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किसी फलन का ग्राफ उसके सभी क्रमित युग्मों (x,f(x)) का समुच्चय होता है। यहाँ f(1)=12=1, f(2)=22=4 और f(3)=32=9 हैं, इसलिए ग्राफ {(1,1),(2,4),(3,9)} होगा। विकल्प C पहचान फलन y=x का ग्राफ है, जबकि विकल्प B में f(3)=9 के स्थान पर 6 दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक दिए गए x के लिए पहले f(x) निकालकर क्रमित युग्म बनाइए। / The graph of a function is the set of all ordered pairs (x,f(x)). Here, f(1)=12=1, f(2)=22=4, and f(3)=32=9, so the graph is {(1,1),(2,4),(3,9)}. Option C represents the identity function y=x, while option B gives 6 instead of the correct value 9 for x=3. Exam tip: calculate f(x) for every element of the domain before forming the ordered pairs.
नियम \(y=x+2\) में \(x=1\) रखने पर \(y=3\) और \(x=3\) रखने पर \(y=5\) मिलता है। इसलिए क्रमित युग्म \((1,3)\) और \((3,5)\) होंगे, अतः विकल्प A सही है। विकल्प C में क्रमित युग्मों का क्रम उलट दिया गया है, जबकि D पहचान फलन \(y=x\) को दर्शाता है। परीक्षा टिप: ग्राफ के प्रत्येक बिंदु को हमेशा \((x,y)\) के क्रम में लिखें। / Using the rule \(y=x+2\), when \(x=1\), \(y=3\), and when \(x=3\), \(y=5\). Thus, the ordered pairs are \((1,3)\) and \((3,5)\), so option A is correct. Option C reverses the ordered-pair arrangement, while option D represents the identity rule \(y=x\). Exam tip: Always write graph points in the order \((x,y)\).
फलन के ग्राफ में प्रत्येक क्रमित युग्म (x,f(x)) के रूप में लिखा जाता है। यहाँ f(0)=0, f(1)=3 और f(2)=6 हैं, इसलिए ग्राफ {(0,0),(1,3),(2,6)} होगा। विकल्प C में क्रमित युग्मों के अवयव उलट दिए गए हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रांत के प्रत्येक मान के लिए f(x) निकालकर (x,f(x)) लिखें। / The graph of a function consists of ordered pairs of the form (x,f(x)). Here, f(0)=0, f(1)=3, and f(2)=6, so the graph is {(0,0),(1,3),(2,6)}. In option C, the components of the ordered pairs are reversed. Exam tip: evaluate the function at every domain element and write each result as (x,f(x)).
A. मूलबिंदु से गुजरती सीधी रेखा/Straight line through (O)
Explanation
Simple Explanation
(f(x)=x) में हर (x) पर (y=x) होता है, इसलिए आलेख मूलबिंदु से गुजरती सीधी रेखा है। परीक्षा में (x) और (y) के बराबर मान लगाएं। / In (f(x)=x), (y=x) for every (x), so the graph is a straight line through the origin. In exams, test equal (x) and (y) values.
(f(x)=c) में हर (x) के लिए (y) का मान (c) रहता है। इसलिए आलेख (x)-अक्ष के समांतर रेखा (y=c) है। / In (f(x)=c), the value of (y) remains (c) for all (x). So the graph is the horizontal line (y=c).
\(x^2\) हमेशा (0) या धनात्मक होता है, इसलिए \(y=x^2\) का परवलय ऊपर खुलता है। बिंदु ((0,0)) शीर्ष है। / Since \(x^2\) is always (0) or positive, the parabola \(y=x^2\) opens upward. The point ((0,0)) is the vertex.
\(-x^2\) का मान (0) या ऋणात्मक होता है, इसलिए आलेख नीचे खुला परवलय है। संकेत देखकर दिशा पहचानें। / The value of \(-x^2\) is (0) or negative, so the graph is a downward parabola. Check the sign to identify the direction.
(|-x|=|x|), इसलिए (f(x)=|x|) सम फलन है और (y)-अक्ष के प्रति सममित है। सममिति जांचने के लिए (x) को (-x) से बदलें। / Since (|-x|=|x|), (f(x)=|x|) is an even function and is symmetric about the (y)-axis. Replace (x) by (-x) to test symmetry.
(x=0) रखने पर \(y=0^3=0\), इसलिए आलेख ((0,0)) से गुजरता है। पहले सरल मान (0) और (1) लगाएं। / Putting (x=0) gives \(y=0^3=0\), so the graph passes through ((0,0)). First test simple values like (0) and (1).
वास्तविक संख्या में \(\sqrt{x}\) तभी परिभाषित है जब \(x\ge 0\)। इसलिए इसका आलेख दाईं ओर से शुरू होता है। / In real numbers, \(\sqrt{x}\) is defined only when \(x\ge 0\). So its graph starts on the right side.
\(\frac{1}{x}\) में हर (x) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए (x=0) अनुमति नहीं है। हर को हमेशा जांचें। / In \(\frac{1}{x}\), the denominator (x) cannot be zero, so (x=0) is not allowed. Always check the denominator.
\(x^2\ge 0\) और (x=0) पर \(x^2=0\), इसलिए न्यूनतम मान (0) है। वर्ग फलन में शीर्ष याद रखें। / Since \(x^2\ge 0\) and \(x^2=0\) at (x=0), the minimum value is (0). Remember the vertex of a square function.
\(|x|\ge 0\) और (x=0) पर (|x|=0), इसलिए न्यूनतम बिंदु ((0,0)) है। यह (V)-आकार का शीर्ष है। / Since \(|x|\ge 0\) and (|x|=0) at (x=0), the minimum point is ((0,0)). It is the vertex of the (V)-shape.
बिंदु जांचने के लिए (x=2) रखें, तो \(y=2^2=4\) मिलता है। हमेशा दिए गए बिंदु को समीकरण में रखें। / To check the point, put (x=2), then \(y=2^2=4\). Always substitute the given point in the equation.
(y=x) पर दोनों निर्देशांक समान होते हैं। ((4,5)) में \(4\neq 5\), इसलिए यह बिंदु आलेख पर नहीं है। / On (y=x), both coordinates are equal. In ((4,5)), \(4\neq 5\), so this point is not on the graph.
\\(f(-3)=(-3)^2=9\\) और \\(f(3)=3^2=9\\), इसलिए दोनों मान बराबर हैं। विकल्प D गलत है, क्योंकि \\(f(3)=9\\) का ऋणात्मक मान \\(-9\\) होगा, जबकि \\(f(-3)=9\\) है। परीक्षा-युक्ति: \\(f(x)=x^2\\) एक सम फलन है, इसलिए \\(f(-x)=f(x)\\) और इसका ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। / \\(f(-3)=(-3)^2=9\\) and \\(f(3)=3^2=9\\), so the two values are equal. Option D is incorrect because the negative of \\(f(3)=9\\) is \\(-9\\), whereas \\(f(-3)=9\\). Exam tip: \\(f(x)=x^2\\) is an even function, so \\(f(-x)=f(x)\\), and its graph is symmetric about the y-axis.
\(f(-1)=(-1)^3=-1\) और \(f(1)=1^3=1\)। इसलिए \(f(-1)=-f(1)\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि दोनों मान बराबर नहीं हैं, जबकि विकल्प C भी गलत है क्योंकि \(-1<1\)। परीक्षा-युक्ति: यदि \(f(-x)=-f(x)\), तो फलन विषम होता है; \(x^3\) एक विषम फलन है। / \(f(-1)=(-1)^3=-1\) and \(f(1)=1^3=1\). Therefore, \(f(-1)=-f(1)\). Option A is incorrect because the two values are not equal, and option C is incorrect because \(-1<1\). Exam tip: a function satisfying \(f(-x)=-f(x)\) is odd, and \(x^3\) is an odd function.
समीकरण \(y=3\) में प्रत्येक \(x\) के लिए फलन का मान हमेशा 3 रहता है, इसलिए इसका आलेख नियत फलन का होता है। यह \(x\)-अक्ष के समानांतर क्षैतिज रेखा है। तत्समक फलन में \(y=x\) होता है, इसलिए उसका आलेख तिरछी रेखा होता है। परीक्षा-युक्ति: जिस फलन का आउटपुट \(x\) बदलने पर भी स्थिर रहे, उसे नियत फलन पहचानें। / In the equation \(y=3\), the function value remains 3 for every value of \(x\), so its graph represents a constant function. It is a horizontal line parallel to the \(x\)-axis. An identity function has \(y=x\), so its graph is a slanting line instead. Exam tip: A function whose output does not change when \(x\) changes is a constant function.
A. मूलबिंदु से गुजरती सीधी रेखा/Straight line through (O)
Explanation
Simple Explanation
(f(x)=2x) एक रैखिक फलन है और (x=0) पर (y=0), इसलिए रेखा मूलबिंदु से गुजरती है। गुणांक ढाल बताता है। / (f(x)=2x) is a linear function and at (x=0), (y=0), so the line passes through the origin. The coefficient gives the slope.
\(y\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु के लिए \(x=0\) होता है। अतः \(f(0)=0+2=2\), इसलिए \(y\)-अक्ष प्रतिच्छेद का \(y\)-निर्देशांक 2 है और प्रतिच्छेद बिंदु \((0,2)\) होगा। \(−2\) विकल्प केवल तब आता जब फलन \(x−2\) होता। परीक्षा-युक्ति: \(y\)-अक्ष प्रतिच्छेद निकालने के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / Every point on the \(y\)-axis has \(x=0\). Therefore, \(f(0)=0+2=2\), so the \(y\)-coordinate of the \(y\)-intercept is 2 and the intercept point is \((0,2)\). The value \(−2\) would result from a function such as \(x−2\), not \(x+2\). Exam tip: To find a graph’s \(y\)-intercept, substitute \(x=0\).
(x)-अक्ष प्रतिच्छेद पर (y=0), इसलिए (x-3=0) से (x=3) मिलता है। प्रतिच्छेद में उपयुक्त निर्देशांक शून्य रखें। / At the (x)-intercept, (y=0), so (x-3=0) gives (x=3). For intercepts, set the proper coordinate to zero.
(|x-2|) का न्यूनतम मान तब (0) है जब (x=2), इसलिए शीर्ष ((2,0)) है। अंदर का भाग शून्य करें। / The minimum of (|x-2|) is (0) when (x=2), so the vertex is ((2,0)). Set the inside part equal to zero.
\(f(x)=x^2+1\) में प्रत्येक \(x\) के लिए \(y\)-मान, \(y=x^2\) की तुलना में 1 अधिक है। इसलिए परवलय का आकार और क्षैतिज स्थिति वही रहती है, लेकिन पूरा आलेख 1 इकाई ऊपर खिसक जाता है। परीक्षा-युक्ति: \(y=g(x)+k\) में \(k>0\) होने पर आलेख \(k\) इकाई ऊपर जाता है। / For every value of \(x\), the function \(f(x)=x^2+1\) gives a \(y\)-value that is 1 greater than that of \(y=x^2\). Thus, the parabola keeps the same shape and horizontal position but shifts upward by 1 unit. Exam tip: in \(y=g(x)+k\), a positive \(k\) shifts the graph upward by \(k\) units.
((x-1)2) का न्यूनतम मान (0) तब है जब (x=1), इसलिए शीर्ष ((1,0)) है। कोष्ठक के अंदर को शून्य करें। / The minimum of ((x-1)2) is (0) when (x=1), so the vertex is ((1,0)). Set the inside of the bracket to zero.
\(\sqrt{x}\) में सबसे छोटा अनुमत (x) मान (0) है और \(\sqrt{0}=0\)। इसलिए आलेख ((0,0)) से शुरू होता है। / In \(\sqrt{x}\), the smallest allowed (x)-value is (0), and \(\sqrt{0}=0\). So the graph starts from ((0,0)).
वास्तविक मानों के लिए वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अशून्य या धनात्मक होना चाहिए: \(x-4\ge 0\), इसलिए \(x\ge 4\)। जब \(x=4\), तब \(f(4)=0\), अतः आलेख का प्रारंभिक बिंदु \((4,0)\) है और वह \(x=4\) से शुरू होता है। परीक्षा-युक्ति: \(\sqrt{x-a}\) का आलेख सामान्यतः \(x=a\) से शुरू होता है। / For real-valued outputs, the expression inside the square root must be non-negative: \(x-4\ge 0\), so \(x\ge 4\). At \(x=4\), \(f(4)=0\), giving the starting point \((4,0)\). Therefore, the graph begins at \(x=4\), not at any smaller value. Exam tip: the graph of \(\sqrt{x-a}\) starts at \(x=a\).
(x) और \(y=\frac{1}{x}\) का चिह्न समान होता है। इसलिए आलेख प्रथम और तृतीय चतुर्थांश में होता है। / The signs of (x) and \(y=\frac{1}{x}\) are the same. So the graph lies in the first and third quadrants.
(f(-x)=(-x)2=x-2=f(x)), इसलिए आलेख (y)-अक्ष के प्रति सममित है। सम फलन की सममिति याद रखें। / Since (f(-x)=(-x)2=x-2=f(x)), the graph is symmetric about the (y)-axis. Remember symmetry of even functions.
(f(-x)=(-x)3=-x-3=-f(x)), इसलिए यह मूलबिंदु के प्रति सममित है। विषम फलन की पहचान (f(-x)=-f(x)) से करें। / Since (f(-x)=(-x)3=-x-3=-f(x)), it is symmetric about the origin. Identify odd functions by (f(-x)=-f(x)).
दिए गए फलन में \(y=|x|\) है। इसलिए \(y=|-5|=5\)। मापांक किसी संख्या की दूरी को दर्शाता है, इसलिए उसका मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। विकल्प \(-5\) में मापांक लगाए बिना \(x\) का मान लिख दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: \(|a|\) का मान हमेशा \(a\) या \(-a\) में से धनात्मक मान होता है। / For the given function, \(y=|x|\). Substituting \(x=-5\) gives \(y=|-5|=5\). An absolute value represents distance from zero, so it is never negative. The option \(-5\) incorrectly gives the value of \(x\) without applying the modulus. Exam tip: \(|a|\) is always the non-negative value of \(a\).
फलन में \(x=9\) रखने पर \(y=\sqrt{9}=3\) प्राप्त होता है। वर्गमूल फलन \(y=\sqrt{x}\) का मुख्य मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए \(-3\) सही नहीं है। परीक्षा में याद रखें कि \(\sqrt{a^2}=|a|\), न कि हमेशा \(a\)। / Substituting \(x=9\) into the function gives \(y=\sqrt{9}=3\). The principal value of a square root is always non-negative, so \(-3\) is not correct. Exam tip: remember that \(\sqrt{a^2}=|a|\), not always \(a\).
दिए गए फलन में \(x=-2\) रखने पर \(y=(-2)^2=4\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 4 है और संबंधित बिंदु \((-2,4)\) है। \(-2^2\) को बिना कोष्ठक के लिखने से भ्रम हो सकता है, इसलिए ऋणात्मक संख्या का वर्ग करते समय कोष्ठक लगाएँ। / Substituting \(x=-2\) into the function gives \(y=(-2)^2=4\). Hence, the correct value is 4, and the corresponding point is \((-2,4)\). The value is not \(-4\) because the entire number \(-2\) is being squared; use brackets when squaring a negative number.
(y)-अक्ष प्रतिच्छेद के लिए (x=0), इसलिए (f(0)=02-4=-4)। प्रतिच्छेद में (x=0) रखना न भूलें। / For the (y)-intercept, (x=0), so (f(0)=02-4=-4). Do not forget to put (x=0) for this intercept.
\(x\)-अक्ष पर \(y=0\) होता है। इसलिए \(x^2-4=0\), अर्थात् \(x^2=4\), जिससे \(x=2\) या \(x=-2\) प्राप्त होता है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((2,0)\) और \((-2,0)\) हैं। विकल्प C में \(x=\pm1\) रखने पर फलन का मान \(-3\) आता है, इसलिए वह \(x\)-अक्ष पर नहीं है। परीक्षा-टिप: \(x\)-अक्ष के प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(f(x)=0\) रखें। / On the x-axis, \(y=0\). Therefore, \(x^2-4=0\), so \(x^2=4\) and \(x=2\) or \(x=-2\). Hence, the intercepts are \((2,0)\) and \((-2,0)\). In option C, substituting \(x=\pm1\) gives \(f(x)=-3\), so those values do not lie on the x-axis. Exam tip: To find x-intercepts, set \(f(x)=0\).
\(x^2+4\) हमेशा (4) या उससे बड़ा है, इसलिए (y=0) नहीं हो सकता। अतः आलेख (x)-अक्ष को नहीं काटता। / \(x^2+4\) is always (4) or greater, so (y=0) is impossible. Hence the graph does not cut the (x)-axis.
(x=0) रखने पर (y=0), इसलिए रेखा (y=-x) मूलबिंदु से गुजरती है। रेखीय फलन में सरल बिंदु पहले जांचें। / Putting (x=0) gives (y=0), so the line (y=-x) passes through the origin. Check simple points first in a linear function.
नियत फलन (f(x)=2) हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। इसलिए डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं। / The constant function (f(x)=2) is defined for every real (x). Hence its domain is all real numbers.
\(f(x)=x+1\) में मूल फलन \(y=x\) के प्रत्येक \(y\)-मान में 1 जुड़ता है, जबकि \(x\)-मान वही रहता है। इसलिए पूरा आलेख 1 इकाई ऊपर खिसकता है। ध्यान रखें: \(f(x)+k\) आलेख को ऊपर और \(f(x)-k\) नीचे ले जाता है; क्षैतिज स्थानांतरण के लिए कोष्ठक के अंदर \(x\) बदलता है। / In \(f(x)=x+1\), 1 is added to every \(y\)-value of the original function \(y=x\), while the \(x\)-values remain unchanged. Therefore, the entire graph shifts 1 unit upward. Exam tip: \(f(x)+k\) shifts a graph upward, whereas \(f(x-k)\) produces a horizontal shift to the right.
(|x|) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए (|x|+3) का न्यूनतम मान (3) है। ऊर्ध्व खिसकाव को ध्यान में रखें। / The minimum of (|x|) is (0), so the minimum of (|x|+3) is (3). Keep the vertical shift in mind.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=x^2+2\ge 2\), और \(x=0\) पर \(f(0)=2\) प्राप्त होता है। अतः न्यूनतम मान 2 है। ध्यान रखें कि \(x^2\) का न्यूनतम मान 0 है, लेकिन फलन में 2 जुड़ा होने से न्यूनतम मान 2 हो जाता है। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\). Hence \(f(x)=x^2+2\ge 2\), and at \(x=0\), \(f(0)=2\). Therefore, the minimum value is 2. Remember that 0 is the minimum of \(x^2\), but adding 2 shifts the minimum value of the function to 2.
रेखा \(y=0\) पर प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक शून्य होता है, इसलिए इसके सभी बिंदु \((x,0)\) के रूप में लिखे जाते हैं और यह x-अक्ष पर स्थित होते हैं। अतः सही उत्तर x-अक्ष है। ध्यान रखें: y-अक्ष का समीकरण \(x=0\) होता है, जबकि \(x=1\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है जो y-अक्ष के समानांतर होती है। / On the line \(y=0\), the y-coordinate of every point is zero, so all its points have the form \((x,0)\) and lie on the x-axis. Therefore, the correct answer is the x-axis. Remember that the equation of the y-axis is \(x=0\), whereas \(x=1\) is a vertical line parallel to the y-axis.
A. \(g\) का आलेख 5 इकाई ऊपर खिसकता है/The graph of \(g\) shifts 5 units upward
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(g(x)=f(x)+5\), इसलिए प्रत्येक \(x\) के लिए \(g(x)\), \(f(x)\) से 5 अधिक है। अतः परवलय का आकार और \(x\)-निर्देशांक अपरिवर्तित रहते हैं, केवल पूरा आलेख 5 इकाई ऊपर खिसकता है। विकल्प B नीचे की ओर खिसकने को दर्शाता है, जो \(f(x)-5\) के लिए होता। परीक्षा टिप: \(y=f(x)+k\) में आलेख \(k\) इकाई ऊपर और \(y=f(x)-k\) में \(k\) इकाई नीचे जाता है। / Since \(g(x)=f(x)+5\), for every \(x\), the value of \(g(x)\) is 5 greater than the corresponding value of \(f(x)\). Thus, the parabola keeps the same shape and horizontal positions but shifts 5 units upward. Option B would represent \(f(x)-5\), which shifts the graph downward. Exam tip: \(y=f(x)+k\) shifts a graph upward by \(k\) units, while \(y=f(x)-k\) shifts it downward.
आलेख पर स्थित बिंदु के लिए \(y=|x|\) होना चाहिए। बिंदु \((-4,4)\) में \(|-4|=4\), इसलिए यह सही है। \((-4,-4)\) और \((4,-4)\) गलत हैं क्योंकि \(|x|\) का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता, जबकि \((0,4)\) के लिए \(|0|=0\), 4 नहीं। परीक्षा में किसी बिंदु की जाँच करने के लिए उसके \(x\)-निर्देशांक को फलन में रखें। / A point lies on the graph only if it satisfies \(y=|x|\). For \((-4,4)\), \(|-4|=4\), so it is correct. \((-4,-4)\) and \((4,-4)\) are incorrect because \(|x|\) can never be negative, while \((0,4)\) is incorrect since \(|0|=0\), not 4. Exam tip: substitute the point’s \(x\)-coordinate into the function and compare the result with its \(y\)-coordinate.
\(\lfloor 2.7\rfloor=2\), क्योंकि यह (2.7) से छोटी या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या है। ऐसे आलेख में सीढ़ीनुमा भाग याद रखें। / \(\lfloor 2.7\rfloor=2\), because it is the greatest integer less than or equal to (2.7). Remember the step-like shape of this graph.
\(\frac{1}{x^2}\) में हर \(x^2\) है, इसलिए (x=0) पर हर शून्य हो जाएगा। भिन्न वाले फलन में हर को पहले जांचें। / In \(\frac{1}{x^2}\), the denominator is \(x^2\), so at (x=0) the denominator becomes zero. In fractional functions, check the denominator first.
(-|x|) का आलेख ( |x| ) का (x)-अक्ष में प्रतिबिंब है और शीर्ष ((0,0)) ही रहता है। ऋण चिह्न से (V)-आकार नीचे की ओर खुलता है। / The graph of (-|x|) is the reflection of (|x|) in the (x)-axis, and the vertex remains ((0,0)). The negative sign makes the (V)-shape open downward.
साइनम फलन में (x>0) के लिए मान (1) होता है। ग्राफ में दाईं ओर क्षैतिज रेखा (y=1) याद रखें। / In the signum function, the value is (1) for (x>0). Remember the right-side horizontal line (y=1) in the graph.
साइनम फलन में (x<0) के लिए मान (-1) होता है। ग्राफ में बाईं ओर क्षैतिज रेखा (y=-1) होती है। / In the signum function, the value is (-1) for (x<0). In the graph, the left side is the horizontal line (y=-1).
साइनम फलन में (x=0) पर मान (0) होता है। यह बिंदु ग्राफ में अलग से ध्यान देने योग्य है। / In the signum function, the value at (x=0) is (0). This point should be noticed separately in the graph.
\(\lfloor 3.2\rfloor=3\), क्योंकि यह (3.2) से छोटी या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या है। ग्रेटेस्ट इंटीजर ग्राफ सीढ़ीनुमा होता है। / \(\lfloor 3.2\rfloor=3\), because it is the greatest integer less than or equal to (3.2). The greatest integer graph is step-like.
\(\lfloor -1.4\rfloor=-2\), क्योंकि (-2) इससे छोटी या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या है। ऋणात्मक दशमलव में सावधानी रखें। / \(\lfloor -1.4\rfloor=-2\), because (-2) is the greatest integer less than or equal to it. Be careful with negative decimals.
हर \(x\in[2,3\)) के लिए \(\lfloor x\rfloor=2\) होता है। इसलिए इस हिस्से में ग्राफ क्षैतिज रेखा (y=2) है। / For every \(x\in[2,3\)), \(\lfloor x\rfloor=2\). So this part of the graph is the horizontal line (y=2).
महत्तम पूर्णांक फलन \\(f(x)=\lfloor x\rfloor\\) प्रत्येक अंतराल \\([n,n+1)\\) पर स्थिर मान \\(n\\) रखता है, इसलिए इसका आलेख क्षैतिज खंडों वाली सीढ़ी जैसा दिखाई देता है। प्रत्येक खंड में बायाँ सिरा सम्मिलित और दायाँ सिरा बहिष्कृत होता है। परवलय या वृत्त इस फलन के बदलते हुए स्थिर-खंडों को प्रदर्शित नहीं करते। परीक्षा-सुझाव: \\(\lfloor x\rfloor\\) का अर्थ है—\\(x\\) से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक। / The greatest integer function \\(f(x)=\lfloor x\rfloor\\) remains constant at the value \\(n\\) on every interval \\([n,n+1)\\), so its graph consists of horizontal steps. Each step includes its left endpoint and excludes its right endpoint. A parabola or a circle does not represent these constant intervals. Exam tip: \\(\lfloor x\rfloor\\) means the greatest integer less than or equal to \\(x\\).
आलेख \(y=x^2\) ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है। इसका न्यूनतम \(y\)-मान \(0\) है, जो \(x=0\) पर प्राप्त होता है; इसलिए इसका शीर्ष \((0,0)\) है। परीक्षा-युक्ति: \(y=(x-h)^2+k\) में शीर्ष \((h,k)\) होता है। / The graph \(y=x^2\) is an upward-opening parabola. Its minimum \(y\)-value is \(0\), attained at \(x=0\), so its vertex is \((0,0)\). Exam tip: in \(y=(x-h)^2+k\), the vertex is \((h,k)\).
यह फलन शीर्ष रूप \(y=(x-h)^2+k\) में है, जहाँ \(h=-2\) और \(k=0\)। इसलिए इसका ग्राफ \(y=x^2\) को 2 इकाई बाईं ओर खिसकाने पर प्राप्त होता है और शीर्ष \((-2,0)\) है। विकल्प A में \(x\)-निर्देशांक का चिन्ह गलत है। परीक्षा टिप: \((x+a)^2\) का शीर्ष हमेशा \((-a,0)\) होता है। / The function is in vertex form \(y=(x-h)^2+k\), where \(h=-2\) and \(k=0\). Thus, its graph is \(y=x^2\) shifted 2 units to the left, giving the vertex \((-2,0)\). Option A has the wrong sign for the x-coordinate. Exam tip: the vertex of \((x+a)^2\) is \((-a,0)\).
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=x^2-3\ge -3\)। यह न्यूनतम मान \(x=0\) पर प्राप्त होता है, क्योंकि \(f(0)=0^2-3=-3\)। विकल्प 0 केवल \(x^2\) का न्यूनतम मान है, पूरे फलन का नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2\) वाले फलन में पहले वर्ग पद का न्यूनतम मान ज्ञात करें। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\). Therefore, \(f(x)=x^2-3\ge -3\). This minimum is attained at \(x=0\), since \(f(0)=0^2-3=-3\). The value 0 is the minimum of \(x^2\) alone, not of the entire function. Exam tip: For a function containing \(x^2\), first use the fact that its minimum value is 0.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \((x-2)^2\ge 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=-(x-2)^2\le 0\)। जब \(x=2\), तब \(f(2)=0\), अतः अधिकतम मान 0 है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक वर्ग फलन का शीर्ष अधिकतम बिंदु देता है। / For every real \(x\), \((x-2)^2\ge 0\). Hence \(f(x)=-(x-2)^2\le 0\). At \(x=2\), \(f(2)=0\), so the maximum value is 0. Exam tip: a quadratic with a negative coefficient of the squared term opens downward, so its vertex gives the maximum value.
\(f(x)=|x+1|\) का न्यूनतम मान \(0\) होता है, और यह तब प्राप्त होता है जब \(x+1=0\), अर्थात् \(x=-1\)। इसलिए ग्राफ का शीर्ष-बिंदु \((-1,0)\) है। विकल्प A में \(x\)-निर्देशांक का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(y=|x-h|+k\) के ग्राफ का शीर्ष \((h,k)\) होता है; यहाँ \(|x+1|=|x-(-1)|\)। / For \(f(x)=|x+1|\), the minimum value is \(0\), attained when \(x+1=0\), or \(x=-1\). Therefore, the vertex of the graph is \((-1,0)\). Option A has the wrong sign for the \(x\)-coordinate. Exam tip: the graph of \(y=|x-h|+k\) has vertex \((h,k)\); here, \(|x+1|=|x-(-1)|\).
(|x|) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए (|x|-2) का न्यूनतम मान (-2) है। ग्राफ (2) इकाई नीचे खिसकता है। / The minimum value of (|x|) is (0), so the minimum value of (|x|-2) is (-2). The graph shifts (2) units down.
(|x-3|) शून्य (x=3) पर होता है और ऋण चिह्न दिशा बदलता है। शीर्ष फिर भी ((3,0)) रहता है। / (|x-3|) becomes zero at (x=3), and the negative sign changes direction. The vertex still remains ((3,0)).
किसी बिंदु \((x,y)\) के ग्राफ पर स्थित होने के लिए \(y=|x|\) होना चाहिए। \((2,2)\), \((-2,2)\) और \((0,0)\) इस शर्त को पूरा करते हैं। लेकिन \((-3,-3)\) के लिए \(|-3|=3\), न कि \(-3\); इसलिए यह बिंदु ग्राफ पर स्थित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(y=|x|\) में \(y\) हमेशा शून्य या धनात्मक होता है। / A point \((x,y)\) lies on the graph only when \(y=|x|\). The points \((2,2)\), \((-2,2)\), and \((0,0)\) satisfy this condition. For \((-3,-3)\), however, \(|-3|=3\), not \(-3\), so the point does not lie on the graph. Exam tip: In \(y=|x|\), the value of \(y\) is always zero or positive.
आलेख पर \(y=f(x)\) होता है। इसलिए \(x=2\) रखने पर \(y=2^3=2\times2\times2=8\), अतः सही उत्तर 8 है। 6 या 9 जैसे विकल्प घन निकालने में हुई गणना की गलती को दर्शाते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(x^3\) का अर्थ \(x\) को तीन बार गुणा करना है, केवल 3 से गुणा करना नहीं। / For a function graph, \(y=f(x)\). Substituting \(x=2\) gives \(y=2^3=2\times2\times2=8\), so the correct answer is 8. Values such as 6 or 9 may result from incorrectly calculating the cube. Exam tip: \(x^3\) means multiplying \(x\) by itself three times, not multiplying it by 3.
क्योंकि \(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\), इसलिए \(f(x)=x^3\) एक विषम फलन है। विषम फलन का आलेख मूलबिंदु के परितः सममित होता है। अतः सही उत्तर मूलबिंदु के प्रति सममिति है। y-अक्ष के प्रति सममिति के लिए फलन सम होना चाहिए, अर्थात \(f(-x)=f(x)\)। परीक्षा टिप: विषम फलन की पहचान के लिए \(f(-x)=-f(x)\) जाँचें। / Since \(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\), the function \(f(x)=x^3\) is odd. The graph of an odd function is symmetric about the origin, so option B is correct. Symmetry about the y-axis would require an even function satisfying \(f(-x)=f(x)\). Exam tip: test \(f(-x)=-f(x)\) to identify origin symmetry.
यदि \(y=x^3\) के प्रत्येक \(y\)-मान में 1 जोड़ दिया जाए, तो नया फलन \(y=x^3+1\) मिलता है। इसलिए मूल आलेख का प्रत्येक बिंदु 1 इकाई ऊपर चला जाता है और आलेख 1 इकाई ऊपर खिसकता है। परीक्षा-युक्ति: बाहर जोड़ी गई स्थिर संख्या ऊर्ध्वाधर विस्थापन कराती है, जबकि \(f(x)=g(x-a)\) से आलेख दाईं ओर खिसकता है। / Adding 1 outside the expression changes every output value by 1, so \(y=x^3+1\) is obtained by moving each point of \(y=x^3\) one unit upward. Thus the graph shifts 1 unit up, not horizontally. Exam tip: a constant added outside a function causes a vertical shift, whereas \(g(x-a)\) shifts a graph to the right.
((x-1)3) में अंदर (x-1) है, इसलिए ग्राफ (1) इकाई दाईं ओर खिसकता है। अंदर का बदलाव दिशा उलटी दिखाता है। / In ((x-1)3), the inside term is (x-1), so the graph shifts (1) unit right. An inside change shows the opposite direction.
वर्गमूल फलन के लिए अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। आलेख के प्रारंभिक बिंदु पर \(x-1=0\), इसलिए \(x=1\) और \(f(1)=0\)। अतः आलेख \((1,0)\) से शुरू होता है। परीक्षा में \(\sqrt{x-a}\) का प्रारंभिक बिंदु \((a,0)\) याद रखें। / For a square-root function, the expression under the root must be non-negative. At the starting point, \(x-1=0\), so \(x=1\) and \(f(1)=0\). Therefore, the graph begins at \((1,0)\). Exam tip: the graph of \(\sqrt{x-a}\) starts at \((a,0)\).
किसी बिंदु \((x,y)\) के आलेख पर स्थित होने के लिए \(y=\sqrt{x}\) होना चाहिए। बिंदु \((4,2)\) के लिए \(\sqrt{4}=2\), इसलिए यह सही है। \((2,4)\) में \(\sqrt{2}\neq4\), \((-4,2)\) में \(x\) परिभाषा-क्षेत्र से बाहर है, और \((4,-2)\) में \(y\) ऋणात्मक है। परीक्षा-युक्ति: किसी बिंदु की जाँच के लिए उसका \(x\) मान फलन में रखकर \(y\) से तुलना करें। / A point \((x,y)\) lies on the graph when \(y=\sqrt{x}\). For \((4,2)\), \(\sqrt{4}=2\), so it satisfies the equation. In \((2,4)\), \(\sqrt{2}\neq4\); \((-4,2)\) is invalid because the square-root function is not defined for a negative real input; and \((4,-2)\) is impossible because the principal square root is non-negative. Exam tip: substitute the point’s \(x\)-coordinate into the function and compare the result with \(y\).
हर (x+1) शून्य होने पर फलन परिभाषित नहीं रहता। इसलिए (x=-1) ऊर्ध्व आसिम्प्टोट है। / When the denominator (x+1) becomes zero, the function is not defined. So (x=-1) is the vertical asymptote.
\(\frac{1}{x}\) का मान बड़े (x) पर (0) के पास जाता है। इसलिए \(\frac{1}{x}+2\) का क्षैतिज आसिम्प्टोट (y=2) है। / The value of \(\frac{1}{x}\) approaches (0) for large (x). So the horizontal asymptote of \(\frac{1}{x}+2\) is (y=2).
वृत्त \(x^2+y^2=1\) में कुछ (x)-मानों के लिए दो (y)-मान मिलते हैं। इसलिए यह ऊर्ध्व रेखा परीक्षण में असफल है। / The circle \(x^2+y^2=1\) gives two (y)-values for some (x)-values. So it fails the vertical line test.
A. हर ऊर्ध्व रेखा अधिकतम एक बिंदु पर काटे/Each vertical line cuts at at most one point
Explanation
Simple Explanation
फलन में प्रत्येक (x) के लिए केवल एक (y) होना चाहिए। इसलिए ऊर्ध्व रेखा अधिकतम एक बिंदु पर काटती है। / A function must have only one (y) for each (x). Therefore a vertical line cuts it at at most one point.
\(f(2)=2^2=4\) और \(f(-2)=(-2)^2=4\), इसलिए दोनों मान बराबर हैं। ऋणात्मक संख्या का वर्ग भी धनात्मक होता है। विकल्प D गलत है, क्योंकि यहाँ \(f(-2)\) का मान \(-4\) नहीं बल्कि \(4\) है। परीक्षा-युक्ति: \(f(-x)=f(x)\) होने पर फलन सम फलन होता है और उसका ग्राफ \(y\)-अक्ष के प्रति सममित होता है। / \(f(2)=2^2=4\) and \(f(-2)=(-2)^2=4\), so the two values are equal. The square of a negative number is also positive. Option D is incorrect because \(f(-2)\) is \(4\), not \(-4\). Exam tip: When \(f(-x)=f(x)\), the function is even and its graph is symmetric about the \(y\)-axis.
\(f(2)=2^3=8\) और \(f(-2)=(-2)^3=-8\), इसलिए \(f(-2)=-f(2)\)। इससे पता चलता है कि \(f(x)=x^3\) एक विषम फलन है और इसका ग्राफ मूलबिंदु के सापेक्ष सममित होता है। परीक्षा-युक्ति: यदि \(f(-x)=-f(x)\), तो फलन विषम होता है। / \(f(2)=2^3=8\) and \(f(-2)=(-2)^3=-8\), so \(f(-2)=-f(2)\). This shows that \(f(x)=x^3\) is an odd function, whose graph is symmetric about the origin. Exam tip: If \(f(-x)=-f(x)\), the function is odd.
x-अक्ष पर किसी बिंदु का y-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए \(x^2=0\), जिससे \(x=0\) प्राप्त होता है और बिंदु \((0,0)\) होता है। परवलय \(y=x^2\) का शीर्ष भी \((0,0)\) है तथा यह वहीं x-अक्ष को स्पर्श करता है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2\) सदैव गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए ग्राफ x-अक्ष को पार नहीं करता। / A point on the x-axis has y-coordinate 0. Thus, \(x^2=0\), giving \(x=0\) and the point \((0,0)\). The parabola \(y=x^2\) has its vertex at \((0,0)\), where it touches the x-axis. The points \((1,0)\) and \((-1,0)\) are incorrect because the function values there are 1, not 0. Exam tip: Since \(x^2\) is always non-negative, the graph does not cross the x-axis.
(|x|) ऋणात्मक (x) को धनात्मक दूरी में बदल देता है। इसलिए ग्राफ (V)-आकार का होता है। / (|x|) changes negative (x)-values into positive distance values. Therefore the graph is (V)-shaped.
फलन \(f(x)=x^2\) के लिए \(y=x^2\) होता है, जिसका आलेख ऊपर की ओर खुलने वाला U-आकार का परवलय है। इसका शीर्ष \((0,0)\) पर होता है और यह y-अक्ष के सापेक्ष सममित रहता है। इसलिए यह सीढ़ीनुमा या टूटी हुई रेखा नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: \(y=ax^2\) में यदि \(a>0\) हो, तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है। / For the function \(f(x)=x^2\), we have \(y=x^2\), whose graph is an upward-opening U-shaped parabola. Its vertex is at \((0,0)\), and it is symmetric about the y-axis. Therefore, it is not a step-like or broken line. Exam tip: In \(y=ax^2\), the parabola opens upward when \(a>0\).
(y=x) में (x) और (y) के चिह्न समान होते हैं। इसलिए रेखा प्रथम और तृतीय चतुर्थांश से गुजरती है। / In (y=x), (x) and (y) have the same sign. So the line passes through the first and third quadrants.
किसी बिंदु \((x,y)\) के आलेख पर स्थित होने के लिए \(y=3x\) होना चाहिए। बिंदु \((1,3)\) के लिए \(3=3\times1\), इसलिए यह सही है। विकल्प B में निर्देशांक उलटने पर \(y=1\) हो जाता है, जबकि \(3x=9\)। विकल्प C में \(x=2\) पर \(y=6\) होना चाहिए और विकल्प D में \(x=-1\) पर \(y=-3\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: किसी बिंदु को जाँचने के लिए उसके \(x\)-निर्देशांक को फलन में रखकर प्राप्त \(y\) से मिलाएँ। / A point \((x,y)\) lies on the graph only when it satisfies \(y=3x\). For \((1,3)\), \(3=3\times1\), so it is correct. In option B, the coordinates are reversed; for \(x=3\), \(y\) should be 9. In option C, \(x=2\) requires \(y=6\), and in option D, \(x=-1\) requires \(y=-3\). Exam tip: substitute the point’s x-coordinate into the function and compare the resulting y-value.
x-अक्ष पर किसी बिंदु का y-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए f(x) = 0 रखने पर x + 4 = 0, जिससे x = -4 प्राप्त होता है। अतः x-अक्ष पर प्रतिच्छेद का x-निर्देशांक -4 है। विकल्प A में चिह्न की गलती है। परीक्षा-युक्ति: रैखिक फलन का x-अक्ष प्रतिच्छेद निकालने के लिए हमेशा y = 0 रखें। / At every point on the x-axis, the y-coordinate is 0. Therefore, set f(x) = 0: x + 4 = 0, which gives x = -4. Hence, the x-coordinate of the x-intercept is -4. Option A results from a sign error. Exam tip: To find the x-intercept, always set y or f(x) equal to 0.
\(x\)-अक्ष पर किसी बिंदु का \(y\)-निर्देशांक शून्य होता है। इसलिए \(f(x)=0\) रखने पर \(2x-6=0\), अर्थात् \(2x=6\) और \(x=3\) प्राप्त होता है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((3,0)\) है और इसका \(x\)-मान 3 है। परीक्षा-युक्ति: \(x\)-अक्ष प्रतिच्छेद के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / At an \(x\)-intercept, the \(y\)-coordinate is zero. Thus, set \(f(x)=0\): \(2x-6=0\), which gives \(2x=6\) and \(x=3\). Therefore, the intercept point is \((3,0)\), and its \(x\)-value is 3. Exam tip: For an \(x\)-intercept, always set \(y=0\).
x-अक्ष पर किसी प्रतिच्छेद बिंदु का y-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए \(f(x)=0\) रखने पर \(x^2-9=0\), अर्थात् \((x-3)(x+3)=0\)। अतः \(x=3\) या \(x=-3\), इसलिए सही विकल्प B है। ध्यान रखें कि पूर्ण प्रतिच्छेद बिंदु \((3,0)\) और \((-3,0)\) हैं। / At an x-intercept, the y-coordinate is 0. Thus, set \(f(x)=0\): \(x^2-9=0\), which factors as \((x-3)(x+3)=0\). Hence \(x=3\) or \(x=-3\), so option B is correct. The complete intercept points are \((3,0)\) and \((-3,0)\). Exam tip: for x-intercepts, always substitute \(y=0\) or set \(f(x)=0\).
\(x^2+6\) हमेशा (6) या उससे बड़ा है, इसलिए (y=0) संभव नहीं। अतः ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता। / \(x^2+6\) is always (6) or greater, so (y=0) is impossible. Hence the graph does not cut the (x)-axis.
\(x\)-अक्ष पर किसी बिंदु का \(y\)-निर्देशांक \(0\) होता है। इसलिए \(f(x)=0\): \(|x|-5=0\), अर्थात् \(|x|=5\)। इससे \(x=5\) या \(x=-5\) मिलता है, इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((5,0)\) और \((-5,0)\) हैं। ध्यान रखें कि \(x\)-अक्ष प्रतिच्छेद के लिए फलन का मान शून्य करना होता है। / At an \(x\)-intercept, the \(y\)-coordinate is \(0\). Thus, set \(f(x)=0\): \(|x|-5=0\), which gives \(|x|=5\). Therefore, \(x=5\) or \(x=-5\), so the intercepts are \((5,0)\) and \((-5,0)\). Exam tip: to find \(x\)-intercepts, always set the function value equal to zero.
मूल ग्राफ \(y=|x|\) का शीर्ष \((0,0)\) होता है। \(|x+2|\) ग्राफ को 2 इकाई बाईं ओर और \(-3\) उसे 3 इकाई नीचे ले जाता है, इसलिए नया शीर्ष \((-2,-3)\) है। परीक्षा टिप: \(y=|x-h|+k\) में शीर्ष \((h,k)\) होता है; अतः \(|x+2|=|x-(-2)|\)। / The basic graph \(y=|x|\) has vertex \((0,0)\). The term \(|x+2|=|x-(-2)|\) shifts it 2 units left, and \(-3\) shifts it 3 units down. Therefore, the vertex is \((-2,-3)\). Exam tip: for \(y=|x-h|+k\), the vertex is \((h,k)\).
\(\sqrt{x}\) का ग्राफ ((0,0)) से शुरू होता है और (1) इकाई ऊपर खिसकता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((0,1)) है। / The graph of \(\sqrt{x}\) starts at ((0,0)) and shifts (1) unit up. Therefore the starting point is ((0,1)).
(x)-अक्ष में प्रतिबिंब से हर (y)-मान का चिह्न बदल जाता है। इसलिए (y=|x|) बदलकर (y=-|x|) बनता है। / Reflection in the (x)-axis changes the sign of every (y)-value. So (y=|x|) becomes (y=-|x|).
\(\sqrt{x-3}\) के लिए (x-3=0) से (x=3) मिलता है और बाहर (2) जुड़ता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((3,2)) है। / For \(\sqrt{x-3}\), (x-3=0) gives (x=3), and the outside (2) is added. So the starting point is ((3,2)).
बड़े (|x|) पर \(\frac{1}{x-4}\) का मान (0) के पास जाता है। इसलिए क्षैतिज आसिम्प्टोट (y=0) है। / For large (|x|), the value of \(\frac{1}{x-4}\) approaches (0). Therefore the horizontal asymptote is (y=0).
फलन का आलेख (y=x) है। इसे रैखिक समीकरण (y=mx+c) से तुलना करने पर (m=1) मिलता है, इसलिए ढाल 1 है। विकल्प 0 क्षैतिज रेखा की ढाल दर्शाता है, जबकि (y=x) हर 1 इकाई क्षैतिज वृद्धि पर 1 इकाई ऊर्ध्वाधर वृद्धि करता है। परीक्षा-युक्ति: (y=mx+c) में (x) का गुणांक सीधे ढाल होता है। / The graph of the function is (y=x). Comparing it with the linear form (y=mx+c) gives (m=1), so the slope is 1. The value 0 is the slope of a horizontal line, whereas (y=x) rises by 1 unit for every 1-unit increase in (x). Exam tip: In (y=mx+c), the coefficient of (x) is the slope.
(x=0) रखने पर (y=5) मिलता है। नियत फलन का (y)-अक्ष प्रतिच्छेद वही नियत मान होता है। / Putting (x=0) gives (y=5). The (y)-intercept of a constant function is the constant value itself.
(y=-2) में (y) स्थिर रहता है और (x) बदलता है। इसलिए यह (x)-अक्ष के समांतर क्षैतिज रेखा है। / In (y=-2), (y) is fixed and (x) varies. So it is a horizontal line parallel to the (x)-axis.
आलेख पर स्थित बिंदु \((x,y)\) के लिए \(y=f(x)=x^2\) होना चाहिए। बिंदु \((3,9)\) में \(3^2=9\), इसलिए यह सही है। विकल्प B में \(3^2=9\), 6 नहीं होता; विकल्प C में \((-3)^2=9\), -9 नहीं; और विकल्प D में \(9^2=81\), 3 नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके x-निर्देशांक को फलन में रखकर y-निर्देशांक से मिलाएँ। / A point \((x,y)\) lies on the graph when \(y=f(x)=x^2\). For \((3,9)\), \(3^2=9\), so it satisfies the condition. In option B, \(3^2=9\), not 6; in option C, \((-3)^2=9\), not -9; and in option D, \(9^2=81\), not 3. Exam tip: substitute the x-coordinate into the function and compare the result with the y-coordinate.
सभी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(-x^2\le 0\) और \(f(x)=-x^2+1\le 1\)। जब \(x=0\), तब \(f(0)=1\), इसलिए अधिकतम मान 1 है। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(x=\pm1\) पर फलन का मान 0 होता है, -1 नहीं। परीक्षा-युक्ति: नीचे की ओर खुलने वाले द्विघात फलन \(ax^2+bx+c\), जहाँ \(a<0\), का शीर्ष अधिकतम मान देता है। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(-x^2\le 0\) and hence \(f(x)=-x^2+1\le 1\). At \(x=0\), \(f(0)=1\), so the maximum value is 1. Option C is incorrect because the function equals 0, not -1, when \(x=\pm1\). Exam tip: a quadratic \(ax^2+bx+c\) with \(a<0\) opens downward, so its vertex gives the maximum value.
मूल फलन \(y=x^2\) में \(x\) के स्थान पर \(x-4\) रखने से आलेख क्षैतिज रूप से 4 इकाई दाईं ओर खिसकता है। इसलिए सही उत्तर A है। \(x+4\) होने पर आलेख 4 इकाई बाईं ओर जाता, जबकि बाहर \(+4\) या \(-4\) होने पर ऊर्ध्वाधर खिसकाव होता। परीक्षा-युक्ति: \(y=(x-h)^2\) का आलेख \(y=x^2\) से \(h\) इकाई दाईं ओर खिसकता है। / Replacing \(x\) by \(x-4\) in the parent function \(y=x^2\) shifts the graph horizontally 4 units to the right, so option A is correct. If the expression were \(x+4\), the graph would shift 4 units to the left; a constant added outside the square would cause a vertical shift. Exam tip: the graph of \(y=(x-h)^2\) is the graph of \(y=x^2\) shifted \(h\) units to the right.
शीर्ष-रूप \(y=(x-h)^2+k\) में शीर्ष \((h,k)\) होता है। यहाँ \(x+3=x-(-3)\), इसलिए \(h=-3\), और \(k=2\) है। अतः शीर्ष \((-3,2)\) है। विकल्प B में x-निर्देशांक का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: कोष्ठक के भीतर संख्या का चिह्न बदलकर x-निर्देशांक लें, जबकि बाहर की संख्या y-निर्देशांक होती है। / In the vertex form \(y=(x-h)^2+k\), the vertex is \((h,k)\). Since \(x+3=x-(-3)\), we have \(h=-3\), and the outside constant gives \(k=2\). Therefore, the vertex is \((-3,2)\). Option B incorrectly changes the sign of the x-coordinate. Exam tip: reverse the sign of the number inside the bracket for the x-coordinate; the outside constant is the y-coordinate.
\(|x-4|\) का न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब इसका अंदर का व्यंजक शून्य हो, अर्थात् \(x-4=0\)। इसलिए \(x=4\) पर फलन का न्यूनतम मान \(0\) है। उदाहरण के लिए, \(x=1\) पर मान \(3\) होगा, इसलिए वह न्यूनतम नहीं है। परीक्षा टिप: \(|x-a|\) का न्यूनतम मान हमेशा \(x=a\) पर \(0\) होता है। / The expression \(|x-4|\) is smallest when the quantity inside the modulus is zero: \(x-4=0\). Thus, \(x=4\), and the minimum value of the function is \(0\). For instance, at \(x=1\), the value is \(3\), so it is not the minimum. Exam tip: \(|x-a|\) attains its minimum value, \(0\), at \(x=a\).
अंदर (x+5) होने से ग्राफ (5) इकाई बाईं ओर खिसकता है। अंदर का चिन्ह दिशा उलटी बताता है। / The inside term (x+5) shifts the graph (5) units left. The inside sign shows the opposite direction.
A. ऊर्ध्वाधर रूप से खिंचा हुआ/Vertically stretched
Explanation
Simple Explanation
f(x)=2|x| में प्रत्येक x के लिए y का मान |x| की तुलना में दोगुना हो जाता है। इसलिए ग्राफ x-अक्ष से दूर फैलता है और ऊर्ध्वाधर रूप से खिंचा हुआ दिखाई देता है। यह क्षैतिज खिसकाव नहीं है, क्योंकि x के अंदर कोई परिवर्तन नहीं हुआ है। परीक्षा-युक्ति: y=a|x| में |a|>1 होने पर ऊर्ध्वाधर खिंचाव और 0<|a|<1 होने पर ऊर्ध्वाधर संपीड़न होता है। / In f(x)=2|x|, the y-value is doubled for every x compared with y=|x|. Therefore, the graph moves farther from the x-axis and is vertically stretched. It is not a horizontal shift because the expression inside the modulus has not changed. Exam tip: in y=a|x|, |a|>1 causes a vertical stretch, while 0<|a|<1 causes a vertical compression.
वर्गमूल फलन का ग्राफ तब प्रारंभ होता है जब वर्गमूल के अंदर का व्यंजक शून्य हो: \(x+4=0\), इसलिए \(x=-4\) और \(y=\sqrt{0}=0\)। अतः प्रारंभिक बिंदु \((-4,0)\) है। विकल्प B में \(x\) का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(y=\sqrt{x-a}\) का प्रारंभिक बिंदु \((a,0)\) होता है। / A square-root graph begins when the expression inside the radical is zero: \(x+4=0\), so \(x=-4\) and \(y=\sqrt{0}=0\). Therefore, the starting point is \((-4,0)\). Option B has the wrong sign for the x-coordinate. Exam tip: The starting point of \(y=\sqrt{x-a}\) is \((a,0)\).
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) होना चाहिए। ((-1,1)) में (x=-1) है इसलिए यह बिंदु ग्राफ पर नहीं है। / For \(\sqrt{x}\), \(x\ge 0\) is required. In ((-1,1)), (x=-1), so this point is not on the graph.
\(f(x)=x^3-2\) में \(-2\) पूरे फलन के बाहर घटाया गया है, इसलिए प्रत्येक \(y\)-मान 2 कम हो जाता है। अतः मूल आलेख \(y=x^3\) 2 इकाई नीचे खिसकता है। यह क्षैतिज स्थानांतरण नहीं है; क्षैतिज बदलाव के लिए \(x\) के साथ परिवर्तन किया जाता है, जैसे \((x-2)^3\)। परीक्षा-टिप: बाहर जोड़ा या घटाया गया स्थिरांक आलेख को क्रमशः ऊपर या नीचे स्थानांतरित करता है। / In \(f(x)=x^3-2\), the constant \(-2\) is applied outside the function, so every \(y\)-value decreases by 2. Therefore, the graph of \(y=x^3\) shifts 2 units downward. This is not a horizontal shift; horizontal changes occur inside the input, such as in \((x-2)^3\). Exam tip: a constant added or subtracted outside a function shifts its graph vertically up or down, respectively.
अंदर (x+2) होने से ग्राफ (2) इकाई बाईं ओर जाता है। क्षैतिज खिसकाव में चिन्ह उल्टा होता है। / The inside term (x+2) shifts the graph (2) units left. In horizontal shifts, the sign is opposite.
बाहर ऋण चिह्न हर (y)-मान का चिह्न बदलता है। इसलिए यह (x)-अक्ष में प्रतिबिंब है। / The outside negative sign changes the sign of every (y)-value. So it is a reflection in the (x)-axis.
\(\frac{1}{x}\) कभी (0) नहीं होता इसलिए \(\frac{1}{x}+4\) कभी (4) नहीं होता। अतः (4) को छोड़कर सभी मान मिलते हैं। / \(\frac{1}{x}\) is never (0), so \(\frac{1}{x}+4\) is never (4). Thus all values except (4) are obtained.
\(\frac{2}{x}\) में (x) और (y) के चिह्न समान होते हैं। इसलिए ग्राफ प्रथम और तृतीय चतुर्थांश में होता है। / In \(\frac{2}{x}\), (x) and (y) have the same sign. So the graph lies in the first and third quadrants.
\(\frac{-3}{x}\) में (x) और (y) के चिह्न विपरीत होते हैं। इसलिए ग्राफ द्वितीय और चतुर्थ चतुर्थांश में होता है। / In \(\frac{-3}{x}\), (x) and (y) have opposite signs. So the graph lies in the second and fourth quadrants.
जब \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, तब \(\frac{1}{x^2}\) का मान 0 के बहुत पास पहुँचता है। इसलिए \(f(x)=\frac{1}{x^2}+1\) का मान 1 के पास पहुँचता है और क्षैतिज आसिम्प्टोट \(y=1\) है। विकल्प C, \(x=0\), ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट है, क्षैतिज नहीं। परीक्षा-युक्ति: क्षैतिज आसिम्प्टोट ज्ञात करने के लिए \(x\to\pm\infty\) पर फलन की सीमा निकालें। / As \(|x|\) becomes very large, \(\frac{1}{x^2}\) approaches 0. Hence \(f(x)=\frac{1}{x^2}+1\) approaches 1, so its horizontal asymptote is \(y=1\). Option C, \(x=0\), is the vertical asymptote, not the horizontal one. Exam tip: find a horizontal asymptote by evaluating the function’s limit as \(x\to\pm\infty\).
जब \(x<-4\), तब \(x+4<0\) होता है। साइनम फलन में ऋणात्मक इनपुट का मान \(-1\) होता है, इसलिए \(f(x)=-1\)। ध्यान रखें कि \(x=-4\) पर इनपुट शून्य होता और मान \(0\) मिलता, लेकिन यहाँ \(x<-4\) दिया गया है। / When \(x<-4\), we have \(x+4<0\). The signum function has value \(-1\) for a negative input, so \(f(x)=-1\). Remember that \(x=-4\) would give an input of zero and hence a value of \(0\), but equality is not included here.
A. प्रत्येक पूर्णांक पर असांतत्य होता है/It is discontinuous at every integer
Explanation
Simple Explanation
हर पूर्णांक \(n\) पर बाईं सीमा \(n-1\) और दाईं सीमा \(n\) होती है, इसलिए ग्राफ में छलांग आती है। अतः यह प्रत्येक पूर्णांक पर असांतत है। परीक्षा टिप: ऐसे ग्राफ को सीढ़ीनुमा पहचानें। / At each integer \(n\), the left-hand limit is \(n-1\) while the right-hand limit is \(n\), producing a jump. Hence it is discontinuous at every integer. Exam tip: recognise this graph as a step graph.
पूर्णांक इनपुट पर ग्रेटेस्ट इंटीजर फलन वही संख्या देता है। इसलिए \(\lfloor -3\rfloor=-3\) है। / For an integer input, the greatest integer function gives the same number. So \(\lfloor -3\rfloor=-3\).
\(\lfloor 0.8\rfloor=0\), क्योंकि (0.8) से छोटी या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या (0) है। दशमलव में नीचे की पूर्णांक संख्या लें। / \(\lfloor 0.8\rfloor=0\), because (0) is the greatest integer less than or equal to (0.8). For decimals, take the lower integer.
अधिकतम पूर्णांक फलन \(\lfloor x\rfloor\), \(x\) से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। प्रत्येक \(x\in[-1,0)\) के लिए यह मान \(-1\) होता है; इसलिए आलेख इस अंतराल पर \(y=-1\) की क्षैतिज रेखा है। \(y=0\) केवल \(0\le x<1\) पर मिलेगा। परीक्षा-युक्ति: अंतराल के बाएँ और दाएँ सिरों को जाँचकर floor मान निर्धारित करें। / The greatest integer function \(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to \(x\). For every \(x\in[-1,0)\), this value is \(-1\), so the graph is the horizontal line \(y=-1\) on this interval. The value \(0\) begins at \(x=0\), which is excluded here. Exam tip: check the interval endpoints carefully when evaluating a floor function.
किसी संख्या \(x\) का भिन्नात्मक भाग \(x-\lfloor x\rfloor\) होता है। इसलिए \(f(2.6)=\{2.6\}=2.6-\lfloor2.6\rfloor=2.6-2=0.6\)। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा में याद रखें: भिन्नात्मक भाग हमेशा संख्या और उसके सबसे बड़े पूर्णांक भाग के अंतर के बराबर होता है। / The fractional part of a number \(x\) is defined as \(x-\lfloor x\rfloor\). Therefore, \(f(2.6)=\{2.6\}=2.6-\lfloor2.6\rfloor=2.6-2=0.6\). Hence, option A is correct. Exam tip: subtract the greatest integer less than or equal to the given number from the number itself.
\(y\)-अक्ष पर किसी भी बिंदु के लिए \(x=0\) होता है। इसलिए \(f(0)=2(0)+3=3\), अतः ग्राफ का \(y\)-अक्ष प्रतिच्छेद \(3\) है और प्रतिच्छेद बिंदु \((0,3)\) होगा। ध्यान रखें कि \(y=mx+c\) में \(c\) ही \(y\)-प्रतिच्छेद का मान होता है। / Every point on the y-axis has \(x=0\). Thus, \(f(0)=2(0)+3=3\), so the y-intercept is \(3\), and the intercept point is \((0,3)\). Remember that in \(y=mx+c\), the constant term \(c\) gives the y-intercept.
\(x\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का \(y\)-निर्देशांक \(0\) होता है। इसलिए \(f(x)=0\) रखने पर \(x^2-1=0\), अर्थात् \(x^2=1\), जिससे \(x=-1\) या \(x=1\) मिलता है। अतः प्रतिच्छेद-बिंदु \((-1,0)\) और \((1,0)\) हैं। विकल्प B में \(x=0\) है, जो \(y\)-अक्ष से संबंधित है। परीक्षा टिप: \(x\)-प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(y=f(x)=0\) रखें। / Every point on the \(x\)-axis has a \(y\)-coordinate of \(0\). Thus, set \(f(x)=0\): \(x^2-1=0\), so \(x^2=1\) and \(x=-1\) or \(x=1\). Therefore, the intercepts are \((-1,0)\) and \((1,0)\). Option B gives the point where \(x=0\), which lies on the \(y\)-axis instead. Exam tip: To find \(x\)-intercepts, set \(y=f(x)=0\).
दिया गया फलन \(f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2\) है। मानक रूप \(y=(x-h)^2+k\) में \(h=-1\) और \(k=0\), इसलिए शीर्ष-बिंदु \((-1,0)\) है। विकल्प \((0,1)\) केवल y-अवरोध दर्शाता है, शीर्ष-बिंदु नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूर्ण वर्ग बनाने पर \((x-h)^2+k\) में शीर्ष सीधे \((h,k)\) मिलता है। / The function can be written as \(f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2\). Comparing this with the standard form \(y=(x-h)^2+k\), we get \(h=-1\) and \(k=0\). Hence, the vertex is \((-1,0)\). The point \((0,1)\) is the y-intercept, not the vertex. Exam tip: After completing the square, read the vertex directly from \((x-h)^2+k\) as \((h,k)\).
फलन को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर f(x)=(x-1)2 प्राप्त होता है। किसी भी वास्तविक x के लिए वर्ग का मान शून्य या धनात्मक होता है, इसलिए न्यूनतम मान 0 है और यह x=1 पर मिलता है। विकल्प 1 शीर्षबिंदु का x-निर्देशांक है, फलन का न्यूनतम मान नहीं। परीक्षा-टिप: द्विघात फलन को पूर्ण वर्ग में बदलकर न्यूनतम या अधिकतम मान तुरंत ज्ञात करें। / Writing the function in completed-square form gives f(x)=(x-1)2. Since a square is never negative for any real x, the minimum value is 0, attained at x=1. Option 1 is the x-coordinate of the vertex, not the minimum function value. Exam tip: Complete the square to find the minimum or maximum value of a quadratic function quickly.
मूल ग्राफ \(y=|x|\) का शीर्ष \((0,0)\) होता है। \(f(x)=|x-2|+1\) में \(x-2\) ग्राफ को 2 इकाई दाईं ओर और बाहर का \(+1\) उसे 1 इकाई ऊपर खिसकाता है। इसलिए शीर्ष \((2,1)\) है। विकल्प D में निर्देशांकों का क्रम उलट दिया गया है। परीक्षा टिप: \(y=|x-h|+k\) का शीर्ष हमेशा \((h,k)\) होता है। / The basic graph \(y=|x|\) has vertex \((0,0)\). In \(f(x)=|x-2|+1\), \(x-2\) shifts the graph 2 units to the right, while the outside \(+1\) shifts it 1 unit upward. Therefore, the vertex is \((2,1)\). Option D reverses the coordinate order. Exam tip: the vertex of \(y=|x-h|+k\) is \((h,k)\).
\(|x+3|\) का न्यूनतम मान 0 होता है, जो \(x=-3\) पर प्राप्त होता है। इसलिए \(f(x)=|x+3|-2\) का न्यूनतम मान \(0-2=-2\) है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|\) का न्यूनतम मान 0 होता है और यह \(x=a\) पर मिलता है। / The minimum value of \(|x+3|\) is 0, attained when \(x=-3\). Therefore, the minimum value of \(f(x)=|x+3|-2\) is \(0-2=-2\). Exam tip: the minimum value of \(|x-a|\) is 0, attained at \(x=a\).
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(|x|\ge 0\), इसलिए \(-|x|\le 0\) और \(f(x)=-|x|+6\le 6\)। जब \(x=0\), तब \(f(0)=6\), अतः अधिकतम मान 6 है। विकल्प 0 केवल \(x=\pm6\) पर फलन का मान है, अधिकतम मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(-|x|\) वाला ग्राफ नीचे की ओर खुलता है और उसका शीर्ष \(x=0\) पर होता है। / For every real \(x\), \(|x|\ge 0\), so \(-|x|\le 0\) and hence \(f(x)=-|x|+6\le 6\). At \(x=0\), \(f(0)=6\), so the maximum value is 6. The value 0 occurs at \(x=\pm6\), but it is not the maximum. Exam tip: the graph of \(-|x|\) opens downward, with its vertex at \(x=0\).
y-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु के लिए \(x=0\) होता है। अतः \(f(0)=0^3=0\), इसलिए ग्राफ y-अक्ष को \((0,0)\) पर काटता है। विकल्प D में x-निर्देशांक तो 0 है, लेकिन \(f(0)=1\) नहीं हो सकता। परीक्षा-युक्ति: y-अक्ष का प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / Every point on the y-axis has \(x=0\). Thus, \(f(0)=0^3=0\), so the graph intersects the y-axis at \((0,0)\). Option D is incorrect because \(f(0)\) cannot be 1. Exam tip: To find a y-intercept, substitute \(x=0\).
\(x\)-अक्ष पर किसी प्रतिच्छेद के लिए \(f(x)=0\) होता है। इसलिए \(x^3+8=0\), अर्थात् \(x^3=-8\), जिससे \(x=-2\) प्राप्त होता है। अतः प्रतिच्छेद \((-2,0)\) है और उसका \(x\)-निर्देशांक \(x=-2\) है। परीक्षा में ग्राफ के \(x\)-अक्ष प्रतिच्छेद के लिए हमेशा \(y=0\) रखें; \(x=8\) केवल स्थिर पद को देखकर किया गया भ्रमित विकल्प है। / At an x-intercept, the function value is zero. Thus, \(x^3+8=0\), so \(x^3=-8\) and \(x=-2\). Therefore, the intercept is \((-2,0)\), whose x-coordinate is \(x=-2\). In such questions, set \(y=f(x)=0\); \(x=8\) is an incorrect choice based only on the constant term.
\(\sqrt{x-2}\) (x=2) से शुरू होता है और बाहर (5) जुड़ता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((2,5)) है। / \(\sqrt{x-2}\) starts at (x=2), and (5) is added outside. So the starting point is ((2,5)).
\(\sqrt{x+1}\) (x=-1) से शुरू होता है और बाहर (3) घटता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((-1,-3)) है। / \(\sqrt{x+1}\) starts at (x=-1), and (3) is subtracted outside. So the starting point is ((-1,-3)).
हर (x+5) शून्य होने पर फलन परिभाषित नहीं होता। इसलिए (x=-5) ऊर्ध्व आसिम्प्टोट है। / The function is not defined when the denominator (x+5) is zero. Therefore (x=-5) is the vertical asymptote.
जब \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, तब \(\frac{1}{x-1}\to 0\), इसलिए \(f(x)\to -2\)। अतः क्षैतिज आसिम्प्टोट \(y=-2\) है। \(x=1\) ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट है, क्षैतिज नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{a}{x-h}+k\) के लिए क्षैतिज आसिम्प्टोट \(y=k\) होता है। / As \(|x|\) becomes very large, \(\frac{1}{x-1}\to 0\), so \(f(x)\to -2\). Therefore, the horizontal asymptote is \(y=-2\). The line \(x=1\) is the vertical asymptote, not the horizontal one. Exam tip: For a function of the form \(\frac{a}{x-h}+k\), the horizontal asymptote is \(y=k\).
किसी फलन का आलेख \(y\)-अक्ष के सापेक्ष तभी सममित होता है जब \(f(-x)=f(x)\), अर्थात् फलन सम हो। यहाँ \(f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1=f(x)\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B और C में यह शर्त पूरी नहीं होती, जबकि \(\sqrt{x}\) का परिभाषा-क्षेत्र केवल \(x\geq 0\) है। परीक्षा-युक्ति: \(y\)-अक्षीय सममिति जाँचने के लिए सीधे \(f(-x)\) निकालें। / A graph is symmetric about the \(y\)-axis if and only if \(f(-x)=f(x)\), which means the function is even. For option A, \(f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1=f(x)\), so it is correct. Options B and C do not satisfy this condition, and \(\sqrt{x}\) is defined only for \(x\geq 0\). Exam tip: Test \(y\)-axis symmetry by calculating \(f(-x)\).
मूलबिंदु के सापेक्ष सममिति के लिए फलन विषम होना चाहिए, अर्थात् \(f(-x)=-f(x)\)। विकल्प A में \(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\), इसलिए \(y=x^3\) का आलेख मूलबिंदु के सापेक्ष सममित है। इसके विपरीत \(x^2\) और \(|x|\) सम फलन हैं, इसलिए उनके आलेख y-अक्ष के सापेक्ष सममित होते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(f(-x)=-f(x)\) मिले तो फलन विषम और उसका आलेख मूलबिंदु के सापेक्ष सममित होता है। / A graph is symmetric about the origin when its function is odd, meaning \(f(-x)=-f(x)\). For option A, \(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\), so the graph of \(y=x^3\) is origin-symmetric. In contrast, \(x^2\) and \(|x|\) are even functions, whose graphs are symmetric about the y-axis. Exam tip: test \(f(-x)=-f(x)\) for origin symmetry.
वृत्त \(x^2+y^2=4\) में कई (x)-मानों पर दो (y)-मान मिलते हैं। इसलिए यह फलन का आलेख नहीं है। / The circle \(x^2+y^2=4\) gives two (y)-values for many (x)-values. So it is not the graph of a function.
वास्तविक वर्गमूल के लिए \(9-x\ge 0\) चाहिए, इसलिए \(x\le 9\)। वर्गमूल वाले ग्राफ में अंदर की राशि को (0) या धनात्मक रखें। / For a real square root, \(9-x\ge 0\) is required, so \(x\le 9\). In square root graphs, keep the inside expression (0) or positive.
