Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. हर समान समय-अंतराल में \(P\) 7 इकाई घटता है/\(P\) decreases by 7 units in every equal time interval
Explanation
Simple Explanation
रैखिक क्षय में समान समय-अंतरालों पर परिवर्तन स्थिर होता है। यहाँ हर बार कमी \(-7\) है, इसलिए ढाल स्थिर है और मॉडल \(P=a-7t\) के रूप का होगा। 10% वाली कमी प्रतिशत पर आधारित होती है, इसलिए रैखिक नहीं होती। परीक्षा टिप: बराबर प्रथम अंतर जाँचें। / In linear decay, the change over equal time intervals is constant. Here the change is always \(-7\), so the slope is fixed and the model has the form \(P=a-7t\). A 10% decrease depends on the current value, so it is not linear. Exam tip: check for equal first differences.
\(Q(t)=Q_0-rt\) में प्रत्येक इकाई समय पर मात्रा \(r\) से समान रूप से घटती है, इसलिए यह प्रथम घात का रैखिक क्षय है। \(Q_0+rt\) वृद्धि दर्शाता है, जबकि \(e^{-rt}\) घातांकीय क्षय है। परीक्षा टिप: स्थिर परिवर्तन दर वाला संबंध रैखिक होता है। / In \(Q(t)=Q_0-rt\), the quantity decreases by the same amount \(r\) in every unit of time, so it is a first-degree linear decay model. \(Q_0+rt\) shows growth, while \(e^{-rt}\) shows exponential decay. Exam tip: a constant rate of change indicates a linear relation.
दोनों मॉडल बराबर होने के लिए \(32+7t=86-2t\) लिखते हैं। \(2t\) को बाईं ओर और 32 को दाईं ओर ले जाने पर \(9t=54\) मिलता है। अतः \(t=6\) होगा। \(t=5\) पर दोनों मान बराबर नहीं होते, इसलिए वह निकट दिखने वाला लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: रैखिक मॉडलों को बराबर करने पर पहले \(t\) वाले पदों को एक ही पक्ष में इकट्ठा करें। / For the models to be equal, set \(32+7t=86-2t\). Moving \(2t\) to the left and 32 to the right gives \(9t=54\). Therefore, \(t=6\). At \(t=5\), the two model values are not equal, so it is a plausible but incorrect option. Exam tip: when equating linear models, collect all terms containing \(t\) on one side first.
बराबरी के लिए \(55+5t=135-3t\) लिखते हैं। \(3t\) को बाईं ओर और 55 को दाईं ओर ले जाने पर \(8t=80\) मिलता है, अतः \(t=10\) है। \(t=8\) रखने पर दोनों मान बराबर नहीं होते, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(t\) वाले पदों को एक ओर और स्थिर पदों को दूसरी ओर एकत्र करें। / For equality, write \(55+5t=135-3t\). Moving \(3t\) to the left and 55 to the right gives \(8t=80\), so \(t=10\). Substituting \(t=8\) does not make the two values equal, so it is a close but incorrect distractor. Exam tip: collect all terms containing \(t\) on one side and constant terms on the other.
फलन में x का गुणांक 9 है, इसलिए x के 1 बढ़ने पर f(x) 9 बढ़ता है। 3 से 8 तक x में 5 की वृद्धि है, अतः f(x) में वृद्धि \(5\times 9=45\) होगी। इसलिए \(f(8)=f(3)+45=64+45=109\)। विकल्प 100 केवल 36 की वृद्धि दर्शाता है, जो 5 चरणों की सही वृद्धि नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक फलन में दो x-मानों के बीच परिवर्तन निकालने के लिए ढाल को \(\Delta x\) से गुणा करें। / The coefficient of x is 9, so f(x) increases by 9 whenever x increases by 1. From 3 to 8, x increases by 5; therefore, f(x) increases by \(5\times 9=45\). Hence, \(f(8)=f(3)+45=64+45=109\). Option 100 represents an increase of only 36, not the correct increase over 5 steps. Exam tip: for a linear function, multiply the slope by \(\Delta x\) to find the change in the function value.
दिया है: (g(x)=b-8x)। पहले (g(4)=91) रखें: (b-8(4)=91), अर्थात (b-32=91)। इसलिए (b=123)। अब (x=10) रखने पर (g(10)=123-8(10)=123-80=43) मिलता है। अतः सही उत्तर 43 है। 51 जैसे विकल्प में घटाव की गणना गलत हो सकती है। परीक्षा टिप: पहले अज्ञात नियतांक b ज्ञात करें, फिर मांगे गए x का मान फलन में रखें। / Given (g(x)=b-8x), first use (g(4)=91): (b-8(4)=91), so (b-32=91). Hence, (b=123). Now substitute (x=10): (g(10)=123-8(10)=123-80=43). Therefore, 43 is correct. A choice such as 51 can result from an arithmetic error in subtraction. Exam tip: find the unknown constant first, then substitute the required value of x.
\(y=18-2x\) में x का गुणांक \(-2\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर y 2 घटता है। B में वृद्धि होती है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय के लिए x का गुणांक ऋणात्मक और घात 1 होनी चाहिए। / In \(y=18-2x\), the coefficient of x is \(-2\), so y falls by 2 for every increase of 1 in x. Option B represents growth. Exam tip: linear decay has a negative x-coefficient and degree 1.
\(P(t)=120-5t\) में \(t\) का गुणांक स्थिर ऋणात्मक \(-5\) है, इसलिए हर 1 इकाई समय पर राशि 5 घटती है। \(120-5t^2\) रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास में चर की घात 1 होती है। / In \(P(t)=120-5t\), the constant negative coefficient \(-5\) means the quantity falls by 5 for each unit of time. \(120-5t^2\) is not linear because the variable has power 2. Exam tip: check that the variable’s power is 1.
\(18-3x\) में x का गुणांक \(-3\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर राशि 3 इकाई घटती है। \(18+3x\) बढ़ोतरी दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद में x की घात 1 होती है। / In \(18-3x\), the coefficient of x is \(-3\), so the quantity falls by 3 units for every 1-unit rise in x. \(18+3x\) shows growth instead. Exam tip: a linear polynomial has x to the power 1.
A. ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा/A straight line with negative slope
Explanation
Simple Explanation
रेखीय क्षय में प्रत्येक इकाई बढ़ने पर मात्रा समान दर से घटती है, इसलिए ग्राफ ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा होता है। जैसे, \(p(x)=a-bx\), जहाँ \(b>0\)। परीक्षा टिप: \(x\) का गुणांक ऋणात्मक हो तो क्षय पहचानें। / In linear decay, the quantity decreases by an equal amount for each unit increase, so its graph is a straight line with negative slope. For example, \(p(x)=a-bx\), where \(b>0\). Exam tip: a negative coefficient of \(x\) indicates decay.
दिया है, \(C(t)=24+kt\)। अतः \(C(7)=24+7k\) और \(C(2)=24+2k\)। इसलिए \(C(7)-C(2)=(24+7k)-(24+2k)=5k\)। चूँकि यह अंतर 45 है, \(5k=45\), इसलिए \(k=9\)। विकल्प 8 लेने पर अंतर \(5\times8=40\) आता, जो 45 नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक के दो मानों का अंतर लेते समय स्थिर पद 24 कट जाता है। / Given \(C(t)=24+kt\), we have \(C(7)=24+7k\) and \(C(2)=24+2k\). Hence, \(C(7)-C(2)=(24+7k)-(24+2k)=5k\). Since this difference is 45, \(5k=45\), so \(k=9\). If \(k=8\), the difference would be \(5\times8=40\), not 45. Exam tip: when subtracting two values of a linear expression, the constant term 24 cancels out.
दिया है \(D(t)=160-kt\)। अतः \(D(4)=160-4k\) और \(D(11)=160-11k\)। इसलिए \(D(4)-D(11)=(160-4k)-(160-11k)=7k\)। चूँकि यह अंतर \(63\) है, इसलिए \(7k=63\), जिससे \(k=9\) मिलता है। \(k=8\) लेने पर अंतर \(56\) आता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों फलन मान लिखकर घटाने पर स्थिर पद अक्सर कट जाते हैं। / Given \(D(t)=160-kt\), we have \(D(4)=160-4k\) and \(D(11)=160-11k\). Therefore, \(D(4)-D(11)=(160-4k)-(160-11k)=7k\). Since this difference is \(63\), \(7k=63\), so \(k=9\). For example, \(k=8\) would give a difference of \(56\), not \(63\). Exam tip: Write the two function values separately before subtracting; the constant terms often cancel.
\(24-3x\) एक रैखिक बहुपद है और x का गुणांक \(-3\) है, इसलिए x में 1 की वृद्धि पर मान 3 से घटता है। जाँचें: \(P(x+1)-P(x)=-3\)। \(24-3x^2\) में कमी की दर स्थिर नहीं होती। परीक्षा में घात 1 और ऋणात्मक गुणांक पहचानें। / \(24-3x\) is linear, and its coefficient of x is \(-3\); therefore, the value falls by 3 for each one-unit increase in x. Check: \(P(x+1)-P(x)=-3\). In \(24-3x^2\), the rate of decrease is not constant. Exam tip: look for degree 1 with a negative coefficient.
A. समान समयांतरालों में \(P\) की कमी समान होती है/\(P\) decreases by equal amounts in equal time intervals
Explanation
Simple Explanation
\(P(t)=a-bt\) की ढाल \(-b\) स्थिर और ऋणात्मक है, इसलिए हर समान समयांतराल में कमी समान रहती है। बदलती ढाल वाला वक्र रैखिक क्षय नहीं है। परीक्षा टिप: \(-b\) को स्थिर क्षय-दर पहचानें। / The slope of \(P(t)=a-bt\) is the constant negative value \(-b\), so equal time intervals produce equal decreases. A changing slope indicates non-linear decay. Exam tip: identify \(-b\) as the constant decay rate.
दिया है कि \(P(t)=p+8t\)। \(P(4)=70\) रखने पर \(p+8\times4=70\), इसलिए \(p=38\) मिलता है। अब \(P(s)=118\) से \(38+8s=118\) होगा। अतः \(8s=80\) और \(s=10\)। विकल्प 9 लेने पर मान \(110\) आता है, 118 नहीं। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से अचर \(p\) ज्ञात करें, फिर दूसरे मान में उसे प्रतिस्थापित करें। / Given \(P(t)=p+8t\), substitute \(t=4\): \(p+8\times4=70\), so \(p=38\). Next, \(P(s)=118\) gives \(38+8s=118\). Thus \(8s=80\), hence \(s=10\). For example, using 9 gives 110, not 118. Exam tip: find the constant \(p\) from the first condition before using the second condition.
दिया है \(R(t)=r-7t\)। \(R(3)=112\) रखने पर \(r-7(3)=112\), अतः \(r=133\)। अब \(R(s)=63\) से \(133-7s=63\), इसलिए \(7s=70\) और \(s=10\)। विकल्प \(9\) लेने पर मान \(70\) आता है, \(63\) नहीं। परीक्षा टिप: पहले ज्ञात समय का मान रखकर नियतांक \(r\) ज्ञात करें, फिर दूसरे मान से चर हल करें। / Given \(R(t)=r-7t\), substitute \(R(3)=112\): \(r-7(3)=112\), so \(r=133\). Next, \(R(s)=63\) gives \(133-7s=63\), hence \(7s=70\) and \(s=10\). If \(s=9\), the model gives \(70\), not \(63\). Exam tip: first find the constant \(r\) using the known time, then use the second condition to solve for the variable.
रेखीय व्यंजक को \(y=a+5x\) मानें, क्योंकि \(x\) में 1 की वृद्धि पर \(y\) को 5 बढ़ना है। शर्त \(y(4)=37\) रखने पर \(a+5(4)=37\), इसलिए \(a=17\) मिलता है। अतः \(y=17+5x\) सही विकल्प है। \(y=57-5x\) में \(y(4)=37\) तो है, लेकिन उसका गुणांक \(-5\) है, इसलिए \(y\) बढ़ने के बजाय घटता है। परीक्षा टिप: स्थिर पद ज्ञात करने के लिए दिए गए \(x\) और \(y\) मानों को व्यंजक में रखिए। / Let the linear expression be \(y=a+5x\), since \(y\) must increase by 5 when \(x\) increases by 1. Using \(y(4)=37\) gives \(a+5(4)=37\), so \(a=17\). Therefore, \(y=17+5x\) is correct. Although \(y=57-5x\) gives \(y(4)=37\), its coefficient of \(x\) is \(-5\), so it represents a decrease, not an increase. Exam tip: substitute the given \(x\)- and \(y\)-values to find the constant term.
प्रति चरण 9 की कमी का अर्थ है कि \(x\) का गुणांक \(-9\) होगा। इसलिए समीकरण \(y=a-9x\) मानते हैं। शर्त \(y(6)=58\) रखने पर \(a-9(6)=58\), अतः \(a=112\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प \(y=112-9x\) है। विकल्प A में ढाल तो \(-9\) है, लेकिन \(y(6)=4\) आता है, 58 नहीं। परीक्षा टिप: दिए गए \(x\)-मान को हर विकल्प में रखकर शर्त जल्दी जाँची जा सकती है। / A decrease of 9 per step means that the coefficient of \(x\) must be \(-9\). So write the equation as \(y=a-9x\). Using \(y(6)=58\), we get \(a-9(6)=58\), hence \(a=112\). Therefore, \(y=112-9x\) is correct. Option A has slope \(-9\), but it gives \(y(6)=4\), not 58. Exam tip: substitute the given \(x\)-value into each option to check the condition quickly.
“9 अधिक” का अर्थ है \(M(t)=N(t)+9\)। अतः \(42+4t=96-5t+9\), यानी \(42+4t=105-5t\)। इसलिए \(9t=63\) और \(t=7\) मिलता है। \(t=6\) पर अंतर केवल \(0\) होगा, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: “अधिक” वाले प्रश्न में बड़ी राशि को छोटी राशि से आवश्यक अंतर जोड़कर बराबर करें। / “9 more” means \(M(t)=N(t)+9\). Thus, \(42+4t=96-5t+9\), or \(42+4t=105-5t\). Hence \(9t=63\), so \(t=7\). At \(t=6\), the difference is only \(0\), so it is a close but incorrect option. Exam tip: For “more than” questions, equate the larger quantity to the smaller quantity plus the stated difference.
“\(16\) अधिक” का अर्थ है \(A(t)=B(t)+16\)। अतः \(140-6t=44+2t+16\), जिससे \(140-6t=60+2t\) और \(80=8t\) मिलता है। इसलिए \(t=10\) है। \(t=9\) पर अंतर \(24\) होगा, \(16\) नहीं। परीक्षा टिप: “से अधिक” वाले प्रश्नों में पहले अंतर को \(A(t)-B(t)\) के रूप में लिखें। / “16 more” means \(A(t)=B(t)+16\). So, \(140-6t=44+2t+16\), which gives \(140-6t=60+2t\) and then \(80=8t\). Hence, \(t=10\). At \(t=9\), the difference is \(24\), not \(16\). Exam tip: In “more than” questions, first write the difference as \(A(t)-B(t)\).
दिया है कि \(F(t)=32+rt\)। अतः \(F(3)=32+3r\) तथा \(F(8)=32+8r\)। शर्त \(F(3)=F(8)-40\) में मान रखने पर \(32+3r=32+8r-40\) मिलता है। इसलिए \(5r=40\), अतः \(r=8\)। विकल्प 10 लेने पर 3 और 8 के बीच फलन का अंतर 50 होगा, 40 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे रैखिक फलनों में दो समयों के बीच परिवर्तन \(r\times\) समयांतराल होता है। / Given \(F(t)=32+rt\), we have \(F(3)=32+3r\) and \(F(8)=32+8r\). Substituting these into \(F(3)=F(8)-40\) gives \(32+3r=32+8r-40\). Hence, \(5r=40\), so \(r=8\). If \(r=10\), the change from \(t=3\) to \(t=8\) would be 50, not 40. Exam tip: for a linear function, the change over an interval equals \(r\) multiplied by the time interval.
दिया है कि \(G(2)=G(9)+56\), अतः \(G(2)-G(9)=56\)। अब \(G(2)=150-2r\) और \(G(9)=150-9r\) रखने पर \((150-2r)-(150-9r)=7r\) मिलता है। इसलिए \(7r=56\), जिससे \(r=8\) है। \(r=7\) लेने पर अंतर केवल \(49\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे रैखिक फलनों में दो समयों के मानों का अंतर लेकर स्थिर पद हट जाता है। / Given \(G(2)=G(9)+56\), we have \(G(2)-G(9)=56\). Substituting \(G(2)=150-2r\) and \(G(9)=150-9r\) gives \((150-2r)-(150-9r)=7r\). Hence, \(7r=56\), so \(r=8\). If \(r=7\), the difference would be only \(49\), so it is not correct. Exam tip: In linear functions, subtracting values at two inputs eliminates the constant term.
दिया है कि \(P(n)=a+15n\)। \(P(4)=140\) रखने पर \(a+15\times4=140\), अतः \(a=80\)। इसलिए \(P(9)=80+15\times9=80+135=215\)। विकल्प 230 में 15 की वृद्धि को सही ढंग से नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से स्थिरांक \(a\) ज्ञात करें, फिर अपेक्षित \(n\) का मान रखें। / Given \(P(n)=a+15n\). Using \(P(4)=140\), we get \(a+15\times4=140\), so \(a=80\). Therefore, \(P(9)=80+15\times9=80+135=215\). Option 230 does not apply the increase of 15 correctly. Exam tip: first find the constant \(a\) from the given value, then substitute the required value of \(n\).
दिया है: V(y)=c-1800y। पहले V(3)=24600 रखने पर c-1800(3)=24600, अर्थात c-5400=24600। इसलिए c=30000। अब V(8)=30000-1800(8)=30000-14400=15600। अतः सही उत्तर 15600 है। 17400 मान 8 वर्षों के बजाय 7 वर्षों का मूल्य दर्शाता है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से अज्ञात स्थिरांक c ज्ञात करें, फिर अपेक्षित y का मान रखें। / Given V(y)=c-1800y, substitute V(3)=24600: c-1800(3)=24600, so c-5400=24600 and c=30000. Now, V(8)=30000-1800(8)=30000-14400=15600. Therefore, 15600 is correct. The value 17400 would correspond to 7 years, not 8 years. Exam tip: first find the unknown constant c from the given value, then substitute the required value of y.
दिया है कि \(y=18+4x\) और \(y=7x\) होना चाहिए। अतः \(18+4x=7x\)। दोनों पक्षों से \(4x\) घटाने पर \(18=3x\), इसलिए \(x=6\) मिलता है। जाँच: \(x=6\) पर \(y=18+24=42\) तथा \(7x=42\) है। \(x=5\) पर दोनों मान क्रमशः 38 और 35 होंगे, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में y के दोनों व्यंजकों को बराबर रखकर x हल करें। / We need both \(y=18+4x\) and \(y=7x\). Therefore, \(18+4x=7x\). Subtracting \(4x\) from both sides gives \(18=3x\), so \(x=6\). Check: for \(x=6\), \(y=18+24=42\) and \(7x=42\). For \(x=5\), the two values are 38 and 35, so it is not correct. Exam tip: equate the two expressions for y first, then solve for x.
दिया है \(y=96-6x\) और शर्त है \(y=2x\)। अतः \(96-6x=2x\)। दोनों पक्षों में \(6x\) जोड़ने पर \(96=8x\), इसलिए \(x=12\) मिलता है। \(x=10\) रखने पर \(y=36\) होता है, जबकि \(2x=20\), इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले \(y\) के दिए गए व्यंजक को \(y\) की शर्त के बराबर रखें। / Given \(y=96-6x\) and the condition \(y=2x\), we get \(96-6x=2x\). Adding \(6x\) to both sides gives \(96=8x\), so \(x=12\). For \(x=10\), \(y=36\) whereas \(2x=20\), so it is not correct. Exam tip: First equate the given expression for \(y\) to the required condition on \(y\).
दिया है \(L(t)=3t+14\)। इसलिए \(L(4t)=3(4t)+14=12t+14\)। अब \(L(4t)-L(t)=(12t+14)-(3t+14)=9t\)। अतः सही विकल्प \(9t\) है। \(12t\) केवल \(L(4t)\) है, उसमें से \(L(t)\) घटाया नहीं गया है। परीक्षा टिप: फलन में \(4t\) रखने पर \(t\) के स्थान पर हर जगह \(4t\) लिखें। / Given \(L(t)=3t+14\), we get \(L(4t)=3(4t)+14=12t+14\). Therefore, \(L(4t)-L(t)=(12t+14)-(3t+14)=9t\). Hence, \(9t\) is correct. \(12t\) is only part of \(L(4t)\); it does not account for subtracting \(L(t)\). Exam tip: when evaluating a function at \(4t\), replace every occurrence of \(t\) with \(4t\).
पहले फलन में \(t\) के स्थान पर \(3t\) रखने पर \(K(3t)=120-5(3t)=120-15t\) मिलता है। अतः \(K(t)-K(3t)=(120-5t)-(120-15t)=120-5t-120+15t=10t\)। इसलिए सही उत्तर \(10t\) है। \(15t\) केवल \(5(3t)\) का मान है, पूरा अंतर नहीं। परीक्षा टिप: \(K(3t)\) निकालते समय \(t\) वाले प्रत्येक पद में \(t\) को \(3t\) से बदलें और घटाते समय कोष्ठक अवश्य लगाएँ। / First, substitute \(3t\) for \(t\): \(K(3t)=120-5(3t)=120-15t\). Therefore, \(K(t)-K(3t)=(120-5t)-(120-15t)=120-5t-120+15t=10t\). Hence, the correct answer is \(10t\). The expression \(15t\) is only the value of \(5(3t)\), not the complete difference. Exam tip: use brackets while subtracting expressions so that the signs are handled correctly.
दिया है कि \(Y(x)=a+6x\)। अतः \(Y(3)=a+18\) और \(Y(7)=a+42\)। इसलिए \(Y(3)+Y(7)=2a+60=124\)। इससे \(2a=64\), अतः \(a=32\)। विकल्प 30 लेने पर योग \(120\) आता, जो 124 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए दोनों \(x\)-मानों को फलन में अलग-अलग रखकर जोड़ें। / Given \(Y(x)=a+6x\), we get \(Y(3)=a+18\) and \(Y(7)=a+42\). Hence, \(Y(3)+Y(7)=2a+60=124\). Therefore, \(2a=64\), so \(a=32\). If 30 were used, the sum would be \(120\), not 124. Exam tip: Substitute each given \(x\)-value into the function separately before adding.
दिया है, \(Z(x)=b-7x\)। अतः \(Z(2)=b-14\) और \(Z(6)=b-42\) होगा। इसलिए \((b-14)+(b-42)=128\), अर्थात \(2b-56=128\)। इससे \(2b=184\) और \(b=92\) मिलता है। विकल्प 96 लेने पर योग 136 आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए दोनों \(x\)-मानों को फलन में अलग-अलग रखकर जोड़ें। / Given \(Z(x)=b-7x\), we get \(Z(2)=b-14\) and \(Z(6)=b-42\). Hence, \((b-14)+(b-42)=128\), so \(2b-56=128\). Therefore, \(2b=184\) and \(b=92\). If 96 were used, the sum would be 136, so it is not correct. Exam tip: Substitute each given \(x\)-value into the function separately before adding the results.
दोनों बहुपद बराबर होने के लिए \(18+5x=7x-4\) होगा। दोनों पक्षों से \(5x\) घटाने पर \(18=2x-4\) और 4 जोड़ने पर \(22=2x\) मिलता है। अतः \(x=11\) है। \(x=10\) रखने पर दोनों मान बराबर नहीं आते, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों व्यंजकों को बराबर रखकर चर वाले पदों को एक ही पक्ष में लाएँ। / For the two polynomials to be equal, \(18+5x=7x-4\). Subtracting \(5x\) from both sides gives \(18=2x-4\), and adding 4 gives \(22=2x\). Hence, \(x=11\). Substituting \(x=10\) does not give equal values, so it is a close but incorrect option. Exam tip: Equate the expressions first, then collect the variable terms on one side.
p(x)=q(x) रखने पर 150-8x=54+4x प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 54 घटाने पर 96-8x=4x, अर्थात 96=12x। इसलिए x=8 है। विकल्प 9 लेने पर दोनों व्यंजकों के मान बराबर नहीं होते। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों बहुपदों को बराबर रखें, फिर x वाले पदों को एक ही पक्ष में लाएँ। / Put p(x)=q(x): 150-8x=54+4x. Subtracting 54 from both sides gives 96-8x=4x, so 96=12x. Hence, x=8. If x=9 is substituted, the two expressions do not have equal values. Exam tip: First equate the two polynomials, then collect all x-terms on one side.
रेखीय समीकरण \(y=25+(k-4)x\) में \(x\) का गुणांक, अर्थात ढाल, \(k-4\) है। रेखीय वृद्धि के लिए ढाल धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए \(k-4>0\), जिससे \(k>4\) प्राप्त होता है। \(k=4\) पर ढाल शून्य होती है, अतः \(y=25\) एक स्थिर रेखा है, वृद्धि नहीं। परीक्षा टिप: रेखीय वृद्धि के लिए \(x\) का गुणांक धनात्मक और क्षय के लिए ऋणात्मक जाँचें। / In the linear equation \(y=25+(k-4)x\), the coefficient of \(x\), or slope, is \(k-4\). For linear growth, the slope must be positive. Thus, \(k-4>0\), which gives \(k>4\). When \(k=4\), the slope is zero and \(y=25\) is a constant line, not growth. Exam tip: check whether the coefficient of \(x\) is positive for growth and negative for decay.
रेखीय रूप \(y=a+mx\) में ढाल \(m\) ऋणात्मक होने पर \(x\) बढ़ने के साथ \(y\) घटता है, अर्थात रेखीय क्षय होता है। यहाँ ढाल \(-(k-5)=5-k\) है। क्षय के लिए \(5-k<0\) होना चाहिए, जिससे \(k>5\) मिलता है। \(k<5\) होने पर ढाल धनात्मक होगी और वृद्धि होगी, जबकि \(k=5\) पर ढाल शून्य है तथा मान स्थिर रहता है। परीक्षा टिप: क्षय या वृद्धि पहचानने के लिए हमेशा \(x\) के गुणांक का चिह्न जाँचें। / In the linear form \(y=a+mx\), the value of \(y\) decreases as \(x\) increases when the slope \(m\) is negative; this represents linear decay. Here, the slope is \(-(k-5)=5-k\). For decay, \(5-k<0\), which gives \(k>5\). If \(k<5\), the slope is positive and the relation shows growth, while for \(k=5\), the slope is zero and the value remains constant. Exam tip: To identify growth or decay, check the sign of the coefficient of \(x\).
यहां (R(0)=65) सीधे आरंभिक मान है। अंतर से (m=11) मिलता है पर आरंभिक मान वही रहता है। / Here (R(0)=65) is directly the initial value. The difference gives (m=11), but the initial value remains the same.
A. हर वास्तविक \(s\) के लिए शर्त सत्य है/The condition is true for every real \(s\)
Explanation
Simple Explanation
\(S(3)=s-18\) और \(S(10)=s-60\) हैं। अतः \(S(3)-S(10)=(s-18)-(s-60)=42\)। दोनों पदों में \(s\) कट जाता है, इसलिए दी गई शर्त हर वास्तविक \(s\) के लिए सत्य है। \(s=42\) या \(s=6\) केवल विशेष मान हैं, आवश्यक शर्त नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में समान स्थिर पैरामीटर अक्सर कट जाते हैं। / \(S(3)=s-18\) and \(S(10)=s-60\). Therefore, \(S(3)-S(10)=(s-18)-(s-60)=42\). The parameter \(s\) cancels out, so the given condition is true for every real \(s\). Values such as \(s=42\) or \(s=6\) are merely particular cases, not required values. Exam tip: In a difference of function values, check whether a common constant parameter cancels.
A. हर चरण में 4 बढ़ता है/It increases by 4 each step
Explanation
Simple Explanation
अंतर ज्ञात करें: \(B(t)-A(t)=(40+7t)-(28+3t)=12+4t\)। यहाँ \(t\) का गुणांक 4 है, इसलिए \(t\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर अंतर 4 बढ़ता है। 12 केवल प्रारम्भिक अंतर है; यह वृद्धि की दर नहीं है। परीक्षा टिप: दो रैखिक व्यंजकों का अंतर लेते समय दूसरे व्यंजक के सभी पदों के चिन्ह बदलें। / Find the difference: \(B(t)-A(t)=(40+7t)-(28+3t)=12+4t\). The coefficient of \(t\) is 4, so the difference increases by 4 for every increase of 1 in \(t\). The value 12 is only the initial difference, not the rate of increase. Exam tip: When subtracting linear expressions, change the signs of all terms in the expression being subtracted.
A. हर एकक समय में \(5\) बढ़ता है/It increases by \(5\) per unit time
Explanation
Simple Explanation
अंतर ज्ञात करें: \(C(t)-D(t)=(170-4t)-(110-9t)=60+5t\)। इसमें \(t\) का गुणांक \(5\) है, इसलिए \(t\) के प्रत्येक एकक बढ़ने पर अंतर \(5\) बढ़ता है। \(60\) केवल प्रारम्भिक अंतर है, परिवर्तन की दर नहीं। परीक्षा टिप: दो व्यंजकों का अंतर लेते समय दूसरे व्यंजक के सभी पदों के चिह्न बदलें। / Find the difference: \(C(t)-D(t)=(170-4t)-(110-9t)=60+5t\). Since the coefficient of \(t\) is \(5\), the difference increases by \(5\) for every one-unit increase in \(t\). The number \(60\) is the initial difference, not the rate of change. Exam tip: When subtracting an expression, change the signs of all terms in the expression being subtracted.
\(y=100-5x\) में \(x\) के गुणांक \(-5\) का अर्थ है कि \(x\) की प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर \(y\) 5 इकाई घटता है। \(x^2\) या \(1/x\) वाला संबंध रैखिक नहीं होता। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास में \(x\) का गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(y=100-5x\), the coefficient \(-5\) means that \(y\) decreases by 5 units for every 1-unit increase in \(x\). Relations containing \(x^2\) or \(1/x\) are not linear. Exam tip: linear decay has a negative coefficient of \(x\).
\(y=18-3x\) में x का गुणांक \(-3\) स्थिर है, इसलिए x बढ़ने पर y हर बार समान दर से घटता है। \(x^2\) वाला संबंध रैखिक नहीं होता। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास के लिए x का घात 1 और गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(y=18-3x\), the coefficient of x is the constant \(-3\), so y falls at the same rate as x increases. A relation containing \(x^2\) is not linear. Exam tip: for linear decay, look for x to power 1 with a negative coefficient.
दिया है \(f(x)=7x+18\)। अतः \(f(2x)=7(2x)+18=14x+18\)। इसलिए \(f(2x)-f(x)=(14x+18)-(7x+18)=7x\)। अब \(7x=42\) रखने पर \(x=6\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प C है। \(x=5\) लेने पर अंतर केवल \(35\) होगा, \(42\) नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले \(f(2x)\) निकालते समय \(x\) के स्थान पर पूरा \(2x\) रखें। / Given \(f(x)=7x+18\), we get \(f(2x)=7(2x)+18=14x+18\). Hence, \(f(2x)-f(x)=(14x+18)-(7x+18)=7x\). Setting \(7x=42\) gives \(x=6\). Therefore, option C is correct. For \(x=5\), the difference would be \(35\), not \(42\). Exam tip: while finding \(f(2x)\), substitute the entire \(2x\) in place of \(x\).
दिया है \(g(x)=144-8x\)। इसलिए \(g(2x)=144-8(2x)=144-16x\)। अतः \(g(x)-g(2x)=(144-8x)-(144-16x)=8x\)। अब \(8x=64\) से \(x=8\) मिलता है, इसलिए सही विकल्प C है। \(x=7\) रखने पर अंतर \(56\) होगा, 64 नहीं। परीक्षा टिप: \(g(2x)\) में \(x\) के स्थान पर पूरा \(2x\) रखें। / Given \(g(x)=144-8x\), we get \(g(2x)=144-8(2x)=144-16x\). Therefore, \(g(x)-g(2x)=(144-8x)-(144-16x)=8x\). Setting \(8x=64\) gives \(x=8\), so option C is correct. For \(x=7\), the difference is \(56\), not 64. Exam tip: while finding \(g(2x)\), substitute the entire expression \(2x\) for \(x\).
यह एक रैखिक फलन है। यहाँ \(P(3)=42+6\times3=60\) और \(P(11)=42+6\times11=108\) हैं, इसलिए \(P(3)+P(11)=168\)। अब \(P(7)=42+6\times7=84\), अतः \(2P(7)=2\times84=168\)। इसलिए सही उत्तर \(P(7)\) है। \(P(6)\) निकट विकल्प है, पर \(2P(6)=156\), जो 168 नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक फलन में दो इनपुटों के मध्यबिंदु पर फलन का मान उनके फलन मानों के औसत के बराबर होता है। / This is a linear function. Here, \(P(3)=42+6\times3=60\) and \(P(11)=42+6\times11=108\), so \(P(3)+P(11)=168\). Also, \(P(7)=42+6\times7=84\); hence \(2P(7)=2\times84=168\). Therefore, the correct answer is \(P(7)\). \(P(6)\) is a close distractor, but \(2P(6)=156\), not 168. Exam tip: for a linear function, the function value at the midpoint of two inputs equals the average of their function values.
यह एक रैखिक फलन है, इसलिए दो इनपुटों के फलन-मूल्यों का औसत उनके मध्यबिंदु के फलन-मूल्य के बराबर होता है। 2 और 12 का मध्यबिंदु 7 है। जाँच करें: \(Q(2)=150\) तथा \(Q(12)=100\), अतः \(Q(2)+Q(12)=250\)। साथ ही \(Q(7)=125\), इसलिए \(2Q(7)=250\)। अतः सही विकल्प \(Q(7)\) है। \(Q(6)\) निकट है, लेकिन \(2Q(6)=260\) होता है। परीक्षा टिप: रैखिक फलन में ऐसे प्रश्नों के लिए पहले इनपुटों का औसत लें। / Since this is a linear function, the average of the function values at two inputs equals the function value at their midpoint. The midpoint of 2 and 12 is 7. Checking directly, \(Q(2)=150\) and \(Q(12)=100\), so \(Q(2)+Q(12)=250\). Also, \(Q(7)=125\), hence \(2Q(7)=250\). Therefore, \(Q(7)\) is correct. \(Q(6)\) is close, but \(2Q(6)=260\). Exam tip: for a linear function, first find the average of the two input values in questions of this form.
यहाँ x में परिवर्तन 12 - 5 = 7 है। रैखिक व्यंजक y = 90 + ax में y का परिवर्तन aΔx होता है। इसलिए 7a = 63, अतः a = 9। 90 स्थिर पद है, इसलिए वह y के परिवर्तन को प्रभावित नहीं करता। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले Δx ज्ञात करके Δy = aΔx लगाएँ। / The change in x is 12 - 5 = 7. In the linear expression y = 90 + ax, the change in y is aΔx. Hence, 7a = 63, so a = 9. The constant term 90 does not affect the change in y. Exam tip: First find Δx, then use Δy = aΔx in such questions.
यहाँ \(x\) का परिवर्तन \(12-4=8\) है। समीकरण \(y=220-bx\) में \(x\) के प्रत्येक 1 इकाई बढ़ने पर \(y\), \(b\) इकाई घटता है। अतः कुल कमी \(8b=96\) होगी, जिससे \(b=12\) प्राप्त होता है। \(b=11\) लेने पर कमी \(8\times11=88\) होती, जो दी गई कमी नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण में गुणांक की दर को \(\frac{\text{कुल परिवर्तन}}{\text{इनपुट का परिवर्तन}}\) से जाँचें। / The change in \(x\) is \(12-4=8\). In \(y=220-bx\), every increase of 1 in \(x\) decreases \(y\) by \(b\). Hence, the total decrease is \(8b=96\), giving \(b=12\). If \(b=11\), the decrease would be \(8\times11=88\), not 96. Exam tip: for a linear relation, check the rate using \(\frac{\text{total change}}{\text{change in input}}\).
“\(A(t)\), \(B(t)\) से 5 अधिक” का अर्थ है \(A(t)=B(t)+5\)। अतः \(20+4t=35+3t+5\), जिससे \(t=20\) प्राप्त होता है। \(t=18\) पर अंतर केवल \(3\) होगा, इसलिए वह निकट होने पर भी सही नहीं है। परीक्षा टिप: “से अधिक” वाले प्रश्नों में पहले अंतर को \(A(t)-B(t)\) के रूप में लिखें। / “\(A(t)\) is 5 more than \(B(t)\)” means \(A(t)=B(t)+5\). Thus, \(20+4t=35+3t+5\), which gives \(t=20\). At \(t=18\), the difference is only \(3\), so it is close but not correct. Exam tip: In “more than” questions, first write the difference as \(A(t)-B(t)\).
“(D(t)) से 12 कम” का अर्थ है (C(t)=D(t)-12)। अतः (180-7t=60+5t-12)। सरल करने पर (180-7t=48+5t), इसलिए (132=12t) और (t=11) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प C है। (t=10) पर दोनों फलनों का अंतर 12 नहीं होता। परीक्षा टिप: “से कम” वाले प्रश्नों में पहले बड़े मान वाले व्यंजक में से दिया गया अंतर घटाइए। / “12 less than (D(t))” means (C(t)=D(t)-12). Therefore, (180-7t=60+5t-12). Simplifying gives (180-7t=48+5t), so (132=12t) and hence (t=11). Therefore, option C is correct. At (t=10), the difference between the two functions is not 12. Exam tip: In “less than” questions, subtract the stated difference from the reference expression first.
योग ((a+10)+(a+20)+(a+40)=3a+70) है। (3a+70=126) से \(a=\frac{56}{3}\) नहीं मिलता इसलिए विकल्पों में कोई नहीं होता। / The sum is ((a+10)+(a+20)+(a+40)=3a+70). From (3a+70=126), \(a=\frac{56}{3}\), so none of the listed options is correct.
दिया है कि \(g(t)=b-4t\)। अतः \(g(1)=b-4\), \(g(5)=b-20\) और \(g(9)=b-36\)। इनका योग \((b-4)+(b-20)+(b-36)=3b-60\) होगा। इसलिए \(3b-60=156\), अर्थात \(3b=216\) और \(b=72\)। इसलिए सही विकल्प D है। \(b=68\) लेने पर योग \(144\) आएगा, 156 नहीं। परीक्षा टिप: फलनों के मानों का योग बनाते समय प्रत्येक इनपुट मान को अलग-अलग प्रतिस्थापित करें। / Given \(g(t)=b-4t\), we get \(g(1)=b-4\), \(g(5)=b-20\), and \(g(9)=b-36\). Their sum is \((b-4)+(b-20)+(b-36)=3b-60\). Hence, \(3b-60=156\), so \(3b=216\) and \(b=72\). Therefore, option D is correct. If \(b=68\), the sum would be \(144\), not 156. Exam tip: Substitute each input value separately before adding the function values.
