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कोष्ठक खोलने पर \(4(3x-2)=12x-8\) और \(-5(2x+7)=-10x-35\) मिलता है। अतः \(12x-8-10x-35=2x-43\)। इसलिए सही रेखीय बहुपद \(2x-43\) है। \(2x-27\) में स्थिर पदों \(-8\) और \(-35\) को गलत जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक गुणांक से कोष्ठक खोलते समय भीतर के प्रत्येक पद का चिन्ह बदलने पर विशेष ध्यान दें। / On opening the brackets, \(4(3x-2)=12x-8\) and \(-5(2x+7)=-10x-35\). Therefore, \(12x-8-10x-35=2x-43\). Hence, the required linear polynomial is \(2x-43\). Option \(2x-27\) results from incorrectly combining the constant terms \(-8\) and \(-35\). Exam tip: When a negative coefficient multiplies a bracket, apply it to every term and check the signs carefully.
\(7x-3\) में x की उच्चतम घात 1 है, इसलिए इसकी डिग्री 1 है और यह रेखीय बहुपद है। \(x^2+7\) द्विघात है, जबकि \(5/x\) और \(\sqrt{x}\) बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: रेखीय बहुपद में चर की घात केवल 0 या 1 होती है। / In \(7x-3\), the highest power of x is 1, so its degree is 1 and it is linear. \(x^2+7\) is quadratic, while \(5/x\) and \(\sqrt{x}\) are not polynomials. Exam tip: in a linear polynomial, variable powers can only be 0 or 1.
किसी बहुपद का शून्यक 4 होने का अर्थ है कि \(p(4)=0\)। अतः \(4(k+2)-20=0\), यानी \(4k+8=20\)। इसलिए \(4k=12\) और \(k=3\)। विकल्प 2 रखने पर \(p(4)=4(2+2)-20=-4\) मिलता है, इसलिए वह शून्यक नहीं है। परीक्षा टिप: शून्यक दिया हो तो बहुपद में \(x\) के स्थान पर उसका मान रखकर परिणाम 0 करें। / Since 4 is a zero of the polynomial, \(p(4)=0\). Thus, \(4(k+2)-20=0\), so \(4k+8=20\). Hence, \(4k=12\) and \(k=3\). If \(k=2\), then \(p(4)=4(2+2)-20=-4\), so it cannot be the required value. Exam tip: When a zero is given, substitute it for \(x\) and equate the polynomial to 0.
\(2p(x)-3q(x)=2(7x-3)-3(4x+5)\) होगा। विस्तार करने पर \(14x-6-12x-15=2x-21\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प \(2x-21\) है। \(2x+21\) तब मिल सकता है जब \(-3(4x+5)\) में ऋण चिह्न को दोनों पदों पर सही ढंग से वितरित न किया जाए। परीक्षा टिप: कोष्ठक के बाहर ऋणात्मक गुणांक हो तो हर पद का चिह्न ध्यान से बदलें। / \(2p(x)-3q(x)=2(7x-3)-3(4x+5)\). On expanding, \(14x-6-12x-15=2x-21\). Hence, \(2x-21\) is the correct answer. \(2x+21\) can result from failing to distribute the negative sign in \(-3(4x+5)\) to both terms. Exam tip: when a negative coefficient multiplies a bracket, check the sign of every term carefully.
यदि \(-2\), बहुपद \((3a-4)x+16\) का शून्यक है, तो \(x=-2\) रखने पर बहुपद का मान 0 होगा। अतः \((3a-4)(-2)+16=0\)। इससे \(-6a+8+16=0\), अर्थात \(-6a+24=0\), इसलिए \(a=4\)। \(a=2\) रखने पर बहुपद का मान \(12\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए हुए शून्यक को बहुपद में रखकर उसका मान सदैव 0 करें। / If \(-2\) is a zero of the polynomial \((3a-4)x+16\), its value must be 0 when \(x=-2\). Thus, \((3a-4)(-2)+16=0\). This gives \(-6a+8+16=0\), or \(-6a+24=0\), so \(a=4\). For example, if \(a=2\), the polynomial evaluates to \(12\), not 0. Exam tip: Substitute the given zero into the polynomial and set the result equal to 0.
चूँकि 6 बहुपद का शून्यक है, इसलिए \(p(6)=0\)। अतः \(6a+b=0\)। \(a=-3\) रखने पर \(6(-3)+b=0\), यानी \(b=18\)। \(-18\) का चिह्न बदलने पर मिलने वाली सामान्य गलती है। परीक्षा में शून्यक दिए होने पर उसका मान बहुपद में रखकर परिणाम को 0 के बराबर करें। / Since 6 is a zero of the polynomial, \(p(6)=0\). Therefore, \(6a+b=0\). Substituting \(a=-3\) gives \(6(-3)+b=0\), so \(b=18\). \(-18\) is a common distractor caused by missing the sign change. In exams, substitute the given zero in the polynomial and set the result equal to 0.
C. हर \(c\) के लिए शर्त सही है/The condition is true for every \(c\)
Explanation
Simple Explanation
\(p(5)=9\times5+c=45+c\) और \(p(1)=9\times1+c=9+c\)। अतः \(p(1)+36=9+c+36=45+c=p(5)\)। दोनों पक्षों में \(c\) समान रूप से होने के कारण उसका मान कट जाता है, इसलिए शर्त हर \(c\) के लिए सत्य है। \(c=0\) या \(c=36\) केवल विशेष मान हैं, आवश्यक नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दिए गए दोनों इनपुट मानों को बहुपद में रखकर स्थिर पद के रद्द होने की जाँच करें। / \(p(5)=9\times5+c=45+c\), while \(p(1)=9\times1+c=9+c\). Hence, \(p(1)+36=9+c+36=45+c=p(5)\). Since \(c\) occurs equally on both sides, its value cancels out; therefore, the condition holds for every \(c\). Values such as \(c=0\) and \(c=36\) are only particular cases, not requirements. Exam tip: substitute the given input values and check whether the constant term cancels.
(11x+8=0) से \(x=-\frac{8}{11}\) मिलता है। भिन्न शून्यक में चिन्ह और हर ध्यान रखें। / From (11x+8=0), we get \(x=-\frac{8}{11}\). Pay attention to the sign and denominator in fractional zeros.
\(\frac{7}{10}x-14=0\) से \(\frac{7}{10}x=14\) और (x=20) मिलता है। भिन्न गुणांक में उलटा गुणा करें। / From \(\frac{7}{10}x-14=0\), \(\frac{7}{10}x=14\) and (x=20). With a fractional coefficient, multiply by the reciprocal.
A. शून्य गुणांक वाला पद बहुपद की डिग्री निर्धारित नहीं करता; यह रैखिक बहुपद है/A term with zero coefficient does not determine the degree; this is a linear polynomial
Explanation
Simple Explanation
\(0x^2=0\) होने से यह पद बहुपद में कोई योगदान नहीं देता। बहुपद \(7-3x\) बनता है, जिसकी उच्चतम घात 1 है; इसलिए यह रैखिक है। परीक्षा टिप: शून्य गुणांक वाले पद को पहले हटाएँ। / Since \(0x^2=0\), that term contributes nothing to the polynomial. The expression becomes \(7-3x\), whose highest power is 1, so it is linear. Exam tip: first remove all terms with zero coefficients before finding degree.
दिया है \(p(x)=8x-15\)। \(p(x-2)\) ज्ञात करने के लिए \(p(x)\) में \(x\) के स्थान पर पूरा \((x-2)\) रखेंगे: \(p(x-2)=8(x-2)-15=8x-16-15=8x-31\)। इसलिए सही विकल्प \(8x-31\) है। \(8x-17\) तब मिलता यदि \(-15\) को जोड़ने में गलती की जाती। परीक्षा टिप: फलन में प्रतिस्थापन करते समय बदले जाने वाले पद को हमेशा कोष्ठक में लिखें। / Given \(p(x)=8x-15\), replace every \(x\) in the expression by the complete quantity \((x-2)\): \(p(x-2)=8(x-2)-15=8x-16-15=8x-31\). Hence, \(8x-31\) is correct. \(8x-17\) results from an incorrect simplification of the constant terms. Exam tip: always use brackets when substituting an expression into a function.
यहाँ p में x के स्थान पर पूरा \(3x\) रखना है। अतः \(p(3x)=17-6(3x)=17-18x\)। विकल्प B में स्थिर पद 17 को गलत तरीके से 3 से गुणा किया गया है, जबकि केवल x के स्थान पर \(3x\) प्रतिस्थापित होता है। परीक्षा टिप: \(p(kx)\) में हर x को \(kx\) से बदलें, स्थिर पद को नहीं। / Replace x in p with the complete expression \(3x\). Thus, \(p(3x)=17-6(3x)=17-18x\). In option B, the constant term 17 is incorrectly multiplied by 3; only x is replaced by \(3x\). Exam tip: In \(p(kx)\), replace every x by \(kx\), not the constant term.
A. यह बहुपद नहीं है, क्योंकि \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है।/It is not a polynomial because \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\) has a negative exponent of \(x\).
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{2}{x}=2x^{-1}\) लिखने पर \(x\) की घात \(-1\) मिलती है। बहुपद में चर की घात केवल 0, 1, 2, … हो सकती है, इसलिए यह रैखिक बहुपद नहीं है। परीक्षा में पहले ऋणात्मक घात जाँचें। / Writing \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\) gives an exponent of \(-1\). In a polynomial, variable exponents must be 0, 1, 2, …, so this is not linear. Exam tip: check for variables in denominators first.
शर्त \(p(6)=p(-2)\) से \(6k+11=-2k+11\) मिलता है। अतः \(8k=0\), इसलिए \(k=0\)। तब \(p(x)=11\) एक अचर बहुपद है, जिसकी घात 0 है; इसलिए यह रेखीय बहुपद नहीं है। विकल्प A में \(k=0\) शर्त को तो संतुष्ट करता है, पर बहुपद को रेखीय नहीं रखता। परीक्षा टिप: \(ax+b\) रेखीय तभी होता है जब \(a\ne0\)। / From the condition \(p(6)=p(-2)\), we get \(6k+11=-2k+11\). Hence, \(8k=0\), so \(k=0\). Then \(p(x)=11\), which is a constant polynomial of degree 0, not a linear polynomial. Option A satisfies the given equality, but it does not keep the polynomial linear. Exam tip: \(ax+b\) is linear only when \(a\ne0\).
पहले व्यंजक को सरल करें: \(q(x)-2p(x)=(13x-1)-2(6x+4)=13x-1-12x-8=x-9\)। \(x-9\) में \(x\) की सर्वाधिक घात 1 है, इसलिए इसकी डिग्री 1 है। डिग्री 0 केवल किसी गैर-शून्य अचर बहुपद की होती है; यहाँ \(x\) पद समाप्त नहीं हुआ है। परीक्षा टिप: बहुपदों के योग या अंतर की डिग्री ज्ञात करने से पहले समान घात वाले पदों को सरल अवश्य करें। / First simplify the expression: \(q(x)-2p(x)=(13x-1)-2(6x+4)=13x-1-12x-8=x-9\). The highest power of \(x\) in \(x-9\) is 1, so its degree is 1. Degree 0 would apply only to a non-zero constant polynomial; here the \(x\)-term does not cancel. Exam tip: simplify like terms before finding the degree of a sum or difference of polynomials.
रेखीय बहुपद \(9x-23\) का शून्यक ज्ञात करने के लिए \(9x-23=0\) रखें। इससे \(9x=23\), अतः \(x=\frac{23}{9}\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प \(9x-23\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(23x-9\) का शून्यक \(\frac{9}{23}\) होता है, जो दिया गया मान नहीं है। परीक्षा टिप: \(ax+b\) का शून्यक \(-\frac{b}{a}\) होता है। / To find the zero of the linear polynomial \(9x-23\), set it equal to zero: \(9x-23=0\). Thus, \(9x=23\), so \(x=\frac{23}{9}\). Therefore, \(9x-23\) is the correct option. The close distractor \(23x-9\) has zero \(\frac{9}{23}\), not the given value. Exam tip: the zero of \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\).
दिया है \(p(x)=10x-21\)। अतः \(p(x+1)=10(x+1)-21=10x-11\)। इसलिए \(p(x+1)-p(x)=(10x-11)-(10x-21)=10\)। विकल्प \(10x\) गलत है, क्योंकि घटाने पर \(x\) वाले पद कट जाते हैं। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद \(ax+b\) के लिए \(p(x+1)-p(x)=a\) होता है। / Given \(p(x)=10x-21\), we get \(p(x+1)=10(x+1)-21=10x-11\). Hence, \(p(x+1)-p(x)=(10x-11)-(10x-21)=10\). The option \(10x\) is incorrect because the terms containing \(x\) cancel on subtraction. Exam tip: for a linear polynomial \(ax+b\), \(p(x+1)-p(x)=a\).
शून्यक \(-\frac{18}{\lambda}\) है। \(-\frac{18}{\lambda}>-6\) और \(\lambda>0\) से \(\lambda>3\) मिलता है। / The zero is \(-\frac{18}{\lambda}\). From \(-\frac{18}{\lambda}>-6\) and \(\lambda>0\), we get \(\lambda>3\).
एक छात्र प्रतिदिन ₹75 चुकाता है और उसका शेष उधार दिनों की संख्या n के लिए \(D(n)=600-75n\) से दिया है। इस रैखिक बहुपद का शून्यक किस स्थिति को दर्शाता है?
B. 8 दिनों बाद उधार पूरी तरह समाप्त हो जाएगा/The debt will be completely cleared after 8 days.
Explanation
Simple Explanation
शून्यक के लिए \(D(n)=0\) रखें: \(600-75n=0\), अतः \(n=8\)। इसलिए 8 दिनों में उधार शून्य होगा। विकल्प A में उधार आधा होता है, शून्य नहीं। परीक्षा में शून्यक के लिए बहुपद का मान 0 रखें। / For the zero, set \(D(n)=0\): \(600-75n=0\), so \(n=8\). Thus, the debt is cleared after 8 days. Option A describes half the debt, not zero. Exam tip: substitute 0 for the polynomial value to find its zero.
\(p(x)+q(x)=(x+4r)+(x-7r)\) है। समान पदों को जोड़ने पर \(x+x=2x\) तथा \(4r-7r=-3r\) मिलता है। इसलिए योग \(2x-3r\) है। \(2x+11r\) में \(4r\) और \(-7r\) के चिन्हों को गलत तरीके से जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ते समय समान चर और घात वाले पदों के गुणांकों को उनके चिन्ह सहित जोड़ें। / \(p(x)+q(x)=(x+4r)+(x-7r)\). Combining like terms gives \(x+x=2x\) and \(4r-7r=-3r\). Therefore, the sum is \(2x-3r\). In \(2x+11r\), the signs of \(4r\) and \(-7r\) have been combined incorrectly. Exam tip: while adding polynomials, add coefficients of like terms along with their signs.
घटाने पर
\(p(x)-q(x)=(x+4r)-(x-7r)=x+4r-x+7r=11r\)। यहाँ \(x\) का कोई पद नहीं बचता, इसलिए \(x\) के सापेक्ष यह नियतांक बहुपद है। शून्य बहुपद केवल तब होता है जब नियतांक 0 हो; यहाँ सामान्यतः \(11r\) है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार ज्ञात करने के लिए सरल करने के बाद चर की सबसे बड़ी घात देखें। / On subtracting,
\(p(x)-q(x)=(x+4r)-(x-7r)=x+4r-x+7r=11r\). No term involving \(x\) remains, so it is a constant polynomial in \(x\). A zero polynomial would arise only if the constant itself were 0; the simplified expression is generally \(11r\). Exam tip: simplify first, then identify the highest power of the variable.
पहले अंदर वाले फलन का मान निकालें: \(p(3)=8\times3-23=24-23=1\)। अब इस मान को फिर से \(p\) में रखने पर \(p(p(3))=p(1)=8\times1-23=-15\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प -15 है। विकल्प 1 केवल \(p(3)\) का मान है, \(p(p(3))\) का नहीं। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में हमेशा सबसे अंदर दिए गए मान से गणना शुरू करें। / First evaluate the inner function: \(p(3)=8\times3-23=24-23=1\). Substituting this result into \(p\) again gives \(p(p(3))=p(1)=8\times1-23=-15\). Therefore, -15 is the correct option. Option 1 is only the value of \(p(3)\), not of \(p(p(3))\). Exam tip: In a composite function, always evaluate the innermost expression first.
पहले आंतरिक फलन का मान निकालें: \(p(0)=5\times0+4=4\)। अब \(p(4)=5\times4+4=24\)। अतः \(p(p(0))=24\)। विकल्प 20 केवल \(5\times4\) है; उसमें स्थिर पद 4 जोड़ना भूल गया है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में हमेशा कोष्ठक के सबसे अंदर वाले फलन का मान पहले ज्ञात करें। / First evaluate the inner function: \(p(0)=5\times0+4=4\). Then \(p(4)=5\times4+4=24\). Therefore, \(p(p(0))=24\). The value 20 comes from only \(5\times4\), missing the constant term 4. Exam tip: In composition questions, always evaluate the innermost function first.
यदि 1 बहुपद का शून्यक है, तो \(x=1\) रखने पर बहुपद का मान 0 होना चाहिए। अतः \((n-5)(1)+3n+2=0\), अर्थात् \(4n-3=0\)। इसलिए \(n=\frac{3}{4}\)। उदाहरण के लिए, \(n=1\) रखने पर मान \(-3\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए शून्यक को बहुपद में रखकर उसका मान 0 के बराबर करें। / If 1 is a zero of the polynomial, its value must be 0 when \(x=1\). Thus, \((n-5)(1)+3n+2=0\), which gives \(4n-3=0\). Therefore, \(n=\frac{3}{4}\). For instance, putting \(n=1\) gives the value \(-3\), so it is not correct. Exam tip: Substitute the given zero in the polynomial and equate the result to 0.
दिया है \(p(x)=\frac{x}{7}+a\)। \(x=21\) रखने पर \(p(21)=\frac{21}{7}+a=3+a\) होगा। क्योंकि \(p(21)=16\), इसलिए \(3+a=16\), अतः \(a=13\)। विकल्प 16, \(p(21)\) का दिया हुआ मान है, \(a\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का दिया हुआ मान निकालते समय पहले संबंधित \(x\)-मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। / Given \(p(x)=\frac{x}{7}+a\). Substituting \(x=21\) gives \(p(21)=\frac{21}{7}+a=3+a\). Since \(p(21)=16\), we have \(3+a=16\), so \(a=13\). Option 16 is the given value of \(p(21)\), not the value of \(a\). Exam tip: when a polynomial value is given, substitute the stated value of \(x\) first.
पहले दोनों बहुपदों को जोड़ें: \(p(x)+q(x)=6x+a+3x-10=9x+a-10\)। शून्यक \(2\) होने का अर्थ है कि \(x=2\) रखने पर बहुपद का मान शून्य होगा। अतः \(9(2)+a-10=0\), यानी \(18+a-10=0\), जिससे \(a=-8\) मिलता है। \(-6\) लेने पर \(x=2\) पर मान \(2\) आता है, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: शून्यक दिए होने पर उस मान को बहुपद में रखकर उसे \(0\) के बराबर करें। / First add the polynomials: \(p(x)+q(x)=6x+a+3x-10=9x+a-10\). Since 2 is a zero, the value of this polynomial at \(x=2\) must be zero. Thus, \(9(2)+a-10=0\), or \(18+a-10=0\), which gives \(a=-8\). If \(a=-6\), the value at \(x=2\) is 2, not zero. Exam tip: when a zero is given, substitute it into the polynomial and equate the result to \(0\).
यदि \(-3\), बहुपद \(p(x)=(c-5)x+6c\) का शून्यक है, तो \(p(-3)=0\) होगा। अतः \(-3(c-5)+6c=0\), जिससे \(-3c+15+6c=0\) और \(3c+15=0\) मिलता है। इसलिए \(c=-5\) है। \(c=5\) रखने पर बहुपद \(30\) बनता है, जिसका कोई शून्यक नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी दिए गए शून्यक \(a\) के लिए हमेशा \(p(a)=0\) रखें। / If \(-3\) is a zero of \(p(x)=(c-5)x+6c\), then \(p(-3)=0\). Thus, \(-3(c-5)+6c=0\), which gives \(-3c+15+6c=0\), or \(3c+15=0\). Hence, \(c=-5\). For \(c=5\), the polynomial becomes \(30\), which has no zero. Exam tip: to find a parameter from a given zero \(a\), use \(p(a)=0\).
यदि \(-4\), \(p(x)\) का शून्यक है, तो \(p(-4)=0\) होना चाहिए। अतः \((c-2)(-4)+4c=0\) होगा। इसे सरल करने पर \(-4c+8+4c=0\), अर्थात \(8=0\) मिलता है, जो असंभव है। इसलिए \(c\) का कोई भी मान \(-4\) को इस बहुपद का शून्यक नहीं बना सकता। परीक्षा टिप: किसी दिए गए शून्यक \(a\) के लिए हमेशा \(p(a)=0\) रखकर जाँच करें। / If \(-4\) is a zero of \(p(x)\), then \(p(-4)=0\). Thus, \((c-2)(-4)+4c=0\). On simplifying, \(-4c+8+4c=0\), which gives \(8=0\), an impossibility. Hence, no value of \(c\) can make \(-4\) a zero of this polynomial. Exam tip: To test a given zero \(a\), always substitute it and use \(p(a)=0\).
दिया है कि \(p(x)=rx-9\) तथा \(p(5)=21\)। अतः \(5r-9=21\), इसलिए \(5r=30\) और \(r=6\)। अब \(p(-1)=6(-1)-9=-6-9=-15\)। इसलिए सही विकल्प B है। \(-18\) तब मिलता यदि \(-1\) के स्थान पर गुणन या स्थिर पद का चिह्न गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: पहले दी गई फलन-मान वाली शर्त से अज्ञात गुणांक ज्ञात करें, फिर मांगा गया मान रखें। / Given \(p(x)=rx-9\) and \(p(5)=21\), we get \(5r-9=21\). Hence \(5r=30\) and \(r=6\). Now \(p(-1)=6(-1)-9=-6-9=-15\). Therefore, option B is correct. The value \(-18\) can result from an incorrect sign operation with the constant term. Exam tip: first use the given value of the polynomial to find the unknown coefficient, then substitute the required value of \(x\).
दिया है: \(p(x)=ax+12\)। अतः \(p(3)=3a+12\) और \(p(7)=7a+12\)। शर्त \(p(3)=p(7)-20\) रखने पर \(3a+12=7a+12-20\), अर्थात \(3a+12=7a-8\)। इसलिए \(4a=20\), जिससे \(a=5\) प्राप्त होता है। \(4\) लेने पर समीकरण संतुष्ट नहीं होता। परीक्षा टिप: बहुपद के दिए गए मानों को पहले अलग-अलग लिखकर फिर शर्त में प्रतिस्थापित करें। / Given \(p(x)=ax+12\), we have \(p(3)=3a+12\) and \(p(7)=7a+12\). Using \(p(3)=p(7)-20\), \(3a+12=7a+12-20=7a-8\). Thus, \(4a=20\), so \(a=5\). Taking \(a=4\) does not satisfy the given condition. Exam tip: Write the polynomial values separately before substituting them into the condition.
दिया है p(x)=6x-25, इसलिए p(a)=6a-25 होगा। शर्त p(a)=a लगाने पर 6a-25=a मिलता है। अतः 5a=25 और a=5। विकल्प 6 रखने पर p(6)=11 आता है, जो 6 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: p(a) ज्ञात करने के लिए p(x) में x के स्थान पर a रखकर दी गई शर्त का समीकरण बनाइए। / Given p(x)=6x-25, we have p(a)=6a-25. Using the condition p(a)=a gives 6a-25=a. Hence, 5a=25 and a=5. For example, if a=6, then p(6)=11, not 6. Exam tip: To find p(a), replace x by a first and then use the given condition to form an equation.
दिया है कि \(p(x)=mx+n\)। \(x=0\) रखने पर \(p(0)=n=-6\) मिलता है। अब \(p(4)=18\) से \(4m+n=18\), अर्थात \(4m-6=18\)। इसलिए \(4m=24\) और \(m=6\)। अतः \(m+n=6+(-6)=0\)। विकल्प 6 केवल \(m\) का मान है, \(m+n\) का नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद में \(p(0)\) सीधे स्थिर पद \(n\) देता है। / Given \(p(x)=mx+n\). Substituting \(x=0\), we get \(p(0)=n=-6\). Also, \(p(4)=18\) gives \(4m+n=18\), so \(4m-6=18\). Hence \(4m=24\) and \(m=6\). Therefore, \(m+n=6+(-6)=0\). Option 6 is only the value of \(m\), not of \(m+n\). Exam tip: for a linear polynomial, \(p(0)\) directly gives the constant term \(n\).
दिया है कि \(p(x)=mx+n\)। अतः \(p(-3)=-3m+n=2\) और \(p(1)=m+n=18\)। दूसरी समीकरण में से पहली समीकरण घटाने पर \(4m=16\) मिलता है, इसलिए \(m=4\)। \(16\) मानों का अंतर है, \(m\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद के दो दिए गए मानों को घटाने पर स्थिर पद \(n\) समाप्त हो जाता है। / Given \(p(x)=mx+n\), we have \(p(-3)=-3m+n=2\) and \(p(1)=m+n=18\). Subtracting the first equation from the second gives \(4m=16\), so \(m=4\). The number \(16\) is the difference between the two function values, not the value of \(m\). Exam tip: subtract two equations for a linear polynomial to eliminate the constant term \(n\).
\(p(x)=x-7\) में \(x=7\) रखने पर \(p(7)=7-7=0\) मिलता है। इसकी घात 1 है, इसलिए यह रेखीय बहुपद है। \(x^2-49\) में \(p(7)=0\) तो मिलता है, लेकिन उसकी घात 2 होने से वह द्विघात बहुपद है, रेखीय नहीं। परीक्षा टिप: रेखीय बहुपद की घात हमेशा 1 होती है। / For \(p(x)=x-7\), substituting \(x=7\) gives \(p(7)=7-7=0\). Its degree is 1, so it is a linear polynomial. Although \(x^2-49\) also gives \(p(7)=0\), it has degree 2 and is therefore quadratic, not linear. Exam tip: a linear polynomial always has degree 1.
दिया है \(p(x)=7x-13\)। \(x\) के स्थान पर \(-x\) रखने पर \(p(-x)=7(-x)-13=-7x-13\) मिलता है। अतः \(p(x)+p(-x)=(7x-13)+(-7x-13)=-26\)। \(0\) विकल्प सही नहीं है, क्योंकि स्थिर पद \(-13\) दोनों व्यंजकों में जुड़कर \(-26\) बनता है। परीक्षा टिप: \(p(-x)\) ज्ञात करते समय \(x\) वाले प्रत्येक पद में \(-x\) रखें, केवल स्थिर पद का चिह्न नहीं बदलता। / Given \(p(x)=7x-13\). Replacing \(x\) with \(-x\) gives \(p(-x)=7(-x)-13=-7x-13\). Therefore, \(p(x)+p(-x)=(7x-13)+(-7x-13)=-26\). Option \(0\) is not correct because the constant term \(-13\) occurs in both expressions and adds to \(-26\). Exam tip: while finding \(p(-x)\), substitute \(-x\) for every occurrence of \(x\); the constant term does not change sign.
दिया है \(p(x)=7x-13\)। \(x\) के स्थान पर \(-x\) रखने पर \(p(-x)=7(-x)-13=-7x-13\) मिलता है। अतः \(p(x)-p(-x)=(7x-13)-(-7x-13)=7x-13+7x+13=14x\)। इसलिए सही उत्तर \(14x\) है। \(0\) तब मिलता जब बहुपद सम होता, लेकिन यहाँ \(7x\) वाला पद विषम है। परीक्षा टिप: \(p(-x)\) निकालते समय \(x\) वाले प्रत्येक पद में \(x\) को \(-x\) से बदलें। / Given \(p(x)=7x-13\). Replacing \(x\) by \(-x\), we get \(p(-x)=7(-x)-13=-7x-13\). Therefore, \(p(x)-p(-x)=(7x-13)-(-7x-13)=7x-13+7x+13=14x\). Hence, \(14x\) is correct. \(0\) would result for an even polynomial, but the term \(7x\) is odd. Exam tip: while finding \(p(-x)\), replace \(x\) by \(-x\) in every term containing \(x\).
शून्यक (0) होने के लिए नियतांक पद (5s=0) होना चाहिए। (s=0) पर (x) का गुणांक (-8) है इसलिए बहुपद रेखीय है। / For the zero to be (0), the constant term (5s=0). At (s=0), the coefficient of (x) is (-8), so the polynomial is linear.
दिया है कि \(p(x)+q(x)=(6x+a)+(8x-a)=14x\)। यहाँ \(a\) के पद कट जाते हैं, इसलिए योग बहुपद \(a\) के किसी भी मान पर नहीं बदलता। \(14x\) का शून्यक \(x=0\) है, क्योंकि \(14x=0\) से \(x=0\) मिलता है। अतः इसका शून्यक \(-1\) बनाने के लिए \(a\) का कोई मान नहीं है। परीक्षा टिप: पहले बहुपदों को जोड़कर समान पदों को सरल करें; कई बार अज्ञात पद आपस में कट जाते हैं। / We have \(p(x)+q(x)=(6x+a)+(8x-a)=14x\). The terms containing \(a\) cancel, so the sum polynomial does not depend on any value of \(a\). Its zero is \(x=0\), since \(14x=0\) gives \(x=0\). Therefore, no value of \(a\) can make \(-1\) a zero. Exam tip: simplify the sum first; variable terms may cancel before you solve for a zero.
\(q(x)-p(x)=(8x-a)-(6x+a)\) । दूसरे कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न होने पर उसके भीतर के दोनों पदों के चिह्न बदलते हैं: \(8x-a-6x-a=2x-2a\)। इसलिए सही उत्तर \(2x-2a\) है। विकल्प \(2x\) में \(-a-a=-2a\) को छोड़ दिया गया है। परीक्षा टिप: बहुपदों का घटाव करते समय दूसरे बहुपद को हमेशा कोष्ठक में रखकर चिह्न बदलें। / \(q(x)-p(x)=(8x-a)-(6x+a)\). Since there is a minus sign before the second bracket, the signs of both its terms change: \(8x-a-6x-a=2x-2a\). Hence, the correct answer is \(2x-2a\). The option \(2x\) incorrectly omits \(-a-a=-2a\). Exam tip: While subtracting polynomials, keep the second polynomial in brackets and change all its signs.
((5x-2)(x+7)) में उच्चतम पद \(5x^2\) है। इसलिए गुणनफल की डिग्री (2) है और यह रेखीय नहीं है। / In ((5x-2)(x+7)), the highest term is \(5x^2\). So the product has degree (2) and is not linear.
पहले \(p(0)=a\cdot0+6=6\) होगा। इसलिए \(p(p(0))=p(6)=6a+6\)। दिया है कि \(6a+6=48\), अतः \(6a=42\) और \(a=7\)। विकल्प 8 लेने पर \(p(6)=54\) मिलता है, जो 48 नहीं है। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन \(p(p(0))\) में पहले भीतर वाले फलन \(p(0)\) का मान निकालें। / First, \(p(0)=a\cdot0+6=6\). Hence, \(p(p(0))=p(6)=6a+6\). Given \(6a+6=48\), we get \(6a=42\) and therefore \(a=7\). If \(a=8\), then \(p(6)=54\), not 48. Exam tip: In a composite expression such as \(p(p(0))\), evaluate the inner function first.
दिया है p(x)=x+a। इसलिए p(4)=4+a। अब p(p(4))=p(4+a)=(4+a)+a=4+2a। अतः 4+2a=16, जिससे 2a=12 और a=6 प्राप्त होता है। विकल्प 8 लेने पर p(p(4))=20 आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी फलन का p(p(4)) दिया हो तो पहले p(4) ज्ञात करके उसे फिर से p में प्रतिस्थापित करें। / Given p(x)=x+a, we get p(4)=4+a. Therefore, p(p(4))=p(4+a)=(4+a)+a=4+2a. Hence, 4+2a=16, so 2a=12 and a=6. If a=8, then p(p(4)) would be 20, so it is not correct. Exam tip: For p(p(4)), first find p(4) and then substitute that result into p again.
दिया है \(p(-4)=p(2)\)। अतः \(-4m+n=2m+n\), जिससे \(-6m=0\) और इसलिए \(m=0\) मिलता है। तब \(p(x)=n\), जो एक अचर बहुपद है, रेखीय बहुपद नहीं। इसलिए दिया गया \(p(x)\) कभी रेखीय नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: \(ax+b\) रेखीय तभी होता है जब \(a\ne0\)। / Given \(p(-4)=p(2)\), we get \(-4m+n=2m+n\). Thus \(-6m=0\), so \(m=0\). Then \(p(x)=n\), which is a constant polynomial, not a linear polynomial. Hence \(p(x)\) can never be linear under the given condition. Exam tip: \(ax+b\) is linear only when \(a\ne0\).
एक दुकान में छूट कूपनों की संख्या को \(x\) मानने पर शुद्ध राशि \(B(x)=120-8x\) है। एक विद्यार्थी इसे स्थिर बहुपद कहता है, क्योंकि 120 एक स्थिर संख्या है। विद्यार्थी के कथन का सही सुधार कौन-सा है?
A. यह रैखिक बहुपद है, क्योंकि \(x\) की उच्चतम घात 1 है।/It is a linear polynomial because the highest power of \(x\) is 1.
Explanation
Simple Explanation
\(B(x)=120-8x\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए इसकी घात 1 और यह रैखिक बहुपद है। केवल 120 स्थिर पद है; इससे पूरा बहुपद स्थिर नहीं बनता। परीक्षा टिप: पदों की संख्या नहीं, उच्चतम घात देखें। / In \(B(x)=120-8x\), the highest power of \(x\) is 1, so its degree is 1 and it is a linear polynomial. Only 120 is the constant term; the whole polynomial is not constant. Exam tip: use the highest power, not the number of terms.
दिया है कि \(p(x)=12x-5\)। इसलिए \(p(x+2)=12(x+2)-5=12x+19\) और \(p(x-1)=12(x-1)-5=12x-17\)। अतः \(p(x+2)-p(x-1)=(12x+19)-(12x-17)=36\)। विकल्प 24 केवल दो इकाइयों के अंतर के लिए आता, जबकि यहाँ इनपुटों \(x+2\) और \(x-1\) का अंतर 3 है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद \(ax+b\) में इनपुट का अंतर \(h\) होने पर मानों का अंतर \(ah\) होता है। / Given \(p(x)=12x-5\), we get \(p(x+2)=12(x+2)-5=12x+19\) and \(p(x-1)=12(x-1)-5=12x-17\). Hence, \(p(x+2)-p(x-1)=(12x+19)-(12x-17)=36\). Option 24 would correspond to an input difference of 2, whereas \(x+2\) and \(x-1\) differ by 3. Exam tip: for a linear polynomial \(ax+b\), an input change of \(h\) produces an output change of \(ah\).
पहले आंतरिक फलन का मान निकालें: \(p(3)=9\times3-26=1\)। अब \(p(p(3))=p(1)=9\times1-26=-17\)। इसलिए सही उत्तर \(-17\) है। विकल्प \(1\) केवल \(p(3)\) का मान है; इसे फिर से \(p\) में रखना आवश्यक है। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में हमेशा सबसे अंदर वाले फलन का मान पहले ज्ञात करें। / First evaluate the inner function: \(p(3)=9\times3-26=1\). Then \(p(p(3))=p(1)=9\times1-26=-17\). Hence, the correct answer is \(-17\). Option \(1\) is only the value of \(p(3)\); it must be substituted into \(p\) once more. Exam tip: In a composite function, always evaluate the innermost function first.
दिया है कि \(p(x)=13x+a\)। पहले \(p(0)=a\) होगा। अतः \(p(p(0))=p(a)=13a+a=14a\)। अब \(14a=182\), इसलिए \(a=\frac{182}{14}=13\)। विकल्प \(14\) गुणांक \(13\) में स्थिर पद \(a\) जोड़ने से प्राप्त होता है, लेकिन वह \(a\) का मान नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले आंतरिक फलन \(p(0)\) ज्ञात करें, फिर उसे बाहरी फलन में रखें। / Given \(p(x)=13x+a\), we first get \(p(0)=a\). Therefore, \(p(p(0))=p(a)=13a+a=14a\). Since \(14a=182\), \(a=\frac{182}{14}=13\). The value \(14\) arises after adding the constant term \(a\) to the coefficient expression, but it is not the value of \(a\). Exam tip: In composition questions, find the inner function value first and then substitute it into the outer function.
दोनों मान घटाने पर (5m=25) से (m=5) मिलता है। (-2m+n=5) से (n=15), इसलिए (m+n=20) नहीं बल्कि (20) है। / Subtracting the two values gives (5m=25), so (m=5). From (-2m+n=5), (n=15), so (m+n=20), not (15).
यहाँ पहले x के स्थान पर x+1 और x-3 रखिए। \(p(x+1)=14(x+1)-9=14x+5\) तथा \(p(x-3)=14(x-3)-9=14x-51\)। अतः \(p(x+1)+p(x-3)=(14x+5)+(14x-51)=28x-46\) होगा। विकल्प \(28x-18\) में स्थिर पदों \(5\) और \(-51\) का योग गलत लिया गया है। परीक्षा टिप: प्रत्येक स्थानापन्न में कोष्ठक लगाकर गुणा करें, विशेषकर ऋण चिह्न के साथ। / Substitute x+1 and x-3 for x separately. \(p(x+1)=14(x+1)-9=14x+5\), while \(p(x-3)=14(x-3)-9=14x-51\). Therefore, \(p(x+1)+p(x-3)=(14x+5)+(14x-51)=28x-46\). The option \(28x-18\) results from adding the constant terms incorrectly. Exam tip: use brackets whenever substituting an expression for x, especially when it contains a minus sign.
रेखीय न रहने के लिए (x) का गुणांक (0) होना चाहिए। \(r^2-9r+20=0\) से (r=4) या (r=5) मिलता है। / For it not to be linear, the coefficient of (x) must be (0). From \(r^2-9r+20=0\), (r=4) or (r=5).
