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दिए गए द्विघात को गुणनखंडित करने पर \(4x^2-17x+4=(4x-1)(x-4)\) प्राप्त होता है। अतः \(4x-1=0\) से \(x=\frac{1}{4}\) और \(x-4=0\) से \(x=4\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D के मूलों का योग और गुणनफल इस समीकरण के आवश्यक मानों से मेल नहीं खाते। परीक्षा-युक्ति: मूलों की जाँच के लिए उनका योग \(\frac{17}{4}\) और गुणनफल \(1\) होना चाहिए। / Factoring the quadratic gives \(4x^2-17x+4=(4x-1)(x-4)\). Thus, \(4x-1=0\) gives \(x=\frac{1}{4}\), and \(x-4=0\) gives \(x=4\). Therefore, option A is correct. The values in option D do not have the required sum and product for the roots. Exam tip: verify the roots using their sum \(\frac{17}{4}\) and product \(1\).
\(q(t)=0\) का अर्थ है कि \(q(x)\) में \(x=t\) रखने पर समीकरण सत्य हो जाता है। इसलिए \(t\) उस द्विघात समीकरण का मूल कहलाता है। घात बहुपद की उच्चतम घात होती है, जबकि अचर पद और गुणांक समीकरण के पदों से संबंधित होते हैं। परीक्षा-टिप: किसी समीकरण \(q(x)=0\) का मूल जाँचने के लिए उस मान को \(x\) के स्थान पर रखकर देखें कि \(q(x)=0\) मिलता है या नहीं। / The condition \(q(t)=0\) means that substituting \(x=t\) into \(q(x)\) makes the equation true. Therefore, \(t\) is called a root of the quadratic equation. The degree is the highest power of the polynomial, while the constant term and coefficient are parts of its terms. Exam tip: To verify whether a number is a root of \(q(x)=0\), substitute it for \(x\) and check whether the result is zero.
क्योंकि \\(5\\) समीकरण का मूल है, इसलिए \\(x=5\\) रखने पर \\(5^2+5t-30=0\\) मिलता है। अतः \\(25+5t-30=0\\), यानी \\(5t=5\\) और \\(t=1\\)। परीक्षा में दिया हुआ मूल सीधे समीकरण में प्रतिस्थापित करें; चिन्हों पर विशेष ध्यान दें। / Since \\(5\\) is a root, substitute \\(x=5\\) into the equation: \\(5^2+5t-30=0\\). Thus, \\(25+5t-30=0\\), so \\(5t=5\\) and \\(t=1\\). In such questions, substitute the given root directly and check the signs carefully.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विभेदक का सूत्र \(D=b^2-4ac\) है। यहाँ \(a=1\), \(b=4\) और \(c=4\) हैं। इसलिए \(D=4^2-4(1)(4)=16-16=0\)। विकल्प 16 में \(4ac\) घटाना भूल गया है, जबकि ऋणात्मक चिह्न लगाने पर \(-16\) प्राप्त होगा, जो गलत है। अतः सही उत्तर 0 है और समीकरण के दोनों मूल वास्तविक तथा समान होंगे। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a\), \(b\) और \(c\) के चिह्नों सहित सही मान पहचानें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=4\), and \(c=4\). Therefore, \(D=4^2-4(1)(4)=16-16=0\). The value 16 results from forgetting to subtract \(4ac\), while -16 comes from using an incorrect sign. Thus, 0 is correct, and the equation has real and equal roots. Exam tip: identify \(a\), \(b\), and \(c\), including their signs, before substituting them into the formula.
गुणनखंड विधि से: गुणांक का गुणनफल \(a\cdot c=3\cdot 3=9\) और मध्यम पद का गुणा -10 है, इसलिए उन दो संख्याओं की तलाश करें जिनका गुणनफल 9 और योग -10 हो — वे हैं -9 और -1। अब \(3x^2-10x+3=3x^2-9x-x+3=3x(x-3)-1(x-3)=(3x-1)(x-3)\)। इसलिए मूल \(x=\frac{1}{3}\) और \(x=3\) हैं (क्रम कोई मायने नहीं रखता)। विकल्प B (1, 3) गलत है क्योंकि \(x=1\) पर बहुपद का मान \(3-10+3=-4\) होता है, न कि शून्य। परीक्षा संकेत: किसी भी द्विघात के लिए पहले \(a\cdot c\) देखें और ऐसे दो संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल \(a\cdot c\) और योग middle-coefficient हों; फिर समूहबद्ध कर के गुणा करें या सिधे क्वाड्रैटिक सूत्र से जाँच करें। / Factorization method: compute \(a\cdot c=3\cdot3=9\) and note the middle coefficient is -10, so find two numbers with product 9 and sum -10 — they are -9 and -1. Rewrite: \(3x^2-10x+3=3x^2-9x-x+3=3x(x-3)-1(x-3)=(3x-1)(x-3)\). Hence roots are \(x=\frac{1}{3}\) and \(x=3\). Option B (1, 3) is wrong because substituting \(x=1\) gives \(3-10+3=-4\), not zero. Exam tip: use the product-sum (ac method) and factor by grouping, and always verify roots by substitution or the quadratic formula if unsure.
घातांक समीकरण \(x^2=49\) को हल करने के लिए दोनों ओर का वर्गमूल लें: \(x=\pm\sqrt{49}=\pm7\)। इसलिए मूल होंगे (7) और (-7)। विकल्प B गलत है क्योंकि केवल धनात्मक मान लेना नकारात्मक मूल को नज़रअंदाज़ करना है; विकल्प C गलत है — 14 का विचार तब होता है जब कोई गलती से \(7+7\) या \(2\times7\) सोच लेता है; विकल्प D बेतुका है क्योंकि 0 और 49 से समीकरण की कोई जड़ नहीं मिलती। परीक्षा सुझाव: जब किसी सकारात्मक संख्या का वर्गमूल लेते हों तो हमेशा \(\pm\) दोनों चिन्ह याद रखें। / Solve by taking square root of both sides: \(x=\pm\sqrt{49}=\pm7\). Thus the roots are 7 and -7. Option B is wrong because it ignores the negative root; option C is wrong because 14 arises from a mistaken doubling (e.g. thinking 7+7) rather than taking the square root; option D is unrelated to solving \(x^2=49\). Exam tip: for equations of form \(x^2=a\) with \(a>0\), always include both signs \(\pm\) when writing the roots.
\(x^2+4x = x(x+4)\) है। शून्य गुणनफल नियम के अनुसार यदि उत्पाद शून्य है तो कोई भी कारक शून्य हो सकता है; अतः मूल \(x=0\) और \(x=-4\) हैं। दिए गए विकल्पों में \(-4\) मौजूद है, इसलिए यह सही उत्तर है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(4\) पर प्रतिस्थापन करने पर \(4^2+4\cdot4=16+16=32\neq0\) होता है, अतः वह मूल नहीं है। परीक्षा युक्ति: ऐसे बहुपद में सामान्य गुणक निकालकर \(x(x+4)=0\) बनाते ही दोनों मूल तुरंत मिल जाते हैं। / Factor the expression: \(x^2+4x = x(x+4)\). By the zero-product property, the roots are \(x=0\) and \(x=-4\). Among the given choices \(-4\) is present, so it is correct. For example, substituting \(x=4\) gives \(4^2+4\cdot4=16+16=32\neq0\), so 4 is not a root. Exam tip: always try factoring out the common factor first to apply the zero-product rule quickly.
समीकरण में सीधे \(x=4\) प्रतिस्थापित करें: \(16+4m-20=0\) जिससे \(4m-4=0\) और अतः \(m=1\)। नज़दीकी विचलन (\(-1\)) गलत है क्योंकि यदि \(m=-1\) होता तो एक्सप्रेशन \(16-4-20=-8\) बनता जो शून्य नहीं है। परीक्षा युक्ति: वैतात सूत्र भी उपयोगी है — यदि एक मूल 4 है तो दूसरे का मान \(-5\) होगा (कारण उत्पाद \(= -20\)) और गुणा करने पर योग \(4+(-5)=-1=-m\) से \(m=1\)। / Substitute \(x=4\) into the equation: \(16+4m-20=0\), so \(4m-4=0\) and hence \(m=1\). The nearest distractor (\(-1\)) is wrong because with \(m=-1\) the left side becomes \(16-4-20=-8\), not zero. Exam tip: you can also use Vieta — with one root 4 the other is \(-5\) (product = \(-20\)), sum = \(4+(-5)=-1=-m\) giving \(m=1\).
समीकरण को शून्य के समान कर लें: \(x^2 - 9x = 0\)। बांटकर गुणा ज्ञात करें: \(x(x-9)=0\)। शून्य-उत्पाद गुण से या तो \(x=0\) या \(x-9=0\Rightarrow x=9\)। इसलिए मूल 0 और 9 हैं। अक्सर छात्र दोनों ओर से \(x\) से भाग कर देते हैं और \(x=0\) को छोड़ देते हैं — यह गलत है। परीक्षा-सूत्र: कभी भी किसी चर से भाग करने से पहले \(x=0\) सम्भावना जाँच लें या समाधान को फैक्टर करके निकालें। / Write the equation as \(x^2-9x=0\) and factor: \(x(x-9)=0\). By the zero-product property either \(x=0\) or \(x-9=0\Rightarrow x=9\). Hence the roots are 0 and 9. A common mistake is dividing both sides by \(x\), which loses the root \(x=0\). Exam tip: bring to standard form and factor, or if you divide by a variable, always check for the lost zero root.
डिस्क्रिमिनेंट D का चिन्ह मूलों की प्रकृति निर्धारित करता है। यदि \(D<0\) होता है तो \(\sqrt{D}\) वास्तविक नहीं होता, इसलिए समीकरण के मूल जटिल संघमित (complex conjugate) होते हैं और वास्तविक मूल नहीं होते। दूसरी ओर \(D>0\) पर दो विभिन्न वास्तविक मूल और \(D=0\) पर एक समान (दोहरा) वास्तविक मूल होता है, इसलिए ये विकल्प गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: जल्दी निर्णय के लिए केवल \(b^2-4ac\) की संख्यात्मक मान की संख्या-रेखा पर त्वरित जाँच करें — ऋणात्मक होने पर तुरंत उत्तर तय करें। / The sign of the discriminant D determines the nature of the roots. When \(D<0\) the quantity \(\sqrt{D}\) is not real, so the roots are complex conjugates and there are no real roots. If \(D>0\) there are two distinct real roots, and if \(D=0\) there is one repeated real root; thus those options are incorrect. Exam tip: compute \(b^2-4ac\) quickly — if it is negative you can immediately conclude there are no real roots.
दिए गए मूल को समीकरण में रखें: जब \(x=2\) तो \(4+2q-10=0\) अर्थात् \(2q-6=0\)। इससे \(q=3\) प्राप्त होता है। विकल्प A, C, D गलत हैं क्योंकि वे उपरोक्त सरल गुणन और घटाव से प्राप्त परिणाम से मेल नही खाते — उदाहरण के लिए यदि \(q=2\) रखते तो शेष पद \(2q-6\) शून्य नहीं होगा। परीक्षा युक्ति: किसी भी दिए गए मूल को सीधे समीकरण में स्थानापन्न करके सरल रैखिक समीकरण प्राप्त करें और उसे हल करें। / Substitute the given root into the equation: with \(x=2\) we get \(4+2q-10=0\), i.e. \(2q-6=0\). Hence \(q=3\). Options A, C and D are incorrect because they do not satisfy the resulting equation (for example, \(q=2\) gives \(2q-6\neq0\)). Exam tip: always substitute the known root into the quadratic and solve the resulting linear equation for the parameter.
यदि दो मूल α और β हों और उनका योग α+β = 5 दिया है तथा एक मूल α = 2 दिया है, तो दूसरा β = 5−2 = 3. विकल्प A गलत है क्योंकि दोनों मूल 2 माने तो योग 4 होगा; विकल्प C और D भी गलत हैं क्योंकि वे दिए गए योग 5 के साथ मेल नहीं खाते। परीक्षा टिप: हमेशा दिए हुए योग में से ज्ञात मूल घटा कर जांचें। / Let the roots be α and β with α+β = 5, and suppose one root α = 2. Then the other root is β = 5−2 = 3. Option A is wrong because if both roots were 2 the sum would be 4; options C and D do not satisfy the given sum 5. Exam tip: subtract the known root from the total sum and verify by adding the two roots.
समीकरण को सामान्य गुणनखंड के रूप में लिखें: \(3x^2-12x=3x(x-4)\). किसी गुणनखंड का शून्य तब होता है जब कोई एक कारक शून्य हो, इसलिए \(3x=0\) से \(x=0\) और \(x-4=0\) से \(x=4\)। अतः मूल 0 और 4 हैं। सबसे नज़दीकी ग़लत विकल्प B (3 और 4) इसलिए गलत है क्योंकि \(x=3\) रखने पर अभिव्यक्ति \(3(3)^2-12(3)=27-36=-9\) शून्य नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी द्विघात में पहले सामान्य गुणनखंड बाहर निकालें; अगर आपने किसी चरण में विभाजन से x निकाल दिया है तो x=0 की संभावना अलग से जाँचे। / Factor the left side: \(3x^2-12x=3x(x-4)\). A product is zero when one factor is zero, so \(3x=0\) gives \(x=0\) and \(x-4=0\) gives \(x=4\). Hence the roots are 0 and 4. The closest distractor B (3 and 4) is wrong because substituting \(x=3\) yields \(3(3)^2-12(3)=27-36=-9\), not zero. Exam tip: always factor out the common factor first; if you divide by x, check x=0 separately.
मूल को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: \(x=3\) देने पर \(3^2+ p\cdot3-6=0\) अर्थात् \(9+3p-6=0\) ⇒ \(3+3p=0\) ⇒ \(3p=-3\) ⇒ \(p=-1\)। सबसे पास की ग़लत विकल्प (1) तब बन सकता है जब योग या ऋणात्मक चिह्नों की गलत व्याख्या हो; इसलिए संकेतों और अंकगणित की जाँच करें। परीक्षा-टिप: किसी पैरामीटर के लिए मूल मिलने पर सीधे उस मूल को रखें और ध्यान से सरल करें। / Substitute the root into the equation: with \(x=3\) we get \(3^2+3p-6=0\), so \(9+3p-6=0\) ⇒ \(3+3p=0\) ⇒ \(p=-1\). A common wrong choice (1) comes from an arithmetic or sign mistake when simplifying; check signs carefully. Exam tip: always substitute the given root directly and simplify step by step to avoid sign errors.
डिस्क्रिमिनेंट की परिभाषा है \(D=b^2-4ac\)। यहाँ \(a=1,\;b=-4,\;c=4\)। अत: \(D=(-4)^2-4\times1\times4=16-16=0\)। इसलिए \(D=0\) और द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान (दोहराए गए) होंगे। विकल्प A (4) गलत है क्योंकि सही घटा-भाग करने पर मान 0 आता है, न कि 4। परीक्षा टिप: सबसे पहले स्पष्ट रूप से \(a,b,c\) लिखें और फिर ही \(b^2-4ac\) में स्थानापन्न करें। / Discriminant is defined by \(D=b^2-4ac\). Here \(a=1,\;b=-4,\;c=4\). Thus \(D=(-4)^2-4\times1\times4=16-16=0\). So the discriminant is 0 and the quadratic has equal (repeated) roots. Option A (4) is incorrect because correct substitution and arithmetic give 0, not 4. Exam tip: always list values of \(a,b,c\) explicitly before computing \(b^2-4ac\) to avoid sign or multiplication mistakes.
डिस्क्रिमिनेंट को परिभाषित किया जाता है \\(D = b^2 - 4ac\\)। यदि द्विघात समीकरण के दो समान (दोहरे) वास्तविक मूल हों तो \\(D=0\\) होता है और मूल की मान \\(-\frac{b}{2a}\\) होता है। नजदीकी भ्रामक विकल्प A (\\(D>0\\)) गलत है क्योंकि उस स्थिति में दो पृथक वास्तविक मूल होंगे; C (\\(D<0\\)) गलत है क्योंकि वहाँ मूल सम्मिश्र (complex) होते हैं; D (\\(D=1\\)) केवल एक विशिष्ट संख्या है और समान मूल होने के लिए आवश्यक नहीं है। परीक्षा सलाह: किसी भी क्वाड्रैटिक में पहले \\(D=b^2-4ac\\) निकालें और उसे 0 से तुलना करें। / The discriminant is defined by \(D = b^2 - 4ac\). Two equal (repeated) real roots occur exactly when \(D = 0\); the repeated root is \(-b/(2a)\). The closest distractor A (D > 0) is wrong because that case gives two distinct real roots; C (D < 0) gives complex conjugate roots; D (D = 1) is just a specific value and does not generally imply equal roots. Exam tip: always compute \(D=b^2-4ac\) and compare with zero to determine the nature of roots quickly.
विकेटा के अनुसार एक घनत्वीय द्विघात समीकरण \(x^2+px+q=0\) में मूलों का योग \(-p\) होता है। दिए गए मूलों का योग \((p+2)+(q-2)=p+q=8\) है, अतः \(-p=8\) और इसलिए \(p=-8\)। जाँच करने पर गुणनफल की शर्त \((p+2)(q-2)=q\) के साथ यह डेटा असंगत निकलता है: \(p=-8\) व \(q=16\) लेने पर बाएँ ओर \(-84\) मिलता है जो \(q=16\) से मेल नहीं खाता। पर प्रश्न सीधे योग से \(p\) पूछ रहा है, अतः उत्तर \(-8\) है। परीक्षा-सुझाव: हमेशा योग और गुणनफल दोनों की जाँच करें; साइन में गलती होने पर अक्सर विरोधी विकल्प \(8\) जैसा मिलेगा। / By Vieta's relations for \(x^2+px+q=0\), the sum of roots equals \(-p\). The given roots sum to \((p+2)+(q-2)=p+q=8\), so \(-p=8\) and hence \(p=-8\). Note: checking the product condition \((p+2)(q-2)=q\) with \(p=-8\) (so \(q=16\)) gives \(-84\neq16\), so the full set of data is inconsistent; nevertheless the value of \(p\) is determined by the sum relation asked in the question. Exam tip: check both sum and product; a common mistake is to miss the negative sign and pick \(8\).
समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: \(x^2-2ax+a^2-49=(x-a)^2-49=0\). अतः \((x-a)^2=49\) से दोनों मूल \(a+7\) और \(a-7\) होंगे। इन दोनों का अंतर \((a+7)-(a-7)=14\) है। विकल्प (B)‑ 7 इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल अंकात्मक अंतर का आधा है; विकल्प (C)‑ 2a और (D)‑ a+7 भी गलत हैं — (C) को मूलों के योग या गुणनफल से गलत निहितार्थ जोड़ा गया है और (D) एक मात्र एक मूल है, अंतर नहीं। परीक्षा-सुझाव: कभी भी द्विघात में समान रूप से व्यवस्थित सदस्य दिखें तो पहले पूर्ण वर्ग बनाने की कोशिश करें — इससे मूल सरलता से मिल जाते हैं। / Complete the square: \(x^2-2ax+a^2-49=(x-a)^2-49=0\). So \((x-a)^2=49\) and the roots are \(a+7\) and \(a-7\). Their difference is \((a+7)-(a-7)=14\). Option B (7) is incorrect — it is half the actual difference. Option C (2a) is unrelated to the difference here (it would be a mistaken use of coefficients), and option D (a+7) is just one root, not the difference. Exam tip: try completing the square or factor as \((x-a-7)(x-a+7)=0\) to read off roots quickly.
सामान्य द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\) और गुणनफल \(\alpha\beta=\dfrac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1,\; b=-19,\; c=84\) है, इसलिए \(\alpha+\beta=-\dfrac{-19}{1}=19\)। अतः \((\alpha+\beta)^2=19^2=361\)। विकल्प B (84) वास्तव में मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta\) है, न कि योग का वर्ग। विकल्प C (256) और D (324) क्रमशः \(16^2\) और \(18^2\) हैं — ये गलत हैं क्योंकि मूलों का योग 16 या 18 नहीं है। परीक्षात्मक टिप: हमेशा पहले \(a,b,c\) पहचान कर \(\alpha+\beta=-b/a\) और \(\alpha\beta=c/a\) लिखें; बाईनरी संकेत (sign) पर विशेष ध्यान दें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the sum of roots is \(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\) and the product is \(\alpha\beta=\dfrac{c}{a}\). In this equation \(a=1,\; b=-19,\; c=84\), so \(\alpha+\beta=-\dfrac{-19}{1}=19\). Therefore \((\alpha+\beta)^2=19^2=361\). Option B (84) is the product \(\alpha\beta\), not the square of the sum. Options C (256) and D (324) are \(16^2\) and \(18^2\) respectively and are incorrect because the sum is 19, not 16 or 18. Exam tip: identify \(a,b,c\) quickly and use \(\alpha+\beta=-b/a\); watch the sign of \(b\).
त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र है \(\frac{1}{2}\times\text{आधार}\times\text{ऊँचाई}\)। अतः \(\frac{1}{2}(x+5)(x+9)=95\)। दोनों ओर को 2 से गुणा करने पर \((x+5)(x+9)=190\) मिलता है। विस्तार करने पर \(x^2+14x+45=190\) और सरल करने पर \(x^2+14x-145=0\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलती से क्षेत्रफल को सीधे \((x+5)(x+9)=95\) मानता है, जो आधा हटाने में त्रुटि है; विकल्प C और D में स्थायी पद गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: हमेशा क्षेत्रफल का सूत्र लिखकर दोनों طرفों को 2 से गुणा करें ताकि सरल द्विघात समीकरण बन जाए। / Area of the triangle is given by \(\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{height}\). So \(\frac{1}{2}(x+5)(x+9)=95\). Multiplying both sides by 2 gives \((x+5)(x+9)=190\). Expanding yields \(x^2+14x+45=190\), which simplifies to \(x^2+14x-145=0\); hence option A is correct. Option B is the common mistake of setting \((x+5)(x+9)=95\) (forgetting the factor 1/2). Options C and D have incorrect constant terms. Exam tip: write the area formula first and multiply by 2 immediately to avoid sign/constant errors when forming the quadratic.
विएटा के अनुसार किसी द्विघात समीकरण \(x^2-20x+96=0\) के लिए \(\alpha+\beta=20\) और \(\alpha\beta=96\) होगा। इसलिए
\((\alpha-8)(\beta-8)=\alpha\beta-8(\alpha+\beta)+64=96-8\times20+64=96-160+64=0\).
गलत विकल्पों पर टिप्पणी: 96 इसीलिए भ्रमित कर देता है क्योंकि यह सीधे \(\alpha\beta\) का मान है, न कि शिफ्ट किए हुए रूप का; -64 तब आ सकता है जब +64 की जगह -64 लगा दिया जाए (संकेत त्रुटि)। परीक्षा सुझाव: पहले \(\alpha+\beta\) और \(\alpha\beta\) निकाले और फिर व्यंजक को सामान्य रूप में फैल करें, इससे गलतियाँ कम होंगी। / By Vieta's formulas for \(x^2-20x+96=0\), we have \(\alpha+\beta=20\) and \(\alpha\beta=96\). Thus
\((\alpha-8)(\beta-8)=\alpha\beta-8(\alpha+\beta)+64=96-8\times20+64=96-160+64=0.\)
Notes on distractors: 96 is a common mistake from taking \(\alpha\beta\) directly; -64 can arise from a sign error when handling the constant term. Exam tip: Always compute sum and product of roots first (Vieta) and then substitute into the expanded expression to avoid algebraic slips.
समीकरण \(x^2-9x+4=0\) में मान लें कि \(a=1,\;b=-9,\;c=4\)। Viète के सूत्र के अनुसार \(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}=9\) और \(\alpha\beta=\dfrac{c}{a}=4\)। अतः \(\alpha+\beta+5\alpha\beta=9+5\times4=9+20=29\)। विकल्प B (13) इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल \(\alpha+\beta+\alpha\beta=9+4\) मानता है, जबकि हमें \(5\alpha\beta\) जोड़ना है; विकल्प C (20) केवल \(5\alpha\beta\) है और विकल्प D (36) है \((\alpha+\beta)(\alpha\beta)=9\times4\) — ये सभी प्रश्न की माँग से भिन्न हैं। परीक्षा टिप: किसी द्विघात समीकरण के लिए तुरंत Viète के सूत्र याद रखें: \(\alpha+\beta=-b/a,\;\alpha\beta=c/a\)। / For \(x^2-9x+4=0\) we have \(a=1,\;b=-9,\;c=4\). By Vieta, \(\alpha+\beta=-b/a=9\) and \(\alpha\beta=c/a=4\). Therefore \(\alpha+\beta+5\alpha\beta=9+5\times4=29\). Option B (13) is wrong because it uses \(\alpha+\beta+\alpha\beta=9+4\) instead of adding \(5\alpha\beta\); option C (20) equals only \(5\alpha\beta\); option D (36) equals \((\alpha+\beta)(\alpha\beta)=9\times4\). Exam tip: apply Vieta’s formulas quickly to get sum and product of roots for any quadratic \(ax^2+bx+c=0\).
\(x=-1\) को बहुपद में रखने पर: \(1+(6k-3)(-1)+5k=0\) जो बनता है \(1-6k+3+5k=0\) यानी \(4-k=0\)। अतः \(k=4\)। विकल्प B (\(-4\)) सामान्यतः साइन की गलती से आता है; यहाँ सरल रैखिक समीकरण से स्पष्ट होता है कि उत्तर धनात्मक 4 है। परीक्षा टिप: किसी भी दिए गए मूल को सीधे बहुपद में प्रत्यक्ष प्रतिस्थापित करके संख्यात्मक अदिशों को ध्यान से जोड़ें — साइन भूलना सामान्य गलती है। / Substitute \(x=-1\): \(1+(6k-3)(-1)+5k=0\) which simplifies to \(1-6k+3+5k=0\), i.e. \(4-k=0\). Therefore \(k=4\). Option B (\(-4\)) often results from a sign error during substitution; the correct simplification yields a positive 4. Exam tip: Always substitute the root directly and simplify terms carefully, watching for sign changes when \(x\) is negative.
यह द्विघात समीकरण पूर्णवर्ग के रूप में लिखा जा सकता है: \((6x-5k)^2=0\)। वैकल्पिक रूप से डिस्क्रिमिनेंट पर देखें: \(\Delta=b^2-4ac=(-60k)^2-4\cdot36\cdot25k^2=3600k^2-3600k^2=0\)। डिस्क्रिमिनेंट शून्य होने पर दोनों मूल समान और वास्तविक होते हैं (मूल \(x=5k/6\))। विकल्प B गलत है क्योंकि वहाँ \(\Delta\neq0\) होना चाहिए; विकल्प C गलत है क्योंकि \(\Delta<0\) होना चाहिए; विकल्प D गलत है क्योंकि k के किसी भी वास्तविक मान के लिए प्रकृति तय रहती है। परीक्षा सुझाव: जल्दी पहचान के लिए पहले डिस्क्रिमिनेंट निकालें; यदि \(\Delta=0\) मिलता है तो दोनों मूल समान होते हैं। / The quadratic is a perfect square: \((6x-5k)^2=0\). Alternatively compute the discriminant: \(\Delta=b^2-4ac=(-60k)^2-4\cdot36\cdot25k^2=3600k^2-3600k^2=0\). A zero discriminant means the two roots are equal and real (root \(x=5k/6\)). Option B is wrong because that requires \(\Delta>0\); option C is wrong because that requires \(\Delta<0\); option D is wrong because the nature does not depend on a special value of k for real k — it is always equal roots. Exam tip: check the discriminant first or try factoring into a perfect square to save time.
गणितीय पहचान के अनुसार \((x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2\). दिया गया बहुपद \(x^2 + 28x + 196\) से तुलनात्मक गुणांक लेने पर \(2a = 28\) मिलता है, इसलिए \(a = 14\). साथ ही \(a^2 = 196\) भी सत्य है जब \(a = 14\). विकल्प \(-14\) को खारिज इसलिए किया जाता है क्योंकि यदि \(a = -14\) होता तो मध्य पद का गुणांक \(2a = -28\) होना चाहिए, जो दिए गए बहुपद से मेल नहीं खाता। परीक्षा सुझाव: बराबर की शक्तियों वाले पदों के गुणांक की तुलना करें — यह तेज़ और सुरक्षित तरीका है। / Using the identity \((x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2\), compare coefficients with \(x^2 + 28x + 196\). From the coefficient of \(x\) we get \(2a = 28\), so \(a = 14\). Also \(a^2 = 196\) holds for \(a=14\). The option \(-14\) is incorrect because it would give \(2a = -28\), which contradicts the given linear coefficient. Exam tip: equate coefficients of like powers of \(x\) to find unknown parameters quickly.
पहले द्विघात समीकरण \(ax^{2}+bx+c=0\) का विभेदक \(D=b^{2}-4ac\) निकालें। यहाँ \(a=7,\;b=-30,\;c=32\) तो \(D=(-30)^{2}-4\cdot7\cdot32=900-896=4\). मूलों के अंतर का रूपुला है \(|r_{1}-r_{2}|=\dfrac{\sqrt{D}}{a}\)। अतः अंतर = \(\dfrac{\sqrt{4}}{7}=\dfrac{2}{7}\)। विकल्प \(\tfrac{4}{7}\) उस त्रुटि से आता है जहाँ कोई छात्र \(\dfrac{D}{a}\) कर देता है; \(\tfrac{16}{7}\) इधर एक मूल है (\(\tfrac{16}{7}\) और \(2\) मूल हैं) पर अंतर नहीं। परीक्षा-सुझाव: सीधे विभेदक \(D\) निकालकर \(|r_{1}-r_{2}|=\sqrt{D}/|a|\) नियम याद रखें — यह समय बचाता है। / Compute the discriminant: for \(7x^{2}-30x+32=0\), \(a=7,\;b=-30,\;c=32\) so \(D=b^{2}-4ac=900-896=4\). The difference between roots equals \(|r_{1}-r_{2}|=\dfrac{\sqrt{D}}{a}\). Therefore the difference is \(\dfrac{\sqrt{4}}{7}=\dfrac{2}{7}\). Note: the option \(\tfrac{4}{7}\) results from mistakenly using \(D/a\), and \(\tfrac{16}{7}\) is one of the roots (the other root is 2), not their difference. Exam tip: use \(|r_{1}-r_{2}|=\sqrt{D}/|a|\) to get the answer quickly without finding both roots explicitly.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का गुणनफल \(c/a\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(c=7m\) होने से गुणनफल \(7m\) है। एक मूल \(7\) दिया है, इसलिए दूसरा मूल \(\dfrac{7m}{7}=m\) होगा। जाँच: मूलों का योग \( -b/a = m+7\) और \(7+m\) भी यही है, इसलिए परिणाम संगत है। नज़दीकी भ्रम (विकल्प B: \(7m\)) तब बनता है जब गुणनफल को ही मूल समझ लिया जाए — गुणनफल और मूल अलग होते हैं। परीक्षा-सुझाव: सारांश के लिए नियम याद रखें — योग = \(-b/a\), गुणनफल = \(c/a\)। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the product of roots equals \(c/a\). Here \(a=1\) and \(c=7m\), so the product is \(7m\). Given one root is 7, the other root is \(\dfrac{7m}{7}=m\). Check with the sum: sum = \(-b/a\) = \(m+7\), which matches \(7+m\). The closest distractor (option B: \(7m\)) confuses the product with a root. Exam tip: always apply sum = \(-b/a\) and product = \(c/a\), and watch the signs of coefficients.
इस समीकरण के लिए विवेक (discriminant) \(D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4\cdot1\cdot40 = 144 - 160 = -16 < 0\) है। जब \(D<0\) होता है तो द्विघात समीकरण की मूल वास्तविक नहीं होते (वे काल्पनिक युग्म होते हैं)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि समान (दोहराए गए) वास्तविक मूल तभी होंगे जब \(D=0\)। विकल्प C गलत है क्योंकि दो भिन्न वास्तविक मूल तभी होंगे जब \(D>0\)। विकल्प D भी गलत है क्योंकि मूलों का गुणनफल \(c/a = 40\) होना चाहिए न कि \(-40\)। परीक्षा टिप: सबसे पहले \(D=b^2-4ac\) की गणना करें—\(D\) का चिन्ह ही मूलों की प्रकृति तुरंत बता देता है; साथ ही गुणनफल के लिए \(c/a\) और योग के लिए \(-b/a\) याद रखें। / Compute the discriminant: \(D=b^2-4ac = (-12)^2 - 4\cdot1\cdot40 = 144 - 160 = -16 < 0\). When \(D<0\) a quadratic has no real roots (the roots are non-real complex conjugates). Thus option A is correct. Option B is wrong because equal (repeated) real roots occur only if \(D=0\). Option C is wrong because two distinct real roots require \(D>0\). Option D is wrong because the product of the roots equals \(c/a = 40\), not \(-40\). Exam tip: always evaluate \(D\) first to decide the nature of roots; use sum = \(-b/a\) and product = \(c/a\) for quick checks.
विस्मय के अनुसार, \((\alpha-8)(\beta-8)=\alpha\beta-8(\alpha+\beta)+64\)। द्विघात समीकरण \(x^2-18x+80=0\) के लिए Vieta से \(\alpha+\beta=18\) और \(\alpha\beta=80\)। अतः मान = \(80-8\times18+64=80-144+64=0\)। सबसे प्रबल भ्रांति यह होगी कि केवल \(\alpha\beta\) को ही उत्तर मान लिया जाए (80), पर वहां \(-8(\alpha+\beta)\) और \(+64\) का योगदान भी है। परीक्षा युक्ति: ऐसे विक्षेप के सवालों में सीधे Vieta के सूत्र लागू करें या \(y=x-8\) के substitution द्वारा गुणनफल खोजें। / Use the identity \((\alpha-8)(\beta-8)=\alpha\beta-8(\alpha+\beta)+64\). For \(x^2-18x+80=0\), by Vieta \(\alpha+\beta=18\) and \(\alpha\beta=80\). Therefore the value is \(80-8\times18+64=80-144+64=0\). A common mistake is to pick \(80\) (the product \(\alpha\beta\)) and ignore the linear shift terms. Exam tip: Apply Vieta's formulas directly or set \(y=x-8\) to transform the expression quickly.
विवेचक की परिभाषा है \(D=b^2-4ac\)। विकल्प A में \(a=1,\;b=1,\;c=12\) इसलिए \(D=1^2-4\cdot1\cdot12=1-48=-47\)। विकल्प D (जो निकटतम विकल्प है) के लिए \(D=(-8)^2-4\cdot1\cdot30=64-120=-56\), अतः वह -47 नहीं है। परीक्षा-सुझाव: हर समीकरण में पहले \(a, b, c\) पहचानकर सीधे \(b^2-4ac\) की गणना करें और साइन पर विशेष ध्यान दें। / Discriminant is defined by \(D=b^2-4ac\). For option A, \(a=1,\;b=1,\;c=12\), so \(D=1^2-4\cdot1\cdot12=1-48=-47\), which matches. The closest distractor, option D, gives \(D=(-8)^2-4\cdot1\cdot30=64-120=-56\), not -47. Exam tip: always identify \(a,b,c\) first and compute \(b^2-4ac\) carefully, watching signs of b and c.
