Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
अंतराल \((- infty,5)\) में 5 के पास गोल कोष्ठक है, इसलिए 5 अंतराल में शामिल नहीं है। यह 5 से छोटी सभी वास्तविक संख्याओं को दर्शाता है, अर्थात \(x<5\)। परीक्षा-युक्ति: गोल कोष्ठक endpoint को बाहर रखते हैं, जबकि वर्ग कोष्ठक उसे शामिल करते हैं; \(- infty\) के साथ हमेशा गोल कोष्ठक लगाया जाता है। / In the interval \((- infty,5)\), the round parenthesis at 5 means that 5 is not included. It represents all real numbers less than 5, so the inequality is \(x<5\). Exam tip: round brackets exclude an endpoint, while square brackets include it; \(- infty\) is always written with a round bracket.
अंतराल \([2,\infty)\) में 2 के बाईं ओर वर्ग कोष्ठक है, इसलिए 2 स्वयं अंतराल में शामिल है। दाईं ओर अनंत तक जाने का अर्थ है कि \(x\) का मान 2 से बड़ा या 2 के बराबर होगा, अर्थात \(x\ge 2\)। परीक्षा-युक्ति: समापन बिंदु शामिल हो तो वर्ग कोष्ठक और असमानता में \(\ge\) या \(\le\) का प्रयोग करें। / In the interval \([2,\infty)\), the square bracket at 2 shows that 2 is included. Extending to the right toward infinity means that \(x\) is greater than or equal to 2, so \(x\ge 2\). Exam tip: an included endpoint is represented by a square bracket and by \(\ge\) or \(\le\) in inequality form.
\(x>-4\) का अर्थ है कि \(x\), \(-4\) से बड़ा है। इसलिए \(-4\) शामिल नहीं होगा और सभी मान उसके दाईं ओर होंगे; अतः अंतराल \((-4,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि वर्ग कोष्ठक \(-4\) को भी शामिल करता है। परीक्षा में याद रखें: \(>\) या \(<\) के लिए खुला कोष्ठक लगाया जाता है। / The inequality \(x>-4\) means that \(x\) is greater than \(-4\). Thus, \(-4\) is excluded and all values to its right are included, giving the interval \((-4,\infty)\). Option B is incorrect because the square bracket includes \(-4\). Exam tip: use a parenthesis for strict inequalities such as \(>\) or \(<\).
\(x\le 0\) का अर्थ है 0 से छोटे सभी मान तथा 0 स्वयं। इसलिए अंतराल 0 तक बाईं ओर जाता है और 0 शामिल होने के कारण उसके साथ वर्ग कोष्ठक लगता है: \(( -\infty,0]\)। \(-\infty\) के साथ हमेशा गोल कोष्ठक प्रयुक्त होता है, क्योंकि अनंत कोई वास्तविक संख्या नहीं है। विकल्प D में 0 शामिल नहीं है; वह \(x<0\) दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(\le\) या \(\ge\) में सीमांत मान शामिल होता है, इसलिए उस ओर वर्ग कोष्ठक लगाएँ। / \(x\le 0\) includes every number less than 0 as well as 0 itself. Hence, the interval extends leftward up to 0, with a square bracket at 0: \(( -\infty,0]\). A parenthesis is always used with \(-\infty\), since infinity is not a real number. Option D excludes 0, so it represents \(x<0\). Exam tip: For \(\le\) or \(\ge\), include the boundary value using a square bracket.
C. \(x\), 2 के बराबर या उससे बड़ा, लेकिन 5 से छोटा है/\(x\) is equal to or greater than 2, but less than 5
Explanation
Simple Explanation
संयुक्त असमानता \(2\le x<5\) का अर्थ है \(2\le x\) और \(x<5\)। इसलिए \(x\) का मान 2 हो सकता है, लेकिन 5 नहीं हो सकता; अतः विकल्प C सही है। विकल्प D इस अंतराल के बाहर के मानों को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(\le\) का अर्थ सीमा को शामिल करना और \(<\) का अर्थ सीमा को शामिल न करना है। / The compound inequality \(2\le x<5\) means \(2\le x\) and \(x<5\). Thus, \(x\) may be equal to 2, but it cannot be equal to 5, so option C is correct. Option D represents values outside this interval. Exam tip: \(\le\) includes the endpoint, whereas \(<\) excludes it.
भरा हुआ बिंदु बताता है कि 4 हल में शामिल है, और दाईं ओर छायांकन 4 से बड़े मानों को दर्शाता है। इसलिए \(x \geq 4\) सही है। \(x>4\) में 4 शामिल नहीं होता। परीक्षा टिप: भरा बिंदु के लिए \(\geq\) या \(\leq\) लें। / A closed dot means that 4 is included, while rightward shading represents numbers greater than 4. Hence \(x \geq 4\) is correct. In \(x>4\), 4 is excluded. Exam tip: use \(\geq\) or \(\leq\) for a closed dot.
B. समाधान \(-2\) के बाईं ओर स्थित हैं और \(-2\) शामिल नहीं है/The solutions lie to the left of \(-2\), and \(-2\) is not included
Explanation
Simple Explanation
\(x<-2\) का अर्थ है कि \(x\), \(-2\) से छोटी कोई भी वास्तविक संख्या है। संख्या रेखा पर ऐसी संख्याएँ \(-2\) के बाईं ओर होती हैं। चूँकि असमानता में '<' है, इसलिए \(-2\) स्वयं समाधान नहीं है और वहाँ खुला वृत्त बनाया जाता है। परीक्षा-युक्ति: '<' या '>' होने पर सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / The inequality \(x<-2\) means that \(x\) can be any real number smaller than \(-2\). On a number line, smaller numbers lie to the left of \(-2\). Since the sign is '<', \(-2\) itself is not included, so an open circle is used. Exam tip: with '<' or '>', the boundary point is excluded.
\(x\ge 2\) का अर्थ है कि \(x\) का मान 2 या 2 से बड़ा हो सकता है। इसलिए 2 समाधान समुच्चय में शामिल होगा और उसके लिए वर्ग कोष्ठक \([\) लगाया जाएगा; मान दाईं ओर अनंत तक जाएंगे। अतः सही अंतराल \([2,\infty)\) है। विकल्प A में 2 शामिल नहीं है, इसलिए वह \(x>2\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(\ge\) या \(\le\) होने पर संबंधित सीमांत बिंदु पर वर्ग कोष्ठक लगाएँ, जबकि \(\infty\) के साथ हमेशा गोल कोष्ठक लगता है। / The inequality \(x\ge 2\) means that \(x\) can be 2 or any value greater than 2. Thus, 2 is included in the solution set, so a square bracket is used at 2, and the values extend to the right up to infinity. Therefore, the correct interval is \([2,\infty)\). Option A excludes 2 and represents \(x>2\). Exam tip: Use a square bracket for an included endpoint, but always use a round bracket with \(\infty\).
अंतराल के दाएँ छोर पर वर्ग कोष्ठक ] यह दर्शाता है कि 3 अंतराल में शामिल है। इसलिए इसमें 3 से छोटी या उसके बराबर सभी संख्याएँ आती हैं, अर्थात् \(x\le 3\)। परीक्षा में याद रखें: वर्ग कोष्ठक छोर को शामिल करता है, जबकि अनंत को कभी शामिल नहीं किया जाता। / The square bracket ] at the right endpoint shows that 3 is included in the interval. Thus the interval contains all numbers less than or equal to 3, so the inequality is \(x\le 3\). Exam tip: a square bracket includes the endpoint, while infinity is never included.
असमानता \\(-1\le x<4\\) में वे सभी मान शामिल हैं जो \\(-1\\) से बड़े या बराबर और \\(4\\) से छोटे हों। \\(0\\) इस सीमा के भीतर है, इसलिए सही उत्तर C है। \\(4\\) शामिल नहीं है क्योंकि \\(x<4\\) है, जबकि \\(5\\) और \\(-2\\) सीमा के बाहर हैं। परीक्षा-युक्ति: \\(\le\\) वाला सिरा शामिल होता है, पर \\(<\\) वाला सिरा शामिल नहीं होता। / The inequality \\(-1\le x<4\\) includes values that are at least \\(-1\\) and less than \\(4\\). Since \\(0\\) lies within this interval, option C is correct. The value \\(4\\) is excluded because the inequality uses \\(<4\\), while \\(5\\) and \\(-2\\) lie outside the interval. Exam tip: an endpoint with \\(\le\\) is included, whereas an endpoint with \\(<\\) is excluded.
