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A. यह एक समांतर श्रेणी है जिसका सार्वांतर 4 है।/It is an arithmetic progression with common difference 4.
Explanation
Simple Explanation
\(a_n=4n-1\) में \(n\) को 1 बढ़ाने पर पद 4 बढ़ता है, इसलिए \(a_{n+1}-a_n=4\) नियत है। अतः यह समांतर श्रेणी है। गुणोत्तर श्रेणी में अनुपात नियत होता है। परीक्षा टिप: रैखिक रूप \(pn+q\) में सार्वांतर \(p\) होता है। / When \(n\) increases by 1 in \(a_n=4n-1\), the term increases by 4, so \(a_{n+1}-a_n=4\) is constant. Hence it is an arithmetic progression, not a GP, which needs a constant ratio. Exam tip: in \(pn+q\), the common difference is \(p\).
क्रमागत पदों के अंतर: 5−2=3, 8−5=3 और 11−8=3 हैं; अतः अंतर स्थिर है और यह AP है। विकल्प B में अंतर 1, 2, 4 बदलते हैं। परीक्षा टिप: AP पहचानने के लिए लगातार पदों का अंतर जाँचें। / The consecutive differences are 5−2=3, 8−5=3, and 11−8=3, so the common difference is constant and the sequence is an AP. In option B, the differences 1, 2, 4 change. Exam tip: check consecutive differences to identify an AP.
क्रमागत अंतर \(9,15,21\) हैं और इनके दूसरे अंतर \(6,6\) हैं। अतः सामान्य पद द्विघात रूप का होगा तथा \(n^2\) का गुणांक \(6/2=3\) होगा। \(a_n=3n^2-1\) रखने पर \(a_1=2, a_2=11, a_3=26\) और \(a_4=47\) मिलते हैं। विकल्प D केवल समान प्रथम अंतर वाले रैखिक अनुक्रम के लिए होता है। परीक्षा टिप: स्थिर दूसरे अंतर मिलने पर पहले \(n^2\) वाले पद की जाँच करें। / The successive differences are \(9,15,21\), and their second differences are constant: \(6,6\). Hence the rule is quadratic, with coefficient of \(n^2\) equal to \(6/2=3\). Substituting in \(a_n=3n^2-1\) gives \(a_1=2, a_2=11, a_3=26\), and \(a_4=47\). Option D is linear and would require equal first differences. Exam tip: constant second differences usually indicate a quadratic sequence rule.
\(n=5\) रखने पर \(a_5=\frac{5(4\times5+1)}{2}=\frac{5(21)}{2}=\frac{105}{2}\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प C है। \(\frac{101}{2}\) प्राप्त हो सकता है यदि कोष्ठक में \(4\times5+1\) का मान गलत निकाला जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पद-क्रमांक रखने के बाद गुणा और जोड़ के क्रम का ध्यान रखें। / Substitute \(n=5\): \(a_5=\frac{5(4\times5+1)}{2}=\frac{5(21)}{2}=\frac{105}{2}\). Hence, option C is correct. \(\frac{101}{2}\) may result from evaluating \(4\times5+1\) incorrectly. Exam tip: after substituting the term number in a general term, follow the order of operations carefully.
\(\frac{n(4n+1)}{2}\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को भी छोटे (n) से जाँचें। / \(\frac{n(4n+1)}{2}\) gives the given terms. In exams, test fractional terms with small (n).
दिया है कि \(a_n=(3n-2)^2\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=(3\times4-2)^2=(12-2)^2=10^2=100\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 100 है। \(121\) तब मिलता यदि कोष्ठक के भीतर का मान 11 होता, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान रखें, फिर कोष्ठक और घात का क्रम पूरा करें। / Given \(a_n=(3n-2)^2\). Substituting \(n=4\), \(a_4=(3\times4-2)^2=(12-2)^2=10^2=100\). Therefore, 100 is the correct option. \(121\) would result only if the expression inside the square were 11, which it is not here. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then simplify the bracket before applying the exponent.
दिए गए पद क्रमशः \(1^2,4^2,7^2,10^2\) हैं। इनके वर्गमूल \(1,4,7,10\) एक समांतर श्रेणी बनाते हैं, जिसका \(n\)वाँ पद \(3n-2\) है। इसलिए अनुक्रम का स्पष्ट नियम \(a_n=(3n-2)^2\) है। विकल्प B में \(n=2\) रखने पर 10 मिलता है, 16 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रम में पहले पदों के वर्गमूल लेकर उनका पैटर्न जाँचें। / The terms are \(1^2,4^2,7^2,10^2\). Their square roots, \(1,4,7,10\), form an arithmetic sequence whose \(n\)th term is \(3n-2\). Hence the explicit rule is \(a_n=(3n-2)^2\). In option B, substituting \(n=2\) gives 10, not 16. Exam tip: for sequences of perfect squares, first check the pattern in their square roots.
दिया है \(a_n=150-11n\)। \(n=7\) रखने पर \(a_7=150-11\times7=150-77=73\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प \(73\) है। \(77\) केवल \(11\times7\) का मान है, यह \(a_7\) नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में सही पद संख्या रखने के बाद गुणा पहले करें, फिर घटाव करें। / Given \(a_n=150-11n\), substitute \(n=7\): \(a_7=150-11\times7=150-77=73\). Hence, \(73\) is correct. \(77\) is only the value of \(11\times7\), not the value of \(a_7\). Exam tip: substitute the term number carefully, multiply first, and then subtract.
(n=1) पर (139) और (n=2) पर (128) मिलता है, इसलिए \(a_n=150-11n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम का पहला पद मिलाएँ। / At (n=1) it gives (139), and at (n=2) it gives (128), so \(a_n=150-11n\). In exams, match the first term of a decreasing sequence.
(8n-5=155) से (n=20) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (8n-5=155), we get (n=20). In exams, equate the formula to the given value to find the term number.
इसका नियम \(a_n=11n-7\) है और (11n-7=125) से (n=12) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / Its rule is \(a_n=11n-7\), and (11n-7=125) gives (n=12). In exams, equate the given term to the general term.
यहाँ पदों की संख्या \(n=1\) से शुरू होती है। \(a_n=2^n+n^2\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(3,8,17,32\) प्राप्त होते हैं। विकल्प \(2n^2+1\) से पहले दो पद \(3,9\) मिलते हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में सामान्य पद जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों में \(n\) के मान रखें। / The term number starts with \(n=1\). Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=2^n+n^2\) gives \(3,8,17,32\), respectively. The close distractor \(2n^2+1\) gives \(3,9\) as its first two terms, so it does not fit the sequence. Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three values of \(n\).
n=3 रखने पर a_3=33+32-1=27+9-1=35 होता है। इसलिए सही उत्तर 35 है। 33 तब मिलता है जब अंतिम 1 को गलत तरीके से घटाया जाए, जबकि 27+9-1 का सही मान 35 है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय n के स्थान पर दी गई संख्या को घात और वर्ग, दोनों में रखें। / Putting n=3, we get a_3=33+32-1=27+9-1=35. Therefore, the correct answer is 35. A value such as 33 results from an incorrect calculation of the final subtraction; 27+9-1 equals 35. Exam tip: when finding a term from an explicit rule, substitute the given value of n in every occurrence of n, including powers and squares.
सही नियम \(a_n=3^n+n^2-1\) है। इसमें \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(3,12,35,96\) प्राप्त होते हैं। विकल्प \(a_n=3n^2\) से पहला पद 3 तो मिलता है, लेकिन दूसरा पद 12 के बजाय 12 और तीसरा पद 27 मिलता है, इसलिए वह नियम पूरे अनुक्रम के लिए सही नहीं है। परीक्षा में सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए जाँचें। / The correct rule is \(a_n=3^n+n^2-1\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(3,12,35,96\), respectively. Although \(a_n=3n^2\) gives the first two terms as 3 and 12, it gives 27 as the third term instead of 35, so it is not the rule for the sequence. In exams, test a proposed general term with at least the first three terms.
\(n=5\) रखने पर \(a_5=7\cdot2^{5-1}+4=7\cdot2^4+4=7\cdot16+4=116\)। इसलिए सही उत्तर 116 है। 112 केवल \(7\cdot16\) है; इसमें अंत में जोड़ा जाने वाला \(+4\) छूट गया है। परीक्षा टिप: पहले \(n-1\) का मान निकालें, फिर घात की गणना करें। / Substitute \(n=5\): \(a_5=7\cdot2^{5-1}+4=7\cdot2^4+4=7\cdot16+4=116\). Therefore, the correct answer is 116. The value 112 is only \(7\cdot16\); it misses the final \(+4\). Exam tip: evaluate \(n-1\) first, then calculate the power.
\(7\cdot2^{n-1}+4\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में गुणोत्तर रूप में स्थिर जोड़ भी जाँचें। / \(7\cdot2^{n-1}+4\) gives the given terms. In exams, also check constant addition in geometric forms.
दिया है, \(a_n=4n^2+5n-6\)। अतः \(a_3=4(3)^2+5(3)-6=45\) और \(a_5=4(5)^2+5(5)-6=119\)। इसलिए \(a_3+a_5=45+119=164\)। 162 जैसा निकट विकल्प जोड़ या गुणा में छोटी त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा में पहले प्रत्येक पद में \(n\) का मान अलग-अलग रखकर निकालें, फिर उनका योग करें। / Given \(a_n=4n^2+5n-6\), \(a_3=4(3)^2+5(3)-6=45\) and \(a_5=4(5)^2+5(5)-6=119\). Therefore, \(a_3+a_5=45+119=164\). A nearby value such as 162 can result from a small addition or multiplication error. Exam tip: substitute each value of \(n\) separately before adding the terms.
\(4n^2+5n-6\) से (3,20,45,78) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम चुनें। / \(4n^2+5n-6\) gives (3,20,45,78). In exams, choose a quadratic rule when second differences are constant.
यहाँ n=4 रखने पर, \(a_4=4^3+3(4^2)-2=64+48-2=110\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 110 है। 108 निकट का विकल्प हो सकता है, लेकिन उसमें \(3\times 4^2=48\) का सही मान लेने पर भी अंतिम गणना पूरी नहीं होती। परीक्षा टिप: घातों का मान पहले निकालें, फिर गुणा और जोड़-घटाव करें। / Substitute n=4: \(a_4=4^3+3(4^2)-2=64+48-2=110\). Therefore, 110 is the correct option. A nearby distractor such as 108 results from an incorrect final calculation; \(3\times4^2\) must be evaluated as 48. Exam tip: calculate powers first, then perform multiplication and addition or subtraction.
\(a_n=n^3+3n^2-2\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(2,18,52,110\) प्राप्त होते हैं। इसलिए यह सही सामान्य पद है। निकटतम विकल्प \(2n^3\) में पहला पद 2 तो मिलता है, पर \(n=2\) पर 16 मिलता है, 18 नहीं। परीक्षा में सामान्य पद को कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए जाँचें। / For \(a_n=n^3+3n^2-2\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(2,18,52,110\), respectively. Hence, it is the correct general term. The close distractor \(2n^3\) gives the first term as 2, but gives 16 rather than 18 when \(n=2\). In an exam, verify a proposed general term using at least the first two or three terms.
दिए गए नियम में \(n=3\) रखने पर \(a_3=2(3)^3+(3)^2+3=2\times27+9+3=54+9+3=66\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 66 है। 64 प्राप्त होना घन वाले पद \(2(3)^3\) की गणना में त्रुटि दर्शाता है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान प्रत्येक पद में रखें, फिर घातों की गणना करके जोड़ करें। / Substitute \(n=3\) in the given rule: \(a_3=2(3)^3+(3)^2+3=2\times27+9+3=54+9+3=66\). Therefore, 66 is the correct option. Getting 64 indicates an error in evaluating the cubic term \(2(3)^3\). Exam tip: substitute the value in every term first, then evaluate powers before adding.
सही नियम \(a_n=2n^3+n^2+n\) है। इसमें \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(4,22,66,148\) प्राप्त होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प \(4n^2\) में \(n=1\) पर 4 मिलता है, लेकिन \(n=2\) पर 16 मिलता है, 22 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए रखकर अवश्य जाँचें। / The correct rule is \(a_n=2n^3+n^2+n\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(4,22,66,148\), respectively. The closest distractor, \(4n^2\), gives 4 when \(n=1\), but it gives 16 rather than 22 when \(n=2\). Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three terms.
\(n=4\) रखने पर \(a_4=\frac{3(4)^2+5(4)}{4}=\frac{3\times16+20}{4}=\frac{68}{4}=17\)। इसलिए सही उत्तर 17 है। 16 प्राप्त करना \(3\times4^2\) का मान 48 के बजाय गलत लेने या अंश में त्रुटि करने से हो सकता है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात का मान निकालकर अंश और हर को सरल करें। / Substitute \(n=4\): \(a_4=\frac{3(4)^2+5(4)}{4}=\frac{3\times16+20}{4}=\frac{68}{4}=17\). Therefore, 17 is correct. Getting 16 may result from incorrectly evaluating \(3\times4^2\) or making an error in the numerator. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, evaluate the power, and then simplify the numerator and denominator.
\(\frac{3n^2+5n}{4}\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को भी विकल्पों से मिलाएँ। / \(\frac{3n^2+5n}{4}\) gives the given terms. In exams, match fractional terms with options too.
\(a_4=96\) और \(a_2=26\), इसलिए सरल अनुपात (48:13) है। परीक्षा में अनुपात सरल करना न भूलें। / \(a_4=96\) and \(a_2=26\), so the simplified ratio is (48:13). In exams, do not forget to simplify the ratio.
\(6n^2-n+4\) से (9,26,55,96) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम देखें। / \(6n^2-n+4\) gives (9,26,55,96). In exams, check a quadratic rule when second differences are constant.
यहाँ सामान्य पद में n के स्थान पर 3 रखें: \(a_3=5^3+3-4=125+3-4=124\)। इसलिए सही उत्तर 124 है। 122 प्राप्त करना जोड़-घटाव में गलती से हो सकता है। परीक्षा टिप: पहले घात का मान निकालें, फिर शेष पदों को जोड़ें या घटाएँ। / Substitute 3 for n in the general term: \(a_3=5^3+3-4=125+3-4=124\). Therefore, the correct answer is 124. A value such as 122 can result from an arithmetic error in the addition or subtraction. Exam tip: evaluate the power first, then add or subtract the remaining terms.
\(5^n+n-4\) से (2,23,124,625) मिलते हैं। परीक्षा में घात वाले नियम में छोटा रैखिक भाग भी जाँचें। / \(5^n+n-4\) gives (2,23,124,625). In exams, also check the small linear part in a power rule.
पहले पाँच पद (3,16,29,42,55) हैं और औसत (29) है। परीक्षा में औसत के लिए योग को पदों की संख्या से भाग दें। / The first five terms are (3,16,29,42,55), and the average is (29). In exams, divide the sum by the number of terms.
इसका नियम \(a_n=13n-10\) है और (13n-10=159) से (n=13) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / Its rule is \(a_n=13n-10\), and (13n-10=159) gives (n=13). In exams, equate the given term to the general term.
यहाँ n=3 रखने पर a_3=34-32=81-9=72 प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 72 है। 70 जैसे विकल्प घातों या घटाव में गणना की त्रुटि से मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक घात का मान अलग-अलग निकालें, फिर घटाएँ। / Substitute n=3: a_3=34-32=81-9=72. Therefore, 72 is the correct option. A value such as 70 can result from an error while evaluating the powers or subtracting. Exam tip: calculate each power separately before subtracting.
यदि \(a_n=n^4-n^2\), तो \(a_1=1-1=0\), \(a_2=16-4=12\), \(a_3=81-9=72\) तथा \(a_4=256-16=240\) प्राप्त होते हैं। अतः सही सामान्य पद \(a_n=n^4-n^2\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(2n^4\) के लिए \(a_1=2\) आता है, जो अनुक्रम के पहले पद 0 से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: सामान्य पद की जाँच करने के लिए \(n=1,2,3\) रखने पर शुरुआती पद अवश्य मिलाएँ। / For \(a_n=n^4-n^2\), we get \(a_1=1-1=0\), \(a_2=16-4=12\), \(a_3=81-9=72\), and \(a_4=256-16=240\). Hence, the correct general term is \(a_n=n^4-n^2\). The close distractor \(2n^4\) gives \(a_1=2\), which does not match the first term 0. Exam tip: substitute \(n=1,2,3\) to verify a proposed general term against the initial terms.
दिया है, \(a_n=4^n+n-3\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=4^4+4-3=256+4-3=257\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 257 है। 255 तब मिलता यदि \(n-3\) वाले भाग की गणना में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में मान रखने के बाद घात, जोड़ और घटाव का क्रम सावधानी से करें। / Given \(a_n=4^n+n-3\), substitute \(n=4\): \(a_4=4^4+4-3=256+4-3=257\). Therefore, 257 is correct. A value such as 255 can result from an error while evaluating the \(n-3\) part. Exam tip: after substitution in a general term, evaluate the exponent first and then perform addition and subtraction carefully.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=4^n+n-3\) से क्रमशः \(2,15,64,257\) प्राप्त होते हैं। विकल्प \(a_n=n^4+1\) का पहला पद 2 तो है, लेकिन दूसरा पद \(17\) होगा, 15 नहीं। परीक्षा में स्पष्ट नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए \(n\) का मान रखकर सत्यापित करें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=4^n+n-3\) gives \(2,15,64,257\), respectively. Although \(a_n=n^4+1\) gives the first term as 2, its second term is \(17\), not 15. Exam tip: verify an explicit rule by testing it for at least the first three terms.
दिया है \(a_n=2n^2+9n+1\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=2(5)^2+9(5)+1=2\times25+45+1=96\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प \(96\) है। \(94\) जैसे विकल्प में प्रायः वर्ग वाले पद \(2\times25\) की गणना में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात का मान निकालें। / Given \(a_n=2n^2+9n+1\). Substituting \(n=5\), \(a_5=2(5)^2+9(5)+1=2\times25+45+1=96\). Hence, \(96\) is the correct option. A value such as \(94\) can result from an error while evaluating the squared term \(2\times25\). Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then evaluate the exponent carefully.
\(2n^2+9n+1\) से (12,27,46,69) मिलते हैं। परीक्षा में वर्गीय नियम को पहले चार पदों से जाँचें। / \(2n^2+9n+1\) gives (12,27,46,69). In exams, test the quadratic rule with the first four terms.
दिया गया नियम है: \(a_n=200-12n\)। \(n=9\) रखने पर \(a_9=200-12\times9=200-108=92\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 92 है। 88 का मान तब मिलता यदि घटाव के बाद की गणना में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: किसी पद का मान ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर गुणा करें। / The given rule is \(a_n=200-12n\). Substituting \(n=9\), we get \(a_9=200-12\times9=200-108=92\). Therefore, 92 is correct. A value such as 88 results from an arithmetic error after substitution. Exam tip: substitute the term number first, then perform multiplication before subtraction.
(n=1) पर (188) और (n=2) पर (176) मिलता है, इसलिए \(a_n=200-12n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम के पहले दो पद जाँचें। / At (n=1) it gives (188), and at (n=2) it gives (176), so \(a_n=200-12n\). In exams, check the first two terms of a decreasing sequence.
\(n=6\) रखने पर \(a_6=\frac{6(5\times6-1)}{2}=\frac{6(30-1)}{2}=\frac{6\times29}{2}=87\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 87 है। \(84\) जैसा उत्तर तब आ सकता है जब कोष्ठक में \(5n-1\) की गणना में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर कोष्ठक और गुणा-भाग को क्रम से हल करें। / Substitute \(n=6\): \(a_6=\frac{6(5\times6-1)}{2}=\frac{6(30-1)}{2}=\frac{6\times29}{2}=87\). Hence, the correct answer is 87. A value such as 84 can result from an error while evaluating \(5n-1\). Exam tip: substitute the term number first, then simplify the bracket and perform multiplication and division step by step.
(\frac{n(5n-1)}{2}) से (2,9,21,38) मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न रूप वाले सामान्य पद भी जाँचें। / (\frac{n(5n-1)}{2}) gives (2,9,21,38). In exams, also check fractional-form general terms.
दिया है
\(a_n=(n+1)^3-n\)। अतः \(n=4\) रखने पर \(a_4=(4+1)^3-4=5^3-4=125-4=121\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 121 है। 123 तब मिलता यदि घटाव में गलती की जाए। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात हल करके अंत में घटाव करें। / Given \(a_n=(n+1)^3-n\), substitute \(n=4\): \(a_4=(4+1)^3-4=5^3-4=125-4=121\). Therefore, 121 is the correct option. 123 would result from an incorrect subtraction. Exam tip: substitute the term number first, evaluate the exponent, and then subtract.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=(n+1)^3-n\) से क्रमशः \(7,25,61,121\) प्राप्त होते हैं। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में पहला पद \(7\) आता है, लेकिन \(n=2\) पर पद \(14\) होगा, \(25\) नहीं। परीक्षा में सामान्य पद की जाँच के लिए कम-से-कम पहले तीन पद अवश्य मिलाइए। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=(n+1)^3-n\) gives \(7,25,61,121\), respectively. Therefore, option A is correct. Option B gives the first term as \(7\), but for \(n=2\) it gives \(14\), not \(25\). Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three terms.
\(n=4\) रखने पर \(a_4=3\cdot2^4+2(4)^2=3\cdot16+2\cdot16=48+32=80\)। अतः सही उत्तर 80 है। 76 जैसा उत्तर घातांक या वर्ग वाले पद की गलत गणना से आ सकता है। परीक्षा टिप: पहले \(2^4\) और \(4^2\) अलग-अलग निकालें, फिर उनके गुणांक से गुणा करें। / Substituting \(n=4\), \(a_4=3\cdot2^4+2(4)^2=3\cdot16+2\cdot16=48+32=80\). Therefore, 80 is correct. An answer such as 76 can result from incorrectly evaluating either the exponential or squared term. Exam tip: calculate \(2^4\) and \(4^2\) separately before multiplying by their coefficients.
दिया है कि \(a_n=7n^2-4n+1\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=7(5)^2-4(5)+1=7\times25-20+1=175-20+1=156\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 156 है। 154 प्राप्त होना सामान्यतः अंतिम \(+1\) को छोड़ देने से होता है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात और गुणा की गणना करें। / Given \(a_n=7n^2-4n+1\), substitute \(n=5\): \(a_5=7(5)^2-4(5)+1=7\times25-20+1=175-20+1=156\). Hence, 156 is correct. The value 154 may result from incorrectly omitting the final \(+1\). Exam tip: substitute the term number first, then evaluate powers and multiplication carefully.
\(7n^2-4n+1\) से (4,21,52,97) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान देखकर वर्गीय नियम पहचानें। / \(7n^2-4n+1\) gives (4,21,52,97). In exams, identify a quadratic rule by equal second differences.
क्रमागत अंतर \(19,29,39\) हैं और इनके दूसरे अंतर \(10\) हैं। अतः अनुक्रम का सामान्य पद द्विघात रूप \(a_n=5n^2+bn+c\) का होगा, क्योंकि द्वितीय अंतर \(2\times5=10\) है। \(n=1\) और \(n=2\) रखने पर \(b=4\) तथा \(c=-1\) मिलते हैं; इसलिए \(a_n=5n^2+4n-1\) सही है। विकल्प \(a_n=5n^2+2n+1\) में पहला पद सही आता है, पर दूसरा पद \(25\) आता है, \(27\) नहीं। परीक्षा टिप: किसी सामान्य पद को कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए जाँचें। / The consecutive differences are \(19,29,39\), whose second differences are \(10\). Therefore, the sequence has a quadratic general term of the form \(a_n=5n^2+bn+c\), since its second difference is \(2\times5=10\). Substituting \(n=1\) and \(n=2\) gives \(b=4\) and \(c=-1\), so \(a_n=5n^2+4n-1\) is correct. The close distractor \(a_n=5n^2+2n+1\) gives the first term correctly but gives \(25\), not \(27\), for the second term. Exam tip: verify a proposed general term using at least the first two or three terms.
दिया है \(a_n=\frac{n(3n+5)}{2}\)। \(n=8\) रखने पर \(a_8=\frac{8(3\times8+5)}{2}=\frac{8(29)}{2}=4\times29=116\)। इसलिए सही विकल्प C है। \(112\) जैसे विकल्प प्रायः कोष्ठक के भीतर की गणना में त्रुटि करने पर मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर कोष्ठक और गुणा-भाग को क्रम से हल करें। / Using \(a_n=\frac{n(3n+5)}{2}\), substitute \(n=8\): \(a_8=\frac{8(3\times8+5)}{2}=\frac{8(29)}{2}=4\times29=116\). Hence, option C is correct. A value such as \(112\) can result from an error while evaluating the expression inside the bracket. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then simplify brackets and multiplication/division step by step.
\(2\cdot5^{n-1}+n^2\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में तेज वृद्धि में घात और वर्ग दोनों जाँचें। / \(2\cdot5^{n-1}+n^2\) gives the given terms. In exams, check both the power and square in rapid growth.
