-1,3]) में दोनों सिरों पर वर्ग कोष्ठक हैं इसलिए दोनों मान शामिल हैं। परीक्षा में closed interval के दोनों बिंदु बंद बनाएं। / The interval ([-1,3]) has square brackets at both ends so both values are included. In exams draw closed dots for both endpoints of a closed interval.
दोनों बंद बिंदु बताते हैं कि (-8) और (2) शामिल हैं। परीक्षा में closed dots को \(\le\) वाले दोनों चिह्नों से जोड़ें। / Both closed dots show that (-8) and (2) are included. In exams connect closed dots with \(\le\) signs on both sides.
A. \(-\frac{5}{2}\) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा/Closed dot at \(-\frac{5}{2}\) and ray right
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) के कारण सीमा मान शामिल है और बड़े मान दाईं ओर हैं। परीक्षा में ऋणात्मक भिन्न को संख्या रेखा पर सही स्थान पर रखें। / Because of \(\ge\) the boundary value is included and greater values are to the right. In exams place the negative fraction correctly on the number line.
C. जब असमानता में (<) या (>) हो/When the inequality has (<) or (>)
Explanation
Simple Explanation
सख्त असमानता में सीमा मान शामिल नहीं होता इसलिए endpoint खुला होता है। परीक्षा में (<) और (>) को open dot से जोड़ें। / In a strict inequality the boundary value is not included so the endpoint is open. In exams connect (<) and (>) with open dots.
(-4) शामिल नहीं है और सभी छोटे मान शामिल हैं इसलिए (x<-4) होगा। परीक्षा में \(-\infty\) वाले अंतराल को बाईं रेखा समझें। / The value (-4) is excluded and all smaller values are included so (x<-4). In exams read an interval with \(-\infty\) as a left ray.
खुला बिंदु (6) को हटाता है और दाईं छाया (6) से बड़े मान दिखाती है। परीक्षा में \(\infty\) पर कभी वर्ग कोष्ठक न लगाएं। / The open dot excludes (6) and right shading shows values greater than (6). In exams never use a square bracket with \(\infty\).
B. \(x\ge 2\) के रूप में बंद बिंदु और दाईं रेखा/As \(x\ge 2\) with closed dot and right ray
Explanation
Simple Explanation
हल में \(-4x\le -8\) आता है और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\ge 2\) मिलता है। परीक्षा में sign reversal भूलना सबसे सामान्य गलती है। / The solution gives \(-4x\le -8\) and dividing by a negative gives \(x\ge 2\). In exams forgetting sign reversal is the most common error.
A. (3) पर खुला और (8) पर बंद बिंदु/Open dot at (3) and closed dot at (8)
Explanation
Simple Explanation
((3,8]) में (3) हटता है और (8) शामिल होता है। परीक्षा में interval notation को सीधे endpoint dots में बदलें। / In ((3,8]) the value (3) is excluded and (8) is included. In exams convert interval notation directly into endpoint dots.
पूरी असमानता को (2) से गुणा करने पर \(2\le x<8\) मिलता है। परीक्षा में धनात्मक से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying the whole inequality by (2) gives \(2\le x<8\). In exams the sign does not change when multiplying by a positive number.
(-2) शामिल है और (5) शामिल नहीं है इसलिए ([-2,5)) सही है। परीक्षा में left endpoint और right endpoint अलग-अलग पढ़ें। / The value (-2) is included and (5) is excluded so ([-2,5)) is correct. In exams read the left and right endpoints separately.
D. (0) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा/Closed dot at (0) and ray right
Explanation
Simple Explanation
\(x\ge 0\) में (0) शामिल है और उससे बड़े मान दाईं ओर हैं। परीक्षा में (0) को भी सीमा मान की तरह शामिल करें। / In \(x\ge 0\) the value (0) is included and greater values are to the right. In exams treat (0) as a boundary value too.
यह असमानता केवल (x=2) को संतुष्ट करती है इसलिए एक बंद बिंदु बनेगा। परीक्षा में समान दोनों सिरों वाले closed interval को single point मानें। / This inequality is satisfied only by (x=2) so one closed dot is drawn. In exams treat a closed interval with equal endpoints as a single point.
((4,4)) में दोनों सिर खुले हैं और बीच में कोई संख्या नहीं बचती। परीक्षा में समान open endpoints वाला interval empty होता है। / In ((4,4)) both endpoints are open and no number remains between them. In exams an interval with equal open endpoints is empty.
(-6) पर बराबरी है इसलिए वर्ग कोष्ठक और (-1) पर बराबरी नहीं है इसलिए गोल कोष्ठक होगा। परीक्षा में signs को brackets में बदलना अभ्यास करें। / There is equality at (-6) so use a square bracket and no equality at (-1) so use a round bracket. In exams practice converting signs into brackets.
खुला बिंदु सीमा को हटाता है और बाईं दिशा छोटे मान दिखाती है। परीक्षा में negative fraction की दिशा पर खास ध्यान दें। / The open dot excludes the boundary and the left direction shows smaller values. In exams pay special attention to the direction for a negative fraction.
B. (0) पर बंद बिंदु और बाईं ओर रेखा/Closed dot at (0) and ray left
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,0]\) में (0) शामिल है और उससे छोटे मान शामिल हैं। परीक्षा में (\(-\infty,0]\) को \(x\le 0\) से जोड़कर याद रखें। / The interval (\(-\infty,0]\) includes (0) and all smaller values. In exams remember (\(-\infty,0]\) as \(x\le 0\).
सरल करने पर \(x\le 6\) मिलता है इसलिए (6) पर बंद बिंदु और बाईं रेखा होगी। परीक्षा में चर पदों को एक तरफ लाकर हल करें। / Simplifying gives \(x\le 6\) so there is a closed dot at (6) and a left ray. In exams bring variable terms to one side before representing.
दोनों शर्तें मिलकर (0<x<5) देती हैं और दोनों endpoints खुले हैं। परीक्षा में and का अर्थ common shaded part होता है। / The two conditions together give (0<x<5) and both endpoints are open. In exams and means the common shaded part.
or में दोनों अलग-अलग भागों का union लिया जाता है। परीक्षा में \(\le -2\) पर बंद और (>3) पर खुला endpoint रखें। / For or take the union of both separate regions. In exams keep a closed endpoint for \(\le -2\) and an open endpoint for (>3).
दोनों खुले बिंदु सख्त असमानता बताते हैं इसलिए (-4<x<1) सही है। परीक्षा में open endpoints को (<) से लिखें। / Both open endpoints indicate strict inequalities so (-4<x<1) is correct. In exams write open endpoints using (<).
B. \(x\ge 3\) के रूप में दाईं रेखा/As \(x\ge 3\) with right ray
Explanation
Simple Explanation
\(3\le x\) को \(x\ge 3\) भी लिखा जा सकता है। परीक्षा में चर को बाईं ओर लिखकर दिशा समझना आसान होता है। / The inequality \(3\le x\) can also be written as \(x\ge 3\). In exams writing the variable on the left makes the direction easier to read.
B. (0) बंद और \(\frac{9}{4}\) खुला/(0) closed and \(\frac{9}{4}\) open
Explanation
Simple Explanation
(0) पर बराबरी है इसलिए बंद बिंदु और \(\frac{9}{4}\) पर बराबरी नहीं है इसलिए खुला बिंदु होगा। परीक्षा में mixed endpoints को ध्यान से बनाएं। / There is equality at (0) so it is closed and no equality at \(\frac{9}{4}\) so it is open. In exams draw mixed endpoints carefully.
\(x>5\) में 5 स्वयं हल में शामिल नहीं है, इसलिए 5 पर खुला वृत्त बनाया जाता है और दाईं ओर छायांकन होता है। जाँचें: \(x=5\) रखने पर कथन असत्य है। परीक्षा टिप: \(\geq\) या \(\leq\) में भरा वृत्त बनता है। / In \(x>5\), the boundary value 5 is not included, so an open circle is drawn at 5 and the ray extends rightward. Check: substituting \(x=5\) makes the statement false. Exam tip: \(\geq\) and \(\leq\) use a closed circle.
पूरी वास्तविक रेखा (\(-\infty,\infty\)) से लिखी जाती है और infinity पर वर्ग कोष्ठक नहीं लगते। परीक्षा में infinity को endpoint मानकर शामिल न करें। / The whole real line is written as (\(-\infty,\infty\)) and square brackets are not used with infinity. In exams do not treat infinity as an includable endpoint.
खुला बिंदु (-9) को हटाता है और दाईं रेखा उससे बड़े मान लेती है। परीक्षा में (>) को (\(a,\infty\)) के रूप में लिखें। / The open dot excludes (-9) and the right ray takes values greater than it. In exams write (>) as (\(a,\infty\)).
दोनों भाग अलग हैं और (1) तथा (4) दोनों शामिल हैं। परीक्षा में union में दोनों rays को अलग-अलग दिखाएं। / The two parts are separate and both (1) and (4) are included. In exams show both rays separately for a union.
(-3) से भाग देने पर दोनों असमानता चिन्ह पलटते हैं और \(-2<x\le 4\) मिलता है। परीक्षा में negative division के बाद क्रम को सही रखें। / Dividing by (-3) reverses both inequality signs and gives \(-2<x\le 4\). In exams keep the order correct after negative division.
