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\(x=-6\) को समीकरण \(2x^2+px-18=0\) में रखें: \(2(-6)^2 + p(-6) - 18 = 0\). यह बनता है \(72 - 6p - 18 = 0\) अर्थात् \(54 - 6p = 0\). इसलिए \(p = \dfrac{54}{6} = 9\). विकल्प \(-9\) आम गलत जवाब है जब संकेत की गलती हो (गलत तरीके से \(+6p\) ले लिया जाए)। परीक्षा-सुझाव: किसी भी दिये गए मूल को सीधे समीकरण में प्रतिस्थापित करके क्रमवार रूप से सादगी करें और संकेतों (positive/negative) पर विशेष ध्यान दें। / Substitute \(x=-6\) into \(2x^2+px-18=0\): \(2(-6)^2 + p(-6) -18 = 0\). This gives \(72 - 6p - 18 = 0\) → \(54 - 6p = 0\), so \(p = 54/6 = 9\). The choice \(-9\) typically arises from a sign error (treating \(p(-6)\) as \(+6p\)). Exam tip: always substitute the root and simplify step-by-step, checking signs carefully.
पहला कदम वर्गों को विस्तृत करना है: \(3(x+1)^2=3(x^2+2x+1)=3x^2+6x+3\) और \(2(x-4)^2=2(x^2-8x+16)=2x^2-16x+32\)। जोड़ने पर मिलता है \(5x^2-10x+35=74\)। अब दोनों पक्षों को एक तरफ लाकर सरल करने पर \(5x^2-10x+35-74=0\) अर्थात् \(5x^2-10x-39=0\)। विकल्प B (\(+10x\)) सबसे नज़दीकी भ्रांतिदायक है — वहाँ परिचर का संकेत उल्टा है। परीक्षा टिप: पहले वर्गों को सही से फैलाएँ, समान पद मिलाएँ और फिर दायाँ पक्ष बाएँ ले आएँ; अंतिम स्थिर पद के लिए अंकगणित दोबारा जाँचें (यहाँ \(3+32-74=-39\))। / Expand the squares first: \(3(x+1)^2=3(x^2+2x+1)=3x^2+6x+3\) and \(2(x-4)^2=2(x^2-8x+16)=2x^2-16x+32\). Adding gives \(5x^2-10x+35=74\). Bring 74 to the left and simplify: \(5x^2-10x+35-74=0\), so \(5x^2-10x-39=0\). Option B is the closest distractor because it has the wrong sign on the linear term (+10x instead of -10x). Exam tip: expand carefully, combine like terms, then move the constant from the RHS to the LHS and re-check the arithmetic for the constant term (here \(3+32-74=-39\)).
क्योंकि \(x=-2\) समीकरण का मूल है, इसलिए इसे समीकरण में रखने पर \((-2)^2+(5k-2)(-2)+4k=0\) मिलता है। अतः \(4-10k+4+4k=0\), यानी \(8-6k=0\), जिससे \(k=\frac{4}{3}\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प D है। परीक्षा-युक्ति: दिए गए मूल को सीधे द्विघात समीकरण में प्रतिस्थापित करके पैरामीटर का मान निकालें। / Since \(x=-2\) is a root, substituting it into the equation gives \((-2)^2+(5k-2)(-2)+4k=0\). Therefore, \(4-10k+4+4k=0\), so \(8-6k=0\) and \(k=\frac{4}{3}\). Hence, option D is correct. Exam tip: When a root is given, substitute it directly into the quadratic equation and solve for the parameter.
पूर्ण वर्ग के लिए \(x^2-18x+c\) को \((x-9)^2=x^2-18x+81\) के रूप में लिखा जाना चाहिए। अतः \(c=81\) होगा। विकल्प 324 लेने पर \(18^2\) कर दिया जाता है, जबकि मध्य पद के गुणांक का आधा लेकर उसका वर्ग करना होता है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx+c\) के पूर्ण वर्ग होने पर \(c=\left(\frac{b}{2}\right)^2\) होता है। / For the expression to be a perfect square, \(x^2-18x+c\) must equal \((x-9)^2=x^2-18x+81\). Therefore, \(c=81\). Choosing 324 incorrectly amounts to squaring 18 directly; the correct method is to square half the coefficient of \(x\). Exam tip: \(x^2+bx+c\) is a perfect square when \(c=\left(\frac{b}{2}\right)^2\).
दिया गया समीकरण \((x-a)^2-25=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \((x-a)^2=25\), इसलिए मूल \(a+5\) और \(a-5\) हैं। बड़े और छोटे मूल का अंतर \((a+5)-(a-5)=10\) होगा। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण वर्ग बनाकर मूलों का अंतर निकालना सबसे सरल तरीका है। / The equation can be rewritten as \((x-a)^2-25=0\). Thus, \((x-a)^2=25\), giving the roots \(a+5\) and \(a-5\). Therefore, the difference between the larger and smaller roots is \((a+5)-(a-5)=10\). In such questions, completing the square is the quickest method.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(b=-13\), इसलिए \(\alpha+\beta=13\)। अतः \((\alpha+\beta)^2=13^2=169\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B नियतांक \(36\) से संबंधित है, मूलों के योग से नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल सीधे \(-\frac{b}{a}\) तथा \(\frac{c}{a}\) से ज्ञात करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\). Here, \(a=1\) and \(b=-13\), so \(\alpha+\beta=13\). Therefore, \((\alpha+\beta)^2=13^2=169\), making option A correct. Option B is the constant term, not the sum of the roots. Exam tip: Use Vieta’s formulas directly: the sum of roots is \(-\frac{b}{a}\) and their product is \(\frac{c}{a}\).
क्योंकि \(x=-1\) समीकरण का मूल है, इसलिए इसे समीकरण में रखने पर \((-1)^2+(4k-1)(-1)+3k=0\) मिलता है। अतः \(1-4k+1+3k=0\), यानी \(2-k=0\), इसलिए \(k=2\)। परीक्षा-युक्ति: दिए गए मूल को सीधे समीकरण में रखकर प्राप्त रैखिक समीकरण हल करें। / Since \(x=-1\) is a root, substitute it into the equation: \((-1)^2+(4k-1)(-1)+3k=0\). This gives \(1-4k+1+3k=0\), or \(2-k=0\), so \(k=2\). Exam tip: When a root is given, substitute it directly into the polynomial to form an equation in the parameter.
समीकरण का गुणनखंडन \((3x-8)(x-2)=0\) है, इसलिए इसके मूल \(x=\frac{8}{3}\) और \(x=2\) हैं। अतः मूलों के अंतर का परिमाण \(\left|\frac{8}{3}-2\right|=\frac{2}{3}\) है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का अंतर पूछे जाने पर प्रायः उसके परिमाण को लिया जाता है, इसलिए बड़े मूल में से छोटे मूल को घटाएँ। / Factoring gives \((3x-8)(x-2)=0\), so the roots are \(x=\frac{8}{3}\) and \(x=2\). Therefore, their absolute difference is \(\left|\frac{8}{3}-2\right|=\frac{2}{3}\). Exam tip: when the difference between roots is asked, use the larger root minus the smaller root unless an order is explicitly specified.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विवेचक \(\Delta=b^2-4ac\) होता है। विकल्प A में \(a=1, b=1, c=6\), इसलिए \(\Delta=1^2-4(1)(6)=1-24=-23\)। विकल्प B का विवेचक \(32\), विकल्प C का \(-15\) और विकल्प D का \(-19\) है। परीक्षा में पहले \(a,b,c\) पहचानकर \(b^2-4ac\) में पूरे \(4ac\) को घटाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac\). In option A, \(a=1, b=1, c=6\), so \(\Delta=1^2-4(1)(6)=1-24=-23\). The discriminants of options B, C and D are \(32\), \(-15\) and \(-19\), respectively. In an exam, identify \(a,b,c\) first and subtract the complete term \(4ac\) from \(b^2\).
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के मूलों का योग \\( -b/a \\) और गुणनफल \\(c/a\\) होता है। यहाँ \\(a=1,b=-5,c=2\\) हैं, इसलिए \\(\\alpha+\\beta=5\\) और \\(\\alpha\\beta=2\\)। अतः \\(\\alpha+\\beta+2\\alpha\\beta=5+2(2)=9\\)। परीक्षा-युक्ति: मूलों के अलग-अलग मान ज्ञात करने के बजाय सीधे योग और गुणनफल के सूत्र लगाएँ। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the sum of the roots is \\( -b/a \\) and their product is \\(c/a\\). Here, \\(a=1,b=-5,c=2\\), so \\(\\alpha+\\beta=5\\) and \\(\\alpha\\beta=2\\). Therefore, \\(\\alpha+\\beta+2\\alpha\\beta=5+2(2)=9\\). Exam tip: use the sum and product of roots directly instead of solving for the individual roots.
मूल \(x=-2\) होने पर इसे समीकरण में रखने पर \((-2)^2+(3k+1)(-2)+2k=0\) मिलता है। अतः \(4-6k-2+2k=0\), यानी \(2-4k=0\), जिससे \(k=\frac{1}{2}\) प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, \(k=-\frac{1}{2}\) रखने पर समीकरण का मान शून्य नहीं आता। परीक्षा-युक्ति: किसी दिए गए मूल के लिए उसे सीधे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें। / Since \(x=-2\) is a root, substitute it into the equation: \((-2)^2+(3k+1)(-2)+2k=0\). This gives \(4-6k-2+2k=0\), so \(2-4k=0\) and hence \(k=\frac{1}{2}\). The nearby distractor \(k=-\frac{1}{2}\) does not make the equation equal to zero. Exam tip: when a root is given, substitute it directly into the polynomial equation.
किसी समीकरण का मूल रखने पर समीकरण सत्य होता है। \(x=4\) रखने पर \(4^2+4s-32=0\), अर्थात \(16+4s-32=0\) मिलता है। इसलिए \(4s=16\) और \(s=4\)। \(-4\) लेने पर समीकरण संतुष्ट नहीं होता। परीक्षा टिप: दिए गए मूल को सीधे समीकरण में रखकर अज्ञात गुणांक ज्ञात करें। / A root makes the equation equal to zero. Substituting \(x=4\) gives \(4^2+4s-32=0\), or \(16+4s-32=0\). Hence, \(4s=16\), so \(s=4\). The value \(-4\) does not satisfy the equation for \(x=4\). Exam tip: Substitute the given root directly into the equation to find an unknown coefficient.
8 और 9 का योग \(8+9=17\) तथा गुणनफल \(8\times9=72\) है। इसलिए \(x^2-17x+72=(x-8)(x-9)\) होगा। 6 और 12 का गुणनफल 72 है, लेकिन उनका योग केवल 18 है, इसलिए वह सही जोड़ी नहीं है। परीक्षा टिप: \(x^2+bx+c\) के गुणनखंड के लिए ऐसी दो संख्याएँ चुनें जिनका योग \(b\) और गुणनफल \(c\) हो। / The numbers 8 and 9 have sum \(8+9=17\) and product \(8\times9=72\). Hence, \(x^2-17x+72=(x-8)(x-9)\). Although 6 and 12 have product 72, their sum is 18, so they do not work. Exam tip: For \(x^2+bx+c\), look for two numbers whose sum is \(b\) and whose product is \(c\).
पहला चरण: \((x+4)^2 = x^2+8x+16\) और \(-3(x+4) = -3x-12\)। इन्हें और -10 को जोड़ने पर: \(x^2+8x+16-3x-12-10 = x^2+(8x-3x)+(16-12-10) = x^2+5x-6\)। इसलिए सही समीकरण \(x^2+5x-6=0\) है। नज़दीकी भ्रम (विकल्प C): \(x^2+5x+6=0\) में स्थिर पद का साइन गलत है — यह 16-12-10 के योग का गलत परिणाम है. परीक्षा टिप: पहले ब्रोकेट खोलकर समान पद \(x^2, x और स्थिर\) अलग-अलग जोड़ें, ताकि साइन की गलती न हो। / Expand terms: \((x+4)^2 = x^2+8x+16\) and \(-3(x+4) = -3x-12\). Adding these and \(-10\) gives \(x^2+8x+16-3x-12-10 = x^2+(8x-3x)+(16-12-10) = x^2+5x-6\). Thus the quadratic is \(x^2+5x-6=0\). Closest distractor (option C) has the constant term sign reversed — a typical error from mishandling the constant terms. Exam tip: always expand brackets first and then combine like terms separately to avoid sign mistakes.
मूलों का गुणनफल सीधे दोनों मूलों का गुणा है: \\((-4)(-9)=36\\)। दोनों ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है, इसलिए सही उत्तर 36 है। सबसे नज़दीकी विचलन \\(-36\\) इसीलिए गलत है क्योंकि संकेत का उल्टा लिया गया है; \\(13\\) और \\(-13\\) मूलों के योग \\((-4)+(-9)=-13\\) से संबंधित भ्रम पैदा करते हैं। परीक्षा सुझाव: तेज जाँच के लिए पहले संकेत (positive/negative) पर ध्यान दें — दो नकारात्मक होने पर गुणनफल धनात्मक होगा। / The product of the roots is simply their multiplication: \\((-4)(-9)=36\\). The product of two negative numbers is positive, so 36 is correct. The closest distractor \\(-36\\) is wrong due to an incorrect sign; \\(13\\) and \\(-13\\) confuse product with the sum (the sum is \\(-13\\)). Exam tip: check signs first — if both roots are negative, the product is positive.
हर पद के भाजकों में 4 और 2 आते हैं; इनके LCM = 4 है। दोनों तरफ़ 4 से गुणा करने पर: \(\frac{3}{4}x^2\times4=3x^2,\; -\frac{1}{2}x\times4=-2x,\; 2\times4=8\)। इसलिए समतुल्य समीकण \(3x^2-2x+8=0\) बनता है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसने स्थिर पद को सही ढंग से 4 से गुणा नहीं किया (2 की जगह 8 होना चाहिए)। परीक्षा टिप: भिन्नांक हटाने के लिए पहले हर पद के हर भाजक का LCM निकालकर दोनों ओर उससे गुणा करें; किसी एक पद को अलग से बदलें नहीं। / Denominators 4 and 2 have LCM = 4, so multiply the entire equation by 4: \(\frac{3}{4}x^2\times4=3x^2,\; -\frac{1}{2}x\times4=-2x,\; 2\times4=8\). Thus the integer-coefficient form is \(3x^2-2x+8=0\). Option B is incorrect because the constant term was not multiplied correctly (it should become 8). Exam tip: to remove fractional coefficients, multiply the whole equation by the LCM of all denominators — do not change individual terms differently.
यदि छोटे पूर्णांक को \(x\) माना जाए तो क्रमागत पूर्णांक \(x\) और \(x+1\) होंगे। उनकी वर्गों का योग: \(x^2+(x+1)^2=145\). इसका विस्तार करें: \(x^2+x^2+2x+1=145\) यानी \(2x^2+2x+1=145\). दोनों ओर से 145 घटाने पर \(2x^2+2x-144=0\) प्राप्त होता है, जो विकल्प A है. निकटतम विचलन विकल्प B इसलिए गलत है क्योंकि वह \(+1\) को भूलकर सीधे \(2x^2+2x=145\) मान लेता; इससे स्थिर पद गलत बचता है. परीक्षा-सुझाव: समीकरण को 2 से भाग देकर \(x^2+x-72=0\) बनाकर फैक्टर करें — \((x+9)(x-8)=0\) से धनात्मक हल \(x=8\) मिलेगा। / Take the smaller integer as \(x\); the two consecutive integers are \(x\) and \(x+1\). Their squares sum to \(x^2+(x+1)^2=145\). Expanding gives \(x^2+x^2+2x+1=145\) or \(2x^2+2x+1=145\). Subtracting 145 yields \(2x^2+2x-144=0\), which is option A. The closest distractor, B, is wrong because it ignores the \(+1\) from \((x+1)^2\) and thus miscalculates the constant term. Exam tip: divide the equation by 2 to get \(x^2+x-72=0\), factor to \((x+9)(x-8)=0\) and choose the positive root \(x=8\).
वाक्य का अर्थ है: "x-2 में से 9x घटाएँ और परिणाम 36 है", यानी \(x^2-9x=36\). सभी पद एक ओर लाने पर \(x^2-9x-36=0\) मिलता है, जो विकल्प A है. विकल्प B तब गलत है जब आपने घटाने को जोड़ने समझ लिया (9x का संकेत उल्टा किया गया)। विकल्प C में x-2 का गुणांक बदल गया है और विकल्प D में संख्याएँ (9 और 36) और पदों की भूमिका बदल दी गई है—दोनों मूल वाक्य का सही रूप नहीं दर्शाते। परीक्षा-टिप: शब्दों को चरणबद्ध रूप से अलजेब्रा में बदलें (पहले बराबरी लिखें, फिर सभी पद एक तरफ लेकर \(=0\) पर लाएँ)। / The sentence means "subtract 9x from x-2 and the result is 36", so it gives \(x^2-9x=36\). Moving all terms to one side yields \(x^2-9x-36=0\), which is option A. Option B is wrong because it has the wrong sign on the linear term (it treats subtraction as addition). Option C wrongly changes the coefficient of \(x^2\), and option D swaps the numeric roles of 9 and 36; neither matches the given statement. Exam tip: translate the sentence into an equation step by step, then bring all terms to one side to form a standard quadratic equal to zero.
मोनिक का अर्थ है कि चर का गुणांक 1 है। यदि मूल \(-5\) और \(4\) हैं तो बहुपद के गुणनखंड \((x+5)\) और \((x-4)\) होंगे। इन्हें गुणा करने पर \((x+5)(x-4)=x^2+x-20)\) मिलता है, इसलिए मोनिक द्विघात समीकरण \(x^2+x-20=0\) होगा। विकल्प B सबसे नज़दीकी भ्रम है — वहाँ मध्य पद का संकेत उल्टा है; वास्तविक मूलों का योग \(-5+4=-1\) है, इसलिए मध्य पद का गुणांक \(-\text{(योग)}=1\) होना चाहिए, न कि \(-1\)। परीक्षात्मक टिप: मोनिक द्विघात के लिए सीधे फॉर्मूला याद रखें: \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)। / Monic means the coefficient of \(x^2\) is 1. For roots \(-5\) and \(4\) the factors are \((x+5)\) and \((x-4)\). Multiplying gives \((x+5)(x-4)=x^2+x-20\), so the monic quadratic is \(x^2+x-20=0\). The closest distractor is B, which has the wrong sign on the middle term; since the sum of the roots is \(-1\), the middle coefficient must be \(-\text{(sum) }=1\), not \(-1\). Exam tip: For roots \(\alpha,\beta\) use \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) to write the monic equation quickly.
विवेचक को परिभाषित किया जाता है: \(D=b^2-4ac\). यहाँ \(a=4,\; b=1,\; c=6\)। अतः \(D=1^2-4\cdot4\cdot6=1-96=-95\)। क्योंकि \(D<0\), विवेचक ऋणात्मक है और समीकरण की वास्तविक जड़ें नहीं हैं (जड़ें समिश्र संख्याएँ होंगी)। निकटतम विचलक शून्य (B) इसलिए गलत है क्योंकि शून्य होने के लिए \(b^2=4ac\) होना आवश्यक है, पर यहाँ \(1\neq96\)। परीक्षा टिप: \(4ac\) का गुणन सावधानी से करें और गुणन चिह्न/लक्ष्यांक पर ध्यान रखें। / The discriminant is given by \(D=b^2-4ac\). Here \(a=4,\; b=1,\; c=6\). So \(D=1^2-4\cdot4\cdot6=1-96=-95\). Since \(D<0\), the discriminant is negative; the equation has no real roots (roots are complex). The closest distractor 'zero' is wrong because that would require \(b^2=4ac\), which is not true here. Exam tip: compute \(4ac\) carefully and watch signs to avoid arithmetic errors.
विवेचक का सूत्र \(D=b^2-4ac\) है। यहाँ \(a=25,\; b=-20,\; c=4\) इसलिए \(D=(-20)^2-4\cdot25\cdot4=400-400=0\)। \(D=0\) का अर्थ है कि समीकरण के दो वास्तविक और समान मूल हैं (दोहराये हुए मूल)। निकट का प्रतिद्वंद्वी विकल्प \(400\) इसीलिए गलत है क्योंकि वह केवल \(b^2\) है; विवेचक निकालने के लिए \(4ac\) घटाना आवश्यक है। विकल्प \(100\) आम गणना त्रुटि है (गलत तरीके से \(4ac\) की गणना करने पर आता है) और \(-20\) सही संकेत/मूल्यों के गलत उपयोग का परिणाम है। परीक्षा-सुझाव: तेज जांच के लिये देखें कि क्या त्रिघात एक पूर्ण वर्ग है — यहाँ \(25x^2-20x+4=(5x-2)^2\) होने से तुरंत पता चलता है कि \(D=0\)। / Use the discriminant formula \(D=b^2-4ac\). Here \(a=25,\; b=-20,\; c=4\), so \(D=(-20)^2-4\cdot25\cdot4=400-400=0\). \(D=0\) means the quadratic has two real and equal roots (a repeated root). The distractor 400 is incorrect because it is just \(b^2\) without subtracting \(4ac\). Option 100 arises from a common arithmetic mistake in computing \(4ac\), and \(-20\) comes from sign or substitution errors. Exam tip: check for a perfect square trinomial — here \(25x^2-20x+4=(5x-2)^2\), which immediately shows \(D=0\).
पहले बाएँ भाग का विस्तार करें: \((x-6)^2 = x^2 - 12x + 36\). अब दाएँ भाग \(4x+5\) को बाएँ भाग में ले जाकर घटाएँ: \(x^2-12x+36-(4x+5)=x^2-16x+31\). इसलिए मानक रूप \(x^2-16x+31=0\) है। निकटभ्रामक विकल्प C (\(x^2-12x+41=0\)) में मध्यवर्ती पद का मान सही है पर स्थिर पद गलत है — यह तब होता है जब स्थिर पद की घटाकर-समीक्षा में अंक गलती हो। परीक्षा-सुझाव: सभी पदों को एक तरफ लाकर समान प्रकार के पद जोड़ें/घटाएँ और अंक पर विशेष ध्यान दें। / Expand the left side: \((x-6)^2 = x^2 - 12x + 36\). Move the right side \(4x+5\) to the left and combine like terms: \(x^2-12x+36-(4x+5)=x^2-16x+31\). Thus the standard form is \(x^2-16x+31=0\). The closest distractor C (\(x^2-12x+41=0\)) keeps the middle term but has an incorrect constant — a typical arithmetic slip when subtracting the constant. Exam tip: always bring all terms to one side and simplify carefully, checking signs and arithmetic.
यहाँ गुणांक हैं: \(a=6,\; b=-13,\; c=5\)। अब \(2a+b-c=2\times6+(-13)-5=12-13-5=-6\)। विकल्प B (4) गलत है क्योंकि वहाँ संभवतः \(c\) का चिह्न उल्टा लिया गया हो: यदि गलत तरीके से \(+5\) को जोड़ दिया जाए तो परिणाम 4 आ जाता है। परीक्षा सुझाव: पहले स्पष्ट रूप से \(a,b,c\) के मान लिखें और संकेतों (signs) का ध्यान रखें। / The coefficients are \(a=6,\; b=-13,\; c=5\). So \(2a+b-c=2\times6+(-13)-5=12-13-5=-6\). Option B (4) is a common mistake if the sign of \(c\) is handled incorrectly (adding instead of subtracting). Exam tip: always write down the values of \(a,b,c\) first and track plus/minus signs carefully when substituting.
वर्ग की भुजा x होने पर उसका क्षेत्रफल \(x^2\) होता है। प्रश्न कहता है कि यह क्षेत्रफल भुजा के 8 गुणे से 15 अधिक है, यानी \(x^2=8x+15\)। इसे बाएँ पर ला कर शून्य के बराबर किया जाए तो \(x^2-8x-15=0\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। निकटवर्ती भ्रामक उत्तर C केवल संख्याएँ बदल देता है (8 और 15 का स्थान बदलना) इसलिए गलत है; B का संकेत चिह्न (+) दोनों पदों के लिए गलत संकेत दर्शाता। परीक्षा-सुझाव: समीकरण बनाते समय पहले हमेशा वास्तविक परिमाण (यहाँ क्षेत्रफल = \(x^2\)) लिखें और फिर दिए हुए वाक्य को बराबरी के रूप में आके पर रखें। / For a square with side x the area is \(x^2\). The statement says the area is 15 more than 8 times the side, so \(x^2=8x+15\). Bringing all terms to one side gives \(x^2-8x-15=0\), so option A is correct. Distractors fail for clear reasons: C swaps the coefficients (places 15 with 8) and thus misrepresents the given relation; B has wrong signs (+) so it does not match the sentence. Exam tip: Always translate the English sentence into a mathematical equality (area = ...) before rearranging to standard quadratic form.
क्वाड्रेटिक समीकरण के सामान्य रूप \(ax^2+bx+c=0\) में b वह गुणांक है जो x के साथ जुड़ा होता है। दिए गए समीकरण \(x^2-4\sqrt{2}x+8=0\) में x के साथ लगा गुणांक \(-4\sqrt{2}\) है, इसलिए b = \(-4\sqrt{2}\)। विकल्प B (\(4\sqrt{2}\)) निकट है पर उसका चिन्ह + है जो गलत है — गुणांक का चिन्ह अवश्य रखें। परीक्षा-सूत्र: पहले समीकरण को मानक रूप में लिखें और x वाले पद का पूरा गुणांक (संकेत सहित) ही b होता है। / In the standard quadratic form \(ax^2+bx+c=0\), b is the coefficient of x. In \(x^2-4\sqrt{2}x+8=0\) the coefficient of x is \(-4\sqrt{2}\), so b = -4\sqrt{2}. Option B (\(4\sqrt{2}\)) is the same magnitude but with the wrong sign — include the sign when identifying coefficients. Exam tip: always arrange the equation in standard form and read off a, b, c (with their signs).
छोटा पूर्णांक \(x\) और अगला \(x+1\) होगा। इसलिए \(x^2+(x+1)^2=85\)। विस्तार करने पर \(x^2+x^2+2x+1=85\) जो कि \(2x^2+2x+1-85=0\) या सरल करके \(2x^2+2x-84=0\) बनता है। विकल्प B केवल नियतांक में एक गलती है (\(-85\) होना चाहिए था \(-84\)) — यह इसलिए गलत है। विकल्प C में \(x^2\) का गुणन भूल गया गया है (दो बार होना चाहिए), और D में रैखिक पद का संकेत गलत है। परिक्षा टिप: हमेशा पहले बहुव्यंजक को फैलाकर शेष-समान को शून्य की ओर लाएँ और स्थिर पदों को जोड़ें। / If the smaller integer is \(x\), the next is \(x+1\). So set up \(x^2+(x+1)^2=85\). Expanding gives \(x^2+x^2+2x+1=85\), i.e. \(2x^2+2x+1-85=0\), which simplifies to \(2x^2+2x-84=0\). Option B is close but has the constant wrong (\(-85\) instead of \(-84\)). Option C misses the doubled \(x^2\) term; option D has the wrong sign on the linear term. Exam tip: expand carefully, bring all terms to one side and combine like terms before comparing options.
विवेचक की परिभाषा है \(D=b^2-4ac\)। यहाँ \(a=3,\; b=2,\; c=7\)। इसलिए \(D=2^2-4\cdot3\cdot7=4-84=-80\)। मान नकारात्मक है, अतः विवेचक ऋणात्मक है और समीकरण के वास्तविक मूल नहीं होते (दो जटिल-सहयोगी मूल होंगे)। विकल्प B (शून्य) गलत है क्योंकि \(D=0\) होता तो सममूल (equal real roots) मिलते; विकल्प A (धनात्मक) गलत है क्योंकि धनात्मक विवेचक से दो अलग वास्तविक मूल मिलते। परीक्षा टिप: \(b^2\) और \(4ac\) अलग‑अलگ लिखकर घटाना करें ताकि हस्तक्षेप और चिन्हों की गलती न हो। / The discriminant is defined by \(D=b^2-4ac\). Here \(a=3,\; b=2,\; c=7\). So \(D=2^2-4\cdot3\cdot7=4-84=-80\). The value is negative, so the discriminant is negative and the quadratic has no real roots (two complex conjugate roots). Option B (zero) is wrong because \(D=0\) would give equal real roots; option A (positive) is wrong because a positive discriminant yields two distinct real roots. Exam tip: compute \(b^2\) and \(4ac\) separately to avoid sign or multiplication errors.
विवेचक की परिभाषा है \(D=b^2-4ac\)। यहाँ \(a=9,\; b=-12,\; c=4\)। इसलिए \(D=(-12)^2-4\cdot9\cdot4=144-144=0\)। विकल्प (B) केवल \(b^2\) है और यह भ्रामक हो सकता है जब \(4ac\) घटाना भूल जाएँ। विकल्प (C) गलत है क्योंकि \((-12)^2\) को कभी भी नकारात्मक नहीं लिया जाता; यह 144 है न कि -144। परिक्षा-टिप: हमेशा पहले \(a, b, c\) निर्धारित करें और फिर ही \(b^2-4ac\) लगाएँ। / The discriminant is given by \(D=b^2-4ac\). Here \(a=9,\; b=-12,\; c=4\). Thus \(D=(-12)^2-4\cdot9\cdot4=144-144=0\). Option B mistakenly gives only \(b^2\) (144) without subtracting \(4ac\). Option C arises from incorrectly treating \((-12)^2\) as -144; squaring a negative yields a positive. Exam tip: identify \(a,b,c\) first, then compute \(b^2-4ac\) carefully.
यदि \(x=3\) समीकरण का मूल है तो उसे समीकरण में रखकर हल करें: \(2(3)^2+q(3)-15=0\) ⇒ \(18+3q-15=0\) ⇒ \(3+3q=0\) ⇒ \(q=-1\)। विकल्प A (1) सामान्य गणनात्मक चूक से आता है यदि संकेत बदल दिए जाएं; विकल्प C और D गलत अरिथमेटिक या संकेत गलती के कारण हैं। परीक्षा सलाह: दिए हुए मूल को सीधे समीकरण में रखें और जोड़/घटाना ध्यान से करें। / Substitute the given root into the equation: \(2(3)^2+q(3)-15=0\) ⇒ \(18+3q-15=0\) ⇒ \(3+3q=0\) ⇒ \(q=-1\). Option A (1) often arises from a sign mistake when moving terms; options C and D come from arithmetic or sign errors. Exam tip: always substitute the root first and simplify step by step, checking basic addition/subtraction carefully.
मानक रूप ax-2 + bx + c = 0 से यहाँ a = -4, b = 6, c = -9 हैं। इसलिए a - b + c = (-4) - 6 + (-9) = -4 - 6 - 9 = -19। विकल्प D (-7) अक्सर एक सामान्य गलती से आता है जब कोई विद्यार्थी सभी गुणांकों को जोड़ देता है (a + b + c = -4 + 6 - 9 = -7) — यह सवाल में मांगे हुए a - b + c को ठीक से नहीं दर्शाता। परीक्षा सुझाव: हमेशा कोइफ़िशिएंट्स को उनके संकेतों सहित लिखें और सीधे ax-2 + bx + c के साथ तुलना कर लें। / Using the standard form ax-2 + bx + c = 0, the coefficients are a = -4, b = 6, c = -9. Compute a - b + c = (-4) - 6 + (-9) = -19. The choice -7 commonly results from mistakenly calculating a + b + c instead of a - b + c. Exam tip: write down a, b, c with their signs before substituting to avoid sign errors.
