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A. दोनों पक्षों में (7) जोड़ना/adding (7) to both sides
Explanation
Simple Explanation
दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने से असमानता की दिशा नहीं बदलती। चिन्ह केवल ऋणात्मक गुणा या भाग में बदलता है। / Adding the same number to both sides does not change inequality direction. The sign changes only when multiplying or dividing by a negative number.
(2x-7<5) से (2x<12) और इसलिए (x<6) मिलता है। धनात्मक (2) से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / From (2x-7<5), we get (2x<12), hence (x<6). Dividing by positive (2) does not reverse the sign.
\(-4x\ge 12\) और (-4) से भाग देने पर चिन्ह उलटकर \(x\le -3\) होता है। ऋणात्मक गुणांक सबसे सामान्य गलती है। / We get \(-4x\ge 12\), and dividing by (-4) reverses the sign to \(x\le -3\). A negative coefficient is the most common trap.
एक ही (x) साथ में (-1) से छोटा और (3) से बड़ा नहीं हो सकता। संयुक्त असमानता में साझा भाग खोजें। / The same (x) cannot be less than (-1) and greater than (3) at once. For compound inequalities, find the common part.
\(x\le -2\) में (-2) शामिल है और सभी छोटे वास्तविक मान आते हैं। \(\infty\) के साथ हमेशा खुला कोष्ठक लगता है। / The inequality \(x\le -2\) includes (-2) and all smaller real values. Infinity always uses an open parenthesis.
दोनों दिशाओं में कम या बराबर होने का अर्थ बराबरी है। ऐसी स्थिति को पहचानना तुलना प्रश्नों में उपयोगी है। / Being less than or equal in both directions means equality. Recognizing this helps in comparison questions.
D. कोई \(x\in\mathbb{R}\) नहीं/no \(x\in\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
समान (x) हटाने पर (3<-2) मिलता है, जो असत्य है। जब चर हट जाए तो शेष सत्यता से हल तय करें। / Subtracting the same (x) gives (3<-2), which is false. When the variable cancels, decide the solution from the remaining truth value.
(x>2) को (3) से गुणा कर (3x>6) और (4) जोड़कर (3x+4>10) मिलता है। कठोर असमानता कठोर ही रहती है। / Multiplying (x>2) by (3) gives (3x>6), then adding (4) gives (3x+4>10). A strict inequality remains strict here.
\(x\le -1\) को (-5) से गुणा करने पर \(-5x\ge 5\), फिर (2) जोड़ने पर \(-5x+2\ge 7\) मिलता है। ऋणात्मक गुणा चिन्ह उलटता है। / Multiplying \(x\le -1\) by (-5) gives \(-5x\ge 5\), then adding (2) gives \(-5x+2\ge 7\). Negative multiplication reverses the sign.
दोनों पक्षों को धनात्मक (2) से गुणा करने पर \(x-3\ge 8\), अतः \(x\ge 11\) मिलता है। धनात्मक हर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying both sides by positive (2) gives \(x-3\ge 8\), so \(x\ge 11\). A positive denominator does not change the sign.
(-3) से गुणा करने पर चिन्ह उलटता है, इसलिए (5-2x>-21), फिर (-2x>-26) और (x<13) नहीं, सही रूप (2x<26) से (x<13) होगा। इस पंक्ति में सही विकल्प उपलब्ध नहीं है। / Multiplying by (-3) reverses the sign, so (5-2x>-21), then (-2x>-26), and dividing by (-2) gives (x<13). The listed choices do not match this result.
(-2) से गुणा करने पर \(7-3x\ge -10\), फिर \(-3x\ge -17\) और \(x\le \frac{17}{3}\) मिलता है। सही हल विकल्पों में नहीं है, इसलिए प्रश्न अमान्य है। / Multiplying by (-2) gives \(7-3x\ge -10\), then \(-3x\ge -17\), so \(x\le \frac{17}{3}\). The correct solution is not among the options, so this question is invalid.
(5-2x>-11) से (-2x>-16) और ऋणात्मक (2) से भाग देने पर (x<8) मिलता है। चिन्ह उलटना न भूलें। / From (5-2x>-11), we get (-2x>-16), and dividing by negative (2) gives (x<8). Do not forget to reverse the sign.
धनात्मक (c) से भाग देने पर असमानता की दिशा वही रहती है। (c=0) से भाग करना परिभाषित नहीं है। / Dividing by positive (c) keeps the inequality direction unchanged. Division by (c=0) is undefined.
D. कोई निश्चित निष्कर्ष नहीं/no definite conclusion
Explanation
Simple Explanation
विपरीत दिशाओं की असमानताओं को सीधे जोड़कर निश्चित क्रम नहीं मिलता। जोड़ने से पहले दिशा समान होनी चाहिए। / Inequalities in opposite directions do not give a fixed order when added directly. The directions should match before adding.
पूरे अंतराल से (2) घटाने पर सिरों से भी (2) घटता है। बंद और खुले सिरों की प्रकृति वही रहती है। / Subtracting (2) from the whole interval subtracts (2) from its endpoints. Open and closed endpoint types remain the same.
(-1) शामिल नहीं है और (6) शामिल है। इसलिए बायां सिरा खुला और दायां सिरा बंद होगा। / The value (-1) is excluded and (6) is included. Hence the left endpoint is open and the right endpoint is closed.
\(|x|\ge 3\) का अर्थ है (x), (0) से कम से कम (3) इकाई दूर है। इसलिए \(x\le -3\) या \(x\ge 3\) होगा। / The inequality \(|x|\ge 3\) means (x) is at least (3) units away from (0). Thus \(x\le -3\) or \(x\ge 3\).
(x>1) होने पर (x) धनात्मक है और (1) से बड़ा है, इसलिए वर्ग भी (1) से बड़ा होगा। वर्ग करते समय चिन्ह की शर्त देखें। / When (x>1), (x) is positive and greater than (1), so its square is also greater than (1). Check the sign condition before squaring.
\(x\ge 5\) का अर्थ (x) कम से कम (5) है; इसका निषेध (x<5) है। निषेध में बराबरी का ध्यान रखें। / The statement \(x\ge 5\) means (x) is at least (5); its negation is (x<5). Be careful with equality in negations.
\(x<-2\) का निषेध उन सभी मानों को शामिल करता है जो \(-2\) से कम नहीं हैं; इसलिए यह \(x\ge -2\) होगा। कठोर असमानता \(<\) का निषेध करते समय बराबरी का मामला भी जुड़ जाता है। विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें \(-2\) से कम या बराबर मान लिए गए हैं। परीक्षा-युक्ति: \(x<a\) का निषेध हमेशा \(x\ge a\) और \(x>a\) का निषेध \(x\le a\) होता है। / The negation of \(x<-2\) includes every value that is not less than \(-2\), so it is \(x\ge -2\). Equality must be included when negating a strict inequality. Option C is incorrect because it includes values less than or equal to \(-2\), rather than the values outside \(x<-2\). Exam tip: the negation of \(x<a\) is \(x\ge a\), while the negation of \(x>a\) is \(x\le a\).
\(x\le y\) और (y<z) से (x<z) मिलता है क्योंकि अंत में एक कठोर असमानता है। मिश्रित क्रम में कठोर चिन्ह परिणाम को कठोर बना सकता है। / From \(x\le y\) and (y<z), we get (x<z) because one link is strict. In a mixed chain, a strict sign can make the result strict.
धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती। पहले गुणक का चिन्ह देखें, फिर निष्कर्ष लिखें। / Multiplying by a positive number does not change inequality direction. Check the sign of the multiplier before writing the conclusion.
(a<b) को (-1) से गुणा करने पर (-a>-b) होता है। ऋणात्मक से गुणा करते समय चिन्ह उलटना चाहिए। / Multiplying (a<b) by (-1) gives (-a>-b). The sign must reverse when multiplying by a negative number.
\(-3\le x<4\) को (-3) से गुणा करने पर \(-12<-3x\le 9\), फिर (2) जोड़ने पर \(-10<2-3x\le 11\) मिलता है। ऋणात्मक गुणा क्रम उलटता है। / Multiplying \(-3\le x<4\) by (-3) gives \(-12<-3x\le 9\), then adding (2) gives \(-10<2-3x\le 11\). Negative multiplication reverses the order.
\(x=\frac{1}{2}\) पर \(x^2=\frac{1}{4}\), जो \(\frac{1}{2}\) से छोटा है। सार्वत्रिक कथन को गलत करने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है। / At \(x=\frac{1}{2}\), \(x^2=\frac{1}{4}\), which is less than \(\frac{1}{2}\). One counterexample is enough to disprove a universal statement.
A. यह सभी \(x\in\mathbb{R}\) के लिए सत्य है/true for all \(x\in\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+1\ge 1>0\)। वर्ग और स्थिरांक से न्यूनतम मान पहचानें। / Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2+1\ge 1>0\). Identify the minimum value using the square and constant term.
(x>1) होने पर \(\frac{1}{x}<1\) और इसलिए \(x>\frac{1}{x}\) है। व्युत्क्रम तुलना में धनात्मकता जरूरी है। / When (x>1), \(\frac{1}{x}<1\), so \(x>\frac{1}{x}\). Positivity is important in reciprocal comparisons.
A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण सही व्याख्या है/both assertion and reason are true, and the reason explains it
Explanation
Simple Explanation
दोनों पक्षों में (c) जोड़ने से (a<b) की दिशा वही रहती है। कारण सीधे अभिकथन को सिद्ध करता है। / Adding (c) to both sides keeps the direction of (a<b) unchanged. The reason directly explains the assertion.
(x>3) को (2) से गुणा कर (2x>6) और (5) घटाकर (2x-5>1) मिलता है। धनात्मक गुणा में चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying (x>3) by (2) gives (2x>6), and subtracting (5) gives (2x-5>1). Positive multiplication does not reverse the sign.
असमानताओं के संक्रमण गुण के अनुसार, \(a\le b\) और \(b<c\) से \(a<c\) प्राप्त होता है। यदि \(a=b\) भी हो, तब भी \(a=b<c\), इसलिए \(a<c\) निश्चित है। विकल्प B में समानता आवश्यक नहीं है, जबकि C और D दिए गए संबंध के विपरीत हैं। परीक्षा-युक्ति: मिश्रित असमानताओं की श्रृंखला में यदि कम-से-कम एक तुलना सख्त हो, तो बाहरी पदों के बीच निष्कर्ष भी सख्त होता है। / By the transitive property of inequalities, \(a\le b\) and \(b<c\) imply \(a<c\). Even when \(a=b\), we have \(a=b<c\), so the final inequality remains strict. Equality in option B is not necessary, while options C and D contradict the given chain. Exam tip: in a chain of mixed inequalities, one strict comparison is enough to make the comparison between the outer terms strict.
\(x<7\) का निषेध उन सभी मानों को दर्शाता है जो 7 से कम नहीं हैं; इसलिए \(x\ge 7\) सही है। विकल्प B, \(x>7\), में \(x=7\) शामिल नहीं है, जबकि निषेध में बराबरी का मान शामिल होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: ‘से कम नहीं’ को ‘कम से कम’ में बदलें। / The negation of \(x<7\) includes every value that is not less than 7, so it is \(x\ge 7\). Option B, \(x>7\), wrongly excludes \(x=7\), which must be included in the negation. Exam tip: interpret ‘not less than’ as ‘at least’.
\(4-3x\le -8\) से \(-3x\le -12\) और (-3) से भाग देने पर \(x\ge 4\) मिलता है। ऋणात्मक भाग में चिन्ह उलटता है। / From \(4-3x\le -8\), we get \(-3x\le -12\), and dividing by (-3) gives \(x\ge 4\). Division by a negative reverses the sign.
धनात्मक (5) से गुणा करने पर (2x+1>15), इसलिए (2x>14) और (x>7) मिलता है। धनात्मक हर से चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by positive (5) gives (2x+1>15), so (2x>14) and (x>7). A positive denominator does not change the sign.
(-2) से गुणा करने पर चिन्ह उलटकर \(x-4\le -12\) मिलता है। इसलिए \(x\le -8\) सही हल है। / Multiplying by (-2) reverses the sign and gives \(x-4\le -12\). Hence \(x\le -8\) is the correct solution.
दोनों शर्तों का साझा भाग (-1) से शुरू होकर (4) से पहले तक है। (-1) शामिल है और (4) शामिल नहीं है। / The common part of both conditions starts at (-1) and goes up to before (4). The value (-1) is included and (4) is excluded.
विकल्प A में \(-3<-1\), लेकिन वर्ग करने पर \((-3)^2=9\) और \((-1)^2=1\), इसलिए \(9>1\), न कि \(9<1\)। इस प्रकार यह दिए गए निष्कर्ष का प्रतिउदाहरण है। विकल्प B, C और D में दोनों संख्याएँ गैर-ऋणात्मक हैं, इसलिए उनके वर्गों का क्रम मूल क्रम के समान रहता है। परीक्षा-युक्ति: असमता को वर्ग करने से पहले संख्याओं के चिन्ह अवश्य जाँचें। / In option A, \(-3<-1\), but squaring gives \((-3)^2=9\) and \((-1)^2=1\), so \(9>1\), not \(9<1\). Hence, it is a counterexample to the stated implication. In options B, C, and D, both numbers are non-negative, so their squares preserve the original order. Exam tip: Check the signs of the numbers before squaring an inequality.
\(x\le 2\) को (-4) से गुणा करने पर \(-4x\ge -8\), फिर (7) जोड़ने पर \(7-4x\ge -1\) मिलता है। ऋणात्मक गुणा चिन्ह उलटता है। / Multiplying \(x\le 2\) by (-4) gives \(-4x\ge -8\), and adding (7) gives \(7-4x\ge -1\). Negative multiplication reverses the sign.
(1<x<4) से (0<x-1<3), फिर धनात्मक (3) से भाग देने पर \(0<\frac{x-1}{3}<1\) मिलता है। धनात्मक भाग में चिन्ह नहीं बदलता। / From (1<x<4), we get (0<x-1<3), then dividing by positive (3) gives \(0<\frac{x-1}{3}<1\). Division by a positive number does not change the sign.
A. कोई \(x\in\mathbb{R}\) नहीं/no \(x\in\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
कोई वास्तविक संख्या (6) से कम या बराबर और (6) से बड़ी एक साथ नहीं हो सकती। साझा भाग खाली है। / No real number can be less than or equal to (6) and greater than (6) at the same time. The common part is empty.
\(x\ge -2\) को \(-\frac{1}{2}\) से गुणा करने पर \(-\frac{x}{2}\le 1\), फिर (5) जोड़ने पर \(-\frac{x}{2}+5\le 6\) मिलता है। ऋणात्मक गुणक चिन्ह उलटता है। / Multiplying \(x\ge -2\) by \(-\frac{1}{2}\) gives \(-\frac{x}{2}\le 1\), then adding (5) gives \(-\frac{x}{2}+5\le 6\). A negative multiplier reverses the sign.
हर वास्तविक (x) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2\le 0\) तभी होगा जब \(x^2=0\)। अतः (x=0) ही हल है। / For every real (x), \(x^2\ge 0\), so \(x^2\le 0\) is possible only when \(x^2=0\). Hence (x=0) is the only solution.
पहले (3) घटाने पर \(-10<2x\le 6\) मिलता है। फिर धनात्मक (2) से भाग देने पर \(-5<x\le 3\) सही हल है। / Subtracting (3) first gives \(-10<2x\le 6\). Then dividing by positive (2) gives the correct solution \(-5<x\le 3\).
क्योंकि (x>0), इसलिए (x) से गुणा करने पर \(x^2<1\) मिलता है। धनात्मक शर्त के साथ इसका हल (0<x<1) है। / Since (x>0), multiplying by (x) gives \(x^2<1\). With the positive condition, the solution is (0<x<1).
(6-3x<x+5) से (1<4x), इसलिए \(x>\frac{1}{4}\) मिलता है। चर पदों को एक ओर लाते समय चिन्ह और क्रम सावधानी से रखें। / From (6-3x<x+5), we get (1<4x), so \(x>\frac{1}{4}\). While moving variable terms to one side, keep the sign and order carefully.
(5x-2>3x+8) से (2x>10), इसलिए (x>5) मिलता है। चर पदों को एक ओर लाते समय चिन्ह न बदलें। / From (5x-2>3x+8), we get (2x>10), so (x>5). Do not change the sign while moving terms by addition or subtraction.
\(7-2x\le x+1\) से \(6\le 3x\), इसलिए \(x\ge 2\) है। असमानता को सरल करते समय दोनों पक्षों पर समान क्रिया करें। / From \(7-2x\le x+1\), we get \(6\le 3x\), so \(x\ge 2\). Apply the same operation to both sides while simplifying.
\(\frac{3x}{2}<9\) से (3x<18), इसलिए (x<6) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / From \(\frac{3x}{2}<9\), we get (3x<18), so (x<6). Dividing by a positive number does not reverse the sign.
धनात्मक (6) से गुणा करने पर (2(2x-1)\ge 3(x+5)), इसलिए \(x\ge 17\) है। हर हटाते समय धनात्मक गुणक चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by positive (6) gives (2(2x-1)\ge 3(x+5)), hence \(x\ge 17\). A positive multiplier used to clear denominators does not change the sign.
पहले (6) घटाने पर \(-10\le 2x<4\) और फिर (2) से भाग देने पर \(-5\le x<2\) मिलता है। दोनों सिरों की बराबरी अलग-अलग देखें। / Subtracting (6) gives \(-10\le 2x<4\), then dividing by (2) gives \(-5\le x<2\). Check equality at each endpoint separately.
विपरीत दिशा की असमानताओं को जोड़कर (a+c) और (b+d) की निश्चित तुलना नहीं मिलती। जोड़ने के लिए दिशा समान होना सुरक्षित नियम है। / Inequalities in opposite directions do not give a fixed comparison between (a+c) and (b+d). Same direction is the safe rule for adding inequalities.
दोनों असमानताएं कठोर हैं, इसलिए दोनों सिरों पर खुला कोष्ठक लगेगा। (-1) और (3) शामिल नहीं हैं। / Both inequalities are strict, so both endpoints use open parentheses. The values (-1) and (3) are not included.
(2) और (8) शामिल नहीं हैं, इसलिए प्राकृतिक मान (3) से (7) तक मिलते हैं। कठोर चिन्हों पर खास ध्यान दें। / The values (2) and (8) are excluded, so the natural values are from (3) to (7). Pay close attention to strict signs.
\(x\le -3\) के बाहर सभी मान (x>-3) हैं। निषेध में बराबरी की स्थिति उलट जाती है। / All values outside \(x\le -3\) satisfy (x>-3). In negation, the equality case shifts to the opposite side.
दिया है कि p, q से बड़ा या उसके बराबर है और q, r से सख्ती से बड़ा है। इसलिए p ≥ q > r से निश्चित रूप से p > r प्राप्त होता है। p = r संभव नहीं है, क्योंकि q > r और p ≥ q के कारण p, r से भी बड़ा होगा। परीक्षा-टिप: असमिकताओं की श्रृंखला में एक भी सख्त असमिका हो और दिशा समान हो, तो अंतिम संबंध भी सख्त होता है। / Since p is greater than or equal to q and q is strictly greater than r, the chain p ≥ q > r guarantees p > r. Thus p = r and r ≥ p are impossible, while p < r is in the opposite direction. Exam tip: when inequalities have the same direction, a chain containing at least one strict inequality gives a strict final comparison.
यदि (k>0) हो तो दिशा वही रहती है और यदि (k=0) हो तो बराबरी होती है। इसलिए \(ka\le kb\) हमेशा सही है। / If (k>0), the direction stays the same, and if (k=0), equality occurs. Hence \(ka\le kb\) is always correct.
धनात्मक (x) के लिए \(x+\frac{1}{x}\ge 2\) में समानता (x=1) पर होती है। ऐसे मानक रूपों में समानता की शर्त याद रखें। / For positive (x), equality in \(x+\frac{1}{x}\ge 2\) occurs at (x=1). Remember the equality condition in standard forms.
(|x-2|<5) का अर्थ है (-5<x-2<5), इसलिए (-3<x<7)। कम से कम दूरी वाले प्रश्न में बीच का अंतराल आता है। / The inequality (|x-2|<5) means (-5<x-2<5), so (-3<x<7). A less-than distance inequality gives the middle interval.
\(x^2<9\) का अर्थ (|x|<3) है, इसलिए (-3<x<3)। वर्ग वाली असमानता में दोनों दिशाएं जांचें। / The inequality \(x^2<9\) means (|x|<3), so (-3<x<3). In square inequalities, check both directions.
(x>4) से (x-4>0), इसलिए उसका व्युत्क्रम भी धनात्मक होगा। व्युत्क्रम का चिन्ह मूल राशि जैसा ही रहता है। / From (x>4), (x-4>0), so its reciprocal is also positive. The reciprocal keeps the same sign as the original quantity.
A. यह सभी \(x\in\mathbb{R}\) के लिए सत्य है/it is true for all \(x\in\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+4\ge 4\) हमेशा सत्य है। वर्ग वाले पद का न्यूनतम मान पहचानें। / Since \(x^2\ge 0\), \(x^2+4\ge 4\) is always true. Identify the minimum value of the square term.
(y=4) रखने पर (x+4>10), इसलिए (x>6) मिलता है। ज्ञात मान को रखने के बाद साधारण असमानता हल करें। / Substituting (y=4) gives (x+4>10), so (x>6). After substituting a known value, solve the simple inequality.
संख्या को (x) मानने पर उसका (3) गुना (3x) होगा और (17) से कम का अर्थ (<17) है। भाषा को प्रतीक में बदलते समय क्रम पर ध्यान दें। / Let the number be (x); three times it is (3x), and less than (17) means (<17). Watch the order while translating words to symbols.
कथन में संख्या \(x\) में 5 जोड़ने पर \(x+5\) प्राप्त होता है। “कम से कम 12” का अर्थ 12 या उससे अधिक होता है, इसलिए सही असमानता \(x+5\ge 12\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(>\) केवल 12 से अधिक मान दर्शाता है और 12 को शामिल नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: “कम से कम” के लिए \(\ge\), जबकि “से अधिक” के लिए \(>\) प्रयोग करें। / Adding 5 to the number \(x\) gives \(x+5\). “At least 12” means 12 or any number greater than 12, so the correct inequality is \(x+5\ge 12\). Option B is incorrect because \(>\) excludes the value 12. Exam tip: use \(\ge\) for “at least” and \(>\) for “more than.”
दोनों पक्षों से (4x) घटाने पर (1<9) मिलता है, जो हमेशा सत्य है। चर हटने पर शेष कथन की सत्यता से हल तय करें। / Subtracting (4x) from both sides gives (1<9), which is always true. When the variable cancels, decide the solution from the truth of the remaining statement.
A. कोई \(x\in\mathbb{R}\) नहीं/no \(x\in\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों पक्षों से (6x) घटाने पर (-2>1) मिलता है, जो असत्य है। असत्य स्थिर कथन का कोई हल नहीं होता। / Subtracting (6x) from both sides gives (-2>1), which is false. A false constant statement has no solution.
(2x+4) बढ़ने वाला रैखिक रूप है, इसलिए सिरों पर मान (2) और (10) मिलते हैं। बंद सिरों से बंद अंतराल मिलता है। / The expression (2x+4) is increasing, so the endpoint values are (2) and (10). Closed endpoints give a closed interval.
इस अंतराल में (|x|) (1) और (3) के बीच है, इसलिए \(1<x^2<9\)। ऋणात्मक अंतराल में वर्ग के लिए परिमाण देखें। / On this interval, (|x|) lies between (1) and (3), so \(1<x^2<9\). For squares on negative intervals, look at magnitude.
\(0\le x<1\) में वर्ग करने पर संख्या बढ़ती नहीं है, इसलिए \(x^2\le x\)। (x=0) पर बराबरी होती है। / For \(0\le x<1\), squaring does not increase the number, so \(x^2\le x\). Equality occurs at (x=0).
(x>1) होने पर (x), \(x^2\) और \(x^3\) सभी (1) से बड़े हैं। धनात्मक बड़े मानों में घात क्रम बनाए रखती है। / When (x>1), (x), \(x^2\), and \(x^3\) are all greater than (1). Powers preserve the order for positive values above (1).
(-2) से गुणा करने पर चिन्ह उलटना चाहिए, इसलिए सही रूप (-2a>-2b) है। ऋणात्मक गुणन में यही सबसे बड़ी गलती होती है। / Multiplying by (-2) should reverse the sign, so the correct form is (-2a>-2b). This is the biggest error in negative multiplication.
धनात्मक (12) से गुणा करने पर (3x+6<6x-2), इसलिए \(x>\frac{8}{3}\) है। धनात्मक लघुत्तम समापवर्त्य से चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by positive (12) gives (3x+6<6x-2), so \(x>\frac{8}{3}\). A positive LCM does not reverse the sign.
पूर्णांक (-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1) हैं। दोनों सिरे खुले हैं, इसलिए (-7) और (2) शामिल नहीं हैं। / The integers are (-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1). Both endpoints are open, so (-7) and (2) are not included.
एक ही दिशा की असमानताओं को जोड़ने से (u+r<v+s) मिलता है। घटाव, गुणा और भाग के लिए अतिरिक्त चिन्ह शर्तें चाहिए। / Adding inequalities in the same direction gives (u+r<v+s). Subtraction, multiplication, and division need extra sign conditions.
दोनों शर्तों का साझा भाग (3) से शुरू होकर (5) से पहले तक है। (3) शामिल है और (5) शामिल नहीं है। / The common part of both conditions starts at (3) and goes up to before (5). The value (3) is included and (5) is excluded.
(-6x+3>12) से (-6x>9), फिर (-6) से भाग देने पर \(x<-\frac{3}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक भाग में चिन्ह उलटता है। / From (-6x+3>12), we get (-6x>9), and dividing by (-6) gives \(x<-\frac{3}{2}\). Division by a negative reverses the sign.
A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं, तथा कारण अभिकथन की सही व्याख्या है/Both the assertion and the reason are true, and the reason is the correct explanation of the assertion
Explanation
Simple Explanation
दिया है कि \(a<b\)। दोनों पक्षों में \(a\) घटाने पर \(b-a>0\) प्राप्त होता है, इसलिए अभिकथन सही है। कारण भी सही है, क्योंकि बड़ी संख्या \(b\) में से छोटी संख्या \(a\) घटाने पर धनात्मक अंतर मिलता है और यही अभिकथन की व्याख्या करता है। परीक्षा-युक्ति: \(x<y\) से सीधे \(y-x>0\) निष्कर्षित किया जा सकता है। / We are given \(a<b\). Subtracting \(a\) from both sides gives \(b-a>0\), so the assertion is true. The reason is also true: subtracting the smaller number \(a\) from the larger number \(b\) produces a positive difference, which directly explains the assertion. Exam tip: From \(x<y\), immediately infer \(y-x>0\).
रैखिक रूप (5-3x) घटता है, इसलिए सिरों का क्रम उलटता है। (x=1) शामिल है इसलिए (2) शामिल है और (x=4) शामिल नहीं है इसलिए (-7) शामिल नहीं है। / The linear expression (5-3x) is decreasing, so the order of endpoints reverses. Since (x=1) is included, (2) is included, and since (x=4) is excluded, (-7) is excluded.
धनात्मक (3) से गुणा करने पर \(4x-5\le 3x+6\), इसलिए \(x\le 11\) मिलता है। धनात्मक हर हटाने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by positive (3) gives \(4x-5\le 3x+6\), so \(x\le 11\). Removing a positive denominator does not change the sign.
(a>b) को ऋणात्मक (c) से गुणा करने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है। इसलिए (ac<bc) सही है। / Multiplying (a>b) by negative (c) reverses the inequality sign. Therefore (ac<bc) is correct.
A. दोनों पक्षों में (4) जोड़ने पर/adding (4) to both sides
Explanation
Simple Explanation
दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने से असमानता का चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा में चिह्न केवल ऋणात्मक गुणा या भाग में उलटता है। / Adding the same number to both sides does not change the inequality sign. In exams the sign reverses only for multiplication or division by a negative number.
(3x+2>11) से (3x>9), इसलिए (x>3)। परीक्षा में अंतिम भाग धनात्मक हो तो चिह्न वही रहता है। / From (3x+2>11), (3x>9), so (x>3). In exams the sign stays same when the final division is positive.
\(-4x\ge 12\) और (-4) से भाग देने पर \(x\le -3\) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक भाग से चिह्न उलटना न भूलें। / We get \(-4x\ge 12\), and dividing by (-4) gives \(x\le -3\). In exams do not forget to reverse the sign on negative division.
(2x<6) से (x<3), इसलिए सबसे बड़ा पूर्णांक (2) है। परीक्षा में खुले चिह्न (<) में सीमा मान शामिल नहीं होता। / From (2x<6), (x<3), so the greatest integer is (2). In exams a strict sign (<) does not include the boundary value.
A. (x>-2) पर खुला वृत्त/open circle at (x=-2) with right shading
Explanation
Simple Explanation
(5-2x<9) से (-2x<4), इसलिए (x>-2)। परीक्षा में (>) के लिए दाईं ओर छाया और खुला वृत्त होता है। / From (5-2x<9), (-2x<4), so (x>-2). In exams (>) means right shading and an open circle.
सभी भागों से (1) घटाने पर \(-3\le 3x<9\), इसलिए \(-1\le x<3\)। परीक्षा में संयुक्त असमानता में तीनों भाग साथ रखें। / Subtracting (1) from all parts gives \(-3\le 3x<9\), so \(-1\le x<3\). In exams keep all three parts together in compound inequalities.
\(x\ge 4\) में (4) शामिल है, इसलिए बायाँ ब्रैकेट बंद होगा। परीक्षा में \(\infty\) के साथ हमेशा खुला ब्रैकेट आता है। / In \(x\ge 4\), (4) is included, so the left bracket is closed. In exams infinity always uses an open bracket.
(x<-1) में (-1) शामिल नहीं और \(x\ge5\) में (5) शामिल है। परीक्षा में या का अर्थ प्रायः \(\cup\) होता है। / In (x<-1), (-1) is not included, and in \(x\ge5\), (5) is included. In exams or usually means \(\cup\).
\(2x+3\le x-4\) से \(x\le -7\) मिलता है। परीक्षा में (x) पदों को एक तरफ और स्थिर पदों को दूसरी तरफ रखें। / From \(2x+3\le x-4\), we get \(x\le -7\). In exams keep (x)-terms on one side and constants on the other side.
(3) धनात्मक है, इसलिए चिह्न नहीं बदलेगा और \(x-1\ge6\) से \(x\ge7\)। परीक्षा में हर का चिह्न पहले देखें। / Since (3) is positive, the sign does not change, and \(x-1\ge6\) gives \(x\ge7\). In exams first check the sign of the denominator.
\(2x\le8\) से \(x\le4\), और \(x\in\mathbb{N}\) लेने पर ({1,2,3,4}) मिलता है। परीक्षा में डोमेन अवश्य देखें। / From \(2x\le8\), \(x\le4\), and with \(x\in\mathbb{N}\) we get ({1,2,3,4}). In exams always check the domain.
(-3) शामिल नहीं है और (2) शामिल है। परीक्षा में खुले और बंद छोर अलग-अलग जांचें। / The value (-3) is not included and (2) is included. In exams check open and closed endpoints separately.
दोनों शर्तें साथ चाहिए, इसलिए (2<x<8)। परीक्षा में और का अर्थ प्रायः प्रतिच्छेद \(\cap\) होता है। / Both conditions are required together, so (2<x<8). In exams and usually means intersection \(\cap\).
\(-3x\le -6\) और (-3) से भाग देने पर \(x\ge2\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय चिह्न उलटें। / \(-3x\le -6\), and dividing by (-3) gives \(x\ge2\). In exams reverse the sign when dividing by a negative coefficient.
A. (p+r<q+r) हर वास्तविक (r) के लिए/(p+r<q+r) for every real (r)
Explanation
Simple Explanation
समान वास्तविक संख्या जोड़ने से असमानता की दिशा नहीं बदलती। परीक्षा में गुणा या भाग में संख्या का चिह्न जरूरी होता है। / Adding the same real number does not change the direction of inequality. In exams the sign of the multiplier or divisor matters.
ऋणात्मक (r) से गुणा करने पर (>) चिह्न (<) में बदलता है। परीक्षा में (r<0) वाले विकल्पों में उलटाव देखें। / Multiplying by negative (r) changes (>) into (<). In exams watch for reversal in options containing (r<0).
(x+2<x+1) से (2<1) मिलता है, जो असत्य है। परीक्षा में (x) कटने के बाद बचे कथन को जांचें। / From (x+2<x+1), we get (2<1), which is false. In exams check the remaining statement after cancelling (x).
A. \(x\le -3\) या \(x\ge3\)/\(x\le -3\) or \(x\ge3\)
Explanation
Simple Explanation
\(|x|\ge3\) में (0) से दूरी कम से कम (3) है। परीक्षा में बड़ा वाला निरपेक्ष मान दो बाहरी भाग देता है। / In \(|x|\ge3\), the distance from (0) is at least (3). In exams a greater-than absolute value gives two outer parts.
किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए \(x^2\ge0\) सदैव सत्य है। परीक्षा में वर्ग का मूल गुण याद रखें। / The square of a real number is never negative, so \(x^2\ge0\) is always true. In exams remember the basic property of squares.
वास्तविक (x) के लिए \(x^2\) कभी ऋणात्मक नहीं होता। परीक्षा में असंभव असमानता के लिए \(\varnothing\) लिखें। / For real (x), \(x^2\) is never negative. In exams write \(\varnothing\) for an impossible inequality.
\(x^2\le0\) और \(x^2\ge0\) दोनों तभी संभव हैं जब (x=0)। परीक्षा में बराबरी का मामला अलग जांचें। / Both \(x^2\le0\) and \(x^2\ge0\) are possible only when (x=0). In exams check the equality case separately.
गुणनफल धनात्मक तब है जब दोनों गुणनखंड समान चिह्न के हों। परीक्षा में शून्य बिंदु (-3) और (2) को खुला रखें। / The product is positive when both factors have the same sign. In exams keep the zero points (-3) and (2) open.
भिन्न धनात्मक है जब अंश और हर समान चिह्न के हों। परीक्षा में (x=-1) हर को शून्य करता है, इसलिए शामिल नहीं होगा। / The fraction is positive when numerator and denominator have the same sign. In exams (x=-1) makes the denominator zero, so it is excluded.
(x=3) पर हर (0) हो जाता है, इसलिए भिन्न अपरिभाषित है। परीक्षा में हर को शून्य करने वाले मान हमेशा हटाएं। / At (x=3), the denominator becomes (0), so the fraction is undefined. In exams always exclude values that make the denominator zero.
(x) हटाने पर (2>-5) मिलता है, जो सदैव सत्य है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में सभी वास्तविक संख्याएं उत्तर हो सकती हैं। / After cancelling (x), we get (2>-5), which is always true. In exams such questions may have all real numbers as the answer.
(x) हटाने पर \(-6\ge1\) मिलता है, जो असत्य है। परीक्षा में असत्य स्थिर कथन का अर्थ कोई हल नहीं है। / After cancelling (x), we get \(-6\ge1\), which is false. In exams a false constant statement means no solution.
तीनों भागों में (3) जोड़ने पर \(4<2x\le12\), इसलिए \(2<x\le6\)। परीक्षा में हर चरण तीनों भागों पर करें। / Adding (3) to all three parts gives \(4<2x\le12\), so \(2<x\le6\). In exams apply each step to all three parts.
अधिक या बराबर का गणितीय रूप \(m\ge40\) है। परीक्षा में शब्द बराबर आए तो \(\ge\) या \(\le\) पर ध्यान दें। / Greater than or equal to is written as \(m\ge40\). In exams when the word equal appears, look for \(\ge\) or \(\le\).
अधिकतम (500) का अर्थ है (500) तक अनुमति है। परीक्षा में अधिकतम शब्द सामान्यतः \(\le\) देता है। / Maximum (500) means values up to (500) are allowed. In exams the word maximum usually gives \(\le\).
तीन गुना का अर्थ (3x) और कम है का अर्थ (<) है। परीक्षा में शब्दों को सीधे बीजगणित में बदलें। / Three times means (3x), and less than means (<). In exams translate words directly into algebra.
कम से कम (13) का अर्थ \(2x+5\ge13\), इसलिए \(x\ge4\)। परीक्षा में at least का अर्थ \(\ge\) याद रखें। / At least (13) means \(2x+5\ge13\), so \(x\ge4\). In exams remember that at least means \(\ge\).
असमानता का हल (x>5) है, इसलिए (x=6) संतुष्ट करता है। परीक्षा में सीमा (5) खुद शामिल नहीं है। / The solution is (x>5), so (x=6) satisfies it. In exams the boundary (5) itself is not included.
\(5-4x\ge-7\) से \(x\le3\), इसलिए (x=4) हल में नहीं है। परीक्षा में नहीं संतुष्ट करता शब्द पर ध्यान दें। / From \(5-4x\ge-7\), \(x\le3\), so (x=4) is not in the solution. In exams notice the phrase does not satisfy.
\(x+3\ge2x-1\) से \(4\ge x\), अर्थात \(x\le4\)। परीक्षा में \(4\ge x\) को \(x\le4\) में बदलते समय दिशा समझें। / From \(x+3\ge2x-1\), \(4\ge x\), that is \(x\le4\). In exams understand the direction when rewriting \(4\ge x\) as \(x\le4\).
सभी भागों को धनात्मक (2) से गुणा करने पर \(-2\le x<8\)। परीक्षा में धनात्मक गुणा से चिह्न नहीं बदलते। / Multiplying all parts by positive (2) gives \(-2\le x<8\). In exams positive multiplication does not change signs.
(-2) से भाग देने पर दोनों चिह्न उलटते हैं और \(3>x\ge-5\), यानी \(-5\le x<3\)। परीक्षा में संयुक्त असमानता को क्रम में फिर से लिखें। / Dividing by (-2) reverses both signs and gives \(3>x\ge-5\), that is \(-5\le x<3\). In exams rewrite compound inequalities in increasing order.
कोष्ठक खोलने पर (10x-5<3x+16), इसलिए (7x<21) और (x<3)। परीक्षा में पहले कोष्ठक सही खोलें। / Expanding gives (10x-5<3x+16), so (7x<21) and (x<3). In exams expand brackets carefully first.
धनात्मक (3) से गुणा करने पर \(-12<x+2\le6\), इसलिए \(-14<x\le4\)। परीक्षा में खुले और बंद चिह्न अलग-अलग बनाए रखें। / Multiplying by positive (3) gives \(-12<x+2\le6\), so \(-14<x\le4\). In exams preserve open and closed signs separately.
हल \(-1\le x<\frac{11}{3}\) है, इसलिए पूर्णांक ({-1,0,1,2,3}) मिलते हैं। परीक्षा में अंतिम उत्तर डोमेन के अनुसार लिखें। / The solution is \(-1\le x<\frac{11}{3}\), so the integers are ({-1,0,1,2,3}). In exams write the final answer according to the domain.
धनात्मक (12) से गुणा करने पर (3(2x-5)>4(x+1)), इसलिए (2x>19)। परीक्षा में एलसीएम धनात्मक हो तो चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying by positive (12) gives (3(2x-5)>4(x+1)), so (2x>19). In exams the sign does not change when the LCM is positive.
धनात्मक (d) से गुणा करने पर असमानता की दिशा वही रहती है। परीक्षा में गुणक का चिह्न पहले पहचानें। / Multiplying by positive (d) keeps the direction of the inequality unchanged. In exams identify the sign of the multiplier first.
भिन्न ऋणात्मक तब होता है जब अंश और हर विपरीत चिह्न के हों। परीक्षा में (x=-2) हर को शून्य करता है और (x=4) पर मान (0) है, इसलिए दोनों शामिल नहीं हैं। / The fraction is negative when numerator and denominator have opposite signs. In exams (x=-2) makes the denominator zero and (x=4) gives (0), so both are excluded.
कम से कम नहीं बल्कि कम है लिखा है, इसलिए (p<350) होगा। परीक्षा में less than और at most में अंतर रखें। / It says less than, not at most, so the inequality is (p<350). In exams distinguish less than from at most.
