यदि \(D=b^2-4ac\) धनात्मक है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है, तो \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों की सबसे सटीक प्रकृति क्या होगी?
If \(D=b^2-4ac\) is positive but not a perfect square, what is the most accurate nature of roots of \(ax^2+bx+c=0\)?
#quadratic-equations
#nature-of-roots
#expert
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A दो वास्तविक अपरिमेय और असमान / Two real irrational and distinct
B दो वास्तविक परिमेय और असमान / Two real rational and distinct
C दो वास्तविक और समान / Two real and equal
D कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
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Correct Answer
A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमान / Two real irrational and distinct
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक (D) दो असमान वास्तविक मूल देता है। (D) पूर्ण वर्ग न हो तो मूल अपरिमेय होते हैं। / Positive (D) gives two distinct real roots. If (D) is not a perfect square, the roots are irrational.
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समीकरण \(6x^2-4\sqrt{6}x+4=0\) के मूलों की प्रकृति क्या है?
What is the nature of roots of \(6x^2-4\sqrt{6}x+4=0\)?
#quadratic-equations
#surd-coefficients
#equal-roots
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? Hint Small clue
A दो वास्तविक और समान ((D=0)) / Two real and equal ((D=0))
B दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=24)) / Two real rational and distinct ((D=24))
C कोई वास्तविक मूल नहीं ((D<0)) / No real roots ((D<0))
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान ((D=6)) / Two real irrational and distinct ((D=6))
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Correct Answer
A. दो वास्तविक और समान ((D=0)) / Two real and equal ((D=0))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=\(-4\sqrt{6}\)2 -4(6)(4)=96-96=0) है। (D=0) समान मूलों का संकेत है। / Here (D=\(-4\sqrt{6}\)2 -4(6)(4)=96-96=0). (D=0) indicates equal roots.
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समीकरण \(2x^2-5\sqrt{2}x+8=0\) के लिए सही निष्कर्ष चुनिए।
Choose the correct conclusion for \(2x^2-5\sqrt{2}x+8=0\).
#quadratic-equations
#surd-coefficients
#no-real-roots
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? Hint Small clue
A कोई वास्तविक मूल नहीं ((D=-14)) / No real roots ((D=-14))
B दो वास्तविक और समान ((D=0)) / Two real and equal ((D=0))
C दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=14)) / Two real rational and distinct ((D=14))
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान ((D=50)) / Two real irrational and distinct ((D=50))
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Correct Answer
A. कोई वास्तविक मूल नहीं ((D=-14)) / No real roots ((D=-14))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=\(-5\sqrt{2}\)2 -4(2)(8)=50-64=-14) है। ऋणात्मक (D) पर वास्तविक मूल नहीं होते। / Here (D=\(-5\sqrt{2}\)2 -4(2)(8)=50-64=-14). For negative (D), real roots do not exist.
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समीकरण \(3x^2-2\sqrt{21}x+7=0\) के मूलों की प्रकृति क्या होगी?
What will be the nature of roots of \(3x^2-2\sqrt{21}x+7=0\)?
#quadratic-equations
#surd-coefficients
#equal-roots
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? Hint Small clue
A दो वास्तविक और समान ((D=0)) / Two real and equal ((D=0))
B कोई वास्तविक मूल नहीं ((D<0)) / No real roots ((D<0))
C दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=21)) / Two real rational and distinct ((D=21))
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान ((D=84)) / Two real irrational and distinct ((D=84))
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Correct Answer
A. दो वास्तविक और समान ((D=0)) / Two real and equal ((D=0))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=\(-2\sqrt{21}\)2 -4(3)(7)=84-84=0) है। इसलिए दोनों मूल समान हैं। / Here (D=\(-2\sqrt{21}\)2 -4(3)(7)=84-84=0). Therefore both roots are equal.
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यदि (x-2 -2(k+3)x+\(k^2+5k+12\)=0) के वास्तविक मूल हों, तो (k) पर कौन सी शर्त सही है?
If (x-2 -2(k+3)x+\(k^2+5k+12\)=0) has real roots, which condition on (k) is correct?
#quadratic-equations
#parameter-inequality
#real-roots
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A \(k\geq3\)
B (k<3)
C (k=0)
D हर वास्तविक (k) / Every real (k)
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Correct Answer
A. \(k\geq3\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(k+3)2 -4\(k^2+5k+12\)=4(k-3)) है। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\), इसलिए \(k\geq3\)। / Here (D=4(k+3)2 -4\(k^2+5k+12\)=4(k-3)). For real roots \(D\geq0\), so \(k\geq3\).
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यदि (x-2 -2(k-4)x+\(k^2-10k+27\)=0) के कोई वास्तविक मूल नहीं हों, तो (k) पर कौन सी शर्त सही है?
If (x-2 -2(k-4)x+\(k^2-10k+27\)=0) has no real roots, which condition on (k) is correct?
#quadratic-equations
#no-real-roots
#parameter
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A \(k<\frac{11}{2}\)
B \(k=\frac{11}{2}\)
C \(k>\frac{11}{2}\)
D हर (k) / Every (k)
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Correct Answer
A. \(k<\frac{11}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(k-4)2 -4\(k^2-10k+27\)=4(2k-11)) है। कोई वास्तविक मूल नहीं के लिए (D<0), इसलिए \(k<\frac{11}{2}\)। / Here (D=4(k-4)2 -4\(k^2-10k+27\)=4(2k-11)). For no real roots (D<0), so \(k<\frac{11}{2}\).
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समीकरण (x-2 -(t+7)x+7t=0) के दो वास्तविक और असमान मूलों के लिए कौन सी शर्त सही है?
Which condition is correct for two real and distinct roots of (x-2 -(t+7)x+7t=0)?
#quadratic-equations
#parameter
#distinct-roots
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A \(t\neq7\)
B (t=7)
C (t>7) मात्र / Only (t>7)
D (t<7) मात्र / Only (t<7)
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Correct Answer
A. \(t\neq7\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(t+7)2 -28t=(t-7)2 ) है। दो असमान मूलों के लिए (D>0), इसलिए \(t\neq7\)। / Here (D=(t+7)2 -28t=(t-7)2 ). For two distinct roots (D>0), so \(t\neq7\).
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समीकरण (x-2 -(u+6)x+6u=0) में समान मूलों के लिए (u) का मान क्या होगा?
What is the value of (u) for equal roots in (x-2 -(u+6)x+6u=0)?
#quadratic-equations
#equal-roots
#parameter
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A (u=6)
B (u=-6)
C (u=0)
D (u=12)
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Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(u+6)2 -24u=(u-6)2 ) है। (D=0) से (u=6) मिलता है। / Here (D=(u+6)2 -24u=(u-6)2 ). From (D=0), (u=6).
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यदि ((p-2)x-2 -2(p+2)x+(p+6)=0) में \(p\neq2\) हो, तो वास्तविक मूलों के लिए (p) की शर्त क्या है?
If \(p\neq2\) in ((p-2)x-2 -2(p+2)x+(p+6)=0), what is the condition on (p) for real roots?
#quadratic-equations
#parameter-inequality
#real-roots
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A \(p\leq5\) और \(p\neq2\) / \(p\leq5\) and \(p\neq2\)
B (p>5)
C (p=2)
D हर \(p\neq2\) / Every \(p\neq2\)
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Correct Answer
A. \(p\leq5\) और \(p\neq2\) / \(p\leq5\) and \(p\neq2\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(p+2)2 -4(p-2)(p+6)=40-8p) है। वास्तविक मूलों के लिए \(p\leq5\) और द्विघात के लिए \(p\neq2\)। / Here (D=4(p+2)2 -4(p-2)(p+6)=40-8p). For real roots \(p\leq5\), and for a quadratic \(p\neq2\).
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समीकरण ((q+3)x-2 -2(q-2)x+q=0) में समान मूलों के लिए (q) का सही मान क्या है, जबकि \(q\neq-3\)?
What is the correct value of (q) for equal roots in ((q+3)x-2 -2(q-2)x+q=0), where \(q\neq-3\)?
#quadratic-equations
#parameter
#equal-roots
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A \(q=\frac{4}{7}\)
B \(q=\frac{7}{4}\)
C (q=4)
D (q=-3)
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Correct Answer
A. \(q=\frac{4}{7}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(q-2)2 -4q(q+3)=4(4-7q)) है। (D=0) से \(q=\frac{4}{7}\)। / Here (D=4(q-2)2 -4q(q+3)=4(4-7q)). From (D=0), \(q=\frac{4}{7}\).
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यदि (x-2 +2(v+2)x+(4v+11)=0) के कोई वास्तविक मूल नहीं हों, तो (v) किस अंतराल में होगा?
If (x-2 +2(v+2)x+(4v+11)=0) has no real roots, in which interval will (v) lie?
#quadratic-equations
#no-real-roots
#parameter-interval
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A (-3<v<1)
B (v<-3) या (v>1) / (v<-3) or (v>1)
C (v=-3) या (v=1) / (v=-3) or (v=1)
D हर (v) / Every (v)
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Correct Answer
A. (-3<v<1)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(v+2)2 -4(4v+11)=4\(v^2-7\)) नहीं, सही रूप (4\(v^2-7\)) नहीं है। परीक्षा में विस्तार सावधानी से करें। / Here (D=4(v+2)2 -4(4v+11)) must be expanded carefully. Always verify the middle term before solving the interval.
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समीकरण (x-2 +2(v+2)x+(4v+11)=0) के कोई वास्तविक मूल नहीं होने की सही शर्त क्या है?
What is the correct condition for (x-2 +2(v+2)x+(4v+11)=0) to have no real roots?
#quadratic-equations
#parameter-interval
#no-real-roots
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A \(-\sqrt{7}<v<\sqrt{7}\)
B \(v<-\sqrt{7}\) या \(v>\sqrt{7}\) / \(v<-\sqrt{7}\) or \(v>\sqrt{7}\)
C \(v=-\sqrt{7}\) या \(v=\sqrt{7}\) / \(v=-\sqrt{7}\) or \(v=\sqrt{7}\)
D हर (v) / Every (v)
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Correct Answer
A. \(-\sqrt{7}<v<\sqrt{7}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(v+2)2 -4(4v+11)=4\(v^2-7\)) है। (D<0) से \(-\sqrt{7}<v<\sqrt{7}\)। / Here (D=4(v+2)2 -4(4v+11)=4\(v^2-7\)). From (D<0), \(-\sqrt{7}<v<\sqrt{7}\).
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यदि (x-2 -2(a+b)x+3ab=0) के वास्तविक मूल हों, तो (a) और (b) के लिए कौन सा कथन सही है?
If (x-2 -2(a+b)x+3ab=0) has real roots, which statement is correct for (a) and (b)?
#quadratic-equations
#algebraic-parameter
#real-roots
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A \(a^2-ab+b^2\geq0\) होने से मूल हमेशा वास्तविक हैं / Roots are always real because \(a^2-ab+b^2\geq0\)
B मूल तभी वास्तविक हैं जब (ab>0) / Roots are real only when (ab>0)
C मूल कभी वास्तविक नहीं होते / Roots are never real
D मूल तभी समान हैं जब (a+b=0) / Roots are equal only when (a+b=0)
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Correct Answer
A. \(a^2-ab+b^2\geq0\) होने से मूल हमेशा वास्तविक हैं / Roots are always real because \(a^2-ab+b^2\geq0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(a+b)2 -12ab=4\(a^2-ab+b^2\)) है। यह हमेशा ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए वास्तविक मूल मिलते हैं। / Here (D=4(a+b)2 -12ab=4\(a^2-ab+b^2\)). It is never negative, so real roots exist.
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समीकरण (x-2 -2(a-2b)x+(a+2b)2 =0) के वास्तविक मूलों के लिए कौन सी शर्त सही है?
Which condition is correct for real roots of (x-2 -2(a-2b)x+(a+2b)2 =0)?
#quadratic-equations
#algebraic-parameter
#real-roots
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A \(ab\leq0\)
B (ab>0)
C (a=2b)
D (a+2b=0) मात्र / Only (a+2b=0)
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Correct Answer
A. \(ab\leq0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(a-2b)2 -4(a+2b)2 =-32ab) है। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\), इसलिए \(ab\leq0\)। / Here (D=4(a-2b)2 -4(a+2b)2 =-32ab). For real roots \(D\geq0\), so \(ab\leq0\).
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यदि (a<0), (c>0) और (b) कोई वास्तविक संख्या हो, तो \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों की प्रकृति क्या होगी?
If (a<0), (c>0), and (b) is any real number, what will be the nature of roots of \(ax^2+bx+c=0\)?
#quadratic-equations
#sign-analysis
#distinct-roots
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A दो वास्तविक और असमान / Two real and distinct
B दो वास्तविक और समान / Two real and equal
C कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
D मूल हमेशा अपरिमेय / Roots are always irrational
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Correct Answer
A. दो वास्तविक और असमान / Two real and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (ac<0), इसलिए (-4ac>0) और \(D=b^2-4ac>0\) है। अतः दो असमान वास्तविक मूल होंगे। / Here (ac<0), so (-4ac>0) and \(D=b^2-4ac>0\). Hence there will be two distinct real roots.
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यदि (a<0), (c<0) और (b=0), तो \(ax^2+c=0\) के मूलों की प्रकृति क्या होगी?
If (a<0), (c<0), and (b=0), what will be the nature of roots of \(ax^2+c=0\)?
#quadratic-equations
#sign-analysis
#no-real-roots
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A कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
B दो वास्तविक और समान / Two real and equal
C दो वास्तविक और असमान / Two real and distinct
D मूल हमेशा (0) होते हैं / Roots are always (0)
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Correct Answer
A. कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (ac>0), इसलिए \(D=0^2-4ac<0\) है। इसलिए वास्तविक मूल नहीं होंगे। / Here (ac>0), so \(D=0^2-4ac<0\). Therefore real roots will not exist.
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समीकरण \(8x^2-4\sqrt{10}x+5=0\) में मूलों की प्रकृति क्या है?
What is the nature of roots in \(8x^2-4\sqrt{10}x+5=0\)?
#quadratic-equations
#surd-coefficients
#equal-roots
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A दो वास्तविक और समान ((D=0)) / Two real and equal ((D=0))
B दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=40)) / Two real rational and distinct ((D=40))
C कोई वास्तविक मूल नहीं ((D<0)) / No real roots ((D<0))
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान ((D=160)) / Two real irrational and distinct ((D=160))
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Correct Answer
A. दो वास्तविक और समान ((D=0)) / Two real and equal ((D=0))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=\(-4\sqrt{10}\)2 -4(8)(5)=160-160=0) है। (D=0) से समान मूल मिलते हैं। / Here (D=\(-4\sqrt{10}\)2 -4(8)(5)=160-160=0). (D=0) gives equal roots.
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समीकरण \(5x^2-3\sqrt{5}x+6=0\) के मूलों के बारे में सही विकल्प कौन सा है?
Which option is correct about the roots of \(5x^2-3\sqrt{5}x+6=0\)?
#quadratic-equations
#surd-coefficients
#no-real-roots
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A कोई वास्तविक मूल नहीं ((D=-75)) / No real roots ((D=-75))
B दो वास्तविक और समान ((D=0)) / Two real and equal ((D=0))
C दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=45)) / Two real rational and distinct ((D=45))
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान ((D=5)) / Two real irrational and distinct ((D=5))
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Correct Answer
A. कोई वास्तविक मूल नहीं ((D=-75)) / No real roots ((D=-75))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=\(-3\sqrt{5}\)2 -4(5)(6)=45-120=-75) है। ऋणात्मक (D) के कारण वास्तविक मूल नहीं हैं। / Here (D=\(-3\sqrt{5}\)2 -4(5)(6)=45-120=-75). Because (D) is negative, there are no real roots.
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यदि \(x^2-2\theta x+3\theta=0\) के दो वास्तविक और असमान मूल हों, तो \(\theta\) पर कौन सी शर्त सही है?
If \(x^2-2\theta x+3\theta=0\) has two real and distinct roots, which condition on \(\theta\) is correct?
#quadratic-equations
#parameter-inequality
#distinct-roots
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A \(\theta<0\) या \(\theta>3\) / \(\theta<0\) or \(\theta>3\)
B \(0<\theta<3\)
C \(\theta=0\) या \(\theta=3\) / \(\theta=0\) or \(\theta=3\)
D हर \(\theta\) / Every \(\theta\)
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Correct Answer
A. \(\theta<0\) या \(\theta>3\) / \(\theta<0\) or \(\theta>3\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4\theta-2 -12\theta=4\theta\(\theta-3\)) है। (D>0) से \(\theta<0\) या \(\theta>3\)। / Here (D=4\theta-2 -12\theta=4\theta\(\theta-3\)). From (D>0), \(\theta<0\) or \(\theta>3\).
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समीकरण \(x^2-2\theta x+3\theta=0\) के समान मूलों के लिए \(\theta\) के मान कौन से होंगे?
What are the values of \(\theta\) for equal roots of \(x^2-2\theta x+3\theta=0\)?
#quadratic-equations
#equal-roots
#parameter
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A \(\theta=0\) या \(\theta=3\) / \(\theta=0\) or \(\theta=3\)
B केवल \(\theta=3\) / Only \(\theta=3\)
C केवल \(\theta=0\) / Only \(\theta=0\)
D \(\theta=-3\) या \(\theta=3\) / \(\theta=-3\) or \(\theta=3\)
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Correct Answer
A. \(\theta=0\) या \(\theta=3\) / \(\theta=0\) or \(\theta=3\)
Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए (D=4\theta\(\theta-3\)=0) है। अतः \(\theta=0\) या \(\theta=3\)। / For equal roots (D=4\theta\(\theta-3\)=0). Hence \(\theta=0\) or \(\theta=3\).
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यदि (\(\alpha+3\)x-2 -2\alpha x+\(\alpha-2\)=0) में \(\alpha\neq-3\) हो, तो वास्तविक मूलों के लिए \(\alpha\) की शर्त क्या है?
If \(\alpha\neq-3\) in (\(\alpha+3\)x-2 -2\alpha x+\(\alpha-2\)=0), what is the condition on \(\alpha\) for real roots?
#quadratic-equations
#parameter-inequality
#real-roots
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A \(\alpha\leq3\) और \(\alpha\neq-3\) / \(\alpha\leq3\) and \(\alpha\neq-3\)
B \(\alpha>3\)
C \(\alpha=-3\)
D हर \(\alpha\neq-3\) / Every \(\alpha\neq-3\)
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Correct Answer
A. \(\alpha\leq3\) और \(\alpha\neq-3\) / \(\alpha\leq3\) and \(\alpha\neq-3\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4\alpha-2 -4\(\alpha+3\)\(\alpha-2\)=24-4\alpha) है। वास्तविक मूलों के लिए \(\alpha\leq3\) और द्विघात के लिए \(\alpha\neq-3\)। / Here (D=4\alpha-2 -4\(\alpha+3\)\(\alpha-2\)=24-4\alpha). For real roots \(\alpha\leq3\), and for a quadratic \(\alpha\neq-3\).
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समीकरण (x-2 -2(4t+1)x+\(7t^2+2t+5\)=0) के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। (t) के लिए सही अंतराल क्या है?
The equation (x-2 -2(4t+1)x+\(7t^2+2t+5\)=0) has no real roots. What is the correct interval for (t)?
#quadratic-equations
#no-real-roots
#parameter-interval
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A \(-1<t<\frac{2}{9}\)
B (t<-1) या \(t>\frac{2}{9}\) / (t<-1) or \(t>\frac{2}{9}\)
C (t=-1) या \(t=\frac{2}{9}\) / (t=-1) or \(t=\frac{2}{9}\)
D हर (t) / Every (t)
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Correct Answer
A. \(-1<t<\frac{2}{9}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(4t+1)2 -4\(7t^2+2t+5\)=36t-2 +24t-16) है। (D<0) से \(-1<t<\frac{2}{9}\) मिलता है। / Here (D=4(4t+1)2 -4\(7t^2+2t+5\)=36t-2 +24t-16). From (D<0), \(-1<t<\frac{2}{9}\).
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यदि (x-2 +2(m-5 )x+\(m^2-9m+24\)=0) के समान मूल हों, तो (m) का मान क्या होगा?
If (x-2 +2(m-5 )x+\(m^2-9m+24\)=0) has equal roots, what is the value of (m)?
#quadratic-equations
#equal-roots
#parameter
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A (2)
B (5)
C (9)
D (24)
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Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(m-5 )2 -4\(m^2-9m+24\)=4(2-m)) है। (D=0) से (m=2)। / Here (D=4(m-5 )2 -4\(m^2-9m+24\)=4(2-m)). From (D=0), (m=2).
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यदि (x-2 +2(m-5 )x+\(m^2-9m+24\)=0) के कोई वास्तविक मूल नहीं हों, तो (m) पर कौन सी शर्त सही है?
If (x-2 +2(m-5 )x+\(m^2-9m+24\)=0) has no real roots, which condition on (m) is correct?
#quadratic-equations
#no-real-roots
#parameter
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? Hint Small clue
A (m>2)
B (m=2)
C (m<2)
D हर (m) / Every (m)
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Explanation
Simple Explanation
इसी समीकरण में (D=4(2-m)) है। कोई वास्तविक मूल नहीं के लिए (D<0), इसलिए (m>2)। / In this equation (D=4(2-m)). For no real roots (D<0), so (m>2).
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समीकरण (4x-2 -2(5k-1)x+(k+2)2 =0) के समान मूलों के लिए सही समीकरण कौन सा है?
Which equation is correct for equal roots of (4x-2 -2(5k-1)x+(k+2)2 =0)?
#quadratic-equations
#parameter
#discriminant-equation
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? Hint Small clue
A \(21k^2-18k-15=0\)
B \(k^2-2k+1=0\)
C \(5k^2-k+2=0\)
D \(k^2+18k+21=0\)
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Correct Answer
A. \(21k^2-18k-15=0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(5k-1)2 -16(k+2)2 =4\(21k^2-18k-15\)) है। समान मूलों के लिए अंदर वाला भाग (0) होगा। / Here (D=4(5k-1)2 -16(k+2)2 =4\(21k^2-18k-15\)). For equal roots the inner part becomes (0).
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यदि (x-2 -2px+\(p^2-64\)=0) हो, तो (p) के किसी भी वास्तविक मान के लिए मूलों की प्रकृति क्या होगी?
If (x-2 -2px+\(p^2-64\)=0), what is the nature of roots for any real value of (p)?
#quadratic-equations
#identity
#rational-roots
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? Hint Small clue
A दो वास्तविक परिमेय और असमान / Two real rational and distinct
B दो वास्तविक और समान / Two real and equal
C कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान / Two real irrational and distinct
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Correct Answer
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान / Two real rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4p-2 -4\(p^2-64\)=256) है। धनात्मक पूर्ण वर्ग विविक्तकर परिमेय असमान मूल देता है। / Here (D=4p-2 -4\(p^2-64\)=256). A positive perfect-square discriminant gives rational distinct roots.
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यदि (x-2 -2px+\(p^2+36\)=0) हो, तो (p) के किसी भी वास्तविक मान के लिए सही निष्कर्ष क्या है?
If (x-2 -2px+\(p^2+36\)=0), what is the correct conclusion for any real value of (p)?
#quadratic-equations
#identity
#no-real-roots
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? Hint Small clue
A कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
B दो वास्तविक और समान / Two real and equal
C दो वास्तविक परिमेय और असमान / Two real rational and distinct
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान / Two real irrational and distinct
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Correct Answer
A. कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4p-2 -4\(p^2+36\)=-144) है। इसलिए किसी भी वास्तविक (p) के लिए वास्तविक मूल नहीं होंगे। / Here (D=4p-2 -4\(p^2+36\)=-144). Therefore for any real (p), real roots will not exist.
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कथन: (x-2 -2(a-3b)x+(a+3b)2 =0) में यदि (ab<0), तो मूल वास्तविक और असमान हैं। कारण: इसका (D=-48ab) है। सही विकल्प चुनिए।
Assertion: In (x-2 -2(a-3b)x+(a+3b)2 =0), if (ab<0), the roots are real and distinct. Reason: Its (D=-48ab). Choose the correct option.
#quadratic-equations
#assertion-reason
#parameter
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? Hint Small clue
A कथन और कारण दोनों सही हैं / Both assertion and reason are correct
B कथन सही है, कारण गलत है / Assertion is correct, reason is wrong
C कथन गलत है, कारण सही है / Assertion is wrong, reason is correct
D कथन और कारण दोनों गलत हैं / Both assertion and reason are wrong
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Correct Answer
A. कथन और कारण दोनों सही हैं / Both assertion and reason are correct
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (D=-48ab) है। (ab<0) होने पर (D>0), इसलिए मूल वास्तविक असमान होंगे। / The discriminant is (D=-48ab). If (ab<0), then (D>0), so roots are real and distinct.
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कथन: \(3x^2-6x+11=0\) का ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता। कारण: इसका (D=-96) है। सही विकल्प चुनिए।
Assertion: The graph of \(3x^2-6x+11=0\) does not cut the (x)-axis. Reason: Its (D=-96). Choose the correct option.
#quadratic-equations
#assertion-reason
#graph
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A कथन और कारण दोनों सही हैं / Both assertion and reason are correct
B कथन सही है, कारण गलत है / Assertion is correct, reason is wrong
C कथन गलत है, कारण सही है / Assertion is wrong, reason is correct
D कथन और कारण दोनों गलत हैं / Both assertion and reason are wrong
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Correct Answer
A. कथन और कारण दोनों सही हैं / Both assertion and reason are correct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-6)2 -4(3)(11)=36-132=-96) है। (D<0) होने पर ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता। / Here (D=(-6)2 -4(3)(11)=36-132=-96). When (D<0), the graph does not cut the (x)-axis.
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एक छात्र (x-2 -2(k-3)x+k-2 =0) के लिए (D=36) लिखता है। सही (D) क्या है?
A student writes (D=36) for (x-2 -2(k-3)x+k-2 =0). What is the correct (D)?
#quadratic-equations
#common-mistake
#discriminant
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A (36-24k)
B (36)
C (4\(k^2+9\))
D (12k)
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Correct Answer
A. (36-24k)
Explanation
Simple Explanation
सही (D=4(k-3)2 -4k-2 =36-24k) है। वर्ग खोलते समय (k)-पद को जरूर रखें। / The correct (D=4(k-3)2 -4k-2 =36-24k). While expanding the square, keep the (k)-term carefully.
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यदि (D_1=(y+5)2 ), (D_2=-(y+5)2 ) और \(y\neq-5\), तो दो असमान वास्तविक मूल किस स्थिति में होंगे?
If (D_1=(y+5)2 ), (D_2=-(y+5)2 ), and \(y\neq-5\), which case gives two distinct real roots?
#quadratic-equations
#concept-check
#discriminant
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A (D_1=(y+5)2 )
B (D_2=-(y+5)2 )
C दोनों / Both
D कोई नहीं / None
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Correct Answer
A. (D_1=(y+5)2 )
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(y\neq-5\), इसलिए ((y+5)2 >0) है। धनात्मक (D) दो असमान वास्तविक मूल देता है। / Since \(y\neq-5\), ((y+5)2 >0). A positive (D) gives two distinct real roots.
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यदि (D=(m-8 )2 ) है, तो समान मूलों के लिए (m) का मान क्या होगा?
If (D=(m-8 )2 ), what is the value of (m) for equal roots?
#quadratic-equations
#discriminant-form
#equal-roots
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A (m=8)
B (m=-8)
C (m=0)
D हर (m) / Every (m)
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Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए (D=0) चाहिए। ((m-8 )2 =0) से (m=8)। / Equal roots need (D=0). From ((m-8 )2 =0), (m=8).
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यदि (D=(z-9)(z+1)) है, तो कोई वास्तविक मूल न होने के लिए (z) का अंतराल कौन सा है?
If (D=(z-9)(z+1)), which interval of (z) gives no real roots?
#quadratic-equations
#discriminant-form
#no-real-roots
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A (-1<z<9)
B (z<-1) या (z>9) / (z<-1) or (z>9)
C (z=-1) या (z=9) / (z=-1) or (z=9)
D हर (z) / Every (z)
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Correct Answer
A. (-1<z<9)
Explanation
Simple Explanation
कोई वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0) चाहिए। ((z-9)(z+1)<0) से (-1<z<9) मिलता है। / For no real roots (D<0) is needed. ((z-9)(z+1)<0) gives (-1<z<9).
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यदि किसी द्विघात का विविक्तकर (D=20n-80) है, तो दो वास्तविक और असमान मूलों के लिए (n) पर कौन सी शर्त होगी?
If a quadratic has discriminant (D=20n-80), what condition on (n) gives two real and distinct roots?
#quadratic-equations
#discriminant-inequality
#distinct-roots
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A (n>4)
B (n=4)
C (n<4)
D हर (n) / Every (n)
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Explanation
Simple Explanation
दो असमान वास्तविक मूलों के लिए (D>0) चाहिए। (20n-80>0) से (n>4)। / For two distinct real roots (D>0) is needed. (20n-80>0) gives (n>4).
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यदि किसी द्विघात का विविक्तकर \(D=49-16h^2\) है, तो समान मूलों के लिए (h) के मान क्या होंगे?
If a quadratic has discriminant \(D=49-16h^2\), what are the values of (h) for equal roots?
#quadratic-equations
#discriminant-form
#equal-roots
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A \(h=\frac{7}{4}\) या \(h=-\frac{7}{4}\) / \(h=\frac{7}{4}\) or \(h=-\frac{7}{4}\)
B (h=7) या (h=-7) / (h=7) or (h=-7)
C (h=4) या (h=-4) / (h=4) or (h=-4)
D (h=0)
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Correct Answer
A. \(h=\frac{7}{4}\) या \(h=-\frac{7}{4}\) / \(h=\frac{7}{4}\) or \(h=-\frac{7}{4}\)
Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए \(49-16h^2=0\) चाहिए। इससे \(h^2=\frac{49}{16}\), अतः \(h=\pm\frac{7}{4}\)। / For equal roots \(49-16h^2=0\) is needed. This gives \(h^2=\frac{49}{16}\), hence \(h=\pm\frac{7}{4}\).
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समीकरण (x-2 +2\(3-\sqrt{10}\)x+16=0) के मूलों की प्रकृति क्या है?
What is the nature of roots of (x-2 +2\(3-\sqrt{10}\)x+16=0)?
#quadratic-equations
#surd-coefficients
#no-real-roots
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A कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
B दो वास्तविक समान / Two real and equal
C दो वास्तविक परिमेय और असमान / Two real rational and distinct
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान / Two real irrational and distinct
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Correct Answer
A. कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4\(3-\sqrt{10}\)2 -64) है जो ऋणात्मक है। इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। / Here (D=4\(3-\sqrt{10}\)2 -64), which is negative. So there are no real roots.
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समीकरण (x-2 -2\(3+\sqrt{5}\)x+\(14+6\sqrt{5}\)=0) के मूलों की प्रकृति क्या होगी?
What will be the nature of roots of (x-2 -2\(3+\sqrt{5}\)x+\(14+6\sqrt{5}\)=0)?
#quadratic-equations
#surd-coefficients
#equal-roots
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A दो वास्तविक और समान / Two real and equal
B कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
C दो वास्तविक परिमेय और असमान / Two real rational and distinct
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान / Two real irrational and distinct
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. दो वास्तविक और समान / Two real and equal
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4\(3+\sqrt{5}\)2 -4\(14+6\sqrt{5}\)=0) है। अतः मूल समान हैं। / Here (D=4\(3+\sqrt{5}\)2 -4\(14+6\sqrt{5}\)=0). Hence the roots are equal.
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यदि (x-2 -2rx+\(r^2-81\)=0) हो, तो (r) के किसी भी वास्तविक मान के लिए मूलों की प्रकृति क्या होगी?
If (x-2 -2rx+\(r^2-81\)=0), what is the nature of roots for any real value of (r)?
#quadratic-equations
#identity
#rational-roots
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A दो वास्तविक परिमेय और असमान / Two real rational and distinct
B दो वास्तविक और समान / Two real and equal
C कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान / Two real irrational and distinct
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Correct Answer
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान / Two real rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4r-2 -4\(r^2-81\)=324) है। धनात्मक पूर्ण वर्ग (D) परिमेय असमान मूल देता है। / Here (D=4r-2 -4\(r^2-81\)=324). A positive perfect-square (D) gives rational distinct roots.
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यदि (x-2 -2rx+\(r^2+49\)=0) हो, तो (r) के किसी भी वास्तविक मान के लिए सही निष्कर्ष क्या है?
If (x-2 -2rx+\(r^2+49\)=0), what is the correct conclusion for any real value of (r)?
#quadratic-equations
#identity
#no-real-roots
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A कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
B दो वास्तविक और समान / Two real and equal
C दो वास्तविक परिमेय और असमान / Two real rational and distinct
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान / Two real irrational and distinct
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4r-2 -4\(r^2+49\)=-196) है। इसलिए किसी भी वास्तविक (r) पर वास्तविक मूल नहीं मिलते। / Here (D=4r-2 -4\(r^2+49\)=-196). Therefore for any real (r), real roots are not obtained.
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परवलय \(y=x^2-2kx+k^2+9\) और (x)-अक्ष के प्रतिच्छेदों की संख्या क्या होगी?
What will be the number of intersections of the parabola \(y=x^2-2kx+k^2+9\) with the (x)-axis?
#quadratic-equations
#graphical-meaning
#no-real-roots
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A कोई प्रतिच्छेद नहीं / No intersection
B एक प्रतिच्छेद / One intersection
C दो प्रतिच्छेद / Two intersections
D (k) पर निर्भर / Depends on (k)
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Correct Answer
A. कोई प्रतिच्छेद नहीं / No intersection
Explanation
Simple Explanation
संबंधित समीकरण का (D=4k-2 -4\(k^2+9\)=-36) है। इसलिए ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता। / The related equation has (D=4k-2 -4\(k^2+9\)=-36). So the graph does not cut the (x)-axis.
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परवलय (y=x-2 -2(k+2)x+(k+2)2 ) (x)-अक्ष से कैसे मिलेगा?
How will the parabola (y=x-2 -2(k+2)x+(k+2)2 ) meet the (x)-axis?
#quadratic-equations
#graphical-meaning
#equal-roots
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A केवल स्पर्श करेगा / It will only touch
B दो अलग बिंदुओं पर काटेगा / It will cut at two different points
C नहीं मिलेगा / It will not meet
D केवल (k=-2) पर मिलेगा / It will meet only when (k=-2)
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Correct Answer
A. केवल स्पर्श करेगा / It will only touch
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (y=(x-(k+2))2 ) है और (D=0) है। इसलिए परवलय (x)-अक्ष को केवल स्पर्श करता है। / Here (y=(x-(k+2))2 ), and (D=0). Therefore the parabola only touches the (x)-axis.
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यदि (x-2 -2kx+\(k^2-16\)=0) है, तो परवलय (x)-अक्ष को कैसे काटेगा?
If (x-2 -2kx+\(k^2-16\)=0), how will the parabola cut the (x)-axis?
#quadratic-equations
#graphical-meaning
#distinct-roots
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A दो अलग बिंदुओं पर / At two different points
B केवल स्पर्श करेगा / It will only touch
C नहीं काटेगा / It will not cut
D यह (k) पर निर्भर करता है / It depends on (k)
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Correct Answer
A. दो अलग बिंदुओं पर / At two different points
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4k-2 -4\(k^2-16\)=64>0) है। इसलिए दो अलग वास्तविक प्रतिच्छेद मिलते हैं। / Here (D=4k-2 -4\(k^2-16\)=64>0). So two distinct real intersections are obtained.
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एक ज्यामितीय स्थिति से समीकरण (L-2 -2(a+5)L+\(a^2+8a+19\)=0) बनता है। वास्तविक (L) के लिए (a) की शर्त क्या है?
A geometric situation gives (L-2 -2(a+5)L+\(a^2+8a+19\)=0). What is the condition on (a) for real (L)?
#quadratic-equations
#application
#real-roots
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A \(a\geq-\frac{3}{2}\)
B \(a<-\frac{3}{2}\)
C (a=5)
D हर (a) / Every (a)
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Correct Answer
A. \(a\geq-\frac{3}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(a+5)2 -4\(a^2+8a+19\)=4(2a+6)) है। वास्तविक मानों के लिए \(a\geq-3\) होना चाहिए। / Here (D=4(a+5)2 -4\(a^2+8a+19\)=4(2a+6)). For real values \(a\geq-3\) is needed.
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एक लंबाई समस्या से समीकरण (L-2 -2(a+5)L+\(a^2+8a+19\)=0) बनता है। वास्तविक (L) के लिए सही शर्त कौन सी है?
A length problem gives (L-2 -2(a+5)L+\(a^2+8a+19\)=0). Which is the correct condition for real (L)?
#quadratic-equations
#application
#real-roots
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A \(a\geq-3\)
B (a<-3)
C (a=5)
D हर (a) / Every (a)
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Correct Answer
A. \(a\geq-3\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(a+5)2 -4\(a^2+8a+19\)=8a+24) है। \(D\geq0\) से \(a\geq-3\)। / Here (D=4(a+5)2 -4\(a^2+8a+19\)=8a+24). From \(D\geq0\), \(a\geq-3\).
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एक संख्या समस्या से समीकरण (n-2 -2pn+\(p^2-11p\)=0) बनता है। दो वास्तविक और असमान (n) के लिए (p) पर कौन सी शर्त है?
A number problem gives (n-2 -2pn+\(p^2-11p\)=0). What condition on (p) gives two real and distinct values of (n)?
#quadratic-equations
#application
#distinct-roots
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A (p>0)
B (p=0)
C (p<0)
D हर (p) / Every (p)
Explanation opens after your attempt
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4p-2 -4\(p^2-11p\)=44p) है। दो असमान वास्तविक मानों के लिए (D>0), इसलिए (p>0)। / Here (D=4p-2 -4\(p^2-11p\)=44p). For two distinct real values (D>0), so (p>0).
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यदि (x-2 -(2a+5)x+(a+2)(a+3)=0) है, तो मूलों की प्रकृति क्या होगी?
If (x-2 -(2a+5)x+(a+2)(a+3)=0), what will be the nature of roots?
#quadratic-equations
#identity
#rational-roots
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A दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=1)) / Two real rational and distinct ((D=1))
B दो वास्तविक और समान ((D=0)) / Two real and equal ((D=0))
C कोई वास्तविक मूल नहीं ((D<0)) / No real roots ((D<0))
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान ((D=2a+5)) / Two real irrational and distinct ((D=2a+5))
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Correct Answer
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=1)) / Two real rational and distinct ((D=1))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(2a+5)2 -4(a+2)(a+3)=1) है। इसलिए हर (a) पर मूल परिमेय और असमान हैं। / Here (D=(2a+5)2 -4(a+2)(a+3)=1). Thus for every (a), roots are rational and distinct.
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यदि (x-2 -(a+b+1)x+ab+a+b=0) हो, तो (a) और (b) के लिए मूलों की प्रकृति किस पर निर्भर करेगी?
If (x-2 -(a+b+1)x+ab+a+b=0), on what will the nature of roots depend for (a) and (b)?
#quadratic-equations
#advanced-discriminant
#parameter
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A (D=(a-b)2 +1-2(a+b))
B (D=(a+b)2 )
C (D=0) हमेशा / (D=0) always
D (D=-1) हमेशा / (D=-1) always
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Correct Answer
A. (D=(a-b)2 +1-2(a+b))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(a+b+1)2 -4(ab+a+b)) है। सरल करने पर सही विविक्तकर ( (a-b)2 +1-2(a+b) ) मिलता है। / Here (D=(a+b+1)2 -4(ab+a+b)). On simplification the correct discriminant is ( (a-b)2 +1-2(a+b) ).
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यदि (x-2 -2(a+1)x+\(a^2+4a+5\)=0) के कोई वास्तविक मूल नहीं हों, तो (a) पर कौन सी शर्त सही है?
If (x-2 -2(a+1)x+\(a^2+4a+5\)=0) has no real roots, which condition on (a) is correct?
#quadratic-equations
#no-real-roots
#parameter
50 50-50 2 wrong hide
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A (a>-2)
B (a=-2)
C (a<-2)
D हर वास्तविक (a) / Every real (a)
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Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(a+1)2 -4\(a^2+4a+5\)=-8(a+2)) है। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0), इसलिए (a>-2)। / Here (D=4(a+1)2 -4\(a^2+4a+5\)=-8(a+2)). For no real roots (D<0), so (a>-2).
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यदि ((m+4)x-2 -2(m+2)x+m=0) में \(m\neq-4\) हो, तो मूलों की प्रकृति क्या होगी?
If \(m\neq-4\) in ((m+4)x-2 -2(m+2)x+m=0), what will be the nature of roots?
#quadratic-equations
#identity
#distinct-roots
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A दो वास्तविक और असमान / Two real and distinct
B दो वास्तविक और समान / Two real and equal
C कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
D मूल हमेशा शून्य हैं / Roots are always (0)
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Correct Answer
A. दो वास्तविक और असमान / Two real and distinct
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यहाँ (D=4(m+2)2 -4m(m+4)=16) है। (D>0) होने से दो असमान वास्तविक मूल मिलते हैं। / Here (D=4(m+2)2 -4m(m+4)=16). Since (D>0), two distinct real roots are obtained.
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यदि किसी द्विघात समीकरण का विविक्तकर (D=(r-2)2 -9) है, तो कोई वास्तविक मूल न होने के लिए (r) का अंतराल कौन सा है?
If a quadratic equation has discriminant (D=(r-2)2 -9), which interval of (r) gives no real roots?
#quadratic-equations
#discriminant-form
#no-real-roots
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? Hint Small clue
A (-1<r<5)
B (r<-1) या (r>5) / (r<-1) or (r>5)
C (r=-1) या (r=5) / (r=-1) or (r=5)
D हर (r) / Every (r)
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Correct Answer
A. (-1<r<5)
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कोई वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0) चाहिए। ((r-2)2 <9) से (-1<r<5) मिलता है। / For no real roots (D<0) is needed. From ((r-2)2 <9), we get (-1<r<5).
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