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पहचान
(a+b)² = a² + 2ab + b²
का प्रयोग करें। यहाँ a = 2x और b = 3 हैं। अतः (2x+3)² = (2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9। विकल्प B में मध्य पद 2ab को गलत लिया गया है, जबकि वह 12x होना चाहिए। परीक्षा टिप: वर्ग के प्रसार में मध्य पद का चिह्न द्विपद के चिह्न के अनुसार होता है। / Use the identity
(a+b)² = a² + 2ab + b²
. Here, a = 2x and b = 3. Therefore, (2x+3)² = (2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9. In option B, the middle term 2ab has been calculated incorrectly; it should be 12x. Exam tip: In a squared binomial, the sign of the middle term follows the sign inside the binomial.
(x) का गुणांक (7-2=5) और स्थिर पद (7\cdot(-2)=-14) है। परीक्षा में चिन्हों का ध्यान रखें। / The coefficient of (x) is (7-2=5) and the constant term is (7\cdot(-2)=-14). Exam tip: watch the signs.
यह सर्वसमिका \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\) के रूप में है, जहाँ \(x=5a\) और \(y=2b\) हैं। अतः \((5a+2b)(5a-2b)=(5a)^2-(2b)^2=25a^2-4b^2\)। विकल्प A में वर्गों का योग लिया गया है, जबकि यहाँ विपरीत चिह्नों वाले द्विपदों का गुणनफल वर्गों का अंतर देता है। परीक्षा टिप: \((p+q)(p-q)\) दिखते ही मध्य पद के बिना \(p^2-q^2\) लिखें। / Use the identity \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\), where \(x=5a\) and \(y=2b\). Therefore, \((5a+2b)(5a-2b)=(5a)^2-(2b)^2=25a^2-4b^2\). Option A incorrectly uses the sum of squares; the product of two binomials with opposite signs gives a difference of squares. Exam tip: whenever you see \((p+q)(p-q)\), apply \(p^2-q^2\) directly.
(98=100-2) लिखने से गणना आसान होती है। परीक्षा में नजदीकी गोल संख्या चुनना उपयोगी है। / Writing (98=100-2) makes calculation easy. Exam tip: choose a nearby round number.
पहचान \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) का प्रयोग करें। यहाँ \(x^2+16x+64=x^2+2\times x\times 8+8^2\) है, इसलिए यह \((x+8)^2\) के बराबर है। \((x-8)^2\) लेने पर मध्य पद \(-16x\) होता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य पद को \(2ab\) और अंतिम पद को \(b^2\) से मिलाएँ। / Use the identity \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Here, \(x^2+16x+64=x^2+2\times x\times 8+8^2\), so it equals \((x+8)^2\). If it were \((x-8)^2\), the middle term would be \(-16x\), not \(+16x\). Exam tip: match the middle term with \(2ab\) and the last term with \(b^2\).
यहाँ \(103=100+3\) तथा \(97=100-3\) है। अतः गुणनफल \((100+3)(100-3)\) के रूप में है, जिस पर \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) लागू होती है। इसलिए \(103\times97=100^2-3^2=10000-9=9991\)। \((a-b)^2\) वाली सर्वसमिका एक ही द्विपद के वर्ग के लिए होती है, इसलिए यहाँ उपयुक्त नहीं है। परीक्षा टिप: दो संख्याएँ किसी समान संख्या से बराबर दूरी पर हों, तो अंतर के वर्गों वाली सर्वसमिका पहचानें। / Here, \(103=100+3\) and \(97=100-3\). Thus the product is of the form \((100+3)(100-3)\), so we use \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Hence, \(103\times97=100^2-3^2=10000-9=9991\). The identity \((a-b)^2\) is for the square of one binomial, so it does not fit here. Exam tip: when two numbers are equally spaced from the same number, look for the difference-of-squares identity.
तीन पदों के वर्ग में सभी वर्ग और दो-दो गुणनफल के दोगुने पद आते हैं। परीक्षा में (2ab+2bc+2ca) न भूलें। / The square of three terms includes all squares and twice each pair product. Exam tip: do not forget (2ab+2bc+2ca).
यहाँ \((2m+n-1)^2\) में \(mn\) वाला पद केवल \(2m\) और \(n\) के गुणन से बनता है। वर्ग के विस्तार में यह पद \(2\times(2m)\times n=4mn\) होगा। इसलिए सही उत्तर \(4mn\) है। \(-4mn\) नहीं आएगा, क्योंकि \(2m\) और \(n\) दोनों धनात्मक पद हैं। परीक्षा टिप: तीन पदों के वर्ग में किसी विशेष मिश्रित पद के लिए केवल उन दो संबंधित पदों का \(2ab\) निकालें। / In \((2m+n-1)^2\), the \(mn\)-term is formed only by multiplying \(2m\) and \(n\). In the expansion of a square, this cross-term is \(2\times(2m)\times n=4mn\). Therefore, the correct answer is \(4mn\). It cannot be \(-4mn\) because both \(2m\) and \(n\) are positive terms. Exam tip: for a particular mixed term in the square of three terms, use \(2ab\) only for the relevant pair.
स्थिर पद ((-3)\cdot8=-24) है। परीक्षा में स्थिर पद के लिए केवल संख्याओं को गुणा करें। / The constant term is ((-3)\cdot8=-24). Exam tip: multiply only the numbers for the constant term.
\((x+4)(x+9)=x^2+9x+4x+36=x^2+13x+36\)। इसलिए \(x\) का गुणांक \(13\) है। \(36\) स्थिर पद है, इसलिए वह \(x\) का गुणांक नहीं है। परीक्षा टिप: \((x+a)(x+b)\) में \(x\) का गुणांक हमेशा \(a+b\) होता है। / \((x+4)(x+9)=x^2+9x+4x+36=x^2+13x+36\). Therefore, the coefficient of \(x\) is \(13\). The number \(36\) is the constant term, not the coefficient of \(x\). Exam tip: In \((x+a)(x+b)\), the coefficient of \(x\) is always \(a+b\).
(x) का गुणांक (-6-5=-11) और स्थिर पद (30) है। परीक्षा में दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणन धनात्मक होता है। / The coefficient of (x) is (-6-5=-11) and the constant term is (30). Exam tip: product of two negative numbers is positive.
बीच का पद \(-2\cdot4p\cdot3q=-24pq\) है। परीक्षा में गुणांकों के वर्ग और चिन्ह दोनों देखें। / The middle term is \(-2\cdot4p\cdot3q=-24pq\). Exam tip: check both coefficient squares and sign.
(a-2-b-2=(a+b)(a-b)) से \(2000\cdot10=20000\) मिलता है। परीक्षा में सीधे योग और अंतर निकालें। / Using (a-2-b-2=(a+b)(a-b)), we get \(2000\cdot10=20000\). Exam tip: directly find sum and difference.
पहचान \((a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2\) का प्रयोग करें। यहाँ \(a=x\) और \(b=5\) हैं, इसलिए \((x+5)^2+(x-5)^2=2x^2+2(5)^2=2x^2+50\)। विकल्प D में केवल एक वर्ग का रूप मिलता है, जबकि दोनों वर्गों का योग लेना है। परीक्षा टिप: ऐसे व्यंजकों में विपरीत चिह्न वाले मध्य पद आपस में कट जाते हैं। / Use the identity \((a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2\). Here, \(a=x\) and \(b=5\), so \((x+5)^2+(x-5)^2=2x^2+2(5)^2=2x^2+50\). Option D represents only one square-type result, whereas the sum of both squares is required. Exam tip: in such expressions, the middle terms with opposite signs cancel out.
(49=50-1) लिखने से ( (a-b)2 ) का उपयोग आसान होता है। परीक्षा में नजदीकी गोल संख्या लें। / Writing (49=50-1) makes use of ( (a-b)2 ) easy. Exam tip: take a nearby round number.
यह ( (a+b)2-(a-b)2=4ab ) है जहाँ (a=2x) और (b=3y) है। इसलिए (24xy) मिलता है। / This is ( (a+b)2-(a-b)2=4ab ), where (a=2x) and (b=3y). So it gives (24xy).
(a-2-b-2=(a+b)(a-b)) से \(100\cdot46=4600\) है। परीक्षा में बड़े वर्ग अलग-अलग न निकालें। / Using (a-2-b-2=(a+b)(a-b)), \(100\cdot46=4600\). Exam tip: do not calculate both squares separately.
वितरण नियम से \((3x+2)(3x+5)=3x\cdot3x+3x\cdot5+2\cdot3x+2\cdot5\) होगा। अतः \(9x^2+15x+6x+10=9x^2+21x+10\)। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प D में \(2\cdot3x=6x\) वाला क्रॉस पद नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: पहले चारों गुणनफल लिखें, फिर समान पदों को जोड़ें। / Using the distributive property, \((3x+2)(3x+5)=3x\cdot3x+3x\cdot5+2\cdot3x+2\cdot5\). Thus, \(9x^2+15x+6x+10=9x^2+21x+10\), so option B is correct. Option D misses the cross term \(2\cdot3x=6x\). Exam tip: write all four products first, then combine like terms.
पहले (2) सामान्य लें तो (2\(x^2+6x+9\)) मिलेगा। अंदर का भाग ( (x+3)2 ) है। / First take common (2), giving (2\(x^2+6x+9\)). The inside part is ( (x+3)2 ).
(9a-2=(3a)2) और (25b-2=(5b)2) है। इसलिए अंतर के वर्गों का नियम लगेगा। / (9a-2=(3a)2) and (25b-2=(5b)2). Therefore the difference of squares rule applies.
तीन पदों के वर्ग में हर दो पदों का दोगुना गुणनफल आता है। (a) और (b) से (2ab) मिलता है। / In the square of three terms, twice the product of every pair appears. From (a) and (b), we get (2ab).
स्थिर पद \(1^2=1\) से आता है। परीक्षा में केवल बिना चर वाले पद को स्थिर पद मानें। / The constant term comes from \(1^2=1\). Exam tip: only the term without variables is the constant term.
B. बीच का पद (2ab) होना चाहिए/The middle term should be (2ab)
Explanation
Simple Explanation
मानक सर्वसमिका ( (a+b)2=a-2+2ab+b-2 ) है। परीक्षा में (10ab) जैसा अतिरिक्त गुणांक न लगाएँ। / The standard identity is ( (a+b)2=a-2+2ab+b-2 ). Exam tip: do not add an extra coefficient like (10ab).
सही पहचान \(p^2-q^2=(p+q)(p-q)\) है। विस्तार करने पर \((p+q)(p-q)=p^2-pq+pq-q^2=p^2-q^2\) मिलता है। विकल्प C में मध्य पद \(-2pq\) छूट गया है। परीक्षा टिप: वर्गों के अंतर में चिन्ह हमेशा \((+)(-)\) होते हैं। / The correct identity is \(p^2-q^2=(p+q)(p-q)\). Expanding gives \((p+q)(p-q)=p^2-pq+pq-q^2\), so the middle terms cancel. Option C misses the \(-2pq\) term. Exam tip: difference of squares factors into a sum and a difference.
( (u+v)2+(u-v)2=2u-2+2v-2 ) है। यहाँ (u=2a) और (v=b) रखने पर \(8a^2+2b^2\) मिलता है। / ( (u+v)2+(u-v)2=2u-2+2v-2 ). With (u=2a) and (v=b), the result is \(8a^2+2b^2\).
\(a^2-b^2\) दो वर्गों का अंतर है, इसलिए इसकी सर्वमान्य पहचान \((a+b)(a-b)\) होती है। जाँच के लिए गुणा करने पर मध्य पद कट जाते हैं और \(a^2-b^2\) मिलता है। परीक्षा में “अंतर” दिखे तो संयुग्म द्विपद पहचानें। / \(a^2-b^2\) is a difference of squares, so its standard factorisation is \((a+b)(a-b)\). On multiplying, the middle terms cancel and give \(a^2-b^2\). Exam tip: look for conjugate binomials when you see a difference of squares.
दो वर्गों के अंतर का सूत्र \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B और C पूर्ण वर्ग के सूत्र हैं। परीक्षा में ‘अंतर’ दिखे तो दोनों पदों के वर्ग होने की जाँच करें। / The difference of two squares identity is \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), so option A is correct. Options B and C are perfect-square identities. Exam tip: for a difference, first check that both terms are squares.
\((a-b)^2\) के विस्तार में दोनों पदों के चिह्न अलग होते हैं, इसलिए मध्य पद \(-2ab\) आता है। विकल्प B में मध्य पद \(+2ab\) है। परीक्षा में वर्ग के सूत्र में अंतिम पद हमेशा धनात्मक याद रखें। / In \((a-b)^2\), the terms have opposite signs, so the middle term is \(-2ab\). Option B has \(+2ab\) because both terms are added. Exam tip: the last term in either binomial-square identity is always positive.
पहचान \(p^2-q^2=(p+q)(p-q)\) दो वर्गों के अंतर का गुणनखंडन देती है। विकल्प D वास्तव में \((p-q)^2=p^2-2pq+q^2\) होगा। परीक्षा में गुणनखंडों के चिह्न विपरीत रखें। / The identity \(p^2-q^2=(p+q)(p-q)\) factorises the difference of two squares. Option D would expand to \((p-q)^2=p^2-2pq+q^2\), not \(p^2-q^2\). Exam tip: the two factors have opposite signs.
समान पदों के योग और अंतर का गुणन करने पर मध्य पद कट जाते हैं, इसलिए \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) होता है। विकल्प A योग का वर्ग है, गुणनफल नहीं। परीक्षा में विपरीत चिह्न पहचानें। / When the sum and difference of the same terms are multiplied, the middle terms cancel, giving \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Option A is the square of a sum, not a product. Exam tip: spot opposite signs first.
दो क्रॉस पद (ax) और (bx) मिलकर ((a+b)x) बनाते हैं। परीक्षा में स्थिर पद (ab) याद रखें। / The two cross terms (ax) and (bx) combine to form ((a+b)x). Exam tip: remember the constant term (ab).
व्यंजक का विस्तार करें: \((3a-2)(3a+8)=9a^2+24a-6a-16=9a^2+18a-16\)। अतः \(a\) का गुणांक \(18\) है। \(24\) केवल \(3a\times 8\) से प्राप्त होता है; \(-2\times 3a=-6a\) को जोड़ना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: रैखिक पदों को मिलाने से पहले सभी चार गुणनफल लिख लें। / Expand the expression: \((3a-2)(3a+8)=9a^2+24a-6a-16=9a^2+18a-16\). Therefore, the coefficient of \(a\) is \(18\). The value \(24\) comes only from \(3a\times 8\); the term \(-2\times 3a=-6a\) must also be included. Exam tip: write all four products before combining like terms.
तीन पदों के वर्ग से वर्ग पद हटाने पर (2ab+2bc+2ca) बचता है। परीक्षा में जोड़ीदार पद याद रखें। / After removing square terms from the three-term square, (2ab+2bc+2ca) remains. Exam tip: remember pairwise terms.
(x) और (-3z) से (2\cdot x\cdot(-3z)=-6xz) मिलता है। परीक्षा में चिन्ह ध्यान से लगाएँ। / From (x) and (-3z), (2\cdot x\cdot(-3z)=-6xz). Exam tip: apply the sign carefully.
(2p) और (-3q) का दोगुना गुणनफल (2\cdot2p\cdot(-3q)=-12pq) है। परीक्षा में जोड़े और चिन्ह दोनों देखें। / Twice the product of (2p) and (-3q) is (2\cdot2p\cdot(-3q)=-12pq). Exam tip: check both pair and sign.
\(121=11^2\) और (4y-2=(2y)2) है। अंतर के वर्गों से ( (11+2y)(11-2y) ) मिलेगा। / \(121=11^2\) and (4y-2=(2y)2). Difference of squares gives ( (11+2y)(11-2y) ).
पहचान \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) का उपयोग करने पर \((x+6)(x-6)=x^2-36\) मिलता है। इसलिए \((x+6)(x-6)+36=x^2-36+36=x^2\)। विकल्प A में केवल गुणनफल है; उसमें बाहर का \(+36\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: विपरीत चिह्नों वाले द्विपदों के गुणन में वर्गों के अंतर की पहचान तुरंत लगाएँ। / Using the identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\), \((x+6)(x-6)=x^2-36\). Therefore, \((x+6)(x-6)+36=x^2-36+36=x^2\). Option A is only the product and misses the outside \(+36\). Exam tip: When two binomials have opposite signs, look for the difference-of-squares identity first.
पहले दो गुणनखंडों का गुणन करें: \((x+1)(x+2)=x^2+2x+x+2=x^2+3x+2\)। इसलिए सही मध्य रूप \((x^2+3x+2)(x+3)\) है। विकल्प B में \(x\) के पदों का योग गलत है, जबकि D में स्थिर पद का चिह्न गलत है। परीक्षा टिप: दो द्विपदों का गुणन करते समय मध्य पदों को अलग-अलग जोड़कर जाँचें। / Multiply the first two factors: \((x+1)(x+2)=x^2+2x+x+2=x^2+3x+2\). Hence, the correct intermediate form is \((x^2+3x+2)(x+3)\). In option B, the linear terms have been combined incorrectly, while option D has the wrong sign for the constant term. Exam tip: while multiplying two binomials, add the middle terms separately before simplifying.
गुणन करने पर \((2x-3)(2x+9)=4x^2+18x-6x-27=4x^2+12x-27\) मिलता है। अतः \(x\) का गुणांक \(12\) है। \(18\) केवल \(2x\times9\) से प्राप्त एक पद है; इसमें \((-3)\times2x=-6x\) भी जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: रैखिक पदों को जोड़कर ही \(x\) का अंतिम गुणांक लिखें। / On expanding, \((2x-3)(2x+9)=4x^2+18x-6x-27=4x^2+12x-27\). Therefore, the coefficient of \(x\) is \(12\). The value \(18\) comes from only one cross-product, \(2x\times9\); the term \((-3)\times2x=-6x\) must also be included. Exam tip: Combine all linear terms before identifying the coefficient of \(x\).
क्रॉस पद (11x) और (-5x) हैं, इसलिए कुल (6x) मिलता है। परीक्षा में (x) के गुणांक के लिए संख्याओं का बीजगणितीय योग करें। / The cross terms are (11x) and (-5x), so the total is (6x). Exam tip: take the algebraic sum of numbers for the coefficient of (x).
