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Subjects
Class 11 Mathematics Expert Level 31

फलन \(f(x)=\log_{3}(x-1)+\log_{3}(5-x)\) का प्रांत (domain) क्या है?

What is the domain of the function \(f(x)=\log_{3}(x-1)+\log_{3}(5-x)\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \((1,5)\)

Explanation

Simple Explanation

लघुगणक का तर्क सदैव धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(x-1>0\), अर्थात \(x>1\), और \(5-x>0\), अर्थात \(x<5\)। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(1<x<5\) है, इसलिए प्रांत \((1,5)\) होगा। सिरों \(x=1\) और \(x=5\) पर किसी एक लघुगणक का तर्क शून्य हो जाता है, इसलिए वे शामिल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: योग में प्रत्येक लघुगणक के तर्क के लिए अलग-अलग धनात्मकता की शर्त लगाकर उनका प्रतिच्छेद लें। / The argument of every logarithm must be positive. Thus, \(x-1>0\), giving \(x>1\), and \(5-x>0\), giving \(x<5\). The intersection of these conditions is \(1<x<5\), so the domain is \((1,5)\). The endpoints \(x=1\) and \(x=5\) are excluded because one logarithm would then have argument zero. Exam tip: For a sum of logarithms, impose positivity on the argument of each logarithm separately and take the intersection of the resulting intervals.

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फलन \(f(x)=\log_{3}(x-1)+\log_{3}(5-x)\) का प्रांत (domain) क्या है? / What is the domain of the function \(f(x)=\log_{3}(x-1)+\log_{3}(5-x)\)?

Correct Answer: A. \((1,5)\). Explanation: लघुगणक का तर्क सदैव धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(x-1>0\), अर्थात \(x>1\), और \(5-x>0\), अर्थात \(x<5\)। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(1<x<5\) है, इसलिए प्रांत \((1,5)\) होगा। सिरों \(x=1\) और \(x=5\) पर किसी एक लघुगणक का तर्क शून्य हो जाता है, इसलिए वे शामिल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: योग में प्रत्येक लघुगणक के तर्क के लिए अलग-अलग धनात्मकता की शर्त लगाकर उनका प्रतिच्छेद लें। / The argument of every logarithm must be positive. Thus, \(x-1>0\), giving \(x>1\), and \(5-x>0\), giving \(x<5\). The intersection of these conditions is \(1<x<5\), so the domain is \((1,5)\). The endpoints \(x=1\) and \(x=5\) are excluded because one logarithm would then have argument zero. Exam tip: For a sum of logarithms, impose positivity on the argument of each logarithm separately and take the intersection of the resulting intervals.