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\(a_{12}-a_5=7d=28\), इसलिए (d=4)। दो पदों के बीच पद-संख्या का अंतर जरूर गिनें। / \(a_{12}-a_5=7d=28\), so (d=4). Always count the difference of term positions carefully.
\(a_3=a_1+2d\), इसलिए \(11=a_1+10\) और \(a_1=1\)। पीछे जाते समय समान अंतर घटाएं। / \(a_3=a_1+2d\), so \(11=a_1+10\) and \(a_1=1\). When moving backward subtract the common difference.
(7n-2=96) से (7n=98) और (n=14)। पद का स्थान निकालने के लिए \(a_n\) को दिए पद के बराबर रखें। / From (7n-2=96), (7n=98) and (n=14). To find the position set \(a_n\) equal to the given term.
लगातार तीन पदों में (2(x+4)=(2x-3)+(3x+1)), इससे (x=2) मिलता है। बीच वाला पद दोनों ओर के पदों का औसत होता है। / For three consecutive terms, (2(x+4)=(2x-3)+(3x+1)), giving (x=2). The middle term is the average of the two surrounding terms.
\(a_9-a_2=7d=35\), इसलिए (d=5) और (a_5=9+3(5)=24)। पहले समान अंतर निकालें। / \(a_9-a_2=7d=35\), so (d=5) and (a_5=9+3(5)=24). Find the common difference first.
\(2,8,14,20,\ldots\) में चौथा पद (20) और समान अंतर (6) है। विकल्पों को पद-संख्या तक जांचें। / In \(2,8,14,20,\ldots\), the fourth term is (20) and the common difference is (6). Check options up to the required term.
\(a_{10}=a_1+9d\), इसलिए (59=5+9d) और (d=6)। (10)वें पद तक (9) अंतर होते हैं। / \(a_{10}=a_1+9d\), so (59=5+9d) and (d=6). Up to the (10)th term there are (9) gaps.
पद \(18,13,8,3,-2,\ldots\) हैं, इसलिए पहला ऋणात्मक पद (5)वाँ है। शून्य के आसपास पदों को क्रम से जांचें। / The terms are \(18,13,8,3,-2,\ldots\), so the first negative term is the (5)th. Check terms around zero in order.
\(a_{12}\) और \(a_4\) के बीच (8) अंतर हैं और (d=7), इसलिए अंतर (56) है। पदों का अंतर पद-संख्या के अंतर पर निर्भर करता है। / There are (8) gaps between \(a_{12}\) and \(a_4\), and (d=7), so the difference is (56). Term difference depends on position difference.
पहले (6) पद (11,14,17,20,23,26) हैं और योग (111) है। नियम से पद बनाकर जोड़ना सुरक्षित तरीका है। / The first (6) terms are (11,14,17,20,23,26), and their sum is (111). Forming terms from the rule and adding is a safe method.
\(a_8-a_3=5d=25\), इसलिए (d=5) और (a_1=16-2(5)=6)। बीच के पदों से पहले (d) निकालें। / \(a_8-a_3=5d=25\), so (d=5) and (a_1=16-2(5)=6). From middle terms first find (d).
समांतर श्रेणी में \(a_4\) और \(a_8\) का औसत \(a_6\) होता है, इसलिए \(a_6=\frac{50}{2}=25\)। समान दूरी वाले पदों का औसत बीच का पद होता है। / In an arithmetic progression, the average of \(a_4\) and \(a_8\) is \(a_6\), so \(a_6=\frac{50}{2}=25\). Equidistant terms average to the middle term.
(50+(n-1)(-7)=1) से (7(n-1)=49) और (n=8)। घटती श्रेणी में भी वही \(a_n\) सूत्र लगता है। / From (50+(n-1)(-7)=1), (7(n-1)=49) and (n=8). The same \(a_n\) formula works in a decreasing progression.
(2(x+2)=(x-4)+(2x-2)) से (x=8), इसलिए समान अंतर (10-4=6) है। पहले (x) निकालें फिर अंतर निकालें। / From (2(x+2)=(x-4)+(2x-2)), (x=8), so the common difference is (10-4=6). First find (x), then find the difference.
पद \(12,9,6,3,0,-3,\ldots\) हैं, इसलिए धनात्मक पद (4) हैं। शून्य को धनात्मक नहीं मानते। / The terms are \(12,9,6,3,0,-3,\ldots\), so there are (4) positive terms. Zero is not counted as positive.
पहला पद (5) और (d=9) है, इसलिए (a_n=5+(n-1)9=9n-4)। विकल्प को (n=1) रखकर जांच सकते हैं। / The first term is (5) and (d=9), so (a_n=5+(n-1)9=9n-4). You can check an option by putting (n=1).
\(a_2\) और \(a_{10}\) से \(a_6\) समान दूरी पर है, इसलिए \(a_6=\frac{64}{2}=32\)। सममित पदों का औसत बीच का पद होता है। / \(a_6\) is equidistant from \(a_2\) and \(a_{10}\), so \(a_6=\frac{64}{2}=32\). The average of symmetric terms is the middle term.
\(2,7,12,17,\ldots\) में \(a_3=12\) और (d=5), इसलिए \(a_7=32\)। विकल्पों में दोनों शर्तें जांचें। / In \(2,7,12,17,\ldots\), \(a_3=12\) and (d=5), so \(a_7=32\). Check both conditions in the options.
\(a_4=3+3d\) और \(a_6=3+5d\), इसलिए (6+8d=56) और \(d=\frac{25}{4}\) नहीं आता; सही समीकरण से \(d=\frac{50}{8}\) है। यह विकल्प-जांच प्रश्न नहीं होना चाहिए। / Using \(a_4=3+3d\) and \(a_6=3+5d\), (6+8d=56), so \(d=\frac{25}{4}\). This result is not among the options.
सामान्य पद \(a_n=3n+4\) है और (100) से छोटा सबसे बड़ा मान (97) मिलता है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=3n+4\), and the greatest value below (100) is (97). In boundary questions check the nearest terms.
\(a_{11}-a_6=5d=30\), इसलिए (d=6) और (a_1=25-5(6)=-5)। पहले (d) निकालकर पीछे जाएं। / \(a_{11}-a_6=5d=30\), so (d=6) and (a_1=25-5(6)=-5). First find (d), then move backward.
(2(a+8)=a+(3a-4)) से (2a+16=4a-4) और (a=10) आता है। यह विकल्पों से मेल नहीं खाता। / From (2(a+8)=a+(3a-4)), (2a+16=4a-4), so (a=10). This does not match the selected option.
पहले (7) पद (2,8,14,20,26,32,38) हैं और योग (140) है। सममित जोड़ से गणना तेज होती है। / The first (7) terms are (2,8,14,20,26,32,38), and their sum is (140). Pairing symmetric terms makes calculation faster.
छह अंतरों में वृद्धि (24) है, इसलिए (d=4) और (a_7=10+3(4)=22)। \(a_7\) दोनों दिए पदों के बीच आता है। / The increase over six gaps is (24), so (d=4) and (a_7=10+3(4)=22). \(a_7\) lies between the two given terms.
\(16,12,8,4,0,\ldots\) में पहला पद (16) और पाँचवाँ पद (0) है। विकल्पों में पाँचवें पद तक जांच करें। / In \(16,12,8,4,0,\ldots\), the first term is (16) and the fifth term is (0). Check options up to the fifth term.
\(a_{15}\) और \(a_9\) के बीच (6) अंतर हैं, इसलिए अंतर \(6\times9=54\) है। पदों का अंतर सीधे (d) से निकाला जा सकता है। / There are (6) gaps between \(a_{15}\) and \(a_9\), so the difference is \(6\times9=54\). Term differences can be found directly using (d).
सामान्य पद \(a_n=7n+2\) है और \(a_{15}=107\) पहला पद है जो (100) से बड़ा है। सीमा वाले प्रश्न में पास के पद जांचें। / The general term is \(a_n=7n+2\), and \(a_{15}=107\) is the first term greater than (100). In boundary questions check nearby terms.
\(a_3\) और \(a_9\) से \(a_6\) समान दूरी पर है, इसलिए \(a_6=\frac{72}{2}=36\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_6\) is equidistant from \(a_3\) and \(a_9\), so \(a_6=\frac{72}{2}=36\). The average of symmetric terms is the middle term.
\(a_2=-2\) और \(a_3=3\), इसलिए पहला धनात्मक पद (3)वाँ है। धनात्मक पद के लिए \(a_n>0\) जांचें। / \(a_2=-2\) and \(a_3=3\), so the first positive term is the (3)rd. Check \(a_n>0\) for positive terms.
\(a_4=24\) और \(a_8=52\), इसलिए योग (76) है। दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_4=24\) and \(a_8=52\), so the sum is (76). Find both terms separately and add them.
(2(5x+2)=(4x-1)+(7x-3)) से (10x+4=11x-4) और (x=8) आता है। यह विकल्पों से मेल नहीं खाता। / From (2(5x+2)=(4x-1)+(7x-3)), (10x+4=11x-4), so (x=8). This does not match the selected options.
पहले (6) पदों का योग (6) पदों की सूची से (2,6,10,14,18,22) पर (72) होता है, इसलिए (d=4)। छोटे (n) में विकल्प-जांच तेज है। / The first (6) terms sum to (72) for (2,6,10,14,18,22), so (d=4). For small (n), option checking is quick.
(a_n=12+(n-1)5=5n+7), इसलिए (5n+7=72) से (n=13)। सामान्य पद बनाकर समीकरण हल करें। / (a_n=12+(n-1)5=5n+7), so (5n+7=72) gives (n=13). Form the general term and solve the equation.
तीन अंतरों में वृद्धि (12) है, इसलिए (d=4) और (a_9=20+4(4)=36)। पास के पद से आगे बढ़ना आसान है। / The increase over three gaps is (12), so (d=4) and (a_9=20+4(4)=36). Moving forward from a nearby term is easy.
(n=1,2,3,4) रखने पर \(7,13,19,25,\ldots\) मिलता है। नियम से शुरू के पद बनाकर विकल्प मिलाएं। / Putting (n=1,2,3,4) gives \(7,13,19,25,\ldots\). Form the initial terms from the rule and match the option.
सामान्य पद \(a_n=4n+2\) है और (50) से छोटा सबसे बड़ा पद (46) है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=4n+2\), and the greatest term below (50) is (46). In boundary questions check nearby terms.
\(a_2=16\) और \(a_6=0\), इसलिए योग (16) है। यह विकल्पों से मेल नहीं खाता। / \(a_2=16\) and \(a_6=0\), so the sum is (16). This does not match the options.
\(a_{12}-a_3=9d=54\), इसलिए (d=6) और (a_1=7-2(6)=-5)। पहले समान अंतर निकालें। / \(a_{12}-a_3=9d=54\), so (d=6) and (a_1=7-2(6)=-5). Find the common difference first.
पहला और नौवाँ पद (1) और (41) हैं, इसलिए योग (\frac{9(1+41)}{2}=189)। योग में पहला और अंतिम पद उपयोग करें। / The first and ninth terms are (1) and (41), so the sum is (\frac{9(1+41)}{2}=189). Use the first and last terms for the sum.
\(a_8=1\) और \(a_9=-2\), इसलिए पहला ऋणात्मक पद (9)वाँ है। शून्य से नीचे जाने वाला पहला पद देखें। / \(a_8=1\) and \(a_9=-2\), so the first negative term is the (9)th. Look for the first term below zero.
\(a_4\), \(a_2\) और \(a_6\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_4=\frac{40}{2}=20\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_4\) is equidistant from \(a_2\) and \(a_6\), so \(a_4=\frac{40}{2}=20\). The average of symmetric terms is the middle term.
(6,12,18) में दोनों अंतर (6) हैं। लगातार तीन पदों के लिए दोनों अंतर बराबर होने चाहिए। / In (6,12,18), both differences are (6). For three consecutive terms, the two differences must be equal.
\(a_3=17\) और \(a_9=41\), इसलिए योग (58) है। यह विकल्पों से मेल नहीं खाता। / \(a_3=17\) and \(a_9=41\), so the sum is (58). This does not match the options.
\(a_5=a_1+4d\), इसलिए \(30=a_1+28\) और \(a_1=2\)। दिए पद से पीछे जाने के लिए समान अंतर घटाएं। / \(a_5=a_1+4d\), so \(30=a_1+28\) and \(a_1=2\). To move backward from a given term subtract common differences.
\(a_{10}=71\) और \(a_2=15\), इसलिए योग (86) है। दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_{10}=71\) and \(a_2=15\), so the sum is (86). Find both terms separately.
पाँच अंतरों में वृद्धि (30) है, इसलिए (d=6) और (a_{12}=48+3(6)=66)। पहले (d) निकालें फिर आगे बढ़ें। / The increase over five gaps is (30), so (d=6) and (a_{12}=48+3(6)=66). First find (d), then move forward.
यहाँ (a=13) और (d=5), इसलिए (a_{20}=13+19(5)=108)। बड़े पद के लिए भी (a_n=a+(n-1)d) लगाएं। / Here (a=13) and (d=5), so (a_{20}=13+19(5)=108). Use (a_n=a+(n-1)d) even for larger terms.
\(a_{14}-a_6=8d=40\), इसलिए (d=5)। दो पदों के बीच पद-संख्या का अंतर ध्यान से गिनें। / \(a_{14}-a_6=8d=40\), so (d=5). Count the difference of term positions carefully.
\(a_4=a_1+3d\), इसलिए \(17=a_1+12\) और \(a_1=5\)। दिए पद से पीछे जाते समय समान अंतर घटाएं। / \(a_4=a_1+3d\), so \(17=a_1+12\) and \(a_1=5\). When moving backward from a given term, subtract the common difference.
(8n-5=83) से (8n=88) और (n=11)। पद की स्थिति के लिए \(a_n\) को दिए पद के बराबर रखें। / From (8n-5=83), (8n=88) and (n=11). To find the position, set \(a_n\) equal to the given term.
लगातार तीन पदों में (2(2x+1)=(x-3)+(4x-1)), इससे (x=6) मिलता है। बीच वाला पद दोनों ओर के पदों का औसत होता है। / For three consecutive terms, (2(2x+1)=(x-3)+(4x-1)), giving (x=6). The middle term is the average of the two surrounding terms.
\(a_{10}-a_2=8d=40\), इसलिए (d=5) और (a_7=10+5(5)=35)। पहले समान अंतर निकालें। / \(a_{10}-a_2=8d=40\), so (d=5) and (a_7=10+5(5)=35). Find the common difference first.
\(5,11,17,23,29,\ldots\) में पाँचवाँ पद (29) और समान अंतर (6) है। विकल्पों को पद-संख्या तक जांचें। / In \(5,11,17,23,29,\ldots\), the fifth term is (29) and the common difference is (6). Check each option up to the required term.
\(a_{12}=a_1+11d\), इसलिए (73=7+11d) और (d=6)। बारहवें पद तक (11) अंतर होते हैं। / \(a_{12}=a_1+11d\), so (73=7+11d) and (d=6). Up to the twelfth term, there are (11) gaps.
पद \(25,19,13,7,1,-5,\ldots\) हैं, इसलिए पहला ऋणात्मक पद (6)वाँ है। शून्य के आसपास पदों को क्रम से जांचें। / The terms are \(25,19,13,7,1,-5,\ldots\), so the first negative term is the (6)th. Check terms around zero in order.
\(a_{15}\) और \(a_6\) के बीच (9) अंतर हैं और (d=7), इसलिए अंतर (63) है। पदों का अंतर पद-संख्या के अंतर पर निर्भर करता है। / There are (9) gaps between \(a_{15}\) and \(a_6\), and (d=7), so the difference is (63). Term difference depends on position difference.
पहले (5) पद (11,15,19,23,27) हैं और योग (95) है। नियम से पद बनाकर जोड़ना सुरक्षित तरीका है। / The first (5) terms are (11,15,19,23,27), and their sum is (95). Forming terms from the rule and adding is a safe method.
\(a_9-a_4=5d=30\), इसलिए (d=6) और (a_1=22-3(6)=4)। बीच के पदों से पहले (d) निकालें। / \(a_9-a_4=5d=30\), so (d=6) and (a_1=22-3(6)=4). From middle terms, first find (d).
\(a_5\) और \(a_{13}\) से \(a_9\) समान दूरी पर है, इसलिए \(a_9=\frac{86}{2}=43\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_9\) is equidistant from \(a_5\) and \(a_{13}\), so \(a_9=\frac{86}{2}=43\). The average of symmetric terms is the middle term.
(64+(n-1)(-7)=8) से (7(n-1)=56) और (n=9)। घटती श्रेणी में भी वही \(a_n\) सूत्र लगता है। / From (64+(n-1)(-7)=8), (7(n-1)=56) and (n=9). The same \(a_n\) formula works in a decreasing progression.
(2(3x+2)=(2x-1)+(5x+1)) से (x=4), इसलिए समान अंतर (14-7=7) नहीं बल्कि (14-7=7) है। सही गणना में (d=7) आता है। / From (2(3x+2)=(2x-1)+(5x+1)), (x=4), so the common difference is (14-7=7). Calculate (x) first and then the difference.
पद \(18,14,10,6,2,-2,\ldots\) हैं, इसलिए धनात्मक पद (5) हैं। शून्य और ऋणात्मक पदों को धनात्मक न मानें। / The terms are \(18,14,10,6,2,-2,\ldots\), so there are (5) positive terms. Do not count zero or negative terms as positive.
पहला पद (8) और (d=9) है, इसलिए (a_n=8+(n-1)9=9n-1)। विकल्प को (n=1) रखकर जांच सकते हैं। / The first term is (8) and (d=9), so (a_n=8+(n-1)9=9n-1). You can check an option by putting (n=1).
\(a_9\), \(a_3\) और \(a_{15}\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_9=\frac{108}{2}=54\)। सममित पदों का औसत बीच का पद होता है। / \(a_9\) is equidistant from \(a_3\) and \(a_{15}\), so \(a_9=\frac{108}{2}=54\). The average of symmetric terms is the middle term.
\(2,9,16,23,\ldots\) में \(a_4=23\) नहीं आता; सही श्रेणी \( -2,5,12,19,\ldots\) होगी। दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। / In \(2,9,16,23,\ldots\), \(a_4\) is not (19); the correct sequence would be \(-2,5,12,19,\ldots\). None of the given options is correct.
\(a_4=6+3d\) और \(a_8=6+7d\), इसलिए (12+10d=84) और (d=7.2) नहीं विकल्प में है। प्रश्न में विकल्पों की जांच जरूरी है। / \(a_4=6+3d\) and \(a_8=6+7d\), so (12+10d=84), giving (d=7.2), which is not in the options. Option consistency must be checked.
सामान्य पद \(a_n=5n+6\) है और (90) से छोटा सबसे बड़ा पद (86) है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=5n+6\), and the greatest term below (90) is (86). In boundary questions, check nearby terms.
\(a_4=36\) और \(a_9=16\), इसलिए योग (52) है। यह विकल्पों से मेल नहीं खाता। / \(a_4=36\) and \(a_9=16\), so the sum is (52). This does not match the options.
\(a_{12}-a_7=5d=35\), इसलिए (d=7) और (a_1=34-6(7)=-8)। पहले (d) निकालकर पीछे जाएं। / \(a_{12}-a_7=5d=35\), so (d=7) and (a_1=34-6(7)=-8). First find (d), then move backward.
(2(p+10)=p+(3p-2)) से (2p+20=4p-2) और (p=11) मिलता है। बीच का पद दोनों ओर के पदों का औसत होता है। / From (2(p+10)=p+(3p-2)), (2p+20=4p-2), so (p=11). The middle term is the average of the two surrounding terms.
पहले (8) पद (4) से (60) तक हैं, इसलिए योग (\frac{8(4+60)}{2}=256)। सममित जोड़ से गणना तेज होती है। / The first (8) terms go from (4) to (60), so the sum is (\frac{8(4+60)}{2}=256). Pairing symmetric terms makes calculation quick.
छह अंतरों में वृद्धि (36) है, इसलिए (d=6) और (a_8=14+3(6)=32)। \(a_8\) दोनों दिए पदों के बीच आता है। / The increase over six gaps is (36), so (d=6) and (a_8=14+3(6)=32). \(a_8\) lies between the two given terms.
\(24,20,16,12,8,4,0,\ldots\) में पहला पद (24) और सातवाँ पद (0) है। विकल्पों में सातवें पद तक जांच करें। / In \(24,20,16,12,8,4,0,\ldots\), the first term is (24) and the seventh term is (0). Check options up to the seventh term.
\(a_{14}\) और \(a_5\) के बीच (9) अंतर हैं, इसलिए अंतर \(9\times8=72\) है। पदों का अंतर सीधे (d) से निकाला जा सकता है। / There are (9) gaps between \(a_{14}\) and \(a_5\), so the difference is \(9\times8=72\). Term differences can be found directly using (d).
सामान्य पद \(a_n=7n+6\) है और \(a_{14}=104\) पहला पद है जो (100) से बड़ा है। सीमा वाले प्रश्न में पास के पद जांचें। / The general term is \(a_n=7n+6\), and \(a_{14}=104\) is the first term greater than (100). In boundary questions, check nearby terms.
\(a_8\), \(a_4\) और \(a_{12}\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_8=\frac{112}{2}=56\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_8\) is equidistant from \(a_4\) and \(a_{12}\), so \(a_8=\frac{112}{2}=56\). The average of symmetric terms is the middle term.
\(a_2=-5\) और \(a_3=1\), इसलिए पहला धनात्मक पद (3)वाँ है। धनात्मक पद के लिए \(a_n>0\) जांचें। / \(a_2=-5\) and \(a_3=1\), so the first positive term is the (3)rd. Check \(a_n>0\) for positive terms.
\(a_5=33\) और \(a_9=61\), इसलिए योग (94) है। दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_5=33\) and \(a_9=61\), so the sum is (94). Find both terms separately and add them.
(2(5x-2)=(3x+1)+(8x-8)) से (10x-4=11x-7) और (x=3) आता है। सही विकल्प (3) होना चाहिए। / From (2(5x-2)=(3x+1)+(8x-8)), (10x-4=11x-7), so (x=3). The correct option should be (3).
(\frac{6}{2}[2(5)+5d]=120) से (30+15d=120) और (d=6)। योग वाले प्रश्न में पहले (n) और (a) रखें। / (\frac{6}{2}[2(5)+5d]=120) gives (30+15d=120) and (d=6). In sum questions, substitute (n) and (a) first.
(a_n=15+(n-1)6=6n+9), इसलिए (6n+9=87) से (n=13)। सामान्य पद बनाकर समीकरण हल करें। / (a_n=15+(n-1)6=6n+9), so (6n+9=87) gives (n=13). Form the general term and solve the equation.
चार अंतरों में वृद्धि (24) है, इसलिए (d=6) और (a_{11}=36+4(6)=60)। पास के पद से आगे बढ़ना आसान है। / The increase over four gaps is (24), so (d=6) and (a_{11}=36+4(6)=60). Moving forward from a nearby term is easy.
(n=1,2,3,4) रखने पर \(9,14,19,24,\ldots\) मिलता है। नियम से शुरू के पद बनाकर विकल्प मिलाएं। / Putting (n=1,2,3,4) gives \(9,14,19,24,\ldots\). Form the initial terms from the rule and match the option.
सामान्य पद \(a_n=6n+2\) है और (80) से छोटा सबसे बड़ा पद (74) है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=6n+2\), and the greatest term below (80) is (74). In boundary questions, check nearby terms.
\(a_3=20\) और \(a_7=0\), इसलिए योग (20) है। यह विकल्पों से मेल नहीं खाता। / \(a_3=20\) and \(a_7=0\), so the sum is (20). This does not match the options.
\(a_{13}-a_4=9d=54\), इसलिए (d=6) और (a_1=13-3(6)=-5)। पहले समान अंतर निकालें। / \(a_{13}-a_4=9d=54\), so (d=6) and (a_1=13-3(6)=-5). Find the common difference first.
पहला और दसवाँ पद (3) और (57) हैं, इसलिए योग (\frac{10(3+57)}{2}=300)। योग में पहला और अंतिम पद उपयोग करें। / The first and tenth terms are (3) and (57), so the sum is (\frac{10(3+57)}{2}=300). Use the first and last terms for the sum.
\(a_7=3\) और \(a_8=-1\), इसलिए पहला ऋणात्मक पद (8)वाँ है। शून्य से नीचे जाने वाला पहला पद देखें। / \(a_7=3\) and \(a_8=-1\), so the first negative term is the (8)th. Look for the first term below zero.
\(a_5\), \(a_3\) और \(a_7\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_5=\frac{60}{2}=30\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_5\) is equidistant from \(a_3\) and \(a_7\), so \(a_5=\frac{60}{2}=30\). The average of symmetric terms is the middle term.
\(a_4=26\) और \(a_{10}=56\), इसलिए योग (82) है। यह विकल्पों से मेल नहीं खाता। / \(a_4=26\) and \(a_{10}=56\), so the sum is (82). This does not match the options.
\(a_6=a_1+5d\), इसलिए \(41=a_1+40\) और \(a_1=1\)। दिए पद से पीछे जाने के लिए समान अंतर घटाएं। / \(a_6=a_1+5d\), so \(41=a_1+40\) and \(a_1=1\). To move backward from a given term, subtract common differences.
\(a_{11}=82\) और \(a_3=26\), इसलिए योग (108) है। दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_{11}=82\) and \(a_3=26\), so the sum is (108). Find both terms separately.
पाँच अंतरों में वृद्धि (35) है, इसलिए (d=7) और (a_{13}=59+3(7)=80)। पहले (d) निकालें फिर आगे बढ़ें। / The increase over five gaps is (35), so (d=7) and (a_{13}=59+3(7)=80). First find (d), then move forward.
यहाँ (a=17) और (d=5), इसलिए (a_{25}=17+24(5)=137)। बड़े पद के लिए भी (a_n=a+(n-1)d) लगाएं। / Here (a=17) and (d=5), so (a_{25}=17+24(5)=137). Use (a_n=a+(n-1)d) even for larger terms.
\(a_2=a_1+5\) और \(a_8=a_1+35\), इसलिए \(2a_1+40=70\) और \(a_1=15\)। योग वाले प्रश्न में दोनों पदों को \(a_1\) और (d) से लिखें। / \(a_2=a_1+5\) and \(a_8=a_1+35\), so \(2a_1+40=70\) and \(a_1=15\). In sum-based questions, write both terms using \(a_1\) and (d).
\(a_{13}-a_4=9d=54\), इसलिए (d=6)। दो पदों के बीच पद-संख्या का अंतर ध्यान से गिनें। / \(a_{13}-a_4=9d=54\), so (d=6). Count the difference of term positions carefully.
\(a_5=a_1+4d\), इसलिए \(28=a_1+28\) और \(a_1=0\)। दिए पद से पीछे जाने के लिए समान अंतर घटाएं। / \(a_5=a_1+4d\), so \(28=a_1+28\) and \(a_1=0\). To move backward from a given term, subtract common differences.
(9n-4=113) से (9n=117) और (n=13)। पद की स्थिति के लिए \(a_n\) को दिए पद के बराबर रखें। / From (9n-4=113), (9n=117) and (n=13). To find the position, set \(a_n\) equal to the given term.
लगातार तीन पदों में (2(3x+6)=(2x+1)+(5x+5)), इससे (x=6) मिलता है। बीच वाला पद दोनों ओर के पदों का औसत होता है। / For three consecutive terms, (2(3x+6)=(2x+1)+(5x+5)), giving (x=6). The middle term is the average of the two surrounding terms.
\(a_{11}-a_3=8d=56\), इसलिए (d=7) और (a_7=16+4(7)=44)। पहले समान अंतर निकालें। / \(a_{11}-a_3=8d=56\), so (d=7) and (a_7=16+4(7)=44). Find the common difference first.
\(13,18,23,28,33,38,\ldots\) में छठा पद (38) और समान अंतर (5) है। विकल्पों को पद-संख्या तक जांचें। / In \(13,18,23,28,33,38,\ldots\), the sixth term is (38) and the common difference is (5). Check each option up to the required term.
\(a_{15}=a_1+14d\), इसलिए (93=9+14d) और (d=6)। पंद्रहवें पद तक (14) अंतर होते हैं। / \(a_{15}=a_1+14d\), so (93=9+14d) and (d=6). Up to the fifteenth term, there are (14) gaps.
पद \(31,25,19,13,7,1,-5,\ldots\) हैं, इसलिए पहला ऋणात्मक पद (7)वाँ है। दिए विकल्पों में (7)वाँ सही है। / The terms are \(31,25,19,13,7,1,-5,\ldots\), so the first negative term is the (7)th. Among the options, the (7)th is correct.
\(a_{14}\) और \(a_5\) के बीच (9) अंतर हैं और (d=8), इसलिए अंतर (72) है। पदों का अंतर पद-संख्या के अंतर पर निर्भर करता है। / There are (9) gaps between \(a_{14}\) and \(a_5\), and (d=8), so the difference is (72). Term difference depends on position difference.
पहले (6) पद (14,19,24,29,34,39) हैं और योग (159) है। नियम से पद बनाकर जोड़ना सुरक्षित तरीका है। / The first (6) terms are (14,19,24,29,34,39), and their sum is (159). Forming terms from the rule and adding is a safe method.
\(a_{12}-a_5=7d=42\), इसलिए (d=6) और (a_1=26-4(6)=2)। बीच के पदों से पहले (d) निकालें। / \(a_{12}-a_5=7d=42\), so (d=6) and (a_1=26-4(6)=2). From middle terms, first find (d).
\(a_6\) और \(a_{14}\) से \(a_{10}\) समान दूरी पर है, इसलिए \(a_{10}=\frac{120}{2}=60\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_{10}\) is equidistant from \(a_6\) and \(a_{14}\), so \(a_{10}=\frac{120}{2}=60\). The average of symmetric terms is the middle term.
(72+(n-1)(-8)=0) से (8(n-1)=72) और (n=10)। घटती श्रेणी में भी वही \(a_n\) सूत्र लगता है। / From (72+(n-1)(-8)=0), (8(n-1)=72) and (n=10). The same \(a_n\) formula works in a decreasing progression.
(2(4x+3)=(3x-2)+(6x+1)) से (x=7), इसलिए पद (19,31,43) और अंतर (12) है। पहले (x) निकालें फिर अंतर निकालें। / From (2(4x+3)=(3x-2)+(6x+1)), (x=7), so the terms are (19,31,43) and the difference is (12). First find (x), then find the difference.
पद \(22,17,12,7,2,-3,\ldots\) हैं, इसलिए धनात्मक पद (5) हैं। शून्य और ऋणात्मक पदों को धनात्मक न मानें। / The terms are \(22,17,12,7,2,-3,\ldots\), so there are (5) positive terms. Do not count zero or negative terms as positive.
पहला पद (11) और (d=9) है, इसलिए (a_n=11+(n-1)9=9n+2)। विकल्प को (n=1) रखकर जांच सकते हैं। / The first term is (11) and (d=9), so (a_n=11+(n-1)9=9n+2). You can check an option by putting (n=1).
\(a_{10}\), \(a_4\) और \(a_{16}\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_{10}=\frac{140}{2}=70\)। सममित पदों का औसत बीच का पद होता है। / \(a_{10}\) is equidistant from \(a_4\) and \(a_{16}\), so \(a_{10}=\frac{140}{2}=70\). The average of symmetric terms is the middle term.
\(1,9,17,25,\ldots\) में (d=8), इसलिए \(a_3=17\) और \(a_9=65\) है। विकल्पों में दोनों शर्तें जांचें। / In \(1,9,17,25,\ldots\), (d=8), so \(a_3=17\) and \(a_9=65\). Check both conditions in the options.
\(a_5=4+4d\) और \(a_9=4+8d\), इसलिए (8+12d=80) और (d=6)। दोनों पदों को \(a_1\) और (d) से लिखें। / \(a_5=4+4d\) and \(a_9=4+8d\), so (8+12d=80) and (d=6). Write both terms using \(a_1\) and (d).
सामान्य पद \(a_n=5n+9\) है और (120) से छोटा सबसे बड़ा पद (119) है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=5n+9\), and the greatest term below (120) is (119). In boundary questions, check nearby terms.
\(a_4=43\) और \(a_9=18\), इसलिए योग (61) नहीं बल्कि (61) है। सही विकल्पों में (61) होना चाहिए। / \(a_4=43\) and \(a_9=18\), so the sum is (61). The correct option should include (61).
\(a_{13}-a_8=5d=35\), इसलिए (d=7) और (a_1=45-7(7)=-4)। पहले (d) निकालकर पीछे जाएं। / \(a_{13}-a_8=5d=35\), so (d=7) and (a_1=45-7(7)=-4). First find (d), then move backward.
(2(2p+5)=(p+2)+(4p+1)) से (4p+10=5p+3) और (p=7) आता है। सही विकल्प (7) होना चाहिए। / From (2(2p+5)=(p+2)+(4p+1)), (4p+10=5p+3), so (p=7). The correct option should be (7).
पहला और नौवाँ पद (5) और (69) हैं, इसलिए योग (\frac{9(5+69)}{2}=333)। सममित जोड़ से गणना तेज होती है। / The first and ninth terms are (5) and (69), so the sum is (\frac{9(5+69)}{2}=333). Pairing symmetric terms makes calculation quick.
आठ अंतरों में वृद्धि (48) है, इसलिए (d=6) और (a_{10}=31+4(6)=55)। \(a_{10}\) दोनों दिए पदों के बीच आता है। / The increase over eight gaps is (48), so (d=6) and (a_{10}=31+4(6)=55). \(a_{10}\) lies between the two given terms.
\(36,32,28,24,20,16,12,8,4,\ldots\) में पहला पद (36) और नौवाँ पद (4) है। विकल्पों में नौवें पद तक जांच करें। / In \(36,32,28,24,20,16,12,8,4,\ldots\), the first term is (36) and the ninth term is (4). Check options up to the ninth term.
\(a_{16}\) और \(a_7\) के बीच (9) अंतर हैं, इसलिए अंतर \(9\times9=81\) है। पदों का अंतर सीधे (d) से निकाला जा सकता है। / There are (9) gaps between \(a_{16}\) and \(a_7\), so the difference is \(9\times9=81\). Term differences can be found directly using (d).
सामान्य पद \(a_n=6n+11\) है और \(a_{16}=107\) पहला पद है जो (100) से बड़ा है। सीमा वाले प्रश्न में पास के पद जांचें। / The general term is \(a_n=6n+11\), and \(a_{16}=107\) is the first term greater than (100). In boundary questions, check nearby terms.
\(a_{10}\), \(a_5\) और \(a_{15}\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_{10}=\frac{150}{2}=75\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_{10}\) is equidistant from \(a_5\) and \(a_{15}\), so \(a_{10}=\frac{150}{2}=75\). The average of symmetric terms is the middle term.
\(a_3=-2\) और \(a_4=5\), इसलिए पहला धनात्मक पद (4)वाँ है। धनात्मक पद के लिए \(a_n>0\) जांचें। / \(a_3=-2\) and \(a_4=5\), so the first positive term is the (4)th. Check \(a_n>0\) for positive terms.
\(a_6=52\) और \(a_{10}=88\), इसलिए योग (140) है। सही विकल्पों में (140) होना चाहिए। / \(a_6=52\) and \(a_{10}=88\), so the sum is (140). The correct option should include (140).
(2(6x+1)=(4x-3)+(9x-2)) से (12x+2=13x-5) और (x=7) आता है। सही विकल्प (7) होना चाहिए। / From (2(6x+1)=(4x-3)+(9x-2)), (12x+2=13x-5), so (x=7). The correct option should be (7).
(\frac{7}{2}[2(8)+6d]=161) से (56+21d=161) और (d=5)। योग वाले प्रश्न में पहले (n) और (a) रखें। / (\frac{7}{2}[2(8)+6d]=161) gives (56+21d=161) and (d=5). In sum questions, substitute (n) and (a) first.
(a_n=18+(n-1)7=7n+11), इसलिए (7n+11=102) से (n=13)। सामान्य पद बनाकर समीकरण हल करें। / (a_n=18+(n-1)7=7n+11), so (7n+11=102) gives (n=13). Form the general term and solve the equation.
चार अंतरों में वृद्धि (24) है, इसलिए (d=6) और (a_{12}=44+4(6)=68)। पास के पद से आगे बढ़ना आसान है। / The increase over four gaps is (24), so (d=6) and (a_{12}=44+4(6)=68). Moving forward from a nearby term is easy.
(n=1,2,3,4) रखने पर \(10,17,24,31,\ldots\) मिलता है। नियम से शुरू के पद बनाकर विकल्प मिलाएं। / Putting (n=1,2,3,4) gives \(10,17,24,31,\ldots\). Form the initial terms from the rule and match the option.
सामान्य पद \(a_n=6n+3\) है और (90) से छोटा सबसे बड़ा पद (87) है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=6n+3\), and the greatest term below (90) is (87). In boundary questions, check nearby terms.
\(a_4=27\) और \(a_8=3\), इसलिए योग (30) है। सही विकल्पों में (30) होना चाहिए। / \(a_4=27\) and \(a_8=3\), so the sum is (30). The correct option should include (30).
\(a_{14}-a_5=9d=63\), इसलिए (d=7) और (a_1=18-4(7)=-10)। पहले समान अंतर निकालें। / \(a_{14}-a_5=9d=63\), so (d=7) and (a_1=18-4(7)=-10). Find the common difference first.
पहला और बारहवाँ पद (7) और (84) हैं, इसलिए योग (\frac{12(7+84)}{2}=546)। योग में पहला और अंतिम पद उपयोग करें। / The first and twelfth terms are (7) and (84), so the sum is (\frac{12(7+84)}{2}=546). Use the first and last terms for the sum.
\(a_7=4\) और \(a_8=-1\), इसलिए पहला ऋणात्मक पद (8)वाँ है। शून्य से नीचे जाने वाला पहला पद देखें। / \(a_7=4\) and \(a_8=-1\), so the first negative term is the (8)th. Look for the first term below zero.
\(a_7\), \(a_4\) और \(a_{10}\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_7=\frac{96}{2}=48\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_7\) is equidistant from \(a_4\) and \(a_{10}\), so \(a_7=\frac{96}{2}=48\). The average of symmetric terms is the middle term.
\(a_5=38\) और \(a_{11}=74\), इसलिए योग (112) है। सही विकल्पों में (112) होना चाहिए। / \(a_5=38\) and \(a_{11}=74\), so the sum is (112). The correct option should include (112).
\(a_7=a_1+6d\), इसलिए \(50=a_1+54\) और \(a_1=-4\)। दिए पद से पीछे जाने के लिए समान अंतर घटाएं। / \(a_7=a_1+6d\), so \(50=a_1+54\) and \(a_1=-4\). To move backward from a given term, subtract common differences.
\(a_{12}=93\) और \(a_4=37\), इसलिए योग (130) है। सही विकल्पों में (130) होना चाहिए। / \(a_{12}=93\) and \(a_4=37\), so the sum is (130). The correct option should include (130).
पाँच अंतरों में वृद्धि (35) है, इसलिए (d=7) और (a_{15}=64+4(7)=92)। पहले (d) निकालें फिर आगे बढ़ें। / The increase over five gaps is (35), so (d=7) and (a_{15}=64+4(7)=92). First find (d), then move forward.
यहाँ (a=19) और (d=6), इसलिए (a_{24}=19+23(6)=157)। बड़े पद के लिए भी (a_n=a+(n-1)d) लगाएं। / Here (a=19) and (d=6), so (a_{24}=19+23(6)=157). Use (a_n=a+(n-1)d) even for larger terms.
\(a_3=a_1+12\) और \(a_{11}=a_1+60\), इसलिए \(2a_1+72=92\) और \(a_1=10\)। योग वाले प्रश्न में दोनों पदों को \(a_1\) और (d) से लिखें। / \(a_3=a_1+12\) and \(a_{11}=a_1+60\), so \(2a_1+72=92\) and \(a_1=10\). In sum-based questions, write both terms using \(a_1\) and (d).
