Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
Treat the vowels as one block, giving (8!/(2!2!)) outside and (4!/2!) inside. Do not treat repeated letters as distinct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (120960). Treat the vowels as one block, giving (8!/(2!2!)) outside and (4!/2!) inside. Do not treat repeated letters as distinct.
Step 3
Exam Tip
स्वरों को एक खंड मानकर बाहर (8!/(2!2!)) और भीतर (4!/2!) तरीके मिलते हैं। दोहराए अक्षरों को हर बार अलग न मानें।
Choose consonant positions in \(^{11}C_6\) ways and arrange the (5) vowels in (5!) ways. When relative order is fixed, only positions are chosen.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (55440). Choose consonant positions in \(^{11}C_6\) ways and arrange the (5) vowels in (5!) ways. When relative order is fixed, only positions are chosen.
Step 3
Exam Tip
व्यंजनों के स्थान \(^{11}C_6\) तरीकों से चुनें और शेष (5) स्वरों को (5!) तरीकों से रखें। सापेक्ष क्रम निश्चित हो तो केवल स्थान चुनने होते हैं।
Divisibility by (8) is decided by the last (3) digits and the first digit cannot be (0). In such questions, count valid last (3)-digit endings first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3360). Divisibility by (8) is decided by the last (3) digits and the first digit cannot be (0). In such questions, count valid last (3)-digit endings first.
Step 3
Exam Tip
(8) से विभाज्यता अंतिम (3) अंकों से तय होती है और पहले अंक में (0) नहीं आ सकता। ऐसे प्रश्नों में अंतिम (3) अंकों के मान्य क्रम पहले गिनें।
After fixing (A), the (2) seats adjacent to (A) are forbidden for (B) and (C). Remove forbidden positions first and then arrange the rest.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (211680). After fixing (A), the (2) seats adjacent to (A) are forbidden for (B) and (C). Remove forbidden positions first and then arrange the rest.
Step 3
Exam Tip
(A) को स्थिर करने पर (B) और (C) के लिए (A) के पास की (2) जगहें निषिद्ध हैं। पहले निषिद्ध स्थान हटाकर बाकी लोगों को व्यवस्थित करें।
Subtract the together cases (10!/(4!4!)) from the total (11!/(4!4!2!)). For not-together cases, subtract the adjacent cases from the total.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (28350). Subtract the together cases (10!/(4!4!)) from the total (11!/(4!4!2!)). For not-together cases, subtract the adjacent cases from the total.
Step 3
Exam Tip
कुल (11!/(4!4!2!)) व्यवस्थाओं में से (P) साथ वाली (10!/(4!4!)) व्यवस्थाएं घटाएं। न-साथ के लिए कुल में से साथ वाले केस घटाएं।
Choose the correct letters in \(^{7}C_2\) ways and derange the remaining (5) letters in (44) ways. For exactly correct cases, all remaining objects must be wrong.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (924). Choose the correct letters in \(^{7}C_2\) ways and derange the remaining (5) letters in (44) ways. For exactly correct cases, all remaining objects must be wrong.
Step 3
Exam Tip
सही पत्र \(^{7}C_2\) तरीकों से चुनें और बाकी (5) पत्रों का पूर्ण विस्थापन (44) है। ठीक सही की शर्त में शेष सभी गलत होने चाहिए।
The number of necklaces is ((8-1)!/2) because both rotations and reflections are identical. Remember the difference between necklaces and circular seating.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2520). The number of necklaces is ((8-1)!/2) because both rotations and reflections are identical. Remember the difference between necklaces and circular seating.
Step 3
Exam Tip
माला की संख्या ((8-1)!/2) होती है क्योंकि घुमाना और पलटना दोनों समान हैं। माला और गोल बैठक का अंतर याद रखें।
Treat the three letters as one block, giving (7!) arrangements, and inside it (3!-1) valid orders. Count the internal arrangements of the block separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (25200). Treat the three letters as one block, giving (7!) arrangements, and inside it (3!-1) valid orders. Count the internal arrangements of the block separately.
Step 3
Exam Tip
तीनों अक्षरों को एक खंड मानने पर (7!) व्यवस्थाएं हैं और अंदर (3!-1) मान्य क्रम हैं। खंड की आंतरिक व्यवस्था अलग से गिनें।
Take the number of letters as (2,3,4), then arrange positions, letters and digits separately. In mixed codes, first choose the position types.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (22200). Take the number of letters as (2,3,4), then arrange positions, letters and digits separately. In mixed codes, first choose the position types.
Step 3
Exam Tip
अक्षरों की संख्या (2,3,4) लेकर स्थान, अक्षर और अंक अलग-अलग व्यवस्थित करें। मिश्रित कोड में पहले प्रकार-स्थान चुनना अच्छा रहता है।
The first digit must be one of (5,6,7,8), and the last digit must be odd. Count the bound and oddness together by cases.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (35280). The first digit must be one of (5,6,7,8), and the last digit must be odd. Count the bound and oddness together by cases.
Step 3
Exam Tip
पहला अंक (5,6,7,8) में से और अंतिम अंक विषम होना चाहिए। सीमा और विषमता को केस बनाकर साथ गिनें।
First arrange the non-(E) letters in (6!/(2!2!)) ways and place (E)'s in (4) of the (7) gaps. With identical letters, gap selection is enough.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (6300). First arrange the non-(E) letters in (6!/(2!2!)) ways and place (E)'s in (4) of the (7) gaps. With identical letters, gap selection is enough.
Step 3
Exam Tip
पहले गैर-(E) अक्षरों को (6!/(2!2!)) तरीकों से रखें और (7) अंतरालों में से (4) में (E) रखें। समान अक्षर हों तो अंतराल चयन काफी होता है।
Fix (A), then (B) has (2) possible positions and the remaining (6) people arrange in (6!) ways. For circular gaps, fixing one person is easiest.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (1440). Fix (A), then (B) has (2) possible positions and the remaining (6) people arrange in (6!) ways. For circular gaps, fixing one person is easiest.
Step 3
Exam Tip
(A) को स्थिर करने पर (B) के लिए (2) स्थान मिलते हैं और बाकी (6) लोग (6!) तरीकों से बैठते हैं। गोल दूरी में एक व्यक्ति को स्थिर करना सबसे आसान है।
In the total (9!) arrangements, the (3!) orders of (1,2,3) and (2!) orders of (4,5) are equally likely. So use (9!/(3!2!)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (30240). In the total (9!) arrangements, the (3!) orders of (1,2,3) and (2!) orders of (4,5) are equally likely. So use (9!/(3!2!)).
Step 3
Exam Tip
कुल (9!) व्यवस्थाओं में (1,2,3) के (3!) और (4,5) के (2!) क्रम समान रूप से संभव हैं। इसलिए (9!/(3!2!)) लें।
Add arrangements formed by smaller available letters at each position, then add (1). In rank problems, handle repeated letters carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (388927). Add arrangements formed by smaller available letters at each position, then add (1). In rank problems, handle repeated letters carefully.
Step 3
Exam Tip
हर स्थान पर उससे छोटे उपलब्ध अक्षरों से बनने वाली व्यवस्थाएं जोड़कर अंत में (1) जोड़ते हैं। रैंक में दोहराए अक्षरों की गिनती ध्यान से करें।
Arrange the other (7) people in (7!) ways and place (A,B,C) in the (8) gaps in \(^{8}P_3\) ways. The gap method is powerful for non-adjacent conditions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1693440). Arrange the other (7) people in (7!) ways and place (A,B,C) in the (8) gaps in \(^{8}P_3\) ways. The gap method is powerful for non-adjacent conditions.
Step 3
Exam Tip
बाकी (7) लोगों को (7!) तरीकों से बैठाकर (8) अंतरालों में (A,B,C) को \(^{8}P_3\) तरीकों से रखें। न-साथ की शर्त में अंतराल विधि शक्तिशाली होती है।
Choose the (5) vowel positions in \(^{13}C_5\) ways and arrange consonants in (8!/2!) ways. When vowel order is fixed, do not count their separate orders.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (25945920). Choose the (5) vowel positions in \(^{13}C_5\) ways and arrange consonants in (8!/2!) ways. When vowel order is fixed, do not count their separate orders.
Step 3
Exam Tip
स्वरों के (5) स्थान \(^{13}C_5\) तरीकों से चुनें और व्यंजनों को (8!/2!) तरीकों से रखें। स्वर-क्रम निश्चित होने पर उनके अलग क्रम नहीं गिने जाते।
The two specified men occupy the ends in (2!) ways, the remaining men in (4!) ways, and women in the (5) internal gaps in (5!) ways. Apply end restrictions first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (5760). The two specified men occupy the ends in (2!) ways, the remaining men in (4!) ways, and women in the (5) internal gaps in (5!) ways. Apply end restrictions first.
Step 3
Exam Tip
दो विशेष पुरुष सिरों पर (2!) तरीकों से, बाकी पुरुष (4!) तरीकों से और महिलाएं (5) अंदरूनी अंतरालों में (5!) तरीकों से बैठती हैं। पहले सिरों की शर्त लगाएं।
Arrange the (5) consonants in (5!) ways and place the vowels in (3) of the (6) gaps in \(^{6}P_3\) ways. If vowels are distinct, count both positions and order.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (14400). Arrange the (5) consonants in (5!) ways and place the vowels in (3) of the (6) gaps in \(^{6}P_3\) ways. If vowels are distinct, count both positions and order.
Step 3
Exam Tip
पहले (5) व्यंजनों को (5!) तरीकों से रखें और (6) अंतरालों में से (3) में स्वरों को \(^{6}P_3\) तरीकों से रखें। स्वर अलग हों तो स्थान और क्रम दोनों गिनें।
Arrangements with (A) before (B) are (9!/2), and adjacent cases with (A) before (B) are (8!). Handle order and adjacency separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (141120). Arrangements with (A) before (B) are (9!/2), and adjacent cases with (A) before (B) are (8!). Handle order and adjacency separately.
Step 3
Exam Tip
(A) पहले (B) से आने वाली व्यवस्थाएं (9!/2) हैं और साथ में (A) पहले (B) हो तो (8!) घटेगा। क्रम और साथ की शर्त अलग-अलग संभालें।
Subtract the adjacent (A) cases (7!) from the total (8!/2!). For non-adjacent identical letters, subtraction is simple.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (15120). Subtract the adjacent (A) cases (7!) from the total (8!/2!). For non-adjacent identical letters, subtraction is simple.
Step 3
Exam Tip
कुल (8!/2!) व्यवस्थाओं में से (A) साथ वाली (7!) व्यवस्थाएं घटाएं। समान अक्षरों के न-साथ प्रश्न में घटाने की विधि सरल है।
The number must be even and its digit sum must be divisible by (3). Divisibility by (6) needs both the (2) and (3) tests.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (966). The number must be even and its digit sum must be divisible by (3). Divisibility by (6) needs both the (2) and (3) tests.
Step 3
Exam Tip
संख्या सम होनी चाहिए और अंकों का योग (3) से विभाज्य होना चाहिए। (6) से विभाज्यता में (2) और (3) दोनों नियम साथ लगते हैं।
Arrange the boys around the circle in (6!) ways and place (5) girls in the (7) gaps in \(^{7}P_5\) ways. For circular gaps, arrange one group first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (181440). Arrange the boys around the circle in (6!) ways and place (5) girls in the (7) gaps in \(^{7}P_5\) ways. For circular gaps, arrange one group first.
Step 3
Exam Tip
पहले लड़कों को गोल मेज पर (6!) तरीकों से बैठाएं और बने (7) अंतरालों में (5) लड़कियां \(^{7}P_5\) तरीकों से बैठेंगी। गोल अंतराल में पहले एक समूह व्यवस्थित करें।
Fix one book; for the other, (1) of the (5) positions is forbidden, and the remaining books arrange in (4!) ways. For opposite-position restrictions, fix one object.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (96). Fix one book; for the other, (1) of the (5) positions is forbidden, and the remaining books arrange in (4!) ways. For opposite-position restrictions, fix one object.
Step 3
Exam Tip
एक पुस्तक को स्थिर करें तो दूसरी के लिए (5) में से (1) विपरीत स्थान निषिद्ध है और बाकी (4!) तरीके हैं। आमने-सामने वाली शर्त में एक वस्तु स्थिर करें।
(7) अलग अक्षरों और (10) अंकों से (3) अक्षर के बाद (3) अंक वाला कोड बनता है। अक्षर दोहराए नहीं जाते और अंकों में ठीक एक अंक दो बार आता है। कितने कोड बनेंगे?
The letter part has \(^{7}P_3\) ways, and in the digit part choose the repeated digit in (10) ways, the other digit in (9) ways and its position in (3) ways. Count code parts separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (56700). The letter part has \(^{7}P_3\) ways, and in the digit part choose the repeated digit in (10) ways, the other digit in (9) ways and its position in (3) ways. Count code parts separately.
Step 3
Exam Tip
अक्षरों के लिए \(^{7}P_3\) तरीके हैं और अंक भाग में दोहराया अंक (10), दूसरा अंक (9) और स्थान (3) तरीकों से चुनते हैं। कोड के भाग अलग-अलग गिनें।
Arrange non-(T) letters in (6!/2!) ways and choose (3) of the (7) gaps for the (T)'s. Since the (T)'s are identical, only choose gaps.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (12600). Arrange non-(T) letters in (6!/2!) ways and choose (3) of the (7) gaps for the (T)'s. Since the (T)'s are identical, only choose gaps.
Step 3
Exam Tip
पहले गैर-(T) अक्षरों को (6!/2!) तरीकों से रखें और (7) अंतरालों में से (3) में (T) रखें। समान (T) होने के कारण केवल अंतराल चुनें।
There are (3) position pairs at distance (5) for (S,Q), with (2) orders, and the remaining (6) places fill in (6!/3!) ways. For gap-distance questions, count position pairs first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (720). There are (3) position pairs at distance (5) for (S,Q), with (2) orders, and the remaining (6) places fill in (6!/3!) ways. For gap-distance questions, count position pairs first.
Step 3
Exam Tip
(S,Q) के लिए दूरी (5) वाले (3) स्थान-जोड़े और (2) क्रम हैं, शेष (6) स्थान (6!/3!) तरीकों से भरते हैं। दूरी वाले प्रश्न में स्थान-जोड़े पहले गिनें।
Treat the four specified people as one block with fixed internal order, so (9) units arrange in (9!) ways. If internal order is prescribed, do not multiply by (4!).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (362880). Treat the four specified people as one block with fixed internal order, so (9) units arrange in (9!) ways. If internal order is prescribed, do not multiply by (4!).
Step 3
Exam Tip
चार विशेष व्यक्तियों को निश्चित क्रम वाले एक खंड के रूप में मानें, तब कुल (9) इकाइयां (9!) तरीकों से सजती हैं। निश्चित अंदरूनी क्रम हो तो अतिरिक्त (4!) नहीं लगेगा।
First count arrangements containing both (0) and (9), then subtract cases where they are adjacent. When (0) is included, handle the leading position carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (168000). First count arrangements containing both (0) and (9), then subtract cases where they are adjacent. When (0) is included, handle the leading position carefully.
Step 3
Exam Tip
पहले (0) और (9) दोनों शामिल वाली व्यवस्थाएं गिनें और फिर उनके साथ वाली व्यवस्थाएं घटाएं। शून्य शामिल हो तो अग्र स्थान की सावधानी जरूरी है।
There are (5) odd positions among (9); place the (3) vowels in \(^{5}C_3\cdot 3!/2!\) ways and consonants in (6!/2!) ways. Decide position types first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (10800). There are (5) odd positions among (9); place the (3) vowels in \(^{5}C_3\cdot 3!/2!\) ways and consonants in (6!/2!) ways. Decide position types first.
Step 3
Exam Tip
(9) स्थानों में (5) विषम स्थान हैं, जिनमें (3) स्वर \(^{5}C_3\cdot 3!/2!\) तरीकों से बैठेंगे और व्यंजन (6!/2!) तरीकों से। स्थान-प्रकार पहले तय करें।
Fix (A); then (B) and (C) occupy the two equally spaced positions in (2!) ways. The remaining (6) people sit in (6!) ways.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1440). Fix (A); then (B) and (C) occupy the two equally spaced positions in (2!) ways. The remaining (6) people sit in (6!) ways.
Step 3
Exam Tip
(A) को स्थिर करने पर (B) और (C) के लिए दो बराबर दूरी वाले स्थान बचते हैं और वे (2!) तरीकों से बदल सकते हैं। बाकी (6) लोग (6!) तरीकों से बैठते हैं।
By inclusion-exclusion, the count is \(7!-3\cdot 6!+3\cdot 5!-4!\). For multiple forbidden positions, this method is safe.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (3216). By inclusion-exclusion, the count is \(7!-3\cdot 6!+3\cdot 5!-4!\). For multiple forbidden positions, this method is safe.
Step 3
Exam Tip
समावेशन-बहिष्करण से \(7!-3\cdot 6!+3\cdot 5!-4!\) मिलता है। कई निषिद्ध स्थान हों तो यही विधि सुरक्षित है।
Treat the two (C)'s as a block, giving (8!/(2!2!)) arrangements, then subtract the cases with adjacent (A)'s, (7!/2!). For two conditions, first form the required block.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (7560). Treat the two (C)'s as a block, giving (8!/(2!2!)) arrangements, then subtract the cases with adjacent (A)'s, (7!/2!). For two conditions, first form the required block.
Step 3
Exam Tip
(C) को खंड मानकर कुल (8!/(2!2!)) व्यवस्थाएं हैं, फिर (A) साथ वाली (7!/2!) व्यवस्थाएं घटाएं। दो शर्तों में पहले अनिवार्य खंड बनाएं।
Add arrangements beginning with smaller available letters at each position and then add (1). Write the alphabetical order first when finding rank.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (18635). Add arrangements beginning with smaller available letters at each position and then add (1). Write the alphabetical order first when finding rank.
Step 3
Exam Tip
प्रत्येक स्थान पर छोटे उपलब्ध अक्षरों से बनने वाली व्यवस्थाएं जोड़ें और अंत में (1) जोड़ें। रैंक निकालते समय वर्णक्रम पहले लिखें।
The order is fixed within the chosen positions, but the first digit cannot be (0). In such restrictions, check both order and leading zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2940). The order is fixed within the chosen positions, but the first digit cannot be (0). In such restrictions, check both order and leading zero.
Step 3
Exam Tip
चुने हुए स्थानों में क्रम निश्चित हो जाता है, लेकिन पहला अंक (0) नहीं हो सकता। ऐसी शर्तों में क्रम-प्रतिबंध और अग्र शून्य दोनों जांचें।
For (A,B), use the (6) middle positions in \(^{6}P_2\) ways, then subtract adjacent cases \(5\cdot 2\cdot 6!\). Count middle-position and non-adjacent restrictions together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (14400). For (A,B), use the (6) middle positions in \(^{6}P_2\) ways, then subtract adjacent cases \(5\cdot 2\cdot 6!\). Count middle-position and non-adjacent restrictions together.
Step 3
Exam Tip
(A,B) के लिए बीच के (6) स्थानों में \(^{6}P_2\) तरीके हैं, फिर साथ वाली \(5\cdot 2\cdot 6!\) व्यवस्थाएं घटती हैं। बीच और न-साथ दोनों शर्तों को साथ गिनें।
Only the (3) vowel positions must be chosen, because both vowel and consonant orders are fixed. When orders are fixed, position selection gives the answer.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (56). Only the (3) vowel positions must be chosen, because both vowel and consonant orders are fixed. When orders are fixed, position selection gives the answer.
Step 3
Exam Tip
केवल स्वरों के (3) स्थान चुनने हैं, क्योंकि स्वर और व्यंजन दोनों के क्रम निश्चित हैं। क्रम निश्चित हो तो स्थान-चयन ही उत्तर देता है।
Total circular arrangements are (10!), and all-three-together cases are \(8!\cdot 3!\). For not-all-together cases, subtract the bad cases from total.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (3386880). Total circular arrangements are (10!), and all-three-together cases are \(8!\cdot 3!\). For not-all-together cases, subtract the bad cases from total.
Step 3
Exam Tip
कुल गोल व्यवस्थाएं (10!) हैं और तीनों साथ होने पर \(8!\cdot 3!\) व्यवस्थाएं घटती हैं। न-सभी-साथ में कुल से खराब केस घटाएं।
Inside the vowel block there are (5!/(2!3!)) arrangements, and outside there are (6!/2!) arrangements. Handle the block and repetitions together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3600). Inside the vowel block there are (5!/(2!3!)) arrangements, and outside there are (6!/2!) arrangements. Handle the block and repetitions together.
Step 3
Exam Tip
स्वर-खंड के भीतर (5!/(2!3!)) और बाहर (6!/2!) व्यवस्थाएं हैं। खंड और दोहराव दोनों को एक साथ देखें।
Treat each couple as a block; the (5) blocks arrange in (5!) ways and each block has (2) internal orders. Couples contribute \(2^5\) internal arrangements.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (3840). Treat each couple as a block; the (5) blocks arrange in (5!) ways and each block has (2) internal orders. Couples contribute \(2^5\) internal arrangements.
Step 3
Exam Tip
हर जोड़े को एक खंड मानें, (5) खंड (5!) तरीकों से और हर खंड के भीतर (2) तरीके हैं। जोड़ों में \(2^5\) अंदरूनी क्रम लगते हैं।
Choose one of the two specified letters in (2) ways, choose (4) more from the remaining (7), and arrange in (5!) ways. For exactly-one conditions, count both choices separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (8400). Choose one of the two specified letters in (2) ways, choose (4) more from the remaining (7), and arrange in (5!) ways. For exactly-one conditions, count both choices separately.
Step 3
Exam Tip
दो विशेष में से एक (2) तरीकों से चुनें, बाकी (4) अक्षर (7) में से चुनें और (5!) तरीकों से सजाएं। ठीक एक की शर्त में दोनों केस अलग गिनें।
First include exactly one digit from (2,4,6), then make cases for an odd unit digit. Handle oddness and compulsory choice together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (6300). First include exactly one digit from (2,4,6), then make cases for an odd unit digit. Handle oddness and compulsory choice together.
Step 3
Exam Tip
पहले (2,4,6) में से ठीक एक अंक शामिल करें और अंतिम अंक विषम रखने के केस बनाएं। विषमता और अनिवार्य चयन को साथ संभालें।
Here (T) appears three times and (O,N,I) appear twice each, so the count is (12!/(3!2!2!2!)). For long words, make a frequency table.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (9979200). Here (T) appears three times and (O,N,I) appear twice each, so the count is (12!/(3!2!2!2!)). For long words, make a frequency table.
Step 3
Exam Tip
इसमें (T) तीन बार और (O,N,I) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (12!/(3!2!2!2!)) है। लंबे शब्द में आवृत्ति तालिका बनाएं।
Among the relative orders of (A,B,C), (A) is in the middle with probability (1/3), and (D) before (E) has probability (1/2). Hence the count is (10!/6).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (604800). Among the relative orders of (A,B,C), (A) is in the middle with probability (1/3), and (D) before (E) has probability (1/2). Hence the count is (10!/6).
Step 3
Exam Tip
(A,B,C) के सापेक्ष क्रमों में (A) बीच में होने की संभावना (1/3) है और (D) पहले (E) से होने की (1/2) है। इसलिए (10!/6) होगा।
The first digit must be even but not (0), the last digit must be odd, and the middle (4) places are filled from remaining digits. Always check the leading zero restriction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (33600). The first digit must be even but not (0), the last digit must be odd, and the middle (4) places are filled from remaining digits. Always check the leading zero restriction.
Step 3
Exam Tip
पहला अंक सम लेकिन (0) नहीं हो सकता, अंतिम अंक विषम होगा और बीच के (4) स्थान बचे अंकों से भरेंगे। अग्र शून्य की शर्त जरूर जांचें।
First arrange red and blue balls in \(^{11}C_5\) ways, then choose (4) of the (12) gaps for green balls. With identical objects, position selection is the key.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (228690). First arrange red and blue balls in \(^{11}C_5\) ways, then choose (4) of the (12) gaps for green balls. With identical objects, position selection is the key.
Step 3
Exam Tip
पहले लाल और नीली गेंदों को \(^{11}C_5\) तरीकों से रखें, फिर बने (12) अंतरालों में से (4) में हरी गेंदें रखें। समान वस्तुओं में स्थान-चयन प्रमुख होता है।
Treat (A,B,C) as a block, so (6) units have (5!) circular arrangements, and internally (4) orders do not have (B) in the middle. Count internal orders separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (480). Treat (A,B,C) as a block, so (6) units have (5!) circular arrangements, and internally (4) orders do not have (B) in the middle. Count internal orders separately.
Step 3
Exam Tip
(A,B,C) को खंड मानने पर (6) इकाइयों की गोल व्यवस्था (5!) है और अंदर (B) बीच में न होने के (4) क्रम हैं। गोल खंड में अंदरूनी क्रम अलग गिनें।
Choose the (2) correctly assigned people in \(^{8}C_2\) ways and derange the remaining (6) with \(D_6=265\). Exactly (2) correct means all others are wrong.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (7420). Choose the (2) correctly assigned people in \(^{8}C_2\) ways and derange the remaining (6) with \(D_6=265\). Exactly (2) correct means all others are wrong.
Step 3
Exam Tip
सही कार्य पाने वाले \(^{8}C_2\) तरीकों से चुनें और बाकी (6) का विस्थापन \(D_6=265\) है। ठीक (2) सही का मतलब बाकी सभी गलत होंगे।
Here (S) appears three times and (I) appears three times, so the count is (11!/(3!3!)). Divide by the factorial of each repeated group.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (1108800). Here (S) appears three times and (I) appears three times, so the count is (11!/(3!3!)). Divide by the factorial of each repeated group.
Step 3
Exam Tip
इसमें (S) तीन बार और (I) तीन बार है, इसलिए संख्या (11!/(3!3!)) है। दोहराव के हर समूह के फैक्टोरियल से भाग दें।
First take total arrangements with (6) before (8), (8!/2), then subtract half of the block arrangements where (2,4) are adjacent. Separate order and non-adjacency conditions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (15120). First take total arrangements with (6) before (8), (8!/2), then subtract half of the block arrangements where (2,4) are adjacent. Separate order and non-adjacency conditions.
Step 3
Exam Tip
पहले (6) पहले (8) वाली कुल (8!/2) व्यवस्थाएं लें, फिर (2,4) साथ वाली आधी खंड-व्यवस्थाएं घटाएं। क्रम और न-साथ की शर्त को अलग करें।
There are (4) even positions among (9), and the (4) consonants occupy them in (4!) ways, while vowels fill the rest in (5!) ways. For position restrictions, first count the positions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2880). There are (4) even positions among (9), and the (4) consonants occupy them in (4!) ways, while vowels fill the rest in (5!) ways. For position restrictions, first count the positions.
Step 3
Exam Tip
(9) स्थानों में (4) सम स्थान हैं और (4) व्यंजन उन्हीं में (4!) तरीकों से आएंगे, स्वर (5!) तरीकों से बची जगहों पर आएंगे। स्थान-प्रतिबंध में पहले स्थानों की संख्या देखें।
(6) अलग-अलग पुस्तकों को एक शेल्फ पर इस प्रकार सजाना है कि (2) निश्चित पुस्तकें साथ-साथ रहें लेकिन उनका आपसी क्रम बदला जा सके। कुल व्यवस्थाओं की संख्या क्या होगी?
Treat the two books as one block giving \(5!\times2!\) arrangements. In exams, make a block for objects that must stay together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (240). Treat the two books as one block giving \(5!\times2!\) arrangements. In exams, make a block for objects that must stay together.
Step 3
Exam Tip
दो पुस्तकों को एक ब्लॉक मानकर \(5!\times2!\) व्यवस्थाएँ मिलती हैं। परीक्षा में साथ रहने वाली वस्तुओं को ब्लॉक बनाएं।
There are (7) letters and (R) repeats twice, so the count is \(\frac{7!}{2!}\). Divide by factorials of repeated letters.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (2520). There are (7) letters and (R) repeats twice, so the count is \(\frac{7!}{2!}\). Divide by factorials of repeated letters.
Step 3
Exam Tip
कुल (7) अक्षर हैं और (R) दो बार आता है, इसलिए संख्या \(\frac{7!}{2!}\) है। दोहराए अक्षरों के लिए फैक्टरियल से भाग दें।
Total circular arrangements are (7!) and adjacent cases are \(2\cdot6!\), so the answer is \(7!-2\cdot6!\). In circular order, fix one position.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3600). Total circular arrangements are (7!) and adjacent cases are \(2\cdot6!\), so the answer is \(7!-2\cdot6!\). In circular order, fix one position.
Step 3
Exam Tip
कुल वृत्तीय व्यवस्थाएँ (7!) हैं और साथ बैठने वाली \(2\cdot6!\) हैं, इसलिए उत्तर \(7!-2\cdot6!\) है। वृत्तीय क्रम में एक स्थान स्थिर मानें।
There are (11) letters with (I,S,P) repeated (4,4,2) times, so the count is \(\frac{11!}{4!4!2!}\). Do not count identical letters separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (34650). There are (11) letters with (I,S,P) repeated (4,4,2) times, so the count is \(\frac{11!}{4!4!2!}\). Do not count identical letters separately.
Step 3
Exam Tip
कुल (11) अक्षर हैं और (I,S,P) क्रमशः (4,4,2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{4!4!2!}\) है। समान अक्षरों की पुनरावृत्ति को अलग न गिनें।
The last digit is one of (1,3,5), and the first digit cannot be (0), giving \(3\cdot5\cdot5\cdot4\). Handle the leading zero condition separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (300). The last digit is one of (1,3,5), and the first digit cannot be (0), giving \(3\cdot5\cdot5\cdot4\). Handle the leading zero condition separately.
Step 3
Exam Tip
अंतिम अंक (1,3,5) में से होगा और पहले अंक में (0) नहीं आ सकता, इसलिए कुल \(3\cdot5\cdot5\cdot4\) है। शून्य वाले प्रश्नों में पहला स्थान अलग देखें।
There are (11) letters and (M,A,T) each repeat (2) times, so the count is \(\frac{11!}{2!2!2!}\). Correctly identify repeated letters.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (4989600). There are (11) letters and (M,A,T) each repeat (2) times, so the count is \(\frac{11!}{2!2!2!}\). Correctly identify repeated letters.
Step 3
Exam Tip
कुल (11) अक्षर हैं और (M,A,T) प्रत्येक (2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{2!2!2!}\) है। दोहराव की संख्या सही पहचानना जरूरी है।
Choose the remaining (3) digits from (7) digits and arrange all (5) digits in (5!) ways. Include compulsory digits first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2520). Choose the remaining (3) digits from (7) digits and arrange all (5) digits in (5!) ways. Include compulsory digits first.
Step 3
Exam Tip
बाकी (3) अंक (7) अंकों से चुनें और कुल (5) अंकों को (5!) तरीकों से सजाएँ। आवश्यक अंकों को पहले शामिल करें।
The two particular people occupy positions (4) apart, giving (5) position pairs and (2) orders, then arrange the remaining (7!). Count position pairs for distance constraints.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (20160). The two particular people occupy positions (4) apart, giving (5) position pairs and (2) orders, then arrange the remaining (7!). Count position pairs for distance constraints.
Step 3
Exam Tip
दो विशेष लोगों के स्थान (4) दूरी पर होंगे, ऐसे (5) जोड़े हैं और उनका क्रम (2) तरीकों से होगा, फिर बाकी (7!) हैं। दूरी वाले प्रश्नों में स्थान-जोड़े गिनें।
There are (9) letters and (M,T,E) each repeat (2) times, so the count is \(\frac{9!}{2!2!2!}\). Identical letters reduce permutations.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (90720). There are (9) letters and (M,T,E) each repeat (2) times, so the count is \(\frac{9!}{2!2!2!}\). Identical letters reduce permutations.
Step 3
Exam Tip
कुल (9) अक्षर हैं और (M,T,E) प्रत्येक (2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{9!}{2!2!2!}\) है। समान अक्षर permutation को घटाते हैं।
Treat the women as one block giving (8!) orders and (3!) internal orders. Use the block method for consecutive objects.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (241920). Treat the women as one block giving (8!) orders and (3!) internal orders. Use the block method for consecutive objects.
Step 3
Exam Tip
महिलाओं को एक ब्लॉक मानकर (8!) क्रम बनते हैं और ब्लॉक के अंदर (3!) क्रम हैं। लगातार रहने पर ब्लॉक विधि लगती है।
The last digit can be (0,2,4); separating the (0) and nonzero last-digit cases gives (120+96). Handle zero carefully at the first and last positions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (216). The last digit can be (0,2,4); separating the (0) and nonzero last-digit cases gives (120+96). Handle zero carefully at the first and last positions.
Step 3
Exam Tip
अंतिम अंक (0,2,4) हो सकता है; (0) और गैर-शून्य अंतिम अंक के मामले अलग करके कुल (120+96) मिलता है। शून्य को अंतिम और प्रथम स्थान पर सावधानी से संभालें।
Treat the (5) vowels as one block, giving (5!) outside arrangements and (5!) internal arrangements. When vowels are together, make one vowel block.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (120960). Treat the (5) vowels as one block, giving (5!) outside arrangements and (5!) internal arrangements. When vowels are together, make one vowel block.
Step 3
Exam Tip
(5) स्वरों को एक ब्लॉक मानें, फिर (5!) बाहरी और (5!) आंतरिक व्यवस्थाएँ मिलती हैं। स्वर साथ हों तो पूरे स्वर-समूह को एक इकाई बनाएं।
With the particular letter included, choose (4) more from (7) and arrange the (5) in (5!) ways. Separate the compulsory object first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (6720). With the particular letter included, choose (4) more from (7) and arrange the (5) in (5!) ways. Separate the compulsory object first.
Step 3
Exam Tip
निश्चित अक्षर के साथ बाकी (4) अक्षर (7) में से चुनकर (5!) तरीकों से सजते हैं। अनिवार्य वस्तु को पहले अलग कर लें।
Treat the two (N)s as one block; among (5) units, (A) repeats (3) times, so the count is \(\frac{5!}{3!}\). Track both blocks and repeated letters.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (20). Treat the two (N)s as one block; among (5) units, (A) repeats (3) times, so the count is \(\frac{5!}{3!}\). Track both blocks and repeated letters.
Step 3
Exam Tip
दो (N) को एक ब्लॉक मानने पर (5) इकाइयों में (A) तीन बार है, इसलिए \(\frac{5!}{3!}\) है। समान अक्षर और ब्लॉक दोनों का ध्यान रखें।
The thousands digit is (3,4,5,6), and the remaining (3) places can be filled in (7P3) ways. For range questions, fix the first digit first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (840). The thousands digit is (3,4,5,6), and the remaining (3) places can be filled in (7P3) ways. For range questions, fix the first digit first.
Step 3
Exam Tip
हजारों का अंक (3,4,5,6) होगा और बाकी (3) स्थान (7P3) तरीकों से भरेंगे। सीमा वाली संख्या में पहला अंक तय करने से काम आसान होता है।
If both are selected, count \(8C2\cdot4!\); if both are not selected, count \(8C4\cdot4!\). Split such problems into cases and add.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (4368). If both are selected, count \(8C2\cdot4!\); if both are not selected, count \(8C4\cdot4!\). Split such problems into cases and add.
Step 3
Exam Tip
दोनों चुने जाने पर \(8C2\cdot4!\) और दोनों न चुने जाने पर \(8C4\cdot4!\) मिलते हैं। ऐसे प्रश्नों में cases अलग करके जोड़ें।
For a necklace, the count is (\frac{(7-1)!}{2}) because reflection is also identical. Remember the difference between circular arrangements and necklaces.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (360). For a necklace, the count is (\frac{(7-1)!}{2}) because reflection is also identical. Remember the difference between circular arrangements and necklaces.
Step 3
Exam Tip
माला के लिए संख्या (\frac{(7-1)!}{2}) होती है क्योंकि पलटाव भी समान है। वृत्त और माला में अंतर याद रखें।
Total arrangements are \(\frac{7!}{2!}\), and the (3) distinct vowels have (3!) equally likely orders, so divide by (3!). For order restrictions, divide by possible orders.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (840). Total arrangements are \(\frac{7!}{2!}\), and the (3) distinct vowels have (3!) equally likely orders, so divide by (3!). For order restrictions, divide by possible orders.
Step 3
Exam Tip
कुल \(\frac{7!}{2!}\) व्यवस्थाएँ हैं और (3) अलग स्वरों के (3!) क्रम समान रूप से संभव हैं, इसलिए भाग दें। क्रम-प्रतिबंध में अक्सर कुल को संभव क्रमों से बाँटते हैं।
The two particular people are selected, choose (3) more from (6), then arrange the block and others in \(4!\cdot2!\) ways. Choose first, then arrange.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1440). The two particular people are selected, choose (3) more from (6), then arrange the block and others in \(4!\cdot2!\) ways. Choose first, then arrange.
Step 3
Exam Tip
दोनों विशेष लोग चुने जाएँगे, बाकी (3) लोग (6) में से चुने जाएँगे और ब्लॉक सहित \(4!\cdot2!\) क्रम होंगे। पहले चयन, फिर व्यवस्था करें।
There are (14) valid ordered endings; endings without (0) give \(5\cdot5P2\) and endings with (0) give (6P3). For divisibility by (4), check the last two digits.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (780). There are (14) valid ordered endings; endings without (0) give \(5\cdot5P2\) and endings with (0) give (6P3). For divisibility by (4), check the last two digits.
Step 3
Exam Tip
अंतिम दो अंकों के (14) वैध क्रम हैं; जिनमें (0) नहीं है उनके लिए \(5\cdot5P2\) और जिनमें (0) है उनके लिए (6P3) गिनें। (4) से विभाज्यता में अंतिम दो अंक देखें।
(9) अलग-अलग विद्यार्थियों में से (6) को एक पंक्ति में बैठाना है। एक निश्चित विद्यार्थी अवश्य बैठे और दूसरा निश्चित विद्यार्थी न बैठे, ऐसे कितने क्रम हैं?
With the compulsory student, choose (5) more from the remaining (7) and arrange (6!) ways. Apply inclusion and exclusion conditions first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (15120). With the compulsory student, choose (5) more from the remaining (7) and arrange (6!) ways. Apply inclusion and exclusion conditions first.
Step 3
Exam Tip
अनिवार्य विद्यार्थी के साथ बाकी (5) विद्यार्थी (7) में से चुनें और (6!) तरीकों से सजाएँ। शामिल और बाहर वाली शर्तें पहले लगाएं।
Treat the three people as one block; (6) units around a circle give (5!), and the block has (3!) internal orders. Circular blocks reduce the number of units.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (4320). Treat the three people as one block; (6) units around a circle give (5!), and the block has (3!) internal orders. Circular blocks reduce the number of units.
Step 3
Exam Tip
तीन लोगों को एक ब्लॉक मानकर (6) इकाइयों की वृत्तीय व्यवस्था (5!) है और ब्लॉक के अंदर (3!) क्रम हैं। वृत्तीय ब्लॉक में इकाइयों की संख्या घटती है।
Total arrangements are \(\frac{7!}{2!}\) and together cases are (6!), so the difference is (2520-720). For not-together cases, subtract together cases from total.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1800). Total arrangements are \(\frac{7!}{2!}\) and together cases are (6!), so the difference is (2520-720). For not-together cases, subtract together cases from total.
Step 3
Exam Tip
कुल \(\frac{7!}{2!}\) और साथ वाले (6!) हैं, इसलिए अंतर (2520-720) है। न-साथ वाली स्थिति में कुल से साथ वाली घटाएँ।
The row may start with a boy or a girl, giving (2) patterns, each with \(6!\cdot6!\) orders. Equal numbers create two alternating patterns.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\cdot6!\cdot6!\). The row may start with a boy or a girl, giving (2) patterns, each with \(6!\cdot6!\) orders. Equal numbers create two alternating patterns.
Step 3
Exam Tip
शुरुआत लड़के या लड़की से हो सकती है, इसलिए (2) पैटर्न हैं और हर पैटर्न में \(6!\cdot6!\) क्रम हैं। बराबर संख्या पर दो वैकल्पिक पैटर्न बनते हैं।
The last two digits can only be (25,75), and the first two places are filled in (6P2) ways. For divisibility by (25), fix the last two digits.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (60). The last two digits can only be (25,75), and the first two places are filled in (6P2) ways. For divisibility by (25), fix the last two digits.
Step 3
Exam Tip
अंतिम दो अंक केवल (25,75) हो सकते हैं और पहले दो स्थान (6P2) तरीकों से भरते हैं। (25) से विभाज्यता में अंतिम दो अंक तय करें।
There are (7) letters with (S,C) repeated (3,2) times, so the count is \(\frac{7!}{3!2!}\). Do not count repeated letters as distinct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (420). There are (7) letters with (S,C) repeated (3,2) times, so the count is \(\frac{7!}{3!2!}\). Do not count repeated letters as distinct.
Step 3
Exam Tip
कुल (7) अक्षर हैं और (S,C) क्रमशः (3,2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{7!}{3!2!}\) है। पुनरावृत्त अक्षरों को अलग-अलग न गिनें।
The particular flag is fixed at the first position, and the remaining (3) places are filled in (9P3) ways. Lock the fixed position first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (504). The particular flag is fixed at the first position, and the remaining (3) places are filled in (9P3) ways. Lock the fixed position first.
Step 3
Exam Tip
विशेष झंडा पहले स्थान पर तय है और बाकी (3) स्थान (9P3) तरीकों से भरेंगे। तय स्थान को पहले लॉक करें।
Subtract adjacent cases \(2\cdot7!\) from total (8!). For two special objects not adjacent, subtract the block case from total.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (35280). Subtract adjacent cases \(2\cdot7!\) from total (8!). For two special objects not adjacent, subtract the block case from total.
Step 3
Exam Tip
कुल (8!) व्यवस्थाओं से (E,O) साथ वाले \(2\cdot7!\) घटाएँ। दो विशेष वस्तुओं के न-साथ होने पर कुल से ब्लॉक-केस घटाएँ।
(5) अलग-अलग गणित की और (4) अलग-अलग भौतिकी की पुस्तकों को शेल्फ पर सजाना है। किसी भी दो भौतिकी पुस्तकों के बीच कम से कम एक गणित पुस्तक हो, ऐसे कितने क्रम हैं?
Arrange mathematics books in (5!) ways and place (4) physics books in (6) gaps in (6P4) ways. Use the gaps method for separation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (86400). Arrange mathematics books in (5!) ways and place (4) physics books in (6) gaps in (6P4) ways. Use the gaps method for separation.
Step 3
Exam Tip
पहले गणित पुस्तकों को (5!) तरीकों से रखें और (6) खाली स्थानों में (4) भौतिकी पुस्तकें (6P4) तरीकों से रखें। बीच में अलगाव के लिए gaps method लगाएं।
The two particular letters are selected, choose (3) more from (7), and arrange the block and others in \(4!\cdot2!\) ways. In partial selection, fix chosen objects first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3360). The two particular letters are selected, choose (3) more from (7), and arrange the block and others in \(4!\cdot2!\) ways. In partial selection, fix chosen objects first.
Step 3
Exam Tip
दोनों निश्चित अक्षर चुने जाते हैं, बाकी (3) अक्षर (7) में से चुनें और ब्लॉक सहित \(4!\cdot2!\) क्रम बनते हैं। आंशिक चयन में पहले चुनी हुई वस्तुएँ तय करें।
Choose the other (4) digits from (8); (0) can occupy (4) non-first positions, and the rest arrange in (4!) ways. Count zero positions separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (6720). Choose the other (4) digits from (8); (0) can occupy (4) non-first positions, and the rest arrange in (4!) ways. Count zero positions separately.
Step 3
Exam Tip
बाकी (4) अंक (8) में से चुनें और (5) स्थानों में (0) पहले स्थान को छोड़कर (4) स्थानों पर हो सकता है, फिर (4!) क्रम हैं। शून्य के स्थानों को अलग गिनें।
Place (T,E) at the two ends in (2!) ways and arrange the remaining (6) letters in (6!) ways. For endpoint constraints, fill endpoints first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (10080). Place (T,E) at the two ends in (2!) ways and arrange the remaining (6) letters in (6!) ways. For endpoint constraints, fill endpoints first.
Step 3
Exam Tip
दो सिरों पर (T,E) को (2!) तरीकों से रखें और बीच के (6) अक्षर (6!) तरीकों से सजाएँ। सिरों की शर्त में endpoints पहले भरें।
(10) अलग-अलग लोगों को एक पंक्ति में बैठाया जाता है। दो निश्चित लोग साथ-साथ बैठें और तीसरा निश्चित व्यक्ति उनके किसी भी सिरे पर न बैठे, ऐसे कितने क्रम हैं?
Treat the adjacent pair as a block giving \(9!\cdot2\), then subtract cases where the third person is at an end, \(2\cdot8!\cdot2\). For combined conditions, count a simple total and subtract forbidden cases.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (580608). Treat the adjacent pair as a block giving \(9!\cdot2\), then subtract cases where the third person is at an end, \(2\cdot8!\cdot2\). For combined conditions, count a simple total and subtract forbidden cases.
Step 3
Exam Tip
दो साथ बैठे लोगों को ब्लॉक मानकर \(9!\cdot2\) से वे cases घटाएँ जहाँ तीसरा व्यक्ति सिरों पर है, जो \(2\cdot8!\cdot2\) हैं। संयुक्त शर्तों में पहले आसान कुल बनाकर निषिद्ध घटाएँ।
Fix one particular student; the other is fixed opposite, and the remaining (6) students can be seated in (6!) ways. For opposite-seat circular problems, fix one person.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (720). Fix one particular student; the other is fixed opposite, and the remaining (6) students can be seated in (6!) ways. For opposite-seat circular problems, fix one person.
Step 3
Exam Tip
एक निश्चित विद्यार्थी को स्थिर करें, दूसरा उसके सामने निश्चित होगा और बाकी (6) विद्यार्थी (6!) तरीकों से बैठेंगे। सामने की सीट वाली वृत्तीय समस्या में एक व्यक्ति स्थिर करें।
Total arrangements are \(\frac{8!}{2!}\), and adjacent (C) cases are (7!), so separated cases are (20160-5040). For separated objects, subtract adjacent cases from total.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (10080). Total arrangements are \(\frac{8!}{2!}\), and adjacent (C) cases are (7!), so separated cases are (20160-5040). For separated objects, subtract adjacent cases from total.
Step 3
Exam Tip
कुल \(\frac{8!}{2!}\) और (C) साथ वाले (7!) हैं, इसलिए अलग रहने वाली (20160-5040) हैं। अलग रहने पर कुल से साथ वाला case घटाएँ।
Any chosen set of (5) digits has only (1) increasing order, so the count is (8C5). If the order is fixed, count only selection.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (56). Any chosen set of (5) digits has only (1) increasing order, so the count is (8C5). If the order is fixed, count only selection.
Step 3
Exam Tip
किसी भी चुने गए (5) अंकों का बढ़ता हुआ क्रम केवल (1) होता है, इसलिए संख्या (8C5) है। क्रम निश्चित हो तो केवल चयन गिनें।
There are (11) letters and (B,I) each repeat (2) times, so the count is \(\frac{11!}{2!2!}\). Count letter frequencies carefully in long words.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1814400). There are (11) letters and (B,I) each repeat (2) times, so the count is \(\frac{11!}{2!2!}\). Count letter frequencies carefully in long words.
Step 3
Exam Tip
कुल (11) अक्षर हैं और (B,I) प्रत्येक (2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{2!2!}\) है। बड़े शब्दों में अक्षर आवृत्ति सावधानी से गिनें।
(12) अलग-अलग पुरस्कारों को (5) विद्यार्थियों में बाँटना है, यदि एक विद्यार्थी को (4) पुरस्कार और बाकी (4) विद्यार्थियों को (2)-(2) पुरस्कार मिलें। वितरण के कितने तरीके हैं?
Choose the student receiving (4) prizes in (5) ways and distribute as (\frac{12!}{4!(2!)4}). For distinct objects in fixed group sizes, divide by group factorials.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (207900). Choose the student receiving (4) prizes in (5) ways and distribute as (\frac{12!}{4!(2!)4}). For distinct objects in fixed group sizes, divide by group factorials.
Step 3
Exam Tip
(4) पुरस्कार पाने वाला विद्यार्थी (5) तरीकों से चुनेगा और वितरण (\frac{12!}{4!(2!)4}) से होगा। वस्तुएँ अलग हों तो समूह-आकारों से भाग दें।
Make the first pair a block giving \(2\cdot5!\), then subtract cases where the second pair is adjacent, \(2\cdot2\cdot4!\). Use block and subtraction together in mixed circular constraints.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (360). Make the first pair a block giving \(2\cdot5!\), then subtract cases where the second pair is adjacent, \(2\cdot2\cdot4!\). Use block and subtraction together in mixed circular constraints.
Step 3
Exam Tip
पहली जोड़ी को ब्लॉक बनाकर कुल \(2\cdot5!\) हैं और दूसरी जोड़ी साथ हो तो \(2\cdot2\cdot4!\) घटाएँ। मिश्रित वृत्तीय शर्तों में block और subtraction साथ प्रयोग करें।
If the last digit is (0), count (9P5); if it is (2,4,6,8), count \(4\cdot8\cdot8P4\). Separate zero and nonzero last-digit cases.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (54432). If the last digit is (0), count (9P5); if it is (2,4,6,8), count \(4\cdot8\cdot8P4\). Separate zero and nonzero last-digit cases.
Step 3
Exam Tip
अंतिम अंक (0) होने पर (9P5) और अंतिम अंक (2,4,6,8) होने पर \(4\cdot8\cdot8P4\) मिलते हैं। शून्य और गैर-शून्य अंतिम अंक के cases अलग करें।
There are (11) letters with (N,E,D) repeated (3,3,2) times, so the count is \(\frac{11!}{3!3!2!}\). Write all repeated-letter frequencies.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (831600). There are (11) letters with (N,E,D) repeated (3,3,2) times, so the count is \(\frac{11!}{3!3!2!}\). Write all repeated-letter frequencies.
Step 3
Exam Tip
कुल (11) अक्षर हैं और (N,E,D) क्रमशः (3,3,2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{3!3!2!}\) है। repeated letters की सभी आवृत्तियाँ लिखें।
(9) अलग-अलग खिलाड़ियों को एक पंक्ति में खड़ा करना है। कप्तान हमेशा गोलकीपर से बाएँ हो लेकिन उनके बीच लोगों की संख्या कोई भी हो सकती है। कितने क्रम संभव हैं?
In total (9!) orders, the two relative orders of captain and goalkeeper are equally likely, so half are valid. If relative order is fixed, divide by (2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (181440). In total (9!) orders, the two relative orders of captain and goalkeeper are equally likely, so half are valid. If relative order is fixed, divide by (2).
Step 3
Exam Tip
कुल (9!) क्रमों में कप्तान और गोलकीपर के दो आपसी क्रम बराबर हैं, इसलिए आधे क्रम मान्य हैं। relative order fixed हो तो कुल को (2) से बाँटें।
The positions of the two particular cards differ by (3), giving (5) position pairs and (2) orders, then the remaining (6!) arrangements. Count position pairs for exact gaps.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (8640). The positions of the two particular cards differ by (3), giving (5) position pairs and (2) orders, then the remaining (6!) arrangements. Count position pairs for exact gaps.
Step 3
Exam Tip
दो विशेष कार्डों के स्थानों में अंतर (3) होगा, ऐसे (5) स्थान-जोड़े हैं और उनका क्रम (2) तरीकों से है, फिर (6!) क्रम हैं। exact gap में position pairs गिनें।
The vowels (E,E,I,O) form one block, so (6) outside units arrange in (6!) ways and the vowels arrange internally in \(\frac{4!}{2!}\) ways. Do not forget repeated vowels inside the vowel block.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (14400). The vowels (E,E,I,O) form one block, so (6) outside units arrange in (6!) ways and the vowels arrange internally in \(\frac{4!}{2!}\) ways. Do not forget repeated vowels inside the vowel block.
Step 3
Exam Tip
स्वर (E,E,I,O) एक ब्लॉक हैं, इसलिए बाहरी (6) इकाइयाँ (6!) तरीकों से और अंदर स्वर \(\frac{4!}{2!}\) तरीकों से सजते हैं। vowel block में repeated vowels का भाग देना न भूलें।
(10) अलग-अलग वस्तुओं को एक पंक्ति में सजाया जाता है। तीन निश्चित वस्तुओं का आपसी क्रम (A) पहले, फिर (B), फिर (C) होना चाहिए, लेकिन वे साथ-साथ होना जरूरी नहीं है। कुल व्यवस्थाएँ कितनी हैं?
Among total (10!) arrangements, the (3!) relative orders of the three special objects are equally likely, so the count is \(\frac{10!}{3!}\). If relative order is fixed, divide by that group's factorial.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (604800). Among total (10!) arrangements, the (3!) relative orders of the three special objects are equally likely, so the count is \(\frac{10!}{3!}\). If relative order is fixed, divide by that group's factorial.
Step 3
Exam Tip
कुल (10!) क्रमों में तीन विशेष वस्तुओं के (3!) आपसी क्रम समान रूप से संभव हैं, इसलिए \(\frac{10!}{3!}\) है। relative order fixed हो तो कुल को उस group के factorial से बाँटें।
Arrange the consonants in \(\frac{6!}{3!2!}\) ways and place the vowels in (7) gaps in \(\binom{7}{5}\frac{5!}{3!2!}\) ways. Use the gap method when vowels must not be adjacent.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (12600). Arrange the consonants in \(\frac{6!}{3!2!}\) ways and place the vowels in (7) gaps in \(\binom{7}{5}\frac{5!}{3!2!}\) ways. Use the gap method when vowels must not be adjacent.
Step 3
Exam Tip
पहले व्यंजनों को \(\frac{6!}{3!2!}\) तरीकों से सजाएँ और (7) खाली स्थानों में स्वरों को \(\binom{7}{5}\frac{5!}{3!2!}\) तरीकों से रखें। स्वर साथ न हों तो gap method लगाएँ।
Treat (A) and (B) as one block, so circular arrangements are (6!) and internal arrangements are (2!). Exam tip: use block method for together conditions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1440). Treat (A) and (B) as one block, so circular arrangements are (6!) and internal arrangements are (2!). Exam tip: use block method for together conditions.
Step 3
Exam Tip
(A) और (B) को एक खंड मानें, इसलिए (7) वस्तुओं की गोल व्यवस्था (6!) और अंदर (2!) तरीके हैं। परीक्षा में साथ वाली शर्त पर खंड विधि लगाएं।
Subtract arrangements where the (3) special books form one block, that is \(5!\times3!\), from total (7!). Exam tip: for not-together cases, subtract unfavorable cases.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (4320). Subtract arrangements where the (3) special books form one block, that is \(5!\times3!\), from total (7!). Exam tip: for not-together cases, subtract unfavorable cases.
Step 3
Exam Tip
कुल (7!) से उन व्यवस्थाओं को घटाएं जिनमें (3) विशेष पुस्तकें एक खंड बनती हैं, यानी \(5!\times3!\)। परीक्षा में निषेध शर्त के लिए कुल से प्रतिकूल घटाएं।
There are (7) letters and (R) repeats twice, so the count is \(\frac{7!}{2!}\). Exam tip: divide by factorials of repeated letters.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (1260). There are (7) letters and (R) repeats twice, so the count is \(\frac{7!}{2!}\). Exam tip: divide by factorials of repeated letters.
Step 3
Exam Tip
कुल (7) अक्षर हैं और (R) दो बार आता है, इसलिए संख्या \(\frac{7!}{2!}\) है। परीक्षा में समान अक्षरों के फैक्टोरियल से भाग दें।
Treat (TT) as one block, giving (8) objects with (M) and (E) repeated, so the count is \(\frac{8!}{2!,2!}\). Exam tip: form the block first, then handle repetitions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (10080). Treat (TT) as one block, giving (8) objects with (M) and (E) repeated, so the count is \(\frac{8!}{2!,2!}\). Exam tip: form the block first, then handle repetitions.
Step 3
Exam Tip
(TT) को एक खंड मानने पर (8) वस्तुएं मिलती हैं जिनमें (M), (E) और (T)-खंड जैसी पुनरावृत्तियां संभलती हैं, संख्या \(\frac{8!}{2!,2!}\) है। परीक्षा में पहले खंड बनाकर फिर समान अक्षर देखें।
The last digit must be (0) or (5); counting both cases separately gives (300). Exam tip: never allow zero in the first place.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (300). The last digit must be (0) or (5); counting both cases separately gives (300). Exam tip: never allow zero in the first place.
Step 3
Exam Tip
अंतिम अंक (0) या (5) होगा; दोनों मामलों को अलग गिनने पर कुल (300) मिलता है। परीक्षा में शून्य को प्रथम स्थान पर न आने दें।
Each selection of (4) digits has exactly (1) increasing arrangement, so the count is \(\binom{8}{4}=70\). Exam tip: when order is fixed, selection alone is counted.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (70). Each selection of (4) digits has exactly (1) increasing arrangement, so the count is \(\binom{8}{4}=70\). Exam tip: when order is fixed, selection alone is counted.
Step 3
Exam Tip
किसी भी (4) अंकों के चयन का केवल (1) बढ़ता क्रम होता है, इसलिए संख्या \(\binom{8}{4}=70\) है। परीक्षा में क्रम तय हो तो चयन ही पर्याप्त होता है।
There are (5) position pairs for (P) and (Q), with (2!) orders, and the remaining (7) people can be arranged in (7!) ways. Exam tip: count distance conditions by position pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (60480). There are (5) position pairs for (P) and (Q), with (2!) orders, and the remaining (7) people can be arranged in (7!) ways. Exam tip: count distance conditions by position pairs.
Step 3
Exam Tip
(P) और (Q) की जगहों के (5) जोड़े हैं और उनका क्रम (2!) है, बाकी (7) लोग (7!) तरीकों से बैठते हैं। परीक्षा में दूरी वाली शर्त को स्थान-जोड़ों से गिनें।
Arrange (6) men in (6!) ways, then place (4) women in \(^{7}P_{4}\) of the (7) gaps. Exam tip: use the gaps method for non-adjacent placement.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (604800). Arrange (6) men in (6!) ways, then place (4) women in \(^{7}P_{4}\) of the (7) gaps. Exam tip: use the gaps method for non-adjacent placement.
Step 3
Exam Tip
पहले (6) पुरुषों को (6!) तरीकों से बैठाएं, फिर (7) खाली स्थानों में (4) महिलाओं को \(^{7}P_{4}\) तरीकों से रखें। परीक्षा में अलग-अलग रखने के लिए gaps विधि लगाएं।
Treat (MM) as one block; now there are (10) objects with (A) and (T) repeated twice, so the count is \(\frac{10!}{2!,2!}\). Exam tip: after blocking, do not forget remaining repetitions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (907200). Treat (MM) as one block; now there are (10) objects with (A) and (T) repeated twice, so the count is \(\frac{10!}{2!,2!}\). Exam tip: after blocking, do not forget remaining repetitions.
Step 3
Exam Tip
(MM) को एक खंड मानें; अब (10) वस्तुओं में (A) और (T) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या \(\frac{10!}{2!,2!}\) है। परीक्षा में खंड बनाने के बाद शेष पुनरावृत्ति न भूलें।
Subtract unfavorable cases where both special objects are selected, \(^{8}P_{2}\times{}^{4}P_{2}\), from total \(^{10}P_{4}\). Exam tip: at most one means not both.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (2688). Subtract unfavorable cases where both special objects are selected, \(^{8}P_{2}\times{}^{4}P_{2}\), from total \(^{10}P_{4}\). Exam tip: at most one means not both.
Step 3
Exam Tip
दोनों विशेष वस्तुओं के चुने जाने वाले \(^{8}P_{2}\times{}^{4}P_{2}\) प्रतिकूल मामलों को कुल \(^{10}P_{4}\) से घटाएं। परीक्षा में अधिकतम एक का अर्थ दोनों साथ नहीं है।
This is the derangement of (5) objects, so the number is (!5=44). Exam tip: identify derangement when no object goes to its own position.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (44). This is the derangement of (5) objects, so the number is (!5=44). Exam tip: identify derangement when no object goes to its own position.
Step 3
Exam Tip
यह (5) वस्तुओं का derangement है, जिसकी संख्या (!5=44) होती है। परीक्षा में किसी भी सही मिलान के न होने पर derangement पहचानें।
Total circular arrangements are ((6-1)!), and adjacent (A,B) arrangements are \(2!\times4!\). Exam tip: for not adjacent, subtract the adjacent case from total.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (72). Total circular arrangements are ((6-1)!), and adjacent (A,B) arrangements are \(2!\times4!\). Exam tip: for not adjacent, subtract the adjacent case from total.
Step 3
Exam Tip
कुल गोल व्यवस्थाएं ((6-1)!) हैं और (A,B) साथ होने पर \(2!\times4!\) व्यवस्थाएं हैं। परीक्षा में नहीं साथ के लिए कुल से साथ वाला मामला घटाएं।
Treat vowels (U,E) as one block; among (5) objects, (S) and (C) repeat twice, giving \(\frac{5!}{2!,2!}\times2!\). Exam tip: count the internal order of the vowel block separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (120). Treat vowels (U,E) as one block; among (5) objects, (S) and (C) repeat twice, giving \(\frac{5!}{2!,2!}\times2!\). Exam tip: count the internal order of the vowel block separately.
Step 3
Exam Tip
स्वर (U,E) को एक खंड मानें; (5) वस्तुओं में (S) दो और (C) दो हैं, इसलिए \(\frac{5!}{2!,2!}\times2!\) मिलता है। परीक्षा में स्वर-खंड के अंदरूनी क्रम को अलग गिनें।
The last place has (4) choices from (1,3,5,7), the first place then has (6) nonzero choices, followed by (6) and (5) choices. Exam tip: handle last digit and first digit restrictions first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (720). The last place has (4) choices from (1,3,5,7), the first place then has (6) nonzero choices, followed by (6) and (5) choices. Exam tip: handle last digit and first digit restrictions first.
Step 3
Exam Tip
अंतिम स्थान (1,3,5,7) में से (4) तरीकों से और पहला स्थान शून्य छोड़कर (6) तरीकों से भरेगा, फिर (6) और (5) तरीके मिलेंगे। परीक्षा में अंतिम अंक और प्रथम अंक की शर्त पहले संभालें।
For a necklace, both rotation and reflection are identical, so the count is (\frac{(9-1)!}{2}). Exam tip: remember the difference between circular arrangements and necklaces.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (20160). For a necklace, both rotation and reflection are identical, so the count is (\frac{(9-1)!}{2}). Exam tip: remember the difference between circular arrangements and necklaces.
Step 3
Exam Tip
माला में घूर्णन और पलटना दोनों समान होते हैं, इसलिए संख्या (\frac{(9-1)!}{2}) है। परीक्षा में circular और necklace में अंतर याद रखें।
Choose the (4) correct letters in \(\binom{6}{4}\) ways, and derange the remaining (2) letters in (!2=1) way. Exam tip: split exact conditions into fixed and deranged parts.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (15). Choose the (4) correct letters in \(\binom{6}{4}\) ways, and derange the remaining (2) letters in (!2=1) way. Exam tip: split exact conditions into fixed and deranged parts.
Step 3
Exam Tip
सही जाने वाले (4) पत्र \(\binom{6}{4}\) तरीकों से चुनें और बाकी (2) का derangement (!2=1) है। परीक्षा में ठीक वाली शर्त के लिए fixed और deranged भाग अलग करें।
Subtract the cases where all (5) vowels form one block, \(4!\times5!\), from total (8!). Exam tip: not all together means not in one single block.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (38880). Subtract the cases where all (5) vowels form one block, \(4!\times5!\), from total (8!). Exam tip: not all together means not in one single block.
Step 3
Exam Tip
कुल (8!) से सभी (5) स्वरों को एक खंड मानकर \(4!\times5!\) घटाएं। परीक्षा में not all together का अर्थ सभी एक ही खंड में नहीं है।
Arrange the boys in (7!) ways and place the (3) girls in \(^{8}P_{3}\) of the (8) gaps. Exam tip: permute separated objects into gaps.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (1693440). Arrange the boys in (7!) ways and place the (3) girls in \(^{8}P_{3}\) of the (8) gaps. Exam tip: permute separated objects into gaps.
Step 3
Exam Tip
पहले लड़कों को (7!) तरीकों से बैठाएं और (8) gaps में (3) लड़कियों को \(^{8}P_{3}\) तरीकों से रखें। परीक्षा में separated objects को gaps में permute करें।
Choose the other (4) people from (11) in \(\binom{11}{4}\) ways and arrange the (5) people in (5!) ways. Exam tip: include the compulsory object first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (55440). Choose the other (4) people from (11) in \(\binom{11}{4}\) ways and arrange the (5) people in (5!) ways. Exam tip: include the compulsory object first.
Step 3
Exam Tip
(A) के साथ बाकी (4) लोग \(\binom{11}{4}\) तरीकों से चुनें और (5!) तरीकों से व्यवस्थित करें। परीक्षा में compulsory object को पहले शामिल मानें।
There are (11) letters, with (B) and (I) repeated twice, so the count is \(\frac{11!}{2!,2!}\). Exam tip: divide by the factorial of each repeated letter.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (19958400). There are (11) letters, with (B) and (I) repeated twice, so the count is \(\frac{11!}{2!,2!}\). Exam tip: divide by the factorial of each repeated letter.
Step 3
Exam Tip
कुल (11) अक्षर हैं और (B,I) दो-दो बार आते हैं, इसलिए संख्या \(\frac{11!}{2!,2!}\) है। परीक्षा में हर repeated letter के factorial से अलग-अलग भाग दें।
Place the two special players in the (6) inner positions in \(^{6}P_{2}\) ways and arrange the remaining (6) players in (6!) ways. Exam tip: handle restricted positions first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (30240). Place the two special players in the (6) inner positions in \(^{6}P_{2}\) ways and arrange the remaining (6) players in (6!) ways. Exam tip: handle restricted positions first.
Step 3
Exam Tip
दो विशेष खिलाड़ियों को (6) भीतरी स्थानों में \(^{6}P_{2}\) तरीकों से और बाकी (6) खिलाड़ियों को (6!) तरीकों से रखें। परीक्षा में प्रतिबंधित स्थानों को पहले अलग करें।
Treat the (4) blue balls as one block, giving (6!) outside arrangements and (4!) internal arrangements. Exam tip: count internal orders for distinct objects inside a block.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (17280). Treat the (4) blue balls as one block, giving (6!) outside arrangements and (4!) internal arrangements. Exam tip: count internal orders for distinct objects inside a block.
Step 3
Exam Tip
(4) नीली गेंदों को एक खंड मानें, तब (6!) बाहरी व्यवस्थाएं और (4!) अंदरूनी व्यवस्थाएं मिलती हैं। परीक्षा में distinct objects वाले खंड के अंदर क्रम जरूर गिनें।
Group digits by residues modulo (3), count (5)-digit selections whose sum is divisible by (3), then arrange each selection in (5!) ways. Exam tip: use digit sum for divisibility by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (4560). Group digits by residues modulo (3), count (5)-digit selections whose sum is divisible by (3), then arrange each selection in (5!) ways. Exam tip: use digit sum for divisibility by (3).
Step 3
Exam Tip
अंकों को (3) शेष-वर्गों में बांटकर ऐसे (5)-अंकीय चयन गिनें जिनका योग (3) से विभाज्य हो, फिर प्रत्येक चयन को (5!) तरीकों से सजाएं। परीक्षा में divisibility by (3) के लिए digit sum प्रयोग करें।
Treat (ABC) as one block with fixed internal order, so the circular arrangement of (6) objects is ((6-1)!). Exam tip: if internal order is fixed, do not multiply by an internal factorial.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (720). Treat (ABC) as one block with fixed internal order, so the circular arrangement of (6) objects is ((6-1)!). Exam tip: if internal order is fixed, do not multiply by an internal factorial.
Step 3
Exam Tip
(ABC) को निश्चित अंदरूनी क्रम वाला एक खंड मानें, इसलिए कुल (6) वस्तुओं की गोल व्यवस्था ((6-1)!) है। परीक्षा में inside order fixed हो तो अंदर factorial न लगाएं।
There are (8) adjacent chair pairs and (2!) orders for the two special students, then the remaining (4) students occupy (7) chairs in \(^{7}P_{4}\) ways. Exam tip: with distinct chairs, account for empty chairs too.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (40320). There are (8) adjacent chair pairs and (2!) orders for the two special students, then the remaining (4) students occupy (7) chairs in \(^{7}P_{4}\) ways. Exam tip: with distinct chairs, account for empty chairs too.
Step 3
Exam Tip
दो विशेष छात्रों के लिए (8) adjacent chair-pairs और (2!) क्रम हैं, फिर बाकी (4) छात्र (7) बची कुर्सियों पर \(^{7}P_{4}\) तरीकों से बैठते हैं। परीक्षा में कुर्सियां distinct हों तो खाली कुर्सियों को भी ध्यान में रखें।
There are (12) letters; (N) and (E) occur four times each and (D) occurs twice, so the count is \(\frac{12!}{4!,4!,2!}\). Exam tip: correct repetition counts are crucial.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (6652800). There are (12) letters; (N) and (E) occur four times each and (D) occurs twice, so the count is \(\frac{12!}{4!,4!,2!}\). Exam tip: correct repetition counts are crucial.
Step 3
Exam Tip
कुल (12) अक्षर हैं; (N) और (E) चार-चार बार तथा (D) दो बार आते हैं, इसलिए संख्या \(\frac{12!}{4!,4!,2!}\) है। परीक्षा में repetition count सही लिखना सबसे जरूरी है।
Treat each couple as one block; the (4) blocks have ((4-1)!) circular arrangements and each block has (2!) internal orders. Exam tip: count the internal swap of every couple.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (384). Treat each couple as one block; the (4) blocks have ((4-1)!) circular arrangements and each block has (2!) internal orders. Exam tip: count the internal swap of every couple.
Step 3
Exam Tip
प्रत्येक जोड़े को एक खंड मानने पर (4) खंडों की गोल व्यवस्था ((4-1)!) और हर खंड के अंदर (2!) तरीके हैं। परीक्षा में हर couple के internal swap को अलग गिनें।
Choose the position of the special flag in (3) ways and fill the other (3) positions from (9) flags in \(^{9}P_{3}\) ways. Exam tip: count allowed positions of the compulsory object first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (1512). Choose the position of the special flag in (3) ways and fill the other (3) positions from (9) flags in \(^{9}P_{3}\) ways. Exam tip: count allowed positions of the compulsory object first.
Step 3
Exam Tip
विशेष झंडे की स्थिति (3) तरीकों से चुने और बाकी (3) स्थान (9) झंडों से \(^{9}P_{3}\) तरीकों से भरें। परीक्षा में अनिवार्य वस्तु की allowed positions पहले गिनें।
Use inclusion-exclusion on total (8!), subtracting cases with (T) first and (E) last: (8!-7!-7!+6!). Exam tip: add back the overlap in two forbidden conditions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (30960). Use inclusion-exclusion on total (8!), subtracting cases with (T) first and (E) last: (8!-7!-7!+6!). Exam tip: add back the overlap in two forbidden conditions.
Step 3
Exam Tip
कुल (8!) से (T) first और (E) last वाले मामलों को inclusion-exclusion से घटाएं, यानी (8!-7!-7!+6!)। परीक्षा में दो निषेध शर्तों में overlap जोड़ना न भूलें।
Arrange the (5) mathematics books in (5!) ways, then place the (4) physics books in \(^{6}P_{4}\) gaps. Exam tip: gaps are the safest method for no two together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (86400). Arrange the (5) mathematics books in (5!) ways, then place the (4) physics books in \(^{6}P_{4}\) gaps. Exam tip: gaps are the safest method for no two together.
Step 3
Exam Tip
पहले (5) गणित पुस्तकें (5!) तरीकों से रखें, फिर (6) gaps में (4) भौतिकी पुस्तकें \(^{6}P_{4}\) तरीकों से रखें। परीक्षा में no two together के लिए gaps सबसे सुरक्षित तरीका है।
First choose ordered seat pairs for (A,B) with distance at least (3); there are (42) such pairs, then seat the remaining (4) people in \(^{6}P_{4}\) ways. Exam tip: position-pair counting is useful for numbered seats.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (16800). First choose ordered seat pairs for (A,B) with distance at least (3); there are (42) such pairs, then seat the remaining (4) people in \(^{6}P_{4}\) ways. Exam tip: position-pair counting is useful for numbered seats.
Step 3
Exam Tip
पहले (A,B) के सीट-जोड़ों में दूरी कम से कम (3) रखें; ऐसे ordered pairs (42) हैं, फिर बाकी (4) लोग \(^{6}P_{4}\) तरीकों से बैठते हैं। परीक्षा में numbered seats में position-pair गिनना उपयोगी है।
Total arrangements are \(\frac{7!}{2!}\), and among the (4) relative orders of vowels only (1) order is allowed, so divide by (4!). Exam tip: divide by the factorial when relative order is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (210). Total arrangements are \(\frac{7!}{2!}\), and among the (4) relative orders of vowels only (1) order is allowed, so divide by (4!). Exam tip: divide by the factorial when relative order is fixed.
Step 3
Exam Tip
कुल व्यवस्थाएं \(\frac{7!}{2!}\) हैं और (4) स्वरों के सापेक्ष क्रमों में केवल (1) क्रम स्वीकार्य है, इसलिए (4!) से भाग दें। परीक्षा में relative order fixed हो तो संबंधित factorial से divide करें।
In total (7!) arrangements, the two relative orders of (A) and (B) are equally likely, so half are valid. Exam tip: use symmetry for relative order conditions like left of.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2520). In total (7!) arrangements, the two relative orders of (A) and (B) are equally likely, so half are valid. Exam tip: use symmetry for relative order conditions like left of.
Step 3
Exam Tip
कुल (7!) व्यवस्थाओं में (A) और (B) के दो सापेक्ष क्रम समान रूप से संभव हैं, इसलिए आधी व्यवस्थाएं मान्य हैं। परीक्षा में left of जैसी relative order शर्त के लिए symmetry प्रयोग करें।
There are (2) alternate patterns, and in each pattern Indians can be arranged in (5!) ways and foreigners in (5!) ways. Exam tip: equal groups in alternate arrangement give (2) patterns.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (28800). There are (2) alternate patterns, and in each pattern Indians can be arranged in (5!) ways and foreigners in (5!) ways. Exam tip: equal groups in alternate arrangement give (2) patterns.
Step 3
Exam Tip
दो alternate patterns संभव हैं और प्रत्येक में भारतीय (5!) तथा विदेशी (5!) तरीकों से बैठते हैं। परीक्षा में बराबर समूहों के alternate arrangement में (2) patterns होते हैं।
Choose the other (4) digits with (0) and (8) in \(\binom{7}{4}\) ways; for each selection subtract (5!) leading-zero cases from (6!). Exam tip: leading zero correction is mandatory.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (13440). Choose the other (4) digits with (0) and (8) in \(\binom{7}{4}\) ways; for each selection subtract (5!) leading-zero cases from (6!). Exam tip: leading zero correction is mandatory.
Step 3
Exam Tip
(0) और (8) के साथ बाकी (4) अंक \(\binom{7}{4}\) तरीकों से चुनें; प्रत्येक चयन में कुल (6!) से first zero वाले (5!) घटाएं। परीक्षा में leading zero का correction अनिवार्य है।
We assign (4) of the (6) rings to (4) distinct fingers with order, so \(^{6}P_{4}=360\). Exam tip: distinct fingers require permutations.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (360). We assign (4) of the (6) rings to (4) distinct fingers with order, so \(^{6}P_{4}=360\). Exam tip: distinct fingers require permutations.
Step 3
Exam Tip
(6) अंगूठियों में से (4) को (4) अलग-अलग उंगलियों पर क्रम सहित रखना है, इसलिए \(^{6}P_{4}=360\)। परीक्षा में distinct fingers होने पर permutation लगती है।
Fix (A); the opposite seat for (B) is fixed, and the remaining (8) people can be arranged in (8!) ways. Exam tip: fix one person to remove circular symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (80640). Fix (A); the opposite seat for (B) is fixed, and the remaining (8) people can be arranged in (8!) ways. Exam tip: fix one person to remove circular symmetry.
Step 3
Exam Tip
(A) को स्थिर करें, (B) की विपरीत सीट निश्चित है, और बाकी (8) लोग (8!) तरीकों से बैठते हैं। परीक्षा में circular symmetry हटाने के लिए एक व्यक्ति को स्थिर करें।
There are (11) letters; (I) occurs four times, (S) occurs four times, and (P) occurs twice, so the count is \(\frac{11!}{4!,4!,2!}\). Exam tip: recheck repeated-letter counts.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (34650). There are (11) letters; (I) occurs four times, (S) occurs four times, and (P) occurs twice, so the count is \(\frac{11!}{4!,4!,2!}\). Exam tip: recheck repeated-letter counts.
Step 3
Exam Tip
कुल (11) अक्षर हैं; (I) चार, (S) चार और (P) दो बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{4!,4!,2!}\) है। परीक्षा में समान अक्षरों की गिनती दोबारा जांचें।
Choose the (2) correctly assigned prizes in \(\binom{7}{2}\) ways and derange the remaining (5), giving (!5=44). Exam tip: use derangement for exactly correct cases.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (1854). Choose the (2) correctly assigned prizes in \(\binom{7}{2}\) ways and derange the remaining (5), giving (!5=44). Exam tip: use derangement for exactly correct cases.
Step 3
Exam Tip
सही जाने वाले (2) पुरस्कार \(\binom{7}{2}\) तरीकों से चुनें और बाकी (5) का derangement (!5=44) है। परीक्षा में exactly correct cases के लिए derangement का प्रयोग करें।
Choose the other (3) letters from (6), then subtract adjacent special-pair arrangements \(2!\times4!\) from total (5!). Exam tip: handle inclusion and adjacency restrictions separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (2160). Choose the other (3) letters from (6), then subtract adjacent special-pair arrangements \(2!\times4!\) from total (5!). Exam tip: handle inclusion and adjacency restrictions separately.
Step 3
Exam Tip
बाकी (3) अक्षर (6) में से चुनें, फिर (5!) कुल व्यवस्थाओं से special pair adjacent वाली \(2!\times4!\) व्यवस्थाएं घटाएं। परीक्षा में शामिल और adjacent restriction को अलग-अलग संभालें।
The thousands digit must be from (5,6,7,8,9), and the units digit must be even; case-wise counting gives (400). Exam tip: count overlapping digit choices case by case.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (400). The thousands digit must be from (5,6,7,8,9), and the units digit must be even; case-wise counting gives (400). Exam tip: count overlapping digit choices case by case.
Step 3
Exam Tip
हजारों का अंक (5,6,7,8,9) में से और इकाई अंक सम होना चाहिए; leading और ending cases अलग गिनने पर (400) मिलता है। परीक्षा में overlapping digit choices को case-wise गिनें।
Form an (AB) block among (8) objects, then subtract cases where (C) is adjacent to the block on either outside side; total is (2!\times\(8!-2\times7!\)). Exam tip: compound restrictions may need both block and subtraction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (10080). Form an (AB) block among (8) objects, then subtract cases where (C) is adjacent to the block on either outside side; total is (2!\times\(8!-2\times7!\)). Exam tip: compound restrictions may need both block and subtraction.
Step 3
Exam Tip
(AB) खंड बनाकर (8) वस्तुओं की व्यवस्थाएं लें, फिर (C) के खंड से adjacent होने वाले (2) बाहरी स्थानों को घटाएं; कुल (2!\times\(8!-2\times7!\)) है। परीक्षा में compound restriction में block और subtraction दोनों लग सकते हैं।
There are (4) position pairs at distance (2) and (2!) orders for questions (1) and (2), and the remaining (4) questions arrange in (4!) ways. Exam tip: exactly one between means position difference (2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (192). There are (4) position pairs at distance (2) and (2!) orders for questions (1) and (2), and the remaining (4) questions arrange in (4!) ways. Exam tip: exactly one between means position difference (2).
Step 3
Exam Tip
प्रश्न (1) और (2) के लिए दूरी (2) वाले (4) position-pairs और (2!) क्रम हैं, बाकी (4) प्रश्न (4!) तरीकों से लगेंगे। परीक्षा में exactly one between का अर्थ position difference (2) है।
Choose the end for (P) and (E) in (2) ways; the remaining (5) letters include (E) repeated twice, so there are \(\frac{5!}{2!}\) arrangements. Exam tip: divide for a repeated end-letter left inside.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (240). Choose the end for (P) and (E) in (2) ways; the remaining (5) letters include (E) repeated twice, so there are \(\frac{5!}{2!}\) arrangements. Exam tip: divide for a repeated end-letter left inside.
Step 3
Exam Tip
एक सिरा (P) के लिए और दूसरा (E) के लिए (2) तरीकों से चुने; बाकी (5) अक्षरों में (E) दो बार है, इसलिए \(\frac{5!}{2!}\) व्यवस्थाएं हैं। परीक्षा में repeated end-letter बच जाने पर उसका factorial divide करें।
Subtract adjacent-special-car cases \(9\times2!\times{}^{8}P_{6}\) from total \(^{10}P_{8}\). Exam tip: when parking spots are distinct, start from total arrangements.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (1451520). Subtract adjacent-special-car cases \(9\times2!\times{}^{8}P_{6}\) from total \(^{10}P_{8}\). Exam tip: when parking spots are distinct, start from total arrangements.
Step 3
Exam Tip
कुल \(^{10}P_{8}\) से special cars adjacent वाली \(9\times2!\times{}^{8}P_{6}\) व्यवस्थाएं घटाएं। परीक्षा में parking spots distinct हों तो पहले कुल arrangements लें।
First arrange the (5) white balls around a circle in ((5-1)!) ways, then place (3) black balls in \(^{5}P_{3}\) circular gaps. Exam tip: in circular gaps, arrange the base objects first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2880). First arrange the (5) white balls around a circle in ((5-1)!) ways, then place (3) black balls in \(^{5}P_{3}\) circular gaps. Exam tip: in circular gaps, arrange the base objects first.
Step 3
Exam Tip
पहले (5) सफेद गेंदों की गोल व्यवस्था ((5-1)!) है, फिर (5) gaps में (3) काली गेंदें \(^{5}P_{3}\) तरीकों से रखी जाती हैं। परीक्षा में circular gaps में सफेद वस्तुओं को पहले fix करें।
Among total (7!) arrangements, the (3!) relative orders of (A,B,C) are equally likely, so \(\frac{7!}{3!}\) are valid. Exam tip: divide by factorial for fixed relative order.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (840). Among total (7!) arrangements, the (3!) relative orders of (A,B,C) are equally likely, so \(\frac{7!}{3!}\) are valid. Exam tip: divide by factorial for fixed relative order.
Step 3
Exam Tip
कुल (7!) व्यवस्थाओं में (A,B,C) के (3!) सापेक्ष क्रम समान हैं, इसलिए \(\frac{7!}{3!}\) मान्य हैं। परीक्षा में fixed relative order के लिए factorial से divide करें।
Treat each couple as one block with fixed internal order, so only the (4!) blocks are arranged. Exam tip: do not multiply by (2!) when internal order is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (24). Treat each couple as one block with fixed internal order, so only the (4!) blocks are arranged. Exam tip: do not multiply by (2!) when internal order is fixed.
Step 3
Exam Tip
हर दंपति को निश्चित अंदरूनी क्रम वाला एक खंड मानें, इसलिए केवल (4!) खंडों को सजाना है। परीक्षा में internal order fixed हो तो (2!) न लगाएं।
Zero can occupy only the hundreds or tens place, giving (2) choices; the other (3) places are filled from (6) nonzero digits in \(^{6}P_{3}\) ways. Exam tip: decide the allowed positions of (0) first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (300). Zero can occupy only the hundreds or tens place, giving (2) choices; the other (3) places are filled from (6) nonzero digits in \(^{6}P_{3}\) ways. Exam tip: decide the allowed positions of (0) first.
Step 3
Exam Tip
(0) को केवल सैकड़ों या दहाइयों के स्थान पर रख सकते हैं, यानी (2) तरीके; फिर बाकी (3) स्थान (6) nonzero अंकों से \(^{6}P_{3}\) तरीकों से भरते हैं। परीक्षा में (0) की allowed positions पहले तय करें।
Treat (AB) and (CD) as two blocks; (6) objects can be arranged in (6!) ways and the blocks internally in \(2!\times2!\) ways. Exam tip: with multiple blocks, count each block's internal order.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2880). Treat (AB) and (CD) as two blocks; (6) objects can be arranged in (6!) ways and the blocks internally in \(2!\times2!\) ways. Exam tip: with multiple blocks, count each block's internal order.
Step 3
Exam Tip
(AB) और (CD) को दो खंड मानें; कुल (6) वस्तुएं (6!) तरीकों से और दोनों खंडों के अंदर \(2!\times2!\) तरीके हैं। परीक्षा में कई blocks हों तो हर block का internal order गिनें।
