A. अंत में सामान्य गुणनखंड मिलने पर विरोधाभास बनाना/To create contradiction when a common factor appears later
Step 1
Concept
In lowest form (\gcd(a,b)=1). Later both becoming even contradicts this condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अंत में सामान्य गुणनखंड मिलने पर विरोधाभास बनाना / To create contradiction when a common factor appears later. In lowest form (\gcd(a,b)=1). Later both becoming even contradicts this condition.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में (\gcd(a,b)=1) होता है। बाद में दोनों सम मिलना इसी शर्त से टकराता है।
A. क्योंकि वर्ग संबंध से केवल \(a^2\) सम और फिर (a) सम मिलता है/Because the square relation only gives \(a^2\) even and then (a) even
Step 1
Concept
While taking square root \(\sqrt{2b^2}\) cannot be written as (2b). The correct step is (a=2k).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि वर्ग संबंध से केवल \(a^2\) सम और फिर (a) सम मिलता है / Because the square relation only gives \(a^2\) even and then (a) even. While taking square root \(\sqrt{2b^2}\) cannot be written as (2b). The correct step is (a=2k).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल लेते समय \(\sqrt{2b^2}\) को (2b) नहीं लिख सकते। सही कदम (a=2k) है।
A. पहले \(x^2\) का (3) से विभाज्य होना और फिर (x=3k) लिखना चाहिए/First show \(x^2\) is divisible by (3) and then write (x=3k)
Step 1
Concept
\(x^2=3y^2\) does not directly give (x=3y). Prime divisibility gives (x=3k).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पहले \(x^2\) का (3) से विभाज्य होना और फिर (x=3k) लिखना चाहिए / First show \(x^2\) is divisible by (3) and then write (x=3k). \(x^2=3y^2\) does not directly give (x=3y). Prime divisibility gives (x=3k).
Step 3
Exam Tip
\(x^2=3y^2\) से सीधे (x=3y) नहीं मिलता। अभाज्य विभाज्यता से (x=3k) मिलता है।
A. क्योंकि सिर्फ (a) सम होना विरोधाभास नहीं देता/Because only (a) being even does not give contradiction
Step 1
Concept
The contradiction forms when both (a) and (b) are even. Then they cannot remain coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि सिर्फ (a) सम होना विरोधाभास नहीं देता / Because only (a) being even does not give contradiction. The contradiction forms when both (a) and (b) are even. Then they cannot remain coprime.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास तब बनता है जब (a) और (b) दोनों सम हों। दोनों सम होने से वे सहभाज्य नहीं रह सकते।
A. क्योंकि तभी (p) और (q) में सामान्य गुणनखंड (3) मिलेगा/Because only then common factor (3) will appear in (p) and (q)
Step 1
Concept
Only (p) being divisible by (3) is not a contradiction. If (q) is also divisible by (3), the coprime condition breaks.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि तभी (p) और (q) में सामान्य गुणनखंड (3) मिलेगा / Because only then common factor (3) will appear in (p) and (q). Only (p) being divisible by (3) is not a contradiction. If (q) is also divisible by (3), the coprime condition breaks.
Step 3
Exam Tip
सिर्फ (p) का (3) से विभाज्य होना विरोधाभास नहीं है। (q) भी (3) से विभाज्य हो तो सहभाज्य शर्त टूटती है।
A. क्योंकि दाएँ पक्ष का सम होना \(a^2\) के बारे में बताता है/Because the even right side tells about \(a^2\)
Step 1
Concept
From \(a^2=2b^2\), first \(a^2\) is proved even. \(b^2\) even is obtained only after taking (a=2k).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि दाएँ पक्ष का सम होना \(a^2\) के बारे में बताता है / Because the even right side tells about \(a^2\). From \(a^2=2b^2\), first \(a^2\) is proved even. \(b^2\) even is obtained only after taking (a=2k).
Step 3
Exam Tip
\(a^2=2b^2\) से पहले \(a^2\) सम सिद्ध होता है। \(b^2\) सम (a=2k) रखने के बाद मिलता है।
A. क्योंकि पहले (p) को (3) से विभाज्य सिद्ध करके (p=3r) रखना पड़ता है/Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3r) must be used
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) first gives divisibility of \(p^2\). \(q^2=3r^2\) comes later by substitution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि पहले (p) को (3) से विभाज्य सिद्ध करके (p=3r) रखना पड़ता है / Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3r) must be used. \(p^2=3q^2\) first gives divisibility of \(p^2\). \(q^2=3r^2\) comes later by substitution.
Step 3
Exam Tip
\(p^2=3q^2\) पहले \(p^2\) की विभाज्यता देता है। \(q^2=3r^2\) बाद में प्रतिस्थापन से मिलता है।
A. सहभाज्य संख्याओं का सामान्य गुणनखंड (1) होता है/Coprime numbers have common factor (1) only
Step 1
Concept
In lowest form numerator and denominator are coprime. If both are even, common factor (2) exists.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सहभाज्य संख्याओं का सामान्य गुणनखंड (1) होता है / Coprime numbers have common factor (1) only. In lowest form numerator and denominator are coprime. If both are even, common factor (2) exists.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। दोनों सम हों तो सामान्य गुणनखंड (2) होगा।
A. क्योंकि फिर (\gcd(p,q)\ge3) होगा/Because then (\gcd(p,q)\ge3)
Step 1
Concept
In lowest form (\gcd(p,q)=1) should hold. If both are divisible by (3), this condition breaks.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि फिर (\gcd(p,q)\ge3) होगा / Because then (\gcd(p,q)\ge3). In lowest form (\gcd(p,q)=1) should hold. If both are divisible by (3), this condition breaks.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में (\gcd(p,q)=1) होना चाहिए। दोनों (3) से विभाज्य हों तो यह शर्त टूटती है।
A. सरलतम \(\frac{a}{b}\) से और छोटी भिन्न मिल जाती है/From lowest \(\frac{a}{b}\) an even smaller fraction is obtained
Step 1
Concept
When both are even, \(\frac{a}{b}\) can be reduced by (2). This opposes the idea of a lowest fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सरलतम \(\frac{a}{b}\) से और छोटी भिन्न मिल जाती है / From lowest \(\frac{a}{b}\) an even smaller fraction is obtained. When both are even, \(\frac{a}{b}\) can be reduced by (2). This opposes the idea of a lowest fraction.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम मिलने पर \(\frac{a}{b}\) को (2) से घटाया जा सकता है। यह सरलतम भिन्न के विचार के विरुद्ध है।
A. सरलतम \(\frac{p}{q}\) से (3) से घटने वाली छोटी भिन्न मिलती है/From lowest \(\frac{p}{q}\) a smaller fraction reducible by (3) is obtained
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), the fraction can be reduced. Therefore the assumed lowest form is impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सरलतम \(\frac{p}{q}\) से (3) से घटने वाली छोटी भिन्न मिलती है / From lowest \(\frac{p}{q}\) a smaller fraction reducible by (3) is obtained. If both are divisible by (3), the fraction can be reduced. Therefore the assumed lowest form is impossible.
Step 3
Exam Tip
दोनों (3) से विभाज्य हों तो भिन्न घट सकती है। इसलिए माना गया सरलतम रूप संभव नहीं है।
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होती है/In a perfect square the exponent of (2) is even
Step 1
Concept
In a perfect square every prime exponent is even. In \(2b^2\), the exponent of (2) becoming odd explains the contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होती है / In a perfect square the exponent of (2) is even. In a perfect square every prime exponent is even. In \(2b^2\), the exponent of (2) becoming odd explains the contradiction.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। \(2b^2\) में (2) की घात विषम बनने से विरोधाभास समझ आता है।
A. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square the exponent of (3) must be even
Step 1
Concept
In \(a^2=3b^2\), \(a^2\) is a perfect square. But the right side can make the exponent of (3) odd.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए / In a perfect square the exponent of (3) must be even. In \(a^2=3b^2\), \(a^2\) is a perfect square. But the right side can make the exponent of (3) odd.
Step 3
Exam Tip
\(a^2=3b^2\) में \(a^2\) पूर्ण वर्ग है। पर दाएँ पक्ष में (3) की घात विषम हो सकती है।
A. \(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) सम/\(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) even
Step 1
Concept
After substitution \(b^2=2k^2\) is obtained. Hence \(b^2\) is even and then (b) is even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) सम / \(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) even. After substitution \(b^2=2k^2\) is obtained. Hence \(b^2\) is even and then (b) is even.
Step 3
Exam Tip
प्रतिस्थापन के बाद \(b^2=2k^2\) मिलता है। इससे \(b^2\) सम और फिर (b) सम है।
A. \(9r^2=3q^2\Rightarrow q^2=3r^2\Rightarrow q\) (3) से विभाज्य/\(9r^2=3q^2\Rightarrow q^2=3r^2\Rightarrow q\) divisible by (3)
Step 1
Concept
Dividing both sides by (3) gives \(q^2=3r^2\). Therefore (q) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(9r^2=3q^2\Rightarrow q^2=3r^2\Rightarrow q\) (3) से विभाज्य / \(9r^2=3q^2\Rightarrow q^2=3r^2\Rightarrow q\) divisible by (3). Dividing both sides by (3) gives \(q^2=3r^2\). Therefore (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों पक्षों को (3) से भाग देने पर \(q^2=3r^2\) मिलता है। इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य है।
Only (a) being even does not show a common factor. For contradiction (b) must also be even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. केवल (a) सम है / Only (a) is even. Only (a) being even does not show a common factor. For contradiction (b) must also be even.
Step 3
Exam Tip
केवल (a) सम होना सामान्य गुणनखंड नहीं दिखाता। विरोधाभास के लिए (b) भी सम होना चाहिए।
A. केवल (p) (3) से विभाज्य है/Only (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
Only (p) being divisible by (3) is not a contradiction to coprime condition. (q) must also be divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. केवल (p) (3) से विभाज्य है / Only (p) is divisible by (3). Only (p) being divisible by (3) is not a contradiction to coprime condition. (q) must also be divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सिर्फ (p) का (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं है। (q) भी (3) से विभाज्य चाहिए।
A. भिन्न (2) से घट सकती है इसलिए वह सरलतम नहीं रहती/The fraction can be reduced by (2), so it is not lowest
Step 1
Concept
If both are even, (2) is a common factor. This cannot happen in a lowest fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. भिन्न (2) से घट सकती है इसलिए वह सरलतम नहीं रहती / The fraction can be reduced by (2), so it is not lowest. If both are even, (2) is a common factor. This cannot happen in a lowest fraction.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होने पर (2) सामान्य गुणनखंड है। सरलतम भिन्न में ऐसा नहीं हो सकता।
A. वह (3) से घटाई जा सकती है इसलिए सरलतम नहीं है/It can be reduced by (3), so it is not lowest
Step 1
Concept
Both have common factor (3). Therefore the lowest-form assumption becomes false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वह (3) से घटाई जा सकती है इसलिए सरलतम नहीं है / It can be reduced by (3), so it is not lowest. Both have common factor (3). Therefore the lowest-form assumption becomes false.
Step 3
Exam Tip
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) है। इसलिए सरलतम रूप की मान्यता गलत होती है।
A. \(b\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(a,b)=1) विरोधाभास बनाता है/\(b\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(a,b)=1) creates contradiction
Step 1
Concept
Non-zero denominator is a definition condition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(b\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(a,b)=1) विरोधाभास बनाता है / \(b\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(a,b)=1) creates contradiction. Non-zero denominator is a definition condition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
Step 3
Exam Tip
हर शून्य न होना परिभाषा की शर्त है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है।
A. \(q\neq0\) भिन्न के लिए जरूरी है और (\gcd(p,q)=1) अंतिम विरोधाभास का आधार है/\(q\neq0\) is needed for the fraction and (\gcd(p,q)=1) is the basis of final contradiction
Step 1
Concept
\(q\neq0\) keeps the fraction defined. (\gcd(p,q)=1) gives contradiction when both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(q\neq0\) भिन्न के लिए जरूरी है और (\gcd(p,q)=1) अंतिम विरोधाभास का आधार है / \(q\neq0\) is needed for the fraction and (\gcd(p,q)=1) is the basis of final contradiction. \(q\neq0\) keeps the fraction defined. (\gcd(p,q)=1) gives contradiction when both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
\(q\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है। (\gcd(p,q)=1) दोनों (3) से विभाज्य होने पर विरोधाभास देता है।
A. (\gcd(a,b)=1) और (\gcd(a,b)\ge2) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(a,b)=1) and (\gcd(a,b)\ge2) cannot both hold
Step 1
Concept
Being coprime means the highest common factor is (1). Both even means it is at least (2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\gcd(a,b)=1) और (\gcd(a,b)\ge2) साथ नहीं हो सकते / (\gcd(a,b)=1) and (\gcd(a,b)\ge2) cannot both hold. Being coprime means the highest common factor is (1). Both even means it is at least (2).
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य होने से महत्तम समापवर्तक (1) है। दोनों सम होने से वह कम से कम (2) होगा।
A. (\gcd(p,q)=1) और (\gcd(p,q)\ge3) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(p,q)=1) and (\gcd(p,q)\ge3) cannot both hold
Step 1
Concept
Coprime means (\gcd(p,q)=1). Both divisible by (3) means (\gcd(p,q)\ge3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\gcd(p,q)=1) और (\gcd(p,q)\ge3) साथ नहीं हो सकते / (\gcd(p,q)=1) and (\gcd(p,q)\ge3) cannot both hold. Coprime means (\gcd(p,q)=1). Both divisible by (3) means (\gcd(p,q)\ge3).
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य होने से (\gcd(p,q)=1) है। दोनों (3) से विभाज्य होने से (\gcd(p,q)\ge3) होगा।
A. दोनों में परिमेय मान्यता और सहभाज्य भिन्न से विरोधाभास है/Both use rational assumption and contradiction from coprime fraction
Step 1
Concept
Both proofs have the same structure. The difference is only the prime factors (2) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों में परिमेय मान्यता और सहभाज्य भिन्न से विरोधाभास है / Both use rational assumption and contradiction from coprime fraction. Both proofs have the same structure. The difference is only the prime factors (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों प्रमाणों की संरचना समान है। फर्क केवल (2) और (3) के अभाज्य गुणनखंड का है।
A. \(a^2\) विषम होना चाहिए पर \(2b^2\) सम है/\(a^2\) should be odd but \(2b^2\) is even
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd. But \(2b^2\) is always even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(a^2\) विषम होना चाहिए पर \(2b^2\) सम है / \(a^2\) should be odd but \(2b^2\) is even. The square of an odd number is odd. But \(2b^2\) is always even.
Step 3
Exam Tip
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। लेकिन \(2b^2\) हमेशा सम है।
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य बनाता है/\(p^2\) should not be divisible by (3) but the equation makes it divisible
Step 1
Concept
If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has none. But \(p^2=3q^2\) shows it divisible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य बनाता है / \(p^2\) should not be divisible by (3) but the equation makes it divisible. If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has none. But \(p^2=3q^2\) shows it divisible.
Step 3
Exam Tip
यदि (p) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(p^2\) में भी नहीं होगा। पर \(p^2=3q^2\) उसे विभाज्य दिखाता है।
A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) सम \(\rightarrow\) (b) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास/Rational assumption \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) even \(\rightarrow\) (b) even \(\rightarrow\) contradiction
Step 1
Concept
This is the standard order of the proof. In the final step both being even contradicts coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) सम \(\rightarrow\) (b) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास / Rational assumption \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) even \(\rightarrow\) (b) even \(\rightarrow\) contradiction. This is the standard order of the proof. In the final step both being even contradicts coprime condition.
Step 3
Exam Tip
यही प्रमाण का मानक क्रम है। अंतिम चरण में दोनों सम होना सहभाज्य शर्त से विरोध करता है।
A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (q) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास/Rational assumption \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) divisible by (3) \(\rightarrow\) (q) divisible by (3) (\righta
Step 1
Concept
For \(\sqrt{3}\), the full chain of divisibility by (3) is needed. Finally the coprime condition breaks.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (q) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास / Rational assumption \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) divisible by (3) \(\rightarrow\) (q) divisible by (3) (\righta. For \(\sqrt{3}\), the full chain of divisibility by (3) is needed. Finally the coprime condition breaks.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता की पूरी श्रृंखला चाहिए। अंत में सहभाज्य शर्त टूटती है।
A. दोनों सम मिलने पर निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा/A decisive contradiction will not form when both become even
Step 1
Concept
Lowest form gives (\gcd(a,b)=1). This condition is necessary for the final contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों सम मिलने पर निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा / A decisive contradiction will not form when both become even. Lowest form gives (\gcd(a,b)=1). This condition is necessary for the final contradiction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप ही (\gcd(a,b)=1) देता है। यही शर्त अंतिम विरोधाभास के लिए जरूरी है।
A. (\gcd(a,b)=1) होते हुए \(2\mid a\) और \(2\mid b\)/While (\gcd(a,b)=1), \(2\mid a\) and \(2\mid b\)
Step 1
Concept
If both have factor (2), then (\gcd(a,b)\ge2). This contradicts (\gcd(a,b)=1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\gcd(a,b)=1) होते हुए \(2\mid a\) और \(2\mid b\) / While (\gcd(a,b)=1), \(2\mid a\) and \(2\mid b\). If both have factor (2), then (\gcd(a,b)\ge2). This contradicts (\gcd(a,b)=1).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) का गुणनखंड होने से (\gcd(a,b)\ge2) हो जाता है। यह (\gcd(a,b)=1) से विरोधाभास है।
A. (\gcd(p,q)=1) होते हुए \(3\mid p\) और \(3\mid q\)/While (\gcd(p,q)=1), \(3\mid p\) and \(3\mid q\)
Step 1
Concept
If both have factor (3), then (\gcd(p,q)\ge3). This contradicts the coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\gcd(p,q)=1) होते हुए \(3\mid p\) और \(3\mid q\) / While (\gcd(p,q)=1), \(3\mid p\) and \(3\mid q\). If both have factor (3), then (\gcd(p,q)\ge3). This contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) का गुणनखंड होने से (\gcd(p,q)\ge3) होगा। यह सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
A. बाएँ पक्ष पूर्ण वर्ग है पर दाएँ पक्ष में (2) की घात विषम हो सकती है/The left side is a perfect square but the right side can have odd exponent of (2)
Step 1
Concept
In a perfect square prime exponents are even. The extra (2) in \(2b^2\) can make the exponent odd.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. बाएँ पक्ष पूर्ण वर्ग है पर दाएँ पक्ष में (2) की घात विषम हो सकती है / The left side is a perfect square but the right side can have odd exponent of (2). In a perfect square prime exponents are even. The extra (2) in \(2b^2\) can make the exponent odd.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। \(2b^2\) में अतिरिक्त (2) घात को विषम बना सकता है।
A. बाएँ पक्ष पूर्ण वर्ग है पर दाएँ पक्ष में (3) की घात विषम हो सकती है/The left side is a perfect square but the right side can have odd exponent of (3)
Step 1
Concept
In a perfect square every prime exponent is even. The extra (3) in \(3q^2\) causes the conflict.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. बाएँ पक्ष पूर्ण वर्ग है पर दाएँ पक्ष में (3) की घात विषम हो सकती है / The left side is a perfect square but the right side can have odd exponent of (3). In a perfect square every prime exponent is even. The extra (3) in \(3q^2\) causes the conflict.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। \(3q^2\) में अतिरिक्त (3) विरोध का कारण है।
A. दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं है/Decimal approximation is not a proof
Step 1
Concept
A decimal value can only approximate. In exams write the contradiction and coprime fraction argument.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं है / Decimal approximation is not a proof. A decimal value can only approximate. In exams write the contradiction and coprime fraction argument.
Step 3
Exam Tip
दशमलव मान केवल अनुमान दे सकता है। परीक्षा में विरोधाभास और सहभाज्य भिन्न का तर्क लिखें।
A. अनुमान से पूर्ण प्रमाण नहीं मिलता/Approximation does not give a complete proof
Step 1
Concept
Irrationality needs exact reasoning. Use divisibility by (3) and contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अनुमान से पूर्ण प्रमाण नहीं मिलता / Approximation does not give a complete proof. Irrationality needs exact reasoning. Use divisibility by (3) and contradiction.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेयता के लिए सटीक तर्क चाहिए। (3) से विभाज्यता और विरोधाभास का प्रयोग करें।
A. \(a^2\) सम से (b) सम सीधे लिखना/Writing (b) even directly from \(a^2\) even
Step 1
Concept
From \(a^2\) even, only (a) even follows first. (b) even comes later by substitution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(a^2\) सम से (b) सम सीधे लिखना / Writing (b) even directly from \(a^2\) even. From \(a^2\) even, only (a) even follows first. (b) even comes later by substitution.
Step 3
Exam Tip
\(a^2\) सम होने से पहले केवल (a) सम मिलता है। (b) सम बाद में प्रतिस्थापन से मिलता है।
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य से (q) (3) से विभाज्य सीधे लिखना/Writing (q) divisible by (3) directly from \(p^2\) divisible by (3)
Step 1
Concept
First (p) is proved divisible by (3). The conclusion for (q) comes after taking (p=3r).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(p^2\) (3) से विभाज्य से (q) (3) से विभाज्य सीधे लिखना / Writing (q) divisible by (3) directly from \(p^2\) divisible by (3). First (p) is proved divisible by (3). The conclusion for (q) comes after taking (p=3r).
Step 3
Exam Tip
पहले (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। (q) का निष्कर्ष (p=3r) रखने के बाद आता है।
A. पहले (a) और फिर (b) दोनों में (2) का गुणनखंड सिद्ध होता है/Factor (2) is proved first in (a) and then in (b)
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) gives (a) even and then (b) even. Thus (2) becomes common in both.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पहले (a) और फिर (b) दोनों में (2) का गुणनखंड सिद्ध होता है / Factor (2) is proved first in (a) and then in (b). \(a^2=2b^2\) gives (a) even and then (b) even. Thus (2) becomes common in both.
Step 3
Exam Tip
\(a^2=2b^2\) से (a) सम और फिर (b) सम मिलता है। इसलिए (2) दोनों में सामान्य हो जाता है।
A. पहले (p) और फिर (q) दोनों में (3) का गुणनखंड सिद्ध होता है/Factor (3) is proved first in (p) and then in (q)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) gives (p) divisible by (3) and then (q) also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पहले (p) और फिर (q) दोनों में (3) का गुणनखंड सिद्ध होता है / Factor (3) is proved first in (p) and then in (q). \(p^2=3q^2\) gives (p) divisible by (3) and then (q) also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
\(p^2=3q^2\) से (p) (3) से विभाज्य और फिर (q) भी (3) से विभाज्य मिलता है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न मानने पर अंश और हर दोनों सम निकलते हैं/\(\sqrt{2}\) is irrational because assuming a lowest fraction makes both numerator and denominator even
Step 1
Concept
Both becoming even contradicts the lowest coprime form. Therefore the rational assumption is false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न मानने पर अंश और हर दोनों सम निकलते हैं / \(\sqrt{2}\) is irrational because assuming a lowest fraction makes both numerator and denominator even. Both becoming even contradicts the lowest coprime form. Therefore the rational assumption is false.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम मिलना सरलतम सहभाज्य रूप से विरोधाभास है। इसलिए परिमेय मान्यता गलत है।
B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/\(\sqrt{3}\) is irrational because assuming a lowest fraction makes both numerator and denominator divisible by (3)
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), they cannot be coprime. Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / \(\sqrt{3}\) is irrational because assuming a lowest fraction makes both numerator and denominator divisible by (3). If both are divisible by (3), they cannot be coprime. Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational.
Step 3
Exam Tip
दोनों (3) से विभाज्य हों तो वे सहभाज्य नहीं हो सकते। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है।
A. शुरुआत में उन्हें सहभाज्य सरलतम रूप में लेना चाहिए/At the beginning they should be taken coprime in lowest form
Step 1
Concept
Both even is not the assumption but the contradiction. At the start (\gcd(a,b)=1) should be assumed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. शुरुआत में उन्हें सहभाज्य सरलतम रूप में लेना चाहिए / At the beginning they should be taken coprime in lowest form. Both even is not the assumption but the contradiction. At the start (\gcd(a,b)=1) should be assumed.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना प्रमाण का निष्कर्ष नहीं बल्कि विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(a,b)=1) मानना चाहिए।
A. शुरुआत में (p,q) सहभाज्य होने चाहिए/At the start (p,q) should be coprime
Step 1
Concept
Both being divisible by (3) is derived later as contradiction. It is not assumed at the beginning.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. शुरुआत में (p,q) सहभाज्य होने चाहिए / At the start (p,q) should be coprime. Both being divisible by (3) is derived later as contradiction. It is not assumed at the beginning.
Step 3
Exam Tip
दोनों (3) से विभाज्य होना प्रमाण में बाद में विरोधाभास के रूप में निकलता है। उसे शुरुआत में नहीं मानते।
A. परिमेय मानते समय भिन्न को सरलतम सहभाज्य रूप में जरूर लिखें/While assuming rationality write the fraction in lowest coprime form
Step 1
Concept
If lowest form is not written, the final contradiction will not be clear. This is the main condition of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मानते समय भिन्न को सरलतम सहभाज्य रूप में जरूर लिखें / While assuming rationality write the fraction in lowest coprime form. If lowest form is not written, the final contradiction will not be clear. This is the main condition of the proof.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप नहीं लिखेंगे तो अंतिम विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा। यही प्रमाण की प्रमुख शर्त है।
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
The contradiction arises from the rational assumption. Therefore that assumption is rejected.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational. The contradiction arises from the rational assumption. Therefore that assumption is rejected.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास परिमेय मान्यता से निकलता है। इसलिए वही मान्यता अस्वीकार होती है।
C. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Step 1
Concept
The contradiction is obtained by assuming \(\sqrt{3}\) rational. Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational. The contradiction is obtained by assuming \(\sqrt{3}\) rational. Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने से मिलता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है।
A. \(\frac{a}{b}\) को \(\frac{r}{s}\) में घटाया जा सकता है, इसलिए प्रारंभिक सरलतम रूप असंभव था/\(\frac{a}{b}\) can be reduced to \(\frac{r}{s}\), so the initial lowest form was impossible
Step 1
Concept
Since both have common factor (2), the fraction can be reduced. This contradicts the coprime lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{a}{b}\) को \(\frac{r}{s}\) में घटाया जा सकता है, इसलिए प्रारंभिक सरलतम रूप असंभव था / \(\frac{a}{b}\) can be reduced to \(\frac{r}{s}\), so the initial lowest form was impossible. Since both have common factor (2), the fraction can be reduced. This contradicts the coprime lowest form.
Step 3
Exam Tip
दोनों में सामान्य गुणनखंड (2) होने से भिन्न घट सकती है। यह सहभाज्य सरलतम रूप से विरोधाभास है।
