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अंतराल \((- infty,5)\) में 5 के पास गोल कोष्ठक है, इसलिए 5 अंतराल में शामिल नहीं है। यह 5 से छोटी सभी वास्तविक संख्याओं को दर्शाता है, अर्थात \(x<5\)। परीक्षा-युक्ति: गोल कोष्ठक endpoint को बाहर रखते हैं, जबकि वर्ग कोष्ठक उसे शामिल करते हैं; \(- infty\) के साथ हमेशा गोल कोष्ठक लगाया जाता है। / In the interval \((- infty,5)\), the round parenthesis at 5 means that 5 is not included. It represents all real numbers less than 5, so the inequality is \(x<5\). Exam tip: round brackets exclude an endpoint, while square brackets include it; \(- infty\) is always written with a round bracket.
अंतराल \([2,\infty)\) में 2 के बाईं ओर वर्ग कोष्ठक है, इसलिए 2 स्वयं अंतराल में शामिल है। दाईं ओर अनंत तक जाने का अर्थ है कि \(x\) का मान 2 से बड़ा या 2 के बराबर होगा, अर्थात \(x\ge 2\)। परीक्षा-युक्ति: समापन बिंदु शामिल हो तो वर्ग कोष्ठक और असमानता में \(\ge\) या \(\le\) का प्रयोग करें। / In the interval \([2,\infty)\), the square bracket at 2 shows that 2 is included. Extending to the right toward infinity means that \(x\) is greater than or equal to 2, so \(x\ge 2\). Exam tip: an included endpoint is represented by a square bracket and by \(\ge\) or \(\le\) in inequality form.
\(x>-4\) का अर्थ है कि \(x\), \(-4\) से बड़ा है। इसलिए \(-4\) शामिल नहीं होगा और सभी मान उसके दाईं ओर होंगे; अतः अंतराल \((-4,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि वर्ग कोष्ठक \(-4\) को भी शामिल करता है। परीक्षा में याद रखें: \(>\) या \(<\) के लिए खुला कोष्ठक लगाया जाता है। / The inequality \(x>-4\) means that \(x\) is greater than \(-4\). Thus, \(-4\) is excluded and all values to its right are included, giving the interval \((-4,\infty)\). Option B is incorrect because the square bracket includes \(-4\). Exam tip: use a parenthesis for strict inequalities such as \(>\) or \(<\).
\(x\le 0\) का अर्थ है 0 से छोटे सभी मान तथा 0 स्वयं। इसलिए अंतराल 0 तक बाईं ओर जाता है और 0 शामिल होने के कारण उसके साथ वर्ग कोष्ठक लगता है: \(( -\infty,0]\)। \(-\infty\) के साथ हमेशा गोल कोष्ठक प्रयुक्त होता है, क्योंकि अनंत कोई वास्तविक संख्या नहीं है। विकल्प D में 0 शामिल नहीं है; वह \(x<0\) दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(\le\) या \(\ge\) में सीमांत मान शामिल होता है, इसलिए उस ओर वर्ग कोष्ठक लगाएँ। / \(x\le 0\) includes every number less than 0 as well as 0 itself. Hence, the interval extends leftward up to 0, with a square bracket at 0: \(( -\infty,0]\). A parenthesis is always used with \(-\infty\), since infinity is not a real number. Option D excludes 0, so it represents \(x<0\). Exam tip: For \(\le\) or \(\ge\), include the boundary value using a square bracket.
C. \(x\), 2 के बराबर या उससे बड़ा, लेकिन 5 से छोटा है/\(x\) is equal to or greater than 2, but less than 5
Explanation
Simple Explanation
संयुक्त असमानता \(2\le x<5\) का अर्थ है \(2\le x\) और \(x<5\)। इसलिए \(x\) का मान 2 हो सकता है, लेकिन 5 नहीं हो सकता; अतः विकल्प C सही है। विकल्प D इस अंतराल के बाहर के मानों को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(\le\) का अर्थ सीमा को शामिल करना और \(<\) का अर्थ सीमा को शामिल न करना है। / The compound inequality \(2\le x<5\) means \(2\le x\) and \(x<5\). Thus, \(x\) may be equal to 2, but it cannot be equal to 5, so option C is correct. Option D represents values outside this interval. Exam tip: \(\le\) includes the endpoint, whereas \(<\) excludes it.
भरा हुआ बिंदु बताता है कि 4 हल में शामिल है, और दाईं ओर छायांकन 4 से बड़े मानों को दर्शाता है। इसलिए \(x \geq 4\) सही है। \(x>4\) में 4 शामिल नहीं होता। परीक्षा टिप: भरा बिंदु के लिए \(\geq\) या \(\leq\) लें। / A closed dot means that 4 is included, while rightward shading represents numbers greater than 4. Hence \(x \geq 4\) is correct. In \(x>4\), 4 is excluded. Exam tip: use \(\geq\) or \(\leq\) for a closed dot.
B. समाधान \(-2\) के बाईं ओर स्थित हैं और \(-2\) शामिल नहीं है/The solutions lie to the left of \(-2\), and \(-2\) is not included
Explanation
Simple Explanation
\(x<-2\) का अर्थ है कि \(x\), \(-2\) से छोटी कोई भी वास्तविक संख्या है। संख्या रेखा पर ऐसी संख्याएँ \(-2\) के बाईं ओर होती हैं। चूँकि असमानता में '<' है, इसलिए \(-2\) स्वयं समाधान नहीं है और वहाँ खुला वृत्त बनाया जाता है। परीक्षा-युक्ति: '<' या '>' होने पर सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / The inequality \(x<-2\) means that \(x\) can be any real number smaller than \(-2\). On a number line, smaller numbers lie to the left of \(-2\). Since the sign is '<', \(-2\) itself is not included, so an open circle is used. Exam tip: with '<' or '>', the boundary point is excluded.
\(x\ge 2\) का अर्थ है कि \(x\) का मान 2 या 2 से बड़ा हो सकता है। इसलिए 2 समाधान समुच्चय में शामिल होगा और उसके लिए वर्ग कोष्ठक \([\) लगाया जाएगा; मान दाईं ओर अनंत तक जाएंगे। अतः सही अंतराल \([2,\infty)\) है। विकल्प A में 2 शामिल नहीं है, इसलिए वह \(x>2\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(\ge\) या \(\le\) होने पर संबंधित सीमांत बिंदु पर वर्ग कोष्ठक लगाएँ, जबकि \(\infty\) के साथ हमेशा गोल कोष्ठक लगता है। / The inequality \(x\ge 2\) means that \(x\) can be 2 or any value greater than 2. Thus, 2 is included in the solution set, so a square bracket is used at 2, and the values extend to the right up to infinity. Therefore, the correct interval is \([2,\infty)\). Option A excludes 2 and represents \(x>2\). Exam tip: Use a square bracket for an included endpoint, but always use a round bracket with \(\infty\).
अंतराल के दाएँ छोर पर वर्ग कोष्ठक ] यह दर्शाता है कि 3 अंतराल में शामिल है। इसलिए इसमें 3 से छोटी या उसके बराबर सभी संख्याएँ आती हैं, अर्थात् \(x\le 3\)। परीक्षा में याद रखें: वर्ग कोष्ठक छोर को शामिल करता है, जबकि अनंत को कभी शामिल नहीं किया जाता। / The square bracket ] at the right endpoint shows that 3 is included in the interval. Thus the interval contains all numbers less than or equal to 3, so the inequality is \(x\le 3\). Exam tip: a square bracket includes the endpoint, while infinity is never included.
असमानता \\(-1\le x<4\\) में वे सभी मान शामिल हैं जो \\(-1\\) से बड़े या बराबर और \\(4\\) से छोटे हों। \\(0\\) इस सीमा के भीतर है, इसलिए सही उत्तर C है। \\(4\\) शामिल नहीं है क्योंकि \\(x<4\\) है, जबकि \\(5\\) और \\(-2\\) सीमा के बाहर हैं। परीक्षा-युक्ति: \\(\le\\) वाला सिरा शामिल होता है, पर \\(<\\) वाला सिरा शामिल नहीं होता। / The inequality \\(-1\le x<4\\) includes values that are at least \\(-1\\) and less than \\(4\\). Since \\(0\\) lies within this interval, option C is correct. The value \\(4\\) is excluded because the inequality uses \\(<4\\), while \\(5\\) and \\(-2\\) lie outside the interval. Exam tip: an endpoint with \\(\le\\) is included, whereas an endpoint with \\(<\\) is excluded.
\(x\le 4\) का अर्थ है कि \(x\), 4 से छोटा या उसके बराबर है। इसलिए सभी मान 4 के बाईं ओर होंगे और 4 स्वयं भी शामिल होगा, जिसे कोष्ठक \(]\) दर्शाता है। अतः सही अंतराल \((- infty,4]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें 4 शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(\le\) या \(\ge\) होने पर संबंधित सीमा-बिंदु को वर्ग कोष्ठक से लिखें। / The inequality \(x\le 4\) means that \(x\) is less than or equal to 4. Thus, the values extend to the left toward negative infinity, and 4 is included, shown by the bracket \(]\). Therefore, the correct interval is \((- infty,4]\). Option B is incorrect because it excludes 4. Exam tip: use a square bracket at an endpoint when the inequality includes equality, such as \(\le\) or \(\ge\).
असमानता \(x>6\) में वे सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं जो 6 से बड़ी हैं, परन्तु 6 स्वयं शामिल नहीं है। इसलिए 6 पर गोल कोष्ठक लगेगा और अंतराल दाईं ओर अनंत तक जाएगा: \((6,\infty)\)। विकल्प B में \(6\) शामिल है, इसलिए वह \(x\geq6\) के लिए होता है। परीक्षा टिप: \(>\) या \(<\) के लिए संबंधित सिरे पर गोल कोष्ठक लगाएँ। / The inequality \(x>6\) contains every real number greater than 6, but it does not include 6 itself. Hence, 6 has a round parenthesis and the interval continues to the right up to infinity: \((6,\infty)\). Option B includes \(6\), so it represents \(x\geq6\). Exam tip: use a round parenthesis at an endpoint for \(>\) or \(<\).
पहले 5 घटाने पर \(2x\ge 12\) और 2 से भाग देने पर \(x\ge 6\) मिलता है। इसलिए 6 हल-समुच्चय में शामिल है और अंतराल \([6,\infty)\) होगा। विकल्प B गलत है क्योंकि \((6,\infty)\) में 6 शामिल नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \(\ge\) या \(\le\) होने पर संबंधित सीमा पर बंद कोष्ठक लगाया जाता है। / Subtracting 5 gives \(2x\ge 12\), and dividing by the positive number 2 gives \(x\ge 6\). Thus, 6 is included in the solution set, so the interval is \([6,\infty)\). Option B is incorrect because \((6,\infty)\) excludes 6. Exam tip: use a closed bracket at a finite endpoint when the inequality contains \(\ge\) or \(\le\).
A. (3) पर खाली वृत्त और दाईं ओर किरण/Open circle at (3) and ray to the right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) में सीमा संख्या शामिल नहीं होती इसलिए खाली वृत्त बनता है। परीक्षा में दिशा हमेशा बड़ी संख्याओं की ओर देखें। / The sign (>) does not include the boundary so an open circle is used. In exams check the direction toward greater numbers.
B. (-2) पर भरा वृत्त और बाईं ओर छायांकन/Closed circle at (-2) and shading left
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\le\) में (-2) शामिल है और छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। सीमा शामिल हो तो भरा वृत्त बनाइए। / The sign \(\le\) includes (-2) and smaller numbers lie to the left. Use a closed circle when the endpoint is included.
दोनों भरे वृत्त बताते हैं कि दोनों सीमाएँ शामिल हैं। बीच का भाग संयुक्त असमता देता है। / Both closed circles show that both endpoints are included. The shaded middle part gives a compound inequality.
B. (2) पर खाली वृत्त और (7) पर भरा वृत्त/Open circle at (2) and closed circle at (7)
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक वाली सीमा शामिल नहीं होती और वर्ग कोष्ठक वाली सीमा शामिल होती है। इसलिए (2) खुला और (7) बंद होगा। / A parenthesis endpoint is not included and a square bracket endpoint is included. Therefore (2) is open and (7) is closed.
(x<5) में (5) शामिल नहीं है इसलिए (5) पर गोल कोष्ठक आता है। अनंत के साथ हमेशा गोल कोष्ठक लगाएँ। / In (x<5), (5) is not included so a parenthesis is used at (5). Always use a parenthesis with infinity.
B. (0) पर भरा वृत्त और दाईं ओर किरण/Closed circle at (0) and ray right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\ge\) में (0) शामिल है और उससे बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए भरा वृत्त और दाईं किरण बनती है। / The sign \(\ge\) includes (0), and greater numbers are to the right. So it is a closed circle with a right ray.
खाली वृत्त सीमा को हटाता है और बाईं किरण छोटी संख्याएँ दिखाती है। इसलिए असमता (x<6) है। / The open circle excludes the boundary and the left ray shows smaller numbers. Hence the inequality is (x<6).
([-3,2)) में (-3) शामिल है पर (2) शामिल नहीं है। खुला सिरा उसी संख्या पर बनेगा जो शामिल नहीं है। / In ([-3,2)), (-3) is included but (2) is not. The open endpoint is placed at the number not included.
(1) शामिल नहीं है और (8) शामिल है। इसलिए बायाँ सिरा खुला और दायाँ सिरा बंद होगा। / (1) is not included and (8) is included. So the left endpoint is open and the right endpoint is closed.
भरा वृत्त (-5) को शामिल करता है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ होती हैं। इसलिए \(x\ge -5\) सही है। / The closed circle includes (-5), and the right side has greater numbers. Therefore \(x\ge -5\) is correct.
\(x\le 4\) में (4) शामिल है इसलिए (4) पर वर्ग कोष्ठक आएगा। छोटी संख्याएँ \(-\infty\) की ओर जाती हैं। / In \(x\le 4\), (4) is included so a square bracket is used at (4). Smaller numbers extend toward \(-\infty\).
B. दोनों सिरों पर खाली वृत्त होंगे/Both endpoints have open circles
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक का अर्थ है कि सीमा संख्या शामिल नहीं है। इसलिए (-4) और (3) दोनों पर खाली वृत्त होंगे। / Parentheses mean that boundary numbers are not included. Thus both (-4) and (3) have open circles.
अंतराल \([0,5]\) में वर्ग कोष्ठक 0 और 5, दोनों सिरों के शामिल होने को दर्शाते हैं। इसलिए \(x\) का मान 0 से कम नहीं और 5 से अधिक नहीं होगा, अर्थात \(0\le x\le 5\)। विकल्प C में 5 शामिल नहीं है, इसलिए वह \([0,5]\) के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: वर्ग कोष्ठक के लिए \(\le\) और गोल कोष्ठक के लिए \(<\) याद रखें। / In the interval \([0,5]\), square brackets show that both endpoints, 0 and 5, are included. Hence, \(x\) is not less than 0 and not greater than 5, so \(0\le x\le 5\). In option C, 5 is excluded, so it does not represent \([0,5]\). Exam tip: use \(\le\) for square brackets and \(<\) for round brackets.
असमानता \(x>-7\) में केवल वे मान लिए जाते हैं जो \(-7\) से बड़े हैं; \(-7\) स्वयं इसमें शामिल नहीं है। इसलिए संख्या रेखा पर \(-7\) पर खाली वृत्त बनाया जाता है और रेखा दाईं ओर बढ़ती है। \(0\) और \(7\) समाधान क्षेत्र में हैं, इसलिए वे खुले सीमा-बिंदु नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(>\) या \(<\) के लिए सीमा पर खुला वृत्त, जबकि \(\ge\) या \(\le\) के लिए भरा वृत्त बनता है। / In \(x>-7\), the solution consists of values greater than \(-7\), but \(-7\) itself is not included. Therefore, an open circle is drawn at \(-7\), and the ray extends to the right. Although \(0\) and \(7\) satisfy the inequality, they are not boundary points. Exam tip: use an open circle for \(>\) or \(<\), and a closed circle for \(\ge\) or \(\le\).
चिह्न (<) छोटी संख्याओं को दिखाता है और छोटी संख्याएँ संख्या रेखा पर बाईं ओर होती हैं। दिशा पहचानना पहला कदम है। / The sign (<) shows smaller numbers, and smaller numbers are on the left of the number line. Identifying direction is the first step.
B. (9) पर भरा वृत्त और दाईं ओर/Closed circle at (9) and right side
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) में सीमा शामिल होती है और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए भरा वृत्त दाईं किरण के साथ बनेगा। / The sign \(\ge\) includes the boundary and greater numbers lie to the right. So a closed circle with a right ray is drawn.
खाली वृत्त का अर्थ है कि उस बिंदु का मान हल में शामिल नहीं है। चूँकि छायांकन 2 और 6 के बीच है तथा दोनों सिरों पर खाली वृत्त हैं, इसलिए \(x\), 2 से बड़ा और 6 से छोटा होगा: \(2<x<6\)। विकल्प C और D में एक सिरा शामिल किया गया है, इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा टिप: खाली वृत्त के लिए \(<\) या \(>\) तथा भरे वृत्त के लिए \(\le\) या \(\ge\) का प्रयोग करें। / An open circle means that endpoint is not included in the solution set. Since the shading lies between 2 and 6 and both endpoints are open, \(x\) must be greater than 2 and less than 6: \(2<x<6\). Options C and D include one endpoint, so they are incorrect. Exam tip: use \(<\) or \(>\) for an open circle, and \(\le\) or \(\ge\) for a filled circle.
A. (4) पर भरा वृत्त और दाईं ओर किरण/Closed circle at (4) and ray right
Explanation
Simple Explanation
\([4,\infty\)) में (4) शामिल है और आगे सभी बड़ी संख्याएँ हैं। इसलिए भरा वृत्त और दाईं किरण सही है। / The interval \([4,\infty\)) includes (4) and all larger numbers. Hence a closed circle with a right ray is correct.
(-6) शामिल है इसलिए वर्ग कोष्ठक और (1) शामिल नहीं है इसलिए गोल कोष्ठक आएगा। कोष्ठक देखकर सीमा तय करें। / (-6) is included so a square bracket is used, and (1) is not included so a parenthesis is used. Read brackets to decide endpoints.
(x=3) का अर्थ है कि x का केवल एक मान 3 है। इसलिए संख्या रेखा पर 3 पर भरा बिंदु बनाया जाता है। खाली वृत्त सामान्यतः उन मानों के लिए होता है जो शामिल नहीं होते, जैसे x > 3 या x < 3 में सीमा बिंदु। किरणें असमिकाओं के अनेक हलों को दर्शाती हैं। परीक्षा टिप: '=' के लिए केवल संबंधित संख्या पर बिंदु लगाएँ। / (x=3) means that x has exactly one value, 3. Therefore, it is shown by a closed point at 3 on the number line. An open circle is usually used for an excluded boundary value, such as in x > 3 or x < 3. Rays represent inequalities with many solutions. Exam tip: for '=', mark only the stated number with a point.
खाली वृत्त का अर्थ है सीमा मान समाधान में नहीं है। ऐसे प्रश्नों में वृत्त का प्रकार पहले देखें। / An open circle means the boundary value is not part of the solution. In such questions, check the type of circle first.
A. (b) समाधान में शामिल है/(b) is included in the solution
Explanation
Simple Explanation
भरा वृत्त बताता है कि सीमा संख्या शामिल है। \(\le\) और \(\ge\) में सामान्यतः भरा वृत्त आता है। / A closed circle shows that the boundary number is included. Usually \(\le\) and \(\ge\) use closed circles.
A. (3) पर खाली वृत्त और दाईं ओर किरण/Open circle at (3) and ray right
Explanation
Simple Explanation
(\(3,\infty\)) में (3) शामिल नहीं है और उससे बड़ी संख्याएँ आती हैं। इसलिए खाली वृत्त और दाईं किरण बनती है। / The interval (\(3,\infty\)) does not include (3) and contains larger numbers. So it uses an open circle and a right ray.
B. (-8) पर खाली वृत्त और (-3) पर भरा वृत्त/Open circle at (-8) and closed circle at (-3)
Explanation
Simple Explanation
(-8) शामिल नहीं है लेकिन (-3) शामिल है। इसलिए बायाँ सिरा खुला और दायाँ सिरा बंद रहेगा। / (-8) is not included but (-3) is included. So the left endpoint is open and the right endpoint is closed.
गोल कोष्ठक पर कठोर असमता और वर्ग कोष्ठक पर बराबरी सहित असमता लगती है। इसलिए \(-2<x\le 4\) सही है। / A parenthesis gives a strict inequality and a square bracket gives an inclusive inequality. Therefore \(-2<x\le 4\) is correct.
(x>0) में (0) शामिल नहीं है और सभी धनात्मक संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए (\(0,\infty\)) सही है। / In (x>0), (0) is not included and all positive numbers are taken. Hence (\(0,\infty\)) is correct.
A. सभी संख्या रेखा छायांकित और (2) पर खाली वृत्त/Whole number line shaded with an open circle at (2)
Explanation
Simple Explanation
\(x\ne 2\) में (2) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। हटाए गए बिंदु के लिए खाली वृत्त बनता है। / In \(x\ne 2\), all real numbers except (2) are included. The excluded point is shown by an open circle.
असमानता \(-4\le x\) में दोनों पक्षों को अदल-बदलकर लिखने पर \(x\ge -4\) मिलता है। इसका अर्थ है कि \(x\), \(-4\) के बराबर या उससे बड़ा है। संख्या रेखा पर \(-4\) पर भरा हुआ बिंदु बनाकर दाईं ओर रेखा खींची जाती है। \(x>-4\) निकटतम विकल्प है, पर उसमें \(-4\) स्वयं शामिल नहीं होता। परीक्षा टिप: \(\le\) या \(\ge\) में बराबरी शामिल होने के कारण बिंदु भरा हुआ होता है। / In \(-4\le x\), reversing the order of the two sides gives \(x\ge -4\). It means that \(x\) is equal to or greater than \(-4\). On a number line, mark a closed point at \(-4\) and shade to the right. The closest distractor, \(x>-4\), is incorrect because it excludes \(-4\) itself. Exam tip: \(\le\) and \(\ge\) include equality, so use a closed point on the number line.
B. सीमा (10), बाईं दिशा/Boundary (10), left direction
Explanation
Simple Explanation
\(x\le 10\) में सीमा (10) है और उससे छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। बराबरी होने से बिंदु भरा होगा। / In \(x\le 10\), the boundary is (10), and smaller numbers are on the left. Equality means the point is closed.
खुला वृत्त बताता है कि 2 हल में शामिल नहीं है, जबकि बाईं ओर छायांकन 2 से छोटे सभी मानों को दर्शाता है। इसलिए असमता \(x<2\) है। \(x\leq 2\) के लिए 2 पर भरा हुआ वृत्त होता। परीक्षा टिप: खुला वृत्त = सिरा शामिल नहीं, भरा वृत्त = सिरा शामिल। / An open circle means that 2 is not included in the solution set, while shading to the left represents all values less than 2. Therefore, the inequality is \(x<2\). For \(x\leq 2\), the point at 2 would be a filled circle. Exam tip: open circle means the endpoint is excluded; filled circle means it is included.
असमानता \(x<0\) में केवल 0 से छोटे सभी संख्याएँ शामिल हैं; \(0\) स्वयं समाधान में शामिल नहीं है। इसलिए संख्या रेखा पर \(0\) पर खुला वृत्त बनाया जाता है और बाईं ओर रेखा या तीर दिखाया जाता है। भरा वृत्त \(x\leq 0\) के लिए होता है, क्योंकि उसमें \(0\) भी शामिल होता है। परीक्षा टिप: \(<\) या \(>\) के लिए खुला वृत्त तथा \(\leq\) या \(\geq\) के लिए भरा वृत्त बनाइए। / In \(x<0\), all numbers less than 0 are included, but \(0\) itself is not included in the solution. Therefore, an open circle is drawn at \(0\), with the line or arrow extending to the left. A closed circle would be used for \(x\leq 0\), because 0 is included there. Exam tip: use an open circle for \(<\) or \(>\), and a closed circle for \(\leq\) or \(\geq\).
\(3\le x\) के कारण (3) शामिल है और (x<9) के कारण (9) शामिल नहीं है। इसलिए (3) बंद और (9) खुला होगा। / Because \(3\le x\), (3) is included, and because (x<9), (9) is not included. So (3) is closed and (9) is open.
(x>-2) में (-2) से बड़ी संख्याएँ आती हैं। दिए गए विकल्पों में (-1) ही (-2) से बड़ा है। / In (x>-2), numbers greater than (-2) are included. Among the options, only (-1) is greater than (-2).
(5) शामिल नहीं है इसलिए गोल कोष्ठक लगेगा और छोटी संख्याएँ \(-\infty\) की ओर होंगी। इसलिए (\(-\infty,5\)) सही है। / Since (5) is not included, a parenthesis is used, and smaller numbers extend toward \(-\infty\). Hence (\(-\infty,5\)) is correct.
\(x\le 2\) में (2) तक सभी संख्याएँ और (x>2) में (2) से आगे सभी संख्याएँ आती हैं। दोनों मिलकर पूरी संख्या रेखा बनाते हैं। / \(x\le 2\) includes all numbers up to (2), and (x>2) includes all numbers after (2). Together they form the whole number line.
A. पहले में सिरे बंद हैं और दूसरे में सिरे खुले हैं/The first has closed endpoints and the second has open endpoints
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कोष्ठक सीमा को शामिल करता है और गोल कोष्ठक सीमा को बाहर रखता है। यही संख्या रेखा पर खुले या बंद सिरों का अंतर है। / Square brackets include endpoints and parentheses exclude endpoints. This creates the open or closed endpoint difference on the number line.
गोल कोष्ठक (-5) को बाहर रखता है और वर्ग कोष्ठक (-1) को शामिल करता है। इसलिए (-5) शामिल नहीं है। / The parenthesis excludes (-5), while the square bracket includes (-1). Therefore (-5) is not included.
A. पूरी संख्या रेखा छायांकित/Entire number line shaded
Explanation
Simple Explanation
\(x\in \mathbb{R}\) का अर्थ है सभी वास्तविक संख्याएँ। संख्या रेखा पर यह पूरी रेखा को दर्शाता है। / \(x\in \mathbb{R}\) means all real numbers. On the number line it represents the entire line.
\(x\ge -1\) में (-1) और उससे बड़ी संख्याएँ आती हैं। (-2) इससे छोटा है इसलिए समाधान में नहीं है। / In \(x\ge -1\), (-1) and all greater numbers are included. (-2) is smaller, so it is not in the solution.
(\(-\infty,\infty\)) पूरी वास्तविक संख्या रेखा को दर्शाता है। अनंत सीमा नहीं है इसलिए उसके साथ गोल कोष्ठक ही आता है। / (\(-\infty,\infty\)) represents the whole real number line. Infinity is not an endpoint, so parentheses are used with it.
(x< -4) में (-4) शामिल नहीं है और उससे छोटी संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए (\(-\infty,-4\)) सही है। / In (x< -4), (-4) is not included and smaller numbers are taken. Hence (\(-\infty,-4\)) is correct.
A. (0) से (3) के बीच और दोनों सिरे खुले/Between (0) and (3) with both endpoints open
Explanation
Simple Explanation
कठोर असमता में सीमाएँ शामिल नहीं होतीं और बीच का भाग समाधान होता है। इसलिए दोनों सिरे खुले रहेंगे। / Strict inequalities exclude the endpoints and the middle part is the solution. Therefore both endpoints remain open.
B. सिर्फ (7) पर भरा बिंदु/Only a closed point at (7)
Explanation
Simple Explanation
([7,7]) में आरंभ और अंत समान हैं और वह मान शामिल है। इसलिए केवल (7) पर भरा बिंदु बनेगा। / In ([7,7]), the start and end are the same and that value is included. So only a closed point at (7) is drawn.
((7,7)) में कोई संख्या (7) से बड़ी और (7) से छोटी एक साथ नहीं हो सकती। इसलिए यह रिक्त समुच्चय है। / In ((7,7)), no number can be greater than (7) and less than (7) at the same time. So it is an empty set.
असमानता \(-3\le x<0\) में \(-3\) के साथ \(\le\) है, इसलिए \(-3\) शामिल होगा और संख्या रेखा पर वहाँ भरा हुआ बिंदु बनेगा। \(0\) के साथ \(<\) है, इसलिए \(0\) शामिल नहीं होगा और वहाँ खुला बिंदु बनेगा। अतः अंतराल \([-3,0)\) है। विकल्प A में \(-3\) को भी शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: \(\le\) या \(\ge\) के लिए वर्ग कोष्ठक और \(<\) या \(>\) के लिए गोल कोष्ठक लगाएँ। / In \(-3\le x<0\), \(-3\) has \(\le\), so it is included and is shown by a closed dot on the number line. Zero has \(<\), so it is excluded and is shown by an open dot. Hence, the interval is \([-3,0)\). Option A incorrectly excludes \(-3\) as well. Exam tip: use a square bracket for \(\le\) or \(\ge\), and a round bracket for \(<\) or \(>\).
\(\le\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए सीमा (-6) समाधान में है। शामिल सीमा के लिए भरा वृत्त बनता है। / The sign \(\le\) includes equality, so the boundary (-6) is in the solution. An included boundary is shown by a closed circle.
(-2) बंद है इसलिए वर्ग कोष्ठक और (5) खुला है इसलिए गोल कोष्ठक लगेगा। सही अंतराल ([-2,5)) है। / (-2) is closed so a square bracket is used, and (5) is open so a parenthesis is used. The correct interval is ([-2,5)).
भरा वृत्त (8) को शामिल करता है और बाईं ओर छोटी संख्याएँ होती हैं। इसलिए \(x\le 8\) सही है। / The closed circle includes (8), and the left side has smaller numbers. Therefore \(x\le 8\) is correct.
खाली वृत्त का अर्थ है (-6) शामिल नहीं है और भरा वृत्त बताता है कि (2) शामिल है। इसलिए सही असमता \(-6<x\le 2\) है। / An open circle means (-6) is not included, and a closed circle means (2) is included. Therefore the correct inequality is \(-6<x\le 2\).
A. (11) पर खाली वृत्त और दाईं ओर किरण/Open circle at (11) and ray to the right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) में सीमा (11) शामिल नहीं होती और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। पहले वृत्त का प्रकार और फिर दिशा देखें। / The sign (>) excludes the boundary (11) and greater numbers lie to the right. Check the circle type first and then the direction.
B. (-9) पर भरा वृत्त और दाईं ओर छायांकन/Closed circle at (-9) and shading right
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) में सीमा शामिल होती है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ मिलती हैं। इसलिए (-9) पर भरा वृत्त बनेगा। / \(\ge\) includes the boundary and greater numbers are on the right. Therefore a closed circle is drawn at (-9).
खाली वृत्त (13) को बाहर रखता है और बाईं ओर छोटी संख्याएँ होती हैं। इसलिए (x<13) सही है। / The open circle excludes (13) and the left side contains smaller numbers. Hence (x<13) is correct.
वर्ग कोष्ठक वाला सिरा शामिल होता है और गोल कोष्ठक वाला सिरा शामिल नहीं होता। इसलिए (-4) बंद होगा। / The endpoint with a square bracket is included and the endpoint with a parenthesis is excluded. Therefore (-4) is closed.
C. (4) और (12) पर खाली वृत्त और बीच में छायांकन/Open circles at (4) and (12) with shading between
Explanation
Simple Explanation
दोनों असमताएँ कठोर हैं इसलिए दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं। बीच वाला भाग ही समाधान है। / Both inequalities are strict, so both endpoints are excluded. The part between them is the solution.
भरा वृत्त (7) को शामिल करता है और दाईं किरण (7) से बड़ी संख्याएँ दिखाती है। इसलिए अंतराल \([7,\infty\)) है। / The closed circle includes (7) and the right ray shows numbers greater than (7). Hence the interval is \([7,\infty\)).
गोल कोष्ठक दोनों सीमाओं को समाधान से बाहर रखता है। इसलिए (-8) और (0) दोनों पर खाली वृत्त होंगे। / Parentheses exclude both boundary points from the solution. Therefore both (-8) and (0) have open circles.
\(x\le -15\) में (-15) शामिल है और उससे छोटी संख्याएँ ली जाती हैं। अनंत के साथ हमेशा गोल कोष्ठक आता है। / In \(x\le -15\), (-15) is included and smaller numbers are taken. Infinity always uses a parenthesis.
दोनों ओर बराबरी शामिल है इसलिए दोनों सीमाएँ शामिल होंगी। ऐसे में दोनों सिरों पर वर्ग कोष्ठक लगते हैं। / Equality is included on both sides, so both endpoints are included. In this case, square brackets are used at both ends.
संख्या रेखा पर 3 पर केवल भरा बिंदु होने का अर्थ है कि 3 समाधान में शामिल है और उसके अतिरिक्त कोई अन्य मान नहीं है। इसलिए समाधान \(x=3\) है। \(x>3\) या \(x<3\) के लिए बिंदु से क्रमशः दाईं या बाईं ओर किरण दिखाई जाती। परीक्षा टिप: केवल एक भरा बिंदु किसी एक निश्चित मान का संकेत देता है। / A single closed point at 3 means that 3 is included in the solution set and no other value is included. Hence, the solution is \(x=3\). For \(x>3\) or \(x<3\), a ray would extend to the right or left of the point respectively. Exam tip: one isolated closed point represents exactly one value.
B. (6) पर खाली वृत्त और बाईं ओर किरण/Open circle at (6) and ray left
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,6\)) में (6) शामिल नहीं है और उससे छोटी संख्याएँ हैं। इसलिए (6) पर खाली वृत्त और बाईं किरण बनेगी। / In (\(-\infty,6\)), (6) is not included and smaller numbers are present. So an open circle at (6) and a left ray are drawn.
(5) के साथ गोल कोष्ठक है इसलिए वह शामिल नहीं है और (10) के साथ वर्ग कोष्ठक है इसलिए वह शामिल है। यही खुले और बंद सिरों को तय करता है। / (5) has a parenthesis, so it is excluded, and (10) has a square bracket, so it is included. This decides the open and closed endpoints.
B. पूरी रेखा छायांकित और (-3) पर खाली वृत्त/Whole line shaded with an open circle at (-3)
Explanation
Simple Explanation
\(x\ne -3\) में (-3) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं। छोड़े गए बिंदु पर खाली वृत्त बनता है। / In \(x\ne -3\), all real numbers except (-3) are included. The excluded point is shown by an open circle.
केवल (1) शामिल है इसलिए (1) पर वर्ग कोष्ठक और (5) पर गोल कोष्ठक लगेगा। अंतराल ([1,5)) होगा। / Only (1) is included, so (1) gets a square bracket and (5) gets a parenthesis. The interval is ([1,5)).
((0,8]) में (0) शामिल नहीं है लेकिन (8) शामिल है। दिए गए विकल्पों में (8) सही सदस्य है। / In ((0,8]), (0) is not included but (8) is included. Among the given options, (8) is the correct member.
दो अलग-अलग भागों को मिलाने के लिए \(\cup\) का प्रयोग होता है। यहाँ (-2) और (5) दोनों शामिल नहीं हैं। / The symbol \(\cup\) is used to combine two separate parts. Here both (-2) and (5) are not included.
भरा हुआ बिंदु बताता है कि सीमा मान 3 हल-समुच्चय में शामिल है, और बाईं ओर का छायांकित भाग 3 से छोटे सभी मानों को दर्शाता है। इसलिए असमता \(x \leq 3\) है। \(x < 3\) में 3 शामिल नहीं होता, इसलिए वहाँ खोखला बिंदु होता है। परीक्षा टिप: भरा बिंदु के लिए \(\leq\) या \(\geq\), जबकि खोखले बिंदु के लिए \(<\) या \(>\) याद रखें। / A filled dot means that the boundary value 3 is included in the solution set, and shading to the left represents all values less than 3. Therefore, the inequality is \(x \leq 3\). For \(x < 3\), the value 3 would not be included, so the dot would be open. Exam tip: a filled dot corresponds to \(\leq\) or \(\geq\), while an open dot corresponds to \(<\) or \(>\).
(-5<x) का अर्थ है (x), (-5) से बड़ा है। सामान्य रूप में चर को बाईं ओर रखकर (x>-5) लिखते हैं. / (-5<x) means (x) is greater than (-5). In usual form, place the variable on the left and write (x>-5).
खुला वृत्त बताता है कि 4 समाधान में शामिल नहीं है, जबकि दाईं ओर का छायांकन 4 से बड़ी संख्याओं को दर्शाता है। इसलिए असमता \(x>4\) है। \(x\geq 4\) के लिए 4 पर भरा हुआ वृत्त बनता। परीक्षा टिप: दाईं ओर छायांकन का अर्थ ‘से बड़ा’ और बाईं ओर छायांकन का अर्थ ‘से छोटा’ होता है। / An open circle shows that 4 is not included in the solution set, and shading to the right represents numbers greater than 4. Therefore, the inequality is \(x>4\). For \(x\geq 4\), the point at 4 would be shown with a closed circle. Exam tip: right-side shading means ‘greater than’, while left-side shading means ‘less than’.
कोई संख्या (3) से बड़ी और (3) से छोटी एक साथ नहीं हो सकती। इसलिए ((3,3)) में कोई सदस्य नहीं है। / No number can be greater than (3) and less than (3) at the same time. Therefore ((3,3)) has no member.
पूरी संख्या रेखा के छायांकित होने का अर्थ है कि ऋणात्मक संख्याएँ, शून्य और धनात्मक संख्याएँ—सभी मान समाधान हैं। इसलिए \(x\in \mathbb{R}\) सही है। \(x>0\) या \(x<0\) केवल संख्या रेखा के एक भाग को दर्शाते हैं, पूरी रेखा को नहीं। परीक्षा टिप: पूरी रेखा छायांकित हो तो समाधान-समुच्चय सभी वास्तविक संख्याएँ होता है। / A shaded entire number line means that negative numbers, zero, and positive numbers are all included in the solution set. Hence, \(x\in \mathbb{R}\) is correct. \(x>0\) and \(x<0\) represent only one part of the number line, not the whole line. Exam tip: when the complete number line is shaded, the solution set is all real numbers.
(x>-6) में (-6) शामिल नहीं है और उससे बड़ी संख्याएँ शामिल हैं। इसलिए \((-6,\infty)\) सही है। / In (x>-6), (-6) is not included and numbers greater than it are included. Hence \((-6,\infty)\) is correct.
\(2\le x\) में (2) शामिल है लेकिन (x<6) में (6) शामिल नहीं है। इसलिए (6) पर खाली वृत्त होगा। / In \(2\le x\), (2) is included, but in (x<6), (6) is not included. So (6) has an open circle.
असमानता \(x\le 0\) में 0 तथा 0 से छोटी सभी संख्याएँ शामिल होती हैं। इसलिए 0 पर बंद कोष्ठक \(]\) लगेगा और बाईं ओर अंतराल \(-\infty\) तक जाएगा: \(( -\infty, 0 ]\)। विकल्प B में 0 शामिल नहीं है, इसलिए वह \(x<0\) को दर्शाता है। परीक्षा टिप: \(\le\) या \(\ge\) के लिए अंतिम बिंदु पर बंद कोष्ठक लगाते हैं। / The inequality \(x\le 0\) includes 0 and every number less than 0. Therefore, 0 has a closed bracket \(]\), and the interval extends left towards \(-\infty\): \(( -\infty, 0 ]\). Option B excludes 0, so it represents \(x<0\). Exam tip: use a closed bracket at an endpoint for \(\le\) or \(\ge\).
असमता \(x<\frac{3}{2}\) एक कठोर असमता है, इसलिए \(\frac{3}{2}\) स्वयं हल-समुच्चय में शामिल नहीं होता। अतः संख्या रेखा पर \(\frac{3}{2}\) पर खाली वृत्त बनाया जाता है और उसके बाईं ओर छायांकन किया जाता है। भरा वृत्त केवल \(x\leq\frac{3}{2}\) जैसी असमता में बनता है। परीक्षा टिप: < या > के लिए हमेशा खाली वृत्त याद रखें। / The inequality \(x<\frac{3}{2}\) is strict, so \(\frac{3}{2}\) itself is not included in the solution set. Therefore, an open circle is drawn at \(\frac{3}{2}\), with the line shaded to its left. A closed circle would be used for an inequality such as \(x\leq\frac{3}{2}\). Exam tip: Use an open circle for < or >.
C. दोनों सिरों पर भरे वृत्त/Closed circles at both endpoints
Explanation
Simple Explanation
अंतराल \([\frac{1}{2},\frac{5}{2}]\) में वर्ग कोष्ठक दोनों सीमांत मानों को शामिल करते हैं। इसलिए संख्या रेखा पर \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{5}{2}\), दोनों पर भरे वृत्त बनाए जाते हैं तथा उनके बीच का भाग दर्शाया जाता है। खुले वृत्त का प्रयोग तब होता है, जब सीमांत मान अंतराल में शामिल न हो। परीक्षा टिप: वर्ग कोष्ठक के लिए भरा वृत्त और गोल कोष्ठक के लिए खुला वृत्त याद रखें। / In the interval \([\frac{1}{2},\frac{5}{2}]\), square brackets include both boundary values. Hence, closed circles are drawn at both \(\frac{1}{2}\) and \(\frac{5}{2}\), with the segment between them represented. Open circles are used when an endpoint is not included. Exam tip: remember that square brackets mean closed circles, while parentheses mean open circles.
असमानता \(x\le -4\) का अर्थ है कि \(x\) का मान \(-4\) या \(-4\) से छोटा होना चाहिए। \(-5<-4\), इसलिए \(-5\) छायांकित भाग में आएगा। \(-3\), \(-4\) से बड़ा है, इसलिए वह इस भाग में नहीं आएगा। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में संख्या रेखा पर बाईं ओर स्थित संख्या छोटी होती है। / The inequality \(x\le -4\) includes values equal to \(-4\) or less than \(-4\). Since \(-5<-4\), \(-5\) lies in the shaded region. In contrast, \(-3\) is greater than \(-4\), so it is not included. Exam tip: among negative numbers, the number farther left on the number line is smaller.
दोनों ओर कठोर असमता है इसलिए दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं। अतः दो खाली वृत्त होंगे। / Both sides have strict inequalities, so both endpoints are excluded. Therefore there are two open circles.
दोनों बंद सिरे बताते हैं कि दोनों सीमाएँ शामिल हैं। इसलिए दोनों तरफ बराबरी सहित असमता होगी। / Both closed endpoints show that both boundaries are included. So inclusive inequalities are used on both sides.
A. (18) पर भरा वृत्त और दाईं ओर तीर/Closed circle at (18) and arrow right
Explanation
Simple Explanation
\(x\ge 18\) में (18) शामिल है और उससे बड़ी संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए भरा वृत्त दाईं ओर तीर के साथ होगा। / In \(x\ge 18\), (18) is included and numbers greater than it are taken. So a closed circle with a right arrow is used.
B. \(x\le -1\) या \(x\ge 4\)/\(x\le -1\) or \(x\ge 4\)
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,-1]\) में \(x\le -1\) और \([4,\infty\)) में \(x\ge 4\) है। \(\cup\) का अर्थ दोनों भागों का मिलन है। / (\(-\infty,-1]\) means \(x\le -1\), and \([4,\infty\)) means \(x\ge 4\). The symbol \(\cup\) means the union of both parts.
भरा वृत्त (-3) को शामिल करता है और खाली वृत्त (3) को बाहर रखता है। इसलिए ([-3,3)) सही है। / The closed circle includes (-3), and the open circle excludes (3). Therefore ([-3,3)) is correct.
शर्तें \(x<0\) और \(x>0\) क्रमशः 0 के बाईं और दाईं ओर के सभी वास्तविक संख्याओं को दर्शाती हैं। दोनों का संघ \(( -\infty,0)\cup(0,\infty)\) है, जिसमें 0 शामिल नहीं है। विकल्प B में 0 शामिल हो जाता है, इसलिए वह सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय दर्शाता है। परीक्षा टिप: असमानता में केवल \(<\) या \(>\) हो तो सीमा-बिंदु को शामिल नहीं किया जाता। / The conditions \(x<0\) and \(x>0\) represent all real numbers to the left and right of 0, respectively. Their union is \(( -\infty,0)\cup(0,\infty)\), which does not include 0. In option B, 0 is included, so it represents all real numbers. Exam tip: With strict inequalities \(<\) or \(>\), the boundary point is not included.
A. सिर्फ (12) पर भरा बिंदु/Only a closed point at (12)
Explanation
Simple Explanation
([12,12]) में केवल (12) शामिल है। समान सीमाओं वाला बंद अंतराल एक भरा बिंदु दिखाता है। / The interval ([12,12]) includes only (12). A closed interval with equal endpoints shows one closed point.
\(\ge\) सीमा \(-\frac{5}{2}\) को शामिल करता है और दाईं ओर की संख्याएँ लेता है। इसलिए वर्ग कोष्ठक से शुरू होगा। / \(\ge\) includes the boundary \(-\frac{5}{2}\) and takes numbers to the right. Therefore it starts with a square bracket.
असमानता \(x\le 3\) में \(x=3\) भी समाधान है, क्योंकि \(3\le 3\) सत्य है। इसलिए संख्या रेखा पर 3 पर भरा वृत्त बनाया जाता है। खाली वृत्त केवल तब बनता है जब सीमा मान शामिल न हो, जैसे \(x<3\)। परीक्षा टिप: \(\le\) और \(\ge\) के लिए भरा वृत्त, जबकि \(<\) और \(>\) के लिए खाली वृत्त बनाइए। / In \(x\le 3\), \(x=3\) is included because \(3\le 3\) is true. Therefore, a closed circle is drawn at 3 on the number line. An open circle is used only when the boundary value is excluded, as in \(x<3\). Exam tip: use a closed circle for \(\le\) and \(\ge\), and an open circle for \(<\) and \(>\).
(-4) शामिल नहीं है इसलिए उसके बाद पहला पूर्णांक (-3) होगा। संख्या रेखा पर खुले सिरे को सदस्य न मानें। / (-4) is not included, so the first integer after it is (-3). On the number line, do not count an open endpoint as a member.
(4) शामिल नहीं है इसलिए उससे पहले का सबसे बड़ा पूर्णांक (3) होगा। खुले दाएँ सिरे को उत्तर में न लें। / (4) is not included, so the greatest integer before it is (3). Do not take the open right endpoint as the answer.
B. (x=0) समाधान समुच्चय में शामिल नहीं है/(x=0) is not included in the solution set
Explanation
Simple Explanation
संख्या रेखा पर खुला वृत्त उस अंतिम बिंदु के शामिल न होने को दर्शाता है। यहाँ 0 पर खुला वृत्त है, इसलिए (x=0) समाधान समुच्चय में नहीं है। छायांकित भाग को असमानता के रूप में
\(0<x\leq 6\) लिखा जा सकता है; इसमें 6 शामिल है क्योंकि वहाँ बंद वृत्त है। परीक्षा टिप: खुले वृत्त के लिए < या > तथा बंद वृत्त के लिए \(\leq\) या \(\geq\) का प्रयोग होता है। / An open circle on a number line means that endpoint is excluded. Since the circle at 0 is open, (x=0) is not in the solution set. The shaded interval can be written as \(0<x\leq 6\); 6 is included because it has a closed circle. Exam tip: use < or > for an open circle and \(\leq\) or \(\geq\) for a closed circle.
A. पहले में दोनों सिरे खुले और दूसरे में दोनों सिरे बंद/The first has both endpoints open and the second has both endpoints closed
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक सीमा को बाहर रखता है और वर्ग कोष्ठक सीमा को शामिल करता है। यही संख्या रेखा पर सिरे बदलता है। / Parentheses exclude endpoints and square brackets include endpoints. This changes the endpoints on the number line.
असमानता \(x>2\) में 2 से बड़े सभी मान आते हैं और \(x<2\) में 2 से छोटे सभी मान आते हैं। दोनों क्षेत्रों के मिलन में 2 से छोटा या 2 से बड़ा प्रत्येक वास्तविक मान शामिल है, परंतु \(x=2\) किसी भी असमानता को संतुष्ट नहीं करता। इसलिए 2 छूट जाता है। परीक्षा टिप: सख्त असमानताओं \(>\) और \(<\) में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता; संख्या रेखा पर उसे खुले वृत्त से दिखाते हैं। / The inequality \(x>2\) contains every value greater than 2, while \(x<2\) contains every value less than 2. Their union includes every real number except \(x=2\), because 2 satisfies neither inequality. Hence, 2 is left out. Exam tip: In strict inequalities \(>\) and \(<\), the boundary value is excluded and is shown by an open circle on the number line.
खाली वृत्त बताता है कि 20 हल में शामिल नहीं है, इसलिए असमता कठोर होगी। दाईं ओर छायांकन 20 से बड़ी सभी संख्याओं को दर्शाता है। अतः सही असमता \(x>20\) है। \(x\geq 20\) में 20 शामिल होता, इसलिए वहाँ भरा हुआ वृत्त बनता। परीक्षा टिप: दायाँ छायांकन ‘बड़ा’ और खाली वृत्त ‘बराबर नहीं’ दर्शाता है। / An open circle shows that 20 is not included in the solution, so the inequality must be strict. Shading to the right represents all numbers greater than 20. Therefore, the correct inequality is \(x>20\). In \(x\geq 20\), 20 would be included and shown with a closed circle. Exam tip: rightward shading means ‘greater than’, while an open circle means ‘not equal to’.
(\(-\infty,\infty\)) सभी वास्तविक संख्याओं को दर्शाता है। इसलिए पूरी संख्या रेखा छायांकित होगी। / (\(-\infty,\infty\)) represents all real numbers. Therefore the entire number line will be shaded.
अंतराल \((-7,-2)\) में दोनों सिरों पर गोल कोष्ठक हैं। इसका अर्थ है कि \(-7\) और \(-2\), दोनों शामिल नहीं हैं। इसलिए \(x\) का मान \(-7\) से बड़ा तथा \(-2\) से छोटा होगा, अर्थात \(-7<x<-2\)। विकल्प C में \(-7\) को शामिल किया गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: गोल कोष्ठक के लिए \(<\) या \(>\), जबकि वर्ग कोष्ठक के लिए \(\le\) या \(\ge\) लिखें। / In the interval \((-7,-2)\), parentheses at both ends mean that neither \(-7\) nor \(-2\) is included. Therefore, \(x\) must be greater than \(-7\) and less than \(-2\), giving \(-7<x<-2\). Option C is incorrect because it includes \(-7\). Exam tip: Use \(<\) or \(>\) for parentheses, and \(\le\) or \(\ge\) for square brackets.
बाहर की छायांकन दो अलग भाग दिखाती है और खुले वृत्त सीमाओं को बाहर रखते हैं। इसलिए (\(-\infty,-1\)\cup\(4,\infty\)) सही है। / Outward shading shows two separate parts and open circles exclude the boundaries. Hence (\(-\infty,-1\)\cup\(4,\infty\)) is correct.
समान सीमाओं वाला बंद अंतराल केवल उसी संख्या को शामिल करता है। इसलिए (-6) पर एक भरा बिंदु बनेगा। / A closed interval with equal endpoints includes only that number. Therefore one closed point is drawn at (-6).
खाली वृत्त (-8) को बाहर रखता है और भरा वृत्त (2) को शामिल करता है। इसलिए सही असमता \(-8<x\le 2\) है। / The open circle excludes (-8), and the closed circle includes (2). Therefore the correct inequality is \(-8<x\le 2\).
वर्ग कोष्ठक बताता है कि \(-\frac{1}{2}\) शामिल है और \(-\infty\) की ओर छोटी संख्याएँ हैं। इसलिए \(x\le -\frac{1}{2}\) सही है। / The square bracket shows that \(-\frac{1}{2}\) is included, and the values extend toward \(-\infty\). Hence \(x\le -\frac{1}{2}\) is correct.
B. सीमा \(-\frac{3}{4}\), खाली वृत्त और दाईं ओर/Boundary \(-\frac{3}{4}\), open circle and right side
Explanation
Simple Explanation
कठोर (>) में सीमा शामिल नहीं होती और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए खाली वृत्त के साथ दाईं दिशा बनेगी। / The strict sign (>) does not include the boundary, and greater numbers lie to the right. So use an open circle with rightward direction.
B. (14) पर भरा वृत्त और बाईं ओर छायांकन/Closed circle at (14) and shading left
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में (14) शामिल है और उससे छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। शामिल सीमा के लिए भरा वृत्त बनाइए। / The sign \(\le\) includes (14) and smaller numbers are on the left. Use a closed circle for an included boundary.
भरा वृत्त (16) को शामिल करता है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ होती हैं। इसलिए \(x\ge 16\) सही है। / The closed circle includes (16) and the right side contains greater numbers. Therefore \(x\ge 16\) is correct.
वर्ग कोष्ठक बताता है कि (9) शामिल है और \(-\infty\) की ओर छोटी संख्याएँ हैं। इसलिए \(x\le 9\) होगा। / The square bracket shows that (9) is included and values extend toward \(-\infty\). Hence it is \(x\le 9\).
A. (-12) और (-5) पर खाली वृत्त और बीच में छायांकन/Open circles at (-12) and (-5) with shading between
Explanation
Simple Explanation
दोनों ओर कठोर असमता है इसलिए दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं। बीच का छायांकित भाग समाधान है। / Both sides have strict inequalities so both endpoints are excluded. The shaded region between them is the solution.
खाली वृत्त (-13) को बाहर रखता है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ होती हैं। इसलिए अंतराल (\(-13,\infty\)) है। / The open circle excludes (-13) and the right side has greater numbers. Hence the interval is (\(-13,\infty\)).
असमानता \(x>3\) में 3 स्वयं समाधान में शामिल नहीं है, इसलिए 3 पर खुला बिंदु बनाया जाता है और रेखा/तीर दाईं ओर खींचा जाता है। भरा हुआ बिंदु \(x\geq3\) के लिए होता है, क्योंकि उसमें 3 शामिल होता है। परीक्षा टिप: \(>\) और \(<\) के लिए खुला बिंदु, जबकि \(\geq\) और \(\leq\) के लिए भरा हुआ बिंदु बनाइए। / In \(x>3\), the number 3 is not included in the solution set, so an open point is marked at 3 and the ray extends to the right. A filled point would represent \(x\geq3\), where 3 is included. Exam tip: use an open point for \(>\) or \(<\), and a filled point for \(\geq\) or \(\leq\).
A. अंतिम बिंदु समाधान में शामिल नहीं है/The endpoint is not included in the solution
Explanation
Simple Explanation
खुला वृत्त बताता है कि अंतिम बिंदु समाधान समुच्चय में शामिल नहीं है। इसका प्रयोग प्रायः < या > वाली असमताओं में होता है। भरा हुआ वृत्त अंतिम बिंदु के शामिल होने को दर्शाता है, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा टिप: खुला वृत्त = < या >, भरा वृत्त = ≤ या ≥ याद रखें। / An open circle shows that the endpoint is not part of the solution set. It is generally used for strict inequalities, < or >. A filled circle represents an included endpoint, so option B is incorrect. Exam tip: remember open circle = < or >, filled circle = ≤ or ≥.
असमानता \(x>21\) का अर्थ है कि \(x\), 21 से बड़ी सभी संख्याएँ ले सकता है। संख्या रेखा पर बड़ी संख्याएँ 21 के दाईं ओर होती हैं, इसलिए 21 पर खुला वृत्त बनाकर तीर दाईं ओर जाएगा। बाईं ओर का तीर \(x<21\) के लिए होता है। परीक्षा टिप: \(>\) या \(\ge\) में छायांकित भाग दाईं ओर होता है। / The inequality \(x>21\) represents all numbers greater than 21. Greater numbers lie to the right of 21 on a number line, so an open circle is marked at 21 and the arrow extends rightward. A leftward arrow would represent \(x<21\). Exam tip: For \(>\) or \(\ge\), shade or draw the ray to the right.
\(x\ge -18\) में (-18) शामिल है और उससे बड़ी सभी संख्याएँ आती हैं। इसलिए \([-18,\infty\)) सही है। / In \(x\ge -18\), (-18) and all greater numbers are included. Hence \([-18,\infty\)) is correct.
दोनों सीमाएँ बराबरी सहित हैं इसलिए दोनों शामिल होंगी। इसलिए अंतराल ([3,11]) होगा। / Both endpoints are included because equality appears on both sides. Therefore the interval is ([3,11]).
एक भरा बिंदु केवल उसी मान को समाधान में शामिल दिखाता है। इसलिए समाधान (x=-4) है। / One closed point shows that only that value is included in the solution. Hence the solution is (x=-4).
B. (-16) पर खाली वृत्त और बाईं ओर किरण/Open circle at (-16) and ray left
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,-16\)) में (-16) शामिल नहीं है और छोटी संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए खाली वृत्त और बाईं किरण बनेगी। / In (\(-\infty,-16\)), (-16) is not included and smaller numbers are taken. So an open circle and left ray are drawn.
B. (-9) बंद और (-2) खुला/(-9) closed and (-2) open
Explanation
Simple Explanation
(-9) के साथ वर्ग कोष्ठक है इसलिए वह शामिल है और (-2) के साथ गोल कोष्ठक है इसलिए वह शामिल नहीं है। यही सिरों को तय करता है। / (-9) has a square bracket so it is included and (-2) has a parenthesis so it is excluded. This decides the endpoints.
B. पूरी रेखा छायांकित और (7) पर खाली वृत्त/Whole line shaded with an open circle at (7)
Explanation
Simple Explanation
\(x\ne 7\) में (7) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं। छोड़े गए मान पर खाली वृत्त बनता है। / In \(x\ne 7\), all real numbers except (7) are included. The excluded value is shown by an open circle.
चूँकि \(-6\) शामिल नहीं है, इसलिए उसके लिए खुला कोष्ठक \((\) लगाया जाता है। \(4\) शामिल है, इसलिए उसके लिए बंद कोष्ठक \(]\) लगाया जाता है। अतः अंतराल \((-6,4]\) है। \([-6,4)\) में \(-6\) शामिल होता है और \(4\) शामिल नहीं होता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: शामिल बिंदु के लिए वर्ग कोष्ठक और शामिल न होने वाले बिंदु के लिए गोल कोष्ठक याद रखें। / Since \(-6\) is not included, an open bracket \((\) is used at \(-6\). Since \(4\) is included, a closed bracket \(]\) is used at \(4\). Therefore, the interval is \((-6,4]\). In \([-6,4)\), \(-6\) is included and \(4\) is excluded, so it is not correct. Exam tip: use a square bracket for an included endpoint and a round bracket for an excluded endpoint.
\([-\frac{3}{2},2\)) में \(-\frac{3}{2}\) शामिल है लेकिन (2) शामिल नहीं है। इसलिए \(-\frac{3}{2}\) सही सदस्य है। / In \([-\frac{3}{2},2\)), \(-\frac{3}{2}\) is included but (2) is not. Therefore \(-\frac{3}{2}\) is a correct member.
पहला भाग (5) सहित बाईं ओर है और दूसरा भाग (5) के बाद दाईं ओर है। दोनों मिलकर पूरी संख्या रेखा देते हैं। / The first part is the left side including (5), and the second part is the right side after (5). Together they give the whole number line.
दो अलग हिस्सों को \(\cup\) से जोड़ा जाता है। दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं इसलिए गोल कोष्ठक लगेंगे। / Two separate parts are joined by \(\cup\). Both endpoints are excluded so parentheses are used.
\(10>x\) का अर्थ है कि \(x\), 10 से छोटा है। चर को बाईं ओर लिखने पर असमानता \(x<10\) बनती है। \(x\le 10\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में 10 के बराबर होने की स्थिति शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: असमानता के दोनों पक्षों को केवल स्थान बदलकर लिखने पर चिह्न की दिशा भी बदल जाती है। / \(10>x\) means that \(x\) is less than 10. Writing the variable on the left gives \(x<10\). \(x\le 10\) is incorrect because equality at 10 is not included in the original inequality. Exam tip: when the two sides of an inequality are interchanged, reverse the inequality sign.
कोई छायांकन नहीं होने का अर्थ है कोई भी संख्या समाधान में नहीं है। इसलिए यह रिक्त समुच्चय दर्शाता है। / No shading means no number is in the solution. Therefore it represents the empty set.
कोई संख्या (8) से बड़ी और (8) से छोटी एक साथ नहीं हो सकती। इसलिए यह रिक्त समुच्चय है। / No number can be greater than (8) and less than (8) at the same time. Hence it is the empty set.
पूरी संख्या रेखा का छायांकित होना दर्शाता है कि हर वास्तविक संख्या समाधान है। इसलिए सही संकेत \(x\in \mathbb{R}\) है। \(x>0\) और \(x<0\) केवल संख्या रेखा के एक-एक भाग को दर्शाते हैं, जबकि \(x=0\) केवल एक बिंदु को दर्शाता है। परीक्षा टिप: पूरी संख्या रेखा छायांकित हो तो समाधान समुच्चय \(\mathbb{R}\) लिखें। / When the entire number line is shaded, every real number is included in the solution set. Hence, the correct notation is \(x\in \mathbb{R}\). The inequalities \(x>0\) and \(x<0\) represent only one side of the number line, while \(x=0\) represents just one point. Exam tip: A fully shaded number line corresponds to the solution set \(\mathbb{R}\).
\(x<-\frac{9}{4}\) में सीमा शामिल नहीं है और उससे छोटी संख्याएँ आती हैं। इसलिए (\(-\infty,-\frac{9}{4}\)) सही है। / In \(x<-\frac{9}{4}\), the boundary is excluded and smaller numbers are included. Hence (\(-\infty,-\frac{9}{4}\)) is correct.
असमानता \(-1\le x<13\) में \(-1\) के साथ \(\le\) है, इसलिए \(-1\) शामिल है। लेकिन \(13\) के साथ \(<\) है, इसलिए \(x=13\) स्वीकार नहीं है। अतः शामिल न होने वाला अंतिम बिंदु \(13\) है। परीक्षा टिप: \(\le\) या \(\ge\) होने पर संख्या रेखा पर भरा हुआ बिंदु और \(<\) या \(>\) होने पर खुला बिंदु बनता है। / In \(-1\le x<13\), the symbol \(\le\) includes \(-1\). However, the strict symbol \(<\) excludes \(13\), so \(x=13\) is not allowed. Therefore, \(13\) is the endpoint that is not included. Exam tip: Use a closed dot for \(\le\) or \(\ge\), and an open dot for \(<\) or \(>\) on a number line.
\(x\ge 4\) में (4) शामिल है और दाईं ओर की संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए \([4,\infty\)) सही है। / In \(x\ge 4\), (4) is included and numbers to the right are taken. Hence \([4,\infty\)) is correct.
कठोर \(>\) में \(\frac{7}{3}\) शामिल नहीं होता। इसलिए सीमा पर खाली वृत्त बनेगा। / The strict sign \(>\) does not include \(\frac{7}{3}\). Therefore an open circle is drawn at the boundary.
B. \(\frac{2}{3}\) बंद और \(\frac{8}{3}\) खुला होगा/\(\frac{2}{3}\) closed and \(\frac{8}{3}\) open
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कोष्ठक \(\frac{2}{3}\) को शामिल करता है और गोल कोष्ठक \(\frac{8}{3}\) को बाहर रखता है। इसलिए पहला सिरा बंद और दूसरा खुला होगा। / The square bracket includes \(\frac{2}{3}\), and the parenthesis excludes \(\frac{8}{3}\). So the first endpoint is closed and the second is open.
(x>-10) में (-10) से बड़ी संख्याएँ आती हैं। दिए गए विकल्पों में (-9) ही (-10) से बड़ा है। / In (x>-10), numbers greater than (-10) are included. Among the options, only (-9) is greater than (-10).
दोनों बंद सिरे बताते हैं कि दोनों सीमाएँ शामिल हैं। इसलिए दोनों ओर बराबरी सहित असमता होगी। / Both closed endpoints show that both boundaries are included. So inclusive inequalities are used on both sides.
A. (-22) पर भरा वृत्त और बाईं ओर तीर/Closed circle at (-22) and arrow left
Explanation
Simple Explanation
\(x\le -22\) में (-22) शामिल है और उससे छोटी संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए भरा वृत्त बाईं ओर तीर के साथ होगा। / In \(x\le -22\), (-22) is included and smaller numbers are taken. So a closed circle with a left arrow is used.
B. \(x\le -6\) या \(x\ge 10\)/\(x\le -6\) or \(x\ge 10\)
Explanation
Simple Explanation
पहला भाग \(x\le -6\) और दूसरा भाग \(x\ge 10\) देता है। \(\cup\) दोनों भागों का मिलन दिखाता है। / The first part gives \(x\le -6\) and the second gives \(x\ge 10\). The symbol \(\cup\) shows the union of both parts.
खाली वृत्त (1) को बाहर रखता है और भरा वृत्त (8) को शामिल करता है। इसलिए ((1,8]) सही है। / The open circle excludes (1), and the closed circle includes (8). Therefore ((1,8]) is correct.
अस strict असमिकाएँ x<6 और x>6 मिलकर उन सभी वास्तविक संख्याओं को दर्शाती हैं जो 6 के बराबर नहीं हैं। इसलिए 6 पर खुला बिंदु होगा और 6 के बाएँ तथा दाएँ दोनों ओर रेखा होगी। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें 6 शामिल है। परीक्षा-युक्ति: < और > के लिए खुले सिरे तथा ≤ और ≥ के लिए बंद सिरे प्रयोग करें। / The strict inequalities x<6 and x>6 together include every real number except 6. Therefore, the number line has an open point at 6 and is shaded on both sides. Option B is incorrect because it includes 6. Exam tip: use open endpoints for < and >, and closed endpoints for ≤ and ≥.
A. सिर्फ (-14) पर भरा बिंदु/Only a closed point at (-14)
Explanation
Simple Explanation
समान सीमाओं वाला बंद अंतराल केवल उसी संख्या को शामिल करता है। इसलिए (-14) पर भरा बिंदु बनेगा। / A closed interval with equal endpoints includes only that number. Therefore a closed point is drawn at (-14).
\(\le\) सीमा \(\frac{5}{6}\) को शामिल करता है और बाईं ओर की संख्याएँ लेता है। इसलिए (\(-\infty,\frac{5}{6}]\) सही है। / \(\le\) includes the boundary \(\frac{5}{6}\) and takes numbers to the left. Therefore (\(-\infty,\frac{5}{6}]\) is correct.
खुला वृत्त बताता है कि 2 समाधान में शामिल नहीं है और दाईं ओर की किरण 2 से बड़े मान दर्शाती है। इसलिए \(x>2\) सही है। \(x\geq2\) में 2 पर भरा वृत्त होता है। परीक्षा टिप: दायाँ भाग ‘बड़े’ मान दिखाता है। / An open circle means that 2 is excluded, while a ray to the right represents values greater than 2. Hence, \(x>2\) is correct. \(x\geq2\) would require a filled circle at 2. Exam tip: rightward shading means greater values.
(-9) शामिल नहीं है इसलिए उसके बाद पहला पूर्णांक (-8) होगा। खुले सिरे को सदस्य न मानें। / (-9) is not included, so the first integer after it is (-8). Do not count an open endpoint as a member.
(12) शामिल नहीं है इसलिए उससे पहले का सबसे बड़ा पूर्णांक (11) होगा। खुले दाएँ सिरे को उत्तर न मानें। / (12) is not included, so the greatest integer before it is (11). Do not take the open right endpoint as the answer.
B. \(x=-4\) समाधान में नहीं है/\(x=-4\) is not in the solution
Explanation
Simple Explanation
\(-4\) पर खुला बिंदु यह दर्शाता है कि सीमा-बिंदु समाधान समुच्चय में शामिल नहीं है, जबकि \(3\) पर बंद बिंदु \(3\) के शामिल होने को दर्शाता है। अतः \(x=-4\) इस अंतराल में समाधान नहीं है। परीक्षा-युक्ति: खुला वृत्त असमानता में < या > को, और बंद वृत्त ≤ या ≥ को दर्शाता है। / The open point at \(-4\) shows that this boundary value is excluded from the solution set, while the closed point at \(3\) shows that \(3\) is included. Therefore, \(x=-4\) is not a solution in this interval. Exam tip: an open circle represents < or >, whereas a closed circle represents ≤ or ≥.
A. पहले में दोनों सिरे खुले और दूसरे में दोनों सिरे बंद/The first has both endpoints open and the second has both endpoints closed
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक सीमाओं को बाहर रखता है और वर्ग कोष्ठक सीमाओं को शामिल करता है। यही संख्या रेखा पर सिरों का अंतर बनाता है। / Parentheses exclude endpoints and square brackets include endpoints. This creates the endpoint difference on the number line.
(x>9) में 9 से बड़ी सभी संख्याएँ और (x<9) में 9 से छोटी सभी संख्याएँ शामिल होती हैं। दोनों क्षेत्रों का मिलन सभी वास्तविक संख्याओं को शामिल करता है, केवल 9 को नहीं। क्योंकि दोनों असमानताएँ strict हैं, संख्या रेखा पर 9 पर खुला वृत्त बनेगा। परीक्षा-युक्ति: x>9 या x<9 में सीमा मान 9 शामिल नहीं होता। / The inequality (x>9) includes all numbers greater than 9, while (x<9) includes all numbers less than 9. Their union contains every real number except 9. Since both inequalities are strict, 9 is marked with an open circle on the number line. Exam tip: In x>9 or x<9, the boundary value 9 is not included.
खाली वृत्त का अर्थ है कि \(-20\) हल में शामिल नहीं है। बाईं ओर छायांकन उन सभी संख्याओं को दर्शाता है जो \(-20\) से छोटी हैं। इसलिए असमता \(x < -20\) होगी। \(x \le -20\) में \(-20\) शामिल होता, इसलिए वहाँ भरा हुआ वृत्त बनता। परीक्षा टिप: खाली वृत्त के लिए \(<\) या \(>\), जबकि भरे वृत्त के लिए \(\le\) या \(\ge\) याद रखें। / An open circle means that \(-20\) is not included in the solution set. Shading to the left represents all numbers less than \(-20\). Therefore, the inequality is \(x < -20\). In contrast, \(x \le -20\) would include \(-20\), so it would use a closed circle. Exam tip: an open circle corresponds to \(<\) or \(>\), while a closed circle corresponds to \(\le\) or \(\ge\).
(\(-\infty,\infty\)) सभी वास्तविक संख्याओं को दर्शाता है। इसलिए पूरी संख्या रेखा छायांकित होगी। / (\(-\infty,\infty\)) represents all real numbers. Therefore the entire number line is shaded.
अंतराल \((-15,-7)\) में दोनों ओर गोल कोष्ठक हैं, इसलिए \(-15\) और \(-7\) शामिल नहीं होते। अतः \(x\) के लिए सही असमता \(-15<x<-7\) है। विकल्प A में दोनों सिरों को शामिल किया गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: गोल कोष्ठक के लिए \(<\) या \(>\), जबकि वर्ग कोष्ठक के लिए \(\le\) या \(\ge\) का प्रयोग करें। / The interval \((-15,-7)\) has parentheses at both ends, so neither \(-15\) nor \(-7\) is included. Therefore, the correct inequality is \(-15<x<-7\). Option A is incorrect because it includes both endpoints. Exam tip: use \(<\) or \(>\) for parentheses, and \(\le\) or \(\ge\) for square brackets.
बाहर की छायांकन दो अलग भाग दिखाती है और खुले वृत्त सीमाओं को बाहर रखते हैं। इसलिए (\(-\infty,-4\)\cup\(11,\infty\)) सही है। / Outward shading shows two separate parts and open circles exclude the boundaries. Hence (\(-\infty,-4\)\cup\(11,\infty\)) is correct.
B. \(\frac{4}{5}\) पर एक भरा बिंदु/One closed point at \(\frac{4}{5}\)
Explanation
Simple Explanation
समान सीमाओं वाला बंद अंतराल केवल उसी संख्या को शामिल करता है। इसलिए \(\frac{4}{5}\) पर एक भरा बिंदु बनेगा। / A closed interval with equal endpoints includes only that number. Therefore one closed point is drawn at \(\frac{4}{5}\).
भरा वृत्त \(-\frac{5}{2}\) को शामिल करता है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ होती हैं। इसलिए \(x\ge -\frac{5}{2}\) सही है। / The closed circle includes \(-\frac{5}{2}\), and greater numbers lie to the right. Therefore \(x\ge -\frac{5}{2}\) is correct.
A. समाधान समुच्चय में शामिल है/It is included in the solution set
Explanation
Simple Explanation
अंतराल \((-3,7]\) में 7 के बाद का वर्ग कोष्ठक बताता है कि 7 समाधान समुच्चय में शामिल है। इसलिए संख्या रेखा पर x=7 पर भरा हुआ बिंदु बनाया जाएगा, जबकि -3 पर खुला बिंदु होगा। परीक्षा युक्ति: ] या [ वाला सिरा शामिल होता है, और ) या ( वाला सिरा शामिल नहीं होता। / In the interval \((-3,7]\), the square bracket after 7 shows that 7 belongs to the solution set. Hence, a filled dot is marked at x=7 on the number line, whereas -3 is shown with an open dot. Exam tip: a square bracket indicates inclusion, while a parenthesis indicates exclusion.
खाली वृत्त (0) को बाहर रखता है और बाईं ओर छोटी संख्याएँ होती हैं। इसलिए अंतराल (\(-\infty,0\)) होगा। / The open circle excludes (0), and smaller numbers lie to the left. Hence the interval is (\(-\infty,0\)).
बंद सिरा (2) को शामिल करता है और खुला सिरा (9) को बाहर रखता है। इसलिए सही असमता \(2\le x<9\) है। / The closed endpoint includes (2), and the open endpoint excludes (9). Therefore the correct inequality is \(2\le x<9\).
