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A. मूलबिंदु से गुजरती सीधी रेखा/Straight line through (O)
Explanation
Simple Explanation
(f(x)=x) में हर (x) पर (y=x) होता है, इसलिए आलेख मूलबिंदु से गुजरती सीधी रेखा है। परीक्षा में (x) और (y) के बराबर मान लगाएं। / In (f(x)=x), (y=x) for every (x), so the graph is a straight line through the origin. In exams, test equal (x) and (y) values.
(f(x)=c) में हर (x) के लिए (y) का मान (c) रहता है। इसलिए आलेख (x)-अक्ष के समांतर रेखा (y=c) है। / In (f(x)=c), the value of (y) remains (c) for all (x). So the graph is the horizontal line (y=c).
\(x^2\) हमेशा (0) या धनात्मक होता है, इसलिए \(y=x^2\) का परवलय ऊपर खुलता है। बिंदु ((0,0)) शीर्ष है। / Since \(x^2\) is always (0) or positive, the parabola \(y=x^2\) opens upward. The point ((0,0)) is the vertex.
\(-x^2\) का मान (0) या ऋणात्मक होता है, इसलिए आलेख नीचे खुला परवलय है। संकेत देखकर दिशा पहचानें। / The value of \(-x^2\) is (0) or negative, so the graph is a downward parabola. Check the sign to identify the direction.
(|-x|=|x|), इसलिए (f(x)=|x|) सम फलन है और (y)-अक्ष के प्रति सममित है। सममिति जांचने के लिए (x) को (-x) से बदलें। / Since (|-x|=|x|), (f(x)=|x|) is an even function and is symmetric about the (y)-axis. Replace (x) by (-x) to test symmetry.
(x=0) रखने पर \(y=0^3=0\), इसलिए आलेख ((0,0)) से गुजरता है। पहले सरल मान (0) और (1) लगाएं। / Putting (x=0) gives \(y=0^3=0\), so the graph passes through ((0,0)). First test simple values like (0) and (1).
वास्तविक संख्या में \(\sqrt{x}\) तभी परिभाषित है जब \(x\ge 0\)। इसलिए इसका आलेख दाईं ओर से शुरू होता है। / In real numbers, \(\sqrt{x}\) is defined only when \(x\ge 0\). So its graph starts on the right side.
\(\frac{1}{x}\) में हर (x) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए (x=0) अनुमति नहीं है। हर को हमेशा जांचें। / In \(\frac{1}{x}\), the denominator (x) cannot be zero, so (x=0) is not allowed. Always check the denominator.
\(x^2\ge 0\) और (x=0) पर \(x^2=0\), इसलिए न्यूनतम मान (0) है। वर्ग फलन में शीर्ष याद रखें। / Since \(x^2\ge 0\) and \(x^2=0\) at (x=0), the minimum value is (0). Remember the vertex of a square function.
\(|x|\ge 0\) और (x=0) पर (|x|=0), इसलिए न्यूनतम बिंदु ((0,0)) है। यह (V)-आकार का शीर्ष है। / Since \(|x|\ge 0\) and (|x|=0) at (x=0), the minimum point is ((0,0)). It is the vertex of the (V)-shape.
बिंदु जांचने के लिए (x=2) रखें, तो \(y=2^2=4\) मिलता है। हमेशा दिए गए बिंदु को समीकरण में रखें। / To check the point, put (x=2), then \(y=2^2=4\). Always substitute the given point in the equation.
(y=x) पर दोनों निर्देशांक समान होते हैं। ((4,5)) में \(4\neq 5\), इसलिए यह बिंदु आलेख पर नहीं है। / On (y=x), both coordinates are equal. In ((4,5)), \(4\neq 5\), so this point is not on the graph.
\\(f(-3)=(-3)^2=9\\) और \\(f(3)=3^2=9\\), इसलिए दोनों मान बराबर हैं। विकल्प D गलत है, क्योंकि \\(f(3)=9\\) का ऋणात्मक मान \\(-9\\) होगा, जबकि \\(f(-3)=9\\) है। परीक्षा-युक्ति: \\(f(x)=x^2\\) एक सम फलन है, इसलिए \\(f(-x)=f(x)\\) और इसका ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। / \\(f(-3)=(-3)^2=9\\) and \\(f(3)=3^2=9\\), so the two values are equal. Option D is incorrect because the negative of \\(f(3)=9\\) is \\(-9\\), whereas \\(f(-3)=9\\). Exam tip: \\(f(x)=x^2\\) is an even function, so \\(f(-x)=f(x)\\), and its graph is symmetric about the y-axis.
\(f(-1)=(-1)^3=-1\) और \(f(1)=1^3=1\)। इसलिए \(f(-1)=-f(1)\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि दोनों मान बराबर नहीं हैं, जबकि विकल्प C भी गलत है क्योंकि \(-1<1\)। परीक्षा-युक्ति: यदि \(f(-x)=-f(x)\), तो फलन विषम होता है; \(x^3\) एक विषम फलन है। / \(f(-1)=(-1)^3=-1\) and \(f(1)=1^3=1\). Therefore, \(f(-1)=-f(1)\). Option A is incorrect because the two values are not equal, and option C is incorrect because \(-1<1\). Exam tip: a function satisfying \(f(-x)=-f(x)\) is odd, and \(x^3\) is an odd function.
समीकरण \(y=3\) में प्रत्येक \(x\) के लिए फलन का मान हमेशा 3 रहता है, इसलिए इसका आलेख नियत फलन का होता है। यह \(x\)-अक्ष के समानांतर क्षैतिज रेखा है। तत्समक फलन में \(y=x\) होता है, इसलिए उसका आलेख तिरछी रेखा होता है। परीक्षा-युक्ति: जिस फलन का आउटपुट \(x\) बदलने पर भी स्थिर रहे, उसे नियत फलन पहचानें। / In the equation \(y=3\), the function value remains 3 for every value of \(x\), so its graph represents a constant function. It is a horizontal line parallel to the \(x\)-axis. An identity function has \(y=x\), so its graph is a slanting line instead. Exam tip: A function whose output does not change when \(x\) changes is a constant function.
A. मूलबिंदु से गुजरती सीधी रेखा/Straight line through (O)
Explanation
Simple Explanation
(f(x)=2x) एक रैखिक फलन है और (x=0) पर (y=0), इसलिए रेखा मूलबिंदु से गुजरती है। गुणांक ढाल बताता है। / (f(x)=2x) is a linear function and at (x=0), (y=0), so the line passes through the origin. The coefficient gives the slope.
\(y\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु के लिए \(x=0\) होता है। अतः \(f(0)=0+2=2\), इसलिए \(y\)-अक्ष प्रतिच्छेद का \(y\)-निर्देशांक 2 है और प्रतिच्छेद बिंदु \((0,2)\) होगा। \(−2\) विकल्प केवल तब आता जब फलन \(x−2\) होता। परीक्षा-युक्ति: \(y\)-अक्ष प्रतिच्छेद निकालने के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / Every point on the \(y\)-axis has \(x=0\). Therefore, \(f(0)=0+2=2\), so the \(y\)-coordinate of the \(y\)-intercept is 2 and the intercept point is \((0,2)\). The value \(−2\) would result from a function such as \(x−2\), not \(x+2\). Exam tip: To find a graph’s \(y\)-intercept, substitute \(x=0\).
(x)-अक्ष प्रतिच्छेद पर (y=0), इसलिए (x-3=0) से (x=3) मिलता है। प्रतिच्छेद में उपयुक्त निर्देशांक शून्य रखें। / At the (x)-intercept, (y=0), so (x-3=0) gives (x=3). For intercepts, set the proper coordinate to zero.
(|x-2|) का न्यूनतम मान तब (0) है जब (x=2), इसलिए शीर्ष ((2,0)) है। अंदर का भाग शून्य करें। / The minimum of (|x-2|) is (0) when (x=2), so the vertex is ((2,0)). Set the inside part equal to zero.
\(f(x)=x^2+1\) में प्रत्येक \(x\) के लिए \(y\)-मान, \(y=x^2\) की तुलना में 1 अधिक है। इसलिए परवलय का आकार और क्षैतिज स्थिति वही रहती है, लेकिन पूरा आलेख 1 इकाई ऊपर खिसक जाता है। परीक्षा-युक्ति: \(y=g(x)+k\) में \(k>0\) होने पर आलेख \(k\) इकाई ऊपर जाता है। / For every value of \(x\), the function \(f(x)=x^2+1\) gives a \(y\)-value that is 1 greater than that of \(y=x^2\). Thus, the parabola keeps the same shape and horizontal position but shifts upward by 1 unit. Exam tip: in \(y=g(x)+k\), a positive \(k\) shifts the graph upward by \(k\) units.
((x-1)2) का न्यूनतम मान (0) तब है जब (x=1), इसलिए शीर्ष ((1,0)) है। कोष्ठक के अंदर को शून्य करें। / The minimum of ((x-1)2) is (0) when (x=1), so the vertex is ((1,0)). Set the inside of the bracket to zero.
\(\sqrt{x}\) में सबसे छोटा अनुमत (x) मान (0) है और \(\sqrt{0}=0\)। इसलिए आलेख ((0,0)) से शुरू होता है। / In \(\sqrt{x}\), the smallest allowed (x)-value is (0), and \(\sqrt{0}=0\). So the graph starts from ((0,0)).
वास्तविक मानों के लिए वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अशून्य या धनात्मक होना चाहिए: \(x-4\ge 0\), इसलिए \(x\ge 4\)। जब \(x=4\), तब \(f(4)=0\), अतः आलेख का प्रारंभिक बिंदु \((4,0)\) है और वह \(x=4\) से शुरू होता है। परीक्षा-युक्ति: \(\sqrt{x-a}\) का आलेख सामान्यतः \(x=a\) से शुरू होता है। / For real-valued outputs, the expression inside the square root must be non-negative: \(x-4\ge 0\), so \(x\ge 4\). At \(x=4\), \(f(4)=0\), giving the starting point \((4,0)\). Therefore, the graph begins at \(x=4\), not at any smaller value. Exam tip: the graph of \(\sqrt{x-a}\) starts at \(x=a\).
(x) और \(y=\frac{1}{x}\) का चिह्न समान होता है। इसलिए आलेख प्रथम और तृतीय चतुर्थांश में होता है। / The signs of (x) and \(y=\frac{1}{x}\) are the same. So the graph lies in the first and third quadrants.
(f(-x)=(-x)2=x-2=f(x)), इसलिए आलेख (y)-अक्ष के प्रति सममित है। सम फलन की सममिति याद रखें। / Since (f(-x)=(-x)2=x-2=f(x)), the graph is symmetric about the (y)-axis. Remember symmetry of even functions.
(f(-x)=(-x)3=-x-3=-f(x)), इसलिए यह मूलबिंदु के प्रति सममित है। विषम फलन की पहचान (f(-x)=-f(x)) से करें। / Since (f(-x)=(-x)3=-x-3=-f(x)), it is symmetric about the origin. Identify odd functions by (f(-x)=-f(x)).
दिए गए फलन में \(y=|x|\) है। इसलिए \(y=|-5|=5\)। मापांक किसी संख्या की दूरी को दर्शाता है, इसलिए उसका मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। विकल्प \(-5\) में मापांक लगाए बिना \(x\) का मान लिख दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: \(|a|\) का मान हमेशा \(a\) या \(-a\) में से धनात्मक मान होता है। / For the given function, \(y=|x|\). Substituting \(x=-5\) gives \(y=|-5|=5\). An absolute value represents distance from zero, so it is never negative. The option \(-5\) incorrectly gives the value of \(x\) without applying the modulus. Exam tip: \(|a|\) is always the non-negative value of \(a\).
फलन में \(x=9\) रखने पर \(y=\sqrt{9}=3\) प्राप्त होता है। वर्गमूल फलन \(y=\sqrt{x}\) का मुख्य मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए \(-3\) सही नहीं है। परीक्षा में याद रखें कि \(\sqrt{a^2}=|a|\), न कि हमेशा \(a\)। / Substituting \(x=9\) into the function gives \(y=\sqrt{9}=3\). The principal value of a square root is always non-negative, so \(-3\) is not correct. Exam tip: remember that \(\sqrt{a^2}=|a|\), not always \(a\).
दिए गए फलन में \(x=-2\) रखने पर \(y=(-2)^2=4\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 4 है और संबंधित बिंदु \((-2,4)\) है। \(-2^2\) को बिना कोष्ठक के लिखने से भ्रम हो सकता है, इसलिए ऋणात्मक संख्या का वर्ग करते समय कोष्ठक लगाएँ। / Substituting \(x=-2\) into the function gives \(y=(-2)^2=4\). Hence, the correct value is 4, and the corresponding point is \((-2,4)\). The value is not \(-4\) because the entire number \(-2\) is being squared; use brackets when squaring a negative number.
(y)-अक्ष प्रतिच्छेद के लिए (x=0), इसलिए (f(0)=02-4=-4)। प्रतिच्छेद में (x=0) रखना न भूलें। / For the (y)-intercept, (x=0), so (f(0)=02-4=-4). Do not forget to put (x=0) for this intercept.
\(x\)-अक्ष पर \(y=0\) होता है। इसलिए \(x^2-4=0\), अर्थात् \(x^2=4\), जिससे \(x=2\) या \(x=-2\) प्राप्त होता है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((2,0)\) और \((-2,0)\) हैं। विकल्प C में \(x=\pm1\) रखने पर फलन का मान \(-3\) आता है, इसलिए वह \(x\)-अक्ष पर नहीं है। परीक्षा-टिप: \(x\)-अक्ष के प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(f(x)=0\) रखें। / On the x-axis, \(y=0\). Therefore, \(x^2-4=0\), so \(x^2=4\) and \(x=2\) or \(x=-2\). Hence, the intercepts are \((2,0)\) and \((-2,0)\). In option C, substituting \(x=\pm1\) gives \(f(x)=-3\), so those values do not lie on the x-axis. Exam tip: To find x-intercepts, set \(f(x)=0\).
\(x^2+4\) हमेशा (4) या उससे बड़ा है, इसलिए (y=0) नहीं हो सकता। अतः आलेख (x)-अक्ष को नहीं काटता। / \(x^2+4\) is always (4) or greater, so (y=0) is impossible. Hence the graph does not cut the (x)-axis.
(x=0) रखने पर (y=0), इसलिए रेखा (y=-x) मूलबिंदु से गुजरती है। रेखीय फलन में सरल बिंदु पहले जांचें। / Putting (x=0) gives (y=0), so the line (y=-x) passes through the origin. Check simple points first in a linear function.
नियत फलन (f(x)=2) हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। इसलिए डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं। / The constant function (f(x)=2) is defined for every real (x). Hence its domain is all real numbers.
\(f(x)=x+1\) में मूल फलन \(y=x\) के प्रत्येक \(y\)-मान में 1 जुड़ता है, जबकि \(x\)-मान वही रहता है। इसलिए पूरा आलेख 1 इकाई ऊपर खिसकता है। ध्यान रखें: \(f(x)+k\) आलेख को ऊपर और \(f(x)-k\) नीचे ले जाता है; क्षैतिज स्थानांतरण के लिए कोष्ठक के अंदर \(x\) बदलता है। / In \(f(x)=x+1\), 1 is added to every \(y\)-value of the original function \(y=x\), while the \(x\)-values remain unchanged. Therefore, the entire graph shifts 1 unit upward. Exam tip: \(f(x)+k\) shifts a graph upward, whereas \(f(x-k)\) produces a horizontal shift to the right.
(|x|) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए (|x|+3) का न्यूनतम मान (3) है। ऊर्ध्व खिसकाव को ध्यान में रखें। / The minimum of (|x|) is (0), so the minimum of (|x|+3) is (3). Keep the vertical shift in mind.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=x^2+2\ge 2\), और \(x=0\) पर \(f(0)=2\) प्राप्त होता है। अतः न्यूनतम मान 2 है। ध्यान रखें कि \(x^2\) का न्यूनतम मान 0 है, लेकिन फलन में 2 जुड़ा होने से न्यूनतम मान 2 हो जाता है। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\). Hence \(f(x)=x^2+2\ge 2\), and at \(x=0\), \(f(0)=2\). Therefore, the minimum value is 2. Remember that 0 is the minimum of \(x^2\), but adding 2 shifts the minimum value of the function to 2.
रेखा \(y=0\) पर प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक शून्य होता है, इसलिए इसके सभी बिंदु \((x,0)\) के रूप में लिखे जाते हैं और यह x-अक्ष पर स्थित होते हैं। अतः सही उत्तर x-अक्ष है। ध्यान रखें: y-अक्ष का समीकरण \(x=0\) होता है, जबकि \(x=1\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है जो y-अक्ष के समानांतर होती है। / On the line \(y=0\), the y-coordinate of every point is zero, so all its points have the form \((x,0)\) and lie on the x-axis. Therefore, the correct answer is the x-axis. Remember that the equation of the y-axis is \(x=0\), whereas \(x=1\) is a vertical line parallel to the y-axis.
A. \(g\) का आलेख 5 इकाई ऊपर खिसकता है/The graph of \(g\) shifts 5 units upward
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(g(x)=f(x)+5\), इसलिए प्रत्येक \(x\) के लिए \(g(x)\), \(f(x)\) से 5 अधिक है। अतः परवलय का आकार और \(x\)-निर्देशांक अपरिवर्तित रहते हैं, केवल पूरा आलेख 5 इकाई ऊपर खिसकता है। विकल्प B नीचे की ओर खिसकने को दर्शाता है, जो \(f(x)-5\) के लिए होता। परीक्षा टिप: \(y=f(x)+k\) में आलेख \(k\) इकाई ऊपर और \(y=f(x)-k\) में \(k\) इकाई नीचे जाता है। / Since \(g(x)=f(x)+5\), for every \(x\), the value of \(g(x)\) is 5 greater than the corresponding value of \(f(x)\). Thus, the parabola keeps the same shape and horizontal positions but shifts 5 units upward. Option B would represent \(f(x)-5\), which shifts the graph downward. Exam tip: \(y=f(x)+k\) shifts a graph upward by \(k\) units, while \(y=f(x)-k\) shifts it downward.
आलेख पर स्थित बिंदु के लिए \(y=|x|\) होना चाहिए। बिंदु \((-4,4)\) में \(|-4|=4\), इसलिए यह सही है। \((-4,-4)\) और \((4,-4)\) गलत हैं क्योंकि \(|x|\) का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता, जबकि \((0,4)\) के लिए \(|0|=0\), 4 नहीं। परीक्षा में किसी बिंदु की जाँच करने के लिए उसके \(x\)-निर्देशांक को फलन में रखें। / A point lies on the graph only if it satisfies \(y=|x|\). For \((-4,4)\), \(|-4|=4\), so it is correct. \((-4,-4)\) and \((4,-4)\) are incorrect because \(|x|\) can never be negative, while \((0,4)\) is incorrect since \(|0|=0\), not 4. Exam tip: substitute the point’s \(x\)-coordinate into the function and compare the result with its \(y\)-coordinate.
\(\lfloor 2.7\rfloor=2\), क्योंकि यह (2.7) से छोटी या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या है। ऐसे आलेख में सीढ़ीनुमा भाग याद रखें। / \(\lfloor 2.7\rfloor=2\), because it is the greatest integer less than or equal to (2.7). Remember the step-like shape of this graph.
\(\frac{1}{x^2}\) में हर \(x^2\) है, इसलिए (x=0) पर हर शून्य हो जाएगा। भिन्न वाले फलन में हर को पहले जांचें। / In \(\frac{1}{x^2}\), the denominator is \(x^2\), so at (x=0) the denominator becomes zero. In fractional functions, check the denominator first.
(-|x|) का आलेख ( |x| ) का (x)-अक्ष में प्रतिबिंब है और शीर्ष ((0,0)) ही रहता है। ऋण चिह्न से (V)-आकार नीचे की ओर खुलता है। / The graph of (-|x|) is the reflection of (|x|) in the (x)-axis, and the vertex remains ((0,0)). The negative sign makes the (V)-shape open downward.
