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टाइलों की संख्या \(20,32,44,\ldots\) है और \(S_{17}=1972\)। परीक्षा में पैटर्न के कुल को योग सूत्र से निकालें। / The tile numbers are \(20,32,44,\ldots\) and \(S_{17}=1972\). Exam tip: find the total of a pattern using the sum formula.
टाइलों की संख्या \(18,27,36,\ldots\) है और \(S_{16}=1368\)। परीक्षा में पैटर्न के कुल को योग सूत्र से निकालें। / The tile numbers are \(18,27,36,\ldots\) and \(S_{16}=1368\). Exam tip: find the total of a pattern using the sum formula.
(180+(n-1)(-8)=68) से (n=15) मिलता है। परीक्षा में घटती श्रेणी में चिन्ह सावधानी से रखें। / From (180+(n-1)(-8)=68), (n=15). Exam tip: handle the sign carefully in a decreasing AP.
टाइलों की संख्या \(12,20,28,\ldots\) है और \(S_{18}=1440\)। परीक्षा में पैटर्न के कुल को योग सूत्र से निकालें। / The tile numbers are \(12,20,28,\ldots\) and \(S_{18}=1440\). Exam tip: find the total of a pattern using the sum formula.
(132+(n-1)(-6)=54) से (n=14) मिलता है। परीक्षा में घटती श्रेणी में चिन्ह सावधानी से रखें। / From (132+(n-1)(-6)=54), (n=14). Exam tip: handle the sign carefully in a decreasing AP.
टाइलों की संख्या \(9,16,23,\ldots\) है और \(S_{15}=870\)। परीक्षा में पैटर्न के कुल को योग सूत्र से निकालें। / The tile numbers are \(9,16,23,\ldots\) and \(S_{15}=870\). Exam tip: find the total of a pattern using the sum formula.
(110+(n-1)(-5)=55) से (n=12) मिलता है। परीक्षा में घटती श्रेणी में चिन्ह सावधानी से रखें। / From (110+(n-1)(-5)=55), (n=12). Exam tip: handle the sign carefully in a decreasing AP.
(80+(n-1)(-5)=25) से (n=12) मिलता है। परीक्षा में घटती श्रेणी में चिन्ह को सावधानी से रखें। / From (80+(n-1)(-5)=25), (n=12). Exam tip: handle the sign carefully in decreasing APs.
टाइलों की संख्या \(7,13,19,\ldots\) है और \(S_{14}=644\)। परीक्षा में पैटर्न के कुल को योग सूत्र से निकालें। / The tile numbers are \(7,13,19,\ldots\), and \(S_{14}=644\). Exam tip: find the total of a pattern using the sum formula.
टाइलों की संख्या \(10,17,24,\ldots\) है और \(a_{11}=80\)। परीक्षा में आकृति संख्या को पद संख्या मानें। / The tile numbers are \(10,17,24,\ldots\) and \(a_{11}=80\). Exam tip: take the figure number as the term number.
टाइलों की संख्या \(7,12,17,\ldots\) है और \(a_{13}=67\)। परीक्षा में आकृति संख्या को पद संख्या मानें। / The tile numbers are \(7,12,17,\ldots\) and \(a_{13}=67\). Exam tip: take the figure number as the term number.
टाइलों की संख्या \(4,10,16,\ldots\) है और \(a_{12}=70\)। परीक्षा में आकृति संख्या को पद संख्या मानें। / The tile numbers are \(4,10,16,\ldots\) and \(a_{12}=70\). Exam tip: take the figure number as the term number.
यह घटती समान्तर श्रेणी \(50,46,42,\ldots\) है। \(S_9=306\) इसलिए कुल (306) टाइलें होंगी। / This is the decreasing AP \(50,46,42,\ldots\). \(S_9=306\), so there are (306) tiles.
यह घटती समान्तर श्रेणी \(40,37,34,\ldots\) है। \(S_8=236\) इसलिए कुल (236) टाइलें होंगी। / This is the decreasing AP \(40,37,34,\ldots\). \(S_8=236\) so there are (236) tiles.
वेस्टफेलिया की संधि सोलह सौ अड़तालीस में हुई थी। परीक्षा में इसे आधुनिक राज्य व्यवस्था की शुरुआत से जोड़ें। / The Treaty of Westphalia was signed in 1648. For exams connect it with the beginning of the modern state system.
मास्ट्रिख्ट संधि उन्नीस सौ बानवे में हुई और यूरोपीय संघ से जुड़ी है। परीक्षा में इसे यूरोपीय एकीकरण से जोड़ें। / The Maastricht Treaty was signed in 1992 and is linked with the European Union. For exams connect it with European integration.
नानकिंग की संधि प्रथम अफीम युद्ध के बाद हुई थी। परीक्षा में इसे चीन और ब्रिटेन के संबंधों से जोड़ें। / The Treaty of Nanking was signed after the First Opium War. For exams connect it with China-Britain relations.
वर्साय की संधि प्रथम विश्व युद्ध के बाद हुई थी। परीक्षा में इसे जर्मनी पर लगाए गए कठोर शर्तों से जोड़ें। / The Treaty of Versailles was signed after World War I. For exams connect it with harsh terms imposed on Germany.
मोलोटोव रिबेंट्रॉप समझौता सोवियत संघ और जर्मनी के बीच हुआ था। परीक्षा में इसे द्वितीय विश्व युद्ध की शुरुआत से जोड़ें। / The Molotov-Ribbentrop Pact was between the Soviet Union and Germany. For exams connect it with the beginning of World War II.
ब्रेस्ट लितोव्स्क संधि से रूस प्रथम विश्व युद्ध से बाहर हुआ। परीक्षा में इसे बोल्शेविक सरकार की प्रारंभिक नीति से जोड़ें। / The Treaty of Brest-Litovsk took Russia out of World War I. For exams connect it with the early policy of the Bolshevik government.
सैन फ्रांसिस्को में पचास देशों ने चार्टर पर हस्ताक्षर किए थे। परीक्षा में बाद में पोलैंड को मूल सदस्य के रूप में जोड़कर इक्यावन याद रखें। / Fifty countries signed the Charter at San Francisco. For exams remember 51 original members after including Poland.
संयुक्त राष्ट्र घोषणा पर एक जनवरी उन्नीस सौ बयालीस को हस्ताक्षर हुए थे। परीक्षा में इसे संयुक्त राष्ट्र नाम के प्रारंभिक प्रयोग से जोड़ें। / The Declaration by United Nations was signed on 1 January 1942. Exam tip: connect it with the early use of the name United Nations.
संयुक्त राष्ट्र चार्टर पर छब्बीस जून उन्नीस सौ पैंतालीस को हस्ताक्षर हुए। परीक्षा में हस्ताक्षर और लागू होने की तारीख अलग अलग याद रखें। / The UN Charter was signed on 26 June 1945. Exam tip: remember the signing date and enforcement date separately.
संयुक्त राष्ट्र चार्टर पर सैन फ्रांसिस्को सम्मेलन में हस्ताक्षर हुए। परीक्षा में सैन फ्रांसिस्को को संयुक्त राष्ट्र चार्टर से जोड़ें। / The UN Charter was signed at the San Francisco Conference. Exam tip: connect San Francisco with the UN Charter.
ब्रेस्ट लितोव्स्क संधि से रूस प्रथम विश्व युद्ध से अलग हुआ। परीक्षा में इसे बोल्शेविकों की शांति नीति से जोड़ें। / The Treaty of Brest-Litovsk took Russia out of the First World War. Exam tip: connect it with the Bolshevik peace policy.
जापान ने यूएसएस मिसौरी पर औपचारिक आत्मसमर्पण पर हस्ताक्षर किए। परीक्षा में 1945 की अंतिम घटनाएं याद रखें। / Japan signed the formal surrender on the USS Missouri. For exams remember the final events of 1945.
नाजी सोवियत अनाक्रमण संधि 1939 में हुई थी। परीक्षा में इसे पोलैंड पर आक्रमण से पहले की घटना के रूप में याद रखें। / The Nazi-Soviet Non-Aggression Pact was signed in 1939. For exams remember it as an event before the invasion of Poland.
वर्साय संधि 1919 में हुई थी। परीक्षा में इसे प्रथम विश्व युद्ध के बाद की शांति व्यवस्था से जोड़ें। / The Treaty of Versailles was signed in 1919. For exams connect it with the peace settlement after the First World War.
लाहौर की संधि 1846 में हुई थी। इसे प्रथम आंग्ल सिख युद्ध के परिणाम से जोड़कर याद रखें। / The Treaty of Lahore was signed in 1846. Remember it with the result of the First Anglo-Sikh War.
यांडाबू की संधि 1826 में हुई थी। इसे प्रथम आंग्ल बर्मी युद्ध के अंत से जोड़कर याद रखें। / The Treaty of Yandabo was signed in 1826. Remember it with the end of the First Anglo-Burmese War.
अमृतसर की संधि 1809 में हुई थी। परीक्षा में इसे सिख राज्य और अंग्रेजी सीमा नीति से जोड़ें। / The Treaty of Amritsar was signed in 1809. In exams link it with the Sikh state and British frontier policy.
श्रीरंगपट्टनम की संधि 1792 ईस्वी में हुई थी। इसे टीपू सुल्तान और तृतीय मैसूर युद्ध से जोड़ें। / The Treaty of Seringapatam was signed in 1792 CE. Link it with Tipu Sultan and the Third Mysore War.
मंगलौर की संधि 1784 ईस्वी में हुई। इसने द्वितीय आंग्ल मैसूर युद्ध को समाप्त किया। / The Treaty of Mangalore was signed in 1784 CE. It ended the Second Anglo-Mysore War.
बेसिन की संधि 1802 में हुई थी। इसे मराठा राजनीति और ब्रिटिश प्रभाव से जोड़ें। / The Treaty of Bassein was signed in 1802. Link it with Maratha politics and British influence.
श्रीरंगपट्टनम की संधि 1792 में हुई थी। इसे टीपू सुल्तान और तृतीय मैसूर युद्ध से जोड़ें। / The Treaty of Seringapatam was signed in 1792. Link it with Tipu Sultan and the Third Mysore War.
सालबाई की संधि 1782 में हुई थी। इसे प्रथम आंग्ल मराठा युद्ध के अंत से याद रखें। / The Treaty of Salbai was signed in 1782. Remember it with the end of the First Anglo-Maratha War.
पुरंदर की संधि 1665 में हुई थी। इसे शिवाजी महाराज और जयसिंह से जोड़कर याद करें। / The Treaty of Purandar was signed in 1665. Remember it with Shivaji Maharaj and Jai Singh.
शिमला समझौता 1972 में भारत और पाकिस्तान के बीच हुआ था। परीक्षा में इसे 1971 युद्ध के बाद का समझौता मानें। / The Shimla Agreement was signed between India and Pakistan in 1972. In exams treat it as the agreement after the 1971 war.
A. बक्सर के युद्ध के बाद/After the Battle of Buxar
Explanation
Simple Explanation
बक्सर के बाद कंपनी को दीवानी अधिकारों की राह मिली। परीक्षा में बक्सर और इलाहाबाद संधि साथ याद रखें। / After Buxar the Company got the path to Diwani rights. Exam tip: remember Buxar and Treaty of Allahabad together.
पूना समझौता 1932 में हुआ था। परीक्षा में इसे गांधी और आंबेडकर के बीच समझौते से जोड़ें। / The Poona Pact was signed in 1932. Exam tip: connect it with the agreement between Gandhi and Ambedkar.
A. महात्मा गांधी और डॉ भीमराव आंबेडकर/Mahatma Gandhi and Dr B R Ambedkar
Explanation
Simple Explanation
पूना पैक्ट गांधीजी और डॉ आंबेडकर के बीच हुआ। परीक्षा में इसे दलित प्रतिनिधित्व के प्रश्न से जोड़ें। / The Poona Pact was signed between Gandhi and Dr Ambedkar. Exam tip is to link it with the question of Dalit representation.
गांधी-इरविन समझौता 1931 में हुआ। परीक्षा में इसे गोलमेज सम्मेलन से जोड़ें। / The Gandhi-Irwin Pact was signed in 1931. Exam tip: connect it with the Round Table Conference.
लखनऊ समझौता 1916 में कांग्रेस और मुस्लिम लीग के बीच हुआ। परीक्षा में इसे हिंदू-मुस्लिम एकता के प्रयास से जोड़ें। / The Lucknow Pact was signed in 1916 between Congress and Muslim League. Exam tip: connect it with an attempt at Hindu-Muslim unity.
पुरंदर की संधि शिवाजी और मुगल सेनापति जय सिंह के बीच हुई। परीक्षा में (1665) ईस्वी को याद रखें। / The Treaty of Purandar was signed between Shivaji and Mughal commander Jai Singh. For exams, remember (1665) CE.
(p(x)) को (x-1) से भाग देने पर \(x^2-3x-10\) मिलता है। गुणा करके जाँचें कि ((x-1)\(x^2-3x-10\)=p(x))। / Dividing (p(x)) by (x-1) gives \(x^2-3x-10\). Verify by multiplying ((x-1)\(x^2-3x-10\)=p(x)).
चीनी का रौजा चमकीली टाइल सज्जा के लिए जाना जाता है। परीक्षा में मुगल स्मारकों की सजावट तकनीक याद रखें। / Chini ka Rauza is known for glazed tile decoration. For exams remember decorative techniques of Mughal monuments.
महमूद गवां मदरसा रंगीन चमकदार टाइलों के लिए प्रसिद्ध है। इसे बहमनी दक्कनी स्थापत्य से जोड़ें। / Mahmud Gawan Madrasa is famous for coloured glazed tiles. Link it with Bahmani Deccan architecture.
दूरी (\frac{1}{10}-\left\(-\frac{4}{5}\right\)=\frac{9}{10}) इकाई है। परीक्षा में ऋणात्मक भिन्न जोड़ में बदल जाती है। / The distance is (\frac{1}{10}-\left\(-\frac{4}{5}\right\)=\frac{9}{10}) unit. In exams, subtracting a negative fraction becomes addition.
गुणनखंड प्रमेय से (p(3)=0), इसलिए (27-45+3a+12=0) और (a=2)। परीक्षा में दिए गए गुणनखंड से मूल तुरंत रखिए। / By the factor theorem (p(3)=0), so (27-45+3a+12=0) and (a=2). In exams, substitute the zero from the given factor directly.
(p(-3)=-27+21+6=0), इसलिए (x+3) वास्तव में गुणनखंड है। सही जाँच में यह प्रश्न विकल्प-त्रुटि दिखाता है, इसलिए हर विकल्प को (p(a)) से जाँचें। / (p(-3)=-27+21+6=0), so (x+3) is actually a factor. This reveals an option error, so check each option using (p(a)).
(p(-3)=-27+27+12-12=0), इसलिए (x+3) गुणनखंड है। (x+a) के लिए (x=-a) रखकर जाँचें। / (p(-3)=-27+27+12-12=0), so (x+3) is a factor. For (x+a), test (x=-a).
गुणनखंड प्रमेय से (p(2)=0), इसलिए (8+4k-8-4=0) और (k=1)। परीक्षा में पहले दिए गए मूल को सीधे रखिए। / By factor theorem (p(2)=0), so (8+4k-8-4=0) and (k=1). In exams, substitute the given zero directly.
(4x) सामान्य गुणनखंड है, इसलिए (4x(x+7)=0) मिलता है। परीक्षा में सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड निकालें। / (4x) is the common factor, so (4x(x+7)=0). In exams, take out the greatest common factor.
(5x) सामान्य गुणनखंड है, इसलिए (5x(x+3)=0) मिलता है। परीक्षा में सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड निकालें। / (5x) is the common factor, so (5x(x+3)=0). In exams, take out the greatest common factor.
(3) और (4) का गुणनफल (12) और योग (7) है। इसलिए ((x+3)(x+4)=0) सही है। / The product of (3) and (4) is (12), and their sum is (7). Therefore ((x+3)(x+4)=0) is correct.
((x+4)(x-3)) फैलाने पर \(x^2+x-12\) मिलता है। गुणनखंड जांचने के लिए विस्तार करें। / Expanding ((x+4)(x-3)) gives \(x^2+x-12\). To check factors, expand them.
((x-5)(x+3)) फैलाने पर \(x^2-2x-15\) मिलता है। गुणनखंड जांचने के लिए विस्तार करें। / Expanding ((x-5)(x+3)) gives \(x^2-2x-15\). To check factors, expand them.
साथी शून्यक \(2-\sqrt{3}\) होगा, इसलिए गुणनखंड (x-\(2-\sqrt{3}\)) है। परीक्षा में शून्यक और गुणनखंड का संबंध \(x-\alpha\) याद रखें। / The companion zero is \(2-\sqrt{3}\), so the factor is (x-\(2-\sqrt{3}\)). In exams remember the relation between a zero and factor as \(x-\alpha\).
सरलतम हर से (3), (7) और (13) हटने चाहिए इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 7\cdot 13=273\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं। / The factors (3), (7), and (13) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(3\cdot 7\cdot 13=273\). Factors (2) and (5) may remain.
सरलतम हर से \(3^4\) और (19) हटने चाहिए इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(81\cdot 19=1539\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं। / The factors \(3^4\) and (19) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(81\cdot 19=1539\). Factors (2) and (5) may remain.
सरलतम हर से \(3^3\) और (23) हटने चाहिए इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(27\cdot 23=621\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं। / The factors \(3^3\) and (23) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(27\cdot 23=621\). Factors (2) and (5) may remain.
सरलतम हर से \(3^2\) और (17) हटने चाहिए, इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3^2\cdot 17=153\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं। / The factors \(3^2\) and (17) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(3^2\cdot 17=153\). Factors (2) and (5) may remain.
हर में (2), (5), (3), और (19) हैं। / The denominator contains (2), (5), (3), and (19).
Step 2
Why this answer is correct
सांत दशमलव के लिए (3) और (19) कटने चाहिए। इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 19=57\) है। / For a terminating decimal, (3) and (19) must cancel. So the minimum factor is \(3\cdot 19=57\).
Step 3
Exam Tip
केवल (2) और (5) हर में रह सकते हैं। / Only (2) and (5) may remain in the denominator.
\(540=2^2\cdot 3^3\cdot 5\) है। / \(540=2^2\cdot 3^3\cdot 5\).
Step 2
Why this answer is correct
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर से \(3^3\) पूरी तरह कटना चाहिए। इसलिए (x) में (27) अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, \(3^3\) must cancel completely from the denominator. So (x) must contain (27).
Step 3
Exam Tip
(2) और (5) रह सकते हैं, पर (3) नहीं। / (2) and (5) may remain, but (3) must not.
सांत दशमलव के लिए (3), (7), और (11) हर से कटने चाहिए। इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 7\cdot 11=231\) है। / For a terminating decimal, (3), (7), and (11) must cancel from the denominator. So the minimum factor is \(3\cdot 7\cdot 11=231\).
Step 3
Exam Tip
(2) और (5) रह सकते हैं, पर अन्य अभाज्य गुणनखंड नहीं। / (2) and (5) may remain, but other prime factors must not.
\(735=3\cdot 5\cdot 7^2\) है। / \(735=3\cdot 5\cdot 7^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में (3) और \(7^2\) नहीं बचने चाहिए। इसलिए (m) में \(3\cdot 7^2=147\) अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, (3) and \(7^2\) must not remain in the reduced denominator. So (m) must contain \(3\cdot 7^2=147\).
Step 3
Exam Tip
(5) हर में रह सकता है, पर (3) और (7) कटने चाहिए। / The factor (5) may remain, but (3) and (7) must cancel.
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में (7) नहीं बचना चाहिए। इसलिए (m) में (7) अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, (7) must not remain in the reduced denominator. Therefore (m) must contain (7).
Step 3
Exam Tip
हर से (2) और (5) के अलावा बाकी अभाज्य गुणनखंड कटवाएँ। / Cancel all denominator primes other than (2) and (5).
कथन: \(\frac{p}{q}\) सरल रूप में हो और (q) में (7) का गुणनखंड हो, तो दशमलव समाप्त नहीं होगा। कारण: समाप्त दशमलव के लिए सरल रूप का भाजक केवल (2) और (5) से बनना चाहिए। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
समाप्त दशमलव के लिए सरल रूप का भाजक केवल (2) और (5) से बना होना चाहिए। / For a terminating decimal, the denominator in lowest form must be made only of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (7) बचा है, तो यह शर्त पूरी नहीं होती और दशमलव समाप्त नहीं होगा। / If (7) remains, this condition fails and the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
कारण कथन को ठीक से समझा रहा है, इसलिए पहला विकल्प सही है। / The reason correctly explains the assertion, so the first option is correct.
समाप्त दशमलव के लिए भाजक में केवल (2) और (5) होने चाहिए। / For a terminating decimal, the denominator should have only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
(3) बचने पर दशमलव समाप्त नहीं होगा और परिमेय होने से आवर्ती होगा। / If (3) remains, the decimal will not terminate and will be recurring because the number is rational.
Step 3
Exam Tip
सरल रूप में बचे गुणनखंड ही निर्णय करते हैं। / The remaining factors in lowest form decide the result.
पहले दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें। / Write both numbers in prime factor form.
Step 2
Why this answer is correct
\(180=2^2\times3^2\times5\) और \(252=2^2\times3^2\times7\), इसलिए समान छोटी घातें \(2^2\times3^2\) हैं। / \(180=2^2\times3^2\times5\) and \(252=2^2\times3^2\times7\), so the common smaller powers give \(2^2\times3^2\).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक में (5) या (7) जैसे असमान गुणनखंड न लें। / Do not include non-common factors like (5) or (7) in HCF.
D. सभी समुदायों का एक ही राष्ट्रीय लक्ष्य पर पूर्ण सहमत होना/Complete agreement of all communities on one national goal
Step 1
Concept
जातीय राष्ट्रवाद, ओटोमन पतन और बड़ी शक्तियों की होड़ ने संघर्ष बढ़ाया। / Ethnic nationalism, Ottoman decline, and great power rivalry increased conflict.
Step 2
Why this answer is correct
सभी समुदायों की पूर्ण सहमति होती तो संघर्ष कम होता। / Complete agreement among all communities would have reduced conflict.
Step 3
Exam Tip
इसलिए चौथा विकल्प संघर्ष बढ़ाने वाला कारण नहीं है। / Therefore, the fourth option was not a factor increasing conflict.
A. प्रायद्वीपीय नदियों द्वारा कटाव/Cutting by peninsular rivers
Explanation
Simple Explanation
पूर्वी घाट महानदी गोदावरी कृष्णा और कावेरी जैसी नदियों से कटते हैं। परीक्षा में पूर्वी घाट को असतत पर्वत श्रृंखला मानें। / The Eastern Ghats are cut by rivers such as Mahanadi, Godavari, Krishna, and Cauvery. For exams, consider the Eastern Ghats a discontinuous range.
