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किसी द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\dfrac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=k\) और \(c=2\) है, अतः गुणनफल \(\dfrac{2}{k}=1\)। इससे \(k=2\) प्राप्त होता है। विकल्प (1) दर्शक त्रुटि हो सकती है जहाँ केवल \(c\) को देखा गया हो बिना \(a\) से भाग किए; विकल्प (-2) और (4) सही नहीं हैं क्योंकि वे समीकरण से प्राप्त अनुपात को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा सुझाव: हमेशा पहले यह सुनिश्चित करें कि \(a\) वह गुणांक है जो \(x^2\) के साथ है, और उत्पाद के लिए \(c/a\) का प्रयोग करें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots equals \(\dfrac{c}{a}\). Here \(a=k\) and \(c=2\), so \(\dfrac{2}{k}=1\) which gives \(k=2\). Option 1 might arise from mistakenly taking \(c\) alone instead of \(c/a\); options -2 and 4 do not satisfy the relation \(2/k=1\). Exam tip: always identify \(a\) (coefficient of \(x^2\)) before applying the product formula \(c/a\).
यदि सामान्य रूप \(ax^2+bx+c=0\) हो तो मूलों का गुणनफल \(\dfrac{c}{a}\) होता है (Vieta सूत्र)। यहाँ \(a=3,\;c=-8\) इसलिए गुणनफल \(\dfrac{-8}{3}=-\tfrac{8}{3}\) होगा। विकल्प B (\(\tfrac{8}{3}\)) केवल साइन में त्रुटि है; विकल्प C और D में अंकीय मान ही गलत हैं। परीक्षा सुझाव: सीधे \(\dfrac{c}{a}\) याद रखें और c का चिन्ह बदलने से बचें—चिन्ह वही उपयोग करें जो समीकरण में है। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the product of roots equals \(c/a\) (Vieta's formula). Here \(a=3\) and \(c=-8\), so the product is \(\dfrac{-8}{3}=-\tfrac{8}{3}\). Option B (\(\tfrac{8}{3}\)) is a sign error; options C and D have incorrect numerical values. Exam tip: apply \(c/a\) directly and pay attention to the sign of \(c\) from the given equation.
भिन्नांकों वाले गुणांकों को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को हर पद के हरमूल (यहाँ LCM = 3) से गुणा करें। दोनों ओर 3 से गुणा करने पर मिलने वाला समीकरण: \(3\times\frac{1}{3}x^2=x^2,\;3\times\left(-\frac{2}{3}x\right)=-2x,\;3\times1=3\)। इसलिए समतुल्य रूप \(x^2-2x+3=0\) है। विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें केवल पहले पद को त्रि‑गुणा कर दिया गया है (गलत प्रसंस्करण); विकल्प B में मध्य पद का चिन्ह गलत है और विकल्प D में नियतांक गलत है। परीक्षा‑सुझाव: भिन्नांक हटाने के लिए पूरे समीकरण को एक साथ LCM से गुणा करें, हर पद अलग‑अलग नहीं बदलें। / To remove fractional coefficients multiply the entire equation by the LCM of denominators (here 3). Multiplying by 3 gives: \(3\times\frac{1}{3}x^2=x^2,\;3\times(-\frac{2}{3}x)=-2x,\;3\times1=3\). Thus the equivalent equation is \(x^2-2x+3=0\). Option C is wrong because it incorrectly applies the factor 3 (only the first term appears scaled); option B has the wrong sign for the x‑term and option D has the wrong constant. Exam tip: always multiply the whole equation by the LCM of denominators to obtain integer coefficients in one step.
सामान्य रूप \(ax^2+bx+c=0\) से यहाँ \(a=2,\ b=7,\ c=3\) है। अतः \(ac=a\times c=2\times3=6\)। विकल्प B और D क्रमशः \(b\) और \(c\) के मान हैं, इसलिए वे गलत हैं। विकल्प C (10) किसी योग का गलत मान है — यह \(a+b\) या \(b+c\) नहीं है। परीक्षा टिप: हमेशा पहले मानक रूप में गुणांक पहचानें और फिर आवश्यक गुणा/योग करें। / From the standard form \(ax^2+bx+c=0\), we identify \(a=2,\ b=7,\ c=3\). Therefore \(ac=a\times c=2\times3=6\). Options B and D represent \(b\) and \(c\) respectively, so they are incorrect; option C (10) is not the product but an incorrect sum/product. Exam tip: first identify \(a, b, c\) from the equation, then compute the required combination (here multiply \(a\) and \(c\)).
यदि छोटे पूर्णांक को \(x\) माना जाए तो अगले क्रमागत पूर्णांक होगा \(x+1\)। उनका गुणनफल लिखेंगे: \(x(x+1)=56\)। इसे व्यवस्थित करने पर प्राप्त होगा \(x^2+x-56=0\), इसलिए विकल्प A सही है। नज़दीकी भ्रामक विकल्प B (\(x^2-x-56=0\)) तब बनता है जब पूर्णांक \(x\) और \(x-1\) लिए जाएँ — यह यहाँ लागू नहीं है। विकल्प C का रूप \(x^2+2x-56=0\) दो-बाद वाले पूर्णांकों (जैसे \(x\) और \(x+2\)) का गुणनफल दर्शाता है, और D एक रैखिक समीकरण है और समस्या की प्रकृति से मेल नहीं खाता। परीक्षात्मक संकेत: क्रमागत पूर्णांकों को हमेशा \(x\) और \(x+1\) (या \(x-1\) और \(x\)) के रूप में परिभाषित करें और गुणनफल को 0 पर लाकर द्विघात बनाएं। / Let the smaller integer be \(x\); the next consecutive integer is \(x+1\). Their product gives \(x(x+1)=56\). Expanding yields \(x^2+x-56=0\), so option A is correct. Distractor B (\(x^2-x-56=0\)) corresponds to integers \(x\) and \(x-1\), not the given consecutive pair. Option C (\(x^2+2x-56=0\)) would arise from \(x\) and \(x+2\), and D is a linear equation unrelated to the product of two integers. Exam tip: after forming the equation, check factor pairs of 56 (e.g., 7 and 8) to verify your result quickly.
विवेचक की परिभाषा है \(D=b^2-4ac\)। यहाँ \(a=2,\; b=3,\; c=5\)। इसलिए \(D=3^2-4\cdot2\cdot5=9-40=-31\)। चूँकि \(D<0\), यह ऋणात्मक है और समीकरण की निरूपित जड़ें वास्तविक नहीं बल्कि सम्मिश्र (complex conjugates) होंगी। विकल्प B (शून्य) गलत है क्योंकि \(D\) शून्य होने पर युग्मित समान वास्तविक मूल मिलते; विकल्प A (धनात्मक) गलत है क्योंकि तब दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते। परीक्षात्मक सुझाव: गणना करते समय पहले \(4ac\) का मान निकालें और उसके संकेत पर ध्यान दें ताकि चूक न हो। / The discriminant is defined by \(D=b^2-4ac\). Here \(a=2,\; b=3,\; c=5\). So \(D=3^2-4\cdot2\cdot5=9-40=-31\). Since \(D<0\), the discriminant is negative and the equation has no real roots (it has complex conjugate roots). Option B (zero) is wrong because \(D=0\) would give equal real roots; option A (positive) is wrong because a positive \(D\) would give two distinct real roots. Exam tip: compute the \(4ac\) term first and track signs carefully to avoid arithmetic errors.
A. हाँ — \(x=3\) समीकरण का एक मूल है/Yes, \(x=3\) is a root.
Explanation
Simple Explanation
मूल जाँचने के लिए दिए हुए मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करें। \(x=3\) रखने पर \(3^2-4\cdot3+3=9-12+3=0\) प्राप्त होता है, इसलिए \(x=3\) समीकरण का मूल है। समीकरण को गुणनखंडों में भी लिखा जा सकता है: \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\), जिससे स्पष्ट है कि दोनों \(x=1\) और \(x=3\) मूल हैं — इसलिए विकल्प C (केवल \(x=1\)) गलत है। परीक्षा सुझाव: किसी दिए मान के लिए सीधे प्रतिस्थापन करें; वैकल्पिक रूप से त्वरित सत्यापन के लिए बहुपद को कारक रूप में लिखें। / Check a candidate root by substituting it into the expression. Putting \(x=3\) gives \(3^2-4\cdot3+3=9-12+3=0\), so \(x=3\) satisfies the equation and is a root. Factoring gives \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\), showing the roots are \(x=1\) and \(x=3\); thus option C (only \(x=1\)) is incorrect. Exam tip: verify roots by direct substitution or by factoring the quadratic to list all roots quickly.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से यहाँ \(a=3,\; b=-2,\; c=7\)। इसलिए \(a+b+c=3+(-2)+7=8\)। अक्सर होने वाली गलती: संकेत भूलकर \(b=+2\) लेना — तब गलत उत्तर \(3+2+7=12\) मिलता है (option B)। परीक्षा टिप: गुणांकों के साथ उनके संकेत जरूर लिखें और पहले समीकरण को मानक रूप में चेक करें। / In standard form \(ax^2+bx+c=0\), we have \(a=3,\; b=-2,\; c=7\). Thus \(a+b+c=3+(-2)+7=8\). A common mistake is to drop the negative sign and take \(b=+2\), giving the incorrect sum \(3+2+7=12\) (option B). Exam tip: Always write down coefficients with their signs from the standard form before calculating sums.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में \(x^2\) के सामने जो गुणांक है वह \(a\) है। गुणांक का अर्थ उस पद के आगे वाला संख्यात्मक गुणन है; यदि \(a=0\) होता तो समीकरण द्विघात नहीं रहता। विकल्प A (\(b\)) गलत है क्योंकि \(b\) \(x\) का गुणांक है, विकल्प C (\(c\)) स्वतन्त्र पद है और विकल्प D (\(x\)) स्वयं चर है, गुणांक नहीं। परीक्षा टिप: किसी दिए समीकरण को द्विघात मानने के लिए पहले यह सुनिश्चित करें कि \(a\neq0\)। / In the standard form \(ax^2+bx+c=0\), the coefficient of \(x^2\) is \(a\). The coefficient is the number multiplying that power of \(x\); if \(a=0\) the equation would not be quadratic. Option A (\(b\)) is incorrect because \(b\) is the coefficient of \(x\); option C (\(c\)) is the constant term; option D (\(x\)) is the variable itself. Exam tip: always check that the leading coefficient \(a\) is nonzero when identifying a quadratic equation.
यदि \(x=2\) दिया गया मूल है तो उसे समीकरण में रखें: \(2^2+k\cdot2+2=0\) अर्थात \(4+2k+2=0\). इससे \(2k=-6\) और अतः \(k=-3\). विकल्प A (3) गलत है क्योंकि उसके स्थान पर रखने पर किनारे शून्य नहीं मिलेगा (\(4+6+2=12\)). विकल्प D (\(-2\)) भी गलत है क्योंकि वह देने पर शेषफल \(2\) मिलता है (\(4-4+2=2\)). परीक्षा युक्ति: किसी भी दिए गए मूल के लिए सीधे उस मान को बहुपद में रखने से ही \(k\) आसानी से मिल जाता है (Factor Theorem)। / Substitute the root \(x=2\) into the polynomial: \(2^2+k\cdot2+2=0\) so \(4+2k+2=0\). Thus \(2k=-6\) and \(k=-3\). Option A (3) is incorrect because substituting 3 gives \(4+6+2=12\neq0\). Option D (\(-2\)) is also wrong since it yields \(4-4+2=2\neq0\). Exam tip: use direct substitution or the Factor Theorem — if \(x=a\) is a root then the polynomial evaluated at \(a\) equals zero.
\((x+1)^2\) को गुणा करके फैलाने पर मिलता है \(x^2 + 2x + 1\)। सामान्य द्विघात रूप वह होता है जिसमें सभी पद एक ओर और शून्य दूसरी ओर हों, अतः मानक रूप \(x^2 + 2x + 1 = 0\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x^2 - 2x + 1\) actually \((x-1)^2\) का विस्तार है, और विकल्प A तथा D आवश्यक मध्यवर्ती या रेखीय पद को गलत रूप में दिखाते हैं। परीक्षा टिप: बाइनोमियल वर्ग का सूत्र \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) याद रखें — तुरंत विस्तार कर के शून्य के बराबर रख दें। / Expanding \((x+1)^2\) gives \(x^2 + 2x + 1\). The standard quadratic form places all terms on one side equal to zero, so the correct form is \(x^2 + 2x + 1 = 0\). Option B is incorrect because \(x^2 - 2x + 1\) is the expansion of \((x-1)^2\); options A and D omit or alter the linear term. Exam tip: use the identity \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) to expand quickly and then set the expression equal to zero.
समीकरण \(2x^2 - x + 8 = 0\) में रैखिक (linear) पद \(-x\) है। किसी भी पद का गुणांक वह संख्या होती है जो चर के साथ गुणा होती है — यहाँ \(-x\) में \(x\) के साथ गुणा होने वाली संख्या \(-1\) है। इसलिए सही उत्तर \(-1\) है। विकल्प B (1) गलत है क्योंकि वह चिन्ह (–) को अनदेखा करता है; विकल्प C और D भी गलत हैं क्योंकि वे भिन्न स्थिरांक/गुणांक दर्शाते हैं। परीक्छा सुझाव: गुणांक लिखते समय चिन्ह को हमेशा शामिल करें और पहले रैखिक पद पहचानें। / In the equation \(2x^2 - x + 8 = 0\) the linear term is \(-x\). The coefficient is the number multiplied by \(x\), so here it is \(-1\). Hence the correct answer is \(-1\). Option B (1) is incorrect because it ignores the negative sign; options C and D are unrelated values. Exam tip: First identify the linear term and always include its sign when stating the coefficient.
\(x^2=9\) से \(x=\pm\sqrt{9}=\pm3\) मिलता है, अतः मूल \(-3\) और \(3\) हैं। विकल्प B में 3 सही है पर 9 गलत है क्योंकि \(9^2=81\), विकल्प D में दोनों मानों का वर्ग 81 होता है, और विकल्प A में 0 का वर्ग 0 होता है — ये सभी समीकरण संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा सुझाव: जब \(x^2=a\) हो तो दोनों ±√a मान याद रखें और उत्तर की जाँच के लिए मूलों को दिए गए समीकरण में प्रत्यक्ष प्रतिस्थापित कर देखें। / From \(x^2=9\) we get \(x=\pm\sqrt{9}=\pm3\), so the roots are \(-3\) and \(3\). Option B wrongly lists 9 (although 3 is correct) — but \(9^2=81\), not 9. Option D has ±9 whose squares are 81, and option A contains 0 whose square is 0, so none of those satisfy the equation. Exam tip: for equations of the form \(x^2=a\) always take both ±√a and verify by substituting back.
मानक रूप का अर्थ है सभी पद एक ओर लेकर \(ax^2+bx+c=0\) के रूप में लिखना। समीकरण \(x^2=7\) में दाएँ स्थिर पद \(7\) को बाएँ ले जाकर हमें \(x^2-7=0\) मिलता है, जो मानक रूप है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(x^2+7=0\) वह समीकरण है जिसका अर्थ होता है \(x^2=-7\)। विकल्प C में मध्यम पद \(-7x\) है जो मूल समीकरण से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: किसी भी क्वाड्रैटिक को मानक रूप में लिखने के लिए सभी पदों को बाएँ तरफ ले आकर \(ax^2+bx+c=0\) रखें। / Standard form means writing all terms on one side as \(ax^2+bx+c=0\). For \(x^2=7\), move 7 to the left to get \(x^2-7=0\), which is the standard form. Option A is incorrect because \(x^2+7=0\) corresponds to \(x^2=-7\). Option C is wrong since it introduces a \( -7x\) term not present in the original equation. Exam tip: To convert to standard form, bring every term to the left and arrange as \(ax^2+bx+c=0\).
मोनिक द्विघात का अर्थ है कि \(x^2\) का गुणांक 1 हो। विकल्प A में समीकरण \(x^2+5x+6=0\) में \(x^2\) का गुणांक स्पष्ट रूप से 1 है, इसलिए यह मोनिक है। निकटतम विसंगति वाला विकल्प B है क्योंकि उसमें भी द्विघातीय रूप है परंतु \(x^2\) का गुणांक 2 है, इसलिए वह मोनिक नहीं है। परीक्षा टिप: किसी द्विघात समीकरण के मोनिक होने की जाँच के लिए केवल \(x^2\) का गुणांक देखें — यदि वह 1 है तो मोनिक है। / A monic quadratic has the coefficient of \(x^2\) equal to 1. In option A, \(x^2+5x+6=0\) has coefficient 1 for \(x^2\), so it is monic. The closest distractor is option B because it is also a quadratic but has coefficient 2 for \(x^2\), so it is not monic. Exam tip: to identify a monic quadratic quickly, check only the coefficient of \(x^2\); if it is 1, the quadratic is monic.
मानक रूप के लिए सभी पदों को एक ही ओर लाकर \(ax^2+bx+c=0\) में लिखते हैं। सुरुचि से देखें: \(4 = 3x - x^2\)। दाएँ पक्ष के पदों को बाएँ तरफ लाने पर \(-x^2\) का चिह्न बदलकर \(+x^2\) और \(+3x\) का चिह्न बदलकर \(-3x\) हो जाएगा; स्थिर पद \(+4\) वैसे ही रहेगा। अतः मानक रूप \(x^2-3x+4=0\) होता है। विकल्प C (\(x^2-3x-4=0\)) सबसे भ्रमित करने वाला है क्योंकि उसमें केवल स्थिर पद का चिह्न गलत है; विकल्प B और D में मध्य पद या दोनों पदों के चिह्न गलत हैं। परीक्षात्मक सुझाव: हमेशा सभी पदों को एक तरफ लाकर पहले \(ax^2\), फिर \(bx\), फिर \(c\) का क्रम रखें और हर पद का चिह्न जाँचें। / To write in standard form bring all terms to one side as \(ax^2+bx+c=0\). From \(4 = 3x - x^2\), moving the right-hand terms to the left changes signs: \(-x^2\) becomes \(+x^2\), \(+3x\) becomes \(-3x\), and \(+4\) stays. So the standard form is \(x^2-3x+4=0\). The closest distractor is option C (\(x^2-3x-4=0\)) which has the constant term sign wrong; option B has the sign of the linear term wrong. Exam tip: always rearrange to \(ax^2+bx+c=0\) and check sign changes when moving terms across ‘=’.
यदि हम \(x=2\) रखते हैं तो \(2^2-4=4-4=0\) मिलता है, इसलिए \(x=2\) समीकरण का मूल है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=-2\) भी परखने पर \((-2)^2-4=4-4=0\) देता है—अर्थात् दोनों \(x=2\) और \(x=-2\) मूल हैं, इसलिए 'केवल \(x=-2\)' कहना गलत है। परीक्षा सुझाव: किसी प्रत्याशित मूल की जाँच करने के लिए उसे समीकरण में स्थानापन्न करें और परिणाम \(0\) आया या नहीं देखें। / Substituting \(x=2\) gives \(2^2-4=4-4=0\), so \(x=2\) is indeed a root. Option C is incorrect because \(x=-2\) also satisfies the equation (\((-2)^2-4=0\)), so it is false to claim 'only \(x=-2\)' is a root — both \(2\) and \(-2\) are roots. Exam tip: To check a candidate root, substitute it into the polynomial and verify the result equals \(0\).
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) के अनुसार समीकरण \(x^2-5x+6=0\) में \(x^2\) का गुणांक 1 है, इसलिए \(a=1\)। \(x\) के साथ वाला गुणांक \(-5\) है, अतः \(b=-5\)। स्वतंत्र पद 6 है, इसलिए \(c=6\)। विकल्प B में केवल \(b\) का चिह्न गलत है (सामान्य त्रुटि: संकेत भूल जाना)। विकल्प C में \(a\) का चिह्न गलत है और विकल्प D में पदों का क्रम बदल दिया गया है। परीक्षात्मक सुझाव: किसी भी द्विघात में पहले \(x^2\) का गुणांक देखें और हर पद का संकेत ध्यान से लिखें। / Compare with the standard form \(ax^2+bx+c=0\). Here the coefficient of \(x^2\) is 1 so \(a=1\); the coefficient of \(x\) is -5 so \(b=-5\); the constant term is 6 so \(c=6\). Option B is a common sign-mistake (it shows \(b=5\) instead of \(-5\)). Option C incorrectly negates \(a\), and D has the terms permuted. Exam tip: always identify the coefficient of \(x^2\) first and copy signs exactly from the equation.
(2x+1)(x-4) को गुणा करें: 2x·x = 2x-2, 2x·(−4) = −8x, 1·x = x, 1·(−4) = −4। इनके योग से 2x-2 −8x + x −4 = 2x-2 −7x −4 मिलता है, इसलिए सही विकल्प 2x-2−7x−4=0 है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों में से B में मध्यम पद का चिन्ह गलत है (+7x के बजाय −7x), और D में स्थिर पद का चिन्ह गलत है (+4 के बजाय −4)। परीक्षा टिप: हर पद को क्रम से गुणा करें और फिर समरूप पदों को जोड़ें; स्थिर पद का चिन्ह हमेशा दोनों स्थिर पदों के गुणन से आएगा। / Multiply term-by-term: 2x·x = 2x-2, 2x·(−4) = −8x, 1·x = x, 1·(−4) = −4. Adding gives 2x-2 −8x + x −4 = 2x-2 −7x −4, so option A is correct. Closest distractors are wrong due to sign or constant errors (B has +7x instead of −7x; D has +4 instead of −4). Exam tip: multiply each term carefully and combine like terms; verify the constant by multiplying the constant terms of the binomials.
सम के लगातार सम संख्याएँ एक-दूसरे से 2 से भिन्न होती हैं, इसलिए यदि छोटी संख्या x है तो अगली सम संख्या x+2 होगी। इसलिए गुणनफल के लिए समीकरण \(x(x+2)=48\) बनेगा। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x+1\) लगातार पूर्णांकों के लिए सही है पर सम संख्याओं के लिए नहीं। विकल्प C गलत है क्योंकि वह गुणनफल नहीं बल्कि योग दर्शाता है। विकल्प D गलत है क्योंकि वह किसी भी तरह दोनों संख्याओं का गुणनफल दर्शाता नहीं; यह केवल 2x के बराबर 48 मानता है। परीक्षा टिप: "लगातार सम" से दूरी 2 होती है—पहले यह पंक्ति लिखें (x और x+2) और फिर गुणनफल या योग के अनुसार समीकरण बनायें। / Consecutive even numbers differ by 2, so if the smaller is x the next is x+2. The product equation is therefore \(x(x+2)=48\). Option B is incorrect because \(x+1\) represents consecutive integers, not consecutive even numbers. Option C is wrong because it gives a sum, not a product. Option D is incorrect because \(2x=48\) does not represent the product of two different consecutive even numbers. Exam tip: explicitly write the two numbers (x and x+2) first, then form the product or sum as stated in the problem.
केंद्रीय विचार: द्विघात समीकरण के सामान्य रूप \(ax^2+bx+c=0\) में \(a, b, c\) क्रमशः \(x^2, x\) और स्थायी पद के गुणांक होते हैं। यहाँ \(a=5,\; b=5,\; c=5\)। इसलिए \(a+b+c=5+5+5=15\)। विकल्प B (10) गलत है क्योंकि वह केवल दो पदों के योग जैसा दिखता है — सभी तीन गुणांकों का योग नहीं। परीक्षा-सुझाव: हमेशा समीकरण को सामान्य रूप में पढ़ें और स्थायी पद को भी "c" के रूप में दर्ज करें। / Core idea: In a quadratic of the form \(ax^2+bx+c=0\), \(a,b,c\) are the coefficients of \(x^2, x\) and the constant term respectively. Here \(a=5,\; b=5,\; c=5\). Thus \(a+b+c=5+5+5=15\). Option B (10) is incorrect because it corresponds to adding only two terms rather than all three coefficients. Exam tip: Always identify the coefficients from the standard form \(ax^2+bx+c\); include the constant term as \(c\).
मानक रूप से एक द्विघात समीकरण को \(ax^2+bx+c=0\) के रूप में लिखा जाता है; इसलिए यदि समीकरण के दाहिने पक्ष पर संख्या है तो उसे बाएँ लाकर साइन बदलनी होगी। विकल्प A में \(x^2+2x=8\) को बाएँ लाने पर 8 बदल कर -8 होगा और हमें \(x^2+2x-8=0\) मिलता है — इसलिए A सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x^2+2x=-8\) को बाएँ लाने पर यह \(x^2+2x+8=0\) बनेगा (संकेत उल्टा)। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि उनमें मध्य पद का गुणांक \(-2x)\) है, जबकि लक्ष्य समीकरण में \(+2x\) है। परीक्षा टिप: हमेशा सभी पदों को एक ही तरफ (आम तौर पर बाएँ) लाकर \(ax^2+bx+c=0\) फॉर्म बनाएं। / Standard form for a quadratic is \(ax^2+bx+c=0\); to convert, bring the RHS term(s) to the left and change their signs. In option A, moving 8 to the left gives \(-8\), so \(x^2+2x=8\) becomes \(x^2+2x-8=0\) — correct. Option B is wrong because \(x^2+2x=-8\) would become \(x^2+2x+8=0\). Options C and D are incorrect because they have \(-2x\) (different sign for the linear term) not \(+2x\). Exam tip: always move all terms to one side to match \(ax^2+bx+c=0\) before comparing coefficients.
क्वाड्रैटिक समीकरण की सामान्य रूप है \(ax^2+bx+c=0\)। दिया गया समीकरण \(3x^2-21=0\) को लिखें जैसा कि \(3x^2+0x-21=0\)। इसलिए \(a=3,\; b=0,\; c=-21\)। सबसे आशंकास्पद विकल्प B (3, -21, 0) है — यह इसलिए गलत है क्योंकि इसमें \(b\) और \(c\) की जगह बदली हुई है; यहाँ \(b\) x की गुणांक है और x‑अवयव अनुपस्थित होने पर \(b=0\) होता है। परीक्षा की युक्ति: किसी भी क्वाड्रैटिक को पहले मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में लिखें ताकि सभी गुणांकों को सीधे पढ़ा जा सके। / A quadratic must be in standard form \(ax^2+bx+c=0\). Rewrite \(3x^2-21=0\) as \(3x^2+0x-21=0\). Hence \(a=3,\; b=0,\; c=-21\). The most tempting wrong choice is B (3, -21, 0) — it incorrectly swaps the linear and constant coefficients; the linear coefficient \(b\) is zero because there is no \(x\) term. Exam tip: always convert the equation to \(ax^2+bx+c=0\) first so you can read off \(a,b,c\) directly.
\(x^2-49\) दो वर्गों का अंतर है, और सामान्य सूत्र है \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)। यहाँ \(a=x,\; b=7\) लाकर हमें \((x-7)(x+7)\) मिलता है, इसलिए सही गुणनखंड रूप \((x-7)(x+7)=0\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \((x-49)(x+1)=x^2-48x-49\) बनता है — मध्य पद गलत आता है। विकल्प C और D क्रमशः \((x+7)^2=x^2+14x+49\) और \((x-7)^2=x^2-14x+49\) देते हैं, जो मूल बहुपद से भिन्न हैं। परीक्षा टिप: अगर आपको \(x^2-b^2\) जैसा रूप मिले तो तुरंत \((x-b)(x+b)\) लगाएँ। / \(x^2-49\) is a difference of squares. Using \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) with \(a=x, b=7\) gives \((x-7)(x+7)\), so the factorised equation is \((x-7)(x+7)=0\). Option B expands to \(x^2-48x-49\), so its middle term is incorrect. Options C and D expand to \(x^2+14x+49\) and \(x^2-14x+49\) respectively, which do not match the original expression. Exam tip: recognize the difference-of-squares pattern quickly and apply \((a-b)(a+b)\).
द्विघात पद वह होता है जिसमें चर का घात 2 हो, यानि \(x^2\) शामिल हो। विकल्प (C) में स्पष्ट रूप से \(4x^2\) मौजूद है, इसलिए यह ही सही उत्तर है। बाकी विकल्पों में क्रमशः \(10x\), \(2x\) और \(x\) हैं — ये सभी रैखिक (degree 1) पद हैं, न कि द्विघात। समीपतम भ्रम (जैसे विकल्प A) इसलिए गलत है क्योंकि \(10x\) में घात 1 है, न कि 2। परीक्षा युक्ति: किसी भी विकल्प में केवल तभी द्विघात मानें जब पद में स्पष्ट रूप से \(x^2\) या समकक्ष घात‑2 दिया हो। / A quadratic term is the term where the variable has exponent 2, i.e. contains \(x^2\). Option C explicitly has \(4x^2\), so it is correct. The other options contain \(10x\), \(2x\) and \(x\), which are linear (degree 1) terms and not quadratic. The closest possible confusion could be mistaking a large coefficient (like 10 in option A) for a squared term, but the exponent must be 2. Exam tip: always check the exponent on x — only an explicit \(x^2\) (or equivalent) makes the term quadratic.
\(x^2+10x+25\) एक पूर्ण वर्ग त्रिघात है क्योंकि यह सूत्र \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) का रूप है। यदि हम \(a=x\) और \(b=5\) लें तो \((x+5)^2=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=x^2+10x+25\) मिलता है, अतः सही गुणनखंड रूप \((x+5)^2=0\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \((x-5)^2\) गलत है क्योंकि \((x-5)^2=x^2-10x+25\) में मध्य पद \(-10x\) होगा, न कि \(+10x\)। परीक्षा टिप: मध्य पद की संख्या को \(2ab\) के बराबर परखें — साइन (±) पर ध्यान दें। / \(x^2+10x+25\) is a perfect square trinomial of the form \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Taking \(a=x\) and \(b=5\) gives \((x+5)^2=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=x^2+10x+25\), so the factorised form is \((x+5)^2=0\). The closest distractor \((x-5)^2\) is incorrect because \((x-5)^2=x^2-10x+25\), which has \(-10x\) instead of \(+10x\). Exam tip: compare the middle term with \(2ab\) and check the sign to identify the correct binomial square.
दोनों द्विपादों को गुणा करें: \((x-6)(x+2)=x^2+2x-6x-12=x^2-4x-12\)। इसलिए मानक रूप \((x^2-4x-12=0)\) है। विकल्प B में मध्य पद का संकेत उल्टा है (+4x जो गलत है), और विकल्प C में मध्य पद \(-8x\) गलत जोड़‑घटाव का परिणाम है। परीक्षा टिप: FOIL (First, Outer, Inner, Last) या व्यवस्थित रूप से हर पद को गुणा करके समान पदों को जोड़ें। / Multiply the factors: \((x-6)(x+2)=x^2+2x-6x-12=x^2-4x-12\). Thus the standard form is \((x^2-4x-12=0)\). Option B has the wrong sign on the x-term (+4x instead of -4x); option C shows -8x which results from incorrect addition of like terms. Exam tip: Use FOIL or multiply term-by-term and then combine like terms carefully.
मानक रूप से द्विघात समीकरण को \(ax^2+bx+c=0\) में लिखा जाता है। दाएँ ओर के पदों को बाएँ ओर ले जाने के लिए दोनों तरफ से \(5x+3\) घटाएँ: \(2x^2-5x-3=0\)। यहाँ \(a=2, b=-5, c=-3\)। विकल्प C निकटतम प्रत्याशी है पर उसमें स्थिर पद का चिह्न गलत (+3 के बजाय −3)। परीक्षा सलाह: हमेशा सभी पद एक ही ओर लाकर \(ax^2+bx+c=0\) के रूप में व्यवस्थित करें और गुणांक लिखें। / The standard form for a quadratic is \(ax^2+bx+c=0\). Move the right-hand side terms to the left by subtracting \(5x+3\) from both sides to get \(2x^2-5x-3=0\). Thus \(a=2, b=-5, c=-3\). Option C is the closest distractor but has the constant term with the wrong sign (+3 instead of −3). Exam tip: always convert to \(ax^2+bx+c=0\) by bringing all terms to one side before identifying coefficients or solving.
मानक रूप से द्विघात समीकरण को \(ax^2+bx+c=0\) में लिखते हैं। मूल समीकरण \(4x^2+7x=9\) में दाहिनी ओर स्थित \(9\) को बाईं ओर लाने पर यह \(4x^2+7x-9=0\) बनता है, इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A गलत है क्योंकि उसने \(9\) का संकेत बदलकर \(+9\) रख दिया है। विकल्प C व D में मध्यम पद \(7x\) का संकेत उल्टा है, इसलिए वे भी गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: हमेशा सभी पदों को एक ही पक्ष पर लाकर \(ax^2+bx+c=0\) का रूप बनाइए। / A quadratic is written in standard form as \(ax^2+bx+c=0\). Moving the RHS term \(9\) to the left changes its sign, giving \(4x^2+7x-9=0\), so option B is correct. Option A is wrong because it keeps \(+9\) instead of \(-9\). Options C and D are wrong because they change the sign of the linear term \(7x\). Exam tip: bring every term to one side and combine like terms to reach \(ax^2+bx+c=0\).
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में \(a\) \(x^2\) का गुणांक होता है। दिए गए समीकरण में \(x^2\) का गुणांक 7 है, इसलिए \(a=7\)। विकल्प B (2) \(x\) का गुणांक है (यह \(b\) होगा), और विकल्प C (−5) स्थिर पद यानी \(c\) है। परीक्षा सुझाव: किसी भी द्विघात समीकरण को पहले मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में लिखकर सीधे \(a,b,c\) पहचानें। / In the standard form \(ax^2+bx+c=0\), \(a\) is the coefficient of \(x^2\). In the given equation the coefficient of \(x^2\) is 7, so \(a=7\). Option B (2) is the coefficient of \(x\) (that's \(b\)), and option C (−5) is the constant term \(c\). Exam tip: Always write the quadratic in standard form \(ax^2+bx+c=0\) and read off \(a,b,c\) directly.
