फलन \(f(x)=\frac{|x|}{1+|x|}\) का परिसर (range) क्या है?

Correct Answer: A. \([0,1)\). Explanation: मान लें \(t=|x|\), तब \(t\ge 0\) और \(f(x)=\frac{t}{1+t}\)। \(x=0\) पर \(t=0\), इसलिए \(f(x)=0\) प्राप्त होता है। दूसरी ओर, किसी सीमित \(t\) के लिए \(\frac{t}{1+t}<1\), अतः 1 कभी प्राप्त नहीं होता, केवल उसके निकट पहुँचा जा सकता है। इसलिए परिसर \([0,1)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि 0 शामिल है, और विकल्प C गलत है क्योंकि 1 शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: भिन्नात्मक फलन में सीमा-बिंदु जाँचने के साथ यह भी देखें कि वे वास्तव में प्राप्त होते हैं या नहीं। / Let \(t=|x|\). Then \(t\ge 0\) and \(f(x)=\frac{t}{1+t}\). At \(x=0\), we get \(t=0\) and hence \(f(x)=0\). For every finite \(t\), \(\frac{t}{1+t}<1\), so the value 1 is never attained, although the function approaches 1 as \(|x|\) increases. Therefore, the range is \([0,1)\). Option B is incorrect because 0 is included, while option C is incorrect because 1 is excluded. Exam tip: for rational functions, check both limiting values and whether each endpoint is actually attained.