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Subjects
Class 11 Mathematics Expert Level 31

फलन \(f(x)=\frac{1}{x^2-6x+10}\), जहाँ \(x\in\mathbb{R}\), का अधिकतम मान क्या है?

What is the maximum value of the function \(f(x)=\frac{1}{x^2-6x+10}\), where \(x\in\mathbb{R}\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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A. \(1\)

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हर को वर्ग पूर्ण करके लिखें: \(x^2-6x+10=(x-3)^2+1\)। चूँकि \((x-3)^2\ge 0\), हर का न्यूनतम मान \(1\) है, जो \(x=3\) पर प्राप्त होता है। अतः \(f(x)\) का अधिकतम मान \(\frac{1}{1}=1\) है। उदाहरण के लिए, \(\frac{1}{10}\) अधिकतम मान नहीं है; यह केवल कुछ विशेष \(x\) मानों पर प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक हर वाली ऐसी भिन्न का अधिकतम मान हर के न्यूनतम मान पर मिलता है। / Complete the square in the denominator: \(x^2-6x+10=(x-3)^2+1\). Since \((x-3)^2\ge 0\), the denominator has minimum value \(1\), attained at \(x=3\). Therefore, the maximum value of \(f(x)\) is \(\frac{1}{1}=1\). For instance, \(\frac{1}{10}\) is not the maximum; it occurs only for particular values of \(x\). Exam tip: when the denominator is positive, the reciprocal is maximized when the denominator is minimized.

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फलन \(f(x)=\frac{1}{x^2-6x+10}\), जहाँ \(x\in\mathbb{R}\), का अधिकतम मान क्या है? / What is the maximum value of the function \(f(x)=\frac{1}{x^2-6x+10}\), where \(x\in\mathbb{R}\)?

Correct Answer: A. \(1\). Explanation: हर को वर्ग पूर्ण करके लिखें: \(x^2-6x+10=(x-3)^2+1\)। चूँकि \((x-3)^2\ge 0\), हर का न्यूनतम मान \(1\) है, जो \(x=3\) पर प्राप्त होता है। अतः \(f(x)\) का अधिकतम मान \(\frac{1}{1}=1\) है। उदाहरण के लिए, \(\frac{1}{10}\) अधिकतम मान नहीं है; यह केवल कुछ विशेष \(x\) मानों पर प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक हर वाली ऐसी भिन्न का अधिकतम मान हर के न्यूनतम मान पर मिलता है। / Complete the square in the denominator: \(x^2-6x+10=(x-3)^2+1\). Since \((x-3)^2\ge 0\), the denominator has minimum value \(1\), attained at \(x=3\). Therefore, the maximum value of \(f(x)\) is \(\frac{1}{1}=1\). For instance, \(\frac{1}{10}\) is not the maximum; it occurs only for particular values of \(x\). Exam tip: when the denominator is positive, the reciprocal is maximized when the denominator is minimized.