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दोनों वर्गमूलों के लिए \(x-2\ge 0\) और \(5-x\ge 0\) होना चाहिए। परीक्षा में सभी शर्तों का छेदन लें। / For both square roots, \(x-2\ge 0\) and \(5-x\ge 0\) must hold. In exams, take the intersection of all conditions.
हर में वर्गमूल है इसलिए \(x^2-9>0\) होना चाहिए। हर में शून्य कभी स्वीकार्य नहीं होता। / The square root is in the denominator, so \(x^2-9>0\) is required. A denominator can never be zero.
यह ऊपरी अर्धवृत्त है और \(4-x^2\) का अधिकतम (4) है। वर्गमूल का मान ऋणात्मक नहीं होता। / This is the upper semicircle and the maximum of \(4-x^2\) is (4). A square root value is never negative.
\(y=\frac{x+1}{x-2}\) से \(x=\frac{2y+1}{y-1}\), इसलिए \(y\ne 1\)। रैखिक भिन्न फलन में असंभव मान अलग करें। / From \(y=\frac{x+1}{x-2}\), \(x=\frac{2y+1}{y-1}\), so \(y\ne 1\). For a linear fractional function, isolate the impossible value.
दो बिंदुओं (-1) और (3) से दूरी का योग न्यूनतम (4) होता है। बीच के अंतराल ([-1,3]) पर फलन स्थिर रहता है। / The sum of distances from (-1) and (3) is minimized at (4). On the interval ([-1,3]), the function stays constant.
हर \(1+|x|\ge 1\) है, इसलिए अधिकतम मान (1) है। (x) बढ़ने पर मान (0) के पास जाता है पर (0) नहीं बनता। / The denominator \(1+|x|\ge 1\), so the maximum value is (1). As (x) grows, the value approaches (0) but never becomes (0).
(x-2+4x+7=(x+2)2+3), इसलिए अंदर का न्यूनतम (3) है। वर्गमूल लेने पर न्यूनतम \(\sqrt{3}\) मिलेगा। / Since (x-2+4x+7=(x+2)2+3), the inside minimum is (3). Taking the square root gives the minimum \(\sqrt{3}\).
वर्गमूल के लिए \(x\ge -1\) और हर के लिए \(x\ne \pm 2\) चाहिए। (-2) पहले से प्रांत में नहीं है, इसलिए केवल (2) हटेगा। / The square root needs \(x\ge -1\), and the denominator needs \(x\ne \pm 2\). Since (-2) is already outside the domain, only (2) is removed.
वास्तविक मान के लिए प्रत्येक वर्गमूल के अंदर की राशि शून्य या धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए \(x-1\ge 0\), अर्थात् \(x\ge 1\), और \(x+2\ge 0\), अर्थात् \(x\ge -2\)। इन शर्तों का प्रतिच्छेद \(x\ge 1\) है, इसलिए प्रांत \([1,\infty)\) है। विकल्प B केवल \(\sqrt{x+2}\) की शर्त बताता है और \(\sqrt{x-1}\) की अधिक कठोर शर्त को छोड़ देता है। परीक्षा-युक्ति: कई वर्गमूलों वाले फलन में सभी radicands की शर्तें लगाकर उनका प्रतिच्छेद लें। / For a real-valued function, the expression inside each square root must be non-negative. Thus, \(x-1\ge 0\) gives \(x\ge 1\), while \(x+2\ge 0\) gives \(x\ge -2\). The intersection of these conditions is \(x\ge 1\), so the domain is \([1,\infty)\). Option B considers only the condition for \(\sqrt{x+2}\) and ignores the stricter condition from \(\sqrt{x-1}\). Exam tip: For a function with multiple square roots, impose every radicand condition and take their intersection.
\(y=\frac{2x-3}{x+4}\) से \(x=\frac{-3-4y}{y-2}\), इसलिए (y=2) असंभव है। अनुपात में प्रमुख गुणांकों का अनुपात अक्सर छूटा मान देता है। / From \(y=\frac{2x-3}{x+4}\), \(x=\frac{-3-4y}{y-2}\), so (y=2) is impossible. In such fractions, the ratio of leading coefficients often gives the missing value.
(f(x)=(x-3)2+2), इसलिए न्यूनतम (2) है। सिरा (x=1) और (x=5) पर अधिकतम (6) मिलता है। / Since (f(x)=(x-3)2+2), the minimum is (2). At the endpoints (x=1) and (x=5), the maximum is (6).
बिंदुओं (2) और (-2) से दूरी के अंतर का मान (-4) से (4) तक रहता है। अंतरालों पर चिह्न हटाकर जांचना सुरक्षित तरीका है। / The difference of distances from (2) and (-2) stays between (-4) and (4). Removing signs interval-wise is the safe method.
हर ((x+2)2+1\ge 1) है, इसलिए अधिकतम मान (1) है। हर बड़ा होने पर मान (0) के पास जाता है। / The denominator ((x+2)2+1\ge 1), so the maximum value is (1). As the denominator grows, the value approaches (0).
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) और हर वाले वर्गमूल के लिए (4-x>0) चाहिए। दोनों मिलाकर \(0\le x<4\) मिलता है। / For \(\sqrt{x}\), \(x\ge 0\), and for the denominator square root, (4-x>0) is needed. Together, \(0\le x<4\).
सरलीकरण के बाद भी मूल हर में \(x-2\ne 0\) रहना चाहिए। हटे हुए बिंदु को प्रांत में वापस न जोड़ें। / Even after simplification, the original denominator requires \(x-2\ne 0\). Do not add the cancelled point back into the domain.
\(x\ne 2\) पर फलन (x+2) के बराबर है। इसलिए (x=2) से मिलने वाला मान (4) परिसर में नहीं आता। / For \(x\ne 2\), the function equals (x+2). Thus the value (4), which would occur at (x=2), is not in the range.
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए, इसलिए \(|x|-3\ge 0\), अर्थात् \(|x|\ge 3\)। इससे \(x\le -3\) या \(x\ge 3\) प्राप्त होता है, अतः प्रांत \((-�infty,-3]\cup[3,\infty)\) है। विकल्प B केवल \(-3\) और \(3\) के बीच के मान देता है, जहाँ \(|x|-3<0\) होने पर फलन वास्तविक नहीं रहता। परीक्षा-युक्ति: \(\sqrt{g(x)}\) वाले फलन के लिए पहले हमेशा \(g(x)\ge 0\) लगाएँ। / The expression inside a square root must be non-negative. Thus, \(|x|-3\ge 0\), or \(|x|\ge 3\), which gives \(x\le -3\) or \(x\ge 3\). Therefore, the domain is \((-�infty,-3]\cup[3,\infty)\). Option B incorrectly includes values between \(-3\) and \(3\), for which \(|x|-3<0\) and the function is not real-valued. Exam tip: For a function containing \(\sqrt{g(x)}\), begin by imposing \(g(x)\ge 0\).
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) और हर के लिए \(2-\sqrt{x}\ne 0\) चाहिए। इसलिए (x=4) हटाया जाएगा। / For \(\sqrt{x}\), \(x\ge 0\), and for the denominator, \(2-\sqrt{x}\ne 0\) is needed. Hence (x=4) is removed.
भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता। अतः \(|x|-2\ne 0\), जिससे \(|x|\ne 2\) और \(x\ne -2,2\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\) है। विकल्प B में \(x=-2\) को गलत रूप से शामिल किया गया है, जबकि विकल्प C बीच के कई मान, जैसे \(x=0\), छोड़ देता है। परीक्षा टिप: परिमेय फलन का प्रांत ज्ञात करते समय हर को शून्य करने वाले सभी मानों को हटाएँ। / The denominator of a fraction cannot be zero. Thus, \(|x|-2\ne 0\), so \(|x|\ne 2\), which gives \(x\ne -2,2\). Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\). Option B incorrectly includes \(x=-2\), while option C excludes valid values such as \(x=0\). Exam tip: To find the domain of a rational function, exclude every value that makes its denominator zero.
मान लें \(t=|x|\), तब \(t\ge 0\) और \(f(x)=\frac{t}{1+t}\)। \(x=0\) पर \(t=0\), इसलिए \(f(x)=0\) प्राप्त होता है। दूसरी ओर, किसी सीमित \(t\) के लिए \(\frac{t}{1+t}<1\), अतः 1 कभी प्राप्त नहीं होता, केवल उसके निकट पहुँचा जा सकता है। इसलिए परिसर \([0,1)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि 0 शामिल है, और विकल्प C गलत है क्योंकि 1 शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: भिन्नात्मक फलन में सीमा-बिंदु जाँचने के साथ यह भी देखें कि वे वास्तव में प्राप्त होते हैं या नहीं। / Let \(t=|x|\). Then \(t\ge 0\) and \(f(x)=\frac{t}{1+t}\). At \(x=0\), we get \(t=0\) and hence \(f(x)=0\). For every finite \(t\), \(\frac{t}{1+t}<1\), so the value 1 is never attained, although the function approaches 1 as \(|x|\) increases. Therefore, the range is \([0,1)\). Option B is incorrect because 0 is included, while option C is incorrect because 1 is excluded. Exam tip: for rational functions, check both limiting values and whether each endpoint is actually attained.
धनात्मक (x) पर मान कम से कम (2) और ऋणात्मक (x) पर अधिक से अधिक (-2) होता है। दोनों स्थितियों को अलग जांचें। / For positive (x), the value is at least (2), and for negative (x), it is at most (-2). Check both cases separately.
(\sqrt{x-2-4x+4}=\sqrt{(x-2)2}=|x-2|)। इसका न्यूनतम (0) है और यह सभी अनऋणात्मक मान लेता है। / (\sqrt{x-2-4x+4}=\sqrt{(x-2)2}=|x-2|). Its minimum is (0), and it takes all non-negative values.
\(\sqrt{16-x^2}\) का अधिकतम (4) है, इसलिए भिन्न का न्यूनतम \(\frac{1}{4}\) है। किनारों के पास हर (0) की ओर जाता है। / The maximum of \(\sqrt{16-x^2}\) is (4), so the minimum fraction is \(\frac{1}{4}\). Near the endpoints, the denominator tends to (0).
महत्तम पूर्णांक फलन (x) से बड़ा नहीं सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। (4) शामिल नहीं है, इसलिए मान (4) नहीं आएगा। / The greatest integer function gives the largest integer not greater than (x). Since (4) is not included, the value (4) will not occur.
भिन्नांश भाग हमेशा (0) से बड़ा या बराबर और (1) से छोटा होता है। पूर्णांक (x) पर मान (0) मिलता है। / The fractional part is always at least (0) and less than (1). At integer (x), the value is (0).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x-1}{x+2}\ge 0\) और \(x\ne -2\) चाहिए। संकेत सारणी से (x<-2) या \(x\ge 1\) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x-1}{x+2}\ge 0\) and \(x\ne -2\). A sign chart gives (x<-2) or \(x\ge 1\).
वर्गमूल के अंदर की राशि \(\frac{x+3}{5-x}\) गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए और हर \(5-x\neq 0\) होना चाहिए। महत्वपूर्ण बिंदु \(x=-3\) और \(x=5\) हैं। संकेत-जांच से \([-3,5)\) पर भिन्न गैर-ऋणात्मक मिलता है। \(x=-3\) शामिल है क्योंकि वर्गमूल के अंदर की राशि 0 होती है, जबकि \(x=5\) शामिल नहीं है क्योंकि हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले परिमेय व्यंजक में पहले अंश के शून्य और हर के शून्य ज्ञात करके अंतरालों पर संकेत जाँचें। / The expression inside the square root, \(\frac{x+3}{5-x}\), must be non-negative, and the denominator must be nonzero. The critical points are \(x=-3\) and \(x=5\). Sign analysis shows that the expression is non-negative on \([-3,5)\). The point \(x=-3\) is included because the radicand becomes 0, whereas \(x=5\) is excluded because the denominator becomes zero. Exam tip: For a rational expression under a square root, first find the zeros of the numerator and denominator, then test the signs on the resulting intervals.
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अशून्य या धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(x-a\ge 0\), अर्थात् \(x\ge a\)। अतः \(f(x)=\sqrt{x-a}\) का प्रांत \([a,\infty)\) होता है। दिए गए प्रांत \([7,\infty)\) से \(a=7\) प्राप्त होता है। \(-7\) लेने पर प्रांत \([-7,\infty)\) होता, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(\sqrt{x-c}\) का प्रांत सीधे \([c,\infty)\) लिखें। / The expression under a square root must be non-negative, so \(x-a\ge 0\), which gives \(x\ge a\). Therefore, the domain of \(f(x)=\sqrt{x-a}\) is \([a,\infty)\). Comparing it with the given domain \([7,\infty)\), we get \(a=7\). Choosing \(-7\) would give the domain \([-7,\infty)\), so it is incorrect. Exam tip: The domain of \(\sqrt{x-c}\) is directly \([c,\infty)\).
परिभाषित होने के लिए हर \(x-a\) शून्य नहीं होना चाहिए। इसलिए \(x=a\) वह एकमात्र मान है जो प्रांत से हटाया जाता है। यहाँ हटाया गया मान \(5\) है, अतः \(a=5\)। \(-5\) लेने पर हटाया गया मान \(-5\) होता, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{1}{x-a}\) जैसे फलन में हर को शून्य रखकर अपवर्जित मान ज्ञात करें। / The denominator \(x-a\) must not be zero. Thus, the only excluded value from the domain is obtained from \(x-a=0\), which gives \(x=a\). Since the excluded value is \(5\), we have \(a=5\). Choosing \(-5\) would exclude \(-5\), not \(5\). Exam tip: For a reciprocal expression, set its denominator equal to zero to identify the value excluded from the domain.
ऊपर खुलने वाला परवलय तभी \([4,\infty\)) देता है जब (a>0)। (a=0) पर परिसर केवल ({4}) होगा। / An upward-opening parabola gives \([4,\infty\)) only when (a>0). If (a=0), the range is only ({4}).
मान (t=(x+1)2\ge 0) रखें, तो \(f=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\)। इसलिए मान (1) से बड़े और (4) तक हैं। / Put (t=(x+1)2\ge 0), then \(f=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\). Hence the values are greater than (1) and up to (4).
(2x-x-2=1-(x-1)2), जिसका मान (0) से (1) तक है। वर्गमूल के बाद (3) जोड़ने से परिसर ([3,4]) है। / Since (2x-x-2=1-(x-1)2), its value lies from (0) to (1). After square root and adding (3), the range is ([3,4]).
हर को वर्ग पूर्ण करके लिखें: \(x^2-6x+10=(x-3)^2+1\)। चूँकि \((x-3)^2\ge 0\), हर का न्यूनतम मान \(1\) है, जो \(x=3\) पर प्राप्त होता है। अतः \(f(x)\) का अधिकतम मान \(\frac{1}{1}=1\) है। उदाहरण के लिए, \(\frac{1}{10}\) अधिकतम मान नहीं है; यह केवल कुछ विशेष \(x\) मानों पर प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक हर वाली ऐसी भिन्न का अधिकतम मान हर के न्यूनतम मान पर मिलता है। / Complete the square in the denominator: \(x^2-6x+10=(x-3)^2+1\). Since \((x-3)^2\ge 0\), the denominator has minimum value \(1\), attained at \(x=3\). Therefore, the maximum value of \(f(x)\) is \(\frac{1}{1}=1\). For instance, \(\frac{1}{10}\) is not the maximum; it occurs only for particular values of \(x\). Exam tip: when the denominator is positive, the reciprocal is maximized when the denominator is minimized.
वर्गमूल के अंदर की राशियाँ शून्य या धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए \(x+4\ge 0\), अर्थात् \(x\ge -4\), और \(4-x\ge 0\), अर्थात् \(x\le 4\)। दोनों शर्तों का छेदन \([-4,4]\) है। अतः सही उत्तर A है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=-4\) और \(x=4\) पर भी फलन परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय प्रत्येक मूलांक के लिए अलग-अलग गैर-ऋणात्मकता की शर्त लगाकर उनका छेदन लें। / Each radicand must be non-negative for the square roots to be real. Thus, \(x+4\ge 0\) gives \(x\ge -4\), while \(4-x\ge 0\) gives \(x\le 4\). The intersection of these conditions is \([-4,4]\), so option A is correct. Option B is incorrect because the function is also defined at the endpoints \(x=-4\) and \(x=4\). Exam tip: For a function containing multiple square roots, impose a non-negative condition on every radicand and intersect the resulting sets.
सिरों पर मान \(2\sqrt{2}\) और (x=0) पर अधिकतम (4) है। सममिति वाले वर्गमूल फलनों में मध्य बिंदु भी जांचें। / At the endpoints the value is \(2\sqrt{2}\), and at (x=0) the maximum is (4). For symmetric radical functions, also check the midpoint.
वास्तविक लघुगणक के लिए उसका तर्क धनात्मक होना चाहिए: \(4-x^2>0\)। इससे \(x^2<4\), अर्थात् \(-2<x<2\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रांत \((-2,2)\) है। \(x=\pm2\) पर लघुगणक का तर्क शून्य हो जाता है, इसलिए endpoints शामिल नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: \(\log_a(g(x))\) के लिए हमेशा \(g(x)>0\) लगाएँ। / For a real logarithm, its argument must be positive: \(4-x^2>0\). Hence \(x^2<4\), which gives \(-2<x<2\). Therefore, the domain is \((-2,2)\). The endpoints \(x=\pm2\) are excluded because the logarithm argument becomes zero there. Exam tip: For \(\log_a(g(x))\), always impose \(g(x)>0\).
लघुगणक का तर्क सदैव धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(x-1>0\), अर्थात \(x>1\), और \(5-x>0\), अर्थात \(x<5\)। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(1<x<5\) है, इसलिए प्रांत \((1,5)\) होगा। सिरों \(x=1\) और \(x=5\) पर किसी एक लघुगणक का तर्क शून्य हो जाता है, इसलिए वे शामिल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: योग में प्रत्येक लघुगणक के तर्क के लिए अलग-अलग धनात्मकता की शर्त लगाकर उनका प्रतिच्छेद लें। / The argument of every logarithm must be positive. Thus, \(x-1>0\), giving \(x>1\), and \(5-x>0\), giving \(x<5\). The intersection of these conditions is \(1<x<5\), so the domain is \((1,5)\). The endpoints \(x=1\) and \(x=5\) are excluded because one logarithm would then have argument zero. Exam tip: For a sum of logarithms, impose positivity on the argument of each logarithm separately and take the intersection of the resulting intervals.
लघुगणक के लिए (x>0) और हर के लिए \(\log_{2}x\ne 0\) चाहिए। \(\log_{2}x=0\) पर (x=1) हटेगा। / The logarithm needs (x>0), and the denominator needs \(\log_{2}x\ne 0\). Since \(\log_{2}x=0\) at (x=1), remove (1).
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(|2x-1|\ge 0\), इसलिए \(f(x)=|2x-1|+3\ge 3\)। \(|2x-1|=0\) तब होता है जब \(x=\frac{1}{2}\), अतः न्यूनतम मान \(3\) वास्तव में प्राप्त होता है। इसलिए परास \([3,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(3\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(|g(x)|+c\) का न्यूनतम मान प्रायः \(c\) होता है, यदि \(g(x)=0\) का कोई वास्तविक हल हो। / For every real \(x\), \(|2x-1|\ge 0\), so \(f(x)=|2x-1|+3\ge 3\). The value \(|2x-1|=0\) occurs at \(x=\frac{1}{2}\), so the minimum value \(3\) is actually attained. Hence the range is \([3,\infty)\). Option B is incorrect because it excludes \(3\). Exam tip: For an expression of the form \(|g(x)|+c\), check whether \(g(x)=0\) has a real solution; if it does, the minimum is \(c\).
\(\sqrt{x^2+1}\ge 1\), इसलिए \(5-\sqrt{x^2+1}\le 4\)। (x) बड़ा होने पर मान असीम रूप से घटता है। / Since \(\sqrt{x^2+1}\ge 1\), \(5-\sqrt{x^2+1}\le 4\). As (x) grows, the value decreases without bound.
A. प्रांत \( \mathbb{R}\setminus{0} \), परिसर ( {-1,1} )/domain \( \mathbb{R}\setminus{0} \), range ( {-1,1} )
Explanation
Simple Explanation
(x=0) पर हर (0) हो जाता है। धनात्मक (x) पर मान (1) और ऋणात्मक (x) पर (-1) है। / At (x=0), the denominator becomes (0). For positive (x), the value is (1), and for negative (x), it is (-1).
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए, इसलिए \(x^2-1\ge 0\)। इससे \(x^2\ge 1\), अर्थात् \(|x|\ge 1\), इसलिए \(x\le -1\) या \(x\ge 1\)। अतः प्रांत \((- ,-1]\cup[1, )\) है। विकल्प B में \(|x|\le 1\) लिया गया है, जो इस असमिकता की विपरीत दिशा है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय मूलांक के अंदर का व्यंजक \(\ge 0\) रखें। / The expression under a square root must be non-negative, so \(x^2-1\ge 0\). Hence \(x^2\ge 1\), or \(|x|\ge 1\), which gives \(x\le -1\) or \(x\ge 1\). Therefore, the domain is \((- ,-1]\cup[1, )\). Option B incorrectly represents the opposite condition, \(|x|\le 1\). Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find its domain.
प्रांत में \(x^2-1\) का न्यूनतम (0) है। (x) बड़ा होने पर वर्गमूल सभी बड़े अनऋणात्मक मान लेता है। / On the domain, the minimum of \(x^2-1\) is (0). As (x) grows, the square root takes all larger non-negative values.
\(|4x|\le x^2+4\) क्योंकि ((x-2)2\ge 0) और ((x+2)2\ge 0)। इसलिए मान (-1) से (1) तक हैं और दोनों मिलते हैं। / \(|4x|\le x^2+4\) because ((x-2)2\ge 0) and ((x+2)2\ge 0). Hence values lie from (-1) to (1), and both endpoints occur.
वर्गमूल के लिए ((x-2)(6-x)\ge 0), इसलिए \(x\in[2,6]\) है। हर के कारण (x=4) हटेगा। / For the square root, ((x-2)(6-x)\ge 0), so \(x\in[2,6]\). Because of the denominator, (x=4) is removed.
मान \(t=x^2\ge 0\) रखें और \(t\ne 4\)। तब \(f=\frac{t}{t-4}\), जिससे \(t\in[0,4\)) पर (\(-\infty,0]\) और (t>4) पर (\(1,\infty\)) मिलता है। / Put \(t=x^2\ge 0\) and \(t\ne 4\). Then \(f=\frac{t}{t-4}\), giving (\(-\infty,0]\) for \(t\in[0,4\)) and (\(1,\infty\)) for (t>4).
प्राकृतिक लघुगणक के लिए उसका तर्क धनात्मक होना चाहिए और हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(\frac{x-2}{7-x}>0\) हल करते हैं। \(x=2\) और \(x=7\) महत्वपूर्ण बिंदु हैं; संकेत-जाँच से धनात्मक अंतराल केवल \((2,7)\) मिलता है। दोनों सिरों को शामिल नहीं किया जा सकता—\(x=2\) पर लघुगणक का तर्क शून्य और \(x=7\) पर हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: भिन्नात्मक असमिकाओं में अंश और हर के शून्य बिंदु चिह्न-तालिका में अवश्य लें। / For a natural logarithm, its argument must be positive, and the denominator must be nonzero. Thus, solve \(\frac{x-2}{7-x}>0\). The critical points are \(x=2\) and \(x=7\); a sign check shows that the expression is positive only on \((2,7)\). Neither endpoint is included: at \(x=2\) the logarithm argument is zero, while at \(x=7\) the denominator is zero. Exam tip: for a rational inequality, include both numerator and denominator zeros as critical points, then test the intervals.
\(t=\sqrt{x+1}\ge 0\) रखने पर \(f=\frac{t}{t+2}\)। (t=0) पर मान (0) और \(t\to\infty\) पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं होता। / Put \(t=\sqrt{x+1}\ge 0\), then \(f=\frac{t}{t+2}\). At (t=0), the value is (0), and as \(t\to\infty\), it approaches (1) but never equals (1).
हर (x-2+2x+2=(x+1)2+1\ge 1) है। इसलिए (\frac{1}{x-2+2x+2}\in(0,1]), अतः परिसर ((3,4]) है। / The denominator (x-2+2x+2=(x+1)2+1\ge 1). So (\frac{1}{x-2+2x+2}\in(0,1]), hence the range is ((3,4]).
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अशून्य या धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(1-|x-2|\ge 0\)। इससे \(|x-2|\le 1\), अर्थात् \(1\le x\le 3\)। अतः प्रांत \([1,3]\) है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=1\) और \(x=3\) पर भी वर्गमूल परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय radicand को \(\ge 0\) रखें। / The expression inside a square root must be non-negative, so \(1-|x-2|\ge 0\). Hence \(|x-2|\le 1\), which gives \(1\le x\le 3\). Therefore, the domain is \([1,3]\). Option C is incorrect because the endpoints \(x=1\) and \(x=3\) also make the square root defined. Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find the domain.
