Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
x-अक्ष पर जहाँ ग्राफ मिलता है, वही बहुपद के शून्यक (roots) होते हैं। यहाँ दिए बिंदुओं के अनुसार शून्यक x=4 (स्पर्श) और x=-2 (कटान) हैं। इसलिए उनका साधारण योग 4+(-2)=2 होता है। नोट: 'स्पर्श' का अर्थ उस शून्यक की गुणांकता (multiplicity) सम (even) हो सकती है; यदि आप गुणांकता के साथ योग कर रहे हों और x=4 द्विगुणक हो तो 4+4+(-2)=6 बनता, इसलिए विकल्प 6 उसी त्रुटि से आता है। परीक्षा टिप: बिना गुणांकता बताये सामान्यतः शून्यकों के मानों का सीधा योग लें और स्पर्श बिंदु को भी शून्यक मानें। / Points where the graph meets the x-axis are the polynomial's zeroes. Here the zeroes are x=4 (touches) and x=-2 (crosses), so their simple sum is 4+(-2)=2. Note: a "touch" usually means the root has even multiplicity; if you summed roots with multiplicity and x=4 were a double root you would get 4+4+(-2)=6, which is why option 6 is a plausible but incorrect interpretation. Exam tip: unless multiplicities are specified, add the x-coordinates of the intercepts (count touching points as roots).
दोहराया (2) अलग शून्यक में एक बार गिना जाता है। टिप: अलग शून्यक में समान मान पुनः न लिखें। / The repeated (2) is counted once for distinct zeroes. Tip: do not rewrite the same value for distinct zeroes.
B. हर वास्तविक (x) शून्यक है/Every real (x) is a zero
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद हर (x) पर (0) देता है। टिप: इसे सामान्य स्थिर बहुपद से अलग समझें। / The zero polynomial gives (0) for every (x). Tip: treat it differently from a usual constant polynomial.
शून्यक (x)-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं के (x)-निर्देशांक होते हैं। इसलिए शून्यक (2) और (7) हैं। / Zeroes are the (x)-coordinates of the points where the graph cuts the (x)-axis. So the zeroes are (2) and (7).
(x)-अक्ष से प्रत्येक अलग कटाव एक वास्तविक शून्यक देता है। दो कटाव होने पर दो वास्तविक शून्यक होंगे। / Each distinct intersection with the (x)-axis gives one real zero. With two intersections, there are two real zeroes.
वास्तविक शून्यक तभी दिखते हैं जब ग्राफ (x)-अक्ष से मिले। यदि ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलता, तो वास्तविक शून्यक नहीं होंगे। / Real zeroes appear only where the graph meets the (x)-axis. If it does not meet the (x)-axis, it has no real zero.
रैखिक बहुपद का ग्राफ एक रेखा होता है और सामान्यतः (x)-अक्ष को एक बार काटता है। इसलिए उसका एक शून्यक होता है। / The graph of a linear polynomial is a line and usually cuts the (x)-axis once. Therefore it has one zero.
शून्यक हमेशा (x)-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं के (x)-निर्देशांक होते हैं। इसलिए शून्यक (-2) और (4) हैं। / Zeroes are the (x)-coordinates of the points where the graph meets the (x)-axis. So the zeroes are (-2) and (4).
x-अक्ष पर काटने वाले बिंदु के x‑मान ही बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक −5 और 2 हैं, अतः उनका योग (−5)+2 = −3। विकल्प B (3) उस स्थिति में गलत होगा जब केवल मानों का चिह्न उल्टा ले लिया गया हो; विकल्प C (7) तब आता है जब मात्र परिमाणों को जोड़ा गया हो (|−5|+|2|), अतः वे गलत हैं। परीक्षा-टिप: x-अक्ष पर मिलने वाले बिंदुओं से सीधे x‑समन्वय लें और जोड़ें। / The x-coordinates of the points where the graph meets the x-axis are the zeroes. Here the zeroes are −5 and 2, so the sum is (−5)+2 = −3. Option B (3) would be a sign error; option C (7) corresponds to adding absolute values (|−5|+|2|) and is therefore incorrect. Exam tip: directly take the x-values of the intercepts as the roots and add them.
तीन अलग (x)-प्रतिच्छेद तीन शून्यक देते हैं। संख्या के प्रकार से नहीं बल्कि प्रतिच्छेदों से गिनें। / Three distinct (x)-intercepts give three zeroes. Count by intersections not by the type of numbers.
A. इससे शून्यक निश्चित नहीं होता/A zero cannot be determined from this alone
Explanation
Simple Explanation
(y)-प्रतिच्छेद (p(0)) बताता है न कि सभी शून्यक। शून्यक के लिए (x)-अक्ष से प्रतिच्छेद चाहिए। / The (y)-intercept tells (p(0)) not all zeroes. Zeroes need (x)-axis intersections.
शून्यक प्रतिच्छेद बिंदु का (x)-निर्देशांक होता है। (y=0) को शून्यक न लिखें। / A zero is the (x)-coordinate of the intercept point. Do not write (y=0) as the zero.
ग्राफ जहाँ (x)-अक्ष को काटता है वही शून्यक होता है। परीक्षा में काटने वाले बिंदुओं की संख्या गिनें। / A zero occurs where the graph meets the (x)-axis. In exams count the (x)-intercepts.
शून्यक (-4), (2), (9) हैं और गुणनफल (-72) है। टिप: केवल (x)-निर्देशांकों को गुणा करें। / The zeroes are (-4), (2), (9), and their product is (-72). Tip: multiply only the (x)-coordinates.
दोहराया शून्यक 5 को अलग (distinct) शून्यकों में केवल एक बार गिना जाता है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक 5 और -1 हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें शून्यक की आवृत्ति (multiplicity) सहित सभी दर्ज हैं, जबकि प्रश्न अलग मान पूछ रहा है। विकल्प B और D गलत हैं क्योंकि वे दूसरे शून्यक को छोड़ देते हैं। परीक्षा टिप: 'distinct' या 'अलग' का अर्थ है हर अलग मान को एक बार लिखें। / A repeated root is counted only once when listing distinct zeros. So the distinct real zeros are 5 and -1. Option C is incorrect because it lists zeros with multiplicity; B and D are wrong because they omit the other root. Exam tip: when asked for distinct/unique values, list each value once regardless of multiplicity.
संख्या रेखा पर दायीं ओर स्थित संख्या बड़ी मानी जाती है। -2, -9 की तुलना में दायीं ओर है, इसलिए -2 बड़ा है। विकल्प -9 इस बहुपद का दूसरा शून्यक है इसलिए गलत; विकल्प 0 और 9 दिए गए शून्यक नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या कम ऋणात्मक (अर्थात् absolute मान छोटा) होती है वह बड़ी होती है — सीधे संख्या रेखा पर सोचें। / On the number line a number to the right is greater. -2 lies to the right of -9, so -2 is greater. -9 is the other root and thus smaller; 0 and 9 are not the given zeroes. Exam tip: For negatives, the one with smaller absolute value (less negative) is larger—visualize on the number line.
तीन अलग (x)-मान तीन अलग (x)-अक्ष बिंदु देते हैं। टिप: अलग शून्यक अलग कटान बिंदु बनाते हैं। / Three distinct (x)-values give three distinct (x)-axis points. Tip: distinct zeroes make distinct intersection points.
शून्यक उन बिंदुओं के (x)-मान हैं जहाँ (y=0) है। टिप: ((0,-5)) (y)-अक्ष कटान है, शून्यक नहीं। / Zeroes are the (x)-values of points where (y=0). Tip: ((0,-5)) is a (y)-intercept, not a zero.
तीन अलग (x)-अक्ष कटान हैं इसलिए तीन वास्तविक शून्यक हैं। टिप: केवल (y=0) वाले बिंदु गिनें। / There are three distinct (x)-axis intersections, so there are three real zeroes. Tip: count only points with (y=0).
(x)-अक्ष से हर अलग मिलन एक वास्तविक शून्यक देता है। दो बार मिलने पर दो वास्तविक शून्यक होंगे। / Each distinct meeting with the (x)-axis gives one real zero. If it meets twice, it has two real zeroes.
शून्यक वही (x)-मान हैं जहाँ ग्राफ (x)-अक्ष को काटता या छूता है। इसलिए इन्हें (x)-अवरोध से जोड़ा जाता है। / Zeroes are the (x)-values where the graph cuts or touches the (x)-axis. Hence they are linked with (x)-intercepts.
A. जब उसका ग्राफ (x)-अक्ष को दो अलग बिंदुओं पर काटे/When its graph cuts the (x)-axis at two distinct points
Explanation
Simple Explanation
द्विघात बहुपद के वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष से मिलने वाले बिंदुओं से मिलते हैं। दो अलग कटाव दो वास्तविक शून्यक देते हैं। / Real zeroes of a quadratic polynomial are found from points where it meets the (x)-axis. Two distinct intersections give two real zeroes.
द्विघात बहुपद का ग्राफ परवलय होता है। (x)-अक्ष पर दो अलग-अलग कटाव दो वास्तविक शून्यक बताते हैं। / The graph of a quadratic polynomial is a parabola. Two distinct intersections with the (x)-axis show two real zeroes.
नीचे खुलने वाले परवलय में शून्यकों के बाहर मान ऋणात्मक होते हैं। टिप: खुलने की दिशा संकेत क्षेत्र बदलती है। / For a downward-opening parabola, values outside the zeroes are negative. Tip: opening direction changes sign regions.
नीचे खुलने वाले परवलय में शून्यकों के बाहर मान ऋणात्मक होते हैं। टिप: खुलने की दिशा संकेत क्षेत्र बदलती है। / For a downward-opening parabola, values outside the zeroes are negative. Tip: opening direction changes sign regions.
नीचे खुलने वाले परवलय में शून्यकों के बाहर मान ऋणात्मक होते हैं। टिप: दिशा बदलने पर संकेत क्षेत्र भी बदलता है। / For a downward-opening parabola, values outside the zeroes are negative. Tip: when the direction changes, sign regions also change.
रेखा (y=5) (x)-अक्ष के समानांतर है और उससे नहीं मिलती। इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। / The line (y=5) is parallel to the (x)-axis and does not meet it. So it has no real zero.
x-अक्ष पर कटान बिंदुओं के शून्यक उनके x-निर्देशांक होते हैं। दिए हुए बिंदु (-7,0), (0,0) और (4,0) के x-निर्देशांक क्रमशः -7, 0 और 4 हैं, इसलिए शून्यक (-7), (0) और (4) होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह संकेत उल्टा कर देता है (–7 को 7 और 4 को –4 कर दिया गया है), जबकि संकेत महत्वपूर्ण होता है। विकल्प D में 0 को दो बार दिखाया गया है — यह तब सही हो सकता है जब शून्यक की बहुगुणकता 2 हो, पर यहाँ दिए बिंदु अलग-अलग हैं इसलिए ऐसा नहीं है। परीक्षा-टिप: x-अक्ष पर किसी भी इंटरसेप्ट का x-कोऑर्डिनेट सीधे शून्यक देता है; बिंदु के आदेश (x,0) में x ही शून्यक है। / The zeroes of a polynomial are the x-coordinates of its x-axis intercepts. From the points (-7,0), (0,0) and (4,0) the x-values are -7, 0 and 4, so the zeroes are (-7), (0) and (4). Option B is incorrect because it reverses signs (turning -7 into 7 and 4 into -4) — sign matters for zeros. Option D shows 0 twice, which would indicate multiplicity 2 at x=0, but the given intercepts are distinct so that is not the case. Exam tip: read the x-coordinate of an intercept (x,0) to get the corresponding zero directly; watch the sign carefully.
(p(x)=5) का ग्राफ (x)-अक्ष के समानांतर रेखा है जो (x)-अक्ष को नहीं काटती। इसलिए इसका कोई शून्यक नहीं है। / The graph of (p(x)=5) is a line parallel to the (x)-axis and does not cut it. Hence it has no zero.
x-अक्ष पर किसी बिंदु \((a,0)\) का x-निर्देशांक \(a\) उस बहुपद का शून्यक होता है। यहाँ शून्यक हैं \(-3,0,6\)। उनका योग \(-3+0+6=3\)। निकटभ्रामक विकल्प: 6 इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल सकारात्मक दो शून्यों का जोड़ नहीं है; -3 और 0 को भी जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: x-अक्ष के परस्पर छेद के x-निर्देशांकों को ही शून्यक मानकर सीधे जोड़ें। / A point \((a,0)\) on the x-axis corresponds to a zero \(a\) of the polynomial. The zeros here are \(-3,0,6\), so their sum is \(-3+0+6=3\). Why other choices are wrong: 6 is incorrect because it ignores the contribution of \(-3\) and \(0\). Exam tip: take the x-coordinates of all x-intercepts (including the origin) and add them directly.
A. जो (x)-अक्ष को ((1,0)) और ((-6,0)) पर काटे/One that cuts the (x)-axis at ((1,0)) and ((-6,0))
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (1) और (-6) होने पर ग्राफ (x)-अक्ष को इन्हीं (x)-मानों पर काटेगा। इसलिए बिंदु ((1,0)) और ((-6,0)) होंगे। / If the zeroes are (1) and (-6), the graph cuts the (x)-axis at those (x)-values. So the points are ((1,0)) and ((-6,0)).
किसी बहुपद या परवलय के शून्यक वे x-निर्देशांक होते हैं जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है (y = 0)। दिए गए कटाव बिंदु (-5, 0) और (2, 0) के x-निर्देशांक क्रमशः -5 और 2 हैं, इसलिए शून्यक -5 और 2 हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि संकेत उल्टे दिए गए हैं (5 और -2)। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि इनमें एक शून्य (0) शामिल किया गया है जो वास्तविक कटाव बिंदुओं का x-निर्देशांक नहीं है। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं के पहले घटक (x-कोऑर्डिनेट) ही शून्यक होते हैं। / The zeroes (roots) of a polynomial/ parabola are the x-coordinates where the graph meets the x-axis (y = 0). From the intercepts (-5, 0) and (2, 0), the x-coordinates are -5 and 2, so the zeroes are -5 and 2. Option B is incorrect because the signs are reversed (5 and -2). Options C and D are incorrect because they include 0, which is not the x-coordinate of the given intercepts. Exam tip: read off the x-values of x-axis intersection points to get the zeroes directly.
शून्यक (x)-अक्ष के कटाव बिंदुओं के (x)-निर्देशांक होते हैं। इसलिए शून्यक (r) और (s) हैं। / Zeroes are the (x)-coordinates of the points where the graph cuts the (x)-axis. Hence the zeroes are (r) and (s).
यदि किसी बहुपद के ग्राफ़ पर निम्नलिखित मान दिए गए हों: \(p(-4)=0\), \(p(0)=3\), \(p(2)=0\), \(p(5)=0\)। इनमें से कितने दिए गए \(x\)-मान बहुपद के शून्यक (zeros) हैं?
शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिसके लिए \(p(x)=0\)। यहाँ \(p(-4)=0\), \(p(2)=0\) और \(p(5)=0\) हैं, इसलिए तीन शून्यक हैं। \(p(0)=3\) शून्य नहीं है। परीक्षात्मक टिप: ग्राफ पर शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ वक्र x-अक्ष (यानी \(y=0\)) को काटता है। / A zero is an \(x\) such that \(p(x)=0\). Here \(p(-4)=0\), \(p(2)=0\) and \(p(5)=0\), so there are three zeros. \(p(0)=3\) is not a zero. Exam tip: on the graph, zeros are the x-values where the curve meets the x-axis (y=0).
यदि बहुपद का रूप
\(p(x)=c\) जहाँ \(c\neq0\) हो, तो उसका ग्राफ क्षैतिज रेखा \(y=c\) होगा जो \(x\)-अक्ष को नहीं काटती; इसलिए किसी भी \(x\) पर \(p(x)\neq0\) होगा और शून्यक संख्या शून्य होगी। निकटवर्ती भ्रम: रैखिक बहुपद (degree 1) सामान्यतः एक शून्यक देता है क्योंकि उसकी रेखा \(x\)-अक्ष को एक बिंदु पर काटती, पर यहाँ रेखा क्षैतिज और \(c\neq0\) है। विशेष मामला: यदि \(c=0\) (यानी \(p(x)=0\), शून्य बहुपद) तो हर \(x\) पर शून्य होता है — अनंत शून्यक। परीक्षा टिप: पहले बहुपद की डिग्री और स्थिर पद \(c\) की जाँच करें। / If \(p(x)=c\) with \(c\neq0\), the graph is the horizontal line \(y=c\) which does not meet the x-axis, so \(p(x)\) is never zero and there are zero roots. Common confusion: a linear (degree 1) polynomial meets the x-axis once, but a nonzero constant is degree 0 and never crosses. Special case: if \(c=0\) (the zero polynomial \(p(x)=0\)), every x is a root (infinitely many roots). Exam tip: always check the degree and the constant term first.
वास्तविक शून्यक के लिए ग्राफ का (x)-अक्ष से मिलना जरूरी है। कोई मिलन नहीं तो कोई वास्तविक शून्यक नहीं। / For a real zero the graph must meet the (x)-axis. No meeting means no real zero.
A. दोनों वास्तविक शून्यक समान हैं/Both real zeroes are equal
Explanation
Simple Explanation
शीर्ष (x)-अक्ष पर होने पर परवलय अक्ष को एक ही बिंदु पर छूता है। इसलिए शून्यक समान होते हैं। / When the vertex lies on the (x)-axis, the parabola touches the axis at one point. Hence the zeroes are equal.
अलग-अलग शून्यक केवल (-1) और (2) हैं। छूने वाला शून्यक दोहराया हो सकता है पर अलग मान एक ही गिना जाता है। / The distinct zeroes are only (-1) and (2). A touching zero may be repeated but its distinct value is counted once.
A. बराबर शून्यक (4) और (4)/Equal zeroes (4) and (4)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात ग्राफ एक बिंदु पर छूता है तो दोनों शून्यक समान होते हैं। परीक्षा में इसे दोहराया शून्यक मानें। / When a quadratic graph touches at one point its two zeroes are equal. Treat it as a repeated zero in exams.
((1,0)) दोहराया गया है, इसलिए अलग शून्यक (1) और (4) हैं। टिप: समान (x)-मान को एक बार गिनें। / ((1,0)) is repeated, so the distinct zeroes are (1) and (4). Tip: count the same (x)-value once.
अलग शून्यक अलग (x)-अक्ष मिलने वाले बिंदुओं की संख्या से मिलते हैं। टिप: घात से अधिकतम संख्या मिलती है, वास्तविक गिनती ग्राफ से पढ़ें। / Distinct zeroes are counted from distinct meeting points with the (x)-axis. Tip: degree gives the maximum, but the actual count is read from the graph.
शून्यक पहले निर्देशांक (r), (s), (t) हैं। टिप: प्रतीकात्मक बिंदुओं में भी पहला निर्देशांक पढ़ें। / The zeroes are the first coordinates (r), (s), (t). Tip: read the first coordinate even in symbolic points.
तीनों अलग (x)-मानों पर ग्राफ (x)-अक्ष से मिलता है। टिप: स्पर्श और कटान दोनों शून्यक देते हैं। / The graph meets the (x)-axis at three distinct (x)-values. Tip: both touching and crossing give zeroes.
x-अक्ष पर परिकल्पित बिंदु बताते हैं कि शून्यक (zeros) हैं: ",-7" और "2". इसलिए गुणनफल \\((-7)(2)= -14\\) होगा। विकल्प B (14) चिन्ह की गलती है — वहाँ प्लस मान लिया गया है। विकल्प C और D गलत संख्याएँ हैं जो जोड़/भिन्न या गलत चिन्ह से आ सकती हैं। परीक्षा टिप: दो शून्यकों का गुणन सीधे उनके गुणन से मिलता है; चिन्हों का ध्यान रखें। / The x-intercepts are the zeroes: -7 and 2. Their product is \\((-7)(2) = -14\\). Option B (14) is the same magnitudes but with the wrong sign. Options C and D are simply incorrect results from other operations (e.g., wrong addition/subtraction). Exam tip: multiply the x-intercepts to get the product of zeroes and watch the signs carefully.
B. केवल एक अलग शून्यक (दोहराया हुआ)/Only one distinct zero (repeated)
Explanation
Simple Explanation
इस बहुपद को वर्ग पूर्ण के रूप में पहचानें: \(x^2+4x+4=(x+2)^2\)। इसलिए शून्यक केवल \(x=-2\) है, पर इसका गुणकता (multiplicity) 2 है — दूसरे शब्दों में एक ही प्रतिवर्ती (repeated) शून्यक। डिस्क्रिमिनेंट द्वारा भी जाँच की जा सकती है: \(\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot4=0\), जिससे एक ही (दोहराया) वास्तविक शून्यक मिलता है। परीक्षा टिप: द्विघात बहुपद में \(\Delta=0\) होने पर एक ही वास्तविक शून्यक (repeated root) होता है; पूर्ण वर्ग वाले रूप को तुरंत पहचानना तेज़ है। / Recognize the perfect square: \(x^2+4x+4=(x+2)^2\). Thus the only root is \(x=-2\), but it has multiplicity 2 — a single distinct (repeated) root. You can also use the discriminant: \(\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot4=0\), which implies one real repeated root. Exam tip: for quadratics, \(\Delta=0\) means one distinct root; spotting perfect-square trinomials is faster in exams.
वास्तविक शून्यक केवल (x)-अक्ष कटान से गिने जाते हैं। टिप: (y)-अक्ष कटान को शून्यक में न जोड़ें। / Real zeroes are counted only from (x)-axis intersections. Tip: do not add the (y)-axis intercept to zeroes.
दिशा ऊपर या नीचे होने से संख्या नहीं बदलती, कटान दो हैं। टिप: शून्यकों की संख्या (x)-अक्ष कटान से तय करें। / The opening direction does not change the count, there are two intersections. Tip: decide zeroes by (x)-axis intersections.
स्पर्श बिंदु केवल एक अलग शून्यक (3) देता है। टिप: दोहराए हुए शून्यक को अलग शून्यक में एक बार गिनें। / The touching point gives only one distinct zero (3). Tip: count a repeated zero once when distinct zeroes are asked.
तीन कटान बिंदु तीन वास्तविक शून्यक बताते हैं। टिप: प्रत्येक अलग (x)-अक्ष कटान को गिनें। / Three intersection points show three real zeroes. Tip: count each distinct (x)-axis intersection.
स्पर्श करने पर केवल एक समान शून्यक मिलता है। टिप: छूना भी (x)-अक्ष से मिलना है। / When it touches the axis there is only one repeated zero. Tip: touching also means meeting the (x)-axis.
दो कटान बिंदु दो वास्तविक शून्यक बताते हैं। टिप: परवलय (x)-अक्ष को अधिकतम दो बार काट सकता है। / Two intersection points show two real zeroes. Tip: a parabola can cut the (x)-axis at most twice.
जितनी बार आलेख (x)-अक्ष को काटता है उतने वास्तविक शून्यक होते हैं। टिप: रैखिक बहुपद का अधिकतम एक शून्यक होता है। / The number of real zeroes equals the number of times the graph cuts the (x)-axis. Tip: a linear polynomial has at most one zero.
तीन अलग (x)-अक्ष बिंदु तीन अलग वास्तविक शून्यक बताते हैं। उनके (x)-निर्देशांक ही शून्यक हैं। / Three distinct (x)-axis points show three distinct real zeroes. Their (x)-coordinates are the zeroes.
वास्तविक शून्यक तभी मिलते हैं जब ग्राफ (x)-अक्ष से मिले। साझा बिंदु न होने पर वास्तविक शून्यक (0) होंगे। / Real zeroes are found only when the graph meets the (x)-axis. With no common point, there are (0) real zeroes.
कटना और छूना दोनों (x)-अक्ष से मिलना है। यदि दोनों बिंदु अलग हैं, तो दो अलग वास्तविक शून्यक होंगे। / Both cutting and touching count as meeting the (x)-axis. If the two points are distinct, there are two distinct real zeroes.
प्रत्येक अलग (x)-अक्ष कटाव एक वास्तविक शून्यक बताता है। इसलिए (4) कटावों से (4) वास्तविक शून्यक मिलेंगे। / Each distinct (x)-axis intersection represents one real zero. Therefore (4) intersections give (4) real zeroes.
A. आलेख केवल x-अक्ष है/The graph is the x-axis itself
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद का अर्थ है कि सभी x के लिए \(p(x)=0\)। अतः आलेख उन सभी बिंदुओं का सेट है जिनका स्थानाङ्क \((x,0)\) है — यही x-अक्ष है। विकल्प C गलत है क्योंकि "x-अक्ष के ऊपर" होने का अर्थ \(y>0\) होगा, जो यहाँ सत्य नहीं है; विकल्प B और D भी गलत हैं क्योंकि y-अक्ष एक ऊर्ध्वाधर रेखा \(x=0\) है और विकल्प D का तर्क सीधे विरुद्ध है (आलेख हर बिंदु पर x-अक्ष को छूता है)। परीक्षण सुझाव: शून्य बहुपद हमेशा स्थायी 0 देता है, इसका ग्राफ हमेशा x-अक्ष ही होगा। / The zero polynomial means \(p(x)=0\) for every real x, so its graph is the set of points \((x,0)\) — i.e. the x-axis. Option C is wrong because "above the x-axis" implies \(y>0\), which is not true here; option B is incorrect because the y-axis is the vertical line \(x=0\); option D contradicts the definition since the graph actually coincides with the x-axis. Exam tip: remember zero polynomial = constant 0, graph = x-axis.
C. यह \\(x\\)-अक्ष के समांतर है और इसे नहीं काटता/It is parallel to the x-axis and does not intersect it
Explanation
Simple Explanation
यदि \\(p(x)=5\\), तो बहुपद एक स्थिर (constant) है और उसका आलेख क्षैतिज रेखा \\(y=5\\) होता है। इस रेखा का y-मान कभी \\0\\ नहीं होगा, इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है और यह \\(x\\)-अक्ष को नहीं काटती। विकल्प A और B गलत हैं क्योंकि वे कम से कम एक ऐसा x मान मान लेते हैं जिसके लिए \\(p(x)=0\\ होना चाहिए, जो असंभव है। विकल्प D भी गलत है क्योंकि उसका अर्थ होता कि हर x पर \\(p(x)=0\\, जो \\(p(x)=5\\) से विरोधाभास है। परीक्षा-टिप: कोई भी गैर-शून्य स्थिर बहुपद (degree 0) का वास्तविक शून्यक नहीं होता। / For \\(p(x)=5\\) the polynomial is a nonzero constant, so its graph is the horizontal line \\(y=5\\). Since y never equals \\0\\, the graph does not meet the x-axis and there are no real zeros. Options A and B would require at least one x with \\(p(x)=0\\, which is impossible here; option D wrongly asserts \\(p(x)=0\\ for every x. Exam tip: a nonzero constant polynomial has degree \\0\\ and no real roots (zeros).
मूल शून्यक (2) और (4) हैं, इसलिए नए शून्यक (4) और (16) हैं। नया बहुपद \(x^2-20x+64\) है। / The original zeroes are (2) and (4), so the new zeroes are (4) and (16). The new polynomial is \(x^2-20x+64\).
योग (\(3+\sqrt{2}\)+\(3-\sqrt{2}\)=6) है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यकों का योग हमेशा परिमेय होता है। / The sum is (\(3+\sqrt{2}\)+\(3-\sqrt{2}\)=6). In exams the sum of conjugate zeroes is always rational.
\(x^2-4x+1\) में योग (4) है और (D=16-4=12) से शून्यक अपरिमेय हैं। परिमेय योग का अर्थ परिमेय शून्यक होना नहीं है। / In \(x^2-4x+1\), the sum is (4) and (D=16-4=12), so the zeroes are irrational. A rational sum does not mean rational zeroes.
\(x^2-8=0\) से \(x=\pm2\sqrt{2}\), जो अपरिमेय वास्तविक हैं। पूर्ण वर्ग और धनात्मकता दोनों जाँचें। / From \(x^2-8=0\), \(x=\pm2\sqrt{2}\), which are irrational real. Check both perfect-square status and positivity.
क्योंकि \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), योग \(\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\) है। पहले करणी को सरल करें। / Since \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), the sum is \(\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). Simplify radicals first.
A. दिए गए आधार पर कोई शून्यक नहीं दिखता/No zero is shown from the given data
Explanation
Simple Explanation
शून्यक केवल (x)-अक्ष यानी (y=0) से जुड़े होते हैं। (y=2) से प्रतिच्छेद शून्यक नहीं बताता। / Zeroes are linked only with the (x)-axis where (y=0). Intersections with (y=2) do not show zeroes.
खुलने की दिशा शून्यकों की संख्या अकेले तय नहीं करती। दो कटान स्पष्ट रूप से दो वास्तविक शून्यक देते हैं। / The opening direction alone does not decide the number of zeroes. Two intersections clearly give two real zeroes.
बाहर का ऋण चिह्न शून्यकों को नहीं बदलता। गुणनखंडों को शून्य रखकर उत्तर निकालें। / The outside negative sign does not change the zeroes. Set the factors equal to zero.
A. दो भिन्न वास्तविक शून्यक/Two distinct real zeroes
Explanation
Simple Explanation
दो अलग कटान दो अलग वास्तविक शून्यक देते हैं। ग्राफ में अलग (x)-प्रतिच्छेद अलग शून्यक होते हैं। / Two separate intersections give two distinct real zeroes. Different (x)-intercepts mean different zeroes.
माध्य \(\frac{-4+6+16}{3}=6\) है। टिप: पहले कटान बिंदुओं से (x)-मान पढ़ें। / The mean is \(\frac{-4+6+16}{3}=6\). Tip: first read the (x)-values from intersection points.
यह ((x-d)2-36) है, इसलिए \(x-d=\pm6\) और शून्यक (d-6), (d+6) हैं। टिप: वर्गों के अंतर का उपयोग करें। / It is ((x-d)2-36), so \(x-d=\pm6\) and the zeroes are (d-6), (d+6). Tip: use difference of squares.
A. (22) को (10) करना होगा/(22) must be changed to (10)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-10) के साथ (10) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (10) is needed with (-10). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
(-12), (4), (15) पर फलन मान (0) है। टिप: (p(-2)=6) को शून्यक न मानें। / The function value is (0) at (-12), (4), and (15). Tip: do not treat (p(-2)=6) as a zero.
नीचे खुलने वाले परवलय में दो शून्यकों के बीच मान धनात्मक होते हैं। टिप: (x=2) दोनों शून्यकों के बीच है। / For a downward-opening parabola, values between the two zeroes are positive. Tip: (x=2) lies between the zeroes.
(x-2-19x+90=(x-9)(x-10)) है, इसलिए दूरी (10-9=1) है। टिप: पहले शून्यक निकालें फिर दूरी लें। / (x-2-19x+90=(x-9)(x-10)), so the distance is (10-9=1). Tip: find zeroes first and then take distance.
(x-3-12x-2+35x=x(x-5)(x-7)) है, इसलिए शून्यक (0), (5), (7) हैं। टिप: पहले (x) सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-12x-2+35x=x(x-5)(x-7)), so the zeroes are (0), (5), (7). Tip: first take (x) as the common factor.
शून्यक (-12) और (12) हैं, इसलिए गुणनफल (-144) और योग (0) है। टिप: विपरीत शून्यकों का योग (0) होता है। / The zeroes are (-12) and (12), so the product is (-144) and the sum is (0). Tip: opposite zeroes have sum (0).
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(q-11)+(q+7)}{2}=q-2)। टिप: प्रतीकों में भी मध्य मान लें। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(q-11)+(q+7)}{2}=q-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
मूल बिंदु (x)-अक्ष पर भी है और (x=-9) भी (x)-अक्ष कटान है। टिप: ((0,0)) को शून्यक (0) के रूप में गिनें। / The origin is also on the (x)-axis, and (x=-9) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
परास सबसे बड़े और सबसे छोटे शून्यक का अंतर है (13-(-18)=31)। टिप: परास हमेशा गैरऋणात्मक होती है। / The range is the difference between the greatest and smallest zero, (13-(-18)=31). Tip: range is always non-negative.
(x-c=0) से (c) और (x+d=0) से (-d) मिलता है। टिप: अलग शून्यकों में दोहराव न गिनें। / From (x-c=0) we get (c), and from (x+d=0) we get (-d). Tip: do not count repetition among distinct zeroes.
दो अलग शून्यक (-2) और (5) हैं तथा दोनों की घात सम है। टिप: सम घात वाले शून्यक पर ग्राफ सामान्यतः स्पर्श करता है। / There are two distinct zeroes (-2) and (5), and both have even powers. Tip: at an even-power zero the graph usually touches.
(p(x)=x(x-3)(x-6)) है इसलिए शून्यक (0), (3), (6) और माध्य (3) है। टिप: पहले गुणनखंड करें। / (p(x)=x(x-3)(x-6)), so the zeroes are (0), (3), (6), and the mean is (3). Tip: factor first.
दिए गए शून्यक (-7) और (4) हैं इसलिए दूरी (4-(-7)=11) है। टिप: केवल (p(x)=0) वाले (x)-मान लें। / The given zeroes are (-7) and (4), so the distance is (4-(-7)=11). Tip: take only (x)-values where (p(x)=0).
(x=-4) दोनों शून्यकों के बीच है और ऊपर खुलने वाला परवलय बीच में नीचे रहता है। टिप: शून्यकों के बीच संकेत क्षेत्र देखें। / (x=-4) lies between the two zeroes and an upward-opening parabola stays below there. Tip: check the sign region between zeroes.
माध्य \(\frac{-3+5+13}{3}=5\) है। टिप: पहले कटान बिंदुओं से (x)-मान पढ़ें। / The mean is \(\frac{-3+5+13}{3}=5\). Tip: first read the (x)-values from intersection points.
यह ((x-c)2-25) है, इसलिए \(x-c=\pm5\) और शून्यक (c-5), (c+5) हैं। टिप: वर्गों के अंतर का उपयोग करें। / It is ((x-c)2-25), so \(x-c=\pm5\) and the zeroes are (c-5), (c+5). Tip: use difference of squares.
A. (18) को (8) करना होगा/(18) must be changed to (8)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-8) के साथ (8) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (8) is needed with (-8). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
(-10), (3), (12) पर फलन मान (0) है। टिप: (p(-1)=4) को शून्यक न मानें। / The function value is (0) at (-10), (3), and (12). Tip: do not treat (p(-1)=4) as a zero.
नीचे खुलने वाले परवलय में दो शून्यकों के बीच मान धनात्मक होते हैं। टिप: (x=4) दोनों शून्यकों के बीच है। / For a downward-opening parabola, values between the two zeroes are positive. Tip: (x=4) lies between the zeroes.
(x-2-17x+72=(x-8)(x-9)) है, इसलिए दूरी (9-8=1) है। टिप: पहले शून्यक निकालें फिर दूरी लें। / (x-2-17x+72=(x-8)(x-9)), so the distance is (9-8=1). Tip: find zeroes first and then take distance.
(x-3-10x-2+24x=x(x-4)(x-6)) है, इसलिए शून्यक (0), (4), (6) हैं। टिप: पहले (x) सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-10x-2+24x=x(x-4)(x-6)), so the zeroes are (0), (4), (6). Tip: first take (x) as the common factor.
शून्यक (-10) और (10) हैं, इसलिए गुणनफल (-100) और योग (0) है। टिप: विपरीत शून्यकों का योग (0) होता है। / The zeroes are (-10) and (10), so the product is (-100) and the sum is (0). Tip: opposite zeroes have sum (0).
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2)। टिप: प्रतीकों में भी मध्य मान लें। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
मूल बिंदु (x)-अक्ष पर भी है और (x=6) भी (x)-अक्ष कटान है। टिप: ((0,0)) को शून्यक (0) के रूप में गिनें। / The origin is also on the (x)-axis, and (x=6) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
परास सबसे बड़े और सबसे छोटे शून्यक का अंतर है, (11-(-15)=26)। टिप: परास हमेशा गैरऋणात्मक होती है। / The range is the difference between the greatest and smallest zero, (11-(-15)=26). Tip: range is always non-negative.
(x+a=0) से (-a) और (x-b=0) से (b) मिलता है। टिप: अलग शून्यकों में दोहराव न गिनें। / From (x+a=0) we get (-a), and from (x-b=0) we get (b). Tip: do not count repetition among distinct zeroes.
दो अलग शून्यक (1) और (-4) हैं तथा दोनों की घात सम है। टिप: सम घात वाले शून्यक पर ग्राफ सामान्यतः स्पर्श करता है। / There are two distinct zeroes (1) and (-4), and both have even powers. Tip: at an even-power zero the graph usually touches.
(p(x)=x(x-5)(x-2)) है, इसलिए शून्यक (0), (2), (5) और माध्य \(\frac{7}{3}\) है। टिप: पहले गुणनखंड करें। / (p(x)=x(x-5)(x-2)), so the zeroes are (0), (2), (5), and the mean is \(\frac{7}{3}\). Tip: factor first.
दिए गए शून्यक (-6) और (5) हैं, इसलिए दूरी (5-(-6)=11) है। टिप: केवल (p(x)=0) वाले (x)-मान लें। / The given zeroes are (-6) and (5), so the distance is (5-(-6)=11). Tip: take only (x)-values where (p(x)=0).
(0) दोनों शून्यकों के बीच है और ऊपर खुलने वाला परवलय बीच में नीचे रहता है। टिप: शून्यकों के बीच संकेत क्षेत्र देखें। / (0) lies between the two zeroes and an upward parabola stays below there. Tip: check the sign region between zeroes.
