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हर में केवल (2) और (5) की घातें हैं। / The denominator has only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
दशमलव स्थानों की संख्या (4) और (n) में बड़ी घात होगी। ठीक (7) स्थानों के लिए (n=7) चाहिए। / The number of decimal places is the larger of (4) and (n). For exactly (7) places, (n=7).
Step 3
Exam Tip
ठीक शब्द आए तो बड़ी घात को बराबर मिलाइए। / When the word exactly appears, match the larger exponent carefully.
सांत दशमलव के लिए सरलतम रूप में हर में केवल (2) और (5) होने चाहिए। / For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
विकल्प (D) में हर में (3) है और \(\frac{25}{2^2\cdot 3\cdot 5}\) को सरल करने पर भी (3) बचता है। इसलिए यह सांत नहीं होगा। / In option (D), the denominator contains (3), and after reducing \(\frac{25}{2^2\cdot 3\cdot 5}\), the factor (3) remains. So it will not terminate.
Step 3
Exam Tip
विकल्प देखने से पहले संभावित कटौती भी सोचें। / Always consider possible cancellation before deciding.
\(\frac{21}{56}=\frac{3}{8}\) है। / \(\frac{21}{56}=\frac{3}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(8=2^3\) है, इसलिए हर में केवल (2) का गुणनखंड है। / The reduced denominator is \(8=2^3\), so it contains only the prime factor (2).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में मूल हर देखकर निर्णय न लें, पहले भिन्न को सरलतम रूप में बदलें। / In exams, do not decide from the original denominator; reduce the fraction first.
A. भिन्न को सरलतम रूप में बदलना/Reduce the fraction to lowest form
Step 1
Concept
नियम सरलतम रूप के हर पर लागू होता है। / The rule applies to the denominator in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
सरल किए बिना हर में अनावश्यक गुणनखंड दिख सकते हैं। / Without reducing, extra factors may appear in the denominator.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले महत्तम समापवर्तक से भिन्न घटाइए, फिर हर देखें। / In exams, reduce the fraction using the highest common factor and then check the denominator.
\(\frac{96}{450}\) को (6) से सरल करने पर \(\frac{16}{75}\) मिलता है। / \(\frac{96}{450}\) simplifies by (6) to \(\frac{16}{75}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(75=3\times5^2\), इसलिए हर में (3) बचता है और दशमलव समाप्त नहीं होगा। / Since \(75=3\times5^2\), factor (3) remains in the denominator, so the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: सरल रूप के हर में (2) और (5) के अलावा कोई गुणनखंड हो तो दशमलव आवर्ती होता है। / Exam tip: If the reduced denominator has a factor other than (2) and (5), the decimal is recurring.
\(\frac{18}{75}\) को (3) से सरल करने पर \(\frac{6}{25}\) नहीं बल्कि \(\frac{6}{25}\) मिलता है, यह समाप्त है; इसलिए इसे फिर जाँचते हैं। / \(\frac{18}{75}\) simplifies by (3) to \(\frac{6}{25}\), which is terminating, so it must be checked again.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{35}{56}=\frac{5}{8}\), \(\frac{49}{98}=\frac{1}{2}\), और \(\frac{22}{125}\) भी समाप्त हैं। / \(\frac{35}{56}=\frac{5}{8}\), \(\frac{49}{98}=\frac{1}{2}\), and \(\frac{22}{125}\) are also terminating.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: दिए गए विकल्पों में कोई असमाप्त आवर्ती नहीं है, इसलिए प्रश्न में सही उत्तर उपलब्ध नहीं होता। / Exam tip: Here no option is non-terminating recurring, so the given option set has no valid answer.
\(\frac{27}{150}\) को (3) से सरल करने पर \(\frac{9}{50}\) मिलता है। / \(\frac{27}{150}\) simplifies by (3) to \(\frac{9}{50}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(50=2\times5^2\), इसलिए हर में केवल (2) और (5) हैं। / Since \(50=2\times5^2\), the denominator has only (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: दशमलव का प्रकार बताने से पहले भिन्न को न्यूनतम रूप में जरूर लिखें। / Exam tip: Always reduce the fraction to lowest form before deciding the decimal type.
\(\frac{45}{120}\) को (15) से सरल करने पर \(\frac{3}{8}\) मिलता है। / \(\frac{45}{120}\) simplifies by (15) to \(\frac{3}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(8=2^3\), इसलिए दशमलव प्रसार समाप्त होगा। / Since \(8=2^3\), the decimal expansion is terminating.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: हर में (3) या (5) देखकर तुरंत निर्णय न लें, पहले भिन्न को सरल करें। / Exam tip: Do not decide quickly from the original denominator; reduce the fraction first.
B. \(0.\overline{09}\) के रूप में आवर्ती/Recurs as \(0.\overline{09}\)
Step 1
Concept
\(\frac{1}{11}\) सबसे सरल रूप में है। / \(\frac{1}{11}\) is in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
हर (11) में (2) या (5) नहीं है, इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / The denominator (11) is not made of (2) or (5), so the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: (0.09) और \(0.\overline{09}\) में अंतर जरूर समझें। / Exam tip: Understand the difference between (0.09) and \(0.\overline{09}\).
परिमेय संख्या का दशमलव समाप्त या आवर्ती होता है। / A rational number has a decimal that either terminates or recurs.
Step 2
Why this answer is correct
असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या के लिए संभव नहीं है। / Non-terminating non-recurring decimal expansion is not possible for a rational number.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: यह अंतर परिमेय और अपरिमेय संख्या को पहचानने में मदद करता है। / Exam tip: This difference helps identify rational and irrational numbers.
परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। / The decimal expansion of a rational number is either terminating or non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
\(0.10100100010000\ldots\) में कोई स्थायी आवृत्ति नहीं है, इसलिए यह परिमेय नहीं है। / \(0.10100100010000\ldots\) has no fixed repeating block, so it is not rational.
Step 3
Exam Tip
आवर्ती और अनावर्ती में अंतर पहचानना जरूरी है। / Learn to distinguish recurring from non-recurring decimals.
भाजक में केवल (2) का गुणनखंड है, इसलिए दशमलव विस्तार समाप्त होगा। / The denominator has only the prime factor (2), so the decimal expansion terminates.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले भिन्न को सरल रूप में देखकर भाजक के गुणनखंड जांचें। / In exams, first check the prime factors of the simplified denominator.
वेस्टफेलिया की संधि सोलह सौ अड़तालीस में हुई थी। परीक्षा में इसे आधुनिक राज्य व्यवस्था की शुरुआत से जोड़ें। / The Treaty of Westphalia was signed in 1648. For exams connect it with the beginning of the modern state system.
मास्ट्रिख्ट संधि उन्नीस सौ बानवे में हुई और यूरोपीय संघ से जुड़ी है। परीक्षा में इसे यूरोपीय एकीकरण से जोड़ें। / The Maastricht Treaty was signed in 1992 and is linked with the European Union. For exams connect it with European integration.
नानकिंग की संधि प्रथम अफीम युद्ध के बाद हुई थी। परीक्षा में इसे चीन और ब्रिटेन के संबंधों से जोड़ें। / The Treaty of Nanking was signed after the First Opium War. For exams connect it with China-Britain relations.
वर्साय की संधि प्रथम विश्व युद्ध के बाद हुई थी। परीक्षा में इसे जर्मनी पर लगाए गए कठोर शर्तों से जोड़ें। / The Treaty of Versailles was signed after World War I. For exams connect it with harsh terms imposed on Germany.
मोलोटोव रिबेंट्रॉप समझौता सोवियत संघ और जर्मनी के बीच हुआ था। परीक्षा में इसे द्वितीय विश्व युद्ध की शुरुआत से जोड़ें। / The Molotov-Ribbentrop Pact was between the Soviet Union and Germany. For exams connect it with the beginning of World War II.
ब्रेस्ट लितोव्स्क संधि से रूस प्रथम विश्व युद्ध से बाहर हुआ। परीक्षा में इसे बोल्शेविक सरकार की प्रारंभिक नीति से जोड़ें। / The Treaty of Brest-Litovsk took Russia out of World War I. For exams connect it with the early policy of the Bolshevik government.
सैन फ्रांसिस्को में पचास देशों ने चार्टर पर हस्ताक्षर किए थे। परीक्षा में बाद में पोलैंड को मूल सदस्य के रूप में जोड़कर इक्यावन याद रखें। / Fifty countries signed the Charter at San Francisco. For exams remember 51 original members after including Poland.
संयुक्त राष्ट्र घोषणा पर एक जनवरी उन्नीस सौ बयालीस को हस्ताक्षर हुए थे। परीक्षा में इसे संयुक्त राष्ट्र नाम के प्रारंभिक प्रयोग से जोड़ें। / The Declaration by United Nations was signed on 1 January 1942. Exam tip: connect it with the early use of the name United Nations.
संयुक्त राष्ट्र चार्टर पर छब्बीस जून उन्नीस सौ पैंतालीस को हस्ताक्षर हुए। परीक्षा में हस्ताक्षर और लागू होने की तारीख अलग अलग याद रखें। / The UN Charter was signed on 26 June 1945. Exam tip: remember the signing date and enforcement date separately.
संयुक्त राष्ट्र चार्टर पर सैन फ्रांसिस्को सम्मेलन में हस्ताक्षर हुए। परीक्षा में सैन फ्रांसिस्को को संयुक्त राष्ट्र चार्टर से जोड़ें। / The UN Charter was signed at the San Francisco Conference. Exam tip: connect San Francisco with the UN Charter.
ब्रेस्ट लितोव्स्क संधि से रूस प्रथम विश्व युद्ध से अलग हुआ। परीक्षा में इसे बोल्शेविकों की शांति नीति से जोड़ें। / The Treaty of Brest-Litovsk took Russia out of the First World War. Exam tip: connect it with the Bolshevik peace policy.
जापान ने यूएसएस मिसौरी पर औपचारिक आत्मसमर्पण पर हस्ताक्षर किए। परीक्षा में 1945 की अंतिम घटनाएं याद रखें। / Japan signed the formal surrender on the USS Missouri. For exams remember the final events of 1945.
नाजी सोवियत अनाक्रमण संधि 1939 में हुई थी। परीक्षा में इसे पोलैंड पर आक्रमण से पहले की घटना के रूप में याद रखें। / The Nazi-Soviet Non-Aggression Pact was signed in 1939. For exams remember it as an event before the invasion of Poland.
वर्साय संधि 1919 में हुई थी। परीक्षा में इसे प्रथम विश्व युद्ध के बाद की शांति व्यवस्था से जोड़ें। / The Treaty of Versailles was signed in 1919. For exams connect it with the peace settlement after the First World War.
लाहौर की संधि 1846 में हुई थी। इसे प्रथम आंग्ल सिख युद्ध के परिणाम से जोड़कर याद रखें। / The Treaty of Lahore was signed in 1846. Remember it with the result of the First Anglo-Sikh War.
यांडाबू की संधि 1826 में हुई थी। इसे प्रथम आंग्ल बर्मी युद्ध के अंत से जोड़कर याद रखें। / The Treaty of Yandabo was signed in 1826. Remember it with the end of the First Anglo-Burmese War.
अमृतसर की संधि 1809 में हुई थी। परीक्षा में इसे सिख राज्य और अंग्रेजी सीमा नीति से जोड़ें। / The Treaty of Amritsar was signed in 1809. In exams link it with the Sikh state and British frontier policy.
श्रीरंगपट्टनम की संधि 1792 ईस्वी में हुई थी। इसे टीपू सुल्तान और तृतीय मैसूर युद्ध से जोड़ें। / The Treaty of Seringapatam was signed in 1792 CE. Link it with Tipu Sultan and the Third Mysore War.
मंगलौर की संधि 1784 ईस्वी में हुई। इसने द्वितीय आंग्ल मैसूर युद्ध को समाप्त किया। / The Treaty of Mangalore was signed in 1784 CE. It ended the Second Anglo-Mysore War.
बेसिन की संधि 1802 में हुई थी। इसे मराठा राजनीति और ब्रिटिश प्रभाव से जोड़ें। / The Treaty of Bassein was signed in 1802. Link it with Maratha politics and British influence.
श्रीरंगपट्टनम की संधि 1792 में हुई थी। इसे टीपू सुल्तान और तृतीय मैसूर युद्ध से जोड़ें। / The Treaty of Seringapatam was signed in 1792. Link it with Tipu Sultan and the Third Mysore War.
सालबाई की संधि 1782 में हुई थी। इसे प्रथम आंग्ल मराठा युद्ध के अंत से याद रखें। / The Treaty of Salbai was signed in 1782. Remember it with the end of the First Anglo-Maratha War.
पुरंदर की संधि 1665 में हुई थी। इसे शिवाजी महाराज और जयसिंह से जोड़कर याद करें। / The Treaty of Purandar was signed in 1665. Remember it with Shivaji Maharaj and Jai Singh.
शिमला समझौता 1972 में भारत और पाकिस्तान के बीच हुआ था। परीक्षा में इसे 1971 युद्ध के बाद का समझौता मानें। / The Shimla Agreement was signed between India and Pakistan in 1972. In exams treat it as the agreement after the 1971 war.
A. बक्सर के युद्ध के बाद/After the Battle of Buxar
Explanation
Simple Explanation
बक्सर के बाद कंपनी को दीवानी अधिकारों की राह मिली। परीक्षा में बक्सर और इलाहाबाद संधि साथ याद रखें। / After Buxar the Company got the path to Diwani rights. Exam tip: remember Buxar and Treaty of Allahabad together.
पूना समझौता 1932 में हुआ था। परीक्षा में इसे गांधी और आंबेडकर के बीच समझौते से जोड़ें। / The Poona Pact was signed in 1932. Exam tip: connect it with the agreement between Gandhi and Ambedkar.
A. महात्मा गांधी और डॉ भीमराव आंबेडकर/Mahatma Gandhi and Dr B R Ambedkar
Explanation
Simple Explanation
पूना पैक्ट गांधीजी और डॉ आंबेडकर के बीच हुआ। परीक्षा में इसे दलित प्रतिनिधित्व के प्रश्न से जोड़ें। / The Poona Pact was signed between Gandhi and Dr Ambedkar. Exam tip is to link it with the question of Dalit representation.
गांधी-इरविन समझौता 1931 में हुआ। परीक्षा में इसे गोलमेज सम्मेलन से जोड़ें। / The Gandhi-Irwin Pact was signed in 1931. Exam tip: connect it with the Round Table Conference.
लखनऊ समझौता 1916 में कांग्रेस और मुस्लिम लीग के बीच हुआ। परीक्षा में इसे हिंदू-मुस्लिम एकता के प्रयास से जोड़ें। / The Lucknow Pact was signed in 1916 between Congress and Muslim League. Exam tip: connect it with an attempt at Hindu-Muslim unity.
पुरंदर की संधि शिवाजी और मुगल सेनापति जय सिंह के बीच हुई। परीक्षा में (1665) ईस्वी को याद रखें। / The Treaty of Purandar was signed between Shivaji and Mughal commander Jai Singh. For exams, remember (1665) CE.
\(19^2\) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (4) आरंभिक अनावर्ती भाग देगी। ऐसे प्रश्न में आवर्तीपन और आरंभिक देरी अलग-अलग देखें। / Since \(19^2\) remains, the decimal is non-terminating recurring, and the larger exponent among (2) and (5) is (4). In such questions, separate recurrence from the initial delay.
कटौती के बाद हर \(2^4\cdot 5^2\cdot 17\) बचेगा। (17) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2^4\cdot 5^2\cdot 17\). Since (17) remains, the decimal is non-terminating recurring.
\(320=2^6\cdot 5\) कटने पर हर \(2\cdot 5^2\cdot 11\) बचेगा। (11) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / Since \(320=2^6\cdot 5\), the reduced denominator is \(2\cdot 5^2\cdot 11\). Since (11) remains, the decimal is non-terminating recurring.
(41) के कारण दशमलव आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (7) अनावर्ती आरंभ देगी। मिश्रित हर में बड़ी घात से देरी मिलती है। / The factor (41) makes the decimal recurring, and the larger exponent of (2) and (5) is (7), giving the non-repeating start. In mixed denominators, the larger exponent gives the delay.
\(22=2\cdot 11\) कटने पर हर \(2\cdot 5^4\cdot 11\) बचेगा। (11) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancelling \(22=2\cdot 11\), the denominator becomes \(2\cdot 5^4\cdot 11\). Since (11) remains, the decimal is non-terminating recurring.
A. ठीक (7) स्थानों पर समाप्त/Terminates exactly after (7) places
Explanation
Simple Explanation
सरलतम हर \(10^7\) है इसलिए दशमलव ठीक (7) स्थानों पर समाप्त होगा। सरलतम हर दिया हो तो अंश से और कटौती नहीं माननी चाहिए। / The reduced denominator is \(10^7\), so the decimal terminates exactly after (7) places. If the denominator is reduced, do not assume further cancellation.
\(245=5\cdot 7^2\) कटने पर हर \(2^2\cdot 5\cdot 7\) बचता है। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / Since \(245=5\cdot 7^2\), the reduced denominator is \(2^2\cdot 5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
\(55=5\cdot 11\) कटने पर हर \(2^2\cdot 5^2\cdot 11\) बचेगा। (11) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancelling \(55=5\cdot 11\), the denominator becomes \(2^2\cdot 5^2\cdot 11\). Since (11) remains, the decimal is non-terminating recurring.
हर में केवल (2) और (5) हैं इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (9) के बराबर होंगे। परीक्षा में घातों को जोड़ने की जगह बड़ी घात देखें। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (9). In exams, use the larger exponent instead of adding exponents.
कटौती के बाद हर \(2^3\cdot 5^3\cdot 13\) बचेगा। (13) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2^3\cdot 5^3\cdot 13\). Since (13) remains, the decimal is non-terminating recurring.
\(200=2^3\cdot 5^2\) कटने पर हर \(5\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / Since \(200=2^3\cdot 5^2\), the reduced denominator is \(5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
(31) के कारण दशमलव आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (6) अनावर्ती आरंभ देगी। मिश्रित हर में बड़ी घात से देरी मिलती है। / The factor (31) makes the decimal recurring, and the larger exponent of (2) and (5) is (6), giving the non-repeating start. In mixed denominators, the larger exponent gives the delay.
\(14=2\cdot 7\) कटने पर हर \(2\cdot 5^3\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancelling \(14=2\cdot 7\), the denominator becomes \(2\cdot 5^3\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
A. ठीक (6) स्थानों पर समाप्त/Terminates exactly after (6) places
Explanation
Simple Explanation
सरलतम हर \(10^6\) है इसलिए दशमलव ठीक (6) स्थानों पर समाप्त होगा। सरलतम हर दिया हो तो अंश से और कटौती नहीं माननी चाहिए। / The reduced denominator is \(10^6\), so the decimal terminates exactly after (6) places. If the denominator is reduced, do not assume further cancellation.
\(175=5^2\cdot 7\) कटने पर हर \(2^2\cdot 5\cdot 7\) बचता है। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / Since \(175=5^2\cdot 7\), the reduced denominator is \(2^2\cdot 5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
A. सांत और (4) स्थानों पर समाप्त/Terminating after (4) places
Explanation
Simple Explanation
\(147=3\cdot 7^2\) कटने पर हर \(2\cdot 5^4\) बचेगा। बड़ी घात (4) है इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since \(147=3\cdot 7^2\), the reduced denominator is \(2\cdot 5^4\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
हर में केवल (2) और (5) हैं इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (8) के बराबर होंगे। परीक्षा में घातों का योग नहीं बड़ी घात देखें। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (8). In exams, use the larger exponent, not the sum.
\(242=2\cdot 11^2\), इसलिए कटौती के बाद हर \(2^2\cdot 5^4\) बचेगा। बड़ी घात (4) है, इसलिए पहले सरल करें फिर दशमलव स्थान गिनें। / Since \(242=2\cdot 11^2\), the reduced denominator becomes \(2^2\cdot 5^4\). The larger exponent is (4), so reduce first and then count decimal places.
कटौती के बाद हर \(2^3\cdot 5^2\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2^3\cdot 5^2\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
(37) के कारण दशमलव आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (4) अनावर्ती आरंभ देगी। ऐसे मिश्रित हर में बड़ी घात से देरी मिलती है। / The factor (37) makes the decimal recurring, and the larger exponent of (2) and (5) is (4), giving the non-repeating start. In mixed denominators, the larger exponent gives the delay.
\(14=2\cdot 7\) कटने पर हर \(5^2\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancelling \(14=2\cdot 7\), the denominator becomes \(5^2\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
A. सांत और (2) स्थानों पर समाप्त/Terminating after (2) places
Explanation
Simple Explanation
\(189=3^3\cdot 7\), इसलिए सरल हर \(2^2\cdot 5\) बचेगा। बड़ी घात (2) है, इसलिए दशमलव (2) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since \(189=3^3\cdot 7\), the reduced denominator is \(2^2\cdot 5\). The larger exponent is (2), so the decimal terminates after (2) places.
यदि हरभाज्य का हर (denominator) मात्र दोनों गुणनखण्डों के रूप में \(2^a5^b\) हो और संख्या का गुणनखंड (numerator) 17 है, तो 17 किसी भी 2 या 5 से समीकरण नहीं घटाता — अर्थात् भिन्न पहले से ही साधारण रूप में है। एक अंक के दशमलव समाप्त होने की अधिकतम आवश्यक दशमलव-स्थानों की संख्या \(\max(a,b)\) होती है। दिया हुआ है कि दशमलव ठीक 9 स्थानों पर समाप्त होता है और \(a<b\), तो अधिकतम घात् बड़ा होगा और वही 9 के बराबर होना चाहिए। अतः \(b=9\)। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों की जाँच: 8 और 10 क्रमशः कम या अधिक हैं; \(a+9\) का अर्थ गैर-विशिष्ट है और समस्या के दिये गए शर्तों से मेल नहीं खाता। परीक्षा-टिप: यदि हरभाज्य केवल 2 और 5 के गुणनखण्ड हैं, तो समाप्ति की संख्या \(\max(a,b)\) के बराबर होती है, बशर्ते भिन्न न समीकृत हो। / When the denominator is of the form \(2^a5^b\) and the numerator is 17 (which is coprime to 2 and 5), the fraction is already in lowest terms. A terminating decimal requires only factors 2 and 5 in the denominator, and the number of decimal places required equals \(\max(a,b)\). Given the decimal terminates exactly after 9 places and \(a<b\), the larger exponent is \(b\), so \(b=9\). Why other choices fail: 8 is too small, 10 is too large, and \(a+9\) is not implied by the condition \(a<b\). Exam tip: first reduce the fraction if possible; then the termination length equals the larger exponent of 2 or 5 in the reduced denominator.
\(125=5^3\) कटने पर भी हर में (11) बचता है। सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य रहे तो दशमलव असांत आवर्ती होता है। / Even after \(125=5^3\) cancels, (11) remains in the denominator. If a reduced denominator has a prime other than (2) and (5), the decimal is non-terminating recurring.
हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (7) होंगे। परीक्षा में घातों को जोड़ने की गलती न करें। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (7). In exams, do not add the exponents.
कटौती के बाद हर \(2^5\cdot 5^3\) बचेगा। बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(2^5\cdot 5^3\). The larger exponent is (5), so the decimal terminates after (5) places.
Step 3
Exam Tip
दशमलव स्थान गिनने से पहले अंश और हर को सरलतम रूप में जरूर लिखें। / Always reduce the fraction before counting decimal places.
\(\frac{18}{999}=\frac{2}{111}\) है। / \(\frac{18}{999}=\frac{2}{111}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(111=3\cdot 37\), जिसमें (2) और (5) के अलावा गुणनखंड हैं। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \(111=3\cdot 37\), which has factors other than (2) and (5). Therefore the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
आवर्ती दशमलव से आई भिन्नों में हर में अक्सर (9) वाले गुणनखंड होते हैं। / Fractions from recurring decimals often have denominators made from (9)'s.
सरलतम हर में केवल (2) और (5) होने पर दशमलव सांत होता है। / A decimal terminates when the reduced denominator contains only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(q=2^4\cdot 5^3\) इस शर्त को पूरा करता है। बाकी विकल्पों में (3), (7), या (11) हैं। / \(q=2^4\cdot 5^3\) satisfies this condition. The other options contain (3), (7), or (11).
Step 3
Exam Tip
हर के अभाज्य गुणनखंडों को ध्यान से देखें। / Check the prime factors of the denominator carefully.
अंश का \(3^2\cdot 5\) हर से कटेगा। / The numerator \(3^2\cdot 5\) cancels from the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(2^6\cdot 5^3\) बचेगा। बड़ी घात (6) है, इसलिए दशमलव (6) स्थानों पर समाप्त होगा। / The reduced denominator is \(2^6\cdot 5^3\). The larger exponent is (6), so the decimal terminates after (6) places.
Step 3
Exam Tip
कटौती के बाद ही बड़ी घात देखें। / Look for the larger exponent only after cancellation.
कटौती के बाद हर \(5\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / After cancellation, the denominator becomes \(5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
घात पूरी कटे या नहीं, यह ध्यान से देखें। / Check whether the whole power cancels or only part of it cancels.
अंश से \(2^4\cdot 3\) कटेगा। / The numerator cancels \(2^4\cdot 3\).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(2^3\cdot 3\cdot 5^2\) बचेगा। इसमें (3) बचा है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The reduced denominator becomes \(2^3\cdot 3\cdot 5^2\). Since (3) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
एक ही अभाज्य गुणनखंड आंशिक रूप से कट सकता है। / A prime factor may cancel only partially.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
\(\frac{35}{280}\) को (35) से भाग देने पर \(\frac{1}{8}\) मिलता है। / Dividing \(\frac{35}{280}\) by (35) gives \(\frac{1}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(8=2^3\), इसलिए दशमलव सांत होगा। कारण कथन को सही ढंग से समझाता है। / Since \(8=2^3\), the decimal terminates. The reason correctly explains the assertion.
Step 3
Exam Tip
कथन-कारण प्रश्न में कारण की व्याख्या भी जाँचें। / In assertion-reason questions, also check whether the reason explains the assertion.
\(64000=2^9\cdot 5^3\) नहीं, बल्कि \(64000=64\cdot 1000=2^6\cdot 2^3\cdot 5^3=2^9\cdot 5^3\) है। यह (9) स्थान देगा, इसलिए विकल्प (B) सही नहीं हो सकता। / \(64000=2^9\cdot 5^3\), so it would give (9) places, not (6).
Step 2
Why this answer is correct
\(15625=5^6\), इसलिए \(\frac{9}{15625}\) ठीक (6) स्थानों पर समाप्त होगा। / \(15625=5^6\), so \(\frac{9}{15625}\) terminates exactly after (6) places.
Step 3
Exam Tip
घातों की गणना सावधानी से करें। / Calculate prime powers carefully.
\(540=2^2\cdot 3^3\cdot 5\) है। / \(540=2^2\cdot 3^3\cdot 5\).
Step 2
Why this answer is correct
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर से \(3^3\) पूरी तरह कटना चाहिए। इसलिए (x) में (27) अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, \(3^3\) must cancel completely from the denominator. So (x) must contain (27).
Step 3
Exam Tip
(2) और (5) रह सकते हैं, पर (3) नहीं। / (2) and (5) may remain, but (3) must not.
भिन्न सरलतम रूप में है, इसलिए हर का (17) नहीं कटेगा। / The fraction is in lowest form, so the factor (17) will not cancel.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा (17) है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The reduced denominator has (17) besides (2) and (5). Therefore the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या का असांत दशमलव आवर्ती होता है। / A non-terminating decimal of a rational number is recurring.
हर में (2) और (5) के अलावा बचने वाले गुणनखंड को देखें। / Look for any factor other than (2) and (5) that remains in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{50}{2\cdot 5^2\cdot 7}\) में \(50=2\cdot 5^2\) कटता है, लेकिन (7) हर में बचता है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / In \(\frac{50}{2\cdot 5^2\cdot 7}\), \(50=2\cdot 5^2\) cancels, but (7) remains. So the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
पूरी कटौती के बाद बचे अभाज्य गुणनखंड निर्णायक होते हैं। / The remaining prime factors after cancellation decide the type.
A. सांत और (3) स्थानों पर समाप्त/Terminating after (3) places
Step 1
Concept
\(154=2\cdot 7\cdot 11\) है। / \(154=2\cdot 7\cdot 11\).
Step 2
Why this answer is correct
हर से \(2\cdot 7\cdot 11\) कटने पर \(5^3\) बचता है। इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। / After cancelling \(2\cdot 7\cdot 11\), the denominator becomes \(5^3\). So the decimal terminates after (3) places.
Step 3
Exam Tip
अतिरिक्त गुणनखंड अंश से कट सकते हैं, इसलिए पहले सरल करें। / Extra factors may cancel with the numerator, so reduce first.
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में केवल (2) और (5) बचने चाहिए। / For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
हर में \(3^2\) और (7) अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड हैं, इसलिए (n) में \(3^2\cdot 7=63\) अवश्य होना चाहिए। / The denominator has extra prime factors \(3^2\) and (7), so (n) must contain \(3^2\cdot 7=63\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटा मान पूछे जाने पर केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंडों को काटिए। / When the smallest value is asked, cancel only the unwanted prime factors.
\(\frac{3}{6250}\) सरलतम रूप में है और बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव ठीक (5) स्थानों पर समाप्त होगा। अन्य हरों में बड़ी घात (4) या (3) है। / \(\frac{3}{6250}\) is in lowest form and the larger exponent is (5), so it terminates exactly after (5) places. The other denominators have larger exponent (4) or (3).
Step 3
Exam Tip
ठीक स्थानों के लिए बड़ी घात को मिलाइए। / For exact places, match the larger exponent.
A. यदि \(q=2^m5^n\), तो दशमलव सांत होगा/If \(q=2^m5^n\), the decimal will terminate
Step 1
Concept
नियम सरलतम हर पर लागू होता है। / The rule applies to the denominator in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(q=2^m5^n\), तो हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव सांत होगा। बाकी कथन अधूरे हैं क्योंकि (q) में अन्य अभाज्य गुणनखंड भी हो सकते हैं। / If \(q=2^m5^n\), the denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates. The other statements are incomplete because (q) may contain other prime factors.
Step 3
Exam Tip
हमेशा और कभी नहीं जैसे शब्दों पर सावधानी रखें। / Be careful with words like always and never.
अंश का (13) हर के \(13^2\) में से केवल एक (13) काटेगा। / The numerator (13) cancels only one factor (13) from \(13^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(2^2\cdot 5^2\cdot 13\) बचेगा। (13) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The reduced denominator is \(2^2\cdot 5^2\cdot 13\). Since (13) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
पूरी और आंशिक कटौती में फर्क समझें। / Understand the difference between complete and partial cancellation.
