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B. दोनों अपरिमेय वास्तविक हैं/Both are irrational real
Step 1
Concept
From \(x^2-2=0\), \(x=\pm\sqrt{2}\), which are irrational real numbers. In exams, check both real nature and rationality of roots.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दोनों अपरिमेय वास्तविक हैं / Both are irrational real. From \(x^2-2=0\), \(x=\pm\sqrt{2}\), which are irrational real numbers. In exams, check both real nature and rationality of roots.
Step 3
Exam Tip
\(x^2-2=0\) से \(x=\pm\sqrt{2}\), जो अपरिमेय वास्तविक संख्याएँ हैं। परीक्षा में मूल निकालते समय वास्तविकता और परिमेयता दोनों जाँचें।
The sum is \(3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}=6\), which is rational. Conjugate irrational numbers often have a rational sum.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. परिमेय संख्या / Rational number. The sum is \(3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}=6\), which is rational. Conjugate irrational numbers often have a rational sum.
Step 3
Exam Tip
योग \(3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}=6\) है, जो परिमेय है। संयुग्मी अपरिमेय संख्याओं का योग अक्सर परिमेय होता है।
A. दो भिन्न अपरिमेय वास्तविक शून्यक/Two distinct irrational real zeroes
Step 1
Concept
The discriminant is (D=36-16=20), so the zeroes are \(3\pm\sqrt{5}\). If (D) is not a perfect square, real zeroes can be irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दो भिन्न अपरिमेय वास्तविक शून्यक / Two distinct irrational real zeroes. The discriminant is (D=36-16=20), so the zeroes are \(3\pm\sqrt{5}\). If (D) is not a perfect square, real zeroes can be irrational.
Step 3
Exam Tip
विविक्तकर (D=36-16=20) है, इसलिए शून्यक \(3\pm\sqrt{5}\) हैं। (D) पूर्ण वर्ग न हो तो वास्तविक शून्यक अपरिमेय हो सकते हैं।
With rational coefficients, the conjugate of an irrational zero is also a zero. So \(2-\sqrt{3}\) will be the other zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2-\sqrt{3}\). With rational coefficients, the conjugate of an irrational zero is also a zero. So \(2-\sqrt{3}\) will be the other zero.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय शून्यक का संयुग्मी भी शून्यक होता है। इसलिए \(2-\sqrt{3}\) दूसरा शून्यक होगा।
\(The sum of zeroes is (0) and product is (-7), so the polynomial is (x^2-7). Use (x^2-\)sumx+product) to form a polynomial from zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
\(The correct answer is B. (x^2-7). The sum of zeroes is (0) and product is (-7), so the polynomial is (x^2-7). Use (x^2-\)sumx+product) to form a polynomial from zeroes.
Step 3
Exam Tip
शून्यकों का योग (0) और गुणनफल (-7) है, इसलिए बहुपद \(x^2-7\) है। \(शून्यकों से बहुपद बनाते समय (x^2-\)योगx+गुणनफल) प्रयोग करें।
The product is \(\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1\), which is rational. Zeroes may be irrational but their product can be rational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. परिमेय / Rational. The product is \(\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1\), which is rational. Zeroes may be irrational but their product can be rational.
Step 3
Exam Tip
गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1\) है, जो परिमेय है। शून्यक अपरिमेय हो सकते हैं पर उनका गुणनफल परिमेय हो सकता है।
B. (k) धनात्मक हो लेकिन पूर्ण वर्ग न हो/(k) is positive but not a perfect square
Step 1
Concept
The zeroes are \(x=\pm\sqrt{k}\). They are irrational real when (k>0) and (k) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (k) धनात्मक हो लेकिन पूर्ण वर्ग न हो / (k) is positive but not a perfect square. The zeroes are \(x=\pm\sqrt{k}\). They are irrational real when (k>0) and (k) is not a perfect square.
Step 3
Exam Tip
शून्यक \(x=\pm\sqrt{k}\) हैं। ये अपरिमेय वास्तविक तभी होंगे जब (k>0) और (k) पूर्ण वर्ग न हो।
By the formula, \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+8}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}\). Divide the whole expression carefully while simplifying.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}\). By the formula, \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+8}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}\). Divide the whole expression carefully while simplifying.
Step 3
Exam Tip
सूत्र से \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+8}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}\) है। हर को सरल करते समय पूरा पद विभाजित करें।
A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\)/\(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\)
Step 1
Concept
For rational coefficients, the conjugate \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Hence the first pair is correct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\) / \(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\). For rational coefficients, the conjugate \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Hence the first pair is correct.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों के लिए \(a+\sqrt{b}\) का संयुग्मी \(a-\sqrt{b}\) साथ आता है। इसलिए पहला युग्म सही है।
B. दो समान अपरिमेय शून्यक हैं/It has two equal irrational zeroes
Step 1
Concept
Since (p(x)=\(x-\sqrt{3}\)2), both zeroes are \(\sqrt{3}\). Recognize perfect-square form for equal zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दो समान अपरिमेय शून्यक हैं / It has two equal irrational zeroes. Since (p(x)=\(x-\sqrt{3}\)2), both zeroes are \(\sqrt{3}\). Recognize perfect-square form for equal zeroes.
Step 3
Exam Tip
(p(x)=\(x-\sqrt{3}\)2), इसलिए दोनों शून्यक \(\sqrt{3}\) हैं। समान शून्यक के लिए पूर्ण वर्ग रूप पहचानें।
Since (3x-2-12x+6=3\(x^2-4x+2\)), the zeroes are \(2\pm\sqrt{2}\). Removing a common factor first makes calculation easier.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\pm\sqrt{2}\). Since (3x-2-12x+6=3\(x^2-4x+2\)), the zeroes are \(2\pm\sqrt{2}\). Removing a common factor first makes calculation easier.
Step 3
Exam Tip
(3x-2-12x+6=3\(x^2-4x+2\)), इसलिए शून्यक \(2\pm\sqrt{2}\) हैं। पहले सामान्य गुणनखंड हटाना गणना आसान करता है।
A. योग (-4), दोनों अपरिमेय वास्तविक/Sum (-4), both irrational real
Step 1
Concept
The sum is \(-\frac{b}{a}=-4\) and (D=16-4=12), not a perfect square. Hence both zeroes are irrational real.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. योग (-4), दोनों अपरिमेय वास्तविक / Sum (-4), both irrational real. The sum is \(-\frac{b}{a}=-4\) and (D=16-4=12), not a perfect square. Hence both zeroes are irrational real.
Step 3
Exam Tip
योग \(-\frac{b}{a}=-4\) और (D=16-4=12) है, जो पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए दोनों शून्यक अपरिमेय वास्तविक हैं।
The product is (\frac{\(1+\sqrt{3}\)\(1-\sqrt{3}\)}{4}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}). Use \(a^2-b\) for conjugate products.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(-\frac{1}{2}\). The product is (\frac{\(1+\sqrt{3}\)\(1-\sqrt{3}\)}{4}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}). Use \(a^2-b\) for conjugate products.
Step 3
Exam Tip
गुणनफल (\frac{\(1+\sqrt{3}\)\(1-\sqrt{3}\)}{4}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}) है। संयुग्मी गुणनफल में \(a^2-b\) प्रयोग करें।
A. पहले के परिमेय, दूसरे के अपरिमेय वास्तविक/First are rational, second are irrational real
Step 1
Concept
For the first, (D=64-28=36) is a perfect square; for the second, (D=64-40=24) is not. The discriminant quickly tells the type of zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पहले के परिमेय, दूसरे के अपरिमेय वास्तविक / First are rational, second are irrational real. For the first, (D=64-28=36) is a perfect square; for the second, (D=64-40=24) is not. The discriminant quickly tells the type of zeroes.
Step 3
Exam Tip
पहले में (D=64-28=36) पूर्ण वर्ग है, दूसरे में (D=64-40=24) पूर्ण वर्ग नहीं है। विविक्तकर से शून्यकों का प्रकार तुरंत पता चलता है।
In a monic polynomial, the constant term is the product of zeroes. Here the product is (\(a+\sqrt{b}\)\(a-\sqrt{b}\)=a-2-b).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(a^2-b\). In a monic polynomial, the constant term is the product of zeroes. Here the product is (\(a+\sqrt{b}\)\(a-\sqrt{b}\)=a-2-b).
Step 3
Exam Tip
एकक बहुपद में स्थिर पद शून्यकों का गुणनफल होता है। यहाँ गुणनफल (\(a+\sqrt{b}\)\(a-\sqrt{b}\)=a-2-b) है।
B. कम से कम एक गुणांक अपरिमेय होगा/At least one coefficient will be irrational
Step 1
Concept
The sum \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational, so the coefficient of (x) in the monic polynomial is irrational. For rational coefficients, such zeroes must occur as conjugates.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. कम से कम एक गुणांक अपरिमेय होगा / At least one coefficient will be irrational. The sum \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational, so the coefficient of (x) in the monic polynomial is irrational. For rational coefficients, such zeroes must occur as conjugates.
Step 3
Exam Tip
योग \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है, इसलिए एकक बहुपद में (x) का गुणांक अपरिमेय होगा। परिमेय गुणांक के लिए ऐसे शून्यक संयुग्मी रूप में होने चाहिए।
The sum in the given polynomial is \(2+\sqrt{3}\), while checking options shows a mismatch if done carelessly. This item needs coefficient matching with both sum and product.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (1) और \(\sqrt{3}\) / (1) and \(\sqrt{3}\). The sum in the given polynomial is \(2+\sqrt{3}\), while checking options shows a mismatch if done carelessly. This item needs coefficient matching with both sum and product.
Step 3
Exam Tip
योग \(1+\sqrt{3}=1+\sqrt{3}\) नहीं बल्कि दिए बहुपद में योग \(2+\sqrt{3}\) है, इसलिए जाँच में (2) और \(\sqrt{3}\) सही हैं क्योंकि गुणनफल \(2\sqrt{3}\) नहीं आता। सही गणना से विकल्पों में कोई नहीं लगता, लेकिन (1) और \(\sqrt{3}\) का योग \(1+\sqrt{3}\) है।
The sum of zeroes is \(1+\sqrt{3}\) and the product is \(\sqrt{3}\). The numbers (1) and \(\sqrt{3}\) satisfy both conditions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1) और \(\sqrt{3}\) / (1) and \(\sqrt{3}\). The sum of zeroes is \(1+\sqrt{3}\) and the product is \(\sqrt{3}\). The numbers (1) and \(\sqrt{3}\) satisfy both conditions.
Step 3
Exam Tip
शून्यकों का योग \(1+\sqrt{3}\) और गुणनफल \(\sqrt{3}\) है। (1) और \(\sqrt{3}\) दोनों शर्तें पूरी करते हैं।
(p\(\sqrt{2}\)=\(\sqrt{2}\)2-2\sqrt{2}-2=2-2\sqrt{2}-2=-2\sqrt{2}). When substituting, write (\(\sqrt{2}\)2=2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(-2\sqrt{2}\). (p\(\sqrt{2}\)=\(\sqrt{2}\)2-2\sqrt{2}-2=2-2\sqrt{2}-2=-2\sqrt{2}). When substituting, write (\(\sqrt{2}\)2=2).
Step 3
Exam Tip
(p\(\sqrt{2}\)=\(\sqrt{2}\)2-2\sqrt{2}-2=2-2\sqrt{2}-2=-2\sqrt{2}) है। मान रखते समय (\(\sqrt{2}\)2=2) लिखें।
From \(3+a\sqrt{3}+3=0\), \(a\sqrt{3}=-6\), so \(a=-2\sqrt{3}\). After substituting an irrational value, separate like terms carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(-2\sqrt{3}\). From \(3+a\sqrt{3}+3=0\), \(a\sqrt{3}=-6\), so \(a=-2\sqrt{3}\). After substituting an irrational value, separate like terms carefully.
Step 3
Exam Tip
\(3+a\sqrt{3}+3=0\) से \(a\sqrt{3}=-6\), इसलिए \(a=-2\sqrt{3}\) है। अपरिमेय मान रखने के बाद समान पद अलग करें।
(D=36-24=12), which is positive but not a perfect square. Hence the zeroes are real and irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वास्तविक और अपरिमेय / Real and irrational. (D=36-24=12), which is positive but not a perfect square. Hence the zeroes are real and irrational.
Step 3
Exam Tip
(D=36-24=12) है, जो धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए शून्यक वास्तविक और अपरिमेय हैं।
By the formula, \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+24}}{2}=2\pm\sqrt{10}\). Remember \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) while simplifying (D).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\pm\sqrt{10}\). By the formula, \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+24}}{2}=2\pm\sqrt{10}\). Remember \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) while simplifying (D).
Step 3
Exam Tip
सूत्र से \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+24}}{2}=2\pm\sqrt{10}\) है। (D) को सरल करने में \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) याद रखें।
\(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=9-11=-2\), so (\alpha-2+\beta-2=36-2(-2)=40). The identity (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) is useful.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (40). \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=9-11=-2\), so (\alpha-2+\beta-2=36-2(-2)=40). The identity (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) is useful.
Step 3
Exam Tip
\(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=9-11=-2\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2=36-2(-2)=40)। पहचान (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) उपयोगी है।
The sum is (2m) and product is \(m^2-3\), matching \(m+\sqrt{3}\) and \(m-\sqrt{3}\). Even in general form, match sum and product.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(m\pm\sqrt{3}\). The sum is (2m) and product is \(m^2-3\), matching \(m+\sqrt{3}\) and \(m-\sqrt{3}\). Even in general form, match sum and product.
Step 3
Exam Tip
योग (2m) और गुणनफल \(m^2-3\) है, जो \(m+\sqrt{3}\) और \(m-\sqrt{3}\) से मिलता है। सामान्य रूप में भी योग और गुणनफल मिलाएँ।
A. दूसरा शून्यक \(-\sqrt{13}\) होगा/The other zero will be \(-\sqrt{13}\)
Step 1
Concept
For rational coefficients, the conjugate \(-\sqrt{13}\) of \(\sqrt{13}\) also appears when the linear coefficient is rational. This follows from \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दूसरा शून्यक \(-\sqrt{13}\) होगा / The other zero will be \(-\sqrt{13}\). For rational coefficients, the conjugate \(-\sqrt{13}\) of \(\sqrt{13}\) also appears when the linear coefficient is rational. This follows from \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\).
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों के लिए \(\sqrt{13}\) का संयुग्मी \(-\sqrt{13}\) भी आता है, जब रैखिक गुणांक परिमेय हो। यह नियम \(a+\sqrt{b}\) और \(a-\sqrt{b}\) पर आधारित है।
From \(5x^2-5=0\), \(x^2=1\), so \(x=\pm1\). Do not mistakenly take \(\sqrt{5}\) because of the common factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1,-1), परिमेय / (1,-1), rational. From \(5x^2-5=0\), \(x^2=1\), so \(x=\pm1\). Do not mistakenly take \(\sqrt{5}\) because of the common factor.
Step 3
Exam Tip
\(5x^2-5=0\) से \(x^2=1\), इसलिए \(x=\pm1\) हैं। सामान्य गुणनखंड से भ्रमित होकर \(\sqrt{5}\) न लें।
The zeroes are \(6\pm\sqrt{5}\), so the difference is \(2\sqrt{5}\). The difference of conjugate zeroes is (2) times the radical part.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\sqrt{5}\). The zeroes are \(6\pm\sqrt{5}\), so the difference is \(2\sqrt{5}\). The difference of conjugate zeroes is (2) times the radical part.
Step 3
Exam Tip
शून्यक \(6\pm\sqrt{5}\) हैं, इसलिए अंतर \(2\sqrt{5}\) है। संयुग्मी शून्यकों का अंतर (2) गुणा मूल पद होता है।
(D=49-20=29) is positive and not a perfect square. Therefore both zeroes are irrational real.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों अपरिमेय वास्तविक / Both irrational real. (D=49-20=29) is positive and not a perfect square. Therefore both zeroes are irrational real.
Step 3
Exam Tip
(D=49-20=29) धनात्मक और पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए दोनों शून्यक अपरिमेय वास्तविक होंगे।
In \(x^2-4x+1\), the sum is (4) and (D=16-4=12), so the zeroes are irrational. A rational sum does not mean rational zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-4x+1\). In \(x^2-4x+1\), the sum is (4) and (D=16-4=12), so the zeroes are irrational. A rational sum does not mean rational zeroes.
Step 3
Exam Tip
\(x^2-4x+1\) में योग (4) है और (D=16-4=12) से शून्यक अपरिमेय हैं। परिमेय योग का अर्थ परिमेय शून्यक होना नहीं है।
(p(x)=\(x+\sqrt{5}\)2), so the zero is \(-\sqrt{5}\) twice. A perfect-square form gives a repeated zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(-\sqrt{5}\) दो बार / \(-\sqrt{5}\) twice. (p(x)=\(x+\sqrt{5}\)2), so the zero is \(-\sqrt{5}\) twice. A perfect-square form gives a repeated zero.
Step 3
Exam Tip
(p(x)=\(x+\sqrt{5}\)2), इसलिए शून्यक \(-\sqrt{5}\) दो बार है। पूर्ण वर्ग रूप से दोहराया शून्यक मिलता है।
The other zero will be \(-\sqrt{7}\), so the sum is (0) and (a=-0=0). With rational coefficients, take the conjugate zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (0). The other zero will be \(-\sqrt{7}\), so the sum is (0) and (a=-0=0). With rational coefficients, take the conjugate zero.
Step 3
Exam Tip
दूसरा शून्यक \(-\sqrt{7}\) होगा, इसलिए योग (0) और (a=-0=0) है। परिमेय गुणांक में संयुग्मी शून्यक लेना जरूरी है।
B. एक गुणांक अपरिमेय है/One coefficient is irrational
Step 1
Concept
The constant term \(-\sqrt{2}\) is irrational, while the other coefficients are rational. Check coefficient type before applying root rules.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. एक गुणांक अपरिमेय है / One coefficient is irrational. The constant term \(-\sqrt{2}\) is irrational, while the other coefficients are rational. Check coefficient type before applying root rules.
Step 3
Exam Tip
स्थिर पद \(-\sqrt{2}\) अपरिमेय है, जबकि बाकी गुणांक परिमेय हैं। शून्यक नियम लागू करने से पहले गुणांकों का प्रकार देखें।
A. \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
The sum is \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) and the product is \(\sqrt{6}\). These match \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) / \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\). The sum is \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) and the product is \(\sqrt{6}\). These match \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
योग \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) और गुणनफल \(\sqrt{6}\) है। ये \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) से मिलते हैं।
A. (p(x)) के शून्यक परिमेय हैं और (q(x)) के अपरिमेय वास्तविक हैं/Zeroes of (p(x)) are rational and zeroes of (q(x)) are irrational real
Step 1
Concept
For (p(x)), (D=196-180=16), while for (q(x)), (D=196-160=36), so both are rational. Therefore the listed intended contrast is not valid.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (p(x)) के शून्यक परिमेय हैं और (q(x)) के अपरिमेय वास्तविक हैं / Zeroes of (p(x)) are rational and zeroes of (q(x)) are irrational real. For (p(x)), (D=196-180=16), while for (q(x)), (D=196-160=36), so both are rational. Therefore the listed intended contrast is not valid.
Step 3
Exam Tip
(p(x)) के लिए (D=196-180=16), जबकि (q(x)) के लिए (D=196-160=36) है, इसलिए दोनों परिमेय हैं। इसलिए सही कथन विकल्प में नहीं है।
A. (p(x)) के शून्यक परिमेय हैं और (q(x)) के अपरिमेय वास्तविक हैं/Zeroes of (p(x)) are rational and zeroes of (q(x)) are irrational real
Step 1
Concept
For (p(x)), (D=16) is a perfect square, and for (q(x)), (D=24) is positive but not a perfect square. Thus the first has rational and the second irrational real zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (p(x)) के शून्यक परिमेय हैं और (q(x)) के अपरिमेय वास्तविक हैं / Zeroes of (p(x)) are rational and zeroes of (q(x)) are irrational real. For (p(x)), (D=16) is a perfect square, and for (q(x)), (D=24) is positive but not a perfect square. Thus the first has rational and the second irrational real zeroes.
Step 3
Exam Tip
(p(x)) के लिए (D=16) पूर्ण वर्ग है और (q(x)) के लिए (D=24) धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। इसलिए पहला परिमेय और दूसरा अपरिमेय वास्तविक है।
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{4}{4-5}=-4\). Finding sum and product first is easier.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (-4). \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{4}{4-5}=-4\). Finding sum and product first is easier.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{4}{4-5}=-4\)। पहले योग और गुणनफल निकालना आसान रहता है।
B. गुणनफल (-3) है, इसलिए स्थिर पद (12) नहीं हो सकता/Product is (-3), so constant term cannot be (12)
Step 1
Concept
The product of these zeroes is (4-7=-3). In a monic polynomial, the constant term must equal the product.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. गुणनफल (-3) है, इसलिए स्थिर पद (12) नहीं हो सकता / Product is (-3), so constant term cannot be (12). The product of these zeroes is (4-7=-3). In a monic polynomial, the constant term must equal the product.
Step 3
Exam Tip
इन शून्यकों का गुणनफल (4-7=-3) है। एकक बहुपद में स्थिर पद गुणनफल के बराबर होना चाहिए।
A. गुणनफल (5), योग \(2\sqrt{6}\)/Product (5), sum \(2\sqrt{6}\)
Step 1
Concept
In a monic quadratic, the sum is (-b) and the product is (c). Here the sum is \(2\sqrt{6}\) and the product is (5).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. गुणनफल (5), योग \(2\sqrt{6}\) / Product (5), sum \(2\sqrt{6}\). In a monic quadratic, the sum is (-b) and the product is (c). Here the sum is \(2\sqrt{6}\) and the product is (5).
Step 3
Exam Tip
एकक द्विघात में योग (-b) और गुणनफल (c) होता है। यहाँ योग \(2\sqrt{6}\) और गुणनफल (5) है।
A. शून्यक \(a+\sqrt{b}\) और \(a-\sqrt{b}\) हैं, दोनों वास्तविक अपरिमेय हो सकते हैं/Zeroes are \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\), both can be real irrational
Step 1
Concept
The polynomial equals ((x-a)2-b), so \(x=a\pm\sqrt{b}\). When (b) is not a perfect square, \(\sqrt{b}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. शून्यक \(a+\sqrt{b}\) और \(a-\sqrt{b}\) हैं, दोनों वास्तविक अपरिमेय हो सकते हैं / Zeroes are \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\), both can be real irrational. The polynomial equals ((x-a)2-b), so \(x=a\pm\sqrt{b}\). When (b) is not a perfect square, \(\sqrt{b}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
बहुपद ((x-a)2-b) के बराबर है, इसलिए \(x=a\pm\sqrt{b}\) है। जब (b) पूर्ण वर्ग नहीं है तो \(\sqrt{b}\) अपरिमेय होता है।
A. (p(x)) के शून्यक परिमेय हैं और (q(x)) के शून्यक अपरिमेय वास्तविक हैं/Zeroes of (p(x)) are rational and zeroes of (q(x)) are irrational real
Step 1
Concept
For (p(x)), (D=81-56=25), a perfect square, so the zeroes are rational. For (q(x)), (D=81-60=21), positive but not a perfect square, so the zeroes are irrational real.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (p(x)) के शून्यक परिमेय हैं और (q(x)) के शून्यक अपरिमेय वास्तविक हैं / Zeroes of (p(x)) are rational and zeroes of (q(x)) are irrational real. For (p(x)), (D=81-56=25), a perfect square, so the zeroes are rational. For (q(x)), (D=81-60=21), positive but not a perfect square, so the zeroes are irrational real.
Step 3
Exam Tip
(p(x)) के लिए (D=81-56=25) पूर्ण वर्ग है, इसलिए शून्यक परिमेय हैं। (q(x)) के लिए (D=81-60=21) धनात्मक अपूर्ण वर्ग है, इसलिए शून्यक अपरिमेय वास्तविक हैं।
