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साइनम फलन में (x>0) के लिए मान (1) होता है। ग्राफ में दाईं ओर क्षैतिज रेखा (y=1) याद रखें। / In the signum function, the value is (1) for (x>0). Remember the right-side horizontal line (y=1) in the graph.
साइनम फलन में (x<0) के लिए मान (-1) होता है। ग्राफ में बाईं ओर क्षैतिज रेखा (y=-1) होती है। / In the signum function, the value is (-1) for (x<0). In the graph, the left side is the horizontal line (y=-1).
साइनम फलन में (x=0) पर मान (0) होता है। यह बिंदु ग्राफ में अलग से ध्यान देने योग्य है। / In the signum function, the value at (x=0) is (0). This point should be noticed separately in the graph.
\(\lfloor 3.2\rfloor=3\), क्योंकि यह (3.2) से छोटी या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या है। ग्रेटेस्ट इंटीजर ग्राफ सीढ़ीनुमा होता है। / \(\lfloor 3.2\rfloor=3\), because it is the greatest integer less than or equal to (3.2). The greatest integer graph is step-like.
\(\lfloor -1.4\rfloor=-2\), क्योंकि (-2) इससे छोटी या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या है। ऋणात्मक दशमलव में सावधानी रखें। / \(\lfloor -1.4\rfloor=-2\), because (-2) is the greatest integer less than or equal to it. Be careful with negative decimals.
हर \(x\in[2,3\)) के लिए \(\lfloor x\rfloor=2\) होता है। इसलिए इस हिस्से में ग्राफ क्षैतिज रेखा (y=2) है। / For every \(x\in[2,3\)), \(\lfloor x\rfloor=2\). So this part of the graph is the horizontal line (y=2).
महत्तम पूर्णांक फलन \\(f(x)=\lfloor x\rfloor\\) प्रत्येक अंतराल \\([n,n+1)\\) पर स्थिर मान \\(n\\) रखता है, इसलिए इसका आलेख क्षैतिज खंडों वाली सीढ़ी जैसा दिखाई देता है। प्रत्येक खंड में बायाँ सिरा सम्मिलित और दायाँ सिरा बहिष्कृत होता है। परवलय या वृत्त इस फलन के बदलते हुए स्थिर-खंडों को प्रदर्शित नहीं करते। परीक्षा-सुझाव: \\(\lfloor x\rfloor\\) का अर्थ है—\\(x\\) से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक। / The greatest integer function \\(f(x)=\lfloor x\rfloor\\) remains constant at the value \\(n\\) on every interval \\([n,n+1)\\), so its graph consists of horizontal steps. Each step includes its left endpoint and excludes its right endpoint. A parabola or a circle does not represent these constant intervals. Exam tip: \\(\lfloor x\rfloor\\) means the greatest integer less than or equal to \\(x\\).
आलेख \(y=x^2\) ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है। इसका न्यूनतम \(y\)-मान \(0\) है, जो \(x=0\) पर प्राप्त होता है; इसलिए इसका शीर्ष \((0,0)\) है। परीक्षा-युक्ति: \(y=(x-h)^2+k\) में शीर्ष \((h,k)\) होता है। / The graph \(y=x^2\) is an upward-opening parabola. Its minimum \(y\)-value is \(0\), attained at \(x=0\), so its vertex is \((0,0)\). Exam tip: in \(y=(x-h)^2+k\), the vertex is \((h,k)\).
यह फलन शीर्ष रूप \(y=(x-h)^2+k\) में है, जहाँ \(h=-2\) और \(k=0\)। इसलिए इसका ग्राफ \(y=x^2\) को 2 इकाई बाईं ओर खिसकाने पर प्राप्त होता है और शीर्ष \((-2,0)\) है। विकल्प A में \(x\)-निर्देशांक का चिन्ह गलत है। परीक्षा टिप: \((x+a)^2\) का शीर्ष हमेशा \((-a,0)\) होता है। / The function is in vertex form \(y=(x-h)^2+k\), where \(h=-2\) and \(k=0\). Thus, its graph is \(y=x^2\) shifted 2 units to the left, giving the vertex \((-2,0)\). Option A has the wrong sign for the x-coordinate. Exam tip: the vertex of \((x+a)^2\) is \((-a,0)\).
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=x^2-3\ge -3\)। यह न्यूनतम मान \(x=0\) पर प्राप्त होता है, क्योंकि \(f(0)=0^2-3=-3\)। विकल्प 0 केवल \(x^2\) का न्यूनतम मान है, पूरे फलन का नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2\) वाले फलन में पहले वर्ग पद का न्यूनतम मान ज्ञात करें। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\). Therefore, \(f(x)=x^2-3\ge -3\). This minimum is attained at \(x=0\), since \(f(0)=0^2-3=-3\). The value 0 is the minimum of \(x^2\) alone, not of the entire function. Exam tip: For a function containing \(x^2\), first use the fact that its minimum value is 0.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \((x-2)^2\ge 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=-(x-2)^2\le 0\)। जब \(x=2\), तब \(f(2)=0\), अतः अधिकतम मान 0 है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक वर्ग फलन का शीर्ष अधिकतम बिंदु देता है। / For every real \(x\), \((x-2)^2\ge 0\). Hence \(f(x)=-(x-2)^2\le 0\). At \(x=2\), \(f(2)=0\), so the maximum value is 0. Exam tip: a quadratic with a negative coefficient of the squared term opens downward, so its vertex gives the maximum value.
\(f(x)=|x+1|\) का न्यूनतम मान \(0\) होता है, और यह तब प्राप्त होता है जब \(x+1=0\), अर्थात् \(x=-1\)। इसलिए ग्राफ का शीर्ष-बिंदु \((-1,0)\) है। विकल्प A में \(x\)-निर्देशांक का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(y=|x-h|+k\) के ग्राफ का शीर्ष \((h,k)\) होता है; यहाँ \(|x+1|=|x-(-1)|\)। / For \(f(x)=|x+1|\), the minimum value is \(0\), attained when \(x+1=0\), or \(x=-1\). Therefore, the vertex of the graph is \((-1,0)\). Option A has the wrong sign for the \(x\)-coordinate. Exam tip: the graph of \(y=|x-h|+k\) has vertex \((h,k)\); here, \(|x+1|=|x-(-1)|\).
(|x|) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए (|x|-2) का न्यूनतम मान (-2) है। ग्राफ (2) इकाई नीचे खिसकता है। / The minimum value of (|x|) is (0), so the minimum value of (|x|-2) is (-2). The graph shifts (2) units down.
(|x-3|) शून्य (x=3) पर होता है और ऋण चिह्न दिशा बदलता है। शीर्ष फिर भी ((3,0)) रहता है। / (|x-3|) becomes zero at (x=3), and the negative sign changes direction. The vertex still remains ((3,0)).
किसी बिंदु \((x,y)\) के ग्राफ पर स्थित होने के लिए \(y=|x|\) होना चाहिए। \((2,2)\), \((-2,2)\) और \((0,0)\) इस शर्त को पूरा करते हैं। लेकिन \((-3,-3)\) के लिए \(|-3|=3\), न कि \(-3\); इसलिए यह बिंदु ग्राफ पर स्थित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(y=|x|\) में \(y\) हमेशा शून्य या धनात्मक होता है। / A point \((x,y)\) lies on the graph only when \(y=|x|\). The points \((2,2)\), \((-2,2)\), and \((0,0)\) satisfy this condition. For \((-3,-3)\), however, \(|-3|=3\), not \(-3\), so the point does not lie on the graph. Exam tip: In \(y=|x|\), the value of \(y\) is always zero or positive.
आलेख पर \(y=f(x)\) होता है। इसलिए \(x=2\) रखने पर \(y=2^3=2\times2\times2=8\), अतः सही उत्तर 8 है। 6 या 9 जैसे विकल्प घन निकालने में हुई गणना की गलती को दर्शाते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(x^3\) का अर्थ \(x\) को तीन बार गुणा करना है, केवल 3 से गुणा करना नहीं। / For a function graph, \(y=f(x)\). Substituting \(x=2\) gives \(y=2^3=2\times2\times2=8\), so the correct answer is 8. Values such as 6 or 9 may result from incorrectly calculating the cube. Exam tip: \(x^3\) means multiplying \(x\) by itself three times, not multiplying it by 3.
क्योंकि \(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\), इसलिए \(f(x)=x^3\) एक विषम फलन है। विषम फलन का आलेख मूलबिंदु के परितः सममित होता है। अतः सही उत्तर मूलबिंदु के प्रति सममिति है। y-अक्ष के प्रति सममिति के लिए फलन सम होना चाहिए, अर्थात \(f(-x)=f(x)\)। परीक्षा टिप: विषम फलन की पहचान के लिए \(f(-x)=-f(x)\) जाँचें। / Since \(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\), the function \(f(x)=x^3\) is odd. The graph of an odd function is symmetric about the origin, so option B is correct. Symmetry about the y-axis would require an even function satisfying \(f(-x)=f(x)\). Exam tip: test \(f(-x)=-f(x)\) to identify origin symmetry.
यदि \(y=x^3\) के प्रत्येक \(y\)-मान में 1 जोड़ दिया जाए, तो नया फलन \(y=x^3+1\) मिलता है। इसलिए मूल आलेख का प्रत्येक बिंदु 1 इकाई ऊपर चला जाता है और आलेख 1 इकाई ऊपर खिसकता है। परीक्षा-युक्ति: बाहर जोड़ी गई स्थिर संख्या ऊर्ध्वाधर विस्थापन कराती है, जबकि \(f(x)=g(x-a)\) से आलेख दाईं ओर खिसकता है। / Adding 1 outside the expression changes every output value by 1, so \(y=x^3+1\) is obtained by moving each point of \(y=x^3\) one unit upward. Thus the graph shifts 1 unit up, not horizontally. Exam tip: a constant added outside a function causes a vertical shift, whereas \(g(x-a)\) shifts a graph to the right.
((x-1)3) में अंदर (x-1) है, इसलिए ग्राफ (1) इकाई दाईं ओर खिसकता है। अंदर का बदलाव दिशा उलटी दिखाता है। / In ((x-1)3), the inside term is (x-1), so the graph shifts (1) unit right. An inside change shows the opposite direction.
वर्गमूल फलन के लिए अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। आलेख के प्रारंभिक बिंदु पर \(x-1=0\), इसलिए \(x=1\) और \(f(1)=0\)। अतः आलेख \((1,0)\) से शुरू होता है। परीक्षा में \(\sqrt{x-a}\) का प्रारंभिक बिंदु \((a,0)\) याद रखें। / For a square-root function, the expression under the root must be non-negative. At the starting point, \(x-1=0\), so \(x=1\) and \(f(1)=0\). Therefore, the graph begins at \((1,0)\). Exam tip: the graph of \(\sqrt{x-a}\) starts at \((a,0)\).
किसी बिंदु \((x,y)\) के आलेख पर स्थित होने के लिए \(y=\sqrt{x}\) होना चाहिए। बिंदु \((4,2)\) के लिए \(\sqrt{4}=2\), इसलिए यह सही है। \((2,4)\) में \(\sqrt{2}\neq4\), \((-4,2)\) में \(x\) परिभाषा-क्षेत्र से बाहर है, और \((4,-2)\) में \(y\) ऋणात्मक है। परीक्षा-युक्ति: किसी बिंदु की जाँच के लिए उसका \(x\) मान फलन में रखकर \(y\) से तुलना करें। / A point \((x,y)\) lies on the graph when \(y=\sqrt{x}\). For \((4,2)\), \(\sqrt{4}=2\), so it satisfies the equation. In \((2,4)\), \(\sqrt{2}\neq4\); \((-4,2)\) is invalid because the square-root function is not defined for a negative real input; and \((4,-2)\) is impossible because the principal square root is non-negative. Exam tip: substitute the point’s \(x\)-coordinate into the function and compare the result with \(y\).
हर (x+1) शून्य होने पर फलन परिभाषित नहीं रहता। इसलिए (x=-1) ऊर्ध्व आसिम्प्टोट है। / When the denominator (x+1) becomes zero, the function is not defined. So (x=-1) is the vertical asymptote.
\(\frac{1}{x}\) का मान बड़े (x) पर (0) के पास जाता है। इसलिए \(\frac{1}{x}+2\) का क्षैतिज आसिम्प्टोट (y=2) है। / The value of \(\frac{1}{x}\) approaches (0) for large (x). So the horizontal asymptote of \(\frac{1}{x}+2\) is (y=2).
वृत्त \(x^2+y^2=1\) में कुछ (x)-मानों के लिए दो (y)-मान मिलते हैं। इसलिए यह ऊर्ध्व रेखा परीक्षण में असफल है। / The circle \(x^2+y^2=1\) gives two (y)-values for some (x)-values. So it fails the vertical line test.
A. हर ऊर्ध्व रेखा अधिकतम एक बिंदु पर काटे/Each vertical line cuts at at most one point
Explanation
Simple Explanation
फलन में प्रत्येक (x) के लिए केवल एक (y) होना चाहिए। इसलिए ऊर्ध्व रेखा अधिकतम एक बिंदु पर काटती है। / A function must have only one (y) for each (x). Therefore a vertical line cuts it at at most one point.
\(f(2)=2^2=4\) और \(f(-2)=(-2)^2=4\), इसलिए दोनों मान बराबर हैं। ऋणात्मक संख्या का वर्ग भी धनात्मक होता है। विकल्प D गलत है, क्योंकि यहाँ \(f(-2)\) का मान \(-4\) नहीं बल्कि \(4\) है। परीक्षा-युक्ति: \(f(-x)=f(x)\) होने पर फलन सम फलन होता है और उसका ग्राफ \(y\)-अक्ष के प्रति सममित होता है। / \(f(2)=2^2=4\) and \(f(-2)=(-2)^2=4\), so the two values are equal. The square of a negative number is also positive. Option D is incorrect because \(f(-2)\) is \(4\), not \(-4\). Exam tip: When \(f(-x)=f(x)\), the function is even and its graph is symmetric about the \(y\)-axis.
\(f(2)=2^3=8\) और \(f(-2)=(-2)^3=-8\), इसलिए \(f(-2)=-f(2)\)। इससे पता चलता है कि \(f(x)=x^3\) एक विषम फलन है और इसका ग्राफ मूलबिंदु के सापेक्ष सममित होता है। परीक्षा-युक्ति: यदि \(f(-x)=-f(x)\), तो फलन विषम होता है। / \(f(2)=2^3=8\) and \(f(-2)=(-2)^3=-8\), so \(f(-2)=-f(2)\). This shows that \(f(x)=x^3\) is an odd function, whose graph is symmetric about the origin. Exam tip: If \(f(-x)=-f(x)\), the function is odd.
x-अक्ष पर किसी बिंदु का y-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए \(x^2=0\), जिससे \(x=0\) प्राप्त होता है और बिंदु \((0,0)\) होता है। परवलय \(y=x^2\) का शीर्ष भी \((0,0)\) है तथा यह वहीं x-अक्ष को स्पर्श करता है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2\) सदैव गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए ग्राफ x-अक्ष को पार नहीं करता। / A point on the x-axis has y-coordinate 0. Thus, \(x^2=0\), giving \(x=0\) and the point \((0,0)\). The parabola \(y=x^2\) has its vertex at \((0,0)\), where it touches the x-axis. The points \((1,0)\) and \((-1,0)\) are incorrect because the function values there are 1, not 0. Exam tip: Since \(x^2\) is always non-negative, the graph does not cross the x-axis.
(|x|) ऋणात्मक (x) को धनात्मक दूरी में बदल देता है। इसलिए ग्राफ (V)-आकार का होता है। / (|x|) changes negative (x)-values into positive distance values. Therefore the graph is (V)-shaped.
फलन \(f(x)=x^2\) के लिए \(y=x^2\) होता है, जिसका आलेख ऊपर की ओर खुलने वाला U-आकार का परवलय है। इसका शीर्ष \((0,0)\) पर होता है और यह y-अक्ष के सापेक्ष सममित रहता है। इसलिए यह सीढ़ीनुमा या टूटी हुई रेखा नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: \(y=ax^2\) में यदि \(a>0\) हो, तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है। / For the function \(f(x)=x^2\), we have \(y=x^2\), whose graph is an upward-opening U-shaped parabola. Its vertex is at \((0,0)\), and it is symmetric about the y-axis. Therefore, it is not a step-like or broken line. Exam tip: In \(y=ax^2\), the parabola opens upward when \(a>0\).
(y=x) में (x) और (y) के चिह्न समान होते हैं। इसलिए रेखा प्रथम और तृतीय चतुर्थांश से गुजरती है। / In (y=x), (x) and (y) have the same sign. So the line passes through the first and third quadrants.
किसी बिंदु \((x,y)\) के आलेख पर स्थित होने के लिए \(y=3x\) होना चाहिए। बिंदु \((1,3)\) के लिए \(3=3\times1\), इसलिए यह सही है। विकल्प B में निर्देशांक उलटने पर \(y=1\) हो जाता है, जबकि \(3x=9\)। विकल्प C में \(x=2\) पर \(y=6\) होना चाहिए और विकल्प D में \(x=-1\) पर \(y=-3\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: किसी बिंदु को जाँचने के लिए उसके \(x\)-निर्देशांक को फलन में रखकर प्राप्त \(y\) से मिलाएँ। / A point \((x,y)\) lies on the graph only when it satisfies \(y=3x\). For \((1,3)\), \(3=3\times1\), so it is correct. In option B, the coordinates are reversed; for \(x=3\), \(y\) should be 9. In option C, \(x=2\) requires \(y=6\), and in option D, \(x=-1\) requires \(y=-3\). Exam tip: substitute the point’s x-coordinate into the function and compare the resulting y-value.
x-अक्ष पर किसी बिंदु का y-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए f(x) = 0 रखने पर x + 4 = 0, जिससे x = -4 प्राप्त होता है। अतः x-अक्ष पर प्रतिच्छेद का x-निर्देशांक -4 है। विकल्प A में चिह्न की गलती है। परीक्षा-युक्ति: रैखिक फलन का x-अक्ष प्रतिच्छेद निकालने के लिए हमेशा y = 0 रखें। / At every point on the x-axis, the y-coordinate is 0. Therefore, set f(x) = 0: x + 4 = 0, which gives x = -4. Hence, the x-coordinate of the x-intercept is -4. Option A results from a sign error. Exam tip: To find the x-intercept, always set y or f(x) equal to 0.
\(x\)-अक्ष पर किसी बिंदु का \(y\)-निर्देशांक शून्य होता है। इसलिए \(f(x)=0\) रखने पर \(2x-6=0\), अर्थात् \(2x=6\) और \(x=3\) प्राप्त होता है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((3,0)\) है और इसका \(x\)-मान 3 है। परीक्षा-युक्ति: \(x\)-अक्ष प्रतिच्छेद के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / At an \(x\)-intercept, the \(y\)-coordinate is zero. Thus, set \(f(x)=0\): \(2x-6=0\), which gives \(2x=6\) and \(x=3\). Therefore, the intercept point is \((3,0)\), and its \(x\)-value is 3. Exam tip: For an \(x\)-intercept, always set \(y=0\).
x-अक्ष पर किसी प्रतिच्छेद बिंदु का y-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए \(f(x)=0\) रखने पर \(x^2-9=0\), अर्थात् \((x-3)(x+3)=0\)। अतः \(x=3\) या \(x=-3\), इसलिए सही विकल्प B है। ध्यान रखें कि पूर्ण प्रतिच्छेद बिंदु \((3,0)\) और \((-3,0)\) हैं। / At an x-intercept, the y-coordinate is 0. Thus, set \(f(x)=0\): \(x^2-9=0\), which factors as \((x-3)(x+3)=0\). Hence \(x=3\) or \(x=-3\), so option B is correct. The complete intercept points are \((3,0)\) and \((-3,0)\). Exam tip: for x-intercepts, always substitute \(y=0\) or set \(f(x)=0\).
\(x^2+6\) हमेशा (6) या उससे बड़ा है, इसलिए (y=0) संभव नहीं। अतः ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता। / \(x^2+6\) is always (6) or greater, so (y=0) is impossible. Hence the graph does not cut the (x)-axis.
\(x\)-अक्ष पर किसी बिंदु का \(y\)-निर्देशांक \(0\) होता है। इसलिए \(f(x)=0\): \(|x|-5=0\), अर्थात् \(|x|=5\)। इससे \(x=5\) या \(x=-5\) मिलता है, इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((5,0)\) और \((-5,0)\) हैं। ध्यान रखें कि \(x\)-अक्ष प्रतिच्छेद के लिए फलन का मान शून्य करना होता है। / At an \(x\)-intercept, the \(y\)-coordinate is \(0\). Thus, set \(f(x)=0\): \(|x|-5=0\), which gives \(|x|=5\). Therefore, \(x=5\) or \(x=-5\), so the intercepts are \((5,0)\) and \((-5,0)\). Exam tip: to find \(x\)-intercepts, always set the function value equal to zero.
मूल ग्राफ \(y=|x|\) का शीर्ष \((0,0)\) होता है। \(|x+2|\) ग्राफ को 2 इकाई बाईं ओर और \(-3\) उसे 3 इकाई नीचे ले जाता है, इसलिए नया शीर्ष \((-2,-3)\) है। परीक्षा टिप: \(y=|x-h|+k\) में शीर्ष \((h,k)\) होता है; अतः \(|x+2|=|x-(-2)|\)। / The basic graph \(y=|x|\) has vertex \((0,0)\). The term \(|x+2|=|x-(-2)|\) shifts it 2 units left, and \(-3\) shifts it 3 units down. Therefore, the vertex is \((-2,-3)\). Exam tip: for \(y=|x-h|+k\), the vertex is \((h,k)\).
\(\sqrt{x}\) का ग्राफ ((0,0)) से शुरू होता है और (1) इकाई ऊपर खिसकता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((0,1)) है। / The graph of \(\sqrt{x}\) starts at ((0,0)) and shifts (1) unit up. Therefore the starting point is ((0,1)).
(x)-अक्ष में प्रतिबिंब से हर (y)-मान का चिह्न बदल जाता है। इसलिए (y=|x|) बदलकर (y=-|x|) बनता है। / Reflection in the (x)-axis changes the sign of every (y)-value. So (y=|x|) becomes (y=-|x|).
\(\sqrt{x-3}\) के लिए (x-3=0) से (x=3) मिलता है और बाहर (2) जुड़ता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((3,2)) है। / For \(\sqrt{x-3}\), (x-3=0) gives (x=3), and the outside (2) is added. So the starting point is ((3,2)).
बड़े (|x|) पर \(\frac{1}{x-4}\) का मान (0) के पास जाता है। इसलिए क्षैतिज आसिम्प्टोट (y=0) है। / For large (|x|), the value of \(\frac{1}{x-4}\) approaches (0). Therefore the horizontal asymptote is (y=0).
