If (a_1=8) and the sum of the first (7) terms is (161), what is the common difference?यदि (a_1=8) और पहले (7) पदों का योग (161) है, तो समान अंतर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (5)(5)
The direct answer is B: 5. For an arithmetic progression, the sum of the first n terms is S_n = n/2[2a+(n-1)d]. Here n=7, a=8 and S_7=161. Substitute: 161 = 7/2[2(8)+6d] = 7/2(16+6d). Multiplying by 2 gives 322 = 7(16+6d), so 322 = 112+42d, 210=42d and d=5. Equivalently, the average of seven terms is 161/7=23; the middle fourth term is 23, and 8+3d=23, giving d=5. Option A, 4, would give a sum of 140. Option B is correct. Option C, 6, would give a sum of 182. Option D, 7, would give 203. The common mistake is forgetting n-1 and writing 7d instead of 6d in the formula.सीधा उत्तर B है: 5। समान्तर श्रेणी के पहले n पदों का योग होता है \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\)। यहाँ \(n=7\), पहला पद \(a=8\) और योग \(S_7=161\) है। रखने पर \(161=\frac{7}{2}[2(8)+6d]\)। दोनों तरफ 2 से गुणा करने पर \(322=7(16+6d)=112+42d\)। अतः \(210=42d\), इसलिए \(d=5\)। दूसरे तरीके से, सात पदों का औसत \(161/7=23\) है। चौथा पद औसत होता है, इसलिए \(8+3d=23\), और फिर \(d=5\)। विकल्प A, 4, रखने पर योग 140 आएगा। विकल्प B सही है। विकल्प C, 6, रखने पर योग 182 आएगा, और विकल्प D, 7, रखने पर 203 आएगा। सामान्य गलती है \(n-1\) भूलकर 6 की जगह 7 लेना।
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