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समांतर श्रेणी में दो पदों का अंतर उनके क्रमांकों के अंतर गुणा समान अंतर के बराबर होता है। अतः \(a_{12}-a_5=(12-5)d\), यानी \(46-18=7d\)। इसलिए \(28=7d\) और \(d=4\)। विकल्प 7 क्रमांकों का अंतर है, समान अंतर नहीं। परीक्षा टिप: \(a_n-a_m=(n-m)d\) का प्रयोग करने से प्रथम पद ज्ञात किए बिना भी \(d\) निकाला जा सकता है। / In an arithmetic progression, the difference between two terms equals the difference in their positions multiplied by the common difference. Thus, \(a_{12}-a_5=(12-5)d\), so \(46-18=7d\). Hence, \(28=7d\) and \(d=4\). Option 7 is the difference between the term numbers, not the common difference. Exam tip: use \(a_n-a_m=(n-m)d\) to find \(d\) without first finding the initial term.
समांतर श्रेणी में तीसरा पद \(a_3=a_1+2d\) होता है। अतः \(11=a_1+2(5)=a_1+10\), इसलिए \(a_1=1\)। विकल्प 6 लेने पर तीसरा पद \(6+10=16\) आता, जो 11 नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद ज्ञात करने के लिए \(a_n=a_1+(n-1)d\) सूत्र प्रयोग करें। / In an arithmetic progression, the third term is \(a_3=a_1+2d\). Hence, \(11=a_1+2(5)=a_1+10\), so \(a_1=1\). If 6 were the first term, the third term would be \(6+10=16\), not 11. Exam tip: use \(a_n=a_1+(n-1)d\) to relate any term to the first term.
(7n-2=96) से (7n=98) और (n=14)। पद का स्थान निकालने के लिए \(a_n\) को दिए पद के बराबर रखें। / From (7n-2=96), (7n=98) and (n=14). To find the position set \(a_n\) equal to the given term.
लगातार तीन पदों में (2(x+4)=(2x-3)+(3x+1)), इससे (x=2) मिलता है। बीच वाला पद दोनों ओर के पदों का औसत होता है। / For three consecutive terms, (2(x+4)=(2x-3)+(3x+1)), giving (x=2). The middle term is the average of the two surrounding terms.
समांतर श्रेणी में दो पदों का अंतर उनके क्रमांकों के अंतर गुणा समान अंतर के बराबर होता है। अतः \(a_9-a_2=7d=44-9=35\), इसलिए \(d=5\)। अब \(a_5=a_2+3d=9+3\times5=24\)। विकल्प 22 लेने पर समान अंतर 5 के अनुसार पदों का क्रम नहीं बनेगा। परीक्षा टिप: दिए गए दो पदों से पहले \(d\) निकालें, फिर आवश्यक पद तक पहुँचें। / In an arithmetic progression, the difference between two terms equals the difference in their positions multiplied by the common difference. Thus, \(a_9-a_2=7d=44-9=35\), so \(d=5\). Now, \(a_5=a_2+3d=9+3\times5=24\). Option 22 does not fit a progression with common difference 5. Exam tip: first find \(d\) from the given terms, then move to the required term.
\(2,8,14,20,\ldots\) में चौथा पद (20) और समान अंतर (6) है। विकल्पों को पद-संख्या तक जांचें। / In \(2,8,14,20,\ldots\), the fourth term is (20) and the common difference is (6). Check options up to the required term.
क्रमागत पदों के अंतर समान होते हैं, इसलिए \(y-x=z-y\)। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर \(2y=x+z\) मिलता है; अर्थात मध्य पद पड़ोसी पदों का अंकगणितीय माध्य है। \(y=x+z\) सामान्यतः सत्य नहीं है। परीक्षा में इस संबंध से ए.पी. पहचानें। / Consecutive terms have equal differences, so \(y-x=z-y\). Rearranging gives \(2y=x+z\); thus, the middle term is the arithmetic mean of its neighbours. \(y=x+z\) is not generally true. In exams, use this relation to identify an AP quickly.
पद \(18,13,8,3,-2,\ldots\) हैं, इसलिए पहला ऋणात्मक पद (5)वाँ है। शून्य के आसपास पदों को क्रम से जांचें। / The terms are \(18,13,8,3,-2,\ldots\), so the first negative term is the (5)th. Check terms around zero in order.
\(a_{12}\) और \(a_4\) के बीच (8) अंतर हैं और (d=7), इसलिए अंतर (56) है। पदों का अंतर पद-संख्या के अंतर पर निर्भर करता है। / There are (8) gaps between \(a_{12}\) and \(a_4\), and (d=7), so the difference is (56). Term difference depends on position difference.
पहले (6) पद (11,14,17,20,23,26) हैं और योग (111) है। नियम से पद बनाकर जोड़ना सुरक्षित तरीका है। / The first (6) terms are (11,14,17,20,23,26), and their sum is (111). Forming terms from the rule and adding is a safe method.
समांतर श्रेणी में \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_3=a_1+2d=16\) और \(a_8=a_1+7d=41\)। दोनों समीकरणों को घटाने पर \(5d=25\), इसलिए \(d=5\)। अब \(a_1=16-2\times5=6\)। इसलिए सही उत्तर 6 है। 5 निकट का विकल्प हो सकता है, पर वह सार्वांतर है, पहला पद नहीं। परीक्षा टिप: दो दिए गए पदों का अंतर लेकर पहले \(d\) ज्ञात करें। / For an arithmetic progression, \(a_n=a_1+(n-1)d\). Thus, \(a_3=a_1+2d=16\) and \(a_8=a_1+7d=41\). Subtracting the equations gives \(5d=25\), so \(d=5\). Now, \(a_1=16-2\times5=6\). Therefore, 6 is correct. Option 5 is a close distractor because it is the common difference, not the first term. Exam tip: When two terms are given, subtract their equations first to find \(d\).
समांतर श्रेणी में \(a_4\) और \(a_8\) का औसत \(a_6\) होता है, इसलिए \(a_6=\frac{50}{2}=25\)। समान दूरी वाले पदों का औसत बीच का पद होता है। / In an arithmetic progression, the average of \(a_4\) and \(a_8\) is \(a_6\), so \(a_6=\frac{50}{2}=25\). Equidistant terms average to the middle term.
(50+(n-1)(-7)=1) से (7(n-1)=49) और (n=8)। घटती श्रेणी में भी वही \(a_n\) सूत्र लगता है। / From (50+(n-1)(-7)=1), (7(n-1)=49) and (n=8). The same \(a_n\) formula works in a decreasing progression.
(2(x+2)=(x-4)+(2x-2)) से (x=8), इसलिए समान अंतर (10-4=6) है। पहले (x) निकालें फिर अंतर निकालें। / From (2(x+2)=(x-4)+(2x-2)), (x=8), so the common difference is (10-4=6). First find (x), then find the difference.
पद \(12,9,6,3,0,-3,\ldots\) हैं, इसलिए धनात्मक पद (4) हैं। शून्य को धनात्मक नहीं मानते। / The terms are \(12,9,6,3,0,-3,\ldots\), so there are (4) positive terms. Zero is not counted as positive.
पहला पद (5) और (d=9) है, इसलिए (a_n=5+(n-1)9=9n-4)। विकल्प को (n=1) रखकर जांच सकते हैं। / The first term is (5) and (d=9), so (a_n=5+(n-1)9=9n-4). You can check an option by putting (n=1).
\(a_2\) और \(a_{10}\) से \(a_6\) समान दूरी पर है, इसलिए \(a_6=\frac{64}{2}=32\)। सममित पदों का औसत बीच का पद होता है। / \(a_6\) is equidistant from \(a_2\) and \(a_{10}\), so \(a_6=\frac{64}{2}=32\). The average of symmetric terms is the middle term.
\(2,7,12,17,\ldots\) में \(a_3=12\) और (d=5), इसलिए \(a_7=32\)। विकल्पों में दोनों शर्तें जांचें। / In \(2,7,12,17,\ldots\), \(a_3=12\) and (d=5), so \(a_7=32\). Check both conditions in the options.
\(a_4=3+3d\) और \(a_6=3+5d\), इसलिए (6+8d=56) और \(d=\frac{25}{4}\) नहीं आता; सही समीकरण से \(d=\frac{50}{8}\) है। यह विकल्प-जांच प्रश्न नहीं होना चाहिए। / Using \(a_4=3+3d\) and \(a_6=3+5d\), (6+8d=56), so \(d=\frac{25}{4}\). This result is not among the options.
सामान्य पद \(a_n=3n+4\) है और (100) से छोटा सबसे बड़ा मान (97) मिलता है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=3n+4\), and the greatest value below (100) is (97). In boundary questions check the nearest terms.
दिया है कि \(a_n=40-5n\)। अतः \(a_3=40-5(3)=25\) तथा \(a_7=40-5(7)=5\)। इसलिए \(a_3+a_7=25+5=30\)। विकल्प 25 केवल \(a_3\) का मान है, योग नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले प्रत्येक आवश्यक पद के लिए \(n\) का मान रखकर फिर उनका योग करें। / Given \(a_n=40-5n\), we get \(a_3=40-5(3)=25\) and \(a_7=40-5(7)=5\). Therefore, \(a_3+a_7=25+5=30\). The value 25 is only \(a_3\), not the required sum. Exam tip: Substitute each required value of \(n\) separately before adding the terms.
समांतर श्रेणी का सामान्य पद
नहीं, यहाँ दो दिए गए पदों का अंतर लें:
a_{11}-a_6=(a+10d)-(a+5d)=5d.
अतः
5d=55-25=30, इसलिए d=6। अब
a_6=a_1+5d से a_1=25-5(6)=-5। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प -4 लेने पर छठा पद 26 आएगा, 25 नहीं। परीक्षा टिप: दो पद दिए हों तो पहले उनके क्रमांकों का अंतर लेकर d ज्ञात करें। / Use the difference between the two given terms:
a_{11}-a_6=\(a_1+10d\)-\(a_1+5d\)=5d.
Thus,
5d=55-25=30, so d=6. Now, from
a_6=a_1+5d, we get a_1=25-5(6)=-5. Hence, option A is correct. If a_1 were -4, the sixth term would be 26, not 25. Exam tip: when two AP terms are given, first use the difference in their term numbers to find d.
समांतर श्रेणी के लगातार तीन पदों में बीच का पद पहले और तीसरे पद के औसत के बराबर होता है। अतः \(2(a+8)=a+(3a-4)\)। इससे \(2a+16=4a-4\), इसलिए \(2a=20\) और \(a=10\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प B है। विकल्प 12 लेने पर तीनों पदों के बीच समान अंतर नहीं मिलेगा। परीक्षा टिप: लगातार तीन AP पदों के लिए सीधे \(2\times\text{मध्य पद}=\text{पहला पद}+\text{तीसरा पद}\) का प्रयोग करें। / For three consecutive terms of an arithmetic progression, twice the middle term equals the sum of the first and third terms. Thus, \(2(a+8)=a+(3a-4)\). This gives \(2a+16=4a-4\), so \(2a=20\) and hence \(a=10\). Therefore, option B is correct. If \(a=12\), the differences between the three terms are not equal. Exam tip: for three consecutive AP terms, use \(2\times\text{middle term}=\text{first term}+\text{third term}\).
पहले (7) पद (2,8,14,20,26,32,38) हैं और योग (140) है। सममित जोड़ से गणना तेज होती है। / The first (7) terms are (2,8,14,20,26,32,38), and their sum is (140). Pairing symmetric terms makes calculation faster.
शून्य पद ज्ञात करने के लिए दिए गए पद को 0 के बराबर रखते हैं: \(12-2n=0\)। अतः \(2n=12\), इसलिए \(n=6\)। इसलिए श्रेणी का छठा पद शून्य है। पाँचवें पद पर मान \(12-2(5)=2\) होता है, इसलिए वह शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी विशेष मान वाला पद पूछे जाने पर \(a_n\) को उसी मान के बराबर रखकर \(n\) हल करें। / To find the zero term, set the given term equal to 0: \(12-2n=0\). Thus, \(2n=12\), so \(n=6\). Hence, the sixth term of the AP is zero. At the fifth term, \(12-2(5)=2\), so it is not zero. Exam tip: When a term with a specified value is asked, equate \(a_n\) to that value and solve for \(n\).
छह अंतरों में वृद्धि (24) है, इसलिए (d=4) और (a_7=10+3(4)=22)। \(a_7\) दोनों दिए पदों के बीच आता है। / The increase over six gaps is (24), so (d=4) and (a_7=10+3(4)=22). \(a_7\) lies between the two given terms.
\(16,12,8,4,0,\ldots\) में पहला पद (16) और पाँचवाँ पद (0) है। विकल्पों में पाँचवें पद तक जांच करें। / In \(16,12,8,4,0,\ldots\), the first term is (16) and the fifth term is (0). Check options up to the fifth term.
\(a_{15}\) और \(a_9\) के बीच (6) अंतर हैं, इसलिए अंतर \(6\times9=54\) है। पदों का अंतर सीधे (d) से निकाला जा सकता है। / There are (6) gaps between \(a_{15}\) and \(a_9\), so the difference is \(6\times9=54\). Term differences can be found directly using (d).
सामान्य पद \(a_n=7n+2\) है और \(a_{15}=107\) पहला पद है जो (100) से बड़ा है। सीमा वाले प्रश्न में पास के पद जांचें। / The general term is \(a_n=7n+2\), and \(a_{15}=107\) is the first term greater than (100). In boundary questions check nearby terms.
\(a_3\) और \(a_9\) से \(a_6\) समान दूरी पर है, इसलिए \(a_6=\frac{72}{2}=36\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_6\) is equidistant from \(a_3\) and \(a_9\), so \(a_6=\frac{72}{2}=36\). The average of symmetric terms is the middle term.
\(a_2=-2\) और \(a_3=3\), इसलिए पहला धनात्मक पद (3)वाँ है। धनात्मक पद के लिए \(a_n>0\) जांचें। / \(a_2=-2\) and \(a_3=3\), so the first positive term is the (3)rd. Check \(a_n>0\) for positive terms.
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद \(a=3\) और सार्वांतर \(d=7\) है। \(a_n=a+(n-1)d\) से \(a_4=3+3\times7=24\) तथा \(a_8=3+7\times7=52\) मिलता है। अतः \(a_4+a_8=24+52=76\)। विकल्प 74 लेने पर पदों के बीच 7 के अंतर को सही ढंग से लागू नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: किसी भी समांतर श्रेणी में \(n\)वाँ पद निकालते समय \((n-1)d\) लें, \(nd\) नहीं। / Here, the first term is \(a=3\) and the common difference is \(d=7\). Using \(a_n=a+(n-1)d\), we get \(a_4=3+3\times7=24\) and \(a_8=3+7\times7=52\). Therefore, \(a_4+a_8=24+52=76\). The value 74 can result from not applying the common difference of 7 correctly. Exam tip: when finding the \(n\)th term of an AP, use \((n-1)d\), not \(nd\).
समांतर श्रेणी में दो पदों का अंतर उनके क्रमांकों के अंतर और सार्वांतर के गुणनफल के बराबर होता है। अतः \(a_{13}-a_5=(13-5)d=8d\)। इसलिए \(65-17=48=8d\), जिससे \(d=6\) प्राप्त होता है। विकल्प 8 क्रमांकों का अंतर है, सार्वांतर नहीं। परीक्षा टिप: \(a_n-a_m=(n-m)d\) का प्रयोग करने से प्रथम पद ज्ञात किए बिना भी \(d\) निकाला जा सकता है। / In an arithmetic progression, the difference between two terms equals the difference in their positions multiplied by the common difference. Thus, \(a_{13}-a_5=(13-5)d=8d\). Hence, \(65-17=48=8d\), giving \(d=6\). Option 8 is the difference between the term numbers, not the common difference. Exam tip: Use \(a_n-a_m=(n-m)d\) to find \(d\) without first finding the initial term.
(2(5x+2)=(4x-1)+(7x-3)) से (10x+4=11x-4) और (x=8) आता है। यह विकल्पों से मेल नहीं खाता। / From (2(5x+2)=(4x-1)+(7x-3)), (10x+4=11x-4), so (x=8). This does not match the selected options.
पहले (6) पदों का योग (6) पदों की सूची से (2,6,10,14,18,22) पर (72) होता है, इसलिए (d=4)। छोटे (n) में विकल्प-जांच तेज है। / The first (6) terms sum to (72) for (2,6,10,14,18,22), so (d=4). For small (n), option checking is quick.
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद 12 और सार्वांतर 5 है। अतः nवाँ पद \(a_n=12+(n-1)\times5=5n+7\) होगा। \(a_n=72\) रखने पर \(5n+7=72\), इसलिए \(5n=65\) और \(n=13\) मिलता है। इसलिए 72 श्रेणी का 13वाँ पद है। निकटतम विकल्प 14 गलत है, क्योंकि 14वाँ पद \(77\) होगा। परीक्षा टिप: पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए पहले \(a_n=a+(n-1)d\) लिखें। / Here, the first term is 12 and the common difference is 5. Therefore, the nth term is \(a_n=12+(n-1)\times5=5n+7\). Substituting \(a_n=72\), we get \(5n+7=72\), so \(5n=65\) and \(n=13\). Thus, 72 is the 13th term of the progression. The nearby option 14 is incorrect because the 14th term is \(77\). Exam tip: To find a term position, first use \(a_n=a+(n-1)d\).
तीन अंतरों में वृद्धि (12) है, इसलिए (d=4) और (a_9=20+4(4)=36)। पास के पद से आगे बढ़ना आसान है। / The increase over three gaps is (12), so (d=4) and (a_9=20+4(4)=36). Moving forward from a nearby term is easy.
(n=1,2,3,4) रखने पर \(7,13,19,25,\ldots\) मिलता है। नियम से शुरू के पद बनाकर विकल्प मिलाएं। / Putting (n=1,2,3,4) gives \(7,13,19,25,\ldots\). Form the initial terms from the rule and match the option.
सामान्य पद \(a_n=4n+2\) है और (50) से छोटा सबसे बड़ा पद (46) है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=4n+2\), and the greatest term below (50) is (46). In boundary questions check nearby terms.
समांतर श्रेणी में \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_2=20+(2-1)(-4)=16\) और \(a_6=20+(6-1)(-4)=0\)। इसलिए \(a_2+a_6=16+0=16\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प 20 तब मिल सकता है जब पदों में अंतर \(-4\) का प्रभाव सही ढंग से न जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: किसी भी पद के लिए \((n-1)d\) लिखकर पहले स्थानापन्न करें। / In an arithmetic progression, \(a_n=a_1+(n-1)d\). Thus, \(a_2=20+(2-1)(-4)=16\) and \(a_6=20+(6-1)(-4)=0\). Therefore, \(a_2+a_6=16+0=16\), so option A is correct. The value 20 may result from not applying the common difference \(-4\) correctly to the terms. Exam tip: Write \((n-1)d\) before substituting values for any term.
समांतर श्रेणी में दो पदों का अंतर उनके क्रमांकों के अंतर गुणा सार्वांतर के बराबर होता है। अतः \(a_{12}-a_3=9d=61-7=54\), इसलिए \(d=6\)। अब \(a_3=a_1+2d\) से \(7=a_1+12\), अतः \(a_1=-5\)। \(-4\) लेने पर तीसरा पद \(8\) आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए दो पदों से \(d\) निकालें, फिर \(a_n=a_1+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / In an arithmetic progression, the difference between two terms equals the difference of their positions multiplied by the common difference. Thus, \(a_{12}-a_3=9d=61-7=54\), so \(d=6\). Now, from \(a_3=a_1+2d\), we get \(7=a_1+12\), hence \(a_1=-5\). If \(-4\) were used, the third term would be \(8\), not \(7\). Exam tip: first find \(d\) from the two given terms, then use \(a_n=a_1+(n-1)d\).
पहला और नौवाँ पद (1) और (41) हैं, इसलिए योग (\frac{9(1+41)}{2}=189)। योग में पहला और अंतिम पद उपयोग करें। / The first and ninth terms are (1) and (41), so the sum is (\frac{9(1+41)}{2}=189). Use the first and last terms for the sum.
\(a_8=1\) और \(a_9=-2\), इसलिए पहला ऋणात्मक पद (9)वाँ है। शून्य से नीचे जाने वाला पहला पद देखें। / \(a_8=1\) and \(a_9=-2\), so the first negative term is the (9)th. Look for the first term below zero.
\(a_4\), \(a_2\) और \(a_6\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_4=\frac{40}{2}=20\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_4\) is equidistant from \(a_2\) and \(a_6\), so \(a_4=\frac{40}{2}=20\). The average of symmetric terms is the middle term.
(6,12,18) में दोनों अंतर (6) हैं। लगातार तीन पदों के लिए दोनों अंतर बराबर होने चाहिए। / In (6,12,18), both differences are (6). For three consecutive terms, the two differences must be equal.
समांतर श्रेणी का nवाँ पद \,\(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_3=9+(3-1)\times4=17\) और \(a_9=9+(9-1)\times4=41\)। इसलिए \(a_3+a_9=17+41=58\), अतः विकल्प C सही है। विकल्प 56 लेने पर पदों की गणना में अंतर या गुणन की त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: किसी भी पद के लिए \((n-1)d\) जोड़ना न भूलें। / The nth term of an arithmetic progression is \(a_n=a_1+(n-1)d\). Thus, \(a_3=9+(3-1)\times4=17\) and \(a_9=9+(9-1)\times4=41\). Therefore, \(a_3+a_9=17+41=58\), so option C is correct. Choosing 56 may result from an error in finding the term number or multiplying the common difference. Exam tip: always add \((n-1)d\) to the first term when finding the nth term.
\(a_5=a_1+4d\), इसलिए \(30=a_1+28\) और \(a_1=2\)। दिए पद से पीछे जाने के लिए समान अंतर घटाएं। / \(a_5=a_1+4d\), so \(30=a_1+28\) and \(a_1=2\). To move backward from a given term subtract common differences.
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद 8 और सार्वांतर 7 है। इसलिए \(a_{10}=8+(10-1)\times7=71\) तथा \(a_2=8+(2-1)\times7=15\)। अतः \(a_{10}+a_2=71+15=86\)। 84 जैसा विकल्प पदों की गणना में सार्वांतर या पद-क्रम की गलती से आ सकता है। परीक्षा टिप: \(a_n=a+(n-1)d\) में \(n-1\) अवश्य लिखें। / In this arithmetic progression, the first term is 8 and the common difference is 7. Thus, \(a_{10}=8+(10-1)\times7=71\) and \(a_2=8+(2-1)\times7=15\). Hence, \(a_{10}+a_2=71+15=86\). A value such as 84 may result from using an incorrect common difference or term position. Exam tip: always use \(n-1\) in \(a_n=a+(n-1)d\).
पाँच अंतरों में वृद्धि (30) है, इसलिए (d=6) और (a_{12}=48+3(6)=66)। पहले (d) निकालें फिर आगे बढ़ें। / The increase over five gaps is (30), so (d=6) and (a_{12}=48+3(6)=66). First find (d), then move forward.
यहाँ (a=13) और (d=5), इसलिए (a_{20}=13+19(5)=108)। बड़े पद के लिए भी (a_n=a+(n-1)d) लगाएं। / Here (a=13) and (d=5), so (a_{20}=13+19(5)=108). Use (a_n=a+(n-1)d) even for larger terms.
