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पहले कोष्ठक खोलें: \(3(2x-5)=6x-15\) और \(-2(5x+1)=-10x-2\)। अतः \(6x-15-10x-2=-4x-17\) होता है। इसलिए सही उत्तर \(-4x-17\) है। \(-4x+17\) में स्थिर पद का चिह्न गलत है। परीक्षा टिप: किसी कोष्ठक के पहले ऋणात्मक गुणांक हो तो उसके भीतर के प्रत्येक पद का चिह्न बदलता है। / Open the brackets first: \(3(2x-5)=6x-15\) and \(-2(5x+1)=-10x-2\). Therefore, \(6x-15-10x-2=-4x-17\). Hence, the correct polynomial is \(-4x-17\). In \(-4x+17\), the sign of the constant term is incorrect. Exam tip: when a negative multiplier precedes a bracket, apply it to every term inside the bracket.
\(3x+6=3(x+2)\), इसलिए इसका शून्यक -2 है और x की उच्चतम घात 1 है; अतः यह रैखिक बहुपद है। \(x^2+4x+4\) का शून्यक भी -2 है, पर उसकी घात 2 है। परीक्षा टिप: पहले बहुपद की घात जाँचें। / \(3x+6=3(x+2)\), so its zero is -2 and the highest power of x is 1; hence it is linear. \(x^2+4x+4\) also has zero -2, but it is quadratic. Exam tip: check the degree before selecting the expression.
A. इसका ठीक एक शून्यक होता है/It has exactly one zero.
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(a\ne0\), समीकरण \(ax+b=0\) से \(x=-b/a\) का केवल एक मान मिलता है। इसलिए रैखिक बहुपद का ठीक एक शून्यक होता है। परीक्षा में \(a=0\) वाली स्थिति को रैखिक न मानें। / Since \(a\ne0\), solving \(ax+b=0\) gives the single value \(x=-b/a\). Hence, a non-constant linear polynomial has exactly one zero. Exam tip: if \(a=0\), the expression is not linear.
\(3p(x)-4q(x)=3(5x-4)-4(2x+7)\) है। विस्तार करने पर \(15x-12-8x-28=7x-40\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर \(7x-40\) है। \(7x+16\) में \(-4(2x+7)\) के दोनों पदों के चिन्ह बदलने की गलती होती है। परीक्षा टिप: कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न होने पर अंदर के प्रत्येक पद का चिन्ह बदलें। / \(3p(x)-4q(x)=3(5x-4)-4(2x+7)\). Expanding gives \(15x-12-8x-28=7x-40\), so \(7x-40\) is correct. \(7x+16\) results from failing to apply the negative sign to both terms of \(4(2x+7)\). Exam tip: when a minus sign precedes brackets, change the sign of every term inside them.
शून्यक 3 होने का अर्थ है कि \(x=3\) रखने पर बहुपद का मान 0 हो। अतः \(3(2a-3)-9=0\)। इसे सरल करने पर \(6a-18=0\), इसलिए \(a=3\)। उदाहरण के लिए, \(a=1\) रखने पर मान \(-12\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए शून्यक को बहुपद में रखकर उसका मान शून्य के बराबर करें। / A zero equal to 3 means that the polynomial must have value 0 when \(x=3\). Thus, \(3(2a-3)-9=0\). Simplifying gives \(6a-18=0\), so \(a=3\). For example, if \(a=1\), the value is \(-12\), so it is not correct. Exam tip: Substitute the given zero into the polynomial and set its value equal to zero.
चूँकि \(-4\), बहुपद का शून्यक है, इसलिए \(p(-4)=0\)। अतः \(-4a+b=0\)। \(a=3\) रखने पर \(-12+b=0\), इसलिए \(b=12\) मिलता है। \(-12\) लेने पर समीकरण संतुष्ट नहीं होगा। परीक्षा टिप: किसी शून्यक \(r\) के लिए हमेशा \(p(r)=0\) रखें। / Since \(-4\) is a zero of the polynomial, \(p(-4)=0\). Thus, \(-4a+b=0\). Substituting \(a=3\) gives \(-12+b=0\), so \(b=12\). Taking \(-12\) would not satisfy the equation. Exam tip: if \(r\) is a zero, always use \(p(r)=0\).
\(p(6)=42+c\) और \(p(2)=14+c\) है। अतः \(p(6)-p(2)=(42+c)-(14+c)=28\) मिलता है। यहाँ \(c\) दोनों पदों में होने के कारण घटाने पर कट जाता है, इसलिए दी गई शर्त \(c\) के प्रत्येक मान के लिए सत्य है। \(c=0\) या \(c=28\) केवल विशेष मान हैं; वे आवश्यक नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों फलन-मान लिखकर उनका अंतर लें; स्थिर पद अक्सर कट जाता है। / We have \(p(6)=42+c\) and \(p(2)=14+c\). Therefore, \(p(6)-p(2)=(42+c)-(14+c)=28\). The constant \(c\) cancels on subtraction, so the given condition is true for every value of \(c\). Values such as \(c=0\) or \(c=28\) are merely particular cases, not necessary conditions. Exam tip: write both function values and subtract them; a common constant term often cancels.
(9x+4=0) से \(x=-\frac{4}{9}\) मिलता है। भिन्न शून्यक में चिन्ह और हर ध्यान रखें। / From (9x+4=0), we get \(x=-\frac{4}{9}\). Pay attention to the sign and denominator in fractional zeros.
\(\frac{5}{6}x-10=0\) से \(\frac{5}{6}x=10\) और (x=12) मिलता है। भिन्न गुणांक में उलटा गुणा करें। / From \(\frac{5}{6}x-10=0\), \(\frac{5}{6}x=10\) and (x=12). With a fractional coefficient, multiply by the reciprocal.
यहाँ p(x) और q(x), दोनों रैखिक बहुपद हैं, जिनकी डिग्री 1 है। उनका गुणनफल (x-7)(x+4)=x-2-3x-28 है। इसमें x का उच्चतम घात 2 है, इसलिए गुणनफल की डिग्री 2 है। विकल्प 1 प्रत्येक अलग-अलग बहुपद की डिग्री है, गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। / Both p(x) and q(x) are linear polynomials, so each has degree 1. Their product is (x-7)(x+4)=x-2-3x-28. The highest power of x is 2, so the degree of the product is 2. Option 1 is the degree of each individual polynomial, not of their product. Exam tip: For non-zero polynomials, the degree of a product equals the sum of their degrees.
फलन में \(x\) के स्थान पर पूरे \(x+2\) को रखिए: \(p(x+2)=6(x+2)-11=6x+12-11=6x+1\)। इसलिए सही उत्तर \(6x+1\) है। \(6x-9\) तब मिलता है जब \(6\) को \(2\) से सही प्रकार गुणा नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन करते समय दिए गए व्यंजक को कोष्ठक में लिखें। / Substitute the entire expression \(x+2\) for \(x\): \(p(x+2)=6(x+2)-11=6x+12-11=6x+1\). Hence, \(6x+1\) is correct. The option \(6x-9\) results from not multiplying \(2\) correctly by \(6\). Exam tip: always put the substituted expression in brackets.
दिया है \(p(x)=15-5x\)। \(p(2x)\) ज्ञात करने के लिए बहुपद में \(x\) के स्थान पर पूरा \(2x\) रखेंगे: \(p(2x)=15-5(2x)=15-10x\)। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प C में \(x\) को प्रतिस्थापित ही नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: \(p(2x)\) में केवल इनपुट \(x\) को \(2x\) से बदलें; स्थिर पद 15 अपरिवर्तित रहता है। / Given \(p(x)=15-5x\), substitute the entire input \(2x\) for \(x\): \(p(2x)=15-5(2x)=15-10x\). Hence, option B is correct. In option C, \(x\) has not been replaced at all. Exam tip: in \(p(2x)\), replace only the input \(x\) by \(2x\); the constant term 15 remains unchanged.
रेखीय बहुपद के लिए \(ax+b=0\) रखने पर \(x=-\frac{b}{a}\) मिलता है। क्योंकि \(a\ne0\), यह एक निश्चित वास्तविक मान है, इसलिए ठीक एक शून्य होता है। परीक्षा टिप: दो शून्य वाला बहुपद रेखीय नहीं हो सकता। / For a linear polynomial, setting \(ax+b=0\) gives \(x=-\frac{b}{a}\). Since \(a\ne0\), this is one definite real value, so there is exactly one zero. Exam tip: a polynomial with two distinct zeroes cannot be linear.
दिया है \(p(5)=p(-1)\)। अतः \(5k-8=-k-8\), जिससे \(6k=0\) और इसलिए \(k=0\) मिलता है। तब \(p(x)=-8\) एक अचर बहुपद है, जिसकी घात 0 है; इसलिए यह रेखीय बहुपद नहीं है। विकल्प B में \(k\ne0\) होने पर बहुपद रेखीय तो होता है, पर दी गई शर्त \(p(5)=p(-1)\) पूरी नहीं होती। परीक्षा टिप: \(ax+b\) केवल तभी रेखीय होता है जब \(a\ne0\) हो। / Given \(p(5)=p(-1)\), we get \(5k-8=-k-8\). Hence \(6k=0\), so \(k=0\). Then \(p(x)=-8\) is a constant polynomial of degree 0, not a linear polynomial. In option B, \(k\ne0\) would make the polynomial linear, but it would not satisfy \(p(5)=p(-1)\). Exam tip: \(ax+b\) is linear only when \(a\ne0\).
A. यह एक रैखिक बहुपद है, क्योंकि \(x\) की घात 1 है और उसका गुणांक परिमेय हो सकता है।/It is a linear polynomial because the degree of \(x\) is 1 and its coefficient may be rational.
Explanation
Simple Explanation
\(7-\frac{x}{2}=-\frac12x+7\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। भिन्न गुणांक मान्य हैं; केवल घातें अशून्य पूर्णांक होनी चाहिए। परीक्षा टिप: पदों की संख्या नहीं, सबसे बड़ी घात देखें। / In \(7-\frac{x}{2}=-\frac12x+7\), the highest power of \(x\) is 1, so it is linear. Fractional coefficients are allowed; exponents must be non-negative integers. Exam tip: use the highest exponent, not the number of terms.
पहले व्यंजक को सरल करें: \(q(x)-2p(x)=(11x-2)-2(5x+3)=11x-2-10x-6=x-8\)। बहुपद \(x-8\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए इसकी डिग्री 1 है। डिग्री 0 केवल अशून्य स्थिर बहुपद की होती है; यहाँ \(x\) पद समाप्त नहीं हुआ है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपदों के योग या अंतर में पहले समान पदों को मिलाकर देखें कि चर वाला पद कट तो नहीं गया है। / First simplify the expression: \(q(x)-2p(x)=(11x-2)-2(5x+3)=11x-2-10x-6=x-8\). The highest power of \(x\) in \(x-8\) is 1, so its degree is 1. Degree 0 would apply only to a non-zero constant polynomial; here the \(x\)-term does not cancel. Exam tip: When adding or subtracting linear polynomials, simplify first and check whether the variable terms cancel.
बहुपद \(7x-19\) का शून्यक ज्ञात करने के लिए \(7x-19=0\) रखें। इससे \(7x=19\), अतः \(x=\frac{19}{7}\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B, \(19x-7\), का शून्यक \(\frac{7}{19}\) है, जो दिया गया मान नहीं है। परीक्षा टिप: \(ax+b\) का शून्यक \(-\frac{b}{a}\) होता है। / To find the zero of \(7x-19\), set \(7x-19=0\). This gives \(7x=19\), so \(x=\frac{19}{7}\). Hence, option A is correct. Option B, \(19x-7\), has zero \(\frac{7}{19}\), not the given value. Exam tip: The zero of \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\).
दिया है \(p(x)=8x-13\)। अतः \(p(x+1)=8(x+1)-13=8x-5\)। इसलिए \(p(x+1)-p(x)=(8x-5)-(8x-13)=8\)। विकल्प \(8x\) गलत है, क्योंकि घटाने पर \(x\) वाले पद कट जाते हैं। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद \(ax+b\) के लिए \(p(x+1)-p(x)=a\) होता है। / Given \(p(x)=8x-13\), we get \(p(x+1)=8(x+1)-13=8x-5\). Therefore, \(p(x+1)-p(x)=(8x-5)-(8x-13)=8\). The option \(8x\) is incorrect because the terms containing \(x\) cancel on subtraction. Exam tip: for a linear polynomial \(ax+b\), \(p(x+1)-p(x)=a\).
शून्यक \(-\frac{15}{\lambda}\) है। \(-\frac{15}{\lambda}>-5\) और \(\lambda>0\) से \(\lambda>3\) मिलता है। / The zero is \(-\frac{15}{\lambda}\). From \(-\frac{15}{\lambda}>-5\) and \(\lambda>0\), we get \(\lambda>3\).
\(p(x)+q(x)=(x+3r)+(x-5r)\) में समान पदों को जोड़ने पर \(x+x=2x\) और \(3r-5r=-2r\) मिलता है। इसलिए योग \(2x-2r\) है। \(x-2r\) में एक \(x\) पद छूट जाता है। परीक्षा टिप: बहुपद जोड़ते समय समान चर और समान घात वाले पदों को ही मिलाएँ। / In \(p(x)+q(x)=(x+3r)+(x-5r)\), combine like terms: \(x+x=2x\) and \(3r-5r=-2r\). Hence, the sum is \(2x-2r\). The expression \(x-2r\) incorrectly leaves out one \(x\) term. Exam tip: while adding polynomials, combine only terms with the same variable and exponent.
\(p(x)-q(x)=(x+3r)-(x-5r)=x+3r-x+5r=8r\)। यहाँ \(x\) वाले पद कट जाते हैं, इसलिए परिणाम में \(x\) की कोई घात नहीं बचती। अतः \(r\) को एक नियतांक मानने पर \(8r\), \(x\) के सापेक्ष एक नियतांक बहुपद है। रेखीय बहुपद में \(x\) का पद होना आवश्यक है, इसलिए विकल्प A सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार उस चर के सापेक्ष तय करें जिसके लिए बहुपद दिया गया है। / \(p(x)-q(x)=(x+3r)-(x-5r)=x+3r-x+5r=8r\). The terms containing \(x\) cancel, so no power of \(x\) remains. Hence, treating \(r\) as a constant, \(8r\) is a constant polynomial in \(x\). A linear polynomial must contain an \(x\)-term, so option A is not correct. Exam tip: identify the variable with respect to which the polynomial is being classified.
पहले आंतरिक फलन का मान निकालें: \(p(3)=6\times3-17=1\)। अब इस मान को फिर से \(p\) में रखें: \(p(p(3))=p(1)=6\times1-17=-11\)। इसलिए सही उत्तर \(-11\) है। विकल्प 1 केवल \(p(3)\) का मान है, \(p(p(3))\) का नहीं। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में हमेशा कोष्ठक के भीतर वाले फलन का मान पहले ज्ञात करें। / First evaluate the inner function: \(p(3)=6\times3-17=1\). Then substitute this result into \(p\): \(p(p(3))=p(1)=6\times1-17=-11\). Therefore, the correct answer is \(-11\). Option 1 is only the value of \(p(3)\), not of \(p(p(3))\). Exam tip: In a composite function, always evaluate the expression inside first.
पहले अंदर के फलन का मान निकालें: \(p(0)=4(0)+3=3\)। अब \(p(0)\) के स्थान पर 3 रखने पर \(p(p(0))=p(3)=4(3)+3=15\) मिलता है। विकल्प 12 केवल \(4\times3\) है; इसमें स्थिर पद 3 जोड़ना छूट जाता है। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में हमेशा सबसे अंदर वाले फलन से गणना शुरू करें। / First evaluate the inner function: \(p(0)=4(0)+3=3\). Then substitute this result into \(p\): \(p(p(0))=p(3)=4(3)+3=15\). Option 12 is only \(4\times3\), which misses the constant term 3. Exam tip: in a composite function, always evaluate the innermost function first.
यदि \(x=1\) इस बहुपद का शून्यक है, तो \((n+4)(1)+2n-1=0\) होगा। सरल करने पर \(n+4+2n-1=0\), अर्थात \(3n+3=0\)। इसलिए \(n=-1\) प्राप्त होता है। \(n=-\frac{1}{3}\) रखने पर व्यंजक का मान शून्य नहीं होगा। परीक्षा टिप: किसी दिए गए शून्यक को बहुपद में रखकर उसका मान 0 के बराबर करें। / Since \(x=1\) is a zero of the polynomial, \((n+4)(1)+2n-1=0\). Simplifying gives \(n+4+2n-1=0\), so \(3n+3=0\). Hence, \(n=-1\). Substituting \(n=-\frac{1}{3}\) does not make the polynomial zero. Exam tip: substitute the given zero into the polynomial and equate the result to 0.
दिया है \(p(x)=\frac{x}{6}+a\)। \(x=18\) रखने पर \(p(18)=\frac{18}{6}+a=3+a\) होगा। अतः \(3+a=14\), इसलिए \(a=14-3=11\)। विकल्प 14, \(p(18)\) का दिया गया मान है, \(a\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद का मान दिया हो तो पहले दिए गए \(x\) को व्यंजक में रखकर समीकरण बनाइए। / Given \(p(x)=\frac{x}{6}+a\). Substituting \(x=18\), we get \(p(18)=\frac{18}{6}+a=3+a\). Hence, \(3+a=14\), so \(a=14-3=11\). Option 14 is the given value of \(p(18)\), not the value of \(a\). Exam tip: When a polynomial value is given, first substitute the specified value of \(x\) and form an equation.
पहले बहुपदों को जोड़ें: \(p(x)+q(x)=5x+a+2x-9=7x+a-9\)। दिया है कि इसका शून्यक \(2\) है, इसलिए \(x=2\) रखने पर \(7(2)+a-9=0\) होगा। अतः \(14+a-9=0\), यानी \(a+5=0\), इसलिए \(a=-5\)। \(-3\) लेने पर व्यंजक का मान \(2\) पर शून्य नहीं होगा। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का शून्यक दिए होने पर उस मान को बहुपद में रखकर परिणाम \(0\) करें। / First add the polynomials: \(p(x)+q(x)=5x+a+2x-9=7x+a-9\). Since \(2\) is a zero of this polynomial, substitute \(x=2\): \(7(2)+a-9=0\). Thus, \(14+a-9=0\), so \(a+5=0\) and \(a=-5\). If \(a=-3\), the polynomial does not give zero at \(x=2\). Exam tip: when a zero is given, substitute that value in the polynomial and equate the result to \(0\).
यदि \(-2\), \(p(x)\) का शून्यक है, तो \(p(-2)=0\) होगा। अतः \((c-3)(-2)+4c=0\), जिससे \(-2c+6+4c=0\) और \(2c+6=0\) मिलता है। इसलिए \(c=-3\) है। \(c=3\) रखने पर बहुपद \(12\) बनता है, जिसका कोई शून्यक नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी दिए गए शून्यक \(a\) के लिए सीधे \(p(a)=0\) रखें। / If \(-2\) is a zero of \(p(x)\), then \(p(-2)=0\). Thus, \((c-3)(-2)+4c=0\), which gives \(-2c+6+4c=0\), or \(2c+6=0\). Hence, \(c=-3\). For \(c=3\), the polynomial becomes \(12\), which has no zero. Exam tip: for a given zero \(a\), directly use \(p(a)=0\).
यदि \(-2\), \(p(x)\) का शून्यक है, तो \(p(-2)=0\) होना चाहिए। अतः \(-2(c-1)+2c=0\) होगा। सरल करने पर \(-2c+2+2c=0\), अर्थात \(2=0\) मिलता है, जो असंभव है। इसलिए \(c\) का कोई भी मान \(-2\) को इस बहुपद का शून्यक नहीं बना सकता। परीक्षा टिप: किसी दिए गए शून्यक \(a\) के लिए हमेशा \(p(a)=0\) रखकर जाँच करें। / If \(-2\) is a zero of \(p(x)\), then \(p(-2)=0\). Thus, \(-2(c-1)+2c=0\). Simplifying gives \(-2c+2+2c=0\), or \(2=0\), which is impossible. Hence, no value of \(c\) can make \(-2\) a zero of this polynomial. Exam tip: For a given zero \(a\), always substitute it and use \(p(a)=0\).
दिया है कि \(p(x)=rx-6\) और \(p(4)=18\)। अतः \(4r-6=18\), इसलिए \(4r=24\) तथा \(r=6\)। अब \(p(-2)=6(-2)-6=-12-6=-18\)। इसलिए सही विकल्प \(-18\) है। \(-12\) प्राप्त करना एक सामान्य गलती है, जिसमें स्थिर पद \(-6\) को नहीं जोड़ा जाता। परीक्षा टिप: पहले दिए गए फलन में ज्ञात मान रखकर गुणांक ज्ञात करें, फिर मांगा गया मान निकालें। / Given \(p(x)=rx-6\) and \(p(4)=18\), we have \(4r-6=18\). Thus \(4r=24\), so \(r=6\). Now \(p(-2)=6(-2)-6=-12-6=-18\). Therefore, \(-18\) is the correct answer. Getting \(-12\) is a common error caused by forgetting the constant term \(-6\). Exam tip: first use the given function value to find the coefficient, then substitute the required input.
दिया है, \(p(x)=ax+10\)। अतः \(p(2)=2a+10\) और \(p(5)=5a+10\) होगा। शर्त \(p(2)=p(5)-15\) रखने पर \(2a+10=5a+10-15\), अर्थात \(2a=5a-15\)। इसलिए \(3a=15\), जिससे \(a=5\) प्राप्त होता है। \(a=3\) लेने पर दी गई शर्त संतुष्ट नहीं होती। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले बहुपद में संबंधित \(x\)-मान रखकर समीकरण बनाइए। / Given \(p(x)=ax+10\), we have \(p(2)=2a+10\) and \(p(5)=5a+10\). Using \(p(2)=p(5)-15\), \(2a+10=5a+10-15\), so \(2a=5a-15\). Hence \(3a=15\), giving \(a=5\). For example, \(a=3\) does not satisfy the given condition. Exam tip: first substitute the stated values of \(x\) into the polynomial, then form and solve the equation.
C. कथन गलत है, क्योंकि \(x^2\) की उपस्थिति से बहुपद की घात 2 हो जाती है।/The statement is incorrect because the presence of \(x^2\) makes the degree of the polynomial 2.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की घात उसके सबसे बड़े घातांक से तय होती है, पदों की संख्या से नहीं। यहाँ \(x^2\) का घातांक 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है, रैखिक नहीं। परीक्षा टिप: पहले सबसे बड़ी घात पहचानें। / A polynomial’s degree is determined by its highest exponent, not by its number of terms. Since \(x^2\) has exponent 2, this is a quadratic polynomial, not a linear one. Exam tip: identify the highest power first.
दिया है \(p(x)=mx+n\)। \(x=0\) रखने पर \(p(0)=n=-4\) मिलता है। अब \(x=3\) रखने पर \(3m+n=11\)। \(n=-4\) रखने से \(3m-4=11\), अतः \(m=5\)। इसलिए \(m+n=5+(-4)=1\)। विकल्प \(5\) केवल \(m\) का मान है, \(m+n\) का नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले \(x=0\) रखकर स्थिरांक \(n\) ज्ञात करना सबसे तेज तरीका है। / Given \(p(x)=mx+n\). Substituting \(x=0\) gives \(p(0)=n=-4\). Next, substituting \(x=3\) gives \(3m+n=11\). Using \(n=-4\), we get \(3m-4=11\), so \(m=5\). Hence, \(m+n=5+(-4)=1\). Option \(5\) is only the value of \(m\), not of \(m+n\). Exam tip: In such questions, put \(x=0\) first to find the constant term \(n\) quickly.
दिया है कि \(p(x)=mx+n\)। इसलिए \(p(2)=2m+n=17\) तथा \(p(-2)=-2m+n=1\)। पहली समीकरण में से दूसरी घटाने पर \(4m=16\) मिलता है, अतः \(m=4\)। \(16\) अंतर \(p(2)-p(-2)\) है, \(m\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: दो फलन-मूल्यों को घटाने पर स्थिर पद \(n\) कट जाता है। / Given \(p(x)=mx+n\), we have \(p(2)=2m+n=17\) and \(p(-2)=-2m+n=1\). Subtracting the second equation from the first gives \(4m=16\), so \(m=4\). Note that \(16\) is the difference \(p(2)-p(-2)\), not the value of \(m\). Exam tip: subtracting two function-value equations eliminates the constant term \(n\).
\(p(x)=x+5\) में \(x=-5\) रखने पर \(p(-5)=-5+5=0\) मिलता है। इसकी उच्चतम घात 1 है, इसलिए यह रेखीय बहुपद है। \(x^2-25\) में भी \(-5\) रखने पर 0 मिलता है, लेकिन उसकी घात 2 है; इसलिए वह रेखीय नहीं, द्विघात बहुपद है। परीक्षा टिप: रेखीय बहुपद की घात हमेशा 1 होती है। / For \(p(x)=x+5\), substituting \(x=-5\) gives \(p(-5)=-5+5=0\). Its highest power of \(x\) is 1, so it is a linear polynomial. Although \(x^2-25\) also gives 0 at \(-5\), its degree is 2, so it is quadratic, not linear. Exam tip: a linear polynomial always has degree 1.
दिया है p(x)=6x+11। x के स्थान पर -x रखने पर p(-x)=6(-x)+11=-6x+11 प्राप्त होता है। अतः p(x)+p(-x)=(6x+11)+(-6x+11)=22। इसलिए सही विकल्प B है। 0 निकटतम भ्रामक विकल्प हो सकता है, पर केवल x वाले पद कटते हैं; स्थिर पद 11+11=22 रहते हैं। परीक्षा टिप: p(x)+p(-x) में विषम घात वाले पद कटते हैं और सम घात तथा स्थिर पद दोगुने होते हैं। / Given p(x)=6x+11, substitute -x for x: p(-x)=6(-x)+11=-6x+11. Therefore, p(x)+p(-x)=(6x+11)+(-6x+11)=22. Hence, option B is correct. Zero is a close distractor, but only the x-terms cancel; the constant terms give 11+11=22. Exam tip: in p(x)+p(-x), odd-power terms cancel, while even-power and constant terms are doubled.
दिया है \(p(x)=6x+11\)। \(x\) के स्थान पर \(-x\) रखने पर \(p(-x)=-6x+11\) प्राप्त होता है। अतः \(p(x)-p(-x)=(6x+11)-(-6x+11)=12x\)। स्थिर पद \(11\) घटाने पर कट जाता है; \(22\) जोड़ने पर मिलता, घटाने पर नहीं। परीक्षा टिप: \(p(-x)\) निकालते समय \(x\) वाले प्रत्येक पद का चिन्ह सावधानी से बदलें। / Given \(p(x)=6x+11\). Replacing \(x\) with \(-x\) gives \(p(-x)=-6x+11\). Therefore, \(p(x)-p(-x)=(6x+11)-(-6x+11)=12x\). The constant term \(11\) cancels on subtraction; \(22\) would result from addition, not subtraction. Exam tip: while finding \(p(-x)\), carefully change the sign of every term containing \(x\).
शून्यक (0) होने के लिए नियतांक पद (4s=0) होना चाहिए। (s=0) पर (x) का गुणांक (7) है इसलिए बहुपद रेखीय है। / For the zero to be (0), the constant term (4s=0). At (s=0), the coefficient of (x) is (7), so the polynomial is linear.
p(x)+q(x)=(5x+a)+(7x-a)=12x होता है। यहाँ a और -a परस्पर कट जाते हैं, इसलिए योग बहुपद a के किसी भी मान पर निर्भर नहीं करता। 12x का शून्यक केवल 0 है, क्योंकि 12x=0 से x=0 मिलता है। अतः इसका शून्यक 1 बनाने के लिए a का कोई मान संभव नहीं है। परीक्षा टिप: योग करने से पहले समान तथा विपरीत स्थिर पदों को ध्यान से निरस्त करें। / We get p(x)+q(x)=(5x+a)+(7x-a)=12x. The terms a and -a cancel, so the sum polynomial does not depend on any value of a. The only zero of 12x is 0, since 12x=0 gives x=0. Hence, no value of a can make 1 a zero. Exam tip: While adding polynomials, first check whether opposite constant terms cancel.
\(q(x)-p(x)=(7x-a)-(5x+a)\) है। दूसरे कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न होने पर उसके सभी पदों के चिह्न बदलते हैं: \(7x-a-5x-a=2x-2a\)। इसलिए सही उत्तर \(2x-2a\) है। \(2x\) केवल तब मिलता यदि \(a\) वाले पद कट जाते, पर यहाँ वे \(-a-a=-2a\) बनते हैं। परीक्षा टिप: बहुपद घटाते समय दूसरे बहुपद को कोष्ठक में रखकर प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / \(q(x)-p(x)=(7x-a)-(5x+a)\). Since a minus sign occurs before the second bracket, the signs of all its terms change: \(7x-a-5x-a=2x-2a\). Therefore, the correct answer is \(2x-2a\). \(2x\) would result only if the terms containing \(a\) cancelled, but here they give \(-a-a=-2a\). Exam tip: while subtracting polynomials, use brackets and change the sign of every term in the polynomial being subtracted.
((4x+1)(x-6)) में उच्चतम पद \(4x^2\) है। इसलिए गुणनफल की डिग्री (2) है और यह रेखीय नहीं है। / In ((4x+1)(x-6)), the highest term is \(4x^2\). So the product has degree (2) and is not linear.
दिया है कि \(p(x)=ax+5\)। इसलिए \(p(0)=5\)। अब \(p(p(0))=p(5)=5a+5\) होगा। प्रश्नानुसार \(5a+5=35\), अतः \(5a=30\) और \(a=6\)। विकल्प 5 केवल \(p(0)\) का मान है, \(a\) का नहीं। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में पहले अंदर वाले फलन का मान निकालें। / Given \(p(x)=ax+5\), we first get \(p(0)=5\). Hence \(p(p(0))=p(5)=5a+5\). Using \(5a+5=35\), we obtain \(5a=30\), so \(a=6\). Option 5 is the value of \(p(0)\), not the value of \(a\). Exam tip: In a composite function, evaluate the inner function first.
दिया है कि \(p(x)=x+a\)। अतः \(p(3)=3+a\) होगा। अब \(p(p(3))=p(3+a)=(3+a)+a=3+2a\)। इसलिए \(3+2a=13\), जिससे \(2a=10\) और \(a=5\) मिलता है। विकल्प 10 तब मिल सकता है जब \(2a=10\) के बाद 2 से भाग देना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: किसी फलन का फलन में प्रयोग करते समय पहले अंदर वाले फलन का मान निकालें। / Given \(p(x)=x+a\), we get \(p(3)=3+a\). Therefore, \(p(p(3))=p(3+a)=(3+a)+a=3+2a\). Hence \(3+2a=13\), so \(2a=10\) and \(a=5\). Option 10 may result from stopping at \(2a=10\) without dividing by 2. Exam tip: In a composite function, evaluate the inner function first.
शर्त \(p(-3)=p(1)\) लगाने पर \(-3m+n=m+n\) मिलता है। अतः \(-4m=0\), इसलिए \(m=0\)। तब \(p(x)=n\), जो एक स्थिर बहुपद है, रेखीय बहुपद नहीं। \(n=0\) होने या न होने से इस निष्कर्ष पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता। परीक्षा टिप: \(mx+n\) रेखीय होने के लिए \(m\ne0\) अनिवार्य है। / Using \(p(-3)=p(1)\), we get \(-3m+n=m+n\). Hence, \(-4m=0\), so \(m=0\). Then \(p(x)=n\), which is a constant polynomial, not a linear polynomial. Whether \(n=0\) or not does not change this conclusion. Exam tip: for \(mx+n\) to be linear, \(m\ne0\) is essential.
A. x का गुणांक शून्येतर हो और x की उच्चतम घात 1 हो/The coefficient of x is non-zero and the highest power of x is 1
Explanation
Simple Explanation
रैखिक बहुपद का रूप \(ax+b\) होता है, जहाँ \(a\ne0\) है; इसलिए x की घात 1 रहती है। \(3x-5\) रैखिक है, जबकि केवल स्थिरांक की घात 0 होती है। परीक्षा में उच्चतम घात देखकर बहुपद की कोटि पहचानें। / A linear polynomial has the form \(ax+b\), where \(a\ne0\), so its highest power of x is 1. For example, \(3x-5\) is linear, whereas a constant has degree 0. Exam tip: identify the degree by checking the highest exponent.
दिया है, \(p(x)=9x-4\)। अतः \(p(x+2)=9(x+2)-4=9x+14\) तथा \(p(x-1)=9(x-1)-4=9x-13\)। इसलिए \(p(x+2)-p(x-1)=(9x+14)-(9x-13)=27\)। विकल्प 18 तब मिल सकता है जब केवल \(x+2\) के बदलाव को लिया जाए, लेकिन यहाँ इनपुटों का अंतर \((x+2)-(x-1)=3\) है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद \(ax+b\) में इनपुट का अंतर \(h\) होने पर आउटपुट का अंतर \(ah\) होता है। / Given \(p(x)=9x-4\), \(p(x+2)=9(x+2)-4=9x+14\) and \(p(x-1)=9(x-1)-4=9x-13\). Hence, \(p(x+2)-p(x-1)=(9x+14)-(9x-13)=27\). Option 18 may result from considering only the shift of 2, but the difference between the inputs is \((x+2)-(x-1)=3\). Exam tip: for a linear polynomial \(ax+b\), an input difference of \(h\) gives an output difference of \(ah\).
पहले अंदर वाले फलन का मान निकालें: \(p(3)=7\times3-20=1\)। अब इस मान को फिर से \(p\) में रखें: \(p(1)=7\times1-20=-13\)। इसलिए \(p(p(3))=-13\) है। विकल्प 1 केवल \(p(3)\) का मान है, अंतिम मान नहीं। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में हमेशा सबसे अंदर वाले फलन से गणना शुरू करें। / First evaluate the inner function: \(p(3)=7\times3-20=1\). Now substitute this value into \(p\) again: \(p(1)=7\times1-20=-13\). Therefore, \(p(p(3))=-13\). Option 1 is only the value of \(p(3)\), not the final value. Exam tip: In a composite function, always evaluate the innermost function first.
पहले \(p(0)=10\times 0+a=a\) होगा। इसलिए \(p(p(0))=p(a)=10a+a=11a\)। दिया है कि \(11a=110\), अतः \(a=10\)। विकल्प 11, \(p(a)=11a\) के गुणांक को गलती से \(a\) का मान मान लेने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में भीतर वाले फलन का मान पहले निकालें। / First, \(p(0)=10\times 0+a=a\). Hence, \(p(p(0))=p(a)=10a+a=11a\). Given \(11a=110\), we get \(a=10\). Option 11 may result from incorrectly taking the coefficient in \(p(a)=11a\) as the value of \(a\). Exam tip: In a composite function, evaluate the inner function first.
दिया है कि \(p(x)=mx+n\)। अतः \(p(-1)=-m+n=3\) और \(p(4)=4m+n=23\)। दूसरी समीकरण में से पहली समीकरण घटाने पर \(5m=20\), इसलिए \(m=4\)। अब \(-4+n=3\) से \(n=7\) मिलता है। अतः \(m+n=4+7=11\)। विकल्प 7 केवल \(n\) का मान है, \(m+n\) का नहीं। परीक्षा टिप: दो दिए गए फलन-मानों को पहले रैखिक समीकरणों में बदलकर हल करें। / Given \(p(x)=mx+n\), we get \(p(-1)=-m+n=3\) and \(p(4)=4m+n=23\). Subtracting the first equation from the second gives \(5m=20\), so \(m=4\). Then \(-4+n=3\) gives \(n=7\). Therefore, \(m+n=4+7=11\). Option 7 is only the value of \(n\), not of \(m+n\). Exam tip: Convert each given value of a linear polynomial into an equation before solving.
दिया है \(p(x)=11x-6\)। अतः \(p(x+1)=11(x+1)-6=11x+5\) तथा \(p(x-2)=11(x-2)-6=11x-28\)। इसलिए \(p(x+1)+p(x-2)=(11x+5)+(11x-28)=22x-23\)। विकल्प \(22x-17\) में स्थिर पदों का योग गलत किया गया है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक स्थानापन्न मान को अलग-अलग सरल करें, फिर जोड़ें। / Given \(p(x)=11x-6\), we get \(p(x+1)=11(x+1)-6=11x+5\) and \(p(x-2)=11(x-2)-6=11x-28\). Hence, \(p(x+1)+p(x-2)=(11x+5)+(11x-28)=22x-23\). The option \(22x-17\) results from an incorrect addition of the constant terms. Exam tip: simplify each substituted expression separately before adding them.
रेखीय न रहने के लिए (x) का गुणांक (0) होना चाहिए। \(r^2-5r+6=0\) से (r=2) या (r=3) मिलता है। / For it not to be linear, the coefficient of (x) must be (0). From \(r^2-5r+6=0\), (r=2) or (r=3).
